VariedadesGrassmanianas y

Cálculo de SchubertCurvas Algebraicas [MAT-426]

Emilio Oyanedel, Felipe Labra, Gustavo Arcaya

CURVAS ALGEBRAICAS (MAT-426)UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

Estas notas corresponden a la recopilación de resultados relativos a Variedades Grassmania-nas y su teoría de intersección, denominada cálculo de Schubert. Esperamos dar contextohistórico y matemático a estos resultados, con un espíritu divulgativo y buscando dejar unamotivación a futuros trabajos e investigaciones.

Fecha de escritura, Noviembre 2020

Índice general

1 Introducción y Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Motivación 5

1.2 Preliminares 6

2 Variedades Grassmannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Grassmanniana de un espacio vectorial 9

2.2 Observaciones topológicas sobre una Grassmanniana 10

2.3 Referencias del capítulo 12

3 Teoría de Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Condición de Schubert 13

3.2 El anillo de Cohomología de G(d,n) 15

3.3 El Cálculo de Schubert 17

3.4 Conclusiones y Ejemplos 20

3.5 Referencias del capítulo 22

1. Introducción y Preliminares

1.1 MotivaciónConsideremos para n∈N, el R-espacio vectorial V ∼=Rn dado un sistema de ecuaciones,

cada cual describiendo una recta vectorial, podemos pensar la solución de este (en casode existir) como la intersección de las rectas descritas por las ecuaciones del sistema. Esteanálisis puede llevarse al contexto de sistemas de ecuaciones no lineales, describiendocurvas en V y más aún, nos interesa estudiar esto en el caso de variedades algebraicas sobreun cuerpo general k.Este trabajo está, en particular, dedicado al desarrollo inicial del cálculo de la teoría deintersecciones sobre variedades Grassmanianas, denominada cálculo de Schubert. Con esteobjetivo en mente, presentamos en los capítulos de este documento los siguientes contenidos,en el capítulo I abordamos resultados de álgebra lineal y multilineal así como de topologíaque serán útiles para el desarrollo y conclusión de resultados importantes más adelante.En el capítulo II se discutirán la definición, construcciones y resultados sobre las variedadesGrassmannianas como variedades proyectivas.Concluimos este documento con el capítulo III dedicado a la discusión en cohomología queda lugar a la teoría de intersección denominada calculo de Schubert.

6 Capítulo 1. Introducción y Preliminares

1.2 PreliminaresEn esta sección se recopilan definiciones y resultados que son utilizados de forma recu-

rrente en este texto. Además de estas, se utilizaran diversos resultados de álgebra lineal ytopología. Se detallan referencias útiles tanto para estos tópicos como para lo que se abordaen este apunte en las referencias del capítulo que se encuentran al final del mismo.

Definición 1.2.1 — Aplicación Alternante. Sean V,W dos k-espacios vectoriales y sean∈N. Una aplicación n-multilineal f : V n→W es llamada alternante si f (v1, . . . ,vn) =0 para todos v1, . . . ,vk ∈V tales que vi = v j para algún i 6= j

Observación. Considerando vi + v j en las i-ésima y j-ésima entradas de f , obtenemos quepara una permutación σ de los índices i ∈ 1, . . . ,n

f(vσ(1), . . . ,vσ(n)

)= sign(σ) · f (v1, . . . ,vn) .

Definición 1.2.2 — Álgebra Tensorial. Sean V,W dos k-espacios vectoriales. El pro-ducto tensorial de V y W es un par (V ⊗W,T ), donde V ⊗W es un k-espacio vectorialy T : V ×W → V ⊗W es una aplicación bilineal, tal que para toda aplicación bilinealϕ : V ×W → P, existe una aplicación lineal ψ : V ⊗W → P tal que ϕ = ψ T . El álgebratensorial (TV,⊗) es la suma directa

TV :=⊕d≥0

V⊗d

donde V⊗0 := k, V⊗1 =V y V⊗d+1 =V⊗d×V y el producto⊗ definido para v∈V⊗i,w∈V⊗ j, v⊗w ∈ V⊗i+ j es la imagen universal de (v,w) en V⊗i+ j, que se extiende por subilinealidad a todo TV .

Definición 1.2.3 — Álgebra exterior. Sea V un k-espacio vectorial. El álgebra exteriorde V es la k-álgebra cociente∧

V = TV/I

donde I es el ideal v⊗ v : v ∈V. Si denotamos π : TV ∧

V la proyección canónica,entonces definimos el producto exterior como v∧w := π(v⊗w). Finalmente, denotamosla d-ésima potencia exterior de V como∧d

V := π

(V⊗d

)y de esta forma tenemos que∧

V =⊕d≥0

∧dV

1.2 Preliminares 7

donde∧0V = k y

∧1V =V .

Observación. El producto exterior (o producto cuña) es una forma multilineal alternante.

