VEINTEMatemticos celebres

Francisco Vera

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PresentacinLas pginas de este libro exponen en forma clara y didctica la vida y obra de los matemticosms clebres, ubicndolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo quesiguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposicin en que se desarrollaron.

De esta manera, el lector lograr una fcil comprensin del valor y las influencias de unastendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradjicos.

El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito 20matemticos clebres con un criterio gil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el accesode vastos sectores de pblico a una actividad cientfica realmente fascinadora.

Preparado por Patricio Barros

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PrlogoEn mayo de 1941, cuando apenas mis pulmones haban empezado a respirar el aire cimero dela sabana santaferea, en un nuevo avatar de mi exilio, el Ministerio de Educacin Nacional deColombia me hizo el honroso encargo de consumir un turno en el cielo de conferencias queacababa de organizar la Direccin de Extensin Cultural y Bellas Artes, tendientes a "liquidar laetapa de la cultura esotrica y misteriosa que no quiere rebasar jams el limite inamovible delos cenculos o los o de los salones exclusivistas".

Al conocer este criterio, pblicamente expresado por el ministerio del que depende lainstruccin oficial colombiana, y debiendo versar mis conferencias sobre Matemtica, se meplante el problema de cmo hablar de esta ciencia sin lanzarme tiza en ristre contra el tableroy de espaldas al pblico, porque se trataba, precisamente, de todo lo contrario: volver laespalda al tablero y dar la cara al pblico.

De todas las disciplinas cientficas la Matemtica es, acaso, la ms difcil de exponer ante unauditorio no profesional tanto por el lenguaje propio de ella como por el inevitable empleo desmbolos, cuya significacin precisa exige una preparacin por parte del que escucha para queel que habla no corra el riesgo de propagar ideas falsas ni incurra en la responsabilidad deproducir un poco de barullo mental aunque le guen las mejores intenciones.

Para soslayar estas dificultades en cuanto a las lneas generales de mi faena, y para no salirmedel tono impuesto por su carcter divulgador, hu de las cuestiones propias de lecciones dectedra y no de conferencias enderezadas a un pblico culto, pero heterogneo.

Ahora bien; huir de las cuestiones matemticas no es lo mismo que huir de los matemticos, elconocimiento de los cuales,, como hombres de carne y hueso, tiene el mismo y, a veces,mayor inters que su conocimiento como matemticos, pues que la Matemtica no es unacreacin ex nihilo, sino un producto de fabricacin humana que depende, por tanto, delcontenido biolgico del productor; y si es interesante conocer la obra de un hombre, que es loque queda, no lo es menos conocer la vida de ese hombre, que es la que no queda.

Por estas razones, al aceptar la colaboracin en las tareas de divulgacin cientfica delMinisterio de Educacin Nacional de Colombia, orient mi labor hacia la biografa de losgrandes matemticos en busca de temas que, sin desbordar el cuadro de mis actividades,pudieran interesar a las personas que frecuentan el teatro de Coln de Bogot: lugar elegidopor el ministerio para he conferencias. Creo que los encontr, y me dar por satisfecho si nodefraud por completo la curiosidad de mis oyentes de ayer y no defraudo la de mis lectores dehoy.

A los grandes matemticos elegidos los agrup por parejas, buscando unas veces elparalelismo o el sincronismo de sus vidas, y otras el contraste entre sus direccionesideolgicas: en el primer caso para observar su doble influencia en el desarrollo de laMatemtica, y en el segundo para encontrar un punto de convergencia, a veces paradjico: quela montaa no se destaca sin el valle ni la luz sin pinceladas de sombra.

Algunos de los asistentes a aquel cursillo tuvieron la gentileza de facilitarme las notas quehaban tomado del mismo. Con ellas y mis guiones personales pude reconstruiraproximadamente las conferencias, que vieron la luz en Barranquilla, 1942, en unareducidsima edicin de la que no queda ms que el ejemplar de capillas, que conservo, y que,corregido y despojado de alusiones circunstantes, entrego hoy a la Compaa General FabrilEditora, que me hace el honor de publicarlo.

Francisco Vera

Buenos Aires, noviembre de 1959

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Captulo primeroLOS DOS MATEMTICOS MS JVENES DE LA HISTORIA

ABEL Y GALOIS

Este ensayo est dedicado a dos matemticos ilustres entre los ms ilustres, geniales entre losms geniales, conocidos, naturalmente, de todos los que se dedican a la Matemtica; perodesconocidos, en general, de los no matemtica, por la sencilla razn de que las creaciones,que tal es el nombre adecuado a sus partos sublimes, caen en el campo del Anlisis, disciplinaal margen de los estudios bsicos de la cultura media.

Las vidas de estos dos matemticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la penadivulgar; vidas ligeramente asincrnicas, pero de tal paralelismo que estn pidiendo la plumade un nuevo Plutarco que sepa, adems, calar hondo en los recovecos psicolgicos de lapersonalidad humana. Son dos vidas pequeitas: de veinte aos la una, de veintisis la otra;pero la una produce una teora de grupos que invade hoy todas las ramas de la Matemtica yempieza a invadir la Fsica; la otra produce un teorema que "abre un nuevo captulo en lahistoria del lgebra, y las dos estn llenas de episodios que, como los de la, vida de NuestroSeor Don Quijote, unas veces nos hacen rer y otras veces nos hacen llorar. Aludo a Galois ya Abel, muertos ambos en plena juventud. Los segmentos que grficamente, representan susvidas tienen un trozo superpuesto que dura dieciocho aos: desde 1811, fecha del nacimientode Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, trozo que constituye, al propio tiempo, unode los perodos ms densos de la historia de Europa: perodo de revoluciones polticas, deluchas filosficas, de mejoramientos econmicos, de adelantos cientficos y de ansias delibertad en la plena eclosin romntica del primer tercio del siglo XIX.

En ente ambiente naci, vivi y muri Galois y este ambiente respir tambin Abel durante susviajes por el centro de Europa, cuando hasta los fros fiordos de su Noruega natal an nohaban llegado las chispas encendidas del romanticismo: esa brillante rosa pomposa cultivadaen los jardines amables de Francia -patria de Galois- como reaccin contra el falso idealismode la poca inmediatamente anterior.

Niels-Henrik Abel naci en el presbiterio de Find, dicesis de Cristiansad, el 5 de agosto de1802, y era hijo de Soren-Georg Abel y de Ana Mara Simonsen. Al ao de nacer Niels-Henriksu padre fue nombrado pastor de Gjerrestad, donde el pequeo aprendi las primeras letras ydonde permaneci hasta 1815, fecha de su ingreso en la escuela catedralicia de Cristiana.

Cuando Abel tena nueve aos nace Evaristo Galois en Bourg-la-Reine el 25 de octubre de1811. El padre de Abel era un hombre austero y hogareo, alejado de toda preocupacinmundana, mientras que el de Galois era un fino espritu dieciochesco que lo mismo componacupls galantes que representaba melodas de saln. Ambos tienen, sin embargo, un puntocomn: su actuacin en la cosa pblica: el padre de Abel como miembro del Storthing y el deGalois en el tumultuoso perodo de los Cien Das.

La infancia de Abel se desarrolla en aos de pleno dramatismo en Noruega y la de Galoisconoce el Terror blanco. Noruega era entonces una lejana posesin de la corona deDinamarca, en donde estaban la Universidad y el Gobierno; las guerras con Inglaterra y conSuecia haban asolado el pas, y cuando poda dedicarse a reconstruir su vida interior y cultivaruna ciencia autnoma a la sombra de la Universidad de Cristiana, fundada en 1811, Noruegafue tratada como una mercanca y, separada de Dinamarca, qued unida a Suecia, como pasvasallo, el ao en que Abel entr en la escuela catedralicia de la capital al que siguieron dos deruina y de miseria: el ao de 1815, en que la atencin de Galois era ya atrada, en unapequea ciudad de la dulce Francia, por los comentarios que labios paternales ponan a lafirma de la Santa Alianza, a las actividades de los jesuitas, cuya orden haba sido restablecidael ao anterior, y a las noticias espantables que llevaban los correos de Pars.

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Dos aos despus, la lejana Noruega, envuelta en hielos y en nieblas, quiso convertirse enpas independiente dndose una Constitucin y eligiendo como soberano a un prncipedinamarqus que, dbil de carcter para dirigir un movimiento nacional, renunci a la corona, yNoruega tuvo que cargar con una parte de la deuda pblica de Dinamarca.

En esta atmsfera, nada propicia para el cultivo de la Ciencia, vivi Abel su primera vida deestudiante. Era un muchachito plido, de frente ancha, cabellos alborotarlos y profundos ojosinteligentes que tenan siempre una mirada vaga y lejana: mirada de ensueo que quierediluirse en la tristeza infinita de un ideal inasequible.

En 1818 conoce al profesor Bernt Holmbo, su primer maestro, su mejor amigo y editordespus de sus obras pstumas, el cual, viendo que Abel estaba dotado de excepcionalescualidades para la investigacin matemtica, le dio algunas lecciones particulares y lo preparpara el ingreso en la Universidad. Ya haba pasado el periodo de clasificacin y sistematizacinde los conocimientos matemticos iniciado por Euler, cuyas obras dio Holmbo a leer a Abel, yambas, maestro y discpulo, comentaron el Tratado de Clculo Diferencial o Integral de Lacroix,la Geometra de Legendre y las Disquisitiones arithmeticae de Gauss, obra de difcil lectura acausa de su estilo sinttico que ha hecho decir con razn que es un libro cerrado con sietesellos, como el del Apocalipsis. La obra de quien ha pasado a la historia de la Ciencia con eljusto calificativo de princeps mathematicorum, impresion profundamente a Abel, que sintitanta admiracin por el matemtico como aversin por el hombre. "Gauss, deca, hace lo que elzorro: borra con la cola la huella de sus pasos", aludiendo a la forma de los trabajos delmatemtico alemn, que suprima deliberadamente muchas de las proposiciones intermediasutilizadas para llegar a sus conclusiones, punto de vista completamente opuesto al de otro granmatemtico: Lagrange, que deca que un matemtico no ha comprendido su propia obra hastaque no la ha hecho suficientemente clara para podrsela explicar a la primera persona que veaal salir a la calle.

Con el bagaje cientfico a que se acaba de aludir, el joven Abel se preparaba para su ingresoen la Universidad cuando muri su padre, el ao 1820, dejando a su numerosa familia: esposa,seis hijos (Niels-Henrik era el segundo) y una hija, en la ms angustiosa situacin econmica.

Era preciso un gran amor, una verdadera pasin por la Matemtica, ciencia tan escasamenteproductiva, para perseverar en su estudio en aquellas condiciones, a las que se agregaba lapobreza de la Universidad de Cristiana, cuyas ctedras -nico puesto a que poda aspirar unmatemtico puro- estaban mal retribuidas; pero Abel, que llevaba encendida en la frente laantorcha de la inquietud espiritual y senta en su alma un ansia incontenible de superacin, nocej en su empeo, y en medio de las mayores dificultades y de apuros econmicos sin cuento,ingres en la Universidad en julio de 1821, y dos aos ms tarde empez a publicar susprimeros trabajos en francs, convencido de la importancia cientfica de este idioma y de lainutilidad del suyo materno para darse a conocer en el mundo matemtico.

