Vectores deslizantes

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Física Vectores deslizantes Vectores deslizantes Marcos H. Giménez, Jaime Riera y Ana Vidaurre 1. Vectores libres, fijos y deslizantes Se denomina punto de aplicación de un vector el Figura 1.- Punto de aplicación y línea de acción de diversos vectores. punto en el que actúa. Por ejemplo, los puntos de aplicación de los vectores , y de la figura 1 son P 1 , P 2 y P 3 respectivamente. Se denomina línea de acción de un vector la línea recta sobre la que está situado. En el ejemplo de la figura, E 1 es la línea de acción de , y E 2 la de y . Evidentemente, la línea de acción de un vector es paralela al mismo y pasa por su punto de aplicación. Atendiendo a la significación del punto de aplicación, los vectores se pueden clasificar en los tres tipos que se describen a continuación: - Vector libre. Es aquél cuyos módulo, dirección y sentido describen completamente la magnitud que representa, siendo irrelevante el punto de aplicación. Entendidos como libres, los tres vectores iguales de la figura 1 serían representaciones de un mismo vector. - Vector fijo. También se le denomina vector ligado. Es aquél que debe situarse en un punto de aplicación concreto para describir completamente la magnitud que representa. Entendidos como fijos, los tres vectores de la figura 1 son distintos. Podemos interpretarlos, por ejemplo, como la representación de la velocidad del aire en distintos puntos de una habitación. Así, , y son las velocidades en los puntos P 1 , P 2 y P 3 , y por tanto representan conceptos distintos. - Vector deslizante. Es aquél que debe situarse en una línea de acción concreta para describir completamente la magnitud que representa. Se trata por tanto de un caso intermedio: a diferencia del vector libre, la línea de acción es relevante; a diferencia del vector fijo, no importa el punto de aplicación concreto, siempre que esté sobre la línea de acción. Entendidos como deslizantes, los vectores y de la figura 1 son iguales, pero distintos de . Podemos interpretarlos, por ejemplo, como la representación de fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido. Así, las fuerzas y producirían los mismos efectos, pero no así . 1

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Física Vectores deslizantes

Vectores deslizantesMarcos H. Giménez, Jaime Riera y Ana Vidaurre

1. Vectores libres, fijos y deslizantes

Se denomina punto de aplicación de un vector el

Figura 1.- Punto de aplicación ylínea de acción de diversosvectores.

punto en el que actúa. Por ejemplo, los puntos de aplicaciónde los vectores , y de la figura 1 son P1, P2 y P3respectivamente.

Se denomina línea de acción de un vector la línearecta sobre la que está situado. En el ejemplo de la figura,E1 es la línea de acción de , y E2 la de y .Evidentemente, la línea de acción de un vector es paralelaal mismo y pasa por su punto de aplicación.

Atendiendo a la significación del punto de aplicación, los vectores se pueden clasificaren los tres tipos que se describen a continuación:

- Vector libre. Es aquél cuyos módulo, dirección y sentido describen completamentela magnitud que representa, siendo irrelevante el punto de aplicación. Entendidos comolibres, los tres vectores iguales de la figura 1 serían representaciones de un mismovector.

- Vector fijo. También se le denomina vector ligado. Es aquél que debe situarse en unpunto de aplicación concreto para describir completamente la magnitud que representa.Entendidos como fijos, los tres vectores de la figura 1 son distintos. Podemosinterpretarlos, por ejemplo, como la representación de la velocidad del aire en distintospuntos de una habitación. Así, , y son las velocidades en los puntos P1, P2y P3, y por tanto representan conceptos distintos.

- Vector deslizante. Es aquél que debe situarse en una línea de acción concreta paradescribir completamente la magnitud que representa. Se trata por tanto de un casointermedio: a diferencia del vector libre, la línea de acción es relevante; a diferenciadel vector fijo, no importa el punto de aplicación concreto, siempre que esté sobre lalínea de acción. Entendidos como deslizantes, los vectores y de la figura 1 soniguales, pero distintos de . Podemos interpretarlos, por ejemplo, como larepresentación de fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido. Así, las fuerzas yproducirían los mismos efectos, pero no así .

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El presente tema se centra en los vectores deslizantes y en un concepto asociado a losmismos, el de momento, ampliamente utilizado en la Física.

Ejemplo 3.1: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto. Obténgase la ecuación de dicha línea en forma paramétrica.

