Vectores en el plano -...
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UNIDAD I: MATRICES
Vectores en el plano
Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo).Un
vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.
Dirección de un vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector
El sentido del vector 𝐴𝐵 es que va del origen A al extremo B.
Módulo de un vector
El módulo del vector 𝑨𝑩 longitud del segmento AB, se representa por 𝑨𝑩 .
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
𝒖 = (𝑢1, 𝑢2) 𝒖 = 𝑢12 + 𝑢2
2
Módulo a partir de las coordenadas de los puntos 𝑨𝑩
𝑨 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 𝑩 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 𝑨𝑩 = 𝑥2−𝑥1 2 + 𝑦2−𝑦1 2
Calcular el módulo del vector:
Ejemplo Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector 𝑣 = (k, 3) es 5.
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Concepto de matriz. Elemento y orden de una matriz.
Definición. Se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de m.n números dispuestos en m filas y n columnas
columna
fila = A
Se escribirá A= (aij)
Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño mxn.
Ejemplo : A =es una matriz de orden 2x4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.
Ejemplo. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro
notas por cada alumno y los resultados se pueden disponen mediante una matriz:
Evaluaciones
Alumnos
Dos matrices A y B , de Mmxn , son iguales si aij = bij para todo los i,j.
2. Tipos de matrices
Definiciones. La matriz se llama:
Matriz fila, si tiene sólo una fila.
Matriz columna, si tiene sólo una columna.
Matriz nula, O, si todos sus elementos son 0.
Matriz traspuesta de A y se designa A’ o At, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.
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Ejemplo Calcula la matriz traspuesta de
A = At =
Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.
Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (en vez de nxn).
Los elementos aii (i=1,2...,n) forman la diagonal principal de la matriz
Matriz diagonal la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, valen cero. Es decir aij= 0,
En particular, si todos los elementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.
Ejemplo. Escribe la matriz identidad de orden 5.
Matriz triangular
,
superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0.
Análogamente se define triangular inferior.
Ejemplo 3. La matriz es triangular superior.
Matriz simétrica, si coincide con su transpuesta, es decir aij = aji.
Ejemplo . La matiz identidad es una matriz simétrica.
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3. Operaciones con matrices.
I) Suma de matrices.
Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz
de orden mxn dada por:
La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n ,
verificándose además las siguientes:
Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.
II) Producto de una matriz por un número
Se define el producto de la matriz A = (aij) por el número real k así:
Propiedades. 1) (k + m ) A = kA + mA
2) (km) A = k(mA)
3) k (A +B) = kA + kB
4) 1.A = A
Consecuencia: El conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto por escalares es
un espacio vectorial.
Producto de matrices
Sean las matrices A y B llamaremos producto de matrices A y B, en ese orden, a la matriz C cuyo elemento
genérico Cij es la suma de los productos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de
B, o sea : C = A . B en donde: Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j +..........+aip . bpj
Dadas las matrices
A + B = ( aij + bij )
k.A = ( kaij)
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Sea
Calcule A2
Ejemplos
, , ,
Calcular
a. 2(B + C) y 3B + 7C
b. A (B + C) y AB + AC
Observación: Para que dos matrices, A y B, se puedan multiplicar tiene que ocurrir que el número de
columnas de A sea igual al de filas de B
Propiedades. 1) Asociativa, es decir A(BC) = (AB)C
2) (A +B ) C = AB +BC y A(B +C) = AB +AC
Notas:
1) El producto de matrices, en general, no es conmutativo.
Ejemplo. =,
=
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2) El producto de matrices tiene divisores de cero, es decir, podemos encontrar dos matrices no nulas
cuyo producto sea la matriz nula.
Ejemplo 5. =
Ejemplo. Sean A = , B = , C = .
a) Calcula A B. ¿se puede verificar A.B = B.A? , razona la respuesta.
b) Calcula A.(B.C) y (A.B)C.
Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar
las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se
interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras
geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma
tradicional así :
un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas,
donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema,
los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema,
las incógnitas xj son las variables del sistema,
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y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las
incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
Dode :
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema,
y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del
sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir
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Clasificación :Atendiendo a sus soluciones :
Atendiendo a sus términos independientes :
Eliminación de Gauss-Jordan
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los
renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón) 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e
introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido
al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno
al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada
reducida
Ejemplo Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas
ecuaciones:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga
las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
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Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos
como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda
y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4
veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando
1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
Despejando, podemos ver las soluciones:
Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada.
Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:
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Después,
Por último.
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:
Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.
