VARIABLES ALEATORIASUna variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.Ejemplo:a. Numero de caras en el lanzamiento de tres monedas.b. Resultado en el lanzamiento de dos dados.c. Numero de artículos defectuosos en una muestra de artículos seleccionados.

Ejemplos.Se lanza una moneda tres veces, sea X la variable aleatoria que mide el número de caras que aparecen en los tres lanzamientos.

El conjunto de posibles resultados de una variable aleatoria X se denomina el rango de la variable y se denota por Rx , en este caso Rx = {0,1,2,3}.

Ejemplos.Se lanzan dos dados, se X la variable aleatoria que mide el resultado en el lanzamiento. En este caso se tiene que Rx = {2,3,4,…,12}.

Tipos de variables Aleatorias.Existen dos tipos de variables aleatorias. Variables Aleatorias Discretas (vad): Son aquellas cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores.Variables Aleatorias Continuas (vac): Son aquellas cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores.De momento nos concentraremos en las variables aleatorias discretas.

Función de Distribución de una variable aleatoria discreta.El interés se centra en conocer la probabilidad de que la variable aleatoria tome diferentes valores, se denota con letras mayúsculas como X, Y o Z a las variables aleatorias, y con letras minúsculas como x,y o z a los valores específicos de la variable aleatoria.Así se denota la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor de x, de la siguiente forma.

P(X=x)=p(x)

Ejemplo.En el lanzamiento de tres monedas.

Así:x 0 1 2 3p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Ejemplo.Suponga que la variable aleatoria X posee la siguiente función de probabilidad.Se tiene que Rx = {0,1,2}Ahora la función de probabilidad de la variable X se encuentra en la siguiente tabla

x 0 1 2p(x) 0.49 0.42 0.09

Propiedades de las funciones de probabilidad variables aleatorias Discretas.Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta cumple las siguientes propiedades.

Es claro que las funciones vistas en los ejemplos anteriores, cumplen las condiciones de una variable aleatoria discreta.

Ejemplo.Un inspector realiza control de calidad a un lote que posee 10 artículos, de los cuales hay 3 defectuosos. El inspector selecciona 4 artículos y rechazará el lote si por lo menos encuentra un articulo defectuoso de los 4. a. Hallar la función de probabilidad para la variable X que mide el numero de artículos defectuosos seleccionados por el inspector.b. Cual es la probabilidad de que el inspector rechace el lote?Solución.a. p(0)= p(1)= p(2)= p(3)=x 0 1 2 3p(x)

Ejemplo.De manera general se puede tener la siguiente expresión para la función de probabilidad de la variable aleatoria X.

p(x)=b. El inspector rechazara el lote si por lo menos encuentra un articulo defectuoso de los cuatro que selecciona, luego la probabilidad de que rechace el lote es dada por:0.167=0.833

Valor esperado y varianza de una variable Aleatoria DiscretaValor esperado: Sea X una variable aleatoria discreta, el valor esperado de X (también denominado promedio de X o esperanza de X) es dado por:Varianza: Sea X una variable aleatoria discreta, entonces la varianza de X es dada por:

Ejemplos.Hallar los valores esperados y las varianzas para los ejemplos vistos anteriormente.Empecemos con los valores esperados.= 0p(0)+1p(1)+2p(2)+3p(3)=0(1/8)+1(3/8)+2(3/8)+3(1/8)=1.5Luego, al lanzar una moneda tres veces se espera que hallan 1 o dos caras.ii. = 0(0.49)+1(0.42)+2(0.09)=0.6iii. E(X)=

Luego se esperaría que uno de los artículos defectuosos seleccionados por el inspector sea defectuoso

Ejemplos.Ahora las varianzas.i. ii. V(X)= Ejercicio. Hallar la varianza para la variable aleatoria que mide el numero de artículos defectuosos seleccionados por el inspector.

Distribución Binomial.Ensayo de Bernoulli. Es un experimento aleatorio con sólo dos posibles resultados denominados éxito y fracaso.Ejemplos.a. Lanzar una moneda. El experimento tiene solamente dos resultados (C, S).b. Probando una nueva droga contra una enfermedad. La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad.La probabilidad de éxito se denota p. y si los ensayos son independientes, esta probabilidad se mantiene constante de un ensayo a otro.

Distribución Binomial.Definición. Una variable aleatoria con distribución Binomial estudia o mide el numero de éxitos que hay en n ensayos independientes de Bernoulli.La función de probabilidad para una variable aleatoria con distribución Binomial es dada por:Donde n es el número de ensayos de Bernoulli y p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.Si una variable aleatoria X posee distribución binomial, entonces:E(X)=np y V(X)=np(1-p)

p ( x )=(nx ) px (1− p)n− x , x=0,1 ,…n .