Sea un punto cualquiera de la línea de acción. Obviamente, el vectores paralelo a dicha línea, por lo que se puede expresar en la forma , donde λ es unparámetro que caracteriza cada punto Q concreto. A partir de aquí resulta:

Por tanto, la ecuación de la línea de acción es:

3.2. Momento de un vector deslizante respecto a un punto

Sea un vector deslizante cuya línea de acción pasa por el

Figura 2.- Momento deun vector deslizanterespecto a un punto.

punto P, tal y como se muestra en la figura 2. Se define elmomento del vector deslizante respecto a un punto A, y se denotapor , como:

(1)

En el caso concreto en que A es el origen de coordenadasO(0,0,0), el resultado obtenido recibe el nombre de momentoprincipal del vector deslizante, o simplemente momento del vectordeslizante, y se denota por o por .

Puesto que se obtiene mediante un producto vectorial, el

Figura 3.- Utilizaciónde puntos diferentes dela línea de acción.

momento respecto a un punto es un vector. Su dimensión es la delpropio vector por la de , que es una longitud; por ejemplo,en el caso del momento de una fuerza sería [MF]=[F]L.

Recordemos que P no es un punto concreto, sino unocualquiera de la línea de acción del vector deslizante. Así, hay unaaparente incoherencia en la definición dada por la expresión (1), ya

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que si el cálculo se efectúa con dos puntos diferentes P1 y P2 de la línea de acción, seobtendrán en principio resultados diferentes:

P1 y P2 pertenecen, como se ha dicho, a la línea de acción de , de modo que, comose muestra en la figura 3, los vectores y son paralelos. En consecuencia:

Por tanto, la elección de uno u otro punto de la línea de acción para calcular elmomento de un vector deslizante no afecta al resultado, y la definición dada por la expresión(1) es coherente.

Los momentos de un vector deslizante respecto a distintos puntos son en generaldiferentes, pero no independientes. Considérense por ejemplo los momentos respecto a dospuntos A y B. Es:

y puesto que es el momento respecto a B, resulta:

(2)

Un caso de especial interés es aquél en que el punto A está

Figura 4.- Momentorespecto a un punto dela línea de acción.

situado sobre la propia línea de acción del vector deslizante. Comose muestra en la figura 4, en ese caso los vectores y sonparalelos, de modo que:

esto es, el momento de un vector deslizante respecto a cualquier punto de su línea de acciónes el vector cero.

Ejemplo 3.2: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto. Obténganse sus momentos principal y respecto al punto .

El vector es:

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y por tanto el momento principal es:

Por su parte, el vector es:

y por tanto el momento respecto al punto A es:

Un método alternativo de obtener este segundo momento es utilizando laexpresión (2):

Ejemplo 3.3: Sea un vector deslizante no nulo. Se ha indicado que si un punto A pertenecea la línea de acción, el correspondiente momento es el vector cero. Demuéstrese laimplicación recíproca, esto es, que si el momento respecto a un punto A es el vector cero,entonces A pertenece a la línea de acción.

Puesto que , sólo existen dos posibilidades de que el producto vectorial sea el vector cero:

- Que sea . En tal caso, A coincide con P, por lo que es evidente que pertenecea la línea de acción.- Que y sean paralelos. En tal caso, puesto que es paralelo a la línea deacción y P está sobre ella, también ha de estarlo A.

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Ejercicio: Utilizando la expresión (2), dedúzcase qué condición han de satisfacer dospuntos A y B para que un vector deslizante tenga el mismo momentorespecto a ambos.

Ejercicio: Considérese un vector deslizante nulo, esto es, . Demuéstrese que sumomento respecto a cualquier punto es el vector cero.

3.3. Interpretación geométrica del momento respecto a un punto

Aunque la forma más cómoda de obtener un producto vectorial es utilizando suexpresión analítica, no debe olvidarse que se define a partir de un módulo, una dirección yun sentido. Y puesto que el momento es precisamente un producto vectorial, este punto devista puede proporcionar una interpretación más geométrica y por tanto más fácil de visualizar.

Se denomina brazo de un vector

Figura 5.- Brazo de un vector deslizante y surelación con el momento.

deslizante respecto a un punto A a la distanciaentre dicho punto y la línea de acción delvector. Por ejemplo, en la figura 5(i) el brazo esla distancia representada por la letra d. Si θ esel ángulo que forman los vectores y , dela figura 5(ii) se deduce que dicha distancia es:

El módulo de es, por definición de producto vectorial:

y por tanto:(3)

Así pues, el módulo del momento de un vector deslizante respecto a un punto es igualal módulo del vector por su brazo respecto a dicho punto. En ocasiones se da este resultadocomo si fuera la definición de momento, pero no es correcto. En efecto, el producto vd dacomo resultado un escalar, mientras que el momento es un vector, del que dicho producto es,insistimos, el módulo. Nótese que si A está situado en la línea de acción, entonces el brazoes cero, y de acuerdo con la expresión (3) el módulo del momento es también cero. Por tanto,el momento respecto a un punto de la línea de acción es el vector cero, como ya conocíamos.