EJEMPLOS Resolver el siguiente sistema:
2 3 3
2 1
4 2
x y z
x y z
x y
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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= −2
7x + 8y + 10z = 5
Inversa de una matriz: propiedades y cálculo. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1
y que verifica: 1 1A A A A I
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1
,
seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad
izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la
mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho
será la matriz inversa: A-1
.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
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La matriz inversa de A es
Ejemplo Halle la inversa de
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
1 2 3 : 1 0 0
2 5 3 : 0 1 0
1 0 8 : 0 0 1
A
Calcula la matriz inversa de :
DETERMINANTES
Conocimiento previo: Adjuntos
Definición:
Sea entonces
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Siendo el adjunto del elemento
Entonces el determinante de A es
Ejemplo Si
Recordando cómo se calculan los adjuntos (determinante del menor complementario, multiplicado por “-1”
cuando la suma de sub-índices de la posición del elemento es impar):
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
Calcule el determinante de
109
435
012
571
123
102
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Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
Ejemplo
\
Ejemplos
150
121
023
105
123
714
Propiedades de los determinantes
1 . |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2 . |A |=0 Si:
Posee dos l íneas iguales
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Todos los elementos de una l ínea son nulos.
Los elementos de una l ínea son combinación l ineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3 . Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal .
4 . Si en un determinante se cambian entre sí dos l íneas paralelas su determinante cambia
de signo.
5 . Si a los elementos de una l ínea se le suman los elementos de otra paralela
mult ipl icados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
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6 . Si se mul t ipl ica un determinante por un número real , queda mult iplicado por dicho
número cualquier l ínea, pero sólo una.
7 . Si todos los elementos de una f i la o columna están formados por dos sumandos, dicho
determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
8 . |A ·B| =|A| · |B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes
Encuentra A si
5023
3201
6150
4032
A
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Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones
Matriz adjunta
Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
Matriz inversa
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1
y que verifica:
Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de
Propiedades de la matriz inversa
(A · B)-1
= B-1
· A-1
(A-1
)-1
= A
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(k · A)-1
= k-1
· A-1
(A t)
-1 = (A
-1)
t
Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:
Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:
Después calculamos cada uno de los adjuntos :
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2 0
1
x y
x y
3 5 2
4 3 1
x y
x y
Ejemplo Calcule la inversa de
Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables Dado el sistema :
entonces:
Nota: El determinante D es el determinante de la matriz coeficiente. Si D es diferente de cero, entonces el
sistema tiene exactamente una solución. Por otro lado, si D = 0, entonces el sistema tiene infinito número de
soluciones o ninguna solución.
Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:
Nota: La regla de Cramer no se puede usar para resolver sistemas donde el número de variables no sea igual al
número de ecuaciones.
Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:
a x a y k
a x a y kcon D
a a
a a
11 12 1
21 22 2
11 12
21 22
0
,
x
k a
k a
Dy y
a k
a k
D
1 12
2 22
11 1
21 2.
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x y
y z
x z
2
3 4
3
Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables Dado el sistema:
entonces:
.
E jemplo
Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:
a x a y a z k
a x a y a z k
a x a y a z k
con D
a a a
a a a
a a a
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
,
x
k a a
k a a
k a a
Dy
a k a
a k a
a k a
Dz
a a k
a a k
a a k
D
1 12 13
2 22 23
3 32 33
11 1 13
21 2 23
31 3 33
11 12 1
21 22 2
31 32 3
Página 21 de 25
x y z
x y z
x y z
4
2 8
2 3
Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:
EJERCICIOS
1. Dadas y
(a)Describir los vectores filas y los vectores columnas de y
(b)Hallar , ,
2.En cada uno de los siguientes casos determinar y
(a)
(b)
3.Calcule los productos matriciales y
4. Para las matrices
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Verifique directamente la distributividad a la derecha
(A+B)C=AC+BC
¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justi que.
5.Dadas y
(a)Verifique que y
.Dadas las matrices en
Determinar a) 2A+3B + 2C b) AB c) BC
7.Calcular los siguientes determinante:
a) b) c)
8.Calcule los siguientes determinantes usando propiedades:
a) b) c)
9.Calcular el determinante de las siguientes matrices:
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10.Verificar que los siguientes determinantes son nulos:
Dadas las matrices y Hallar de manera que
11 Dadas las matrices
Y
Verifique que y
12. Una matriz se dice idempotente si y sólo si
(a)Pruebe que B es idempotente
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13. Calcule por el método de la adjunta la inversa de las siguientes matrices regulares:
14) Calcula la 1A de
343
215
321
A
15) Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.
1)
010
101
011
2)
112
201
121
3)
511
832
521
4)
471
642
853
5)
356
344
122
6)
201
243
121
16. En los siguientes ejercicios encuentra la determinante de la matriz después de introducir ceros como en el
ejemplo anterior.
1)
131
102
013
2)
114
021
403
3)
270
123
345
4)
526
315
620
5)
452
963
322
6)
242
635
583
7)
3021
5310
4102
2213
8)
0212
6134
0502
4023
Página 25 de 25
17. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas.
1)
42
543
yx
yx 2)
82
232
yx
yx 3)
2473
1652
yx
yx 4)
2473
1652
yx
yx
5)
473
1354
x
yx 6)
82
232
yx
yx
6
12
732
0
zyx
zyx
zyx
7
22
13
42
zyx
zyx
zyx
8
12223
52
184
zyx
zyx
zyx
9
024
522
2
zyx
zyx
zyx
10
3
22
145
zy
yx
zyx