Definición 1.2.4 — Menores. Sea A una matriz de tamaño m× n, y sea k ∈ N conk ≤mınm,n. Denominamos menor de orden k× k al determinante de una matriz detamaño k× k obtenida mediante la eliminación de m− k filas y n− k columnas desde A

Observación. Considerando la forma de obtener k filas de entre m en total, y luego kcolumnas de entre n en total, se tiene que la cantidad de menores de tamaño k× k es

(mk

)(nk

)Definición 1.2.5 — ∪-producto. Sea X un espacio topológico y A,B grupos abelianos.Sean φ ∈Ck(X ;A) y ψ ∈Cl(X ;B), luego φ es una función del conjunto de k-símplexdesde X a A y ψ es una función del conjunto de l-símplex desde X a B. Si σ : ∆k+l → Xes un (k+ l)-símplex en X , sus restricciones σ

∣∣[v0,...,vk]

y σ∣∣[vk,...,vk+l ]

son respectivamente

k y l símplex en X . Esto nos permite definir la aplicación φ ^ ψ ∈Ck+l(X ;A⊗B) entérminos de φ y ψ:

(φ ^ ψ)(σ) = φ(σ∣∣[v0,...,vk]

)⊗ψ(σ∣∣[vk,...,vk+l ]

)

Y por la propiedad universal del producto tensorial, definimos una única aplicación∪-producto:

^: Ck(X ;A)⊗Cl(X ;B)→Ck+l(X ;A⊗B)

2. Variedades Grassmannianas

2.1 Grassmanniana de un espacio vectorial

Iniciamos esta sección presentando la variedad Grassmaniana y como esta puede versecomo una generalización de la variedad algebraica dada por la proyectivización de unespacio vectorial V .

Definición 2.1.1 Para un k-espacio vectorial V , definimos su proyectivización P(V )como el conjunto de rectas en V , es decir P(V ) =V/∼. Para la relación de equivalencia∼ dada por ser colineales, es decir, x,y∈V satisfacen x∼ y si existe λ ∈ k∗ tal que x= λy

Definición 2.1.2 Sea V un k-espacio vectorial y d ∈ N. Definimos la GrassmanianaGr(d,V ) como el conjunto de todos los subespacios vectoriales de V de dimensión d, esdecir

Gr(d,V ) := W ⊆V : W subespacio vectorial y dimk(W ) = d

Escribimos además Gr(d,n) := Gr(d,kn), la Grassmanniana del espacio vectorial kn.

Observaciones.1. Para d = 1 tenemos que Gr(1,V ) = P(V ). Más aún Gr(1,n+ 1) = Pn. Esto nos

permite confirmar la intuición de que la variedad Grassmaniana puede verse comouna generalización del espacio proyectivo.

2. Si V = kn+1, sabemos que los subespacios lineales de Pn están dados por P(W )⊆ Pn,donde W ⊆V es un subespacio vectorial. De esta forma, denotamos

G(d,n) = W ⊆ Pn : W es un d-plano

10 Capítulo 2. Variedades Grassmannianas

Con esta notación, G(0,n) = Pn.

Proposición 2.1.1 Para n,m ∈N tales que n≤m. Sean v1, . . . ,vn ∈ km. Entonces v1∧ . . .∧vn = 0 si y solo si, el conjunto de vectores v1, . . . ,vn es linealmente dependiente.

Proposición 2.1.2 Sean v1, . . . ,vn ∈ km y w1, . . . ,wn ∈ km linealmente independientes. En-tonces, los productos tensoriales alternantes de ambos conjuntos v1∧ . . .∧vn y w1∧ . . .∧wnson linealmente dependientes, como elementos de

∧n km si y solo si, los espacios generadospor los elementos iniciales coinciden, es decir, Vectk(v1, . . . ,vn) =Vectk(w1, . . . ,wn).

Teorema 2.1.3 Sea 0≤ n≤ m, y consideremos la aplicación Pl : G(n,m)→ P(mn)−1(k)

que mapea subespacios lineales Vectk(v1, . . . ,vn) ∈ Gr(n,m) en la clase del tensor alter-nante de la forma v1∧ . . .∧ vk ∈

∧n km ∼= k(mn), es decir, [v1∧ . . .∧ vk] en P(

mn)−1(k).

Observación. La aplicación anterior corresponde a una incrustación, esta se denominaincrustación de Plücker de Gr(n,m). Para un subespacio n-dimensional, L ∈ Gr(n,m) lascoordenadas homogéneas de Pl(L) ∈ P(

mn)−1 se llaman coordenadas de Plucker de L.

Corolario 2.1.4 La Grasmaniana Gr(d,V ) admite un atlas algebraico, dotándolo deestructura de variedad algebraica proyectiva.

Demostración. Como Gr(m,m) corresponde a un único punto (que corresponde a unavariedad), podemos asumir que n < m. Luego, por la construcción anterior un elementoω ∈ P(

mn)−1 tiene preimagen vía Plucker no vacía, que corresponde a un tensor de la forma

v1 ∧ . . .∧ vk. Ahora bien, esto se tiene si y solo si el mapeo f : kn → ∧m+1kn, dado porv 7→ v∧ω tiene rango m−n. Podemos ver que este mapeo siempre tiene rango a lo menosm−n, verificando que todos los (m−n+1)× (m−n+1) menores (como se definen en1.2.4) de la matriz correspondiente a f son nulos. Estos nos dice que la condición para ω deestar en Gr(m,n) es cerrada, por lo que se concluye el resultado.

Ejemplo: Utilizaremos la demostración de 2.1.4 para ver que la Grassmanniana Gr(2,4) esdada por la condición de anulación de los dieciséis 3×3-menores de una matriz de tamaño4×4 correspondientes a la aplicación lineal k4→∧3k4. Es decir, Gr(2,4) corresponde aun subconjunto de P5 dado por 16 ecuaciones cúbicas.

