VECTORESCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

SUBSTRACCIÓN DE VECTORES

A – B = A + ( - B )

Para hallar el vector diferencia se suma al vector minuendo el opuesto al substraendo.

Es decir, gráficamente, la diferencia A – B no es otra cosa que la suma de A con el negativo (opuesto) de B.

A

B

R

-B

A - B

ADICIÓN DE VECTORES: METODO ANALITICOLey del coseno: analítico del paralelogramo

A

B 222

yx BBAR 2222 2 yxx BBABAR

222 60cos2 BABAR o oABBAR 60cos2222

x

y

BA

B

tan

o

o

BA

Bsen

60cos

60tan

o

o

BA

Bsen

60cos

60tan 1

By

Bx

R

B

xBA

60º

60º

Vamos a deducir las expresiones que determinan la magnitud del vector resultante y su dirección, mediante un método analítico que da resultados más precisos que el método grafico.

By

Bx

VECTORES EN 2DMETODO DEL PARALELOGRAMO

A=7g

B=8.3g

30º

50º

40º

40º 30º 70º

222yx BBAR

2222 2 yxx BBABAR 222 2 BABAR x

oABBAR 70cos2222

x

y

BA

B

tan

o

o

BA

Bsen

70cos

70tan

o

o

BA

Bsen

70cos

70tan 1

o30

B

R

A - B

x

By

Bx A=7g

B=8.3g

20º

42º

40º

48º

30º

x

y

BA

B

tan

B

R

A - B

x

A

B 222yx BBAR

2222 2 yxx BBABAR ooo senBBABAR 6060cos60cos2 222222

ooo senBABAR 6060cos60cos2 22222 222 60cos2 BABAR o oABBAR 60cos2222

x

y

BA

B

tan

o

o

BA

Bsen

60cos

60tan

o

o

BA

Bsen

60cos

60tan 1

o360

By

Bx

R

B

xBA

60º 60º

60º

-B

A

SUBSTRACIÓN DE VECTORES: METODO ANALITICOLey del coseno: analítico del paralelogramo

La diferencia de vectores es anticonmutativa, esto es si los vectores se sustraen en el orden opuesto, resulta el vector opuesto. A – B = R ; B – A = - R

VECTORES EN 2DRESTA DE DOS VECTORESMETODO DEL PARALELOGRAMO

AB

222yx AABR

2222 2 yxx AABABR ooo senAAABBR 7575cos75cos2 222222

ooo senAABBR 7575cos75cos2 22222 222 75cos2 AABBR o oABBAR 75cos2222

x

y

AB

A

tan

o

o

AB

Asen

75cos

75tan

o

o

AB

Asen

75cos

75tan 1

o50

R

-B

B

A

35º

50º

Ax

Ay

40º

50º

55º 50º 75º

B - A

x

55º

BA

30º

VECTORES EN 2DSUMA DE DOS VECTORESMETODO DE LAS COMPONENTES

30º

A=6

B=4C=5.5

D=5

R

Rx

Ry

75º

By

BX-Cx

Cy

-Dy

DX

iAA x 6

jsenkpBy

ikpBxB

o

o

86.3754

04.175cos4

jsenCy

iCxC

o

o

75.2305.5

763.430cos5.5

jsenDy

iDxD

o

o

330.4605

5.260cos5

jRy

iRxR

28.2

777.4

22 RyRxR

97.9R

Rx

Rytan

777.4

28.2tan 1

o54.25

AAy = Acosqq

Ax = Asenq

30º

VECTORES EN 2DSUMA DE DOS VECTORESMETODO DE LAS COMPONENTES

75º

30º

A

BC

D

R

Rx

Ry

E

PROBLEMA 1Sean los vectores a, b y c como se muestran en la figura, encuentre

la magnitud y dirección del vector 2a -b – c/2

-4

-6

5

4

2

1

2 5

a

b

c

-3i

-3j

jia33

-3i

3j

-1

jib33

4i

-6j

jic64

mc

ba

2

2

2

6433332

jijiji

jijiji 323366 jim 65

m

mx

my

222

yx mmm

81.761m

x

y

m

mtan

5

6tan 1

o2.50 oo 2.50180 o2.230

3625m

PROBLEMA 2Un cuerpo se desplaza 2km hacia el este, luego 4km al sur, luego una distancia

adicional en dirección desconocida. Su posición final es de 5km, directamente al este de su punto de partida. Encuentre la magnitud y dirección del tercer desplazamiento.