Este mismo ao, 1823, Galois gan media beca en el Colegio de Reims y poco despus setraslad a Parla para estudiar en el Liceo Louis-le-Grand, donde tuvo lugar el primer incidentede su azarosa vida. En su expediente escolar, iniciado al empezar la enseanza secundaria, selee esta nota: "Es dulce, lleno de candor y de buenas cualidades, pero hay algo raro en l." Enefecto, Galois era un raro. A pesar de sus doce aos, discuta violentamente sobre poltica,interesndose por la situacin de Francia. Sus frases, que salan como saetas de sus labiospueriles, tenan trmolos de emocin y palpitaba en ellas un ansia de libertad que haca torcerel gesto al director del Liceo, terrible realista.

Cuando no hablaba de poltica, tema que lo volva agresivo, Galois era un adolescente dulce ysoador. Pocos meses despus de su entrada en el Liceo, dice su expediente: "Nada travieso;pero original y singular; razonador"; y en las notas de fin de curso se consignan estas frases:"Hay algo oculto en su carcter. Afecta ambicin y originalidad. Odia perder el tiempo enredactar los deberes literarios.

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Slo es verdad, en parte, este juicio. Cierta la originalidad y la ambicin; falsa su aversin porla literatura. Galois lea no slo a los escritores de su tiempo, sino tambin a los clsicos, ydiscuta en las tertulias literarias de la poca.

Vernier, profesor de Matemtica del Liceo, fue quien descubri al futuro genio. "La locuramatemtica domina a este alumno escriba en su informe de fin de curso, y sus padres debandejarle estudiar Matemtica. Aqu pierde el tiempo, y todo lo que hace es atormentar a susprofesores y atormentarse a s mismo

Tena razn Vernier. A poco de estar en el Liceo, Galois inspiraba a sus profesores ycondiscpulos una mezcla de temor y clera. Suave y violento, dulce y agresivo a un mismotiempo, aquel nio de doce aos era la encarnacin de una paradoja viva. Por aquellos das,las enconadas luchas polticas de la calle tuvieron eco en el Liceo, y Galois capitane un grupode revoltosos. Fcil es adivinar la consecuencia: el joven Evaristo fue expulsado del Liceo.

No por eso se enfri la amistad de Vernier, quien le aconsejaba que trabajase ordenada ymetdicamente. Imposible; Galois era la encarnacin del desorden y del frenes.

Abel, en tanto, guiado por Holmbo, estudiaba sistemticamente, y el ao en que Galois fueexpulsado del Liceo, Abel obtuvo una beca para realizar un viaje a Copenhague a fin deponerse en relacin con los famosos profesores Degen y Schmidten. Se instal en casa de unto suyo: el capitn Tuxen, desde donde sostena frecuente correspondencia cientfica conHolmbo. En una de sus cartas, y en medio de una exposicin de teoras matemticas, seencuentra esta frase: "Las mujeres de esta ciudad son espantosamente feas", y como si subondad, que era una de sus cualidades caractersticas, se sintiera herida por tan espontneo ycruel juicio acerca de la belleza de las dinamarquesas, agrega: "pero son graciosas"; y, sin darms importancia al asunto, sigue escribiendo de Matemtica con aquella su letra apretada ymenudita que fue el terror de los tipgrafos.

El 29 de marzo de aquel ao, 1824, Abel consigue una pensin de doscientos speciedaleranuales durante un bienio para estudiar en el extranjero, y al poco tiempo public una memoria,no incluida en sus obras completas, sobre las ecuaciones algebraicas en la que se demuestrala imposibilidad de resolver la ecuacin general de quinto grado, siendo, por consiguiente, elprimero que puso en claro esta importante parte de la teora de ecuaciones y haciendo undescubrimiento que Legendre consider como el ms trascendental que hasta entonces sehaba hecho en el Anlisis.

Abel edit esta memoria por su cuenta. Era pobre, muy pobre, tan pobre que fue la pobrezaquien lo mat. La impresin de aquel trabajo, el primero suyo de envergadura, era cara, y Abeltuvo que suprimir algunas proposiciones a fin de que el original no ocupase ms de mediopliego, que sali de las prensas de Grndahl, segn las noticias que nos ha transmitidoHansteen en el Illustreret Nyhedsblad de 1862, pero lo ms triste es que, adems de suprimirproposiciones matemticas en el texto, Abel tuvo que suprimir alimentos en el estmago parapagar la impresin.

En aquella memoria minscula, escrita con la mxima ilusin por un joven de veintids aos,est el germen de uno de los teoremas ms importantes del lgebra: el germen, porque habaun error inicial que, corregido por el propio Abel, fue el origen del teorema que lo ha hechoinmortal, error fecundo como el cometido despus por Kummer, que le gui al descubrimientode sus nmeros ideales.

El ao en que Abel hizo su primera genial incursin en el campo del Anlisis, cay en manosde Galois la Geometra de Legendre. Tena entonces trece aos y ley con avidez y de un tirnla obra, asimilando en pocos meses lo que costaba dos aos a los buenos estudiantes. Enlgebra fue otra cosa: slo dispona de un manual vulgar. Lo tir descorazonado, y se dedicpor su cuenta a leer a Lagrange.

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Y la revelacin fue. Legendre y Lagrange precipitaron su vocacin. Como el pintor florentino,Galois pudo tambin exclamar: "Anch'io sonno, matematico". Si Jos Enrique Rod, que tanbellsimas pginas ha escrito en sus Motivos de Proteo sobre el Anch'io, hubiera conocido lavida de Galois, habra inmortalizado el momento en que ste, leyendo a Legendre, comprendique "la vocacin es la conciencia de una aptitud determinada".

Entonces, decidi prepararse para el ingreso en la Escuela Politcnica, labor que simultaneabacon otras actividades. Intervena en las discusiones artsticas, dividida la opinin en dosbandos: los partidarios del viejo Ingres, que haba expuesto El voto de Luis XIII, y los adictos aljoven Delacroix con su Matanza de Scio, discusiones que en vano intent cortar el Gobiernoadquiriendo el cuadro del joven y concediendo la Legin de Honor al viejo; lea las odaslacrimgenas de Lamartine, que acababan de aparecer, y odiaba por igual a los bonapartistas,para quienes era sagrada la memoria de Napolen, cuya carne se pudra ya en Santa Elena, yal conde de Artois, viejo testarudo y fantico, de poca inteligencia y mucha mala intencin, queacababa de suceder a Luis XVIII, como si el matemtico en cierne hubiera adivinado lo caroque iba a pagar Europa el delirio imperialista del corso audaz y la sangre francesa que haraverter Carlos X.

Abel, por su parte, haba conseguido que le ampliaran a seiscientos speciedaler su pensindurante otros dos aos y march a Berln, adonde lleg a fines de 1825. Inmediatamente fue avisitar a Adam Crelle, a quien entreg un ejemplar de su memoria sobre la ecuacin de quintogrado. Crelle lo recibi framente. Aquel joven plido, de mediana estatura, dbil complexin,ojos profundos y aspecto melanclico, predispona a la simpata, pero su descuidado atuendopersonal puso en guardia a Crelle, que se apercibi a un inminente asalto a su bolsillo. Seequivoc; y, cuando en visitas sucesivas se convenci de los profundos conocimientos deljoven noruego, le invit a acudir a su casa todos los lunes para hablar de Matemtica y ormsica. Entre un minu de: Mozart y un trozo de Rossini, cantado por una fraulein de ojosazules y trenzas rubias, entre un lied de Schubert, que a la, sazn triunfaba en Viena, y unacantata de Bach, en el saln de Crelle se discutan las cuestiones matemticas del da y secomentaban los chismes de los matemticos. All conoci Abel a Dirksen y a Steiner y all supoque Jacobi, que ignoraba sus investigaciones, haba demostrado que la solucin de la ecuacinde quinto grado reducida a la forma:

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dependa de una cierta ecuacin de dcimo grado; pero tambin supo que el gran matemticoprusiano dijo con plausible honestidad cientfica: "Abel est por encima de mis elogios y porencima de mis propios trabajos". Despus, al correr de los aos, ambos habran de compartir lagloria de la creacin de la teora de funciones elpticas y el Gran Premio de Matemtica de laAcademia de Ciencias de Pars: demasiado tarde para Abel porque el Premio se adjudic alao siguiente de morir y lo cobr su madre.

La amistad con Adam Crelle fue estrechndose. Muchas tardes paseaba con l y con Steinerpor los alrededores de Berln, y las gentes, al verlos, solan decir: "Ah va Adam con Can yAbel". El papel de Can le tocaba a Steiner que, por cierto, era un infeliz. De esta amistad nacila primera revista del mundo dedicada exclusivamente a la investigacin matemtica: el Journalfr reine und angewandte Matematik, que todava se publica.

Durante aquel ao y parte del siguiente, Abel viaj por Alemania. "Acaso me decida, escribeHolmbo, a quedarme en Berln hasta fines de febrero o marzo, en que ir, por Leipzig o Halle,a Gotinga, no por ver a Gauss, que debe tener un orgullo insoportable, sino por estudiar en laexcelente biblioteca de su Universidad."

Por aquellos das vac una ctedra de Matemtica en Cristiania y se pens en l; pero estabaen el extranjero y, adems, dice el informe, "no podra ponerse al alcance de la inteligencia delos jvenes estudiantes". Se la dieron a Holmbo.

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Luego de visitar varias ciudades alemanas, se sinti atrado por el prestigio de Pars y se dirigia la capital de Francia, adonde lleg en junio de 1826. Su nombre era ya conocido de Galois,que haba ledo algunos de sus trabajos, pero su estancia en la vieja Lutecia pas inadvertida.Apenas le hicieron caso por creerle oriundo de un pas semisalvaje, lo que hizo despertar en ltal sentimiento patritico que, en lo sucesivo, firm sus trabajos N.-H. Abel, noruego,declarando su nacionalidad con el mismo orgullo con que los sbditos de Augusto declarabansu ciudadana romana.

En Pars trabajaba por restablecer el Anlisis sobre bases slidas, y su proyecto se encuentraclaramente expresado en una carta al astrnomo Hansteen. "Pocas proposiciones, dice, estndemostradas con rigor perentorio en el Anlisis superior. Por todas partes se encuentra ellamentable mtodo de razonar que consiste en concluir de lo particular a lo general. Es unmilagro que a pesar de esto slo se caiga rara vez en lo que se llaman paradojas, y es muyinteresante buscar la causa que, a mi parecer, est en que la mayor parte de las funciones delas que hasta ahora se ha ocupado el Anlisis, se pueden expresar por potencias. Cuando seaplica un procedimiento general no es muy difcil evitar los escollos; pero he tenido que sermuy circunspecto con las proposiciones, una vez admitidas sin una prueba rigurosa, o sea: sinninguna prueba, que han echado tales races en m que me expongo a cada momento aservirme de ellas sin otro examen."