2.2 Observaciones topológicas sobre una GrassmannianaEn la siguiente sección presentaremos características topológicas de la Grassmanniana,

como su irreductibilidad y estudiaremos propiedades dadas por su complemento ortogonal.

Sea U0⊂G(n,m)⊂P(mn)−1 el abierto afín dado por el lugar donde la coordenada e1∧ . . .∧ek

es no-nula. Entonces por 2.1.1 un subespacio vectorial L ∈ Gr(n,m) esta contenido en U0 siy solo si corresponde al espacio generado por las filas de una matriz de tamaño m×n de

2.2 Observaciones topológicas sobre una Grassmanniana 11

la forma (A|B) para una matriz A de tamaño m×m invertible y B de tamaño m× (m−n)cualquiera. Notar que al multiplicar por izquierda por A−1, obtenemos que U0 es la imagende la aplicación

f : Am(m−n) ∼= km×(m−n)→U0

A−1B =: C 7→ Generado por las filas de (Em|C)

No es difícil notar que cambiando la matriz C, se obtiene espacio diferente desde las filasde (Em|C), de lo que se puede concluir la biyectividad de f . Más aún, como los menoresmaximales de (Em|C) son funciones polinomiales en las entradas de C, vemos que f es enefecto un morfismo. Recíprocamente, la entrada (i, j) de C puede obtenerse desde f (C),salvo cambio de signo del menor maximal de (Em|C), donde tomamos todas las columnas deEm salvo la i-ésima, junto con la j-ésima columna de C. Así, f−1 es también un morfismo,lo que confirma nuestra afirmación.Esto nos permite formular la siguiente proposición.

Teorema 2.2.1 Sea U0 ⊆ G(n,m) ⊂ P(mn)−1 el abierto afín dado por el lugar donde la

coordenada e1∧ . . .∧ ek es no-nula. Entonces1. U0 ∼= Am(m−n) es una variedad afín. Más aún, por lo discutido anteriormente, es

precisamente el espacio afín.2. La Grassmanniana Gr(n,m) puede cubrirse por los espacios afines de la forma dada

en 1.

Del segundo punto del resultado anterior, concluimos el siguiente corolario respecto a lareductibilidad de la Grassmanniana.

Corolario 2.2.2 G(n,m) es una variedad irreducible de dimensión m(m−n)

Observación. La construcción detallada al principio de esta sección nos permite describir laGrasmanniana como el espacio de las matrices de tamaño m×n de rango máximo (módulooperaciones fila). Luego, como cada matriz de la forma anterior es equivalente a una matrizescalonada, podemos pensar la Grassmaniana Gr(n,m) como las matrices escalonadas derango maximal.La ultima observación, junto con la construcción al inicio nos permiten formular el siguienteisomorfismo.

Teorema 2.2.3 Para cada 0≤ n≤ m se tiene el isomorfismo Gr(n,m)∼= Gr(m−n,m)

Demostración. Consideremos la biyección entre conjuntos f : Gr(n,m)→ Gr(m−n,m),que envía un subespacio vectorial n-dimensional L⊂ km en su complemento ortogonal

L⊥ := x ∈ km | 〈x,y〉= 0, ∀y ∈ L

Donde, 〈x,y〉 es de forma estándar dada la forma bilineal dada por el producto punto dekm. Probaremos ahora que f es en efecto un morfismo. Para esto, veremos qué se tienepara las coordenadas afines de la construcción inicial. Sea L ∈Gr(n,m) el espacio generado

12 Capítulo 2. Variedades Grassmannianas

por las filas de la matriz (Em|C), con las entradas de la matriz C ∈ km×(m−n)m siendo lascoordenadas afines de L. Computando la igualdad,

(Em|C)

(−C

Em−n

)= 0, podemos ver que L⊥ es el generado por las filas de la matriz (−C⊥|Em−n)

Concluimos notando que los menores maximales, es decir, las coordenadas de Pluckerde L⊥ corresponden a polinomios en las entradas de la matriz C, de lo que sigue que fes un morfismo, y dada la biyección del comienzo de la prueba, se tiene el isomorfismobuscado.

Observación. Tenemos que G(d,n) ∼= Gr(d + 1,n+ 1), ya que cada d-plano en Pn estádado por P(W ), donde kd+1 ∼= W ⊆ kn+1. De esta forma, tenemos que dim(G(d,n)) =(d +1)(n−d).

2.3 Referencias del capítuloPhillip A. Griffiths & J. Harris, "Principles of algebraic geometry"Gathmann. Andreas, Notas de clases "Algebraic Geometry"

3. Teoría de Intersecciones

Comenzamos este capitulo, presentando los conceptos sobre Grassmannianas necesariospara enfocarnos posteriormente a nuestro objetivo final: la teoría de intersecciones enGr(n,m).

3.1 Condición de SchubertBuscaremos una condición necesaria y suficiente para que un d-plano en Pn (es de-

cir G(d,n)) tenga intersección no vacía con una sucesión de subespacios vectoriales enPn.

