3. Vectoresespacio matemático

Establezcamos las bases

3*(4,5,6,7)

3+(4,5,6,7)

Propiedad distributiva de la multiplicación

¿Qué propiedad la soporta?

(3,3,3,3)+(4,5,6,7)4x+5y+6z=73x+3y+3z=3+

LAS OPERACIONES TIENESQUE SER CONFORMABLES

EN LOS ESPACIOS MATEMÁTICOS

¿Qué pasa en el siguiente caso?

3∗[ (4,5,6,7 )(1,9,2,3 )]=3 [𝐴𝐵 ]=[3 𝐴3𝐵]=[3∗(4,5,6,7)

3∗(1,9,2,3)]1xn nxm

Espacio Vectorial Espacio Matricial

Definición de vector (Recordatorio)• Significado matemático

• Una lista de números (arreglo)• El arreglo es ordenado cada número (componente tiene

un significado por su posición)

• Significado geométrico• Cada número tiene una magnitud y dirección• Magnitud la da el número (longitud)• La dirección el signo (tal como lo vimos en coordenadas

cartesianas)

• A cada número (incluido el signo), se le denomina componente del vector

• El número de componentes establece la dimensión del vector

• En este ejemplo hay 3 componentes (n=3) el valor de x, y, z

3 mts. derecha

magnituddirección

4 mts.

frente

1 mts. arriba

(+3,+4,+1)

Espacio Matemático (Recordatorio)

Un Espacio Matemático esta constituido por las estructuras numéricas; una serie de operaciones y ciertas propiedades que conforman un álgebra

Espacio vectorial (matemático)

• Definición: El espacio vectorial consta del conjunto de todas las colecciones ordenadas de n números reales• En otras palabras son conjuntos de vectores con:

• Dos operaciones fundamentales• Conformables

• Propiedades para estas operaciones

• En otras palabras tiene su propia álgebra

{𝑉 /𝑣=(𝑣¿¿1 ,𝑣2 ,…,𝑣𝑛)}¿Estructura fundamental numérica

Operaciones fundamentales

Conmutativa adiciónAsociativa adiciónElemento nulo adiciónInverso Aditivo Y otras propiedades de la multiplicación

Igualdad

• Lista ordenada de números• En espacio n dimensional• la lista de llama n-pleta (ejem. tripleta3D)

Sean:

𝑎=𝑏Entonces sí y solo si

Establezca igualdades entre los vectoresa=(34,2,14,5,7,8) b=(2,2) c=(3,1,4,5,0)d=(0,5,4,1,3) e=(1/2,1/5) f=(34,2,14,5,7,8)h=(0,5,4,3,1) i=(3,1,4,5,0) j=(0,5,4,1,3)k=(-1/2,1/5) l=(3,1,-4,5,0) m=(0,5,4,1,0,3)n= o=(0,5,4,1,3) p=(-1/2,1/5)

Suma de vectores

Sean: Entonces:𝑎+𝑏=(𝑎1+𝑏1 ,𝑎2+𝑏2 ,…,𝑎𝑛+𝑏𝑛)

Ejemplo

(2,3)+(4,5) = (2+4,3+5)=(6,8)

Propiedades de la adición de vectores• Asociativa(A+B) + C = A + (B+C) • ConmutativaA + B = B + A• Elemento neutro (0,0,..,0)0 + A = A• Inverso Aditivo A + = (0,0,…,0)

Realice las siguientes sumas

a=(2,5,7); b=(1,6,4.3) e=(.3,.331);f=(-.15,-2.12)a+b e+f

; g=(34,1,45,23,7); h=(1,44,23,-4,3.5)c+d g+(-h)=g-h

Multiplicación por un escalar

𝑎=(𝑎1 ,𝑎2 ,…,𝑎𝑛)Sean:

𝜆 Un valor escalar cualesquiera

Entonces:𝜆𝑎=(𝜆𝑎1 ,𝜆𝑎2 ,…,𝜆𝑎𝑛)

Ejemplo4*(2,3) = (4*2,4*3)=(8,12)

(𝜆∈ℛ , (𝑎 ,𝑏)∈ℛ𝑛 )donde

Propiedades del producto por un escalar• Si y entonces

• Si entonces

• 1A=A y -1A=-A• A=0 =0 o A= (0,0,…,0)