El 14 de octubre del mismo ao, 1826, Abel escribe, tambin desde Pars, una carta a Holmboen la que le dice: "Acabo de terminar un trabajo sobre cierta clase de funciones trascendentesque presentar al Instituto [Academia de Ciencias] el lunes prximo. Se lo he enseado aCauchy, quien apenas se ha dignado mirarlo."

Cauchy estaba entonces en la cima de su gloria. Haca diez aos que ocupaba el silln que losBorbones obligaron a dejar vacante a Monge por su fidelidad a Napolen, con gran escndalodel mundo cientfico, que protest contra el atropello de que fue vctima el creador de laGeometra Descriptiva; pero Cauchy dijo que aquello no tenla nada que ver con l.Polticamente era un ingenuo: crea en la buena fe de los Borbones, y aunque Carlos X era unbufn inepto forrado de dspota, cumpli con l sentndose en el silln de Monge. Claro esque cuando Carlos X fue desterrado, Monge volvi a ocupar su silln que esta vez dej libre aCauchy para seguir en el exilio a su amado monarca, el cual le nombr preceptor de su hijo, elduque de Burdeos, que tena a la sazn nueve aos. A Cauchy no le hizo mucha gracia eloficio de ama seca y regres a Pars, donde tuvo que bailar en la cuerda floja bajo el reinadode Luis Felipe.

El trabajo de que habla Abel en su carta versaba Sur una propriet gnrale dune classe trstendue des fonctions transcendentes y, por acuerdo de la Academia, debi ser examinado porLegendre y Cauchy. A causa de la edad avanzada de Legendre, se lo llev a su casa Cauchypara hacer el informe y perdi el original, o dijo que lo perdi. Cauchy tena excesiva soberbiapara admitir rivales de veinticuatro aos. Abel no se quej. Era demasiado bueno, y se limit aescribir a Halmbo: "Cauchy es terriblemente catlico y beato, cosa rara en un matemtico."

Casi tres aos despus, el 14 de marzo de 1829, Jacobi, que haba tenido noticias del trabajode Abel, se quej a Legendre, quien le contest el 8 de abril siguiente dicindole que el originalen cuestin era apenas legible porque la tinta estaba demasiado plida, y disculpaba, en ciertaforma, la incuria de Cauchy. Precisamente dos das antes de la carta de Legendre habamuerto Abel. Su temprana muerte caus honda sensacin en el mundo cientfico y el cnsul deNoruega en Paris recibi el encargo de presionar al Gobierno francs para que buscara elfamoso manuscrito, el cual apareci, naturalmente!, entre los papeles de Cauchy. Se mand ala imprenta con toda clase de garantas y... se perdi. Afortunadamente, estaba compuesto;pero hubo que corregir las pruebas sin posible cotejo.

La obra maestra de Abel, de la que ha dicho Hermite que contiene inspiracin para quinientosaos de labor matemtica, fue calificada por Lagrange, con palabras, de Homero, demonumentum aere perennius, y en ella se encuentra el que ha pasado a la Historia con el

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nombre de teorema de Abel, quien lo enunci textualmente as: "Si se tienen varias funcionescuyas derivadas son races de una sola ecuacin algebraica cuyos coeficientes son todosfunciones racionales de una sola variable, se puede expresar la suma de un nmero cualquierade tales funciones por medio de una funcin algebraica y logartmica, siempre que seestablezcan entre las variables un cierto nmero de relaciones algebraicas. El nmero de estasrelaciones no depende en modo alguno del de funciones, sino slo de la naturaleza de lasfunciones consideradas."

En Navidad de aquel ao sali de Pars dirigindose a su patria, a la que lleg en enero de1827. En mayo se pidi una nueva beca para l, que no fue concedida porque el Gobiernocareca de fondos, y Abel tuvo que dedicarse a preparar a los estudiantes para el examenphilosophicum a fin de poder comer malamente. Poco despus fue nombrado Docent de laUniversidad para suplir a Hansteen, que haba ido a Siberia en misin cientfica.

El mismo ao de 1827 Galois fracasaba en la Escuela Politcnica. Era natural. Muerto Monge,la Politcnica cultivaba la Matemtica ortodoxa y Galois era un heterodoxo hasta enMatemtica. Su fracaso fue un acicate. A los pocos meses publicaba su primera memoria:Demostracin de un teorema sobre las fracciones continuas peridicas, y enviaba a laAcademia de Ciencias una comunicacin sobre la teora de ecuaciones algebraicas queCauchy, encargado de presentarla, escamote. Cauchy era un contumaz. Sectario fantico,votaba a los candidatos a la Academia no con arreglo a su valor cientfico, sino a sus ideasreligiosas; realista borbnico, no poda ver con buenos ojos el trabajo de Galois, jovenrepublicano que amenazaba proyectar una sombra sobre su fama: y las investigaciones deGalois fueron a hacer compaa a las de Abel, pero si las de ste aparecieron gracias a lareclamacin diplomtica antes aludida, las de Galois se perdieron para siempre.

Al ao siguiente, Galois volvi a intentar el ingreso en la Politcnica, haciendo un examen queha dejado imperecedera memoria. Discuti con el tribunal examinador en tonos acres, calificde estpida una pregunta sobre la teora aritmtica de logaritmos, negndose a contestarla, y,como uno de los profesores le hiciera observar su incorreccin, le tir a la cabeza el cepillo deborrar la pizarra y se march furioso, protestando contra la pseudociencia de quienes calificde ganapanes de la enseanza.

Veinticinco aos ms tarde, Terquem escriba en los Nouvelles Annales de Mathematiques,aludiendo al fracaso de Galois: "Un candidato de inteligencia superior ha perdido con unexaminador de inteligencia inferior. Hic ego barbarus sum quia non intelligor illis. [Soy unbrbaro porque no me comprenden.]1. Los exmenes son misterios ante los cuales me inclino.Como los misterios de la Teologa, la razn humana debe admitirlos con humildad, sin intentarcomprenderlos."

En este artculo, Terquem sostena que la controversia sobre el fracaso de Galois no estabacerrada an. Y tena razn: los exmenes son, en efecto, algo acerca de lo cual no han dichotodava su ltima palabra los pedagogos.

En aquellos das Pars herva de emocin poltica, y Galois, con sus buenos diecisis aos, seprendi en ella. La hostilidad contra el dspota consagrado en la catedral de Reims con ritosarcaicos, creca por momentos. Reformada la ley electoral, que permita votar dos veces a losricos; encadenados los peridicos, que tenan que presentar sus ejemplares a la censura cincodas antes de su publicacin; clausuradas las Facultades de Derecho y de Medicina; suprimidala Escuela Normal Superior por su enseanza liberal; colocada la Universidad bajo la vigilanciadel Clero; suspendidos los cursos de Guizot, de Villemain y de Cousin, y flotando sobre todaslas cabezas, como la espada de Damocles, la llamada "ley del sacrilegio", los bonapartistas seunieron a los republicanos en su lucha contra la monarqua borbnica, y Galois se hizo jefe deun grupo de estudiantes.

1 La cita correcta es: "Barbarus hic ego sum quia non intelligor illis. Ovidio: Tristium, libro V, elega X.

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Qu pasaba, en tanto, en Noruega? En el otoo de aquel ao, 1828, cuando empezaban aamarillear los castaos de las Tulleras, los fros y las nieves se haban adueado ya deCristiana, y un soplo, traidor como un pual asesino, penetr en los pulmones de Abel. Sudbil constitucin era terreno abonado para la tuberculosis, y en diciembre, haciendo un granesfuerzo, march a Froland para pasar las fiestas navideas al lado de su prometida, CristinaKemp, institutriz de una familia inglesa, la de S. Smith, propietario de los talleres metalrgicosde Froland, en cuya casa se aloj Abel.

Crelle, en tanto, trabajaba para que la Universidad de Berln le diera una ctedra. Y loconsigui. Pero trgicas ironas del destino!, el nombramiento lleg a Cristiana dos dasdespus de morir Abel. Sin embargo, hay que hacer justicia a Berln de haber sabido escuchara Crelle; y, al convencerse de que el matemtico noruego de veintisis aos era un genio,Berln que quera tener en su Universidad al mejor entre los mejores en cada rama de laCiencia, como el mejor entre los mejores en Matemtica se llamaba Abel, solicit a Abel, queno era alemn. Justamente un siglo despus el mejor entre los mejores en Fsica se llamabaAlberto Einstein y era alemn, pero tambin era judo, y el antisemitismo de Hitler lo expuls dela Universidad de Berln y hubo de exilarse en los Estados Unidos, donde vivi hasta sumuerte, acaecida en 1955.

La vida de Abel en Froland fue dura y triste: vida de tuberculoso que sabe que sus das estncontados y quiere aprovecharlos para dar salida precipitada a las ideas que bullen en sucerebro. Trabajaba con una intensidad incompatible con su dolencia y slo descansaba brevesmomentos para hablar con su novia y hacer proyectos que saba irrealizables.

Una maana se sinti desfallecer. Le faltaron las fuerzas; un sudor fro inund su frenteabombada, corno vientre grvido de mujer fecunda, y cay en la cama donde se fueconsumiendo poco a poco, hasta que un da de primavera, el 6 de abril de 1829, mientras sunovia le preparaba una taza de blanca leche tibia, exhal un suspiro muy dbil, pero que el finoodo atento de Cristina percibi como un eco lgubre que puso espanto en su corazn. Rpida,acudi a la cabecera del enfermo y qued aterrada. El amado, que era para ella como elprncipe azul de un cuento de hadas, se mora; el matemtico genial se mora; se moradulcemente, suavemente, silenciosamente, como haba vivido: sin una queja, sin un odio, sinun rencor. Los brazos blancos de mujer triste de Cristina rodearon el cuello de Abel, y Abelentonces, en un rapidsimo momento, supremo y nico, abri los ojos buscando los ojos clarosde la novia, en los que temblaba el ansia callada de un ideal roto, y le dirigi una mirada: laltima, que envolvi a Cristina en una luz de alma, reflejo de su alma baada ya en una nuevaluz: la luz de la inmortalidad.

En la necrologa que public Crelle en su Journal, tomo IV, se leen estas palabras quesintetizan la obra del matemtico noruego: "Todos los trabajos de Abel llevan la huella de unasagacidad y de una fuerza mental extraordinaria, y a veces asombrosa, a pesar de la juventuddel autor. Penetraba, por decirlo as, frecuentemente hasta el fondo de las cosas con unaintensidad que pareca irresistible, las tomaba con una energa tan extraordinaria, desde lo alto,y se elevaba de tal modo por encima de su estado actual que las dificultades parecandesvanecerse ante la potencia victoriosa de su genio."