Definición 3.1.1 — Condición de Schubert. Sea A0 ( A1 ( . . . ( Ad una sucesióncreciente de (d +1) subespacios vectoriales en Pn (también llamada Bandera),

Decimos que un d-plano L⊂ Pn satisface la condición de Schubert definida poresta bandera si dim(Ai∩L)≥ i, para cada i = 1, . . . ,d.El conjunto de todos aquellos d-planos L corresponde a un subconjunto de G(d,n)al que denotamos por Ω(A0 · · ·Ad)

Ejemplo. Si fijamos una linea A0 en P3 y tomamos A1 = P3. Entonces, el subconjuntoΩ(A0A1) de G(1,3) representa el conjunto de lineas L⊂ P3 que satisfacen dim(L∩A0)≥ 0y dim(L∩A1) ≥ 1. Ahora bien, la ultima condición se verifica claramente, lo que nospermite afirmar que Ω(A0A1) representa el conjunto de lineas L que intersectan A0.

En adelante, escribimos las coordenadas de Plucker [v j0 ∧ . . .∧ v jd ] en el proyectivocomo p( j0 . . . jd).Escribimos los siguientes resultados para concluir la sección.

Proposición 3.1.1 Sea 0≤ a0 < · · ·< ad ≤ n una sucesión de enteros y para i = 1, . . . ,dsean Ai los subespacios vectoriales ai-dimensionales en Pn cuyos elementos son de la forma

14 Capítulo 3. Teoría de Intersecciones

[p(0), . . . , p(ai),0, . . . ,0]. Entonces, Ω(A0 · · ·Ad) consiste precisamente de los puntos de laforma (· · · , p( j0 . . . jd), · · ·) en G(d,n) satisfaciendo p( j0 . . . jd) = 0 siempre que ji > aipara algún i.

Demostración. Consideremos un d-plano L ⊆ Pn que satisface la condición de Schubertdim(Ai∩L)≥ i para i = 0, ...,d. Si tomamos un punto Pi = [pi(0), ..., pi(n)] ∈ Ai∩L tal queP0, . . . ,Pi son linealmente independientes. Entonces, P0, . . . ,Pd forma una base de L. Luego,podemos representar L como un punto en G(d,n) mediante la incrustación de Plucker comop( j0 · · · jd) = [Pj0∧·· ·∧Pjd ]. Si jλ > aλ para cierto λ , como Pi ∈ Ai, tenemos que pi( j) = 0para j = (ai +1), ...,n y por tanto la matriz (pi( jβ )) toma la forma

(pi( jβ )) =(∗ 0∗ ∗

)donde el bloque nulo es de tamaño λ × (d−λ +1). Así, por la expansión del determinantesobre las d−λ +1 se tiene que el menor formado por (pi( jβ ))i,β≤d es cero, luego Pj0, ...,Pjdson linealmente dependientes, por tanto p( j0 · · · jd) = [Pj0 ∧ ...∧Pjd ] = 0.

Recíprocamente, si consideramos un punto (· · · , p( j0 · · · jd), · · ·) en G(d,n) satisfa-ciendo p( j0 · · · jd) = 0 cada vez que ji > ai para algún i, escogemos una coordenadano nula p(k0 · · ·kd) tal que maximiza la suma ∑

dc=0 kc. Reemplazando cada p( j0 · · · jd)

por p( j0 · · · jd)/p(k0 · · ·kd) podemos asumir que p(k0 · · ·kd) = 1. Ahora, sabemos que(· · · , p( j0 · · · jd) · · ·) representa el d-plano L generado por los puntos Pi = [pi(0), . . . , pi(n)],con pi( j) = p(· · ·ki−1 jki+1) para j = 0, . . . ,n y para i = 0, . . . ,d. Fijando j > ai, de-bemos mostrar que pi( j) = 0. Como p(k0 · · ·kd) 6= 0, tenemos que k ≤ ai y por tantok j < j. De esta forma, la suma ∑

dc=0 kc es estrictamente menor que j + ∑c6=i kc, lue-

go pi( j) = p(· · ·ki−1 jk j+1 · · ·) = 0 por la maximalidad de ∑dc=0 kc. Entonces, tenemos

que Pi ∈ Ai y luego P0, . . . ,Pi ∈ Ai ∩ L son (i + 1) puntos linealmente independientes.Así, L satisface la condición de Schubert dim(Ai ∩ L) ≥ i para i = 0, . . . ,d. Es decir,(· · · , p( j0 · · · jd), · · ·) está en Ω(A0 · · ·Ad).

Proposición 3.1.2 Sean A0 ( . . . ( Ad y B0 ( . . . ( Bd dos sucesiones estrictamentecrecientes (respecto a la inclusión) de espacios vectoriales en Pn tales que dim(Ai)= dim(Bi)para i = 0, . . . ,d. Entonces, existe un automorfismo lineal de Pn que deja invariante G(d,n)y que mapea Ω(B0 · · ·Bd) en Ω(A0 · · ·Ad)

Demostración. Como tenemos dim(Ai) = dim(Bi) para cada i, existe una matriz invertible(n+ 1)× (n+ 1) (ai j) ∈ GLn+1(k) tal que la transformación lineal T en Pn en sí mismodefinida por la fórmula

T ([p(0), . . . , p(n)]) =

[n

∑i=0

p(i)ai0, . . . ,n

∑i=0

p(i)ain

]cumple que T (Bi) = Ai para todo i = 0, . . . ,d. Además, T la imagen de un d-plano L⊆ Pn

es otro d-plano T (L)⊆ Pn y si L satisface la condición de Schubert dim(Bi∩L)≥ i para

3.2 El anillo de Cohomología de G(d,n) 15

todo i, entonces T (L) satisface la condición de Schubert dim(Ai ∩T (L)) ≥ i para todo iporque T (Bi) = Ai.