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Por lo que respecta a la dirección del

Figura 6.- Dirección del momento.

momento, la misma ha de ser, por definición deproducto vectorial, perpendicular a los vectoresmultiplicados, y . Como puede observarse en lafigura 6, esto significa que el momento esperpendicular al plano que definen la línea de accióndel vector y el punto A respecto al que se toma.Nótese que en efecto una línea y un punto siempredefinen un plano, con una excepción: que el puntoestuviese situado sobre la propia línea. Sin embargo,sabemos que en este caso el momento es el vectorcero, por lo que carece de dirección, no existiendo enconsecuencia ninguna indefinición.

Por último, vamos a proporcionar un método

Figura 7.- Sentido del momento.

para deducir el sentido del momento. Supongamosque existe una barra con un extremo situado en elpunto A y el otro en el punto de aplicación del vector

, tal y como se muestra en la figura 7. Se consideraque el extremo A es fijo, y la barra gira respecto a élcomo si el vector tirara de ella. Aplicando al sentidode este giro la regla de Maxwell, el correspondientesentido de avance es también el sentido del momento.Por ejemplo, puede comprobarse que el sentido asíobtenido en la figura 7 coincide con el que debe tenerel producto vectorial .

Ejemplo 3.4: Sea el vector deslizante de la figura 8.

Figura 8.- Ejemplo decálculo del momento.

Obténganse el módulo, la dirección y el sentido de su momentorespecto al punto A.

El módulo es:

La dirección es perpendicular al plano que definen y A, es decir, al papel. Porúltimo, supongamos una barra entre A y P, siendo A un punto fijo. Cuando el vector tira deella, esta barra gira en el sentido de las agujas del reloj. Por tanto, de acuerdo con la reglade Maxwell, el sentido del momento es hacia dentro del papel.

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3.4. Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Figura 9.- Momento deun vector deslizanterespecto a un eje.

Sea un vector deslizante cuya línea de acción pasa por elpunto P, tal y como se muestra en la figura 9. Sea también un ejeE definido por un punto A y un vector unitario . Se define elmomento del vector deslizante respecto al eje E, y se denota por

, como:(4)

Un vector unitario es el cociente entre un vector y su módulo, y por tanto esadimensional. En consecuencia, la dimensión del momento respecto a un eje es la misma quela del momento respecto a un punto, esto es, la del propio vector por una longitud.

Es importante destacar que mientras que el momento respecto a un punto es un vector,el momento respecto a un eje (también denominado momento áxico) es, de acuerdo con sudefinición, un escalar.

Recordemos que A no es un punto concreto, sino uno

Figura 10.- Utilizaciónde puntos diferentes deleje.

cualquiera del eje E. Así, hay una aparente incoherencia en ladefinición dada por la expresión (4), ya que si el cálculo se efectúacon dos puntos diferentes A1 y A2 del eje, se obtendrán en principioresultados diferentes:

A1 y A2 pertenecen, como se ha dicho, al eje E, de modo que, como se muestra en lafigura 10, los vectores y son paralelos. Así, utilizando la expresión (7), y sabiendoque el producto mixto de tres vectores coplanarios es cero, resulta:

Por tanto, la elección de uno u otro punto del eje para calcular el momento de unvector deslizante no afecta al resultado, y la definición dada por la expresión (4) es coherente.

Ejemplo 3.5: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto. Obténgase su momento respecto al eje E definido por el punto y el

vector .

El momento respecto al punto A perteneciente al eje ya se obtuvo en el ejemplo 3.2,y es:

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Un vector unitario paralelo al eje es:

Por tanto, el momento respecto al eje es:

Ejercicio: Utilizando las expresiones (1) y (4), dedúzcase qué condición ha de satisfacerun eje para que el momento respecto al mismo de un vector deslizante seacero.

3.5. Interpretación geométrica del momento respecto a un eje

Una de las propiedades del producto escalar es la

Figura 11.- Interpretacióngeométrica del momentorespecto a un eje.

siguiente: si es un vector unitario, es la proyección desobre la dirección de . De acuerdo con esta propiedad, ladefinición (4) equivale a decir que el momento respecto a un ejese obtiene siguiendo los siguientes pasos:

- Se obtiene el momento respecto a cualquier punto deleje.- Se proyecta dicho momento sobre el propio eje.- El momento áxico es igual, salvo el signo, a la longitudde esa proyección (véase la figura 11).

El comentario respecto al signo se refiere a que si la longitud de la proyección es porejemplo 4, el momento áxico puede ser, bien 4, bien -4. El signo correcto depende del vectorunitario que se ha tomado para el eje. En efecto, todo eje tiene dos vectores unitariosparalelos, opuestos entre sí. Si se toma el que tiene el mismo sentido que la proyección, elmomento áxico es positivo; si se utiliza el que tiene sentido contrario, el momento áxico esnegativo. Para estudiar este punto con mayor detalle, véase el ejemplo 3.6.

