VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS DE UN ...repository.ut.edu.co/bitstream/001/2706/1/T 0702...

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS DE UN DISEÑO DE MEDIDAS

REPETIDAS MEDIANTE ANÁLISIS DE VARIANZA UNIVARIADO, MULTIVARIADO

Y MODELOS LINEALES MIXTOS

ANDRÉS MAURICIO BERNAL PÉREZ

JHON ALEXANDER ROZO FORERO

Trabajo de grado como requisito para optar al título de profesional en

Matemáticas con Énfasis en Estadística

Directora

YURI MARCELA GARCIA SAAVEDRA

Magister en Estadística

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS

MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA

IBAGUÉ – TOLIMA

2017

3

DEDICATORIA

A nuestros padres que nos enseñaron a no rendirnos y a seguir aprendiendo siempre,

siendo nuestros grandes ejes de apoyo.

A nuestras novias Alejandra Manjarrez y Carolina Cerón quienes siempre están ahí

brindándonos amor y ayudándonos siempre con mucho cariño.

A la Profesora Yuri Marcela García Saavedra quien con su gran trabajo, enseñanza y

paciencia logramos superar este camino.

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AGRADECIMIENTOS

Primero que todo le damos gracias a Dios por acompañarnos siempre, guiarnos en todo

nuestro proceso, por darnos salud e iluminarnos cada día.

Le damos gracias a nuestros padres ya que sin ellos nada de esto sería posible, por su

apoyo incondicional y por brindarnos la oportunidad de salir a delante con tantos

sacrificios, brindarnos amor y ser nuestros amigos en todos los momentos.

A nuestros hermanos, familiares y amigos que también han hecho posible este logro, con

palabras de motivación, que nos proporcionaron más ganas de salir adelante.

A nuestras parejas que sin ellas no habría sido posible, porque su apoyo, su tiempo,

ayuda constante su perseverancia, cariño, amor y comprensión, nos hacían creer más

en lograr el objetivo.

A la profesora Yuri Marcela García, le agradecemos mucho, nos ha aportado

inmensamente, por su tolerancia y comprensión, por su tiempo y conocimiento que nos

transmitió a lo largo de este proceso.

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GLOSARIO

ANÁLISIS DE LA VARIANZA: es una técnica estadística que sirve para

decidir/determinar si las diferencias que existen entre las medias de tres o más grupos

(niveles de clasificación) son significativamente diferentes. Las técnicas de ANOVA se

basan en la partición de la varianza para establecer si la varianza explicada por los

grupos formados es suficientemente mayor que la varianza residual o no explicada.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: es la relación entre la desviación típica de una

muestra y su media .

CORRELACIÓN: medida de la relación existente entre dos variables. Su valor está

comprendido entre –1 y 1. Si es negativo la relación entre las variables es inversa, es

decir, a medida que aumentan los valores de una decrecen los de la otra. Si es positivo

la asociación es directa, es decir, los valores de una variable aumentan con la otra. Un

valor de cero indica ausencia de relación.

COVARIANZA: representa la media del producto de las desviaciones de dos variables

en relación a su media.

DATOS ALEATORIOS: son datos obtenidos al azar a partir de una población a los

cuales no se les ha dado ninguna prioridad, es decir, todos tienen la misma probabilidad

de ser elegidos.

DESVIACIÓN TÍPICA: valor mayor o igual a cero que mide la dispersión de una

característica de los individuos alrededor de la media del grupo. Los sujetos serán más

parecidos u homogéneos entre sí cuanto más próxima a cero esté la desviación típica.

Su unidad de medida coincide con la unidad de medida de la variable original. Es la

raíz cuadrada de la varianza.

6

DISEÑO DE EXPERIMENTOS: método estadístico cuyo objetivo es estudiar cómo

cambian los valores de una variable respuesta cuando se modifican los valores de una

o varias variables independientes, denominadas factores experimentales. Un

experimento bien diseñado puede ser el punto de partida para establecer relaciones

causales entre las variables estudiadas.

ESTADÍSTICA: ciencia que estudia los fenómenos aleatorios. Es un área de

conocimiento específico de las Matemáticas que comenzó a desarrollarse a mediados

del siglo XVII. Sus técnicas permiten resumir grandes cantidades de información,

estudiar la relación entre variables, investigar la causa de algunos sucesos o predecir la

evolución de un fenómeno en el tiempo y en el espacio, entre otras cosas.

FACTOR: variable que se incluye en un modelo con el propósito de explicar la variación

en la variable respuesta. Véase variable independiente o variable explicativa.

HETEROSCEDASTICIDAD: hipótesis de no igualdad de varianzas poblacionales en

distintos grupos.

HIPÓTESIS: cualquier teoría que formule posibles líneas de trabajo experimental.

HIPÓTESIS NULA: afirmación establecida por el investigador sobre la población de

estudio cuando realiza un test o contraste de hipótesis. Esta hipótesis siempre se asume

verdadera a menos que los datos de la muestra proporcionen evidencia de lo contrario.

Se suele formular mediante una negación o una igualdad.

HOMOSCEDASTICIDAD: hipótesis de igualdad de varianzas poblacionales en distintos

grupos.

INDEPENDENCIA: son datos que no están ligados entre sí.

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INTERVALO DE CONFIANZA: rango de valores que, con una cierta confianza, contiene

al parámetro poblacional que se pretende conocer. el intervalo de confianza se construye

a partir de la información de la muestra y es una de las herramientas utilizadas para

extrapolar los resultados a la población.

MEDIDA REPETIDA: método estadístico el cual obtiene sus datos atreves de múltiples

observaciones al sujeto que va hacer parte del estudio.

MODELO ESTADÍSTICO: es una ecuación matemática que reproduce los fenómenos

que observamos de la forma más exacta posible. Para ello tiene en cuenta los datos

suministrados y la influencia que el azar tiene en estas observaciones.

MODELO MIXTO: es aquel modelo estadístico que involucra efectos fijos y efectos

aleatorios.

SIMETRÍA: es una medida que refleja si los valores muéstrales se extienden o no de

igual forma a ambos lados de la media.

VALOR P: valor comprendido entre 0 y 1 que está asociado a un test de hipótesis. Es la

probabilidad de encontrar un resultado como el obtenido en la muestra, o incluso más

extraño, cuando la hipótesis nula es cierta. La hipótesis nula será rechazada siempre

que esta probabilidad sea muy pequeña, inferior al nivel de significación preestablecido.

VARIABLE: cualquier característica de los individuos que componen la muestra que

toma un valor diferente para cada uno de ellos. La edad y el sexo son variables habituales

en muchas investigaciones.

VARIANZA: valor mayor o igual a cero que mide la dispersión de una característica de

los individuos alrededor de la media del grupo. Los sujetos serán más parecidos u

homogéneos entre sí cuanto más próxima a cero esté la varianza. Su unidad de medida

8

es la unidad de medida de la variable original elevada al cuadrado. Su valor coincide con

el cuadrado de la desviación típica.

9

CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 15

1. ANTECEDENTES .................................................................................................. 16

2. JUSTIFICACIÓN ...................................................................................................... 6

3. OBJETIVOS ............................................................................................................. 7

3.1 OBJETIVO GENERAL .............................................................................................. 7

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................... 7

4. METODOLOGÍA ....................................................................................................... 8

5. MARCO TEÓRICO ................................................................................................... 9

5.1 INTRODUCCIÓN A LAS MEDIDAS REPETIDAS .................................................... 9

5.1.1 Conceptos básicos…………………………………………………………………… 11

5.2 ANÁLISIS DE VARIANZA UNIVARIADO (ANOVA) ............................................... 16

5.2.1 Tabla ANOVA ...................................................................................................... 18

5.2.2 Supuestos. ........................................................................................................... 19

5.3 ANÁLISIS DE VARIANZA MULTIVARIADO (MANOVA) ......................................... 19

5.3.1 Contrastes de hipótesis ........................................................................................ 21

5.4 MEDIDAS REPETIDAS EN Q-MUESTRAS ........................................................... 23

5.5 MODELO DE DOS FACTORES DENTRO DE UN SUJETO Y UN FACTOR ENTRE

SUJETOS ...................................................................................................................... 27

5.6 MODELOS MIXTOS ............................................................................................... 33

5.6.1. Ventajas…………………………………………………………………………………36

5.6.2. Estructura de coovarianza………………………………………………………….…40

5.7 CRITERIO DE INFORMACIÓN AKAIKE (AIC)........................................................ 43

5.8 CRITERIO DE INFORMACIÓN BAYESIANA (BIC) ................................................ 44

10

6. APLICACIONES ..................................................................................................... 45

6.1 ASPECTOS GENERALES ..................................................................................... 45

6.2 Análisis De Varianza “ANOVA” ............................................................................... 48

6.2.1 Prueba de Normalidad ......................................................................................... 49

6.2.2 Prueba de Homogeneidad ................................................................................... 50

6.2.3 Prueba de Independencia .................................................................................... 51

6.3 ANÁLISIS MULTIVARIADO “MANOVA” ................................................................. 52

6.3.1 Prueba de Normalidad. ........................................................................................ 53

6.3.2 Prueba de Homoscedasticidad............................................................................. 53

6.3.3 Prueba De Independencia .................................................................................... 55

6.4 MODELOS LINEALES MIXTOS.............................................................................. 55

7. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 63

RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS ....................................................... 65

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................. 66

ANEXOS ....................................................................................................................... 68

11

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1: Análisis de varianzas de 1 factor 18

Tabla 2: Medidas repetidas en q – grupos...………………………… 24

Tabla 3: Factores dentro de sujetos (A y B) ...……………………………… 28

Tabla 4: Estadística descriptiva por semana...………………………………… 47

Tabla 5: Estadística descriptiva por tratamiento………………………………… 48

Tabla 6: ANOVA...………………………………………………………………… 48

Tabla 7: Prueba de normalidad Shapiro Wilk…………………………………… 50

Tabla 8: Prueba de Levene para Homoscedasticidad de varianza…………… 51

Tabla 9: MANOVA….……… ………………………… …………………………… 52

Tabla 10: Prueba de normalidad Shapiro Wilk………………………………… 53

Tabla 11: Prueba de Levene.……………………………………………………… 54

Tabla 12: AIC y BIC de los modelos escogidos…… ……… ……………… 56

Tabla 13: Resultados del coeficiente de verosimilitud… …………………… 58

Tabla 14: Anova del modelo 6………………………………………… 59

Tabla 15: Prueba LSD de Fisher por interacciones...………………… 59

12

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Diseño de medidas repetidas 11

Figura 2: Tendencia de ganancia peso por semana de los tratamientos 1 y 2 46

Figura 3: Tendencia de ganancia de peso por semana de los 17 animales 46

Figura 4: Figura de normalidad Q-Q Plot 47

Figura 5: Residuos vs predichos, para la Homoscedasticidad de varianzas 50

Figura 6: Residuos vs semana, para la independencia 51

Figura 7: Prueba de normalidad 53

Figura 8: Residuos vs predichos, para la Homoscedasticidad de varianzas 53

Figura 9: Prueba de independencia 55

Figura 10: Figura LSD Fisher 60

Figura 11: Variabilidad por animal 61

Figura 12: Figura de normalidad 61

Figura 13: Figura de Homoscedasticidad 62

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RESUMEN

La presente tesis describe, sustenta y analiza las Medidas Repetidas aplicando análisis

univariado, análisis multivariado y modelos lineales mixtos con el objetivo de ver las

ventajas y desventajas de dichos enfoques. La metodología de la investigación utilizada

para el desarrollo puede considerarse como exploratoria y descriptiva por cuanto en todo

el proceso se indaga los individuos que hacen parte del estudio y sus mediciones a través

del tiempo y/o espacio.

Para los diferentes análisis se usó un experimento realizado a 17 reses jóvenes cuyo fin

era medir el crecimiento de las estas al proporcionarles dos tipos de tratamientos

distintos por 12 semanas tomados del libro de Biostatistics for animal science.(2004).

Finalmente se mostró que el mejor enfoque resultó ser el de los modelos mixtos.

Palabras claves: modelo Lineal general, Modelo Lineal mixto, medidas repetidas

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ABSTRACT

The thesis describes, supports and analyzes Repeated Measures through Mixed Linear

Models. This research can be considered as exploratory and descriptive because we

investigate in the measurements through time and / or space. the individuals who are part

of our study, under specific conditions to be able to apply the mixed linear model; An

experiment was carried out on 17 young cattle, the purpose was to measure the cattle’s

growth by providing two different treatments for 12 weeks taken from the book

Biostatistics for animal science.

Keywords: General Linear Model, Mixed Linear Model, repeated measures.

15

INTRODUCCIÓN

Uno de los diseños experimentales más utilizados en áreas como la agricultura, la

medicina, entre otras, es el conocido diseño de medidas repetidas, que consiste en medir

la variable respuesta de interés de una misma unidad experimental en diferentes puntos

del tiempo o espacio. En este análisis se realizan varias mediciones a través del tiempo

o espacio al individuo que hace parte del estudio bajo ciertas condiciones. Cuando nos

enfrentamos a este tipo de diseño experimental, nos encontramos que los datos poseen

correlación entre sí, por ello se debe utilizar el método estadístico adecuado, para que

así se pueda obtener una mayor eficacia en el análisis de datos.

Para el ajuste de este tipo de diseño experimental se han usado varios métodos de

análisis, entre ellos el análisis de varianza (ANOVA), el análisis multivariado (MANOVA),

los modelos mixtos entre otros. Sin embargo, los métodos del ANOVA y MANOVA

requieren el cumplimiento supuestos, entre ellos el de la independencia entre las

observaciones; por tal razón, algunas veces se recurren a los modelos mixtos, ya que

este método ha resultado muy útil en el estudio yanálisis de datos correlacionados.

El tema central de nuestra investigación es encontrar el método que mejor se adapte a

este tipo de datos, ya que en algunas ocasiones se cometen errores en el análisis,

ocasionado por la mala utilización de ciertos métodos. Por ello se mostrará la teoría de

los métodos de análisis univariado, análisis multivariado y modelos lineales mixtos.

Adicionalmente se analizará un conjunto de datos bajo las tres metodologías para así

mostrar las ventajas y desventajas en cada uno de los enfoques.

16

1. ANTECEDENTES

A continuación, se presentaran algunas investigaciones que facilitan la contextualización

y desarrollo de las medidas repetidas, un ejemplo de ello es una investigación de Ruiz,

M. (2004), cuyo objetivo principal consiste en dar una visión comparativa de los distintos

métodos estadísticos como: (ANOVA, MANOVA Y MODELOS MIXTOS) desde un punto

de vista práctico en el entorno de aplicaciones médicas, para cada uno de los métodos

se plantea una breve introducción y una discusión de las condiciones de aplicación que

permiten tener una idea del tipo de diseños en los que se puede utilizar y por último, se

realizará el análisis de datos del resultado de un ensayo clínico donde se determina el

estado de cada individuo a lo largo de tres instantes de tiempo (t1, t2 y t3), bajo dos

factores (control y tratamiento), concluyendo que el inconveniente principal reside en la

restricción de la matriz de covarianzas, lo que limita al método univariado, pero no tanto

al método multivariado, requiriendo que los datos sean equilibrados y completos lo cual

es muy difícil, por lo tanto, el último método utilizado fue el modelo mixto, el cual se ajusta

bien a la matriz de correlación y a datos desequilibrados dando como conclusión que los

modelos mixtos se ajustan correctamente a datos con medidas repetidas.

Las medidas repetidas son un diseño de modelo experimental interesante ya que con

ellas se pueden usar gran variedad de métodos estadísticos como los expuestos por

Gómez et al. (2012), cuyo objetivo principal es reseñar los procedimientos estadísticos

que se usan en el diseño y análisis de medidas repetidas a través del tiempo, tales como:

el análisis de varianza univariado y multivariado. Exponen que en estos dos métodos es

muy común que los supuestos no se cumplan. Adicionalmente, indican cuales son los

modelos de efectos fijos y los modelos de efectos aleatorios; nos explican cómo se

constituyen los modelos mixtos, además, de cómo estos nos permiten analizar de forma

correcta y eficientemente los datos de experimentos con medidas repetidas mediante el

modelaje de la estructura de covarianzas, que consideran las correlaciones entre

medidas repetidas y la presencia de varianzas heterogéneas. Por último, nos manifiesta

cuáles son los criterios de selección de modelos mixtos, basados en los criterios de AIC

17

(Criterio de Información de Akaike) y BIC (Criterio de Información Bayesiano de

Schwartz), indicando en qué contexto de la investigación es viable usar cada criterio.