Sean (d +1) puntos Pi = [pi(0), . . . , pi(n)] para i = 0, . . . ,d tales que generen L. Enton-ces, los (d +1) puntos T (Pi) generan T (L). Ahora, T (Pi) es de la forma [qi(0), . . . ,qi(n)]con

qi( j) =n

∑c=0

ac j p(c), ∀ j = 0, . . . ,n.

Se sigue de un cálculo directo que las coordenadas de Plücker q( j0 · · · jd) = det(qi( jβ )) enT (L) son una combinación lineal de las coordenadas de Plücker p( j0 · · · jd) = det(pi( jβ ))en L.

En otras palabras, existe una transformación lineal Λ[ai j] de Pn en si mismo que llevaG(d,n) es si mismo y Ω(B0 · · ·Bd) en Ω(A0 · · ·Ad). Como (ai j) es no singular, es evidenteque Λ[ai j] es invertible y su inversa es Λ([ai j]

−1).

Corolario 3.1.3 Sea B0 ( . . .( Bd una sucesión estrictamente creciente (respecto a lainclusión) de espacios vectoriales en Pn. Entonces, Ω(B0 · · ·Bd) consiste de los elementosen G(d,n) para los que las coordenadas q( j0 · · · jd) satisfacen ciertas ecuaciones lineales,es decir, Ω(B0 · · ·Bd) es la intersección de G(d,n) con un cierto subespacio vectorial enPN . Mas aun, el espacio vectorial corresponde a un hiperplano si y solo si se tiene quedim(B0) = (n−d−1) y dim(Bi) = (n−d + i) para i = 1, . . . ,d.

Demostración. Para i = 0, . . . ,d sea ai = dim(Bi) y sea Ai el subespacio vectorial ai-dimensional en Pn cuyos puntos son de la forma (p(0), . . . , p(ai),0, . . . ,0). Por 3.1.2, existeun endomorfismo lineal S de PN , tal que un punto P de G(d,n) se encuentra en Ω(B0 · · ·Bd)si y solo si S(P) se encuentra en Ω(A0 · · ·Ad). Ahora bien, por 3.1.1 sabemos que S(P)se encuentra en Ω(B0 · · ·Bd) si y solo si cada coordenada q( j0 · · · jd) es nula siempre queji > ai se tenga para algún i.Como cada q( j0 · · · jd) es una combinación lineal dada de coordenadas p( j0 · · · jd) de P,concluimos que P se encuentra en Ω(B0 · · ·Bd) si y solo si las coordenadas q( j0 · · · jd)satisfacen ciertas ecuaciones lineales. Mas aun, el numero de ecuaciones linealmente in-dependientes es el numero de sucesiones j0 · · · jd tales que ji > ai se tiene para algúni = 1, . . . ,d. Pero esto ultimo claramente solo se satisface para una sucesión si y solo sitenemos a0 = (n−d−1) y ai = (n−d + i) para i = 1, . . . ,d. Lo que prueba el corolario.

3.2 El anillo de Cohomología de G(d,n)Definición 3.2.1 — Variedad Bandera. Una Bandera F• en un espacio vectorial dedimensión finita V sobre un cuerpo k, es una sucesión estrictamente creciente (respecto a

16 Capítulo 3. Teoría de Intersecciones

la inclusión de subespacio) de subespacios vectoriales:

F• : 0=V0 (V1 (V2 ( . . .(Vn =V

Si definimos di = dimVi, entonces, las dimensiones se ordenan en una sucesión estricta-mente creciente.

0 = d0 < d1 < d2 < .. . < dk = m

Donde m = dimV .Una bandera es llamada completa si di = i para cada i, en caso contrario es llamadabandera parcial.

Observación. Para una bandera se tiene que n ≤ m, por otro lado, una bandera parcialsiempre puede obtenerse de una bandera completa quitando determinados subespacios.Recíprocamente, agregando los espacios adecuados, una bandera parcial siempre puedeextenderse a una bandera completa.

Fijando una bandera

F• : 0= F0 ( F1 ( . . .( Fn =V

Donde cada Fi es un k-subespacio vectorial i-dimensional de V . Sea λ una partición con mpartes satisfaciendo

n−m≥ λ1 ≥ λ2 ≥ . . .≥ λm ≥ 0

Llamaremos a estas particiones admisibles. Dada una bandera F• y una partición admisiblepodemos formular la siguiente definición.

Definición 3.2.2 — Variedad de Schubert. Definimos variedad de Schubert de tipoλ respecto a la bandera F• Σλ1,...,λm(F•) como la subvariedad de la Grassmanniana

Σλ1,...,λm(F•) =[Ω] ∈ G(n,m) | dim

(Ω∩Fm−n+i−λi

)≥ i

Comentario. Las clases de homología y cohomología de una variedad de Schubert depen-den solo de la partición λ . Para cada partición λ , obtenemos una clase de homología, y unaclase de homología (dual a la clase de homología por dualidad de Poincaré). Notación: Engeneral, se omiten de la partición los términos que se anulan. Seguiremos esta notación, porejemplo escribiendo Σ1,0 en vez de Σ0.