Hasta Abel se conoca la expresin general de las races de las ecuaciones de los cuatroprimeros grados y se crey que se podra encontrar un mtodo uniforme aplicable a unaecuacin de cualquier grado. Los matemticos se ponan a resolver las ecuaciones sin saber siesto era posible, y unas veces encontraban la solucin y otras no. Abel sigui otro camino. Envez de buscar una relacin que se ignoraba si exista o no, se pregunt si tal relacin eraposible y en esta pregunta estaba ya el germen de la solucin.

Abel se propuso dos problemas: 1. Encontrar todas las ecuaciones de grado dado que sean resolubles algebraicamente;2. Determinar si una ecuacin es resoluble algebraicamente o no.

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En el fondo los dos problemas son uno mismo, ya que la solucin del primero debe conducir ala del segundo.

Para atacar de frente la cuestin, lo primero era precisar qu se entiende por resolveralgebraicamente una ecuacin, punto que Abel defini sin ambigedad diciendo que consisteen expresar sus races por medio de funciones algebraicas de sus coeficientes, es decir: queslo contengan un nmero finito de operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y extraerraces de ndices primos.

Planteado as el problema de la resolucin de ecuaciones, Abel lleg a estas dos conclusiones:1. Si una ecuacin es resoluble algebraicamente, se puede siempre dar a la raz una forma talque las funciones algebraicas de que est compuesta sean expresables por medio defunciones racionales de las races de la ecuacin propuesta; 2. Cuando una funcin de varias cantidades tiene m valores diferentes, se puede siempreencontrar una ecuacin de grado m cuyos coeficientes sean funciones simtricas y tenganestos valores por races; pero es imposible encontrar una ecuacin de la misma forma de gradomenos elevado que tenga uno o varios de estos valores por races.

Y de estas dos conclusiones dedujo su teorema inmortal. Toda la obra de Abel define un granprogreso de la Matemtica porque sacudi el yugo de la intuicin y de la mstica, inaugurandoel retorno a la tradicin griega del rigor en la crtica de los conceptos y en la trabazn lgica delrazonamiento.

Dos meses despus de morir el matemtico noruego, se suicid el padre de Galois: drama queprodujo en ste tremenda impresin. Las luchas entre los liberales y los clericales leenvolvieron en una red de calumnias y, hombre puntilloso, puso fin a sus das trgicamente.

Galois comprendi entonces las miserias de la poltica y se apart de ella dedicndose conardor al estudio. Reabierta la Escuela Normal, y abandonado por completo su proyecto deingresar en la Politcnica, se prepar para aqulla, guiado por Luis Pablo Richard, que dio a sujoven discpulo el calificativo de "Abel francs".

Las notas de los examinadores de la Normal dicen as: "Este alumno es a veces un pocooscuro en la expresin de sus ideas; pero es inteligente y tiene un notable espritu deinvestigador. Ha encontrado algunos resultados nuevos en el Anlisis Matemtico."

El profesor de literatura, por su parte, emite este juicio: "Es el nico candidato que hacontestado malamente. No sabe nada. Me han dicho que tiene extraordinaria disposicin paralos estudios matemticos. Me extraa."

Evidentemente, ninguno de los maestros de Galois supo comprenderle: ni los elementales, nilos secundarios, excepto Vernier, ni los superiores, y por esto son tan justas y certeras estaspalabras de Bell: "Las desgracias de Galois deberan ser conmemoradas en un monumentosiniestro erigido por todos los pedagogos seguros de s mismos, por todos los polticos sinescrpulos y por todos los acadmicos hinchados de su sabidura. Galois no era un ngel, perosus magnficas facultades fueron ahogadas por la estupidez coaligada contra l, que estropesu vida, obligndole a luchar con un tonto despus de otro."

Galois entr en la Normal el 20 de febrero de 1836. Cinco das despus se estrenaba elHernani de Vctor Hugo: cristalizacin del movimiento romntico lanzado en el prefacio delCromwell, estreno tumultuoso que agit ms an la ya agitada atmsfera, preludio de larevolucin de julio que haba de arrebatar la corona a Carlos X para ceirla a las sienes de LuisFelipe; y Galois, olvidando su promesa, volvi a la poltica, esta vez con ms ardor, pero sindejar por eso de cultivar la Matemtica y publicando el resultado de sus investigaciones en elBulletin de Frussac y dando cursos privados de lgebra superior, teora de nmeros yfunciones elpticas, que haca compatibles con la asistencia al Cenculo: la famosa sociedadliteraria que, en torno a Vctor Hugo, se reuna en el saln de Charles Nodier, en el Arsenal,

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ajenos todava sus socios a la trascendencia que haba de tener la palabra romanticismointroducida en el mundo de las letras por Mme. Stal.

Se acercaba el verano. La hostilidad contra Carlos X, que creca por momentos, lleg a unlmite incontenible al publicarse, el 26 de julio en el Monitor, las famosas Ordenanzas quepretendan anular el triunfo electoral de los liberales y sostener en el Gobierno al reaccionarioPolignac, hechura de Carlos X y funesto teomegalmano que afirmaba actuar por inspiracindirecta de la Virgen.

Con la misma espontaneidad que el 14 de julio de 1789, el pueblo de Pars se lanz a la callecuarenta y un aos despus, para defender sus libertades amenazadas. Como por arte demagia se alzaron barricadas para contener a las fuerzas realistas del mariscal Marmont, yfrente al Htel de Ville, subido en lo alto de una diligencia desvencijada y rodeado de los msabsurdos y heterogneos objetos, cmodas, sillas, latas de petrleo, piedras y paquetes deperidicos, Galois arengaba al pueblo y arrancaba aplausos delirantes a la multitud, a la que sehaban unido los orleanistas por el deseo comn de acabar con los Borbones. ExpulsadoCarlos X, fue proclamado rey de Francia Luis Felipe el 9 de agosto, con gran disgusto de losrepublicanos, verdaderos autores de la revolucin, cuyo xito aprovecharon los orleanistas enbeneficio de su candidato al trono. Con este motivo, Galois dirigi una violenta carta al directorde la Escuela Normal, partidario de Luis Felipe, y sucedi lo que tena que suceder. Fueexpulsado de la Escuela.

Poco despus ingres en la artillera de la Guardia Nacional. "Si hace falta un cadver paraamotinar al pueblo, contad con el mo", dijo cuando, acusados los artilleros de haber queridoentregar los caones a los republicanos, fue disuelto el Cuerpo que primero comprendi queLuis Felipe, renegando del origen revolucionario de su exaltacin al trono, empezaba aevolucionar en el sentido cada vez ms conservador que le haba de quitar la corona dieciochoaos ms tarde.

Vino el proceso consiguiente y, declarados inocentes, los ensartados se reunieron con unosdoscientos correligionarios en Belleville, en los alrededores de Pars, para celebrar la favorablesentencia. Al final del banquete Galois se levant a brindar y, con la copa en una mano y uncuchillo en la otra, slo pronunci estas palabras: "Para Luis Felipe."

Se produjo un escndalo formidable. Algunos comensales huyeron saltando por las ventanas:pero los ms jvenes rodearon a Galois para felicitarle por la intencin regicida de su brindis, yregresaron a Pars, donde acabaron la noche bailando alegremente en la plaza Vendme.

Y cuando a la luz lechosa del amanecer lleg Galois a su casa, los esbirros que le aguardabana la puerta le condujeron a la prisin de Santa Pelagia.

El abogado defensor de aquel nio rebelde consigui su libertad gracias a una estratagema.Afirm que Galois, luego de las palabras "Para Luis Felipe", pronunci estas otras: "si traicionaa la patria", que no fueron odas a causa del tumulto que se produjo.

Poco goz de la libertad. El partido republicano tena preparada una manifestacin para el 14de julio, y, entre las medidas gubernativas para asegurar el orden, figuraba la detencin deGalois. El pretexto fue la falsa acusacin de uso indebido del uniforme de artillero, y estuvo enSanta Pelagia hasta el 6 de marzo del ao siguiente, en que fue trasladado a un sanatorioporque era un "importante detenido poltico", a quien no se poda exponer a que murieravctima del clera que a la sazn diezmaba a Pars.

La vida de Galois llega aqu a un periodo borroso. En el sanatorio debi de conocer a unamujer: la misteriosa ella que, siempre hay que buscar en los momentos cruciales de la vida deun hombre.

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Conducido de nuevo a Santa Pelagia cuando pas el peligro de la epidemia, Galois acusarecibo de una carta a su amigo Augusto Chevalier con otra fechada el 25 de mayo, en la quedice: "Tu carta, llena de uncin apostlica, me ha trado un poco de calma; pero cmo destruirlas huellas de las emociones tan violentas que he sufrido? Releyendo tu carta observo unafrase en la que me acusas de estar emborrachado por la ola putrefacta de un mundo podridoque ensucia el corazn, la cabeza y las manos. Bo-rra-che-ra? Estoy desengaado de todo,incluso del amor y de la gloria. Cmo puede mancharme un mundo que detesto?"

Cuatro das ms tarde recobra la libertad y parece que estaba decidido a pasar una temporadaen el campo. Se ignora lo que sucedi ese da: 29 de mayo; pero de su epistolario se deduceque, inmediatamente de salir de Santa Pelagia, entr en colisin con sus adversarios polticos.En una carta fechada ese da y dirigida "a todos los republicanos", carta recogida por Raspail,compaero de crcel de Galois, en sus Lettres sur les prisons de Pars, dice: "Ruego a lospatriotas y amigos que no me reprochen morir por otra cosa que por el pas. Morir vctima deuna infame coqueta que quiere vengar en m el honor ultrajado por otro, y de dos engaadospor esta coqueta. Me arrepiento de haber dicho una verdad funesta a hombres que no estabanen condiciones de escucharla serenamente. Me llevo a la tumba una conciencia limpia dementiras y una limpia sangre de patriota. Adis. Necesitaba la vida para el bien pblico.Perdono a los que han matado porque lo han hecho de buena fe."

Hay otra carta dirigida a amigos a quienes no nombra. Dice as: "He sido provocado por dospatriotas y me ha sido imposible negarme. Os pido perdn por no haberos prevenido; pero misadversarios me han obligado a jurar por mi honor guardar el secreto. Slo os hago un encargomuy sencillo: probar que me he batido a pesar de mi mismo, es decir: luego de haber agotadotodos los medios de arreglo, y sostener que yo no soy capaz de mentir ni aun por tan pequeomotivo como el de la infame coqueta. Conservad mi recuerdo ya que la suerte no me ha dadovida bastante para que la Patria conozca mi nombre."

Aquella noche, noche terrible, noche de angustias infinitas, se puso a redactar su testamentocientfico. Eran los resultados de sus ltimas meditaciones matemticas, resultados sublimessobre la teora de grupos, que cada da que pasa es ms fecunda.