Por otro lado, está la investigación de Mena, M. (2004), quien hace una revisión de las

pruebas estadísticas alternativas que se usan cuando se viola el supuesto de esfericidad,

incluyendo diferentes procedimientos de ajuste del estadístico f, el análisis multivariado,

las pruebas de la aproximación general y de la aproximación general mejorada, el

procedimiento de Welch-James, el acercamiento Bayesiano y el enfoque del modelo

mixto.

Además, realiza una cuestión de estos procedimientos en términos de robustez

estadística ante la violación de los supuestos para analizar los efectos principales y de

interacción en diseños de medidas repetidas balanceadas y no balanceadas,

concluyendo que con diseños balanceados, el uso de las pruebas F ajustadas son

alternativas factibles ante la falta de esfericidad para comprobar los efectos principales y

de interacción, el análisis multivariado solo resulta conveniente cuando hay un elevado

número de sujetos, ya que no es robusto para la interacción si el número de sujetos es

pequeño en relación con el número de medidas repetidas, pero en datos desbalanceados

no es muy recomendado el uso generalizado de estas pruebas, ante los casos en los

que no se recomienda las pruebas F ajustadas, es posible que los procedimientos de la

Aproximación general mejorada y el de Welch-James se conviertan en alternativas

adecuadas de análisis, no obstante el segundo requiere un mayor número de sujetos, en

cuanto al enfoque del modelo mixto, se tiene el problema de la identificación correcta y

adecuada de la estructura de las matrices de covarianzas.

Adicionalmente la investigación realizada por Fernández et al. (2007), se muestra que la

potencia y robustez de los métodos estadísticos para el análisis de medidas repetidas

están en función de la satisfacción de los supuestos asociados al análisis, en especial,

el supuesto de esfericidad y de homogeneidad de las matrices de covarianza,

expresando las técnicas univariadas (prueba de Greenhouse y Geisser, prueba de Huynh

y Feldt, el enfoque de la aproximación general mejorada) y multivariadas (prueba

18

multivariada de Welch-James, prueba multivariada de Welch-James con estimadores

robustos, prueba multivariada de Brown-Forsythe).

Como hemos visto, las medidas repetidas son un campo interesante para la utilización

de diversos métodos y pruebas estadísticas, pero tan solo son una rama de los datos

longitudinales; esta clase de datos es muy compleja a la hora de escoger el

procedimiento adecuado. Gras, A. (2007), plantea por su parte una exploración de los

principales procedimientos de análisis de datos longitudinales, haciendo hincapié en la

clara distinción entre los procedimientos clásicos, basados en el análisis de las varianzas,

y los procedimientos más actuales basados en los modelos de regresión, como el modelo

general mixto.

19

2. JUSTIFICACIÓN

En la actualidad esta es una de las alternativas de análisis de los datos longitudinales

más usada, específicamente cuando es necesario ajustar los datos a las diferentes

estructuras de matrices de variancia/covariancia; el contexto de esta investigación se

basaba en los datos longitudinales con medidas repetidas realizando un énfasis en cada

método estadístico, para mostrar cuál se ajusta más ante este diseño, así se llega a la

conclusión de que los modelos estadísticos mixtos asumen que las observaciones

constan de dos partes, los efectos fijos y los efectos aleatorios, los efectos fijos expresan

los valores esperados de las observaciones, mientras que los efectos aleatorios reflejan

las variancias y covariancias de las observaciones, lo cual es gran ventaja para modelar

dichos diseños experimentales.

Esta investigación se realizó con el fin de comparar los diferentes métodos estadísticos

utilizados en el análisis de medidas repetidas y mostrar sus debilidades y fortalezas a la

hora de utilizarlos, para que así cuando nos enfrentemos a este tipo de datos usemos la

herramienta estadística adecuada y no se comentan errores en las conclusiones del

análisis de este tipo de datos.

20

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Mostrar los procedimientos y métodos de ajuste que se utiliza en un diseño de medidas

repetidas a través del tiempo para dar a conocer sus deficiencias y fortalezas.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Contextualizar la teoría del análisis de medidas repetidas en el tiempo frente al

ANOVA, MANOVA y los modelos mixtos.

Analizar un conjunto de datos empíricos que muestre el ajuste de este tipo de

diseño usandoel software estadístico R-Project.

Mostrar las ventajas y desventajas de los métodos usados para el estudio de datos

con un diseño de medidas repetidas.

Recomendar un método de análisis para el estudio de datos bajo un diseño de

medidas repetidas en el tiempo.

21

4. METODOLOGÍA

Los datos que se trabajaron en la investigación son extraídos de “Biostatistics for Animal

Science1” el cual trae un estudio incorporado donde se midieron a 17 reses jóvenes con

el fin de medir el crecimiento de las reses al proporcionarles dos tipos de tratamientos

distintos por 12 semanas, dichos datos fueron recopilados a partir de la semana 9, 10,11

y 12, generando así, un estudio de medidas repetidas a través del tiempo.

Los métodos estadísticos que van hacer parte delanálisis son el análisis de varianza, el

análisis multivariado y los modelos lineales mixtos. Se probarán y mostrarán las

diferentes condiciones que imparten cada método, concluyendo de forma adecuada al

respectivo resultado. Además, se darán a conocer las diferentes debilidades y fortalezas

de cada método y se escogerá el mejor método que se adecue al respetivo análisis y

ajustes de los datos.

Todos los análisis hechos se realizaron con el software de lenguaje de programación R-

Project.

1 Libro escrito en 2009 por Kaps, M., & Lamberson, W.

22

5. MARCO TEÓRICO

En este capítulo se presenta la definición de dos categorías fundamentales para el

desarrollo del trabajo, una es medidas repetidas y laotra modelos lineales mixtos.

Además, se haceuna contextualización de las metodologías usadas en el análisis de

diseños con medidas repetidas tales como: Análisis univariado (ANOVA), análisis

multivariado (MANOVA) y modelo lineal mixto (MLM).

A continuación, los planteamientos teóricos que se presentan (Littell et al.2006).

5.1. INTRODUCCIÓN A LAS MEDIDAS REPETIDAS

El término medidas repetidas se refiere a conjuntos de datos con múltiples mediciones

de una variable de respuesta en la misma unidad experimental. En la mayoría de las

aplicaciones, las múltiples mediciones se realizan durante un período de tiempo. Un

ejemplo son los datos de la curva de crecimiento, como las mediciones mensuales de

peso de los bebés durante el primer año de vida. Otro ejemplo son los datos sobre los

efectos de los fármacos, tales como las mediciones del pulso o la respiración en los

pacientes después de la administración de un fármaco. Pero las medidas repetidas

también pueden referirse a múltiples mediciones sobre el espacio, tales como espesores

de las vértebras de los animales. En un sentido general, los datos que se miden

repetidamente en el tiempo o en el espacio son datos de medidas repetidas.

La mayor parte de este capítulo usa el término en el sentido más tradicional, haciendo

referencia a secuencias de medidas en unidades experimentales en un experimento

diseñado, encuesta por muestreo o estudio retrospectivo.

El diseño de medidas repetidas utiliza los mismos sujetos con todas las condiciones de

la investigación, para aplicarles tratamientos mediando el control; requiriendo con esto

un número menor de participantes y recursos en donde también se debe disminuir los

http://en.wikipedia.org/wiki/Repeated_measures_design

https://explorable.com/es/grupo-de-control-cientifico

23

efectos de la variación natural entre los individuos sobre los resultados. Los diseños de

sujetos repetidos se utilizan comúnmente en los estudios de medidas repetidas, con un

largo plazo, y en las pruebas educativas en donde es importante asegurar que la

variabilidad sea baja.

El diseño de medidas repetidas es actualmente un proceso para la recolección de

información utilizado principalmente en el campo de las ciencias de la salud, las ciencias

sociales y también en la psicología. Además, se puede decir que:

Cuando administramos los tratamientos objeto de nuestra investigación

a los mismos sujetos y, en consecuencia, estos reciben más de un

tratamiento experimental, disponiendo al menos de una observación por

tratamiento y sujeto, decimos que estamos en presencia de un diseño

intra-sujetos o de medidas repetidas. (Pascual.et al.1996)

Los diseños de medidas repetidas se pueden utilizar en diferentes tipos de situaciones

(Maxwell y Delaney, 1990).

a) Evaluación longitudinal del cambio a lo largo del tiempo.

b) Evaluación de la actuación de los sujetos bajo diferentes condiciones de

tratamiento en estudios transversales.

c) En aquellas situaciones en las que se desea comparar las puntuaciones de

los mismos sujetos obtenidas en diferentes pruebas psicométricas.

24

Figura 1: Diseño de medidas repetitivas

Fuente: recuperado de: https://explorable.com/es/diseno-de-medidas-repetidas

Al igual que todos los diseños de medidas repetidas, se reduce a la posibilidad de

variación entre los individuos desviando los resultados y también requiere un grupo más

pequeño de sujetos. Asimismo, reduce la posibilidad de efectos de la práctica que

influyen en los resultados, ya que, presumiblemente, será el mismo para ambos grupos

y puede ser eliminado mediante pruebas estadísticas. El mayor escollo es si los efectos

de arrastre son asimétricos, por ejemplo, sí𝐵 afecta a 𝐴 más que 𝐴 a 𝐵 (ver grafica 1).

5.1.1 Conceptos básicos de medidas repetidas. Un estudio de medidas repetidas de uso

frecuente consiste en un diseño experimental completamente al azar con datos recogidos

en una secuencia de puntos de tiempo equidistantes de cada unidad experimental. Gran

parte del desarrollo de la metodología de medidas repetidas se produjo en el área de la

psicología humana. Como resultado, las unidades experimentales a menudo se

denominan sujetos. Pero "sujeto" podría referirse a un animal, una muestra de

laboratorio, o una pieza de equipo industrial.

https://explorable.com/es/diseno-de-medidas-repetidas

25

En esta disposición básica de un diseño completamente al azar con medidas repetidas,

hay dos factores, tratamientos y tiempo. En este sentido, todos los experimentos de

medidas repetidas son experimentos factoriales. El tratamiento se denomina factor entre

sujetos porque los niveles de tratamiento pueden cambiar sólo entre sujetos; Todas las

mediciones sobre el mismo sujeto representarán el mismo tratamiento. El tiempo se

denomina un factor dentro de los sujetos porque se toman diferentes medidas sobre el

mismo sujeto en momentos diferentes. En los experimentos de medidas repetidas, el

interés se centra en (1) cómo los medios de tratamiento difieren, (2) cómo los medios de

tratamiento cambian con el tiempo, y (3) cómo las diferencias entre los medios de

tratamiento cambian con el tiempo. En otras palabras, ¿hay un efecto principal del

tratamiento, hay un efecto principal del tiempo, y hay una interacción del tratamiento-por-

tiempo? Estos son los tipos de preguntas que queremos hacer en cualquier estudio de

dos factores. Principalmente, la interacción sería la primera pregunta a investigar.

No hay nada peculiar en los objetivos de un estudio de medidas repetidas. Lo que hace

que el análisis de datos de medidas repetidas sea distinto es la estructura de covarianza

de los datos observados. En los diseños de bloques al azar, los tratamientos se asignan

al azar a unidades dentro de un bloque. Esto hace que todas las observaciones dentro

de un bloque dado estén igualmente correlacionadas. Sin embargo, en experimentos de

medidas repetidas, dos medidas tomadas en puntos de tiempo adyacentes son

típicamente más altamente correlacionadas que dos mediciones tomadas varios puntos

de tiempo separados. El esfuerzo es usualmente necesario al comienzo del análisis

estadístico para evaluar la estructura de covarianza de los datos. El modelado de una

estructura de covarianza apropiada es esencial para que pueda hacerse una inferencia

válida en la forma de pruebas de hipótesis e intervalos de confianza sobre los medios de

tratamiento.

Existen similitudes entre los experimentos de medidas repetidas y los experimentos con

parcelas subdivididas. El factor de tratamiento en un experimento de medidas repetidas

corresponde al factor de principal en un experimento de parcelas subdivididas. El factor

tiempo en medidas repetidas corresponde al factor de sub. En otras palabras, el factor

26

entre sujetos corresponde al factor de trazado principal, y el factor dentro de los sujetos

corresponde al factor de sub.

Las unidades experimentales a las que se asignan los tratamientos en el experimento de

medidas repetidas son análogas a las unidades principales en el experimento de

parcelas subdivididas y las unidades experimentales en momentos particulares

corresponden a unidades de sub. Sin embargo, en un verdadero experimento de

parcelas divididas, los niveles del factor de sub se asignan aleatoriamente a unidades de

subparcelas dentro de las unidades de la parcela principal. En consecuencia, las

respuestas

De diferentes unidades de subparcelas en la misma unidad de parcela principal están

correlacionadas de manera similar entre sí. Pero en experimentos de medidas repetidas,

las respuestas de puntos cercanos en el tiempo suelen estar más altamente

correlacionadas que las respuestas de puntos distanciados en el tiempo. Por lo tanto,

generalmente se necesitan métodos especiales de análisis para acomodar la estructura

de correlación de las medidas repetidas.

Consideremos una situación experimental en la que los sujetos son asignados

aleatoriamente a un factor de tratamiento, y las mediciones se realizan a intervalos

equitativos en cada sujeto. Sea 𝑌𝑖𝑗𝑘 la medida en el tiempo 𝑘 sobre el 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 sujeto

asignado al tratamiento 𝑖.

Modelo

Un modelo estadístico para datos de medidas repetidas es:

𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜸𝒌 + (𝜶𝜸)𝒊𝒌 + 𝒆𝒊𝒋𝒌 (1)

Donde

𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜸𝒌 + (𝜶𝜸)𝒊𝒌: Es la media del tratamiento 𝑖 en el tiempo 𝑘, que contiene efectos

para el tratamiento, el tiempo y el tratamiento x tiempo de interacción

27

𝒆𝒊𝒋𝒌: es el error aleatorio asociado con la medición en el momento 𝑘 sobre el 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜

sujeto Que se asigna al tratamiento 𝑖

La ecuación del modelo anterior es la misma que la ecuación del modelo para un

experimento factorial estándar con los principales efectos del tratamiento y del tiempo y

la interacción del tratamiento × tiempo. La característica distintiva de un modelo de

medidas repetidas es la estructura de varianza y covarianza de los errores𝑒𝑖𝑗𝑘. Aunque

los tratamientos se asignaron aleatoriamente a sujetos, los niveles del factor de medidas

repetidas, en este caso el tiempo, no se asignan aleatoriamente a unidades dentro de

los sujetos. Por lo tanto, no podemos suponer razonablemente que los errores aleatorios

𝑒𝑖𝑗𝑘 para el mismo sujeto son independientes. En su lugar, suponemos que los errores

para diferentes sujetos son independientes, dando:

𝑪𝒐𝒗 [𝒆𝒊𝒋𝒌, 𝒆𝒊′𝒋′𝒍′] = 𝟎 𝐲𝐚 𝐬𝐞𝐚 𝐢 ≠ 𝐢′𝒐 𝒋 ≠ 𝒋′(2)

Además, dado que la medición sobre el mismo sujeto es sobre un lapso de tiempo,

pueden tener diferentes varianzas, y las correlaciones entre los pares,de las mediciones

puede depender de la longitud del intervalo de tiempo entre las mediciones. Por lo tanto,

en el ajuste más general, sólo asumimos

𝑽𝒂𝒓[𝒆𝒊𝒋𝒌] = 𝝈𝒌𝟐 𝒚 𝑪𝒐𝒗[𝒆𝒊𝒋𝒌, 𝒆𝒊𝒋𝒌

′ ] = 𝝈𝒌𝒌′(3)

En otras palabras, permitimos que la varianza de 𝑒 𝑖𝑗𝑘dependa del tiempo de medición

𝑘, y la covarianza entre los errores a dos tiempos, 𝑘 𝑦 𝑘′, para el mismo sujeto, depende

de los tiempos. En la mayoría de los casos, el modelo para la covarianza puede

expresarse de acuerdo con una estructura que implica menos parámetros. Si se expresa

el vector de observaciones sobre el sujeto 𝑗 en el tratamiento 𝑖 como 𝑌𝑖𝑗 = [𝑦𝑖𝑗𝑙 , … , 𝑦𝑖𝑗𝑙]′,

entonces tenemos 𝑉𝑎𝑟 [𝑌𝑖𝑗] = 𝜮, donde el elemento en la fila 𝑘 y la columna 𝑘′ es 𝜎𝑘𝑘’.