Se ha indicado que el momento áxico no

Figura 12.- Invarianza de la proyección delos momentos sobre un eje.

depende del punto del eje que se utilice paracalcularlo. Desde el punto de vista geométrico,esto implica una interesante propiedad: losmomentos respecto a distintos puntos del mismoeje son en general diferentes, como se muestraen la figura 12, pero sus proyecciones soniguales.

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Ejemplo 3.6: Repítase el cálculo realizado en el ejemplo 3.5, pero utilizando el otro posiblevector unitario. Justifíquese el diferente resultado obtenido.

El otro vector unitario paralelo al eje es:

Utilizando este vector, el momento respecto al eje es:

Nótese que, salvo el signo, el resultado coincide con el obtenido en el ejemplo 3.5.En realidad, ambos resultados tienen la misma interpretación geométrica: de acuerdo conel ejemplo 3.5, se tiene una proyección de 6 unidades en el sentido del vector (0,-0'8,0'6); deacuerdo con el ejemplo 3.6, se tiene una proyección de -6 unidades en el sentido del vector(0,0'8,-0'6), esto es, de 6 unidades en el sentido contrario.

3.6. Sistemas de vectores deslizantes

Un conjunto de vectores deslizantes, como el que se

Figura 13.- Sistema de vectoresdeslizantes.

muestra en la figura 13, recibe el nombre de sistema devectores deslizantes. El número de vectores del sistemapuede ser cualquier entero no negativo, como por ejemplodos, tres, o un trillón. Es posible tener un sistema de unsolo vector deslizante, e incluso de cero, como se comentaráposteriormente.

La descripción de un sistema se realiza indicandoqué vectores deslizantes lo constituyen. Por tanto, debenproporcionarse las componentes de dichos vectores, y unpunto de la línea de acción de cada uno de ellos.

Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas deacción pasan por los puntos . Se define la resultante del sistema, y se denota por

, como:

(5)

Por tanto, la resultante de un sistema es la suma de los vectores que lo constituyen.Nótese que en su definición no intervienen las líneas de acción de dichos vectores.

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Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vector,su resultante es el propio vector; si el sistema tiene cero vectores, su resultante es el vectorcero.

Ejemplo 3.7: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos

, y . Obténgase su resultante.

La resultante del sistema es:

3.7. Momento de un sistema respecto a un punto

Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas deacción pasan por los puntos . Se define el momento del sistema respecto a unpunto A, y se denota por , como:

(6)

Por tanto, el momento de un sistema respecto a un punto es la suma de los momentos,respecto al mismo punto, de los vectores que lo constituyen. En el caso concreto en que A esel origen de coordenadas O(0,0,0), el resultado obtenido recibe el nombre de momentoprincipal del sistema, o simplemente momento del sistema, y se denota por o por .

Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vector,sus momentos son los del propio vector; si el sistema tiene cero vectores, todos sus momentosson el vector cero.

Los momentos de un sistema respecto a distintos puntos son en general diferentes, perono independientes. Considérense por ejemplo los momentos respecto a dos puntos A y B. Es:

Teniendo en cuenta que el primero de los sumatorios es la resultante del sistema, y elsegundo es su momento respecto a B, resulta:

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(7)

Obsérvese que esta expresión es formalmente análoga a la ecuación (2), sin más quesustituir en ésta el vector individual y sus momentos por la resultante del sistema y los suyos.Más aún, la aplicación de la expresión (7) a sistemas de un único vector conduce directamentea la ecuación (2).

Ejemplo 3.8: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos

, y . Obténganse sus momentos principal y respecto alpunto .

El momento principal es:

Por su parte, el momento respecto al punto A es:

Un método alternativo y más rápido de obtener este segundo momento es utilizandola expresión (7):

Ejemplo 3.9: Como ya se indicó, existen puntos respecto a los cuales el momento de un únicovector deslizante es el vector cero. En cambio, en el caso de los sistemas no existe en generalningún punto de este tipo. Sea por ejemplo el sistema constituido por los vectores deslizantesy , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos y

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. Demuéstrese que no existe ningún punto respecto al que su momento sea el vectorcero.

El momento respecto a un punto cualquiera A(x,y,z) es:

Para que el momento del sistema respecto a un punto sea el vector cero, lascoordenadas de dicho punto deben satisfacer las siguientes ecuaciones:

Sin embargo, este sistema carece de solución: la primera ecuación requiere que y=1;la tercera, que y=0. En consecuencia, no existe ningún punto respecto al cual el momentodel sistema sea el vector cero.