De cuando en cuando interpolaba frases como stas: "No tengo tiempo, no tengo tiempo! Mivida se extingue como un miserable cancn", y segua garrapateando geniales frmulasmatemticas.

Aquella noche trgica tom forma definitiva la teora de funciones algebraicas y sus integrales,y sobre todo, quedaron establecidos para siempre los conceptos de grupo, subgrupo,invariante, transitividad y primitividad que haban de servir despus a Sophus Lie, compatriotade Abel, para crear la teora de las transformaciones, y a un alemn, Flix Klein, parasistematizar todas las Geometras.

En uno de los mrgenes de aquellos papeles, que son hoy una reliquia, se leen estos versos:

L'ternel cyprs m'environne. Plus ple que le ple automne Je m'incline vers le tombeau.

Al amanecer del otro da acudi al estpidamente llamado "campo del honor". Duelo a pistola aveinticinco pasos. Un certero disparo de su adversario le hiri en el vientre. No haban llevadomdico y lo dejaron tendido en el suelo. A las nueve de la maana un campesino, que pasabapor all, avis al hospital Cochin, a donde fue trasladado. Viendo los facultativos su fininmediato, le aconsejaron que recibiera los auxilios espirituales. Galois se neg. Es probableque en aquel momento se acordara de su padre. Su hermano, nico familiar que fue avisado,lleg con lgrimas en los ojos, y Galois le dijo con gran entereza: "No llores, que meemocionas. Necesito conservar todo mi valor para morir a los veinte aos

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Al da siguiente, el 31 de mayo de 1832, se declar la peritonitis y muri a las diez en punto dela maana, siendo enterrado en la fosa comn del cementerio del Sur. Sus restos se hanperdido, pero su pensamiento es inmortal.

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Captulo SegundoDOS AMIGOS DE NAPOLEN

MONGE Y FOURIER

El parto mellizo del Clculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo talrevolucin en el Anlisis que todos los matemticos del xviii se apercibieron a investigar en larama analtica, dando de lado a la geomtrica que permaneca estacionaria desde Pascal,discpulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de la Geometrapor la Geometra.

Y cuando el ao 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema didrico en laEscuela Normal Superior de Pars, Europa no tiene, en realidad, ms que un solo gemetradigno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporneos llamaban "el sabio espaol"por antonomasia, y cuyo perfil matemtico fue dibujado por Antonio Snchez Prez en unartculo periodstico, recogido despus en sus Actualidades de Antao, Madrid, 1895.

Dice Snchez Prez: "Euler, primer matemtico de la humanidad, public una notabilsima obratitulada Ciencia Naval en 1749, poca en que el sabio haba llegado al apogeo de su gloria.Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre cuestionesnavales, comprender hasta qu punto se haba esmerado en dicha obra y cuntos aos deafanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen martimo y asombraal mundo.

Empieza por observar que los gemetras que le han precedido han admitido con ligerezaalgunas proposiciones de los nuevos principios de filosofa natural, y los corrige. Necesita msconocimientos de mecnica que los que hay en su poca y crea la mayor parte de la mecnicade los slidos. Corregido Newton, creada as casi por completo la nueva ciencia, empieza arehacer la ciencia antigua, y tiene que abandonar el camino seguido por sus predecesores. Asllega, por fin, a frmulas que concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigorde sus teoras crea otra que, si bien carece de importancia prctica, la tiene muy grande paralos que aprecian la ciencia por la ciencia: esta es la teora de los voladores o cometas. Laopinin del mundo sabio se haba rebelado contra las conclusiones de todos les gemetras.Habla Jorge Juan y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen seala a cadagemetra sus errores; y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que,con su autoridad, sostenan la de Newton. Levque traduce el Examen al francs y laAcademia de Pars obtiene del Gobierno el privilegio de la publicacin."

Despus de la obra de Jorge Juan aparecieron: los Freyen Perspective de Lambert, Zurich,1774; los Elments de Gomtrie de Legendre, Pars, 1794, y la Geometria di compasso deMascheroni, Pava, 1797; pero el progreso mximo de la Geometra corresponde a los ltimosaos del siglo XVIII y primeros del XIX que llenan tres nombres, franceses los tres, y los treshijos de la Revolucin, que hacen brotar del viejo tronco eucldeo sendas ramas nuevas:Gaspar Monge, varias veces ministro, que da al mundo la Geometra Descriptiva; LzaroCarnot, llamado con justicia el Organizador de la Victoria, que funda la Geometra de laPosicin, y Vctor Poncelet, prisionero de los rusos en Saratov, que crea la GeometraProyectiva. Hablemos del primero, que tiene en otro compatriota y coetneo, Fourier, elcomplemento de su vida.

Gaspar Monge naci en Beaune, Borgoa, el 10 de mayo de 1746, y fue hijo de un afilador,hombre aficionado a la cultura, que quera que sus retoos llegaran a ocupar la posicin socialque a l le haba sido imposible. Se comprende, pues, la alegra del afilador cuando Gaspargan el primer premio en el colegio, al que siguieron despus otros muchos, lo que le vali elhonroso ttulo de puer aurcus, que fue el orgullo de su padre.

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Apenas contaba catorce aos cuando invent una bomba de incendios. Sus conterrneosquedaron maravillados del talento de aquel nio, que contestaba invariablemente a laspreguntas que le hacan sobre su invento: "He empleado dos medios infalibles: una tenacidad atoda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad geomtrica",palabras que caracterizan el genio de Monge: la perseverancia y la habilidad manual. Laprimera, de acuerdo con la concepcin goethiana, le condujo a dar una nueva direccin a laGeometra, y la segunda le permiti ser ejemplo vivo de los obreros que estuvieron a susrdenes en uno de los momentos ms dramticos de la historia de Francia.

A los diecisis aos levant el plano de Beaune, trabajo que fue el origen de su carrera. Susprofesores, que dependen del Oratorio de Lyon, lo propusieron que ingresara en su orden y lerecomendaron para que explicara Fsica en el Colegio Central de la ciudad del Rdano; pero elafilador aconsej a su hijo que no aceptara porque un oficial de Ingenieros le haba indicadoque su porvenir estaba en la Escuela Militar de Mezires, y all acudi el joven Gasparignorando que su humilde origen slo le permitira entrar en la seccin prctica, cuya msimportante misin era la de dfiler un Port con arreglo a laboriosos mtodos tradicionales queMonge no tard en simplificar; pero su genio inventiva tropez con la resistencia pasiva de sussuperiores cuyo misonesmo les impeda aceptar novedades.

Sin embargo, Monge era tenaz, y pudo, al fin, imponer sus procedimientos. Entonces lenombraron profesor adjunto, previo juramento de no revelar su secreto.

Poco despus, cuando slo tena veintids aos de edad, realiz algunas investigacionessobre las propiedades infinitesimales de las curvas y superficies y present a la Academia deCiencias de Pars, el 11 de enero de 1771, una Mmoire sur les dveloppes, les rayons decourbure et les diffrents genres dinflxions des courbes a doble courbure, que tieneexcepcional importancia tanto para la Geometra Analtica como para la teora de curvasalabeadas, y fue nombrado profesor titular de la Escuela: primero de Matemtica y luego,adems, de Fsica, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador.

Pero esto no le impeda acudir a salones y tertulias. Hijo de su siglo, Monge gustaba deldilogo galante y de la conversacin literaria, haciendo compatible la rigidez de su formacincientfica con la flexibilidad de su espritu de mosquetero. En una recepcin oy hablar entrminos poco correctos de una joven y bella viudita a cierto galn despachado, y, nuevoQuijote, no slo defendi caballerescamente a la dama, de la que ignoraba hasta el nombre,sino que pasando a vas de hecho dio una descomunal bofetada al galn. Era inevitable eldesafo, y Monge propuso que fuera a muerte nada menos; pero los padrinos pudieron arreglarel asunto por medio de un acta y no se verific el duelo. Unos meses despus, en otrarecepcin, le fue presentada una joven de veinte aos cuya singular belleza le produjo hondaimpresin: el consabido flechazo tan a la orden del da en aquella poca. La joven era la viuditaquien haba defendido, y Monge le propuso, sin ms prembulos, casarse inmediatamente. Ellale contest que tena que arreglar algunas cuentas pendientes de su esposo antes de decidirsea contraer nuevo matrimonio, a lo que Monge respondi: "No se preocupe por eso. Yo heresuelto muchos problemas ms difciles". Y en efecto, se cas con ella.

Esto ocurra el ao 1777, cuando ya su nombre era conocido en los centros cientficos dePars. Sus trabajos sobre las ecuaciones en derivadas parciales utilizando originalesconsideraciones geomtricas, haban llamado la atencin de los matemticos, y con razn dijoLagrange: Avec son aplication de 1'Analyse la representation des surfaces, ce diabled'homme sera immortel.

Por entonces empez a bullir en su cerebro la idea de la que con feliz neologismo llamGeometra Descriptiva; pero la rivalidad entre las Escuelas Militares francesas del antiguorgimen retras el conocimiento de sus mtodos.

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Tres aos ms tarde, Condorcet y D'Alembert aconsejaban al Gobierno la fundacin de unInstituto de Hidrulica en el Louvre, y Monge fue llamado a Pars con la obligacin de residir lamitad del ao en la capital y la otra mitad en Mezires.

Y aqu termina la primera poca de la vida de Monge, poca dedicada a la enseanza y a lagestacin de su obra inmortal.

La segunda poca es dinmica y tumultuosa. Nacido del pueblo, Monge abraz conentusiasmo los principios de la Revolucin; y cuando despus de la batalla de Valmy, 20 deseptiembre de 1792, que, al decir de Goethe, abri una nueva era en la Historia, qued abolidala Monarqua e implantada la Repblica en Francia, la Asamblea Legislativa le nombr ministrode Marina, cargo que desempe hasta el 13 de febrero de 1793 en que dimiti porquecreyeron que no era suficientemente radical; pero fue reelegido el 18 al convencerse laConvencin de que quien iba a producir una revolucin en la Geometra era un perfectorevolucionario en el sentido que daban a esta palabra los hombres del 89.

Fue un ministro incorruptible. No ignoraba que su cabeza poda caer en el cesto fatal, peronunca claudic ante los ignorantes ni ante los ineptos, y su encendida fe en los destinos deFrancia slo abrigaba un temor que las disensiones internas de su pas, que estaba, adems,desarmado, facilitaran la ofensiva del extranjero y redujesen a la nada las conquistas de laRevolucin.

Con perfecta acuidad poltica, Monge denunci el peligro; y cuando se produjo la ofensiva, laConvencin le autoriz, con fecha 10 de abril de 1793, para poner en prctica sus ideassalvadoras. La primera preocupacin de Monge fue abastecer los arsenales que no tenanmuniciones para hacer a la situacin. El cobre y el estao para fabricar el bronce de loscaones y el salitre indispensable para la plvora eran de procedencia extranjera. "Dadmesalitre y en tres das cargar los caones", dijo Monge a la Convencin. Y de dnde losacaremos?", preguntaron los convencionales. "De los stanos de las casas", respondi Mongerespaldado por Berthollet que, como todos los cientficos, se haba adherido a la causa de laRevolucin.

