Vectores en el plano

Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.

Dirección de un vector

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

El sentido del vector es que va del origen A al extremo B.

Módulo de un vector

 

El módulo del vector longitud del

segmento AB, se representa por .

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

EjerciciosCalcular el módulo del vector:

Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

Vectores y coordenadas

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplos

Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:

Un vector tienen de coordenadas (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

Punto medio de un segmento

 

Ejemplo

Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Tres puntos alineados

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre

que los vectores tengan la misma dirección. Es decir si sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo

Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados.

Simétrico de un punto

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'.

Calcular el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, −11).

Ejemplo

Baricentro

Las coordenadas del baricentro son:

 

Ejemplo

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular las coordenadas del baricentro.

División de un segmentoDividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación r:

Ejemplo

Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Ejercicios1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.

2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).

3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).

4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera

que se obtenga

Tipos de vectoresVectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

Vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

 

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

 

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opuestos

 

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

 

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

EjerciciosDado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

Si es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector =(8, -6).

Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

Tipos de vectoresVectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

Vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

 

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

 

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opuestos

 

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

 

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

EjerciciosDado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

Si es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector =(8, -6).

Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

Suma analitica y gráfica de vectores

Suma gráfica de vectores

Para sumar dos vectores libres y se toman como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores concurrentes, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Suma analítica de vectores

En la suma analítica de vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se

suma con el opuesto de .

Ejemplo

Multiplicación de un escalar por un vectorLa multiplicación de un número k por un vector es otro vector:

Con igual dirección que el vector .

Con el mismo sentido que el vector si k es positivo.

Con sentido contrario del vector si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen

multiplicando por el escalar, k, por las componentes del vector.

Ejemplos

Propiedades de la mutiplicación de un vector por un número

Asociativa

k · (k' · ) = (k · k') ·

Distributiva I

k · ( + ) = k · + k ·

Distributiva II

(k + k') · = k · + k' ·

Elemento neutro

1 · =

Distancia entre dos puntos

Ejemplo

Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

EjerciciosDeterminar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

Dependencia e independencia lineal

Combinación lineal de vectores

Dados los números a1, a2, ..., an y los vectores v1, v2, ..., vn, se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Dados los vectores , calcular el vector combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores

?

Vectores linealmente dependientesVarios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.Dos vectores del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.

Ejercicios

Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

= (3, 1) y = (2, 3)

Linealmente independientes

Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

= (x − 1, 3) y = (x + 1, 5)

Son linealmente dependientes para x = 4.

Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

= (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)

Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Sistemas de referencia

BaseDos vectores y linealmente independientes, con distinta dirección, forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Ejemplos

Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

Sistema de referencia

En el plano, un sistema de referencia está formado por un

punto O del plano y una base ( ,

).

El punto O del sistema de referencia se llama origen.

Los vectores linealmente

independientes , forman la base.

Sistema de referencia ortogonal

Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto módulo.

Sistema de referencia ortonormal

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios.

Se representan por las letras .

Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

Ejecicios

Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

= 2 − 3

Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6). Determinar:

1. Si forman una base y .

2. Expresar como combinación lineal de los de la base

3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.

Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)

Dados los vectores:

= 3 + 2

= − 3

= 3 − 2

Calcular las coordenadas del vector respecto de la base ( , ).

= 3 − 2

= 3 + 2

= − 3

3 − 2 = 3 (3 + 2 ) − 2 ( − 3 ) =

= 9 + 6 − 2 + 6 = 7 + 12

Las coordenadas de en la base B son (7, 3) .

Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá

referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?

(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)

3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3

5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3

Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3).

Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

= 2 − 3

Coordenadas cartesianas y polares

Coordenadas cartesianas

En un sistema de referencia ortonormal, a cada punto P del plano le corresponde un

vector , tal que:

A los coeficientes x e y de la combinación lineal se les llama coordenadas del punto P.

La primera, x, es la abscisa.

La segunda, y, es la ordenada.

Como la combinación lineal es única, a cada punto le corresponde un par de números y a cada par de números un punto.

Coordenadas polaresCuando se conoce el módulo del vector = y el ángulo α que forma con el eje OX, las coordenadas de P son:

x = | | · cos α

y = | | · sen α

De coordenadas polares a cartesianas

Coordenada x

x = | | · cos α

Coordenada y

y = | | · sen α

Ejercicios

Pasar a coordenadas cartesianas:

2120º

10º = (1, 0)

1180º = (−1, 0)

190º = (0, 1)

1270º = −(0, −1)

De coordenadas cartesianas a polares

Módulo

Argumento o ángulo

Ejercicios

Pasar a coordenadas polares:

260º

2120º

2240º

2300º

(2, 0)

20º

(−2, 0)

2180º

(0, 2)

290º

(0, −2)

2270º

Producto escalarEl producto escalar de dos vectores y es igual a:

Ejemplo

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo

Propiedades del producto escalar 1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4 Positividad del producto escalar

Ejercicios

Calcular el producto escalar de los siguientes vectores:

1. = (3, 4) y =(-8, 6)

· = 3 · (-8) + 4 · 6 = 0

2. = (5, 6) y =(-1, 4)

· = 5 · (-1) + 6 · 4 = 19

3. = (3, 5) y =(-1, 6)

· = 3 · (-1) + 5 · 6 = 27

Sea B = { , } una base de los vectores del plano, tal que | | = | | = 2 y cos ( , ) = 1/2 y sean:

= 3 + 2 e = + 2 .

Calcular · .

El producto escalar es conmutativo.

cos( , ) = cos ( , ) = 1

Interpretación geométrica del producto escalarEl producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección vectorial de u sobre v.

Ejercicios

Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

Calcula la proyección del vector sobre el vector .

Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Siendo A(6, 0), B(3, 5) y C(-1, -1) los vértices de un triángulo, calcular las proyecciones de los lados AB y CB sobre AC y comprobar que su suma es igual al módulo de AC.

= (-3, 5) = (3, -5)

= (-7, -1) = (7, 1)

= (-4, -6) = (4, 6)

 · = (-3)· (-7) + 5 · (-1) = 16

 · = 7· 4 + 1 · 6 = 34

Interpretación geométrica del producto escalarEl producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección vectorial de u sobre v.

Ejercicios

Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

Calcula la proyección del vector sobre el vector .

Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Siendo A(6, 0), B(3, 5) y C(-1, -1) los vértices de un triángulo, calcular las proyecciones de los lados AB y CB sobre AC y comprobar que su suma es igual al módulo de AC.

= (-3, 5) = (3, -5)

= (-7, -1) = (7, 1)

= (-4, -6) = (4, 6)

 · = (-3)· (-7) + 5 · (-1) = 16

 · = 7· 4 + 1 · 6 = 34

Ángulo de dos vectores

El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:

Ejemplo

Ejercicios

Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los siguientes vectores:

1. = (3, 4) y = (−8, 6)

· = 3 · (−8) + 4 · 6 = 0

2. = (5, 6) y = (−1, 4)

· = 5 · (−1) + 6 · 4 = 19

3. = (3, 5) y = (−1, 6)

· = 3 · (−1) + 5 · 6 = 27

Dados los vectores = (2, k) y = (3, − 2), calcula k para que los vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, −1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(−2,0), C(0,−3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(−1,−1).

Vectores ortogonales y ortonormales

Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Ejemplo

Vectores ortonormalesDos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

Ejercicios

Calcular el valor de k para que los vectores = (1, m) y = (-4, m) sean ortogonales.

· = 0 -4 + m2 = 0; m = ± 2

Si { , } forma una base ortonormal, calcular:

1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k sabiendo que .

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.