Ejercicio: Utilizando la expresión (7), dedúzcase qué condición han de satisfacer dospuntos A y B para que un sistema de vectores deslizantes tenga el mismomomento respecto a ambos.

3.8. Momento de un sistema respecto a un eje

Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas deacción pasan por los puntos . Sea también un eje E definido por un punto A yun vector unitario . Se define el momento del sistema respecto al eje E, y se denota por

, como:

(8)

esto es, el momento de un sistema respecto a un eje es la suma de los momentos, respecto almismo eje, de los vectores que lo constituyen.

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A partir de esta definición, es posible obtener una expresión más sencilla del momentoáxico. En efecto, es:

y por tanto:(9)

Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vectordeslizante, sus momentos áxicos son los del propio vector; si el sistema tiene cero vectores,todos sus momentos áxicos son cero.

Ejemplo 3.10: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos

, y . Obténgase su momento respecto al eje E definido porel punto y el vector .

El momento del sistema respecto al punto A perteneciente al eje ya se obtuvo en elejemplo 3.8, y es:

Un vector unitario paralelo al eje es:

Por tanto, el momento del sistema respecto al eje es:

3.9. Sistemas equivalentes

Se dice que dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si tienen la mismaresultante y el mismo momento respecto a cualquier punto del espacio. Nótese que por elcontrario no es preciso que estén constituidos por el mismo número de vectores.

Aparentemente, la tarea de comprobar si dos sistemas son equivalentes es descomunal,pues deben coincidir los momentos respecto a los infinitos puntos posibles. Sin embargo, es

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suficiente verificar que ambos sistemas tienen la misma resultante y el mismo momentorespecto a un único punto. En efecto, sean dos sistemas S1 y S2 que tienen igual resultante,y cuyos momentos respecto a un determinado punto B coinciden, esto es:

De acuerdo con la expresión (7), el momento del primer sistema respecto a cualquierotro punto A es:

En consecuencia, tal y como se había indicado, si dos sistemas tienen en común laresultante y un momento, entonces todos los demás momentos también coinciden, de modoque dichos sistemas son equivalentes. Esta propiedad no sólo proporciona un método sencillode comprobar si dos sistemas son o no equivalentes (véase el ejemplo 3.11), sino que permitedescribir un sistema con un mínimo de información: su resultante y su momento respecto aun punto dado. Es cierto que existen infinitos sistemas de vectores deslizantes para una mismacombinación resultante-momento, y que no se puede invertir el proceso y averiguar cuál deestos sistemas era el original. Sin embargo, es irrelevante identificar este original, puesto quelos infinitos sistemas posibles son equivalentes.

Como ejemplo de lo anterior, considérese el caso de las fuerzas aplicadas a un sólidorígido. Si dos sistemas de fuerzas son equivalentes, el sólido se comporta exactamente de lamisma manera. Por tanto, basta conocer la resultante y un momento para determinar cómo secomportará el cuerpo, sin que importe qué sistema de fuerzas concreto de los infinitosequivalentes es el que está actuando.

Nótese que como consecuencia de la expresión (9), dos sistemas equivalentes tienentambién el mismo momento respecto a cualquier eje.

Ejemplo 3.11: Un sistema S1 está constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos

, y . Otro sistema S2 cuenta con los vectoresy , pasando sus líneas de acción por los puntos y .Determínese si ambos sistemas son o no equivalentes.

La resultante y el momento principal del sistema S1 ya se obtuvieron en losejemplos 3.7 y 3.8 respectivamente, y son:

La resultante del sistema S2 es:

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y su momento principal es:

Por tanto, los dos sistemas son equivalentes. La elección del origen de coordenadaspara comparar momentos ha sido arbitraria, puesto que podía haberse elegido cualquier otropunto.

Ejercicio: Compruébese que los dos sistemas equivalentes del ejemplo 3.11 tienen elmismo momento respecto al punto .

Ejercicio: Verifíquese que la relación entre sistemas de vectores equivalentes esefectivamente una relación de equivalencia, esto es, que satisface laspropiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

3.10. Sistemas de vectores deslizantes de especial interés

3.10.1. Par de vectores

Se denomina par de vectores a un sistema constituido

Figura 14.- Par de vectores.

por dos vectores opuestos con líneas de acción diferentes.Como consecuencia de esta definición, su resultante es cero. Enefecto:

Otra consecuencia se deduce a partir de laexpresión (7):

Por tanto, el momento es el mismo respecto a cualquier punto. Por este motivo se hacereferencia al momento del par, sin especificar punto, y se denota simplemente por .