Toda la nacin se puso en pie de guerra. Se moviliz un ejrcito de novecientos mil hombrespara defender el suelo francs y bajo la direccin de Monge, Francia se convirti en unainmensa fbrica de material blico. Slo en Pars se establecieron doscientas cincuenta y ochofraguas y quince herreras que construan mil fusiles diarios, la fbrica de Grenoble puso enprctica los mtodos de Berthollet y dio treinta mil libras de plvora diarias y las fundicionesprodujeron al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de hierro colado al ao.

Con una actividad verdaderamente sobrehumana, puestos los ojos en un alto ideal patritico,Monge inspeccionaba fbricas y arsenales, correga personalmente los errores cometidos porlos obreros, y por la noche, en vez de entregarse a un bien merecido descanso, redactabacirculares relativas a la manera de trabajar con la mxima eficacia en un tiempo mnimo. Suboletn sobre El arte de construir caones, fue el breviario de todas las fbricas y an hoy,despus de siglo y medio, todava se puede consultar con provecho.

Por una natural reaccin biolgica, la popularidad del gran matemtico trajo comoconsecuencia la formacin de un grupo enemigo, Un da, al salir de su casa, su esposa oysusurrar misteriosamente a las vecinas que Monge y Berthollet iban a ser denunciados. Locade terror corri a las Tulleras, donde encontr al gran qumico sentado tranquilamente bajo loscastaos. Berthollet, que era un ironista plcido y bonachn, le dijo que, en efecto, la noticiaera cierta, pero que tardara una semana en convertirse en realidad, y con su habitual placidezagreg: "Dentro de unos ocho das su esposo y yo seremos detenidos, interrogados,condenados y ejecutados."

La bella viudita recasada, que ya era una noble matrona, hecha y perfecta, vio a su esposoante la barra, acusado de traidor a la patria, y, luego de una tempestuosa sesin, presidida por

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jueces parciales, subira a la carreta trgica para que la hoja de la guillotina realizara la mortalablacin del cuello que tantas veces haba ella rodeado con sus brazos.

Cuando Monge, al llegar a su casa por la noche, la encontr convertida en un mar de lgrimasy conoci la causa de su inmensa tristeza, le dijo sencillamente: No saba nada de eso. Lonico que s es que mis fbricas marchan estupendamente."

Pero algo haba de verdad en el rumor, porque poco despus el "ciudadano Gaspar Monge fuedenunciado por su portero, lo que le oblig a ausentarse de Pars hasta que pasara latormenta, que, afortunadamente, dur poco, y cuyo final coincide con el principio de una nuevaetapa de su vida.

El 9 de brumario del ao II, 30 de octubre de 1793, "la Convencin Nacional, queriendoacelerar la poca en que pudiera hacer extender de una manera uniforme en toda la Repblicala instruccin necesaria a los ciudadanos franceses", cre la Escuela Normal, en la queingresaran los ciudadanos ya instruidos en las ciencias tiles, para aprender, bajo la direccinde los profesores ms hbiles, el arte de ensear.

Los alumnos eran designados por los municipios a razn de uno por cada veinte mil habitantes;deban tener veinticinco aos cumplidos, y "unir a costumbres puras el ms probadopatriotismo". Cobraran, adems, un sueldo de mil doscientos francos anuales.

La Convencin empezaba a poner en prctica el lema: "Despus del pan, la educacin es laprimera necesidad de un hombre", que fue la divisa de Danton, equivalente al "Despensa yescuela" que Joaqun Costa haba de defender en la Espaa sin pulso de fines del siglo XIX,despus del colapso del 98.

En nombre del Comit de Instruccin Pblica, Lakanal redact el reglamento interior de laEscuela en que, adems de las lecciones magistrales, habra conferencias y discusiones en lasque tomaran parte maestros y discpulos.

Monge fue nombrado profesor de Matemtica y se autoriz para explicar pblicamente susnuevas concepciones que cristalizaron en la creacin de la Geometra Descriptiva, cuyo tratadono public hasta el ao 1800. Aunque segn su autor, la nueva ciencia tena por objeto "tirer lanation franaise de la dpendence o elle a t jusqu prsent de lindustrie trangre, toda laobra tiene carcter cientfico puro.

Los dos objetivos que persegua Monge, eran, segn sus propias palabras: "El primero, darmtodos par representar en una hoja de dibujo, que no tiene ms que dos dimensiones, largo yancho, todos los cuerpos del Naturaleza, que tienen tres: longitud, anchura y profundidad,siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente. El segundo objeto es proporcionarel medio de reconocer las formas de los cuerpos luego una descripcin exacta, y deducir deaqu todas las verdades que resulten en su forma y en sus posiciones respectivas. Adems, deigual modo que una vez planteado un problema el Anlisis da procedimientos para resolver lasecuaciones y deducir los valores de cada incgnita, en la Geometra Descriptiva existenmtodos generales para construir todo lo que resulta de la forma y de la posicin de loscuerpos. Esta comparacin de la Geometra Descriptiva con el lgebra no es gratuita, puestoque ambas ciencias estn en ntima relacin. No hay ninguna construccin de GeometraDescriptiva que no tenga una traduccin analtica, y cuando las cuestiones no tienen ms detres incgnitas, cada operacin se puede considerar como la escritura de un espectculo enGeometra. Sera de desear que estas dos ciencias estudiasen simultneamente: la GeometraDescriptiva llevara a las ms complicadas operaciones analticas la evidencia que lascaracteriza y, a su vez, el Anlisis llevara a la Geometra la generalidad que le es propia.

La idea de Monge, como todas las ideas geniales, es muy sencilla. Supongamos dos planos:uno horizontal otro vertical, en ngulo recto, a la manera de un libro abierto apoyado contra unapared. Si imaginemos cuerpo, un cilindro, por ejemplo, para fijar las idea y lo proyectarnos

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sobre los dos planos, tendremos, circulo sobre el horizontal y un rectngulo, de igual anchuraque el dimetro del crculo, sobre el vertical. Abatiendo ahora este plano sobre aqul, resultaun solo plano, como el libro abierto sobre la mesa, y en l las dos proyecciones, de dosdimensiones, del cilindro, que tiene tres.

Este es un mtodo descriptivo que permite representar sobre una hoja de papel los cuerpos delmundo exterior, y basta un pequeo entrenamiento para leer en el plano con la misma facilidadcon que se lee una fotografa area. Claro es que la concepcin de Monge ha tenidodesarrollos posteriores, pero es el genial gemetra francs quien hizo progresar la ingenieramilitar, el dibujo de mquinas y los mtodos grficos de construccin, y quien dio formadefinitiva a la obra encentada por Vitrubio para la arquitectura en la Roma de Augusto; porAlberto Durero para la pintura en la Alemania luterana y por el polifactico Leonardo da Vincipara ambas artes en la Italia del Renacimiento.

A la creacin de la Escuela Normal sigui la Central de Trabajos Pblicos. El 21 de ventosoao II, 11 de marzo 1794, Barre pidi una Escuela de Ingenieros civiles y militares. El decreto,redactado por Fourcroy, se promulg el 7 de vendimiarlo ao III, 28 de septiembre 1794, y laEscuela se inaugur el 10 de frimario, 30 de noviembre, y el 15 de fructidor siguiente, 1 deseptiembre 1795, recibi el nombre de Escuela Politcnica, que conserva todava.

Deba tener cuatrocientos alumnos, elegidos por concurso, y los estudios duraban tres cursos,cobrando los estudiantes mil doscientos francos anuales, como los de la Normal. Monge fueencargado de organizar la Escuela y explicar Matemtica.

La Convencin, que haba modificado por completo el sistema poltico y social de Francia, nopoda negarse a aceptar innovaciones pedaggicas, y puede decirse que, a partir del ao 1795,los mtodos de enseanza sufrieron una transformacin radical en manos de Monge. Hastaentonces, el sabio propiamente dicho slo enseaba rara vez. Era un hombre dedicado a lainvestigacin, mal vestido y peor alimentado, que, por regla general, saba lo que todo elmundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo saba; un hombre al margen de todos losdems, que slo tena contacto con sus compaeros de tal o cual sociedad cientfica, de lasque empezaron a crearse a fines del siglo anterior, y que publicaba el resultado de susmeditaciones en alguna de las revistas que ya se editaban y a las que se debe la iniciacin delintercambio intelectual que es hoy una necesidad imperativa y slo era entonces un balbuceo.

Pero a partir de Monge, el sabio no profesor es una excepcin. Creci de manera sorprendenteel nmero de vocaciones cientficas y, en particular, las matemticas, y ms en particular lasgeomtricas. Monge form una verdadera escuela de gemetras que ilustran los nombres deLacroix, Hachette, Dupin, Briachon y Gaultier de Tours, para no citar ms que a sus discpulosinmediatos, quienes introdujeron en la Geometra mtodos demostrativos que habranrechazado los antiguos como una licencia incompatible con su concepcin matemtica delrigor, pero que en manos de los gemetras de la escuela de Monge condujeron a resultadosfelices.

La Politcnica ejerci una influencia decisiva en la enseanza de la Matemtica, a pesar de susdos defectos originales: el sistema centralizador, caracterstica, por otra parte, de la polticafrancesa, que hizo crecer demasiado el nmero de alumnos, y el criterio de los tribunalesexaminadores que juzgaban por las esperanzas de los candidatos, lo que trajo comoconsecuencia ciertos lamentables fracasos, como el de Galois; pero hay que hacer a laConvencin la justicia de declarar que no slo supo dirigir el patriotismo y la abnegacin de losfranceses del perodo revolucionario, sino que su a veces exagerada neofilia fue fecunda enmateria de pedagoga matemtica mediante la creacin de las escuelas Normal y Politcnicaen las que dej imborrable huella de len uno de los ms grandes gemetras de la Historia.

No hay que olvidar tampoco al ya citado Lakanal, que fund las Escuelas Centrales cuyosbecarios ostentaban el ttulo de "Discpulos de la Patria", ni a Condorcet, que cre la Sociedad

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Nacional de Ciencias y Artes, el 5 de fructidor del ao III, 22 de agosto 1795, lo que le acarreno pocos disgustos y sinsabores una vez apagado el fermento revolucionario.

Y llegamos ya al ltimo perodo de la vida de Monge, que empieza el ao 1796 con una cartade Napolen en la que el militar deca al matemtico: "Permtame que le agradezca la acogidaque el ministro de Marina de 1792 dispens en cierta ocasin a un joven oficial de Artillera,desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el general delEjrcito de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga."