Esto supone que la matriz de covarianza 𝛴 es la misma para todos los sujetos. Si se

apilan los vectores 𝑌𝑖𝑗 en un solo vector 𝑌 = [𝑌′11, 𝑌′12, . . . , 𝑌′𝑡𝑛] ′, entonces 𝑉𝑎𝑟 [𝑌] = 𝑉

es el bloque diagonal con 𝛴 a lo largo de la diagonal. Podemos escribir Σ como

28

𝑽𝒂𝒓 [𝒀] = 𝚰𝒌 ⊗ 𝜮(4)

Donde Ι𝑘 es una matriz de identidad de dimensión igual al número de sujetos. En algunas

situaciones, es ventajoso incluir un efecto aleatorio entre sujetos para dar el modelo

𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝒃𝒊𝒋 + 𝜸𝒌 + (𝜶𝜸)𝒊𝒌 + 𝜺𝒊𝒋𝒌(5)

Donde 𝑏𝑖𝑗 es un efecto aleatorio para el sujeto j asignado al tratamiento 𝑖, 𝑦 𝜀𝑖𝑗𝑘es un error

con matriz de covarianza 𝑅 con una estructura paramétrica. La matriz de covarianza de

𝑌𝑖𝑗 = [𝑌𝑖𝑗𝑙,…𝑌𝑖𝑗𝑙]′ se convierte en

𝜮 = 𝑽𝒂𝒓[𝒀𝒊𝒋] = 𝝈𝒃𝟐𝑱 + 𝑹(6)

Donde 𝐽 es una matriz de unos. La ecuación muestra los dos aspectos de la covarianza

entre medidas sobre el mismo sujeto. La parte 𝜎𝑏2𝐽 representa la covarianza debido al

hecho de que las medidas están sobre el mismo sujeto, y 𝑅 representa la contribución a

la covarianza debido a la proximidad de las mediciones.

El modelo es similar a los modelos de tipo parcela dividida, donde 𝑏𝑖𝑗 corresponde a

errores de parcela completa y 𝜀𝑖𝑗𝑘corresponde a errores de sub-parcela. La distinción es

que el𝜀𝑖𝑗𝑘, que correspondería a los errores de la subtrama, no puede ser

necesariamente asumido independiente e idénticamente distribuido porque los efectos

del tiempo pueden no estar correlacionados igualmente dentro de los sujetos.

Los datos de medidas repetidas se pueden analizar utilizando métodos de modelo mixto

basados en mínimos cuadrados generalizados y máxima verosimilitud. En la notación

matricial del modelo es,

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝒆 (7)

Donde 𝒀es el vector de datos observados, 𝑋 es una matriz de constantes conocidas, 𝛽

es un vector de parámetros fijos pero desconocidos, y 𝑒 es un vector de errores aleatorios

con matriz de covarianza 𝑉𝑎𝑟 [𝑒] = 𝑉.

29

Entonces la expectativa del vector de observaciones es 𝐸 [𝑌] = 𝑋𝛽 y su varianza es

𝑉𝑎𝑟 [𝑌] = 𝑉.El estimador 𝛽 es

�̂� = (𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝟏𝑿′𝑽−𝟏𝒀(8)

La matriz de covarianza de �̂� Es

𝑽𝒂𝒓[�̂�] = (𝐗′𝑽−𝟏𝑿)−𝟏(9)

En la situación de esta sección, 𝑉−1 = Ι𝑘⨂𝛴, que muestra más directamente por qué es

necesario modelar la forma de 𝛴, la matriz de covarianza para un sujeto individual.

Los datos que permiten analizar este modelo son los procedentes de un diseño con un

solo grupo de sujetos y un único factor cuyos niveles se aplican a todos los sujetos. Las

distintas medidas, tantas como niveles tiene el factor, se toman sobre los mismos sujetos;

de ahí el nombre de medidas repetidas que reciben estos modelos.

Ahora, los planteamientos teóricos que se presentan son los de (Falcó, M .2009).

5.2. ANÁLISIS DE VARIANZA UNIVARIADO (ANOVA)

La técnica del Análisis de la Varianza (ANOVA) es una de las técnicas más utilizadas en

el análisis de datos de los diseños experimentales. Se utiliza cuando se quiere probar la

igualdad de dos o más medias, por lo que puede verse como una extensión de la prueba

t para diferencias de dos medias. Un análisis de la varianza permite determinar si

diferentes tratamientos muestran diferencias significativas o por el contrario puede

suponerse que sus medias poblacionales no difieren. El ANOVA también puede verse

como un procedimiento que permite dividir la varianza de la variable dependiente en dos

o más componentes, cada una de las cuales puede ser atribuido a una fuente (variable

o factor) identificable.

El modelo a una vía de clasificación utilizado por el ANOVA es el siguiente:

30

𝒀𝒊𝒋 = µ + 𝝉𝒊 + 𝜺𝒊𝒋 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒊 = 𝟏, 𝟐, . . 𝒏 𝒚 𝒋 = 𝟏, 𝟐, . . 𝒕(10)

Dónde:

𝒀𝒊𝒋 : Variable dependiente.

µ : Media general del modelo.

𝝉𝒊 : El efecto del 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 tratamiento.

𝜺𝒊𝒋: El error aleatorio independiente e idénticamente distribuido como una normal con

media 0 y varianza 𝛔𝟐, 𝜺𝒊𝒋~ 𝑵(𝟎, 𝛔𝟐). (11)

5.2.1. Tabla ANOVA

Denominando 𝑆 a la suma de los cuadrados, se tiene:

𝑺𝑹𝟐 =

𝑺𝑹

𝑵−𝑲(12)

𝑺𝑻𝟐 =

𝑺𝑻

𝑲−𝟏(13)

Si 𝑆𝐷es la suma de los cuadrados con respecto a la media global, el estadístico 𝑆𝐷2 es

también un estimado de 𝜎2si se cumplen las hipótesis de igualdad de medias:

𝑺𝑫𝟐 =

∑ ∑ (𝒚𝒊𝒋−�̅�)𝟐𝒏𝒊𝒋

𝑲𝑰

𝑵−𝟏=

𝑺𝑫

𝑵−𝟏(14)

Es fácil comprobar que se verifica la siguiente igualdad:

𝑺𝑫 = 𝑺𝑹 + 𝑺𝑻(15)

En cuanto a los grados de libertad:

𝑽𝑫 = 𝑽𝑹 + 𝑽𝑻, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝑵 − 𝟏 = (𝑵 − 𝑲) + (𝑲 − 𝟏)(16)

𝑆𝐷Se denomina también “suma corregida de cuadrados” y se calcula fácilmente mediante

la siguiente ecuación:

𝑺𝑫 = ∑ ∑ 𝒚𝒊𝒋𝟐 − 𝑵�̅�𝟐𝒏𝒊

𝒋𝒌𝒊 (17)

En general lo más cómodo es calcular 𝑆𝐷y 𝑆𝑇, calculando 𝑆𝑅 por diferencia. Es costumbre

presentar el ANÁLISIS DE LA VARIANZA en forma de tabla:

31

Tabla 1. Análisis de la Varianza 1 factor

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE

CUADRADOS

GRADOS

DE

LIBERTAD

CUADRO

MEDIO

CONTRA

STE

ENTRE TRATAMIENTOS

(VE)

𝑆𝑇

= ∑𝑛𝑖(�̅�𝑡𝑖

𝑘

𝑖

− 𝑌)̅̅ ̅

𝑉𝑇 = 𝐾 − 1 𝑆𝑇2

=𝑆𝑇

𝐾 − 1

𝑆𝑇2

𝑆𝑅2

DENTRO DE

TRATAMIENTOS (VNE)

𝑆𝑅

= ∑∑(𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖

𝑗

𝑘

𝑖

− �̅�𝑖)2

𝑉𝑅 = 𝑁 − 𝐾 𝑆𝑅2

=𝑆𝑅

𝑁 − 𝐾

𝑆𝑇2

𝑆𝑅2

TOTAL, EN RELACIÓN A

LA MEDIA GENERAL (VT)

𝑆𝐷

= ∑∑𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗

𝑘

𝑖

− 𝑁�̅�2

𝑉𝐷 = 𝑁 − 1 𝑆𝐷2

=𝑆𝐷

𝑁 − 1

5.2.2. Supuestos.

Para que se pueda aplicar el ANÁLISIS DE LA VARIANZA es preciso que se cumplan

estas tres hipótesis:

Los datos han de ser independientes. Para asegurar esto, las muestras cuyas

medias se desea comparar han de extraerse de manera aleatoria.

Las poblaciones base de donde proceden las muestras han de ser normales.

Las poblaciones base de donde proceden las muestras han de tener la misma

varianza (Heteroscedasticidad). Estas hipótesis implican que las perturbaciones

se distribuyan según una 𝑁(0, 𝜎2 ).

Los supuestos en los que está basado el ANOVA se resumen en los siguientes:

1. Los valores esperados de los errores son ceros.

2. Las varianzas de todos los errores son iguales entre sí.

32

3. Los errores son independientes.

4. Los errores se distribuyen normalmente, con media cero y varianza σ2.

Los supuestos anteriormente mencionados, se pueden verificar usando diversas

técnicas estadísticas, por ejemplo para probar la normalidad se pueden usar las técnicas

Figuras como él 𝑞𝑞 − 𝑛𝑜𝑟𝑚 y algunos test como el de 𝐾𝑜𝑙𝑚𝑜𝑔𝑜𝑟𝑜𝑣 − 𝑆𝑚𝑖𝑟𝑛𝑜𝑣 y

𝑆ℎ𝑎𝑝𝑖𝑟𝑜 − 𝑊𝑖𝑙𝑘; mientras que para la Homoscedasticidad de varianzas se usa el test de

𝐿𝑒𝑣𝑒𝑛𝑒 o de 𝐵𝑎𝑟𝑡𝑙𝑒𝑡𝑡.

5.3. ANÁLISIS DE VARIANZA MULTIVARIADO (MANOVA)

Los planteamientos teóricos que se presentan en (Díaz, L.2002).

La distinción entre los modelos lineales multivariados y los modelos univariados, es que

en el multivariado se involucra más de una variable dependiente o repuesta. Considérese

que las observaciones multivariadas 𝑌1, … , 𝑌𝑛, conforman un conjunto de observaciones

independientes de una población normal p-variante, es decir, 𝑌𝛼~𝑁𝑃(𝑋𝛼𝛽, Σ), para 𝛼 =

1, … , 𝑛. En este caso utilizamos un vector 𝑋𝛼 de tamaño (1 𝑥 𝑞) el cual conocemos, pero

la matriz 𝜎𝑝𝑥𝑝 como la matriz 𝛽𝑞𝑥𝑝 son desconocidas.

Los 𝑌𝛼 corresponden a las variables respuesta en un modelo de regresión

(dependientes), mientras que las 𝑋𝛼 son las variables regresoras o explicativas. En tales

condiciones los vectores se pueden relacionar a través de un modelo lineal general

multivariado, tal como el siguiente:

(

𝐲𝟏𝟏 ⋯ 𝒚𝟏𝒑

⋮ ⋱ ⋮𝒚𝒏𝟏 ⋯ 𝒚𝒏𝒑

) = (

𝐱𝟏𝟏 ⋯ 𝐱𝟏𝐩

⋮ ⋱ ⋮𝐱𝐧𝟏 ⋯ 𝐱𝐧𝐩

)(

𝛃𝟏𝟏 ⋯ 𝛃𝟏𝒑

⋮ ⋱ ⋮𝛃𝒏𝟏 ⋯ 𝛃𝒏𝒑

) + (

𝛆𝟏𝟏 ⋯ 𝛆𝟏𝒑

⋮ ⋱ ⋮𝛆𝒏𝟏 ⋯ 𝛆𝒏𝒑

) (18)

En forma más condensada, el modelo lineal multivariado anterior se escribe de la manera

siguiente:

33

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺, (19)

Donde 𝑿conforma, en la mayoría de los casos, la matriz de diseño o la matriz de variable

regresoras, 𝜷 es la matriz de parámetros desconocidos y la matriz aleatoria 𝜺contiene

los errores. Los estimadores de máxima verosimilitud para 𝜷y 𝝈son:

�̂� = (∑ 𝑿𝜶′ 𝑿𝜶

𝒏

𝜶=𝟏

)

−𝟏

(∑ 𝑿𝜶′ 𝒀𝜶

𝒏

𝜶=𝟏

)

�̂� =𝟏

𝒏∑ (𝒀𝜶 − 𝑿𝜶�̂�)(𝒀𝜶 − 𝑿𝜶�̂�)

′𝒏𝜶=𝟏 (20)

Observaciones:

a. Con estos estimadores podemos deducir lo correspondiente a la regresión lineal

múltiple, donde 𝑞 = 1. El estimador de máxima verosimilitud �̂�, dado en (2) tiene

distribución normal, con vector de medias 𝛽, matriz de varianzas y covarianzas que

resultan del producto directo entre σ y 𝐴−1; es decir,

𝑪𝒐𝒗(�̂�) = 𝝈 ⊗ 𝑨−𝟏 =

(

𝝈𝟏𝟏𝑨−𝟏 𝝈𝟏𝟐𝑨

−𝟏 … 𝝈𝑰𝒑𝑨−𝟏

𝝈𝟐𝟏𝑨−𝟏 𝝈𝟐𝟐𝑨

−𝟏 … 𝝈𝟐𝒑𝑨−𝟏

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝝈𝒑𝟏𝑨

−𝟏 𝝈𝒑𝟐𝑨−𝟏 ⋯ 𝝈𝒑𝒑𝑨

−𝟏

)

(𝟐𝟏)

Donde,

𝐀 = ∑ 𝐗𝛂′ 𝐗𝛂

𝐧𝛂=𝟏 (22)

b. Se nota la similitud con el modelo de regresión lineal, donde se asume que los

errores tienen matriz de covarianzas 𝜎 = 𝜎2𝚰, así que 𝐶𝑜𝑣(�̂�) = 𝜎2(𝑋′𝑋)−1 es un

caso especial de la última expresión.

c. De manera similar, el estimador de máxima verosimilitud 𝑛�̂� es distribuido

normalmente como 𝑊(𝜎, 𝑛 − 𝑞) , e independiente de �̂�, con q el número de

componentes de 𝑋𝛼.

d. Para obtener un estimador insesgado de σ se debe hacer 𝑺 = (𝒏

(𝒏−𝒒)) �̂�.

34

5.3.1. Contrastes de hipótesis

Suponemos que se particiona la matriz de parámetros 𝛽 como:

𝜷 = (𝜷𝟏: 𝜷𝟐)(23)

Como 𝛽1 de la columna 𝑞1 y 𝛽2 de la columna 𝑞2 se tiene que (𝑞1 + 𝑞2 = 𝑞). Y con

esto probar hipótesis con la razón de máxima verosimilitud.

𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟏 = 𝜷𝟏∗ (24)

Se obtiene en forma semejante a como se realiza con la estadística Τ2; esta es,

𝝀 = |𝛽1̂|

𝑛2⁄

|𝛽2̂|𝑛

2⁄(25)

La matriz �̂� corresponde al estimador máximo verosímil en el espacio global de los

parámetros.

5.3.2. Modelos de una vía de clasificación. Desde el punto de vista práctico, el MANOVA

es una técnica con la cual se puede verificar la igualdad de los vectores de medias

ligados a varias poblaciones multivariadas (Diaz, 2007). De esta manera, se presenta a

continuación la técnica de análisis de varianza para arreglos de una vía de clasificación.

