UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

PROYECTO 1. CALCULO III. PROF. DORIS HINESTROZA G

LOSVECTORESVELOCIDADYACELERACIONENCOORDE-NADAS POLARES.

Recordemos que las coordenadas cartesianas (x; y) están ligadas a las coordenadas polares r, � mediante larelación

x = r cos �; y = rsen �:

Consideremos el radio vector que une el origen con el punto (x; y) el cual denotaremos por

�!r = r cos �i+rsen �j =r(cos �i+sen �j)

siendo r = k�!r k :El vector �!ur = cos �i+ sen �j es un vector unitario en la misma dirección del vector �!r : Así �!r = r�!ur:Actividad 1: De�niendo el vector u� =

durd�; muestre que

du�d�

= � cos �i�sen �j: ¿Son los vectores ur y

u� perpendiculares? ¿Cómo son los vectores ur ydu�d�? Observe que los dos vectores ur y u� desempeñan

el mismo papel en coordenadas polares que los vectores i y j coordenadas rectangulares. Vamos a suponerque las coordenadas polares r y � son funciones de t; es decir r = f(t); � = g(t): Así podemos de�nir lafunción vectorial ��!

r(t) = r�!ur = f(t)�!ur:

Actividad 2. Demuestre que la velocidad está dada por

��!v(t) =

��!r0(t) =

dr

dtur + r

d�

dtu�:

Los coe�cientesdr

dt; rdu�dt

que multiplican a los vectores ur y u� respectivamente, se llaman componentesradial y transversal del vector velocidad respectivamente.

Actividad 3. Dado que en general, ��!v(t) 2 = ��!v(t) � ��!v(t), muestre que la rápidez está dada por ��!v(t) =

s�dr

dt

�2+

�rdu�dt

�2:

y que vector aceleración está dado por

�!a = d2r

dt2� r

�d�

dt

�2!�!ur +

�rd2�

dt2+ 2

dr

dt

d�

dt

��!u�:

Determine las componentes del vector aceleración en terminos de los vectores de la base ur y u�: La primeracomponente se llama componente radial y la segunda componente transversal.Actividad 4. El vector aceleración se llama radial si la componente transversal es siempre cero. Muestreque la componente transversal se puede escribir como

1

r

d

dt

�r2d�

dt

�

1

y en el caso de que la aceleración sea radial muestre que

r2d�

dt= c;

donde c es una constante.En el caso que r = f(t); y � = g(t), y es posible despejar t entonces r = R(�):Se puede mostrar que el área de la región que se ve en la �gura (no se demostrará este resultado)está dada por

A(t) =1

2

Z g(t)

g(a)

R2(�)d�.

Actividad 5. Utilice este resultado y demuestre que A0(t) = 12r2 d�dt : De acuerdo a la actividad 4 r2 d�dt = c;

lo cual implica que A(t) = 12ct+ k; k constante que podemos suponer es cero. Así A(t) =

12ct: Observe este

resultado implica que A(t2) � A(t1) = 12 (t2 � t1). Suponiendo t2 > t1 y �t = t2 � t1, observemos que si

tenemos cualesquier otros tiempos t3; t4 tales que t4 � t3 = �t; entonces las áreas barridas son iguales.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES VECTORIALES AL

MOVIMIENTO PLANETARIO.

En 1600 el astromo Johannes Kepler se propuso estudiar las leyes matemáticas que rigen el movimiento delos planetas. Kepler enunciá tres leyes que describen los movimientos planetarios. Estas leyes se enunciancomo sigue:

1. Primera ley de Kepler. Los planetas describen órbitas elipticas , estando el sol en uno de los focos.

2. Segunda ley de Kepler. Las áreas barridas por el radio vector desde el sol a un planeta son propor-cionales al tiempo. Esto es el radio vector del sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Tercera ley de Kepler. El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de sus distanciamedia al sol.

El período se entiende como el tiempo necesario para recorrer una vez la elipse. La distancia media al soles la mitad de la longitud del eje mayor.Newton mostró que estas tres leyes eran consecuencia de su segunda ley del movimiento y de la ley de lagravitación universal. Usando de las propiedades de las funciones vectoriales vamos a deducir algunas de lasleyes de Kepler.