Se denomina brazo del par de vectores a la distancia entre sus líneas de acción. Porejemplo, en la figura 15(i) el brazo es la distancia representada por la letra d. Si θ es el

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ángulo que forman los vectores y ,

Figura 15.- Brazo de un par de vectores y surelación con el momento.

de la figura 15(ii) se deduce que dichadistancia es:

El brazo está relacionado con lainterpretación geométrica del momento delpar, como se verá a continuación. Dichomomento, calculado utilizando por ejemploel punto P1, es:

El módulo de es, por definición de producto vectorial:

donde no se especifica un subíndice de v por tener los dos vectores del par el mismo módulo.En consecuencia:

Así pues, el módulo del momento de un par

(10)

Figura 16.- Dirección del momento.

de vectores es igual al módulo de los mismos por subrazo.

Por lo que respecta a la dirección delmomento, la misma ha de ser, por definición deproducto vectorial, perpendicular a los vectoresmultiplicados, y . Como puede observarse enla figura 16, esto significa que el momento esperpendicular al plano que definen los vectores delpar.

Figura 17.- Sentido del momento.

Por último, vamos a proporcionar un métodopara deducir el sentido del momento. Supongamosque existe una barra con sus extremos situados en lospuntos de aplicación de los vectores, tal y como semuestra en la figura 17, y que dicha barra gira comosi los vectores tiraran de ella. Aplicando al sentido deeste giro la regla de Maxwell, el correspondientesentido de avance es también el sentido del momento.

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Por ejemplo, puede comprobarse que el sentido así obtenido en la figura 17 coincide con elque debe tener el producto vectorial .

3.10.2. Sistema de vectores concurrentes en un punto

Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes

Figura 18.- Sistema devectores concurrentes en unpunto.

cuyas líneas de acción concurren en un punto P,tal y como se muestra en la figura 18 (téngase en cuenta queno se exige que sean coplanarios, aunque aparezcan así en lafigura, por ser ésta bidimensional). Puesto que P pertenece atodas las líneas de acción, el momento respecto a dicho puntode cualquiera de los vectores del sistema es el vector nulo. Enconsecuencia:

Considérese ahora un sistema constituido por un único vector, que es precisamente laresultante del sistema anterior, y cuya línea de acción pasa precisamente por P. Así pues,ambos sistemas tienen la misma resultante, , y el mismo momento respecto a P, . Portanto, ambos sistemas son equivalentes. Este resultado es conocido como teorema deVarignon, y se enuncia como sigue:

Teorema de Varignon: Un sistema de vectores deslizantes concurrentes en un punto esequivalente a su resultante pasando por el mismo punto.

3.10.3. Sistema de vectores paralelos

Sea un sistema constituido por N vectores

Figura 19.- Sistema de vectoresparalelos.

deslizantes paralelos , tal y como se muestra enla figura 19 (téngase en cuenta que no se exige que seancoplanarios, aunque aparezcan así en la figura, por ser éstabidimensional). Vamos a verificar si existe un sistemaequivalente constituido por un único vector. Para quecoincidan las resultantes, dicho vector ha de serprecisamente la resultante del sistema original. Así, elproblema se reduce a averiguar por qué punto, si lo hay, hade pasar la línea de acción para que también coincidan losmomentos.

Sea un vector unitario paralelo a los vectores del sistema, tal y como se muestra enla figura. Cualquier vector del sistema se puede expresar en la forma , donde es

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el "módulo con signo", siendo este signo positivo si y tienen el mismo sentido, ynegativo en caso contrario. Esto permite expresar la resultante en la forma:

Este resultado expresa matemáticamente lo que cabía esperar: la resultante tiene lamisma dirección que los vectores del sistema, y su módulo se obtiene sumando losmencionados "módulos con signo". Por lo que respecta al momento principal, su valor es:

Considérese ahora un sistema constituido únicamente por el vector , y cuya línea deacción pasa por un cierto punto C. El momento principal de este sistema sería:

Se pretende seleccionar C de modo que ambos momentos principales coincidan, y asílos sistemas sean equivalentes. Comparando las dos expresiones, se deduce que se puedeobtener una solución haciendo:

de donde resulta:

(11)

Por tanto, un sistema de vectores deslizantes paralelos es equivalente a su resultantepasando por el punto cuyas coordenadas se obtienen a partir de la expresión (11). En realidad,la solución obtenida no es única ( no implica necesariamente que ), pero estono es de extrañar, ya que la línea de acción pasa por infinitos puntos, y el objetivo planteadoera determinar las coordenadas de uno de ellos.

Es de destacar que existe un caso en que la equivalencia antes indicada no es posible:cuando la resultante del sistema de vectores paralelos es el vector cero. En efecto:

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y por tanto el denominador de la expresión (11) es cero, no existiendo el punto C buscado.

Ejemplo 3.12: Un sistema S1 está constituido por los vectores deslizantes paralelos, y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por

los puntos , y . Obténgase un sistema equivalente de un solovector.