Consideremos que 𝑌𝑖𝑗 es una observación de una población 𝑁𝑝(𝜇𝑖, 𝜎) con 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑖 y

𝑗 = 1,… , 𝑞. Los datos se pueden visualizar de la siguiente forma:

Población Muestra Media Muestral

𝑃𝑜𝑏. 1 𝑌11, 𝑌12, … , 𝑌1𝑛1𝑌1̂

𝑃𝑜𝑏. 2 𝑌21, 𝑌22, … , 𝑌2𝑛2𝑌2̂

⋮ ⋮ ⋮𝑃𝑜𝑏. 𝑞 𝑌𝑞1, 𝑌𝑞2, … , 𝑌𝑞𝑛𝑞

𝑌�̂�

(26)

35

Nótese que se han considerado 𝑛𝑖 observaciones en cada población, este es el caso

más general. Si los 𝑛𝑖 son diferentes se dice que se trata de un diseño experimental

desbalanceado; cuando 𝑛𝑖 = ⋯ = 𝑛𝑞 = 𝑛 se dice que ello diseño es balanceado.

La media 𝑌�̂� en cada muestra se obtiene mediante,

𝑌�̂� = 1

𝑛𝑖∑ 𝑌𝑖𝑗 =

1

𝑛𝑖𝑌𝑖.

𝑛𝑖𝑗=1 Para 𝑖 = 1,… , 𝑞(27)

La media general 𝑌..̂ se obtiene de:

𝒀..̂ = 𝟏

𝑵∑ ∑ 𝒀𝒊𝒋 =

𝟏

𝑵∑ 𝒀�̂�

𝒒𝒊=𝟏

𝒏𝒊𝒋=𝟏

𝒒𝒊=𝟏 (28)

Con 𝑁 = ∑ 𝑛𝑖𝑞𝑖=1 , el número total de observaciones.

El modelo que relaciona las observaciones con los parámetros 𝜇𝑖 es de la forma:

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 + 𝜀𝑖𝑗, con 𝜀𝑖𝑗~𝑁𝑝(𝑜, 𝜎), para 𝑖 = 1, . . , 𝑞 𝑦 𝑗 = 1,… , 𝑛𝑖(29)

Las hipótesis a verificar es la igualdad de los vectores de medias de la q-población; es

decir:

𝐻0 ∶ 𝜇1 = ⋯ = 𝜇𝑞(30)

Una expresión equivalente con (4) es:

𝛽1 = (𝜇1 − 𝜇𝑞 , … . , 𝜇𝑞−1 − 𝜇𝑞)(31)

𝛽2 = 𝜇𝑞

La hipótesis planteada en (5) se puede escribir en la forma,

𝐻0 = 𝜇1 − 𝜇𝑞 = 𝜇2 − 𝜇𝑞 = ⋯ = 𝜇𝑞−1 – 𝜇𝑞 = 0 (32)

36

: (

1 0 ⋯ 0 −10 1 ⋯ 0 −1⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 1 −1

)(33)

La región de rechazo a un nivel de significancia α es:

Λ = |Ε|

|Ε+ Η|=

|Ν�̂�|

|Ν�̂�𝜔|< Λ(𝛼,𝑝,𝑣𝐻,𝑣𝐸)(34)

Donde 𝑣𝐻 = 𝑞 − 1 son los grados de libertad para la hipótesis, 𝑣𝐸 = 𝑁 − 𝑞 son los grados

de libertad del error (𝑁 = ∑ 𝑛𝑖𝑞𝑖=1 ).

5.4. MEDIDAS REPETIDAS EN Q-MUESTRAS

El diseño de medidas repetidas implica un modelo de una sola vía de clasificación:

𝒀𝒊𝒋 = 𝝁𝒊 + 𝜺𝒊𝒋, 𝒊 = 𝟏,…𝒏 𝒚 𝒋 = 𝟏,… 𝒕(35)

Donde,

𝒀𝒊𝒋:La puntuación del i-ésimo sujeto bajo la j-ésimacondición experimental o tratamiento

𝝁𝒊 : La media asociado al efecto del í-ésimo sujeto

𝜺𝒊𝒋:El error experimental asociado al 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜sujeto bajo el 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜tratamiento

Desde los q-grupos de n-observaciones cada uno, se calcula �̅�𝟏 … �̅�𝒒 y la matriz de

errores 𝜀. Los datos se ubican en una tabla de factores de𝐴 columnas y 𝐵 filas, donde se

consideran tres casos importantes para el análisis:

a. El primero tiene en cuenta los niveles del factor 𝐵 (filas) como un grupo o una

población y se hace un análisis de las medidas repetidas ante los niveles del

factor 𝐴 (columnas).

b. Se realiza un análisis entre los niveles del factor 𝐵 (filas) para determinar su efecto

en la variable respuesta. Los factores solo pueden asumir un número limitado de

posibles valores, conocidos como niveles de factores.

37

c. Luego se realiza un tercer análisis, para verificar las interacciones entre los efectos

columnas𝐴 y las filas 𝐵.

Si la interacción resulta significativa, se debe proceder a la “apertura” de la misma. Esto

consiste en “probar las hipótesis correspondientes a los efectos simples de uno de los

factores para cada uno de los niveles del otro factor” (Cox, 1958). Considerando como

término de error el correspondiente al modelo completo (Steel & Torrie, 1988).

Posteriormente, para cada efecto simple que resulta significativo se debe aplicar una

prueba de comparaciones múltiples (Prueba de Tukey, por ejemplo) para detectar grupos

de niveles homogéneos, afectando sus niveles de probabilidad según el criterio de

Bonferroni (Underwood, 1997). Con esto se puede lograr un análisis de aquellos que se

logran en uno de doble vía de clasificación.

Tabla 2. Medidas repetidas en q- grupos

Factor A (Medidas repetidas)

Factor B Sujeto 𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑝

Grupos

𝐵1𝑆11(𝑌111𝑌112 ⋯ 𝑌11𝑝) = 𝑌11′

𝑆12(𝑌121𝑌122 ⋯ 𝑌12𝑝) = 𝑌12′

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑆1𝑛(𝑌1𝑛1𝑌1𝑛2 ⋯ 𝑌1𝑛𝑝) = 𝑌1𝑛′

𝐵2𝑆21(𝑌211𝑌212 ⋯ 𝑌21𝑝) = 𝑌21′

𝑆22(𝑌221𝑌222 ⋯ 𝑌22𝑝) = 𝑌22′

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑆2𝑛(𝑌2𝑛1𝑌2𝑛2 ⋯ 𝑌2𝑛𝑝) = 𝑌2𝑛′

38

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮

𝐵𝑞𝑆𝑞1(𝑌𝑞11𝑌𝑞12 ⋯ 𝑌𝑞1𝑝) = 𝑌𝑞1′

𝑆𝑞2(𝑌𝑞21𝑌𝑞22 ⋯ 𝑌𝑞2𝑝) = 𝑌𝑞2′

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑆𝑞𝑛(𝑌𝑞𝑛1𝑌𝑞𝑛2 ⋯ 𝑌𝑞𝑛𝑝) = 𝑌𝑞𝑛′

Para comprobar las medias de los 𝑞 − 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑒𝑠 del factor 𝐵, se toman las medias en cada

grupo. Éstas son el promedio sobre cada uno de los niveles del factor 𝐴; es decir,

∑𝜇𝑖𝑗

𝑝=

1′𝜇𝑖

𝑝.𝑝

𝑗=1 La hipótesis se escribe como:

𝑯𝟎: 𝟏′𝝁𝟏 = ⋯ = 𝟏′𝝁𝒒(36)

La cual es equivalente a probar que los perfiles fila están en el mismo nivel. Las

expresiones 1′𝜇𝑖, para 𝑖 = 1;… , 𝑞 son escalares, luego esta hipótesis puede verificarse

mediante la estadística 𝐹, como un análisis de varianza univariado a una vía de

clasificación sobre 𝑍𝑖𝑗 = 1𝑌𝑖𝑗, para 𝑖 = 1;… , 𝑞 y j= 1; … , 𝑛𝑖. De esta manera, a cada sujeto

𝑆𝑖𝑗 se le hace corresponder el escalar 𝑍𝑖𝑗. Es decir, cada observación vectorial para cada

sujeto o individuo se reduce a una observación de tipo escalar, luego, mediante un

análisis de varianza univariado se comparan las medias 1′; … ; 1′�̅�𝑞 .

La hipótesis sobre la interacción 𝐴𝐵 es equivalente a la hipótesis de “paralelismo

𝑯𝟎: 𝑪𝝁𝟏 = ⋯ = 𝑪𝝁𝒒. (37)

Así, las diferencias o contrastes entre los niveles del factor 𝐴 son los mismo a través de

los niveles del factor 𝐵, Este resultado se prueba fácilmente mediante un análisis de

varianza multivariado a una vía de clasificación sobre 𝑍𝑖𝑗 = 𝐶𝑌𝑖𝑗, con

39

𝚲 =|𝑪𝑬𝑪′|

|𝑪(𝑬+𝑯)𝑪′|,(38)

La cual se distribuye 𝚲(𝑝−1,𝑞−1,𝑁−𝑞).

Observación:

El cálculo de las estadísticas de prueba para medidas repetidas puede hacerse mediante

las matrices 𝑯 y 𝑬 del análisis de varianza multivariado. Otra forma consiste en

transformar los datos de acuerdo con 𝑍𝑖𝑗 = 𝑪𝑌𝑖𝑗 .Para la hipótesis𝑯𝟎 asociada al factor 𝐴,

por ejemplo, para 𝑝 = 4,

𝑪 = (𝟏 −𝟏 𝟎𝟎 𝟏 −𝟏𝟎 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎−𝟏

)(39)

Así, cada observación de 𝑌’ = (𝑌1, 𝑌2, 𝑌3, 𝑌4) se transforma por medio de 𝑍’ = (𝑌1 − 𝑌2, 𝑌2 −

𝑌3, 𝑌3 − 𝑌4). De esta forma se verifica la hipótesis 𝐻0: 𝜇𝑍 = 0 mediante la estadística para

una muestra

𝑻𝟐 = 𝑵�̅�′𝑺𝒁−𝟏�̅�(40)

Con 𝑁 = ∑ 𝑞𝑛𝑖𝑖=1 , �̅� = ∑𝑍𝑖𝑗

𝑁𝑦 𝑆𝑍 =

𝐸𝑍

𝑁−𝑞.𝑖𝑗 Se rechaza la hipótesis 𝐻0si 𝑇2 ≥ 𝑇(𝛼,𝑝−1,𝑁−𝑞)

2 .

Para verificar la hipótesis 𝐻0: 𝐶𝜇1 = ⋯ = 𝐶𝜇𝑞, en el factor 𝐵, se suman las componentes

de cada vector de observaciones, se obtiene

𝒁𝒊𝒋 = 𝟏′𝒀𝒊𝒋 = 𝒀𝒊𝒋 + ⋯+ 𝒀𝒊𝒋𝒑,(41)

Luego se comprueban las medias �̅�1 , … , �̅�𝑞 mediante una estadística 𝐹 en un análisis de

varianza univariado a una vía de clasificación.

Para la hipótesis 𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝜸𝒊 + 𝜺𝒊𝒋 = 𝝁𝒊 + 𝜺𝒊𝒋, de interacción entre los factores 𝐴 𝑦 𝐵,

se transforma cada 𝑌𝑖𝑗 en 𝑍𝑖𝑗 = 𝐶𝑌𝑖𝑗, empleando las filas de la matriz 𝐶 anterior, El vector

40

𝑍𝑖𝑗 resultante es un vector de tamaño (𝑝 − 1) ∗ 1. Así, se debe hacer un análisis de

varianza multivariado sobre 𝑍𝑖𝑗 para obtener

𝚲 =|𝑬𝒁|

|𝑬𝒁+𝑯𝒁| (42)

5.5. MODELO DE DOS FACTORES DENTRO DE UN SUJETO Y UN FACTOR

ENTRE SUJETOS

Este modelo corresponde a una vía de clasificación multivariada que permite que cada

vector de observaciones tenga medidas de un arreglo de tratamientos del tipo factorial

de dos vías. Cada sujeto recibe su tratamiento, en este caso es la combinación de los

niveles de los factores 𝐴 y 𝐵.

En un diseño de dos factores, ambos con medidas repetidas, los sujetos que participan

en el experimento pasan por todas las condiciones experimentales, es decir, por todas

las condiciones definidas por las posibles combinaciones entre los niveles de ambos

factores. Pulido et al. (2012)

Supongamos que tenemos 9 sujetos a los cuales se les aplicará un tratamiento, en este

caso el arreglo quedaría así:

𝑨𝟏𝑩𝟏𝑨𝟏𝑩𝟐𝑨𝟏𝑩𝟑𝑨𝟐𝑩𝟏𝑨𝟐𝑩𝟐𝑨𝟐𝑩𝟑𝑨𝟑𝑩𝟏𝑨𝟑𝑩𝟐𝑨𝟑𝑩𝟑 (43)

En este caso se observa algo muy parecido a lo que se encuentra al probar hipótesis en

diseños de “parcelas divididas” pero esta vez en forma multivariada. El modelo que esta

observación toma es:

𝐘𝐢𝐣 = 𝛍 + 𝛄𝐢 + 𝛆𝐢𝐣 = 𝛍𝐢 + 𝛆𝐢𝐣𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐢 = 𝟏, 𝟐, . . 𝐧 𝐲 𝐣 = 𝟏, 𝟐, . . 𝐭 (44)

Donde,

41

𝒀𝒊𝒋: Contrastes entre 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 tratamiento

𝝁: La media general

𝜸𝒊:Es el efecto debido al 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 nivel del factor 𝐶

Tabla 3. Factores dentro de sujetos (A y B)

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠 (𝐴 𝑦 𝐵)

Entre

Suj.

(C) Obs. 𝐵1𝐵2𝐵3𝐵1𝐵2𝐵3𝐵1𝐵2𝐵3

𝐶1𝑌11 = (𝑌111𝑌112𝑌113𝑌114𝑌115 𝑌116𝑌117𝑌118𝑌119)

𝑌12 = (𝑌121𝑌122𝑌123𝑌124𝑌125 𝑌126𝑌127𝑌128𝑌129)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮

𝑌1𝑛1= (𝑌1𝑛11𝑌1𝑛12𝑌1𝑛13𝑌1𝑛14𝑌1𝑛15 𝑌1𝑛16𝑌1𝑛17𝑌1𝑛18𝑌1𝑛19)

𝐶2𝑌21 = (𝑌211𝑌212𝑌213𝑌214𝑌215 𝑌216𝑌217𝑌218𝑌119)

𝑌12 = (𝑌221𝑌222𝑌223𝑌224𝑌225 𝑌226𝑌227𝑌228𝑌229)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮


𝐶1𝑌31 = (𝑌311𝑌312𝑌313𝑌114𝑌115 𝑌116𝑌117𝑌118𝑌119)

𝑌32 = (𝑌321𝑌322𝑌323𝑌124𝑌125 𝑌126𝑌127𝑌128𝑌129)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮


A

1

A

A

3

A

A

2

A

42

Para verificar la hipótesis sobre el factor A, el factor B y la interacción AB, se emplean

contrastes de hipótesis2 entre 𝑌𝑖𝑗. Algunos de estos contrastes, se presentan a través de

las siguientes matrices:

𝑨𝟏𝑩𝟏𝑨𝟏𝑩𝟐𝑨𝟏𝑩𝟑𝑨𝟐𝑩𝟏𝑨𝟐𝑩𝟐𝑨𝟐𝑩𝟑𝑨𝟑𝑩𝟏𝑨𝟑𝑩𝟐𝑨𝟑𝑩𝟑

𝑨 = (𝟐 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟎

−𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 𝟏 𝟏

−𝟏 −𝟏 −𝟏−𝟏 −𝟏 −𝟏

)(45)

𝑨𝟏𝑩𝟏𝑨𝟏𝑩𝟐𝑨𝟏𝑩𝟑𝑨𝟐𝑩𝟏𝑨𝟐𝑩𝟐𝑨𝟐𝑩𝟑𝑨𝟑𝑩𝟏𝑨𝟑𝑩𝟐𝑨𝟑𝑩𝟑

𝑩 = (𝟐 −𝟏 −𝟏𝟎 𝟏 −𝟏

𝟐 −𝟏 −𝟏𝟎 𝟏 −𝟏

𝟐 −𝟏 −𝟏𝟎 𝟏 −𝟏

)(46)

𝑨𝟏𝑩𝟏𝑨𝟏𝑩𝟐𝑨𝟏𝑩𝟑𝑨𝟐𝑩𝟏𝑨𝟐𝑩𝟐𝑨𝟐𝑩𝟑𝑨𝟑𝑩𝟏𝑨𝟑𝑩𝟐𝑨𝟑𝑩𝟑 (47)

𝑪 = (

𝟒 −𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎

−𝟐 −𝟐 𝟏−𝟐 𝟎 – 𝟏 𝟎 𝟎

−𝟐 𝟎

−𝟏 𝟏

𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 −𝟏−𝟏−𝟏

−𝟐 𝟎

𝟏−𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏

)(48)

Las filas de la matriz 𝐴 corresponden a contrastes ortogonales entre los niveles del factor

𝐴, los cuales comparan los siguientes niveles:

a. El nivel 𝐴1 frente a los niveles 𝐴2 y 𝐴3 conjuntamente, y

b. El nivel 𝐴2 frente al nivel 𝐴3.