Nuestro siguiente objetivo es demostrar que las clases de Schubert forman una baseaditiva para el anillo de cohomología de la Grassmanniana. Empezamos presentando lasiguiente definición.

3.3 El Cálculo de Schubert 17

Definición 3.2.3 — Células de Schubert. Sea e1, . . . ,en una base ordenada de V ysea F• la bandera dada por los Fi :=Vectk(e1, . . . ,ei). Definimos la Célula de SchubertΣc

λ1,...,λm(F•) como[Ω] ∈G(n,m) | dim(Ω∩Fj) =

0 , para j < m−n+1−λ1i , para m−n+ i−λi ≤ j < m−n+1−λi+1m , para m−λn ≤ j

Definición 3.2.4 Dada una partición λ , definimos el peso de la partición como

|λ | :=m

∑i=1

λi

Observación. La célula de Schubert Σcλ1,...,λm

(F•) es isomorfa a Am(n−m)−|λ |. Podemosluego, expresar la Grassmanniana como la unión disjunta de las células de Schubert

G(n,m) =⊔

λ admisibles

Σcλ(F•)

Consideremos σλ1,...,λm las clase de cohomología dual (por Poincaré) a la clase fundamentalde la variedad de Schubert Σλ1,...,λm .

Teorema 3.2.1 El anillo de cohomología H∗(G(n,m),Z) es libre de torsión. Las clasesde cohomología de variedades de Schubert σλ generan una base aditiva de H∗(G(n,m),Z),tomando λ en el conjunto de particiones admisibles.

3.3 El Cálculo de SchubertConcluimos en esta sección, presentando el formalismo simbólico, denominado calculo

de Schubert, usado para resolver problemas de conteo y corresponde a la denominada teoríade intersecciones de la Grassmanniana.En general, dado que los tópicos abordados en esta sección son de mayor complejidad, estaserá particularmente expositiva en cuanto a resultados y consideraremos principalmente elcaso de la Grassmanniana Compleja, es decir k = C. Finalmente, se detallarán referenciasal final del capitulo.Iniciaremos nuestro desarrollo desde la topología algebraica. En la sección anterior, vimosque G(n,m) es una variedad (en particular compleja) de dimensión (n+1)(m−n). Desdela topología algebraica, tenemos que el grupo de cohomología con coeficientes enterosH i(G(n,m),Z) se anula cuando i 6∈ [0,2(n+1)(m−n)] y además, la suma directa,

H∗(G(n,m),Z) =⊕

i

H i(G(n,m),Z)

es un anillo graduado bajo el ∪-producto. Mas aun, G(n,m) es orientable, de modo queexiste un isomorfismo natural de el 2(n+1)(m−n)-ésimo grupo de cohomología con Z, laimagen en Z de un elemento u es llamado el grado de u y se denota por deg(u).

18 Capítulo 3. Teoría de Intersecciones

Teorema 3.3.1 Cuando varias subvariedades intersectan propiamente a un conjuntofinito de puntos, el numero de puntos, contando multiplicidad, corresponde al grado delproducto de las clases de cohomología correspondientes.

Idea. En términos generales, el teorema se tiene del hecho que estudiar las clases de coho-mología "convierte” la intersección en ∪-producto.

Presentamos ahora, el teorema principal del calculo de Schubert. Que afirma que lascélulas de Schubert determinan completamente la cohomología de G(n,m).

Teorema 3.3.2 — El teorema de la Base. Visto aditivamente H∗(G(n,m),Z) es ungrupo abeliano libre y los ciclos Ω(a0 · · ·ad) forman una base.

Por construcción, la clase de cohomología de una subvariedad X de G(n,m) se encuentraH2p(G(n,m),Z) cuando X es irreducible y de dimensión [(n+1)(m−n)− p].

Observación Ahora probaremos que Ω(A0 · · ·Ad) es irreducible de dimensión ∑di=0(ai− i)

con ai = dim(Ai). Para esto suponga que Ai consiste de los puntos (p(0), · · · , p(n)) y elespacio S de las (d+1)× (n+1)-matrices [pi( j)] con p( j) = 0 = pi( j) cuando j > ai parai = 0, · · · ,d. Sea S0 un subconjunto abierto de S de matrices donde sus menores maximalesp( j0 · · · jd) = det[pα( jβ )] no son todas cero. Dado que S es un espacio afín, se sigue queS0 es irreducible y en consecuencia, Ω(A−0 · · ·Ad) es irreducible. Por otro lado, sea S1 elsubconjunto de S de matrices [pi( j)] donde su submatriz [pi(a j)] es la (d + 1)× (d + 1)-identidad. Entonces S1 se encuentra en S0 y π(S1) es el subconjunto abierto de Ω(A0 · · ·Ad)de puntos (· · · , p( j0 · · · jd), · · ·) con p(a0 · · ·ad) 6= 0, por esto la aplicaci’on π induce un iso-morfismo analítico de S1 con π(S1) y como S1 es un espacio afín de dimensión ∑

di=0(ai− i),

la dimensión de Ω(A0 · · ·Ad) es la misma.

Podemos entonces reformular el teorema de la base como sigue

Teorema 3.3.3 — El teorema de la Base 2.0. Cada grupo de cohomología de dimen-sión par H2p(G(n,m),Z) es un grupo abeliano y los ciclos de Schubert Ω(a0 · · ·an) conp = [(n+1)(m−n)−∑

ni=0(ai− i)] forman una base. Además, cada grupo de dimensión

impar se anula.