Esa carta fue el origen de la amistad entre Monge y Napolen, amistad desinteresada por partede ambos, lo que no tiene nada de particular respecto de Monge, que era noble, pero srespecto de Napolen, que era un ambicioso y nada sensible a los afectos. Comentando estaamistad, el astrnomo Arago pone en boca de Bonaparte esta frase: "Monge me adora como auna amante." Napolen no olvid que Monge, siendo ministro de Marina, le haba ayudado ensu carrera, y su gratitud se tradujo por el nombramiento, juntamente con Berthollet, decomisario del Directorio para seleccionar las obras de arte "regaladas" por los italianos comoaportacin voluntaria" para contribuir a los gastos de guerra. Estos regalos y aportacionesvoluntarias son eufemismos napolenicos que hoy no nos sorprenden. Comparado con losdictadores actuales, Napolen resulta un ingenuo en el arte de desvalijar; pero tuvo en cuentala opinin de Monge cuando ste le aconsej moderacin.

Al ao siguiente de su viaje a Italia como perito de arte, Monge hubo de hacer otro comomiembro de la comisin nombrada para depurar responsabilidades con motivo del asesinatodel general Duphot. A la comisin se le ocurri la "luminosa" idea de proponer elestablecimiento de una Repblica de tipo francs, a lo que se opuso sensatamente ciertodiplomtico diciendo que haba que poner un lmite a todo, incluso a los derechos de conquista.Los hechos le dieron la razn ocho meses despus cuando, proclamada la Repblica en Italia,se encontr en un aprieto Napolen, entonces en El Cairo, y con , Monge, que era una de laspocas personas que conocan el plan de invasin a Egipto.

Y en este momento entra en escena Fourier, el creador de la Fsica matemtica moderna, consu Teora analtica del calor, obra calificada por lord Kelvin de gran poema matemtico, a pesarde su evidente falta de rigor desde el punto de vista de la Matemtica pura.

Jos Fourier haba nacido en Auxerre el 21 de mayo de 1768. Tena, pues, treinta aos cuandoconoci a Napolen personalmente. Siendo un nio de ocho aos muri su padre, que era unmodesto sastre, y el huerfanito fue recomendado al obispo de Auxerre por una dama caritativa.El prelado lo intern en la Escuela Militar de la ciudad, que regentaban los benedictinos, dondeno tard en destacarse por su talento. A los doce aos escriba sermones para los signatariosde la Iglesia, quienes se los aprendan de memoria y los lanzaban desde el plpito como piezasoratorias originales.

Los benedictinos le aconsejaron que ingresara en su orden, y Fourier, que saba que laEscuela Militar no poda conceder el ttulo de oficial al hijo de un sastre, decidi meterse afraile, a cuyo efecto hizo el noviciado en la abada de Saint Benoit; pero antes de pronunciar losvotos estall la Revolucin y Fourier cambi la vida silenciosa de la celda conventual por lavida agitada del Pars de 1789, decidido a tomar parte en las revueltas callejeras y dedicarse ala Matemtica, ciencia con la que haba trabado conocimiento en la Escuela Militar de Auxerre.

Su inclinacin natural le gui hacia el estudio de las ecuaciones numricas, y el 9 de diciembrede aquel ao glorioso present a la Academia de Ciencias una memoria que caus gransensacin en el mundo matemtico, y fue nombrado alumno de la Escuela Normal. All conocia Monge y al poco tiempo lleg a "matre de confrences", pasando luego a la Politcnica,donde afirm su amistad con el creador de la Geometra Descriptiva.

El ao 1798 ambos fueron nombrados, con Berthollet, miembros de la Legin de Cultura queNapolen llev consigo a Egipto "para tender una mano segura a los pueblos desgraciados y

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libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de hacerles gozar sinretraso de los beneficios de la civilizacin europea", palabras que no son de un poltico, sino deun astrnomo, Arago que explicaba, en 1883, las razones que movieron a Napolen para llevara cabo la campaa de Egipto.

La flota francesa, que se compona de quinientos barcos, lleg a Malta el 8 de junio, y tres dasdespus los gruones tomaban la plaza, Como primera medida civilizadora, Monge cre quinceescuelas elementales y una Superior calcada sobre el molde de la Politcnica. A los pocosdas, el Oriente, que llevaba el pabelln napolenico y a cuyo bordo iban los tres mosqueterosde la cultura europea: Monge, Fourier y Berthollet, zarp rumbo a Egipto.

Durante la travesa, Napolen trazaba todas las maanas el plan de la tertulia nocturna paradespus de cenar. Eran charlas de tipo cientfico y los asuntos que ms preocupaban al corsoy que someta constantemente a discusin eran: la edad de la Tierra, su posible destruccinpor el agua o por el fuego y la pluralidad de mundos habitados. Este ltimo tema demuestraque los delirios de Napolen superaban a los de Alejandro. El capitn macedonio soabamodestamente con conquistar el mundo entonces conocido, mientras que Napolen hacaplanes subconscientes para invadir los planetas del sistema solar, porque el globo terrqueo,incluida Amrica, de la que tambin pens aduearse, era pequeo para su ambicinteratolgica. Si viviera hoy dira que su espacio vital empezaba en la Luna.

El 1 de julio lleg la flota francesa a Alejandra, y Monge, Fourier y Berthollet desembarcaroninmediatamente, apercibindose a remontar el Nilo hasta El Cairo, lo que si bien les impidipresenciar el asalto de la ciudad a los acordes de la Marsellesa, les puso a cubierto de unaposible emboscada. Napolen era previsor; pero un da se llev un susto descomunal al or unformidable caoneo procedente del ro. Temiendo por la suerte de los miembros de la Leginde Cultura, abandon el campo de batalla y corri al galope de su caballo hacia el sitio dedonde procedan los caonazos. El barco fluvial de los intelectuales haba varado en un bancode arena y era objeto de un ataque. Monge serva la pieza como un consumado artillero eintentaba rechazar en vano a los asaltantes, quienes, al divisar el famoso sombrero bicorne deNapolen, se dieron a la fuga.

Despus de la batalla de las Pirmides, 20 de julio, el ejrcito francs entr en El Cairocantando a grito pelado "Allons, enfants de la patrie", y los egipcios, que no entendan unapalabra, protestaban a su manera por la noche: rebanando todos los cuellos franceses quepodan, al amparo de la oscuridad.

Estos atentados preocupaban a Napolen; pero como le preocupaban ms las noticias dePars, decidi regresar secretamente a Francia con Monge y Berthollet, dejando a Fourier en ElCairo para que continuara su labor cultural. El viaje de vuelta no fue tan agradable como el deida. Evidentemente, el corso haba desertado ante el enemigo y en vez de pensar en invadir losplanetas pensaba en su suerte si lo atrapaban los ingleses. Como todos los dictadores que enel mundo han sido -y son- gustaba de los efectos teatrales y no se resignaba a morir de unamanera vulgar. Qu lejos estaba entonces de pensar que iba a acabar vulgarmente en unpeasco perdido en medio del Atlntico!

Encarg a Monge nada menos que hiciese volar el barco si era atacado por los ingleses.Justamente al otro da apareci una silueta sospechosa en el horizonte y todo el mundo seapercibi a rechazar el ataque; pero result que el barco era francs. Cuando se le pas elsusto, Napolen pregunt por Monge y grande fue su inquietud al no aparecer ste por partealguna. Luego de un minucioso registro, lo encontraron en el polvorn con una mechaencendida en la mano, y cost no poco trabajo convencerle de que aquello era una barbaridad.

Monge y Berthollet llegaron a Pars en lamentable estado. No se haban mudado de ropadurante toda la travesa. A Monge, en particular, no le conoci su portero -tan sucio iba!- y senegaba a dejarlo entrar en su casa.

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El 2 de enero de 1802 regres Fourier. Haba estado en El Cairo hasta que los franceses,despus de Trafalgar, se convencieron de que era a los ingleses a quienes correspondacivilizar a Egipto. Fourier fue nombrado prefecto del Isre con residencia en Grenoble, dondetuvo que resolver no pocos problemas de orden pblico. La regin estaba agitada por lascuestiones religiosas que recientes descubrimientos arqueolgicos hacan incompatibles con lacronologa bblica; pero Fourier consigui la tranquilidad desempolvando los huesos de un toabuelo: el bienaventurado Pedro Fourier, y los grenobleses se olvidaron de la Biblia para cantaralabanzas en loor de su coterrneo, tregua que aprovech Fourier para realizar grandestrabajos pblicos: la desecacin de las marismas, entre ellos, que beneficiaron aldepartamento.

Durante su estancia en Grenoble redact la Teora analtica del calor, cuya primera memoriapresent a la Academia de Ciencias el ao 1807, obteniendo tal xito que los acadmicospropusieron este tema para el Gran Premio de 1812, al que concurri Fourier y se lo llev, apesar de las reservas que hicieron Laplace, Lagrange y Legendre sobre el rigor de ciertasproposiciones.

En esto radica precisamente la diferencia entre el matemtico puro y el fsico-matemtico. Elmatemtico puro, el matemtico a secas, slo dispone de las leyes de la Lgica como garantade sus descubrimientos, mientras que el fsico tiene al alcance de la mano la realidad delUniverso para comprobar experimentalmente las deducciones de aqul. El matemtico semueve en la serena regin del pensamiento, mientras que el fsico acta en la regintumultuosa del mundo exterior. El primero; se da por satisfecho cuando sus teoremas no tienencontradicciones internas ni estn en oposicin con proposiciones ya demostradas o admitidas,mientras que el segundo exige el acuerdo entre la teora y la prctica, y cuando falla esteacuerdo le vuelve la espalda a los teoremas "demostrados", con gran indignacin delmatemtico que quiere ver el Universo como un sistema de ecuaciones diferenciales conarreglo a un fanatismo que hinca sus races en el determinismo newtoniano, y para quien lafalta de un parmetro en una frmula es tan irritante como la falta de un acento para unhelenista en un texto de Platn; pero a veces se da el caso -tal el de Fourier- de que,despreciando la meticulosidad lgica, el fsico construye un monumento matemticoimperecedero.

La Fsica no toma una ecuacin como, por ejemplo, la de Laplace relativa al movimiento de unfluido y la tira contra la cabeza del matemtico para que le d una solucin general, sino que,las ms veces, le pide algo mucho ms difcil: una solucin particular que satisfaga ciertascondiciones dependientes del problema que quiere resolver. Anloga a la aludida ecuacin deLaplace es la que encontr Fourier para el movimiento trmico de un conductor y, mediantesucesivas experimentaciones con varillas metlicas, cre la teora de los valores-fronterasadaptando las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las condiciones iniciales dadas, ydemostrando que toda funcin fsica se puede desarrollar en serie trigonomtrica bajo ciertascondiciones que, afortunadamente, no tienen importancia desde el punto de vista prctico, yque toda curva peridica, sin ordenadas infinitas, es descomponible en un cierto nmero decurvas armnicas de perodos conmensurables, lo que dio origen al invento de las mquinasllamadas analizadores armnicos, que permiten determinar mecnicamente las amplitudescorrespondientes a los perodos necesarios para construir una curva peridica dada.