En forma semejante, las filas de la matriz 𝐵 contienen los contrastes:

a. El nivel 𝐵1 frente a los niveles 𝐵2 y 𝐵3 conjuntamente, y

b. El nivel 𝐵2 frente al nivel 𝐵3.

2Proceso mediante el cual se intenta comprobar si una afirmación sobre alguna propiedad

poblacional puede ser sostenida a la luz de la información muestral disponible (Pardo y San Martín,

1998)

43

Cabe aclarar que es posible construir otros contrastes ortogonales para el factor 𝐴 y el

factor 𝐵. La matriz 𝐶 está asociada con las interacciones entre los dos factores, y se

obtiene como el producto entre los respectivos elementos de las filas de la matriz 𝐴 y los

de las filas de 𝐵.

Como podemos observar en el caso anterior se calcula por medio de la siguiente formula:

𝒀 = ∑𝒀𝒊𝒋

𝑵, 𝑺𝒑 =

𝑬

(𝑵−𝒒),𝒊𝒋 𝑵 = ∑ 𝒏𝒊𝒊 .(49)

Si la matriz 𝐶 tiene q niveles con medias 𝜇1 …𝜇𝑞. Entonces se verifican con la siguiente

estadística

𝑻𝑨𝟐 = 𝑵 (𝑨𝒀. . )′(𝑨′𝑺𝒑𝑨)−𝟏(𝑨𝒀. . )(50)

La cual se distribuye como: 𝑻(𝟐,𝑵−𝒒)𝟐 , aquí el 2 que va en el subíndice, corresponde al

número de filas de la matriz 𝐴.

Las hipótesis 𝐻0: 𝐵𝜇 = 0 y 𝐻0: 𝐶𝜇 = 0, para los efectos principales de 𝐵 y las

interacciones entre 𝐴 y 𝐵, se verifican de manera similar con las estadísticas,

respectivamente:

𝑻𝑩𝟐 = 𝑵 (𝑩𝒀. . )′(𝑩′𝑺𝒑𝑩)−𝟏(𝑩𝒀. . )(51)

𝑻𝑨𝑩𝟐 = 𝑵 (𝑷𝒀. . )′(𝑷′𝑺𝒑𝑷)−𝟏(𝑷𝒀. . ),(52)

Las cuales se distribuyen como 𝑻(𝟐,𝑵−𝒒)𝟐 𝐲𝑻(𝟒,𝑵−𝒒)

𝟐 , respectivamente. En general, si el factor

𝐴 tiene 𝑎 niveles y el factor 𝐵 tiene 𝑏 niveles, entonces las matrices de contrastes 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶

tienen (𝒂 – 𝟏), (𝒃 – 𝟏) y (𝒂 – 𝟏) (𝒃 − 𝟏)filas, respectivamente.

Las estadísticas de prueba se distribuyen, en general y respectivamente como:

44

𝑻(𝒂−𝟏,𝑵−𝒒)𝟐 , 𝑻(𝒃−𝟏,𝑵−𝒒)

𝟐 𝒚 𝑻((𝒂−𝟏)(𝒃−𝟏),𝑵−𝒒),𝟐 (53)

Una prueba alternativa, para los efectos principales 𝐴 y 𝐵 y la interacción entre éstos es

la lambda de Wilks (𝚲) en la cual se particiona “la suma de cuadrados total” como:

∑ 𝒀𝒊𝒋𝒀′𝒊𝒋𝒊𝒋 = 𝑬 + (𝑯 + 𝑯∗),(54)

Donde,

𝐻∗ = 𝑁�̅�. . �̅�′. La hipótesis de interés es 𝐻0𝐴: 𝐴�̅� = 0, la cual se contrasta mediante la

estadística

Λ𝐴 =|𝐴𝐸𝐴′|

|𝐴(𝐸+𝐻∗)𝐴′|(55)

La cual, bajo 𝐻0, se distribuye como Λ(𝛼−1,1,𝑁𝑞), con 𝛼 el número de niveles del Factor A.

La dimensión de esta es (𝑎 − 1) porque la matriz 𝐴𝐸𝐴’ es de tamaño ((𝑎 − 1) ∗ (𝑎 − 1)).

Estadísticas similares para verificar los efectos del factor 𝐵 y las interacciones entre

𝐴 𝑦 𝐵.

Los efectos principales del factor 𝐶, como en el caso de

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠, son equivalentes a verificar la hipótesis

𝑯𝑪𝟎: 𝟏′𝝁𝟏 = ⋯ = 𝟏′𝝁𝒒,(56)

Al igual que la hipótesis planteada en la igualdad𝐻0: 𝐶𝜇1 = ⋯ = 𝐶𝜇𝑞, esta verificada con

una estadística 𝐹 univariado sobre los 𝑍𝑖𝑗 = 1′𝑌𝑖𝑗, en la forma de un análisis de varianza

univariado a una vía de clasificación.

Las interacciones tipo 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐵𝐶 se prueban en la forma siguiente:

Interacción 𝐴𝐶. Equivale a la hipótesis

𝑯𝑨𝑪𝟎: 𝑨𝝁𝟏 = ⋯ = 𝑨𝝁𝒒(57)

45

La cual establece que los contrastes en el factor 𝐴 son los mismos a través de todos los

𝑞 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑒𝑠 del factor 𝐶. Una estadística para verificar esta hipótesis es

𝚲𝑨𝑪 =|𝑨𝑬𝑨′|

|𝑨(𝑬+𝑯)𝑨′| (58)

La cual se distribuye como Λ(𝛼−1,𝑞−1,𝑁𝑞). La hipótesis anterior se puede contrastar a través

de un análisis de varianza multivariado para un modelo a una vía de clasificación, sobre

los vectores de observaciones transformados a 𝑍𝑖𝑗 = 𝐴𝑌𝑖𝑗.

Interacción 𝐵𝐶, Se expresa a través de la hipótesis

𝑯𝑩𝑪𝟎: 𝑩𝝁𝟏 = ⋯ = 𝑩𝝁𝒒 (59)

La cual se verifica a través de la estadística

𝚲𝑩𝑪 =|𝑩𝑬𝑩′|

|𝑩(𝑬+𝑯)𝑩′|(60)

La cual se distribuye como Λ(𝑏−1,𝑞−1,𝑁𝑞). También se puede verificar con el análisis de

varianza multivariado sobre los 𝑍𝑖𝑗 = 𝐵𝑌𝑖𝑗.

Interacción 𝐴𝐵𝐶. Se expresa mediante la hipótesis

𝑯𝑨𝑩𝑪𝟎: 𝑷𝝁𝟏 = ⋯ = 𝑷𝝁𝒒 (61)

La cual se contrasta mediante la estadística

𝚲𝑩𝑪 =|𝑷𝑬𝑷′|

|𝑷(𝑬+𝑯)𝑩𝑷′| (62)

La cual se distribuye como 𝚲((𝑎−1)(𝑏−1),𝑞−1,𝑁−𝑞)). También se puede verificar con el

análisis de varianza multivariado sobre los 𝑍𝑖𝑗 = 𝑷𝑌𝑖𝑗.

46

Las pruebas sobre los contrastes AC, BC o ABC se pueden desarrollar a través de los

valores propios de las matrices asociadas a “covariación entre” y al “covariación dentro”.

Así por ejemplo, para la interacción tipo AC se obtienen los valores propios de la matriz

(𝐴𝐸𝐴′)−1(𝐴𝐻𝐴′), y con ellos se calculan estadísticas como la traza de Lawley-Hotelling,

la traza de Barlett-Nanda-Pillai o el máximo valor propio de Roy.

5.6. MODELOS MIXTOS

Este tipo de modelos recibe distintos nombres que destacan una u otra de sus principales

características. Se denominan modelos multinivel o jerárquicos, porque tienen en cuenta

la estructura agregada de los datos en distintos niveles (clases) que pueden estar

ordenados o no jerárquicamente (Seoane, J. 2004).

Se denominan también mixtos o de efectos mixtos (“mixed models” o “mixed–effects

models”) porque combinan efectos fijos y aleatorios. Aclaremos estos aspectos. Los

modelos mixtos siguen una estrategia lógica propia de muchos otros tipos de modelos

estadísticos por la que se trata de describir la relación entre una “variable respuesta”

(“dependiente”) y una o varias “variables explicativas” (alias “independientes”,

“predictores” o “covariables”).

Por ejemplo, la relación entre los procesos de los ecosistemas y la diversidad funcional

se puede medir en conjuntos de parcelas de estudio localizados en distintos países, el

cambio en la distribución de especies montanas se puede observar en cumbres que se

agregan dentro de diferentes macizos o se examinan en distintos periodos temporales,

el efecto de la variación en las estrategias reproductoras puede examinarse en la

descendencia de un territorio, nido o pareja y el comportamiento de una especie se puede

describir a través de medidas realizadas en poblaciones (utilizando individuos) o en

individuos (empleando muestras de los mismos sujetos obtenidas en diferentes

ocasiones). (Seoane, J, 2004).

47

En todos estos casos las respuestas (procesos, distribución, descendencia y

comportamiento) se estudian mediante datos que se agregan en unidades temporales o

espaciales (países, montañas y años, nidos, individuos y estaciones) y que, a su vez,

pueden estar agregadas jerárquicamente en niveles (individuos dentro del nivel superior

de estaciones).

Un detalle crucial de estos datos es que a menudo las medidas realizadas dentro de un

mismo nivel de agregación no son independientes y así, por ejemplo, cabe esperar que

las medidas hechas a un mismo individuo estén relacionadas entre sí; lo que incurre en

pseudoreplicación y, en consecuencia, en el problema que se conoce como Error de Tipo

I (rechazar la hipótesis nula cuando esta es cierta).

Los modelos mixtos permiten acomodar esta situación incorporando al menos una

variable explicativa de tipo categórico que represente esas unidades en que se agregan

los datos. Los valores que se dan a esa variable son clases o categorías identificativas

sin valor numérico (individuos “i1”, “i2”, etc). Los efectos, es decir la influencia, de las

variables explicativas sobre la respuesta se miden a través de distintos parámetros de

los modelos.

Si los valores que puede tener la variable explicativa son informativos y su número está

fijado de antemano estamos ante lo que se denomina “efectos fijos”, que asumen que

tales valores son independientes entre observaciones. Si los valores de la variable son

solo identificativos y podrían encontrarse otros si el estudio se repitiera en diferentes

circunstancias (al año siguiente o en un lugar distinto) estamos ante “efectos

aleatorios”, en los que se asume una relación entre las observaciones realizadas en la

misma clase.

Si la variable es de tipo categórico y adquiere un bajo número de valores distintos o

“niveles” (1 a 4) es mejor tratarla como de efecto fijo y entender que nuestros resultados

no pueden extrapolarse más allá de esos niveles.

48

Por el contrario, si la variable adquiere un alto número de valores (> 4–5 pero

preferiblemente > 10) es preferible considerarla de efecto aleatorio, lo que permite

generalizar los resultados al universo del que nuestros datos son una muestra. Un

ejemplo típico de variable de efecto fijo es el sexo, pues su conjunto posible de valores

está limitado (macho y hembra), estos son informativos (el sexo acarrea consecuencias

fisiológicas y comportamentales) y la medida de la respuesta se asume independiente

entre observaciones (entre los distintos machos).

En contraste, el territorio de reproducción de un animal se suele considerar como una

variable de efecto aleatorio, pues aquellos que se muestrearon son normalmente una

submuestra aleatoria del conjunto de la población y la respuesta a analizar se espera

que esté correlacionada dentro de cada uno (la inversión parental que se mide en el

mismo territorio en distintos momentos temporales). En los modelos mixtos, los efectos

fijos se ajustan mediante parámetros como el intercepto y la pendiente en una regresión,

mientras que los efectos aleatorios son, estrictamente, variables aleatorias que no se

observan, pero cuya distribución puede estimarse mediante la varianza de una

distribución normal.

Los modelos mixtos permiten modelar la respuesta de un estudio

experimental u observacional como función de factores o covariables

cuyos efectos pueden considerarse tanto como fijos o aleatorios. Cada

modelo estadístico que contiene una media general𝜇, es un modelo

mixto por definición, ya que también contiene un término de error

aleatorio, y por tanto contiene ambos tipos de efectos. Sin embargo, en

la práctica, el nombre modelo mixto se reserva usualmente para

cualquier modelo que contiene efectos fijos distintos a 𝜇 y efectos

aleatorios diferentes a los errores aleatorios. (Balzarini et al.2004).

Además, Balzarini et al. (2004), dice que los supuestos clásicos de independencia y

homogeneidad de varianzas para los términos aleatorios del modelo lineal general, se

flexibilizan en el marco del modelo mixto. Tanto la estructura de correlaciones como la

49

presencia de varianzas heterogéneas pueden ser especificadas a través de la

modelación pues esta característica hace a los modelos mixtos muy interesantes.

Los modelos mixtos se adecúan bien en diferentes situaciones, como en la agricultura y

forestaría, como por ejemplo cuando existe algún tipo de estructura de bloqueo de

unidades experimentales que afecta las covarianzas entre observaciones. Ilustran este

tipo de situación aquellos estudios donde el material experimental se evalúa en varios

ensayos y por tanto es razonable asumir que existen correlaciones entre observaciones

del mismo ensayo. La modelación en el marco de los modelos mixtos maneja estas

correlaciones mediante la incorporación de variables aleatorias o mediante la modelación

directa de la matriz de covarianzas residual. Existen muchos beneficios que pueden

obtenerse con el uso de modelos mixtos. En algunas situaciones se incrementa la

precisión de las estimaciones. En otras se contempla mejor la estructura y se amplía el

espacio de inferencia, sobre todo cuando la estructura de los datos es jerárquica.

5.6.1. Ventajas

Brindan la posibilidad de analizar datos con estructuras de dependencia,

desbalances y varianzas heterogéneas.

Permite contemplar la falta de cumplimiento de los supuestos tradicionales y

modelar, de manera flexible, complicadas estructuras de datos.

Se incrementa la precisión de las estimaciones.

Se amplía el espacio de inferencia y se comprende mejor la estructura de datos.

Los modelos mixtos permiten la estimación eficiente del vector de parámetros

fijos �̂� que definen el patrón común de la población.

Predice de forma eficiente del vector de parámetros aleatorios 𝑏�̂� específico para

la unidad de muestreo 𝑖, que define el patrón común de desviación de los

componentes de la unidad con respecto de la media.

Descomposición de la varianza total en la varianza entre las unidades de

muestreo y la varianza dentro de cada unidad. Estimación de los componentes

de la varianza que definen las matrices de varianza estimadas �̂� y �̂�.

50

Calibración del modelo para una unidad 𝐾 no muestreada, al poder predecir el

vector de parámetros aleatorios 𝑏�̂� si se dispone de al menos una medición de

la variable de interés en la nueva unidad.

El procedimiento de los Modelos lineales mixtos amplía el modelo lineal general de

manera que los datos puedan presentar variabilidad correlacionada y no constante. El

modelo lineal mixto proporciona, por tanto, la flexibilidad necesaria para modelar no sólo

las medias sino también las varianzas y covarianzas de los datos.

El procedimiento Modelos lineales mixtos es asimismo una herramienta flexible para

ajustar otros modelos que puedan ser formulados como modelos lineales mixtos. Dichos

modelos incluyen los modelos multinivel, los modelos lineales jerárquicos y los modelos

con coeficientes aleatorios.

El objetivo al implementar un análisis basado en modelos lineales mixtos es la estimación

de los 𝛽′ y la predicción de los valores de los 𝑏′𝑖𝑠, además de estimar las componentes

de varianza.

El modelo dado por la expresión:

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒃 + 𝜺,(63)

Donde

𝒚: Es el vector n x 1[𝑦1𝑡, … , 𝑦𝑛

𝑡]𝑡 que contiene las observaciones medidas.

𝒙: Es la matriz n x p, cuyas filas son los vectores 𝑥𝑖𝑗.

𝜷 : Es el vector de parámetros fijos definido.

𝚭: Es la matriz en bloque diagonal cuyos bloques son las r matrices Ζ𝑖.

𝒃 : Es el vector [𝑏1𝑡 , 𝑏2

𝑡 , … . , 𝑏𝑟𝑡]𝑡 que incluye los 𝑞 − parámetros aleatorios para cada una

de las r parcelas, tal que 𝑏 ~ 𝑁(0, 𝐷).

𝜺 : Es un vector 𝑛 𝑥 1 que contiene los términos residuales del error, tal que 𝜀 ~ 𝑁(0, 𝑅).

51

En el caso más común 𝐷 es la matriz en bloque diagonal compuesta por las r matrices

𝐷𝑖(𝐷1 = ⋯ = 𝐷𝑖 = ⋯ = 𝐷𝑟) y 𝑅 es una matriz diagonal n x n, cuya única componente es

la varianza residual del modelo 𝜎𝑒2. [60]

El modelo mostrado en la ecuación (60) puede expresarse de manera más detallada,

así:

[ 𝑦𝑖1⋯⋮

𝑦𝑖𝑗

⋮𝑦

𝑖𝑛𝑖]

=

[ 1 𝑋𝑖11 𝑋𝑖1𝑘

1 𝑋𝑖21 𝑋𝑖2𝑘

⋮1⋮1

⋮𝑋𝑖𝑗1

⋮…

⋮𝑋𝑖𝑗𝑘

⋮𝑋𝑖𝑛𝑖𝑘]

[ 𝛽0

𝛽1

⋮𝛽𝑗

⋮𝛽

𝑘]

+

[ 1 𝑍𝑖11 𝑋𝑖1𝑟−1

1 𝑍𝑖21 𝑋𝑖2𝑟−1

⋮1⋮1

⋮𝑍𝑖𝑗1

⋮…

⋮𝑋𝑖𝑗𝑘−1

⋮𝑋𝑖𝑛𝑖𝑘−1]

[

𝑏𝑖0

𝑏𝑖1

⋮𝑏𝑖𝑗

⋮𝛽

𝑖𝑟−1]

+

[ 𝜀𝑖1𝜀𝑖2

⋮𝜀𝑖𝑗

⋮𝜀 𝑖𝑛𝑖]

(64)

Donde el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 sujeto de 𝑦 tiene 𝑛𝑖 observaciones: (𝑦𝑖1, 𝑦𝑖2, . . . , 𝑦𝑖𝑛𝑖 ) con:

𝒊 = 1, . . . , 𝑁, 𝑁 Es el número de sujetos.

La matriz 𝑍 puede expresarse como una matriz de bloques conformada por las

submatrices 𝑍𝑖 , con 𝑖 = 1, . . . , 𝑁.

𝒁𝑻𝑿𝑵𝒓 = [𝑍1 0 0

00

⋱0

0𝑍𝑁

](65)

Aquí, cada 𝑍𝑖 tiene dimensión 𝑛 𝑖 × 𝑟. Si el modelo es balanceado definiendo:

𝑛𝑖 = 𝑘, se tiene que 𝑇 = 𝑁𝑘, así el orden de 𝒁 será 𝑁𝑘 × 𝑁𝑟

Las matrices diagonales de varianza-covarianza 𝑅 y 𝐵, del error y del efecto aleatorio

respectivamente, pueden expresarse así:

𝑅𝑇×𝑇 = [𝑅1 0 0

00

⋱0

0𝑅𝑁

]𝑩𝑵𝒓𝑿𝑵𝒓 = [𝐷1 0 0

0 0

⋱0

0𝐷𝑁

](66)

52

Donde 𝑅𝑖 es la matriz de orden 𝑛𝑖 × 𝑛𝑖 , y si el diseño es balanceado podemos decir que:

𝑛𝑖 = 𝑘, luego, la matriz 𝑅𝑖 sería de orden 𝑘 × 𝑘. La matriz 𝐷𝑖es de orden 𝑟 × 𝑟.

Usualmente la estructura de varianza-covarianza se define a partir de la matriz 𝐷𝑖.

Como ejemplo particular se considera al intercepto como aleatorio, puede expresarse

así:

𝒀𝒊𝒋 = (𝜷𝟎 + 𝒃𝒊) + 𝒙𝒊𝒋𝜷𝟏 + 𝜺𝒊𝒋,(67)

Donde,

𝑌𝑖𝑗Es la respuesta del sujeto 𝑖 en la medida 𝑗, con 𝑖 = 1, . . . , 𝑛. y 𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑖 . 𝑋𝑖𝑗

Representa la covariable de la matriz de diseño 𝑋 de los efectos fijos para el sujeto 𝑖 en

la medida 𝑗, con 𝑖 = 1, . . . , 𝑁𝑦 𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑖, los valores 𝛽0𝑦 𝛽1son los efectos fijos del

intercepto y la covariable 𝑥𝑖𝑗 respectivamente, 𝑏 𝑖representa el intercepto aleatorio en el

modelo y 𝜀𝑖𝑗 Es el término de error para el sujeto 𝑖 en la medida 𝑗.

5.6.2. Estructura de Covarianza. El modelo más simple es el modelo de covarianza

independiente, donde el error está dentro del sujeto. La correlación es cero, y por tanto

𝜮 = 𝝈𝟐𝚰. El más complejo es el modelo de covarianza no estructurada, donde los errores

están dentro del sujeto para cada par de veces tienen su propia correlación única. Así

∑ =

[ 𝜎1

2 𝜎12 𝜎13 ⋯ 𝜎1𝑘

𝜎22 𝜎23 ⋯ 𝜎2𝑘

⋯⋱

𝜎3𝑘

⋮𝜎𝑘

2 ]

(68)

En algunas aplicaciones, la correlación dentro del sujeto es mínima o nula. Por ejemplo,

en algunos ensayos de nutrición agronómica y de animales grandes, las mediciones

repetidas pueden ocurrir a intervalos suficientemente largos, tales como mensuales, que

la correlación es efectivamente cero en relación con otra variación. En tales casos, la

estructura de independencia es aceptable. Sin embargo, esto debe comprobarse antes

de analizar los datos suponiendo errores no correlacionados.

53

La correlación está presente en la mayoría de los datos de medidas repetidas hasta cierto

punto. Sin embargo, la correlación no suele ser tan compleja como el modelo no

estructurado. El modelo más simple con correlación es la simetría compuesta,

denominada (CS)

∑ = 𝜎2

[

1 𝑃 𝑃 ⋯ 𝑃

1 𝑃 ⋯ 𝑃1 ⋯

⋱𝑃⋮1]

(69)

Suponemos que la correlación es constante independientemente del desfase entre pares

de mediciones repetidas. Obsérvese que la ecuación del modelo de parcela dividida

𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝒃𝒊𝒋 + 𝜸𝒌 + (𝜶𝜸)𝒊𝒌 + 𝒆𝒊𝒋𝒌(70)

Puede expresarse como

𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜸𝒌 + (𝜶𝜸)𝒊𝒌 + 𝜺𝒊𝒋𝒌(71)

Suponiendo que 𝜀𝑖𝑗𝑘 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 distribuido 𝑁(0, 𝜎2) y que el 𝑏𝑖𝑗 se distribuyen 𝑁(0, 𝜎2)

induce la covarianza de simetría compuesta de la 𝜀𝑖𝑗𝑘 para el 𝑖𝑗 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 sujeto. Más

específicamente, 𝑉𝑎𝑟[𝑌𝑖𝑗𝑘] = 𝜎𝐵2 + 𝜎𝑠

2 𝑦 𝐶𝑜𝑣[𝑌𝑖𝑗𝑘,𝑌𝑖𝑗𝑘′] = 𝜎𝐵2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾 ≠ 𝐾′, idéntico al

modelo de simetría compuesta (CS) con𝜎2 = 𝜎𝐵2 + 𝜎𝑠

2 𝑦 𝑃 = 𝜎𝐵2/(𝜎𝑠

2 + 𝜎𝐵2).

Típicamente, la correlación entre las observaciones es una función de su retraso en el

tiempo: las observaciones adyacentes tienden a estar más altamente correlacionadas

que las observaciones más distanciadas en el tiempo. Varios modelos pueden describir

adecuadamente en esta correlación. Quizás el más comúnmente utilizado es el modelo

de primer orden auto regresivo, o AR (1). Para el modelo AR (1)

∑ = 𝜎2

[ 1 𝑃 𝑃2 ⋯ 𝑃𝐾−1

1 𝑃 ⋯ 𝑃𝐾−2

1 ⋯⋱

𝑃⋮1 ]

(72)

54

El modelo AR (1) asume que 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 𝑃𝑒𝑖𝑗𝑘−1 + 𝑆𝑖𝑗𝑘, donde 𝑆𝑖𝑗𝑘~𝑁(0, 𝜎𝑠2) Se deduce que

𝜎2 =𝜎𝑠

2

1−𝑃2.Esto ayuda a explicar por qué los modelos de error independientes tienden a

subestimarse con la varianza del sujeto cuando la correlación entre los errores es no

despreciable.

Bajo el modelo AR (1), la correlación entre los errores dentro del sujeto adyacentes es 𝜌,

Independientemente de si el par de observaciones es el primero y segundo, segundo y

tercero, o (𝐾 − 1) veces𝐾 veces, mientras que, con el modelo no estructurado, cada par

tiene su propia correlación. La correlación es 𝑃2para cualquier par de errores 2 unidades

aparte, como el primero y el tercero. En general, los errores 𝑑 unidades aparte tienen

correlación𝑃𝑑. Obsérvese que el modelo AR (1) requiere estimaciones de sólo dos

parámetros, 𝜎2 𝑦 𝑃2, mientras que los modelos no estructurados requieren la estimación

de los parámetros𝐾 + 𝐾(𝐾 − 1)/2.

El modelo Toeplitz es similar al modelo AR (1) en el sentido de que pares de errores

dentro del sujeto separados por un retardo común comparten la misma correlación. Sin

embargo, los errores 𝑑 unidades aparte tienen correlación 𝑃𝑑en lugar de 𝑃𝑑. Así, para el

modelo Toeplitz,

∑ = 𝜎2

[ 1 𝑃 𝑃2 ⋯ 𝑃𝐾−1

1 𝑃 ⋯ 𝑃𝐾−2

1 ⋯⋱

𝑃⋮1 ]

=

[ 𝜎0

2 𝜎12 𝜎13 ⋯ 𝜎1,𝑘

𝜎02 𝜎21 ⋯ 𝜎2,𝑘

𝜎02 ⋯

⋱

⋮𝜎𝑘−1,𝑘

𝜎02 ]

(73)

El modelo de Toeplitz es menos restrictivo que el modelo AR (1), pero requiere

parámetros 𝐾 (𝜎2, 𝑃1, … , 𝑃𝐾−1)en lugar de sólo dos.

Los modelos AR (1) y Toeplitz tienen sentido cuando las observaciones están igualmente

espaciadas y la estructura de correlación no cambia apreciablemente con el tiempo. Un

modelo más general que preserva las características principales de estos modelos, pero

55

que permite un espaciamiento y un cambio desiguales a lo largo del tiempo, es el modelo

de ante-dependencia de primer orden, o ANTE (1). La estructura del modelo es

∑ =

[ 𝜎1

2 𝜎1𝜎2𝑃1 𝜎1𝜎3𝑃1𝑃2 … 𝜎1𝜎2𝑃1𝑃2 ⋯𝑃𝑘−1

𝜎22 𝜎2𝜎3𝑃2 … 𝜎2𝑘𝑃2𝑃3 ⋯𝑃𝑘−1

𝜎32 …

⋱⋮

𝜎𝑘−1𝜎𝑘𝑃𝑘−1

𝜎𝑘2 ]

(74)

Puede verse que el modelo ANTE (1) asume que la varianza entre las observaciones

cambia con el tiempo y que la correlación entre pares de observaciones es el producto

de las correlaciones entre momentos adyacentes de las observaciones, de modo que la

correlación puede cambiar con el tiempo. El modelo ANTE (1) requiere estimar

parámetros 2𝐾 − 1.

Otras estructuras pueden ser modificadas para acomodar variaciones heterogéneas en

el tiempo, incluyendo el modelo autor regresivo de primer orden y Toeplitz.

Todavía otra covarianza se deriva de combinar CS con AR (1). El componente CS

modela la variación entre las medias del sujeto y el componente AR (1) modela el

componente dentro del sujeto, condicional a un sujeto en particular, que incluye el efecto

aleatorio para el sujeto, con la estructura AR (1) impuesta a 𝑅. Por lo tanto, se puede

llamar AR (1) + RE. Tiene la forma matricial

∑ = 𝜎𝐵2

[

1 1 1 ⋯ 1

1 1 ⋯ 11 ⋯

⋱1⋮1]

+ 𝜎𝑠 2

[ 1 𝑃 𝑃2 ⋯ 𝑃𝐾−1

1 𝑃 ⋯ 𝑃𝐾−2

1 ⋯⋱

𝑃⋮1 ]

(75)

Donde 𝜎𝐵2 Es la varianza entre sujetos y𝜎𝑆

2 Es la variación condicional de un sujeto.

5.7. CRITERIO DE INFORMACIÓN AKAIKE (AIC)

En la derivación del AIC por Akaike (1974), de entrada, se considera la situación donde

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥|𝜃0), es decir, la densidad de probabilidad 𝑔(𝑥) verdadera se encuentra

56

incluida en la familia dada, {𝑓(𝑥|𝜃): 𝜃 𝜖 Θ ⊂ 𝑅𝑝} . Si 𝐾(𝜃0, 𝜃) denota 𝐼(𝑔, 𝑓(. |𝜃)) y además

sí 𝜃 esta suficientemente cercano a 𝜃0, 𝐾(𝜃0, 𝜃) se puede aproximar por

𝐾(𝜽𝟎, 𝜽𝟎 + 𝚫𝜽) ≈ 𝟏

𝟐𝚫𝜽´𝑰(𝜽𝟎)𝚫𝜽(76)

Donde,

𝐼(𝜃0) = ∫𝑔(𝑥)𝛿𝑙𝑜𝑔[𝑓(𝑥|𝜃0)]

𝛿𝜃

𝛿𝑙𝑜𝑔[𝑓(𝑥|𝜃0)]

𝛿𝜃 𝑑𝑥(77)

Y 𝛿𝑙𝑜𝑔[𝑓(𝑥|𝜃0)]

𝛿𝜃∶=

𝛿𝑙𝑜𝑔[𝑓(𝑥|𝜃)]

𝛿𝜃(78)

Con lo anterior se llega a que

𝐴𝐼𝐶 = −2𝜄 (𝜃𝑛,𝑘) + 2𝑘̂ (79)

El cual es el criterio de Akaike

5.8. CRITERIO DE INFORMACIÓN BAYESIANA (BIC)

El criterio de información Bayesiana (BIC) propuesto por Schwartz en (1978), ha sido

uno de los métodos más populares usado para la selección de modelos. Este es un

criterio de evaluación de modelos en términos de sus probabilidades posteriores.

Se denota

𝑩𝑰𝑪 = : −𝟐𝜾𝒏,𝒊(𝜽𝒏�̂�) + 𝒌𝒊𝐥𝐨𝐠 (𝒏)(80)

57

6. APLICACIONES

6.1. ASPECTOS GENERALES

En la ganadería es muy común realizar ensayos en los que se dispone de varias

observaciones del mismo individuo y se pueden tener también varios grupos; una de

estas situaciones se ve reflejada en la ganancia de peso de reces jóvenes, la cual se

mide del mismo animal repetidas veces, según el tiempo fijado y a ello se obtiene varias

mediciones de un mismo sujeto. A este tipo de estudio se le denomina medidas repetidas

y se utiliza en situaciones en las que la variable respuesta en cada unidad experimental

se mide en múltiples ocasiones y probablemente en condiciones experimentales.

Para este tipo de casos con diseños de medidas repetidas se realizará diversos métodos

estadísticos que se usan frecuentemente en estas situaciones, exponiendo sus

desventajas y ventajas ante las medidas repetidas; para ello se expondrá un análisis

detallado usando los datos que se encuentran en (Miroslav Kaps y William R. Lamberson,

2004). Los datos obtenidos son un estudio realizado con reces jóvenes, en el cual miden

su ganancia de peso aplicando dos tratamientos diferentes a dos grupos de reces en un

periodo de tiempo de 9 a 12 semanas, obteniendo así los datos esperados para un

análisis de medidas repetidas.

Fueron seleccionados 17 animales separados en dos grupos según el tratamiento que

se le aplico, es decir, el tratamiento “1” fue aplicado a los animales que van del 1 al 8, y

el tratamiento “2” fue aplicado a los animales que van del 9 al 17; estos tratamientos

fueron aplicados en cuatro semanas seguidas “semana 9, semana 10, semana 11 y

semana12”, obteniendo así su ganancia de peso obtenida por el tratamiento dado en

cuatro semanas, logrando así medidas a través del tiempo. Se realizaron tres tipos de

análisis para luego comparar cuál de ellos es el mejor, exponiendo sus ventajas y

debilidades ante este tipo datos. Este estudio se realizó usando el software estadístico

R-Project y.

58

A continuación, se mostrará el gráfico de perfiles, exponiendo el comportamiento de los

datos.

Figura 2. Tendencia de ganancia de peso por semana de los tratamientos 1 y 2.

Fuente: R-Project (2017)

Como se observa en la Figura anterior, vemos que el tratamiento “2” obtuvo más

ganancia a comparación del tratamiento “1”, a través de las semanas 9, 10, 11 y 12.

Ahora vamos a realizar la Figura de ganancia de peso por animal.

Figura. 3. Tendencia de ganancia de peso por semana de los 17 animales.


1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Tendencia de la ganacia de los animales por tratamiento

SEMANA

GA

NA

NC

IA M

ED

IA

9 10 11 12

TRATAMIENTO

2

1

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Tendencia de la ganacia por animal animales

SEMANA

GA

NA

NC

IA M

ED

IA

9 10 11 12

ANIMAL

9

15

17

12

16

10

11

3

13

2

7

14

8

1

4

5

6

59

Como se observa existe gran variabilidad entre los animales, ademas se ve que los

animales con mayor ganancia de peso corresponden en su mayoria al tratamiento 2 y

los de menor ganancia corresponden al tratamiento 1.

Para obtener información general de los datos se realizó un análisis descriptivo por

semena (tabla 1) y por tratamiento (tabla)

Tabla 4. Estadística descritiva por semana.

Semana Media Mediana Varianza Desviación

Estándar

9 1,22 1,2 0,016 0,13

10 1,31 1,3 0,051 0,22

11 1,44 1,4 0,075 0,27

12 1,6 1,6 0,074 0,27

Como se observa a medida que pasan las semanas el peso de los animales va subiendo

como lo refleja la media y mediana.

Tabla 5. Estadística descritiva por tratamiento.

Semana Media Mediana Varianza Desviación

Estándar

1 1,25 1,25 0,019 0,141

2 1,52 1,5 0,086 0,294

Como se observa el tratamiento 2 tuvo mejor ganancia de peso a comparación del

tratamiento 1, ádemas se mantine la variabilidad entre tratamientos y el tratamiento 2

posee mayor variabilidad.

60

6.2. ANÁLISIS DE VARIANZA “ANOVA”

El modelo a analizar es el siguiente:

𝒚𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋 + (𝜶𝜷)𝒊𝒋 + 𝜺𝒊𝒋𝒌 (81)

Dónde:

𝑦𝑖𝑗𝑘 : Es la variable respuesta (Ganancia de peso).

𝜇 : Es la media poblacional.

𝛼𝑖 : Es el efecto semana en el i- ésimo nivel.

𝛽𝑗 Es el efecto tratamiento en el j- ésimo nivel.

(𝛼𝛽)𝑖𝑗 : Es la interacción de los factores semana y tratamiento en eli, j - ésimo nivel.

𝜀𝑖𝑗𝑘 : Es el error que se distribuye normalmente con media o y varianza 𝜎2, 𝑁(0, 𝜎2).

Realizamos el ANOVA obteniendo los siguientes resultados,

Tabla 6. Anova

GRADOS

DE

LIBERTAD

SUMA DE

CUADRADOS MEDIA

F -

VALOR P - VALOR

TRATAMIENTO 1 1,25 1,25 39,14 4,56*10− 8

SEMANA 3 1,41 0,47 14,78 2,55*

10− 7

TRATAMIENTO*SEMANA 3 0,3 0,1 3,21 0,02

Como se puede observar en la interacción (TRATAMIENTO: SEMANA), hay efecto

significativo de interacción entre los niveles de factor semana y tratamiento, ya que su P-

valor es inferior al nivel de significancia escogido (0.05).

A continuación, se realiza el análisis de diagnóstico para ver qué tan bueno es el ajuste

del modelo que se aplicó.

61

6.2.1 Prueba de Normalidad

Figura. 4. Figura de normalidad Q-Q Plot.


Como se logra ver en la Figura, se puede decir que hay normalidad, ya que los puntos

se mantienen cercanos a la línea de normalidad. Ahora miremos el test de shapiro wilk.

Tabla 7. Prueba7. Prueba de normalidad Shapiro Wilk.

Datos: residuos Prueba de Normalidad

Shapiro Wilk

W= 0,9774 P-Valor = 0,2541

Según el test de Shapiro Wilk de normalidad, se puede decir que hay normalidad, ya que

el p-valor que arroja el test es superior a un nivel de significancia de 0.05, por lo tanto,

se acepta la hipótesis nula de normalidad.

6.2.2 Prueba de Homogeneidad

-2 -1 0 1 2

-0.2

0.0

0.2

0.4

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

Sa

mp

le Q

ua

ntile

s

62

Figura 5. Residuos vs predichos, para la Homoscedasticidad de varianzas.


Como se observa en la Figura es posible decir que no hay Homoscedasticidad de

varianzas, pero no es viable asegurar que no hay Homoscedasticidad, por lo tanto se

realizará un test de Levene.

Tabla 8. Prueba de Levene para Homoscedasticidad de varianzas.

Factor Grados de

Libertad

Suma de

Cuadrados

Media de

Cuadrados

F -

Valor

P -

Valor

Tratamiento 1 0,091 0,091 10,58 0,001

8

Semana 3 0,036 0,012 1,43 0,242

2

Tratamiento*S

emana

3 0,008 0,002 0,33 0,803

3

Residuales 60 0,516 0,008

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

-2-1

01

2

predichos

resi

duos

63

Según el test de Levene si hay igualdad de varianzas en “semana (p-valor= 0.24)” y en

la interacción “tratamiento: semana (p-valor=0.80)”, pero en “tratamiento (p-valor=

0.0018)” no hay igualdad de varianzas.

6.2.3 Prueba de Independencia

Figura 6. Figura residuos vs SEMANA, para la independencia.

Fuente: R-Proyect (2017)

En la Figura anterior se observa que no hay independencia, además vemos que los

residuos poseen dependencia positiva, ya que existe correlación entre los datos.

En conclusión, el análisis de varianza no se ajusta bien para datos con medidas

repetidas, igualmente cabe destacar que los datos son desbalanceados. Por lo tanto,

vemos a ver si con el método de análisis multivariado se pueda ajustar a este tipo de

datos.

6.3. ANÁLISIS MULTIVARIADO “MANOVA”

Para realizar este método estadístico los datos deben ser tomados como matrices, como

se muestra en el modelo,

𝒀 = 𝝁 + 𝑿𝜷 + 𝜺 (82)

-0.2 0.0 0.2 0.4

-10

12

34

56

residuos

SE

MA

NA

64

𝒀 : Esla matriz n x pde observaciones, n animales y p observaciones por animal a

intervalos fijos del tiempo.

𝝁:Es el vector de media n x 1.

𝑿𝜷 : 𝑋 es el vector nx1 de los tratamientos y 𝛽 es la matriz nxp de los parámetros de las

semanas 9, 10,11 y 12.

𝜺 : Es matriz nxp de los errores, que se distribuyen normalmente 𝑁𝑃 (0, 𝜎𝑃).

Tabla 9. MANOVA

DF PILLAI APROXIMACION F NUM

F

DEN

F

P -

VALOR

TRATAMIENTO 1 0,6189 4,8723 4 12 0,0144

RESIDUALES 15

Como se puede observar en el factor tratamiento hay diferencia significativa entre las

medias, ya que el p-valor dado es inferior al nivel de significancia (0.05).

6.3.1 Prueba de Normalidad.

Figura 7. Prueba de normalidad.


-2 -1 0 1 2

-0.2

0.0

0.2

0.4

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

Sa

mp

le Q

ua

ntil

es

65

Aparentemente se observa que hay normalidad en los datos, ahora se realizó una prueba

de normalidad “SHAPIRO-WILK”.

Tabla 10 Prueba de normalidad SHAPIRO WILK.

PRUEBA SHAPIRO-WILK

DATOS: Residuos

W= 0,9774, P - Valor= 0,2541

Vemos que, si existe normalidad, ya que el p-valor es mayor que el nivel de significancia

0.05.

6.3.2 Prueba de Homoscedasticidad.

Figura 8. Grafica residuos vs predichos, para la Homoscedasticidad de varianzas.

Fuente: R- Proyect (2017)

Como se observa en la Figura anterior, puede ser que no exista Homoscedasticidad de

varianzas, para estar seguros de dicha conclusión se realizó una prueba de Levene.

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

predichos

resid

uo

s

66

Tabla 11. Prueba de Levene.

DF PILLAI APROXIMACIÓN

F

NÚM F DEN F P

VALOR

TRATAMIENTO 1 0,6189 4,8723 4 12 0,0144

RESIDUALES 15

Como se observa el p-valor es inferior al nivel de significancia 0.05, es decir, que no hay

igualdad de varianzas, ahora se observa si hay independencia entre los datos.

6.3.3. Prueba De Independencia

Figura 9. Prueba de independencia.


En la Figura anterior se observa que no hay independencia, además percibimos que los

residuos poseen dependencia positiva, ya que existe correlación entre los datos. Por lo

tanto, se concluye que el método de MANOVA no se ajusta a datos con medidas

repetidas.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-2-1

01

2

y

resid

uo

s

67

Ahora estudiaremos si los modelos mixtos pueden ser la herramienta útil al analizar este

tipo de datos, ya que este método estadístico sirve para analizar datos correlacionados.

6.4. MODELOS LINEALES MIXTOS

El análisis de los modelos mixtos está basado en deducir y estimar el modelo que, con

un mínimo número de parámetros, se ajusta a los datos. Esto se logra modelando los

datos con diferentes tipos de correlación, asumiendo varianzas homogéneas o

heterogéneas y efectos aleatorios; seguido de estos se escoge el mejor modelo entre los

propuestos, ya sea por el criterio el AIC o el BIC, depende del enfoque que se tenga del

estudio de los datos.

Siguiendo con nuestro análisis, vamos a poner a prueba los siguientes modelos mixtos:

a. Errores independientes y homoscedásticos

b. Con semana como factor, estructura de simetría compuesta entre los errores del

mismo animal y varianza residual constante en el tiempo

c. Sin semana como factor, estructura de simetría compuesta entre los errores del

mismo animal y varianza residual constante en el tiempo

d. Sin estructura para las correlaciones entre errores provenientes del mismo animal

y varianza residual constante en el tiempo.

e. Con semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1

entre los errores del mismo animal y varianza residual constante en el tiempo.

f. Sin semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1 entre

los errores del mismo animal y varianza residual constante en el tiempo.

g. Con semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1

entre los errores del mismo animal y varianza residual diferente en los distintos

tiempos

h. Con semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1

entre los errores del mismo animal y varianza diferente en los distintos

tratamientos

i. Sin semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1 entre

los errores del mismo animal y varianza residual diferente en los distintos tiempos

68

j. Sin semana como factor, estructura de correlación Autorregresiva de orden 1 entre

los errores del mismo animal y varianza diferente en los distintos tratamientos

A continuación, se muestra los resultados de los modelos a analizar.

Tabla 12. AIC y BIC de los modelos escogidos.

Modelo LOGLIK AIC BIC

MODELO 1 9,58 -1,15 17,69

MODELO 2 25,14 -30,29 -9,34

MODELO 3 29,96 -47,93 -34,98

MODELO 4 33,2 -36,4 -4,99

MODELO 5 31,19 -42,37 -21,43

MODELO 6 36,39 -60,78 -47,83

MODELO 7 34,34 -42,68 -15,45

MODELO 8 33,78 -45,57 -22,53

MODELO 9 39,68 -60,36 -41,93

MODELO 10 37,88 -61,76 -46,65

Como se muestra en la tabla anterior hay dos modelos que pueden ser el indicado para

nuestro estudio, ya que poseen el AIC y el BIC más bajo a comparación de los demás, y

son los siguientes:

a. Modelo 6.

b. Modelo 10.

Para solucionar este problema se realiza una prueba de cociente de verosimilitud con

los dos modelos anteriores, tomando en cuenta que se toma el modelo “1” como modelo

reducido y el modelo “2” como modelo completo.

Formula:

Cociente de verosimilitud= 2*[LOGLIK (modelo completo) - LOGLIK (modelo

reducido)](83)

69

= 2*(37,88 –36,39)

= 2*(1,49)

=2,976

Para realizar esta prueba se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis:

𝑯𝟎: Que el modelo reducido es mejor, modelo 6 (Sin semana como factor, estructura de

correlación Autorregresiva de orden 1 entre los errores del mismo animal y varianza

residual constante en el tiempo).

𝑯𝟏: Que el modelo completo es mejor, modelo 10 (Sin semana como factor, estructura

de correlación Autorregresiva de orden 1 entre los errores del mismo animal y varianza

diferente en los distintos tratamientos).

Tabla 13. Resultados del coeficiente de verosimilitud.

MODELO DF AIC BIC LOGLIK TEST L.RADIO P VALOR

MODELO

6 1 6

-

60,78

-

47,83 36,39

MODELO

10 2 7

-

61,76

-

46,65 37,88

1 VS

2 2,9763 0,0845

De lo anterior, se concluye que el modelo reducido el modelo 6 es mejor a comparación

del modelo completo el modelo 10, es decir, se acepta la hipótesis nula, ya que el p-valor

es superior a 0.05. Por lo tanto, el modelo Sin semana como factor, estructura de

correlación Autorregresiva de orden 1 entre los errores del mismo animal y varianza

residual constante en el tiempo es el modelo que mejor se ajusta a estos datos. A

continuación, se realiza toda la inferencia del modelo escogido.

El análisis de varianza del modelo escogido se muestra a continuación

70

Tabla14. ANOVA del modelo mixto 6.

NUM

F

F - VALOR P -

VALOR

INTERCEPTO 1 1660,2351 0,0001

SEMANA 1 73,0478 0,0001

TRATAMIENTO 1 13,3711 0,0005

SEMANA*TRATAMIENTO 1 14,807 0,0003

Podemos concluir que si hay efecto significativo de interacción (valor p=0,0003)entre los

niveles de semana y tratamiento.

Ahora, se calculará la matriz de correlación a partir del Phi= 0.7460

AR (1) = [

1 0.7460 0.5565 0.41510.4151 1 0.7460 0.55650.5565 0.4151 1 0.74600.7460 0.5565 0.4151 1

](84)

Ahora, vamos a realizar la prueba LSD Fisher para interacciones.

Tabla 15. Prueba LSD de Fisher por interacciones

LSD Fisher (Alfa=0,05)

SEMANA TRATAMIENTO Medias E.E.

12 2 1,80 0,06 A

11 2 1,62 0,06 B

10 2 1,42 0,06 C

12 1 1,39 0,06 C D

9 2 1,26 0,06 D E

11 1 1,25 0,06 E

9 1 1,19 0,06 E

10 1 1,19 0,06 E

71

Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p > 0,05)

Según la prueba LDS de Fisher se observa que la interacción (SEMANA 12*

TRATAMIENTO 2), es mejor comparándola con las demás interacciones, ya que fue la

semana y tratamiento de mayor ganancia de peso registrado; además observemos que

las interacciones (SEMANA10 *TRATAMIENTO1) fue la que obtuvo menor ganancia de

peso.

Figura 10. Figura LSD Fisher


En la Figura podemos terminar de comprobar que la interacción es mejor; por ello, como

conclusión se dice que la interacción (SEMANA 12 * TRATAMIENTO 2), fue la que

obtuvo mayor ganancia de peso.

Falta el gráfico de residuos del modelo escogido (modelo 6)

Por último, miremos la siguiente Figura,

72

Figura 11. Variabilidad por animal.


Según lo observado en la Figura vemos que existe gran variabilidad entre los animales.

Ahora, miremos cómo se comporta la normalidad y homogeneidad con el modelo

escogido, pero primero se calcula los residuos y los predichos para realizar dichos

análisis, después de realizar los cálculos se realizaron la Figura de normalidad

homogeneidad,

Figura 12. Figura de normalidad


Residuals

AN

IMA

L

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

-0.2 0.0 0.2 0.4

73

Como se refleja en la Figura anterior hay normalidad en el modelo escogido.

Figura 13. Prueba de Homoscedasticidad.


Como se observa en la Figura anterior hay Homoscedasticidad de varianzas en el

modelo escogido.

74

7. CONCLUSIONES

Ya habiendo culminado el análisis de datos de medidas repetidas con metodologías

estadísticas como el análisis de varianza (ANOVA), análisis multivariado (MANOVA) y

los modelos lineales mixto (MLM), es viable concluir lo siguiente:

Se efectuó un minucioso análisis de datos utilizando el software estadístico R-

Project, logrando probar que procedimiento estadístico bajo la teoría de los modelos

mixtos puede ser más útil y viable enfrentando datos con correlación como las

medidas repetidas.

Los datos con medidas repetidas utilizados en las aplicaciones son datos que están

correlacionados entre sí, demostrado en la Figura 2, donde se expone la

variabilidad de cada animal, además en la Figura 1 se puede ver que el tratamiento

2 tuvo mayor ganancia de peso a comparación del tratamiento 1.

El procedimiento estadístico de análisis de varianza (ANOVA), no es el adecuado

para modelar este tipo de datos, ya que se incumple el supuesto de independencia,

pero a pesar de lo anterior si se cumplen los supuestos de normalidad y

Homoscedasticidad, no obstante sino se cumple el supuesto de independencia el

análisis de varianza no puede ser una herramienta útil en el estudio de los datos,

esto ocurre ya que los datos están correlacionados.

Al igual que en el análisis de varianza, el método estadístico de análisis multivariado

(MANOVA), pasa lo mismo, se cumplen los supuestos de normalidad y

Homoscedasticidad, pero no se cumple el supuesto de independencia, a causa de

que los datos de medidas repetidas son datos correlacionados entre sí, por tal

motivo el análisis multivariado (MANOVA), no es una herramienta útil a la hora de

analizar este tipo de datos.

75

Se utilizó los modelos lineales mixtos, a razón de que este tipo de metodología

estadística, modela datos con diferentes tipos de correlación y varianzas

heterogéneas u homogéneas; se llegó a que los datos que fueron de nuestro

estudio poseen correlación auto regresiva de orden 1, se afirma lo anteriormente

dicho porque se trabajó con diversos tipos de correlación y teniendo en cuenta el

criterio de información de Akaike (AIC), este tipo de correlación se ajusta al tipo de

datos que se utilizó en nuestro análisis de medidas repetidas.

Se realizó una prueba LSD Fisher por semana, tratamiento y su interacción

(semana*tratamiento), obteniendo como resultado que la semana 12 fue la mejor

semana de ganancia de peso comparándola con las semanas 9,10 y 11, además

se obtuvo que el tratamiento 2 fue el que mejor y mayor ganancia de peso tuvo y

por último se llegó a que la interacción (semana 12 * tratamiento 2) fue la que más

obtuvo mayor ganancia de peso a comparación de las demás interacciones.

76

RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS

Una de las metodologías que ha estado tomando bastante fuerza en los últimos años es

la de los datos funcionales (FDA), se propone entonces estudiar las medidas repetidas

en el tiempo mediante esta técnica, tomando las mediciones del mismo sujeto como una

función y ver si esta nueva metodología nos arroja un mejor resultado que la de los

modelos lineales mixtos.

77

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

R Core Team (2016). R: A language and environment for statistical computing. R

Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. UR http://www.R-project.org/.

Arnau-Gras, J. (2007). Estudios longitudinales de medidas repetidas. Modelos de diseño

y de análisis. Avances en medición, 5, 9-26. España, Barcelona.

Kaps, M., & Lamberson, W. (2009). Biostatistics for animal science. CABI Publishing.

Carmona, F. (2005). Modelos lineales. Universidad de Barcelona, España, Barcelona.

Cox, D. (1958). Planning of experiment. New York: John Wiley & Sons, Ltd.

Díaz, L. (2002). Estadística multivariada: inferencia y métodos. Facultad de Ciencias,

Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, D.C.

Di Rienzo, A., Macchiavelli, R., & Casanoves, F. (2009). Modelos mixtos en

Infostat. Tutorial, Grupo InFoStat, FCA, Universidad Nacional de Córdoba, AR.

García, P., Rojas, P., & Seco, G. (2007). Cómo elegir la mejor prueba estadística para

realizar un diseño de medidas repetidas. Revista Internacional de Psicología Clínica

y de Salud, 7(1), 153-175. España & Chile.

Gómez, S., Torres, V., García, Y., & Navarro, J. (2012). Procedimientos estadísticos más

utilizados en el análisis de medidas repetidas en el tiempo en el sector

agropecuario. Revista Cubana de Ciencia Agrícola, 46(1), 1.

Falcó, M. (2009). Herramientas estadísticas-comparación de más de dos muestras:

ANOVA (parte I). Revista Comillas. Modulo XIII. Madrid.

Kaps, M., & Lamberson, W. (2009). Biostatistics for animal science, 2 ed. CABI.

Littell, R., Stroup, W., Milliken, G., Wolfinger, R.., & Schabenberger, O. (2006). SAS for

mixed models. Capitulo V. SAS institute. USA.

Llobell, J., Navarro, M., & Pérez, J. (1996). Manual de psicología experimental, Capitulo

III: Diseño de medidas repetidas.Ariel Psicología.

Maxwell, S., & Delaney, H. (2004). Designing experiments and analyzing data: A model

comparison perspective (Vol. 1). Psychology Press. London, New York.

Mena, M. (2004). Alternativas de análisis estadístico en los diseños de medidas

repetidas. Psicothema, 16(3), 509-518. España.

78

Merino, A., & Castellanos, R. S. M. (1998). Análisis de datos en psicología II. 2 ed. Edit.

Pirámide. España.

Pulido, H., De la Vara, R., González, P., Martínez, C., & Pérez, M. (2012). Análisis y

diseño de experimentos. McGraw-Hill Interamericana.

Ruiz, M. (2004) Análisis de Medidas Repetidas. Revista Medicina Clínica 4;

122(Suplemento 1):51-8 Barcelona; España.

Seoane, J. (2004). ¿Modelos mixtos (lineales)? Una introducción para el usuario

temeroso. Etologuía. Ed 24. Madrid, España.

Steel, R., Torrie, J., & Martínez, R. (1985). Bioestadística: principios y

procedimientos (Vol. 2). McGraw-Hill Interamericana S.A. Bogotá.

79

ANEXOS

80

Anexo A. Rutinas hechas en el Software R-Project

datos =read.delim("clipboard")

datos

str(datos)

attach(datos)

interaction.plot(SEMANA,TRATAMIENTO,GANANCIA,

col=1:2,lwd=3,type="b",pch=1,ylab="GANANCIA MEDIA",ylim=c(1.0,2.0),

,xlab="SEMANA",main="Tendencia de la ganacia de los animales por tratamiento")

interaction.plot(SEMANA,ANIMAL,GANANCIA,col=1:17,

lwd=1,type="l",ylab="GANANCIA MEDIA",lty=1,

,xlab="SEMANA",main="Tendencia de la ganacia por animal animales")

########## ANALISIS UNIVARIADO (ANOVA)

SEMANA=factor(SEMANA)

TRATAMIENTO=factor(TRATAMIENTO)

ANIMAL=factor(ANIMAL)

anova=aov(GANANCIA~TRATAMIENTO+SEMANA+TRATAMIENTO:SEMANA)

summary(anova)

residuos=residuals(anova)

residuos

predichos=fitted(anova)

predichos

PRUEBA DE NORMALIDAD

shapiro.test(residuos)

qqnorm(residuos)

qqline(residuos)

PRUEBA DE HOMOCEDASTICIDAD

plot(predichos,residuos,ylim=c(-2,2))

abline(h=0)

abs.res=abs(residuos)

levene=aov(abs.res~TRATAMIENTO+SEMANA+TRATAMIENTO:SEMANA)

summary(levene)

81

PRUEBA DE INDEPENDENCIA

plot(residuos,SEMANA,ylim=c(-1,6))

######### ANALISIS MULTIVARIADO (MANOVA)

y=cbind(SEMANA.9,SEMANA10,SEMANA.11,SEMANA.12)

TRATAMIENTO= as.factor(TRATAMIENTO)

TRATAMIENTO

M1=manova(y~TRATAMIENTO)

M1

summary(M1,test="Wilks")

residuos=residuals(M1)

residuos

predichos=fitted(M1)

predichos


shapiro.test(residuos)

qqnorm(residuos)

qqline(residuos)


plot(predichos,residuos,ylim=c(-1,1))

abline(h=0)

abs.res=abs(residuos)

levene=M1

summary(levene)

PRUEBA DE INDEPENDENCIA

plot(residuos,SEMANA,ylim=c(0,3))

####### MODELOS LINEALES MIXTOS

######### Modelo1: Varianzas Residuales Homogéneas y errores independientes.




library(nlme)

82

modelo1=gls(GANANCIA~1+SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO)

summary(modelo1)

anova(modelo1)

######### Modelo2: Varianzas Residuales Homogéneas con semana como factor

y estructura de correlación Simetría Compuesta.

SEMANA=as.factor(SEMANA)

TRATAMIENTO=as.factor(TRATAMIENTO)

ANIMAL=as.factor(ANIMAL)

modelo2=gls(GANANCIA~1+SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO

,correlation=corCompSymm(form=~1|ANIMAL))

summary(modelo2)

anova(modelo2)

######### Modelo3: Varianzas Residuales Homogéneas sin semana como factor y

estructura de correlación Simetría Compuesta.

TRATAMIENTO=as.factor(TRATAMIENTO)

ANIMAL=as.factor(ANIMAL)

modelo3=gls(GANANCIA~1+SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO

,correlation=corCompSymm(form=~1|ANIMAL))

summary(modelo3)

anova(modelo3)

######### Modelo4: Varianzas Residuales Homogéneas sin estructura.

modelo4=gls(GANANCIA~1+TRATAMIENTO+SEMANA+SEMANA:TRATAMIENTO

,correlation=corSymm(form=~as.integer(rank(as.numeric(as.character(SEMANA))))|ANI

MAL))

summary(modelo4)

anova(modelo4)

######## Modelo5: Varianzas Residuales Homogéneas con semana como factor y

estructura de correlación Auto correlación de Orden 1.




83

library(nlme)

modelo.5=gls(GANANCIA~1+SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO

,method="REML",correlation=corAR1(form=~as.integer(as.character(SEMANA))|ANIMA

L))

summary(modelo.5)

anova(modelo.5)

######## Modelo6: Varianzas Residuales Homogéneas sin semana como factor y

estructura de correlación Auto correlación de Orden 1.



library(nlme)



L))

summary(modelo.6)

anova(modelo.6)

#### Se observara si es posible de que haya varianzas heterogéneas.

#box- plots of residuales por semana

plot(modelo1, SEMANA ~ resid(.),ylim=c(0,5),main=' plots of residuales por SEMANA')

#box- plots of residuales por tratamiento

plot(modelo1, TRATAMIENTO ~ resid(.),ylim=c(0,3),main=' plots of residuales por

TRATAMIENTO')

#### MODELOS HETEROGENEOS

### Modelo7. Varianzas Residuales Homogéneas con semana como factor,

heterogeneidad para semana y estructura de correlación Auto correlación de

Orden 1.




library(nlme)

84

modelo.7=gls(GANANCIA~1+SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO,

weights=varComb(varIdent(form=~1|SEMANA)),method="REML"

,correlation=corAR1(form=~as.integer(as.character(SEMANA))|ANIMAL))

summary(modelo.7)

anova(modelo.7)

### Modelo8. Varianzas Residuales Homogéneas con semana como factor,

heterogeneidad para tratamiento y estructura de correlación Auto correlación de

Orden 1.




library(nlme)


weights=varComb(varIdent(form=~1|TRATAMIENTO)),method="REML"


summary(modelo.8)

anova(modelo.8)

#### Modelo9. Varianzas Residuales Homogéneas sin semana como factor

heterogeneidad para semana y estructura de correlación Auto correlación de

Orden 1.



library(nlme)


weights=varComb(varIdent(form=~1|SEMANA)),method="REML"


summary(modelo.9)

anova(modelo.9)

#### Modelo10. Varianzas Residuales Homogéneas sin semana como factor,

heterogeneidad para tratamiento y estructura de correlación Auto correlación de

Orden 1.

85



library(nlme)


weights=varComb(varIdent(form=~1|TRATAMIENTO)),method="REML"


summary(modelo.10)

anova(modelo.10)

######## COCIENTE DE VEROSIMILITUD

anova(modelo.6, modelo.10)

####### Análisis Del Modelo6: Varianzas Residuales Homogéneas sin semana

como factor y estructura de correlación Auto correlación de Orden 1.

modelo6: Varianzas Residuales Homogéneas sin semana como factor y estructura de

correlación Auto correlación de Orden 1.



library(nlme)



L))

summary(modelo.6)

anova(modelo.6)

##### TEST DE LSD DE FISHER

library(agricolae)

Y=LSD.test(anova,"SEMANA")

Z=LSD.test(anova,"TRATAMIENTO")

### GRAFICA PARA ANALIZAR LA VARIABILIDAD.

plot(modelo.6, ANIMAL ~ resid(.))

### GRAFICAS DE NORMALIDAD Y HOMOGENEIDAD.


86


library(nlme)


,method="REML",correlation=corAR1(form=~as.integer(as.character(SEMANA))|A

NIMAL))

summary(modelo.6)

anova(modelo.6)

residuos.1=residuals(modelo.6)

residuos.1

predichos.1=fitted(modelo.6)

predichos.1


shapiro.test(residuos.1)

qqnorm(residuos.1)

qqline(residuos.1)


plot(predichos.1,residuos.1,ylim=c(-1,1))

abline(h=0)

abs.res.1=abs(residuos.1)

levene=aov(abs.res.1~SEMANA+TRATAMIENTO+SEMANA:TRATAMIENTO)

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