Ejemplo. Considerar la variedad de Grassmann G(0,m) de elementos de Pm, de modoque, las coordenadas de Plucker coinciden con sus coordenadas usuales. Así, tenemosG(0,m) = Pm y Ω(A0) = A0.Ahora bien, el teorema de la base nos dice que H2p(Pm,Z) para 0 ≤ p ≤ m es un grupocíclico libre generado por la clase Ω(m− p) de un espacio vectorial (m− p)-dimensional, ytodos los otros grupos se anulan.

Proposición 3.3.4 La base · · · ,Ω(a0 · · ·ad), · · · del grupos H2p(G(d,n),Z) y la base· · · ,Ω(n−ad, · · · ,n−a0), · · · del grupo H2[(d+1)(n−d)−p](G(d,n),Z) son duales bajo elemparejamiento v,w 7→ deg(v ·w) de la dualidad de Poincaré.

3.3 El Cálculo de Schubert 19

Observación. Esta proposición nos dice que un elemento cualquiera v ∈ H2p(Gr(n,m),Z)se escribe de forma única como sigue

v = ∑δ (m−ad, . . . ,m−a0)Ω(a0 · · ·ad)

donde los enteros δ (m−ad, . . . ,m−a0) están dados por

δ (m−ad, . . . ,m−a0) = deg(v ·Ω(m−ad, . . . ,m−a0))

En particular, si v es la clase de cohomología de una subvariedad irreducible X ⊂G(n,m).Entonces cada entero δ (m−ad, . . . ,m−a0) es no-negativo pues corresponde a la cantidadde puntos con multiplicidad en la intersección de X y Ω(B0 ·Bd) para espacios vectorialesBi adecuados. Estos números fueron llamados originalmente Gradzahlen o grados de X .Sea Y una subvariedad irreducible de G(n,m) de dimensión p y sean los enteros ε(a0 · · ·ad)sus grados. Si la intersección X ∩Y es un conjunto finito de puntos, entonces, el numero#(X ∩Y ) de puntos contados con multiplicidad es el grado del producto entre

∑δ (m−ad, . . . ,m−a0)Ω(a0 · · ·ad) , y ε(a0, . . . ,ad)Ω(m−ad, . . . ,m−a0)

Aplicando la proposición anterior, tenemos

#(X ∩Y ) = ∑δ (m−ad, . . . ,m−a0)ε(a0, . . . ,ad)

Teorema 3.3.5 — La fórmula determinante. Para toda sucesión de enteros 0≤ a0 ≤·· · ≤ ad ≤ n se tiene la siguiente fórmula en el anillo de cohomología H(G(d,n),Z)

Ω(a0 · · ·ad) =

∣∣∣∣∣∣∣σ(a0) · · · σ(a0−d)

......

σ(ad) . . . σ(ad−d)

∣∣∣∣∣∣∣donde por convención, escribimos σ(h) = 0 para h /∈ [0,(n−d)].

Este teorema, junto con el teorema de la base, implica que el los ciclos especiales deSchubert generan el anillo de cohomología como Z-álgebra. Más aun, reduce el problemade determinar el producto de dos ciclos de Schubert arbitrarios en el caso donde uno (o eneste caso, cada uno) es un ciclo especial de Schubert. Este caso nos lleva al tercer teoremaprincipal, que es el que sigue.

Teorema 3.3.6 — Formula de Pieri. Para cualquier sucesión de enteros 0≤ a0 ≤ . . .≤ad ≤ n y para h = 0, . . . ,(n−d) se tiene la siguiente fórmula en el anillo de cohomologíaH∗(G(n,m),Z):

Ω(a0 · · ·ad) ·σ(h) = ΣΩ(b0 · · ·bd)

20 Capítulo 3. Teoría de Intersecciones

donde la suma recorre las sucesiones de enteros b0 < ·< bd que satisfacen0≤ b0 ≤ a0 < b1 ≤ a1 < · · ·< bd ≤ ad y ∑

di=0 bi = ∑

di=0 ai− (n−d−h).

Ejemplo, Usemos este resultado para determinar L en P3 que intersectan simultánea-mente a cuatro lineas L1,L2,L3 y L4. En la sección anterior, vimos que tales lineas L sonrepresentadas por los puntos de la intersección

Q =4⋂

i=1

Ω(Li,P3) .

Buscamos entonces, calcular el grado de Ω(1,3)4. Notemos que, por definición se cumpleque Ω(1,3) = σ(1) y la fórmula de Pieri de 3.3.6 nos dice que Ω(1,3)σ(1) = ΣΩ(b0 ·b1),con 0≤ b0 ≤ 1≤ b1 ≤ 3 y b0 +b1 = 3.Obtenemos de los cálculos anteriores lo siguiente, Ω(1,3)2 = Ω(0,3)+Ω(1,2). Luego, laúltima proposición nos da

Ω(0,3)2 = 0 ,Ω(1,2)2 = 0 , y deg(Ω(0,3) ·Ω(1,2)) = 1.

Así encontramos el grado deg(Ω(1,3)4) = 2. Alternativamente, usando nuevamente laformula de Pieri obtenemos Ω(1,3)3 = 2Ω(0,2) y una tercera vez nos da Ω(1,3)4 = 2Ω(0,1).Ahora bien, como Ω(0,1) es la clase de un único punto, su grado es 1.

