Variables Aleatorias y su Función de Probabilidad:

Variable Aleatoria:

Anteriormente los experimentos se concebían de tal manera que los resultados del espacio muestral eran cualitativos. Como ejemplos de resultados cualitativos tenemos:

* El lanzamiento de una moneda nos puede dar como resultado: “cara” o “cruz”

*El producto manufacturado en una fábrica puede ser “defectuoso” o “no defectuoso”

*Una persona en particular puede preferir la loción “X” o la “Y”

Debido a que resulta interesante en algunos casos cuantificar el comportamiento aleatorio de un espacio muestral, nace el concepto de Variables aleatorias las cuales permiten relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.

Definición: Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X esa función de valor real definida sobre S de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los números reales . Se dice entonces que X es una variable aleatoria. La cual transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas.

Ejemplo 1:

Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento(sucesos elementales) son los siguientes: <<que salga 1>>, <<que salga 2>>, <<que salga 3>>, <<que salga 4>>, <<que salga 5>> y <<que salga 6>>. Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el número correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, será:X= 1,2,3,4,5,6

Ejemplo 2:

Considérese el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral está constituido por dos posibles resultados “cara” o “sello”. Entonces podríamos decir que X(cara)=0 y X(sello)=1. De ésta manera se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en puntos sobre la recta. Ahora bien, P(x=0) es la probabilidad de que salga cara cuando se lance la moneda.

Ejemplo 3:

Un experimento aleatorio consiste en registrar en secuencia el sexo de los dos primeros bebes que nacen en un hospital un día cualquiera.

Si utilizamos V para varón y H para hembra, el espacio muestral viene dado por : S={ VV,VH,HV,HH}

Consideremos la variable aleatoria X definida de la siguiente manera:

X= Número de hembras en los dos recién nacidos . Luego X permite asociar a los elementos de S los siguientes números reales:

X({VV})= 0

X({VH,HV})= 1

X({HH})=2

Por lo tanto X= {0,1,2}

Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera no resulta inmediata la asociación de un número para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los números reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un número real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan números distintos.

Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales.

Ejemplo 4:

Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre lasposibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>.En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata.En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente:

Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3.

La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).

Ejercicios:1.- Considere el lanzamiento de dos dados. Describa el espacio muestral. Se define como variable aleatoria X a la suma de los valores de los lados de ambos dados.Les dejo un ejemplo para que se guíen: X{(1,1)=2X{(1,2), (2,1)}= 3 , y así sucesivamente…

2.- Se lanzan dos monedas al aire y sea X la variable aleatoria que identifica el número de caras obtenidas en el lanzamiento. -Identifique el espacio muestral.-Diga qué valores puede tomar X como variable aleatoria.

OJO: LAS VARIABLES ALEATORIA PUEDEN SER DE DOS TIPOS: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 ++ pn=1.

Para que lo entiendan mejor, una variable es discreta cuando tiene un número finito o infinito y contable de valores, es decir, que pueden ordenarse en secuencia y que sólo toma valores enteros.Por ejemplo:

- Número Accidentes de tránsito en una autopista- Número de hijos de una familia - Número de artículos defectuosos- Puntuación obtenida al lanzar un dado- Número de veces que se lanza una moneda hasta que salga cara - Número de hermanos de una persona, entre otros, en otras palabras son valores enteros que

denotan la posibilidad o no de ocurrencia de un hecho ok¡

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer,  por convenio, la siguiente notación:

(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", yp(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.

(X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", yp(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.

(X x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x", yp(X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x.

Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas,

supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras (discreta).

Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.

Función de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta f(x):

Es la función que asigna probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta.

Consideremos una v.a. discreta X, que toma los valores  x1, x2, ..., xn. Supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que:p(X=x1) = p1 , p(X=x2) = p2, p(X=x3) = p3, ..., p(X=x1) = pn ,en general p(X=xi) = pi

La función de probabilidad  f(x)  de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi.

Características de la función de probabilidad:

1.- p(x)≥ 0 para todos los valores x de X. Explicación: es decir, la probabilidad de cada uno de los valores que puede tomar x sea mayor a 0

2.- Σx p(x)= 1 Explicación: la sumatoria de las probabilidades asociadas deben ser igual a 1 .

La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Variable que toma un valor infinito de valores no numerables. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números; esto es, si para algún a < b, cualquier número x entre a y b es posible. Alternativamente, una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales.

Son ejemplos de variables aleatorias continuas:

- El tiempo de espera de un paciente en un Hospital antes de ser atendido- La edad

- La estatura

- El peso

- La Presión arterial

- El nivel de colesterol

- Los ingresos y gastos de una familia

- Y la temperatura, entre otros.

- Supónganse que compraron acciones en Empresas Polar, S.A., y todos los días buscan el último precio cotizado de las acciones. El resultado es un número real X  (el último precio cotizado de la acción) en el intervalo [0 + ) .

- O bien, calculen la duración de una carrera de 50 metros para varios corredores. El resultado para cada corredor es un número real X , el tiempo de la carrera en segundos. En ambos casos, el valor de X  es bastante aleatorio. Además, X  puede tomar su valor en cualquier intervalo en vez de tomar, por ejemplo, solo valores de números enteros. Por esta razón referimos a X  como una variable aleatoria continua. La definición formal se las explico a continuación:

Una variable aleatoria continua es una función X  que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X  puede asumir cualquier valor en algun intervalo I  (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua.

Ejemplos

1. Encuentre una estrella en el cosmos y tome para X  su distancia del sistema solar en años luz. Entonces X  es una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales en el intervalo (0, +∞)

2. Abra la sección negocios de su periódico, y tome para X  el último precio cotizado del las acciones de Empresas Polar. Entonces X  puede asumir cualquier valor real, pues podemos pensar en X  como una variable aleatoria continua.

Función de Densidad de una variable aleatoria continua:

La función de densidad de probabilidad (FDP), representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

En el caso de que X sea continua su función de densidad debe permitir expresar  F, la función de distribución de probabilidad de X , en forma integral: 

ACTIVIDAD:

Qué diferencias pueden observar ustedes entre las variables discretas y las continuas, expliquen sus razones