A

iA 2

jB 4

CyjCxiC

BC

D

N

E

S

Cy

Cx

q

iD 5

DCBA

BADC

jiiC 425

jiC 43

5Cx

y

c

ctan

3

4tan 1

o1.53

a = 15

b = 20

C

222 bac 222 2015 c

a

btan

15

20tan 1

o1.53

PROBLEMA 3Los vectores mostrados en la figura tienen una resultante R = a + b + c = 0, si + = 90º, determine los valores y y la magnitud de

c.

5c

90o9.36

A=5kg

B=7kg

C=6kg

D=4kg

45°85°

A=7,5kg

B=6,5kg 40°

10°

A=7,5kg

B=6,5kg

50°

80°

a = 20 u

PROBLEMA 4Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y

b de la figura dan como resultado una resultante nula.

60º

40º

b = 10 u

jsenua

iuaa

oy

ox

71.254020

32.1540cos20

jsenuby

iubxb

o

o

515010

66.8150cos10

ji

jiba

566.8

71.2532.15

jiR 71.3066.6

baR

jinulaR 71.3066.6)(

by

bx

b = 10 u

30º

ay

ax

60º

PROBLEMA 5Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud ( 10

unidades ), encuentre la magnitud del vector: ( b + c ) – ( d + a ) – 2c

c

d

b

a cadcbm 2

jijji 10210101010

jijji 2010101010

im 20

20m

cd

b

a

b = 20 u

PROBLEMA 6Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. ¿Cuáles son los valores a y de “ es el ángulo con respecto

al eje positivo”

40º

60º by

bx72º

c = 30

a

jsenc

icc

oy

ox

28.1914030

98.22140cos30

jsenby

ibxb

o

o

103020

32.1730cos20

ji

jibc

1032.17

28.1998.22

jia 28.2966.5

0 bcabca

82.29a

x

y

a

atan

66.5

28.29tan 1 o79

by

bx

En la figura se muestra un elemento que se somete a las fuerzas indicadas, calcule el (los

valores) valor de la fuerza P, para que la magnitud de la resultante de todas las fuerzas sea igual a 50Kgf. Asuma que no se genera torque por la

acción de estas fuerzas.

P

10 Kgf

30 kgf

60°30°

10 kgf

P

30 kgf

60º30º

PkgfkgfFx º150cos30º60cos10

º15030º6010 senkgfsenkgfFy 222 FyFxF

222 º15030º6010º150cos30º60cos1050 senkgfsenkgfPkgfkgfkgf

kgfP 0.65

60°30°

R

Rx

Ry

FxRx

FyRy

Para los vectores mostrados en la figura, la opción correcta es:

abfhc

jfdb

acje

bafhc

cjca

0

i

fc

hed

a b

Para los vectores mostrados en la siguiente figura, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?

hjaifb

ihfedba

gcba

ahjifb

eacgj

2

2

j

gc

f

a

b

d e

i

h

Si cada cuadrícula es una unidad, entonces, la suma del árbol vectorial mostrado en la figura es: i + 6j –i +6j =12j

22

22

24

12

0

Determine la magnitud del vector a + b + c, si a = 10, b = 12, c = 8

87.7

6.10

3.14

4.17

0.30

60°

30°

20°

500g

F=12N

P=4.9NNkgf

Nkgf

g

kgg 9.4

1

8.95.0

1000

1500

NR

JR

JP

jF

1.7

1.7

9.4

12