Vamos a describir el movimiento de un planetas en un sistema de coordenadas polares en el plano con el solcomo el polo. Designemos por el vector �!r la posición desde el sol al planeta.Sea r = k�!r k y �!ur un vector en la misma dirección de �!r ; así �!r = r�!ur. De acuerdo a la segunda ley delmovimiento �!

F = m�!a

donde �!a es el vector aceleración del movimiento del planeta.Actividad 6. Teniendo en cuenta la actividad 3, muestre que la fuerza se puede escribir en la forma

�!F = Fr

�!ur + F��!u�;

determinando exactamente las componentes. Haz un grá�co mostrando la descomposición de�!F :

2

La ley de la gravitación universal establece que

�!F = �GmM

r2�!ur

donde G es una constante. Así tenemos que

m�!a = �GmMr2

�!ur =) �!a = �GMr2�!ur

Determine si la Fuerza es centripeta. ¿Es�!F radial? ¿Qué propiedad cumple

�!F si es radial? ¿Son los

vectores �!a y �!r son paralelos? Muestre que

d

dt(�!r ��!v ) = �!0 :

¿Implica este resultado que�!r ��!v = �!n

para un vector �!n es un vector constante?. ¿Que sucede si �!n =�!0 ?: ¿Podría darse que �!n =

�!0 para el

movimiento de los planetas?. ¿Cuál es la conclusión? Muestre que �!n 6= �!0 y que

�!r � �!n = 0:

¿Implica este último resultado que �!r está en un plano que tiene vector normal �!n :Actividad 7. Usando el resultado de la actividad 2 muestre que

�!n = r2 d�dt�!ur ��!u� = r2�!ur �

d�!urdt

y que

k�!n k =����r2 d�dt

���� = c:(Use la actividad 4).Actividad 8.Recuerde que en general entre vectores se cumple que �!a � (�!a ��!c ) = �k�!a k�!c : Muestre que

�!a ��!n = �GM �!ur ���!ur �

d�!urdt

�= GM

d�!urdt

=d

dt(GMur):

Muestre también que�!a ��!n = d

dt(�!v ��!n ):

(Use la actividad 6). Por lo tanto concluya queCon y por lo tanto d

dt (�!v ��!n �GMur) = 0 y muestre que

�!v ��!N = GMur +�!b :

¿Qué propiedad tiene�!b ?

Actividad 9. De acuerdo a la de�nición de �!n ; muestre que �!b � �!n : = 0. ¿Implica esto que�!b está en el

mismo plano donde está la trayectoria del planeta?Actividad 10 Ahora usando la propiedad que �!a :(�!b ��!c ) = (�!a ��!b ):�!c ; muestre que

�!r � (�!v ��!n ) = k�!n k2 = n2

donde n = k�!n k :

3

Por otro lado puesto que�!v ��!n = GMur +

�!b

Actividad 11. Utilizando el resultado de la actividad 10 y multiplicando escalarmente por �!r demuestreque

n2 = �!r � (�!v ��!n ) = GMr + rb cos �

donde b = �!b y � es el ángulo formado entre �!r y �!b : Usando el resultado de la actividad 13 pruebe que

r =n2

GM + b cos �:

divida por GM y obtenga

r =n2

GM

1 + bGM cos �

;

Haga p = n2

GM y " = bGM : y demuestre que

r =p

1 + " cos �

y describa esta cónica considerando que la trayectoria que sigue el planeta cerrada que cónica se determina¿Puede concluir naturalmente que " < 1?: Si denotamos por 2a el eje mayor y por 2b el eje menor tenemosque la excentricidad

" =

pa2 � b2a

=) "2a2 = a2 � b2 =) b2 = a2(1� "2)

Por otro lado teneindo en cuenta que para � = 0 y � = � en la ecuación polar de la elipse podemos hallar elvalor de a en términos de "; ya que

2a =p

1 + "+

p

1� " =2p

1� "2 =) a =p

1� "2 :

Actividad 12. Teniendo en cuenta que el área de una elipse está dada por �ab: Si denotamos por T elperiodo que gasta el planeta en dar una vuelta completa muestre que

A(T ) =1

2cT

y dado que c = k�!n k = n; muestre que 12nT = �ab y por lo tanto T =

2�n ab =) T 2 = 4�

n2 a2a2(1� "2): Como

p = n2

GM muestre que

T 2 =4�

a(1� "2)GM a4(1� "2) =) T 2 =4�

GMa3 = ka3:

Este resultado demuestra la tercera Ley de Kepler.

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