Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza

Esperanza y Varianza

Esperanza de una variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es unnúmero real que se calcula según:1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con

probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn):

2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… conprobabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:

La esperanza matemática o simplemente laesperanza de una variable aleatoria X, sesimboliza por E(X) y su definición es lasiguiente:

Esperanza de una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidades f(x), la esperanza es un número real que se calcula según:

A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ.

Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo [a, b], la esperanza se calcula como:

La esperanza posee varias propiedades,independientes del tipo de la variable aleatoria.

Propiedades

1. La esperanza de una constante es el valor de laconstante:

2. Aditividad: la esperanza de la suma de dosvariables aleatorias es igual a la suma de lasesperanzas de los dos sumandos:

3. Un factor constante c se puede sacar del signo delsímbolo de la esperanza matemática:

Propiedades

4. Sea y una función real, la esperanza de lavariable aleatoria Y=g(X) está definida por:

En particular si y(x) = X2 se tiene:

5. Si X y Y son dos variables aleatoriasindependientes:

Observaciones

1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:

2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la recta x = m, entonces E(X) = m.

3.

Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedestener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas esnecesario introducir otra característica teórica queinforma sobre la dispersión de sus posibles valores.

La Varianza

La idea de esperanza no indica cómo estádistribuida la masa en torno a su centro; esto seexpresa mediante la varianza de la variablealeatoria X, que se nota Var(X) o σ2.

Definición: la varianza de una variable aleatoria Xes un número no negativo que se calcula por:

O equivalentemente por:

La Varianza

Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de lasiguiente manera:

1. Para una variable aleatoria discreta que toma unnúmero finito de valores x1, x2,…, xn conprobabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…,pn=Pr(X=xn):

2. Para una variable aleatoria discreta que toma unnúmero infinito de valores x1, x2,… conprobabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:

La Varianza

3. Para una variable aleatoria continua con función de densidad f(x):

Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) estádefinida en [a, b]:

1. Una mayor varianza indica que los valores tienden aestar más alejados de la media.

2. Una menor varianza indica que los valores tienden aestar más concentrados alrededor de la media.

Desviación estándar

Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es igual a la raíz cuadrada de la varianza:

Propiedades:

La varianza de una constante es cero:

Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado:

Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos:

Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que: