DETERMINACION DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO EN EL AIREWillinton Caicedo, Cesar Celis,

Daniel ArangurenLaboratorio de Optica y Acustica , Depto. de Fısica, Universidad Nacional, Bogota

16 de Junio del 2015

1. ResumenEn este informe se muestran los resultados experimentales obtenidos al medir la velocidad del sonido en el aire utilizando:un tubo con extremos abiertos y un tubo con un extremo cerrado. En ambos casos se determino la distancia de los modosnormales presentados por la onda sonora dentro del tubo para frecuencias entre (500-2500) Hz. Estas frecuencias fuerongeneradas con un generador de senales al que se conecto un parlante situado un extremo del tubo. Con los datos obtenidosse calculo la velocidad del sonido para ambos sistemas y se comparo con el valor teorico de 343 m/s medido para un medioa 20oc de temperatura.

2. AbstractIn this report the experimental results appear obtained on having measured the speed of the sound in the air using: a pipewith opened ends and a pipe with a tight end. In both cases I determine the distance of normal manners presented by thesonorous wave inside the pipe for frequencies between (500-2500) Hz. These frequencies were generated by a generator ofsigns to which I connect a placed speaker an end of the pipe. With the obtained information I calculate the speed of thesound for both systems and I compare with the theoretical value of 343 m/s measured for a way to 20oc of temperature.

3. IntroduccionLos tubos de cana, bambu o de cualquier otro tipo de planta cuyo tronco fuera hueco son los primeros instrumentosmusicales empleados por la humanidad. Su funcionamiento parece ser trivial: emiten sonido soplando por un extremo. Elaire contenido en el tubo entra en vibracion y emite un sonido caracterıstico.Las Frecuencias acusticas (entre 16 hz y 20.000 hz) generadas por los instrumentos de viento abarcan una amplia gamade notas musicales. El organo es un instrumento constituido por muchos tubos de distintas dimensiones y a cada uno deellos corresponde una sola nota. El tubo del organo es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. Este airefluye a mayor velocidad cuando esta ubicado entre una placa transversal situada al interior del tubo y al labio inferior delmismo. Las ondas que se propagan a lo largo del tubo mantienen una oscilacion uniforme haciendo que el tubo suene.Cuando los tubos estan en resonancia con la fuente de vibracion se generan ondas estacionarias en su interior. La fuentede la vibracion se encuentra en un extremo del tubo. Usualmente esta fuente emite un sonido complejo y las vibracionesdentro del tubo que no son resonantes son amortiguadas rapidamente.

4. Marco TeoricoEn los sistemas mecanicos se tienen frecuencias naturales de vibracion. Cuando se excitas un sistema mecanico en una desus frecuencias naturales de oscilacion, hay una transferencia maxima de energıa por parte de la fuente excitadora haciael sistema, y la amplitud de la vibracion aumenta hasta un maximo. En estas condiciones decimos que el sistema esta enresonancia con la fuente y nos referimos a la frecuencia particular en la cual esto ocurre como frecuencia de resonancia.La relacion entre la frecuencia f , la longitud de onda , y la velocidad v de la onda, que se propaga a traves del sistema es:

λ = Vs

F(1)

1

Se define una onda como una perturbacion o la vibracion que se propaga por el espacio. En general, las ondas pueden serclasificadas como transversales o longitudinales. En una onda longitudinal, el movimiento de oscilacion de las partıculasvibra en direccion paralela con respecto a la direccion que viaja la onda, como un claro ejemplo de onda longitudinal seencuntra el sonido. En una onda transversal, el medio vibra en direccion perpendicular a la direccion que viaja la onda.En los Sistemas mecanicos, como las columnas de aire en el interior de cavidades o tubos, de longitudes fijas, tienenfrecuencias resonantes particulares. La interferencia de las ondas que viajan hacia el interior del tubo y las ondas reflejadaspor el extremo cerrado, que viajan de regreso hacia la entrada, produce ondas longitudinales estacionarias, que tienen unnodo en el extremo cerrado y un anti-nodo en el extremo abierto.

Figura 1: Modos normales de vibracion para un tubo con extremos cerrados [?]

Donde N: nodo y A: antinodo.Las frecuencias de resonancia de una cavidad o tubo dependen de su longitud L, donde se ve que hay un cierto numerode longitudes de onda que se acomodan en la longitud del tubo en forma de nodos y anti-nodos. Puesto que cada lazocorresponde a una longitud de media-onda, la resonancia ocurre cuando la longitud del tubo es igual a un numero imparde cuartos de longitudes de onda, es decir, cuando L = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 , etc., o en general.

L = nλ/4, n = 1, 3, 5,

De donde, para tubos abiertos

f = n

2Vs

L(2)

para tubos o cavidades cerradas tenemos

f = 2n+ 14

Vs

L(3)

4.1. ResonanciaLa resonancia describe un estado en el cual una nota especıfica (o frecuencia) que estaba inactiva, comienza a vibrar enrespuesta a otra de frecuencia similar que este vibrando activamente. Cuando un sistema es capaza de vibrar en uno o masmodos normales y se aplica una fuerza periodica al sistema y la amplitud del movimiento resultante resulta ser mayor,y cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema, se dice que se haproducido una resonancia.

4.2. Ondas estacionarias sonorasLas ondas estacionarias son el resultado de la interferencia entre ondas sonoras longitudinales que viajan en direccionesopuestas. La columna de aire tiene un conjunto de modos normales de oscilacion y por lo tanto la columna de aire quese configura dentro del tubo tiene frecuencias cuantizadas. En un tubo cerrado en un extremo; el movimiento de la ondalongitudinal en el aire, al atravesar el tubo, es interrumpido y por tal motivo el extremo cerrado constituye un nodo dedesplazamiento. En la figura 1 se muestran los primeros modos normales que se presentan en un tubo con un extremocerrado. En un tubo cerrado en un extremo las frecuencias naturales de oscilacion conforman una serie armonica constituidasolo por multiplos impares de la frecuencia fundamental.En un tubo abierto ambos extremos son antinodos de desplazamiento; es decir, los extremos son puntos donde la amplitudde vibracion de las moleculas de aire es maxima. En la figura 2 se muestran los primeros modos normales para untubo con extremos abiertos. En el primer modo normal, la onda estacionaria se extiende entre dos antinodos adyacentes,cuya distancia corresponde a media longitud de onda. En consecuencia la longitud de onda es el doble de la medida de

2

la longitud del tubo. En un tubo abierto en ambos extremos, las frecuencias naturales de oscilacion forman una seriearmonica conformada por todos los multiplos enteros de la frecuencia fundamental.

Figura 2: Modos normales de vibracion para un tubo con extremos abiertos [?]

5. Proceso experimental5.1. Primera Parte- Cavidad con un extremo cerrado y otro abierto

El procedimiento experimental realizado para determinar las distancias de los modos normales presentados por unaonda sonora en un tubo con un extremo cerrado y un tubo con ambos extremos abiertos, se describe a continuacion. Enla figura 3 se muestra el montaje experimental empleado en la practica.

Figura 3: : Montaje experimental [?]

Se genera una onda de sonido utilizando un generador de ondas en nuestro caso el programa .online genarator y unparlante. Con el osciloscopio ”programa de celular Decibel th”se determina la frecuencia y amplitud de la onda generada,luego Se ubica el parlante en un extremo de un tubo de medida 0,7 m y diametro 3 pul con un extremo cerrado, con unalongitud inicial (L).En el extremo opuesto se introduce un microfono, el cual se puede desplazar libremente dentro deltubo. El microfono esta conectado a un pc donde con ayuda de un software, se detectan los maximos y/o mınimos de lasintensidades registradas por el microfono. Se mide la distancia a la que se encontraron los maximos y/o mınimos. Se varıala longitud (L) del tubo desplazando el piston hasta que el software indique la existencia de un maximo o mınimo para lanueva longitud del tubo. A partir de los datos obtenidos se calcula la velocidad del sonido en el aire para un tubo cerradousando la siguiente expresion:

v = 4Lf/n,Donde f : frecuencia de la onda generada,L: longitud del tubo hasta donde esta el extremo del piston, y n: modo

normal.

5.2. Segunda parte - Cavidad con ambos extremos abiertoSe repite el mismo procedimiento experimental realizado en la parte 1 con la unica diferencia que la ecuacion utilizada

para determinar la velocidad del sonido en el aire es:

3

f = v/2L

6. Resultados y Discusion6.1. Determinacion distancias nodalesLa determinacion experimental de las distancias nodales asociados al efecto de resonancia de las partıculas de aire dentrodel tubo ya sean dentro de un cavidad (tubo) de extremos abiertos o dentro del tubo con un extremo cerrado. Se tomaronvariando la frecuencia de salida de las ondas sinusoidales y registrando la distancia a la cual se encuentran los mınimosde intensidad, se pueden determinar los puntos nodales.

El rango de frecuencias de trabajo se determino contando la cantidad de nodos encontrados para diferentes frecuencias,estos datos son condensados en la siguiente tabla.

Cuadro 1: Conteo de Nodos (mınimos) para diferentes frecuencias

De acuerdo a lo mostrado en la Tabla (1), el mejor intervalo para el cual se pueden determinar distintas clases de nodoses el intervalo comprendido (500Hz − 2000Hz), el conteo de estos nodos se pude determinar analizando los diferentesmınimos asociados a las intensidades registrada por el microfono, un ejemplo del conteo de los nodos para las graficasobtenidas para cada una de las intensidades mostradas en la Tabla anterior, se muestra a continuacion.

4

Figura 4: Intensidades registradas a (500Hz)

Donde se puede apreciar que a (500Hz), se presentan 2 mınimos.

6.1.1. Distancias nodales sobre cavidad de con extremos abiertos.

Tal como se mostro anteriormente, dentro de un tubo o una cavidad cuyos extremos se encuentran abiertos es posibleencontrar que las posiciones de estos nodos varıan con las diferentes frecuencias, estas posiciones para diferentes frecuenciasse encuentran resumidas en la siguiente Tabla1.

Cuadro 2: Resumen Distancias nodales para diferentes frecuencias, cavidad con extremos abiertos

Donde es posible apreciar que entre mas alta sea la frecuencia, la cantidad de puntos nodales aumenta dentro de la cavidad,y mas aun se puede mostrar que tomando la distancia promedio entre los diferentes nodos de una misma frecuencia,se encuentra que esta distancia disminuye, conforme aumenta la frecuencia, este comportamiento es de esperarse puesconforme aumenta la frecuencia la longitud de onda ha de disminuir.

6.1.2. Distancias nodales sobre cavidad de con extremo cerrado.

La determinacion de las distancias odales sobre la cavidad en este caso con un extremo cerrado, se realizo de acuerdo almismo principio con el que se determinaron los nodos o los mınimos de intensidad para el caso de la cavidad con ambosextremos abiertos, los resultados obtenidos para este caso son presentados a continuacion en la siguiente Tabla.

1La tabla completa se encuentra en la seccion de anexos.

5

Cuadro 3: Distancias nodales para diferentes frecuencias, cavidad un extremo cerrado

6.2. Determinacion Velocidad del sonido en la cavidad, por distancias nodalesLa determinacion de la velocidad del sonido dentro de la cavidad resonante, se puede realizar de 2 formas, una de ellas esempleando la Ecuacion (1), donde la longitud de onda (λ), se puede calcular como (λ = 2Dnodal), o tambien de usando laEcuacion (2), para extremos libres o la Ecuacion (3), en caso un extremo cerrado.

6.2.1. Calculo velocidad del sonido, usando distancias nodales.

La velocidad del sonido dentro de la cavidad resonante se calculo usando la Ecuacion (1), donde (λ = 2Dnodal), indepen-diente de los extremos de la cavidad, estos resultados2 se muestran a continuacion:

Cuadro 4: Velocidad del sonido Cavidad con extremos abiertos

2Las incertidumbres mostradas durante el desarrollo del analisis de los resultados obtenidos durante la practica, son calculadas de acuerdo

a la siguiente Ecuacion 4f =√∑

i

(∂f(x1,x2..)

∂xi4xi

)2

6

Cuadro 5: Velocidad del sonido Cavidad con extremo cerrado.

Haciendo uso de los resultados obtenidos en las Tablas (4) (5), se logra determinar que la velocidad del sonido dentro dela cavidad con extremos abiertos es :

Vs = (341,3 ± 1,6)ms

(4)

En caso de la cavidad con un extremo cerrado se obtiene que la velocidad del sonido dentro de esta es de:

Vs = (345 ± 7,7)ms

(5)

De modo que comparando el promedio de las velocidades dentro de la cavidad, con la velocidad del sonido en la ciudadde Bogota, donde la temperatura promedio es de (287, 15K) y por lo tanto la velocidad del sonido en promedio es de(339,5 m

s ), se encuentra que:

Cuadro 6: Comparacion velocidad del sonido Bogota

Donde los resultados obtenidos por ambas cavidades concuerdan bastante bien con la velocidad del sonido en la ciudadde Bogota.

6.3. Calculo velocidad del sonido por aproximacion de onda estacionaria cavidad abierta.Para determinar la velocidad del sonido dentro de una cavidad resonante por medio de la aproximacion de ondas estacio-narias, es necesario hacer uso de las Ecuaciones (2) y (3), de las cuales se puede obtener una funcion de la longitud quedependa de los modos normales, como se muestra a continuacion.

L(n) = Vs

2f n donde n = 1, 2, 3, ... (6)

En caso de una cavidad con extremos abiertos, y en caso de una cavidad con extremos cerrados se obtiene:

L(n) = Vs

2f (2n+ 1) donde n = 1, 2, 3, ... (7)

De modo que realizando una determinando una pendiente (m) se puede obtener la velocidad del sonido dentro de lacavidad.

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6.3.1. Calculo velocidad del sonido cavidad con extremos abiertos.

El calculo de la velocidad del sonido dentro de la cavidad se puede encontrar haciendo uso de la Ecuacion (6), de modoque se puede obtener para cada uno de los datos mostrados en la Tabla (2), de modo que se obtienen graficas3 y ajustessimilares a los que se muestran a continuacion.

Figura 5: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (1000Hz)

Figura 6: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (1500Hz)3El ajuste mostrado en las graficas, se realizaron con ayuda del sofware numerico Scipy,

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Figura 7: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (2000Hz)

Realizando un analisis de todas las graficas obtenidas, como las que se mostraron anteriormente, existe un comportamientolineal de estas, ademas para todas las graficas la interseccion de estas con el eje y o en este caso con L, es practicamentedespreciable por lo tanto se puede usar la Ecuacion (6), para determinar la velocidad del sonido dentro de la cavidadcalculada para cada una de las frecuencias, estos calculos se muestran a continuacion.

Cuadro 7: Calculo Velocidad del sonido

Tal como se muestra en la Tabla (7), el valor que mejor representa la distribucion de velocidades obtenidas es el promediode las velocidades de estas, entonces se pudo determinar que la velocidad del sonido4 dentro del la cavidad es de:

Vs = (339 ± 4,86)ms

(8)

Velocidad que se ajusta de manera satisfactoria a la velocidad del sonido en Bogota, pues no difieren en mas de un (0,1 %),ademas el valor esperado o la velocidad del sonido a 14oC se encuentra dentro intervalo generado por la desviacion estandardel resultado.

4Debido a la dispercion en los resultados obtenidos para las velocidades, se uso la desviacion estandar como parametro de incertidumbre delos resultados obtenidos.

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6.3.2. Calculo velocidad del sonido cavidad con extremo cerrado.

Realizando un procedimiento similar al mostrado en la seccion anterior, solo que para el presente caso es necesario haceruso de la Ecuacion 7 y con esto se pueden obtener las siguientes graficas.

Figura 8: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (700Hz)

Figura 9: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (1000Hz)

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Figura 10: Grafica y ajuste lineal para frecuencia de (1500Hz)

De acuerdo con el ajuste, se puede determinar el valor de la velocidad del sonido, realizando este calculo para cada unade las frecuencias medidas durante el experimento se logra obtener la siguiente Tabla.

Cuadro 8: Calculo Velocidad del sonido

Tal como se muestra en la Tabla (8), el calculo que mejor representa la velocidad del sonido calculada dentro de la cavidadcon un extremo cerrado es:

Vs = (344,1 ± 6,3)ms

(9)

al realizar una comparacion con la velocidad del sonido en Bogota, se encuentra que este valor difiere en un (1,5 %) conrespecto a la velocidad promedio del sonido en Bogota.

7. Conclusiones- De acuerdo con lo observado solo se puede usaron rango de frecuencias entre los (500Hz) y los (2000Hz), este rango

de frecuencias concuerda con con la experiencia teorıa pues entre mas baja sea la frecuencia es mas larga la longitudde onda, lo que en el experimento se tradujo en no poder determinar mininos dentro del la cavidad o el Tubo usado.

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- Al determinar la velocidad del sonido usando el promedio de las distancias nodales, se obtienen resultados muyparecidos a la velocidad esperada del sonido a (14oC), pues estos resultados no difieren en mas del (2 %), conrespecto a esta.

- Como se logra observar, los resultados obtenidos para las distancias nodales y haciendo uso de un ajuste lineal, seencuentra que el valor mas lejano al valor esperado de la velocidad del sonido, se ubican durante los experimentoscon un extremo cerrado, esto claramente indica la dificultad en la medicion de estos valores, dentro del laboratorio,pero vale la pena aclarar que aun con esas dificultades el valor real se encuentra dentro del intervalo de incertidumbrede los resultados encontrados.

- Es posible observar que los resultados que mas se acercan al valor esperado de la velocidad del sonido en Bogota,son los tomados con los extremos abiertos de la cavidad, pues experimentalmente, es mas sencillo la determinacionde los mınimos dentro de la cavidad.

Referencias[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidaddelsonido

[2] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/acustica/tubos/tubos.htm

[3] https://es.wikipedia.org/wiki/Ondaestacionaria

[4] http://www.scipy.org/

[5] French A.P, White H.E Vibraciones y Ondas Editorial Reverte ,1974.

[6] http://histoptica.com/apuntes-de-optica/lentes-opticas/vidrio/refraccion-numero-de-abbe/

8. Anexos

Cuadro 9: Distancia nodales cavidad con extremos abiertos

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