El ao 1812, en que Fourier gan el Gran Premio de la Academia de Ciencias, anunciado comoel ao de la victoria, fue el de la retirada de Rusia. Monge no haba ido a la campaa porqueera demasiado viejo. Tena sesenta y seis aos, y cuando el famoso Boletn XXIX anunci laderrota del ejrcito francs y su literatura fue como el canto de cisne del imperio napolenico,Monge recibi tal impresin que sufri un ataque de apopleja. Su amor a Francia era grande,como tambin era grande su afecto a Napolen, lo que no le impeda decirle a veces verdadescomo puos. Por ejemplo: cuando Bonaparte se coron emperador, los alumnos de la EscuelaPolitcnica promovieron un alboroto que lleg a odos del flamante csar, quien se quej aMonge preguntndole si los politcnicos se haban declarado enemigos suyos, y Monge lecontest tranquilamente: "Es natural. Me cost mucho trabajo hacerlos republicanos y, como

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usted ha cambiado de casaca tan bruscamente, no he tenido tiempo todava de hacerlosimperialistas."

La amistad de Fourier, en cambio, se enfri, y Luis XVIII lo respet en el cargo de prefecto delIsre. Por cierto que cuando el 19 de mayo de 1815 Napolen volvi de Elba, Fourier, queestaba en Grenoble, march a Lyon para prevenir al rey de lo que suceda y el rey, con suborbnica cerrazn mental, no le hizo caso. La consecuencia es demasiado conocida pararecordarla. Lo que s diremos es que Fourier fue detenido y conducido a Bourgoin anteNapolen, que consultaba un mapa con un comps en la mano en el momento en que Fourierentr en su despacho. -Qu hay, prefecto? -le dijo Napolen sin levantar la vista del mapa-. Me ha declarado ustedla guerra? -Seor -respondi Fourier-, mi deber... -Su deber? Es usted tan ciego que no ve que nadie comparte su opinin? Lo nico quesiento es que usted, un egipcio, un hombre que ha compartido conmigo el pan del vivac, unviejo amigo, figure hoy en las filas de mis adversarios. Seguramente olvida lo que yo hice porusted en El Cairo.

Fourier no quiso recoger la ltima frase. Era demasiado bueno para recordar a Napolen suhuda. Dos das despus ste volvi a llamarle para darle cuenta de su plan. -Qu le parece? -le pregunt. -Un disparate condenado al fracaso -le respondi Fourier sin inmutarse.

Y agreg: -Se puede usted encontrar con un fantico que le desbarate sus proyectos. -Los Borbones no cuentan ni siquiera con un fantico.

Y cambiando el tema de la conversacin, aadi: -Ya habr ledo que me han declarado fuera de ley. Yo ser ms indulgente. Me limitar aexpulsarlos de las Tulleras.

Cuando, en efecto, volvi a instalarse en las Tulleras, Napolen, aparte de sus proyectosblicos, empez a preocuparse de la cultura con ms intensidad que antes. Al fin y al cabo erahijo del siglo XVIII y discpulo de la Enciclopedia, y, con su natural visin de la realidad,comprendi que los idelogos vencidos el 18 de brumarlo empezaban a dar seales dedescontento.

Era ya demasiada la sangre vertida y Francia se vea complicada en nuevas guerras. Losesfuerzos militares afectaban profundamente la economa nacional, y aunque el bloqueoaduanero y la exclusin de las manufacturas inglesas favorecan la industria francesa, hasta elpunto de que en Italia slo se permita la importacin de productos textiles fabricados enFrancia, la patria de Watt segua siendo insustituible, gracias al maquinismo que haba tomadoformidable impulso en Inglaterra en el ltimo tercio del siglo XVIII.

En Francia faltaban especialmente el algodn y los productos coloniales: especias, caf y,sobre todo, azcar. Por cierto que la falta de azcar dio origen a una nueva industria. LaQumica haba descubierto la existencia de azcar en la remolacha, y dos alemanes, Marggraffy Achard, consiguieron extraerla; Napolen, que careca de escrpulos, se aprovech de estedescubrimiento.

Por aquellos das empez la decidida proteccin a los sabios. Humboldt, Volta, Ampre,Gay-Lussac y otros supieron de su liberalidad, y alguno tambin de su ingratitud.

En materia de enseanza reorganiz las escuelas Normal y Politcnica, dndoles unacentuado matiz uniforme, centralista y utilitario. Napolen slo consideraba la Ciencia por susaplicaciones prcticas y siempre prefiri las escuelas profesionales a las universidades, porque

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ignoraba que las ideas son tanto ms fecundas cuanto ms abstractas y que los grandesprogresos industriales se gestan en el silencio fecundo del laboratorio.

Los ltimos aos de Fourier fueron tristes. De su estancia en Egipto sac la peregrinaconsecuencia de que el calor del desierto es condicin indispensable para la salud y se fajabay forraba como una momia. En su casa haca siempre un insoportable calor de horno. Durantela segunda Restauracin tuvo que vender sus muebles para mal comer, pero su situacineconmica mejor un poco cuando sus amigos consiguieron para l la direccin de la Oficinade Estadstica del Sena.

La Academia de Ciencias lo llam a su seno en 1816 y los Borbones no le dejaron sentarse enel codiciado silln; pero fue reelegido al ao siguiente, y desde el de 1822 desempe el cargode secretario perpetuo hasta su muerte, acaecida en Pars el 16 de mayo de 1830 aconsecuencia de un ataque cardaco, en los momentos en que correga las pruebas deimprenta de su obra sobre ecuaciones numricas, fruto de cuarenta aos de estudios ymeditaciones.

El final de Monge fue ms lento. Aunque apenas se le vea, retirado casi siempre en su casa decampo, no dej de ejercer influencia sobre Napolen, a quien sigui admirando -no as Fourier-despus de Waterloo.

La primera Restauracin produjo en su imperial amigo un hondo sentimiento de rencor hacialos que haban cambiado de ideario poltico; pero atendi a los sentimientos de piedad que leinvoc Monge, cuya doble carrera de revolucionario y de favorito de Napolen hizo de sucabeza, en el final de su vida, un objeto codiciado por los Borbones, lo que le oblig a cambiarde domicilio varias veces para huir de los esbirros que lo perseguan.

He aludido antes a la idea napolenica de conquistar Amrica, punto en que parecen estar deacuerdo todos los historiadores. Sin embargo, la referencia de Monge difiere. Su intimidad conNapolen le presta caracteres de verosimilitud.

Segn Monge, adems de sus ambiciones de conquistador, Bonaparte tena ambicionescientficas. Quera ser un segundo Humboldt. -Voy a empezar una nueva etapa en mi vida -le dijo en una ocasin, poco antes de Waterloo- yquiero dejar obras y descubrimientos dignos de m, para lo cual necesito una persona queprimero me ponga al corriente del estado actual de la Ciencia y sea luego mi compaero deviaje al Nuevo Mundo. Ambos recorreremos toda Amrica, desde Alaska al cabo de Hornospara estudiar su fauna y su flora, as como los prodigiosos fenmenos de la Fsica terrestreacerca de los cuales no han dicho todava su ltima palabra los cientficos. -Yo ser ese compaero -repuso Monge que tena ya cerca de setenta aos. -Usted es demasiado viejo. Necesito un hombre joven.

Monge pens en Arago; pero los ingleses interrumpieron las negociaciones metiendo aNapolen en el Belerophon y mandndolo a Santa Elena.

El gran gemetra muri el 28 de julio de 1818, causando gran consternacin en el mundocientfico. Los politcnicos pidieron permiso para asistir a su entierro; pero el rencoroso Borbnque detentaba entonces el trono de San Luis, lo neg. Al da siguiente los estudiantesacudieron en masa al cementerio, y sobre la tumba del maestro depositaron una corona derosas rojas, como la sangre de quien nunca reneg de ser un humilde hijo del pueblo.

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Captulo TerceroUN DESAFIO MATEMTICO

TARTAGLIA Y CARDANO

En la poca en que florecen los dos matemticos a quienes se contrae este ensayo, habadesaparecido ya la separacin entre la Aritmtica prctica, que se enseaba por medio delbaco, y la Aritmtica terica, que comprenda las propiedades de los nmeros y lasproporciones con arreglo a la tradicin romana, y se hablaba de una Aritmtica universal queparticipaba del lgebra: Aritmtica algortmica, a cuyo desarrollo contribuy en gran parte ladifusin de los calendarios, tanto para usos eclesisticos como astrolgicos y mdicos porquetenan las fechas indicadas en caracteres indios, impropiamente llamados arbigos, los cualesderrotaron definitivamente a las cifras romanas en toda Europa, excepto en Italia, hasta el sigloXV, a pesar de ser sta la cuna de la Aritmtica mercantil, una de cuyas primeras conquistasfue el sistema de contabilidad por partida doble, y a pesar de los esfuerzos de Leonardo dePisa, que dedica un capitulo de su famoso Lber Abacci a cantar las excelencias de los diezguarismos, incluyendo el cero: quod arabice zephirum apellatur.

Triunfante, al fin, la enumeracin india y destruida la barrera que separaba las dos Aritmticas,renace el lgebra sincopada que desde Diofanto de Alejandra, su verdadero iniciador, habapermanecido en estado larval durante la Edad Media.

Aprovechando las fuentes rabes de origen indio y prescindiendo de las inspiradas en lasobras didcticas griegas, que no slo no sustituyen el clculo de cantidades por combinacionesimaginadas con stas, sino que tampoco explican ni aun las frmulas de las reas, por mediode lamedida de sus magnitudes, las reglas del lgebra extraan su demostracin de lasconstrucciones geomtricas.

Como concepcin sinttica de la Matemtica, el lgebra es una tcnica de clculo sincontenido, un mtodo Matemtico por excelencia, en el sentido luliano, cuyo papel se reduce aasociar elementos simples de tal modo que, formando progresivamente compuestos cuyaestructura es cada vez ms complicada, tiende a hacer intil la inteligencia y a reducir elrazonamiento a reglas que se dejan aplicar Sucesivamente, pero como auxiliar de laGeometra, produjo frutos en el Renacimiento dando una fisonoma especial a la ciencia deEuclides y actuando sobre ella de un modo influyente para su desarrollo ulterior, a pesar de lapesadez, inelegancia y laboriosidad con que se aplicaba; y cuando, aparecen en la historia dela Matemtica Tartaglia y Cardano, el lgebra sincopado sigue siendo una ciencia de origenrabe dedicada al estudio sistemtico de las ecuaciones o regla de la cosa, as llamada porhaberse dado a la incgnita el nombre de res, cosa, que los algebristas de la pocarepresentaban por una R. La x con que hoy se representa es de origen cartesiano.

Dos hechos casi simultneos influyeron poderosamente en el progreso que inicia entonces ellgebra: la invencin de la imprenta y la toma de Constantinopla por los turcos. Gracias a losgriegos cultos que huyeron de la invasin otomana, el Occidente europeo conoci a losgrande