3.4 Conclusiones y Ejemplos

Ejercicio 3.1 Calculemos el numero de lineas L en P3 que intersectan simultáneamentea cuatro curvas dadas C1,C2,C3 y C4.Considere ci ∈H4(P3,Z) las clases de cohomología de cada Ci y ` la clase de cohomolo-gía de una linea en L. Tenemos que ci = δi`, donde δi es el grado de Ci. Luego, las lineasintersectando una curva Ci dada son representadas por los puntos de una subvariedadXi de Gr(1,3) y como la clase de cohomología xi de Xi es de la forma xi = δiΩ(1,3)concluimos

x1 x2 x3 x4 = 2δ1 δ2 δ3 δ4 Ω(0,1)

y por ende, cuando el numero de lineas intersectando C1,C2,C3,C4 es finito y se toma encuenta multiplicidad de soluciones, entonces el numero de lineas es dado por 2δ1 δ2 δ3 δ4.

Para analizar los Xi mas detalladamente, necesitamos considerar el subconjunto Z del pro-ducto P3×G(1,3) consistente de los pares (P,Q) tales que el punto P ∈ P3 se encuentra enla linea representada por Q. Realizando cálculos no demasiado complejos, como aquellosde las secciones anteriores, podemos probar que Z es una variedad compleja de dimensión5 que se puede describir como un sistema de ecuaciones polinomiales (de hecho, cuadrá-ticas bihomogeneas). Sea entonces p : P3×G(1,3)→ P3 y q : P3×G(1,3)→G(1,3) las

3.4 Conclusiones y Ejemplos 21

proyecciones usuales. Entonces, claramente tenemos Xi = q(Z ∩ p−1(Ci)) en un sentidoconjuntista, y se puede ver que, xi = q∗(z · p∗ci), donde z es la clase de cohomología de Z,donde p∗ es la operación inducida en los grupos de cohomología inducida por p y dondeq∗ es dual por Poincaré de q∗. Similarmente tenemos Ω(1,3) = q∗(z · p∗`), y consecuente-mente, la relación ci = δi` implica la igualdad xi = δiq∗(z · p∗`) = δiΩ(1,3), corroborandola igualdad.

Ejercicio 3.2 Veamos que dos ecuaciones cuádricas en P4 tienen, en general, dieciséislineas en común.

Una forma cuádrica Q en Pn está definida como el conjunto de ceros de un polinomiohomogéneo F de grado 2 y podemos usar sus m =

(n+22

)coeficientes para representar Q

en un punto q ∈ Pm−1. Primero, observemos que las rectas en una cuádrica en P4, sonrepresentadas por puntos ` en la variedad 3-dimensional irreducible G(1,4). ConsideremosW ⊆ P14×G(1,4) el conjunto de los pares (q, `) tales que q representa una cuádrica Q en P4

y ` representa una recta en Q. Sea pr1 : W → P14 y pr2 : W →G(1,4) las proyecciones. Unafibra de pr2 representa las cuádricas Q tales que contiene una recta dada L. Sean F1,F2,F3polinomios homogéneas lineales independientes definiendo L. Entonces, el polinomio Fdefiniendo Q es de la forma

F = G1F1 +G2F2 +F3G3 (3.1)

donde Gi son polinomios lineales homogéneos adecuadas. De esta forma, los polinomiosde la forma 3.1 forman un espacio vectorial de dimensión (4 + 4 + 4) = 12, por tanto lafibra de pr2 es P11. Tenemos entonces que W es una variedad irreducible de dimensión11+dim(G(1,4)) = 17. Una fibra general de pr1, que representa rectas en una cuadráticageneral Q es por tanto irreducible de dimensión (17−14) = 3.

Sea Q una cuádrica en P4, sea X =G(1,4) representando las rectas en Q y sea x la clasede cohomología de X . Por el teorema de la base, tenemos que x = λΩ(0,4)+µΩ(1,3) ypor la proposición, tenemos que λ = deg(xΩ(0,4)) y µ = deg(xΩ(1,3)). Ahora, ningunarecta en Q puede pasar por un punto P ∈ P4 que no esté en Q, por tanto X ∩Ω(1,3) = /0,luego λ = 0. Por otro lado, un subespacio lineal A1 intersecta Q en una cuádrica Q1 enesta copia de P3 y exactamente 4 rectas en Q1 intersectan una recta A0 en A1, ya que A0intersecta Q1 en dos puntos distintos, por tanto intersecta una recta a cada recta en cadapunto. Así, X ∩Ω(A0A1) consiste en los 4 puntos, luego tenemos que µ = 4. Sea Q′ otracuádrica en P4, entonces el número de rectas comunes de Q y Q′, contando multiplicidades,es igual a deg(x2) = 42 deg(Ω(1,3)2) = 16.

22 Capítulo 3. Teoría de Intersecciones

3.5 Referencias del capítuloS.L Kleiman & Dan Laksov, "Schubert Calculus", Fuente: "The American Mathema-tical Monthly".Coskun, Izzet, Notas: "Lectures in Poland on homogeneous varieties", Fuente: Paginapersonal.Hatcher, Allen. "Algebraic Topology", ISBN: 7-302-10588-X