Ejemplos de Distribución Binomial.a. Si una moneda se lanza 15 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 10 caras.Solución:El lanzar una moneda es un experimento binomial. Dado que nos interesa contar el número de caras, así reclamamos como éxito cuando salen éstas. Dejemos que el número de éxitos sea la variable aleatoria (x). Substituyendo n = 15, p = probabilidad de éxito (cara) en cada intento.E(X)=np=15*0,5=7.5 (se espera que de los 15 lanzamientos 7 o 8 sean cara.V(X)=np(1-p)=15*0,5*0,5=3.75.

p (10 )=(1510)0,510(1−0,5)15−10=0,0916

Ejemplos de Distribución Binomial.b. Un examen de opción múltiple con única respuesta consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles opciones. Si un estudiante responde aleatoriamente el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que lo gane?Solución:n = número de intentos = 5, y p = 0,25, se quiere encontrar:

E(X)=np=5*0,25=1.25 (se espera que de las 5 preguntas respondidas al azar, una salga correcta.V(X)=np(1-p)=5*0,25*0,75=0,9375.

p (X ≥3 )=p (3 )+ p (4 )+ p (5 )=(53)0,253(1−0,25)5−3+(54)0,254(1−0,25)5− 4+(55)0,255(1−0,25)5−5=0,1035

Distribución Poisson.Una variable aleatoria poisson estudia el numero de eventos (o exitos ) que ocurren en una unidad de tiempo o espacio dado. Este tipo de modelo se utiliza para modelar datos de conteo, cuya naturaleza es una variable aleatoria poisson.La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución poissón es dada por:Donde es la tasa promedio de éxitos.Se tiene que tanto el valor esperado como la varianza para la distribución poissón son dados por

Distribución Poisson.Por ejemplo:1. Número de clientes que llegan a un banco en una hora.2. Número de errores que se comenten en una hoja transcrita a computador.3. Número de orificios en un metro cubico de madera.4. Numero de impurezas en un litro de agua.5. Numero de imperfecciones de un metro cuadrado de tela.La diferencia entre una variable aleatoria poisson y una binomial es que en esta última se conoce el número máximo de éxitos. También se tiene que el valor de la media es proporcional a la unidad de tiempo o espacio dada.

Ejemplo.a. Durante un experimento de laboratorio el numero promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. .Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado?Solución:, se requiere calcular la probabilidad de que X=6.p(6)

Ejemplo.b. El numero promedio de camiones-tanque que llega cada dia a cierta ciudad portuaria es 10. Cual es la probabilidad de que en un día determinado lleguen mas de 3 camiones ?Solución: Sea X el numero de camiones-tanque que llegan cada día. Entonces, tenemosP (X > 3) = 1−P (X ≤ 3) = 1 −(p(0)+p(1)+p(2)+p(3))=1-0.0102=0,9896

Ejemplo.c. Cierta área del este de Estados Unidos resulta afectada, en promedio, por 6 huracanes al año. Calcule la probabilidad de que esta área resulte afectada por:a) menos de 4 huracanes en dos años;b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes en 6 meses.

Distribución Binomial Negativa.Una variable aleatoria con distribución binomial estudia el número de ensayos hasta completar k éxitos.Si ensayos independientes repetidos pueden dar como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad 1 – p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el numero del ensayo en el que ocurre el k-esimo éxito, es:

Distribución Binomial Negativa.Se tiene que el valor esperado y la varianza para una variable aleatoria con distribución binomial negativa son dados por: y Cuando interesa el número de ensayos hasta obtener el primer éxito se llega a la distribución geometrica, la cual es un caso particular de la distribución binomial negativa cuando k=1, así su función de probabilidad, valor esperado y varianza son dados por:

y

Ejemplos.1. La probabilidad de que una persona que estudia la carrera de piloto privado apruebe el examen escrito para obtener la licencia es de 0.7. Calcule la probabilidad de que cierto estudiante apruebe el examena) en el tercer intento;b) antes del cuarto intento.

Ejemplos.De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, Estados Unidos, casi dos terceras partes de los 20 millones de personas que consumen Valium son mujeres. Suponga que esta cifra es una estimación valida y calcule la probabilidad de que en un determinado día la quinta prescripción de Valium que da un medico seaa) la primera prescripción de Valium para una mujer;b) la tercera prescripción de Valium para una mujer.c) Cual es el valor esperado y la varianza?