Un vector unitario paralelo a los vectores del sistema es:

Utilizando este vector, los "módulos con signo" se obtienen como sigue:

La resultante del sistema original es:

mientras que la aplicación de la expresión (11) da como resultado:

Por tanto, el sistema S1 es equivalente al formado únicamente por el vector con su línea de acción pasando por el punto .

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Un aspecto que conviene puntualizar es lo que hubiera sucedido si se hubiera tomadocomo vector unitario . En tal caso, sería v1=-2, v2=-3, v3=1, y al sustituir en laexpresión (11) todos los términos, tanto del numerador como del denominador, cambiaríande signo. En consecuencia, se obtendría el mismo resultado.

Ejercicio: Compruébese que el sistema S1 del ejemplo 3.12 y el equivalente allí obtenidotienen el mismo momento principal.

3.10.4. Sistema nulo

Se denomina sistema nulo de vectores deslizantes aquél en el que tanto su resultantecomo todos sus momentos son el vector cero, esto es:

(12)

Como consecuencia de esta definición, es evidente que un sistema nulo es equivalentea un sistema de cero vectores deslizantes. En el caso de las fuerzas aplicadas a un sólidorígido, esto significa que si se trata de un sistema nulo, el cuerpo se comporta exactamentede la misma manera que si no actúa fuerza alguna. Aunque estos sistemas constituyen un casomuy particular, y pueda parecer que carecen de interés, lo cierto es que caracterizan el estadode equilibrio, y por tanto son la base de la Estática.

Aparentemente, la tarea de comprobar si un sistema es nulo es descomunal, pues debenser cero los momentos respecto a los infinitos puntos posibles. Sin embargo, es suficientecomprobar que son cero su resultante y su momento respecto a un único punto. En efecto, seaun sistema en el que:

De acuerdo con la expresión (7), el momento del sistema respecto a cualquier otropunto A es:

y por tanto se trata de un sistema nulo.

Ejemplo 3.13: Un sistema está constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos

, y . Determínese si el sistema es o no nulo.

La resultante del sistema es:

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y su momento principal es:

Por tanto, el sistema es nulo. La elección del origen de coordenadas para comprobarsi el momento es el vector cero ha sido arbitraria, puesto que podía haberse elegidocualquier otro punto.

Ejercicio: Compruébese que el momento del sistema del ejemplo 3.13 respecto al punto es el vector cero.

3.11. Reducción de un sistema de vectores deslizantes

Se denomina reducción de un sistema de vectores deslizantes al proceso de obtenerun sistema equivalente constituido por el menor número de vectores posible. No es el objetivode este texto indicar cuál es el procedimiento general para llevar a cabo esta reducción, perosí resulta de interés indicar hasta dónde se puede llegar con ella. Omitiendo la demostración,podemos afirmar que:

- Siempre es posible reducir un sistema a otro equivalente constituido por comomucho dos vectores deslizantes.

Como ejemplo de la utilidad de este resultado, considérese el caso de los sistemas defuerzas aplicadas a un sólido rígido. Siempre es posible, incluso si el número de fuerzas esinfinito, encontrar un sistema equivalente constituido por a lo sumo dos fuerzas, e incluso enciertos casos por una o ninguna. Basta con pensar en la simplificación conceptual y de cálculoque esto supone.

Para saber si el sistema se puede reducir a menos de dos vectores, hay que analizarcuál es el resultado de multiplicar escalarmente su resultante por su momento respecto a unpunto. Como paso previo, vamos a demostrar que ese resultado es independiente del puntoelegido. En efecto, utilizando la expresión (7), y sabiendo que el producto mixto de tresvectores coplanarios es cero, se obtiene:

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A la vista de este resultado, en lo sucesivo haremos referencia a este producto escalarcomo , sin especificar el punto respecto al que se calcula el momento. A continuaciónvamos a indicar los posibles casos que se pueden dar, y el número de vectores de loscorrespondientes sistemas reducidos. Posteriormente se analizará uno a uno cada uno de esoscasos.

a) Es . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituido por dosvectores deslizantes. No es posible una reducción mayor.

b) Es con . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituidopor un único vector deslizante.

c) Es con y . En este caso el sistema se puede reducir a otroconstituido por dos vectores deslizantes. No es posible una reducción mayor.

d) Es con y . En este caso el sistema se puede reducir a otroconstituido por cero vectores deslizantes.

Caso a)

Vamos a comprobar que en efecto un sistema de este tipo no se puede reducir a otrocon menos de dos vectores. En primer lugar, si fuera equivalente a un sistema de cerovectores, su resultante y sus momentos serían cero, y por tanto tendría , lo que no esel caso. En segundo lugar, si fuera equivalente a un sistema de un vector, existirían puntosen los que el momento sería cero (los de la línea de acción del vector único equivalente), ypor tanto sería , lo que, de nuevo, no es el caso.