Realice las siguientes multiplicaciones por un escalar =7; a=(1,6,4.3) a b

Replanteamiento

• Espacio vectorial con una estructura numérica y un álgebra• Dos operaciones binarias (+,*)• Entonces “Se realizan combinaciones lineales sobre vectores”• Principales espacios vectoriales • en fácil de imaginar en su representación matemática • difícil de visualizar

Subespacios vectoriales• donde W es un subespacio vectorial si

• A y B son vectores de W, su suma A+B también pertenece a W• A y (escalar arbitario) entonces W

Ejemplo en 2D

W es sub-espacio de porqué

(0,0) esta en Rademás(a,0) y (b,0) están en Esto implica que A+B = (a+b,0)

2*A

donde W es un subespacio vectorial si

A y B son vectores de W, su suma A+B también pertenece a WA y (escalar arbitario) entonces W

Ampliando el ejemplo a 3D

Plano xy

Plano yz

Plano xz

W es sub-espacio de porqué

(0,0,0) esta en

además(a,0,0) y (b,0,0) están en Esto implica que A+B = (a+b,0,0)y también =(,0,0)

Por otro lado sea W un plano (XZ)W es sub-espacio de porqué

y están en

También se cumple suma y multiplicación

Definición de combinación lineal (Recordatorio)

Donde V es un espacio vectorial y K es un conjunto de coeficientes escalares

Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores A si se puede expresar como suma de los vectores de A multiplicado cada uno de ellos por un coeficiente escalar k

𝑐1=𝑎1𝑣1+𝑎2𝑣2+𝑎3𝑣3+…+𝑎𝑛𝑣𝑛

Ejemplos Combinaciones lineales

Sean¿entonces C es combinación lineal de A y B porqué

C=2A + (-3) B

C = 2(1,1) + (-3) (2,-1) = (2,2) + (-6,3)=(-4,5)

Prueba de conocimiento

1. ¿Es el vector (2,1) combinación lineal de (1,0) y (-2,0)?2. ¿Todo vector es combinación lineal de los vectores ? …Explique3. Y si extendemos a ¿ que pasa?sea y los vectores

Concepto subespacio vectorial

• El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores de es un subespacio vectorial de • Se le llama subespacio generado por • De tal forma que un subespacio vectorial W está generado por los vectores

de si W consta de todas las combinaciones lineales de estos vectores• están incluidos en W y son la base del subespacio generado• Cualquier vector C depende linealmente de si es una combinación lineal

de • En otras palabras si C pertenece al subespacio vectorial W generado por

Dependencia lineal

• Cualquier vector C depende linealmente de si es una combinación lineal de • En otras palabras si C pertenece al subespacio vectorial W generado

por • Se dice que un conjunto de vectores de es linealmente dependiente

si al menos uno de ellos depende linealmente de los restantes• Implica que hay un combinación lineal de ellos tal que

Ejemplo

• A=(1,1,0); B=(2,2,0); C=(0,0,1)son linealmente dependientes porqueB=2A+C

¿A qué es igual A?

Dependencia lineal

• Se dice que un conjunto de vectores de es linealmente independiente si al menos uno de ellos depende linealmente de los restantes

Independencia lineal

• Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes• El conjunto de vectores es linealmente independiente si la relación

solamente es posible cuando

Bases de subespacios vectoriales (dimensión)• Definición de baseUn conjunto de vectores de es una base del subespacio vectorial W de sia) es linealmente independienteb) genera a W

Cómo se genera

son una base de (llamada canónica)

Utiliza cualquier y confirma que te da cualquier punto en

Ahora también son una base en ¿qué subespacio genera?

Extendiendo a N dimensiones

También tenemos

Corolarios

1. Si un subespacio vectorial W de está generado por vectores, entonces cualquier conjunto de más de vectores de W es linealmente dependiente

2. En cualquier conjunto de más de vectores es linealmente dependiente

Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial W de es el número de elementos de cualquier base de W

Ejemplos:• la base canónica de tiene dos vectores base• o son base para cualquier vector sobre el eje de las abscisas o el de

las ordenadas; por lo tanto una recta tiene dimensión 1• Etc.

Tarea

• Diagramar un círculo unitario• Segmentar el vector unitario (absisas) • Ubicar las relaciones trigonométricas más significativas mínimo 0°, 30°, 45°, 60° y 90° (y obviamente sus complementos: 120°, 135° , etc.)• Entregar próxima clase (tiene calificación)