Es interesante mencionar las siguientes propiedades de este tipo de sistemas:

- No hay una reducción única. De hecho, para cualquier sistema de este tipo existe unnúmero infinito de sistemas equivalentes con dos vectores.

- Los dos vectores del sistema reducido siempre se cruzan. En efecto, si se cortaranse podrían reducir a un único vector, de acuerdo con el teorema de Varignon, y lomismo podría hacerse si fueran paralelos.

Caso b)

Es evidente que no se puede reducir aún más, pues para ello debería ser un sistemanulo, lo que requeriría que la resultante fuera el vector cero.

A diferencia de lo que ocurre en el caso a), la reducción es única. En efecto:

- El vector del sistema reducido ha de ser necesariamente la resultante del sistemaoriginal (en caso contrario no serían equivalentes).

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- Tampoco se puede cambiar la línea de acción, ya que cambiarían los momentos (porejemplo, los de la línea de acción anterior, que eran cero, dejarían de serlo), y nocoincidirían con los del sistema original.

Ya conocemos dos tipos característicos de sistemas que, salvo que su resultante seanula, se pueden reducir a un único vector: los de vectores concurrentes en un punto y los devectores paralelos. Como se demuestra en el ejemplo 3.16, esto también se aplica a lossistemas de vectores coplanarios, esto es, aquéllos en los que todas las líneas de acción estáncontenidas en un mismo plano.

Caso c)

En este tipo de sistemas, el momento es el mismo respecto a cualquier punto. Enefecto, utilizando la expresión (7) se obtiene:

Puesto que este momento constante es no nulo, es evidente que el sistema no se puedereducir aún más, ni a otro de cero vectores (los momentos deberían ser cero), ni de uno(habría momentos nulos en la línea de acción).

Dado que el sistema reducido ha de tener la misma resultante que el original, esto esel vector cero, los dos vectores que lo forman han de ser opuestos. En consecuencia, elsistema reducido ha de ser un par de vectores. En cualquier caso, no hay una reducción única.De hecho, para cualquier sistema de este tipo existe un número infinito de pares de vectoresequivalentes.

Caso d)

Se trata del caso de los sistemas nulos, ya estudiados anteriormente.

Ejemplo 3.14: En el apartado 3.10.2 se demostró que un sistema de vectores concurrentesen un punto es equivalente a un único vector, por lo que debe corresponder al caso b).Demuéstrese que en efecto es .

Puesto que todas las líneas de acción pasan por el punto P de concurrencia, elmomento principal es:

Utilizando este resultado, y sabiendo que el producto mixto de tres vectorescoplanarios es cero, se obtiene:

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Puesto que en el cálculo de no influye el punto respecto al que se obtiene elmomento, existe una demostración incluso más sencilla que utiliza el punto P. En efecto,puesto que, como ya sabemos, el momento del sistema en ese punto es el vector cero, resulta:

Ejemplo 3.15: En el apartado 3.10.3 se demostró que un sistema de vectores paralelos conresultante no nula es equivalente a un único vector, por lo que debe corresponder al casob). Demuéstrese que en efecto es .

Sea un vector unitario paralelo a los vectores del sistema. En el apartado yamencionado se demostró que la resultante y el momento principal son:

De acuerdo con la definición de producto vectorial, es perpendicular a . Porel contrario, y son paralelos. En consecuencia, y son perpendiculares entre sí,y su producto escalar es cero.

Ejemplo 3.16: Demuéstrese que un sistema de vectores coplanarios con resultante no nulapuede ser reducido a un único vector.

Sea π el plano en el que están contenidas todas las líneas de acción del sistema. Estosignifica que tanto los vectores como los puntos están en π. Si A es un puntocualquiera del plano, éste también contendrá los vectores .

Sea un vector unitario perpendicular a π. De acuerdo con la definición de productovectorial, el vector es perpendicular al plano que definen y , esto es, a π.En consecuencia, es paralelo a , lo que permite escribir:

donde ki es un escalar. Por tanto, el momento del sistema respecto al punto A es:

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donde para abreviar se denomina k a la suma de los valores ki. Nótese que esto significa queel momento respecto a un punto de π es perpendicular al propio π. De esta forma:

Puesto que los vectores están contenidos en π, han de ser perpendiculares a ,por lo que resulta:

También se puede llegar a este resultado desde un punto de vista geométrico: laresultante, como suma de vectores contenidos en π, también está en π, mientras que ,como ya se ha dicho, es perpendicular; por tanto, su producto escalar ha de ser cero.

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