Variable Aleatoria

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1. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera ´este. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X). Solución: Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia x -1 1 2 3 p(x) 125/216 15/216 75/216 1/216 E[x]= (-1)125/216+(1)15/216+(2)75/216+(3)1/216 E[x]=-0.078 2. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad, x 1 2 3 4 5 p(x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25 a) Comprobar que es una función de probabilidad. b) Calcular p (x ≤ 3). c) Calcular p (x > 3). d) Calcular p (x = 1 U x = 3 U x = 5). e) Calcular E[X]. Solución: a) x=1 5 p ( x ) =1→0,05+0,20+0,05+0,45+0,25=1 se verifica b) p (x ≤ 3)= p (x = 1)+ p (x = 2)+ p (x = 3)=0,05+0,20+0,05= 0,30 c) p (x > 3)=1- p (x ≤ 3)=1-0.30= 0,70 d) p (x = 1 U x = 3 U x = 5)= p (x = 1)+ p (x = 3)+ p (x = 5)=0,05+0,05+0,25= 0,35

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1. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera ´este. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X).

Solución:

Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia

x -1 1 2 3

p(x) 125/216 15/216 75/216 1/216

E[x]= (-1)125/216+(1)15/216+(2)75/216+(3)1/216

E[x]=-0.078

2. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,

x 1 2 3 4 5

p(x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25

a) Comprobar que es una función de probabilidad.

b) Calcular p (x ≤ 3).

c) Calcular p (x > 3).

d) Calcular p (x = 1 U x = 3 U x = 5).

e) Calcular E[X].

Solución:

a) ∑x=1

5

p ( x )=1→0,05+0,20+0,05+0,45+0,25=1 se verifica

b) p (x ≤ 3)= p (x = 1)+ p (x = 2)+ p (x = 3)=0,05+0,20+0,05=0,30

c) p (x > 3)=1- p (x ≤ 3)=1-0.30=0,70

d) p (x = 1 U x = 3 U x = 5)= p (x = 1)+ p (x = 3)+ p (x = 5)=0,05+0,05+0,25=0,35

e) E[x]=(1)0,05+(2)0,20+(3)0,05+(4)0,45+(5)0,25=3,65

Sea una variable aleatoria definida por su función de distribución:

P[x]=

a) calcular la función de probabilidad de esta variable.b) Calcular E(X).

Solución:

0 x<-20,4 -2≤x<0,50,8 0,5≤x<31 x≥3

a) x -2 0,5 3

p(x) 0,4 0,4 0,2

b) E(X)=(-2)0,4+(0,5)0,4+(3)0,2E(X)=-0,18

3. Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de distribución de X.

Solución:

Función de probabilidad

p(0)=1/8 p(1)=3/8 p(2)=3/8 p(3)=1/8

Función de distribución

P[x]=

4. Sea X variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por

32

1r ! (4−r ) !

r=0,1,2,3,4

p(x)=

0 en otros casos

Hallar p (X = 3); p (1 ≤ X≤ 2,5) y p (X≤ 2,5)

Solución:

p [ x=0 ]=32

10 ! (4−0 )!

= 116

p [ x=1 ]=32

11 ! (4−1 )!

= 14

p [ x=2 ]=32

12! ( 4−2 )!

=38

0 x<01/8 0≤x<14/8 1≤x<27/8 2≤x<31 x≥3

p [ x=3 ]=32

13! (4−3 ) !

=14

p [ x=4 ]=32

14 ! ( 4−4 )!

= 116

p (X = 3)=1/4

p (1 ≤ X≤ 2,5)= p (X = 1)+ p (X = 2)=5/8

p (X≤ 2,5)= p (X = 0)+ p (X = 1)+ p (X = 2)=11/16

5. Los artículos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y, se estima que la

probabilidad de que en un día sean vendidos r artículos defectuosos es23 ( 1

3 )r

. Determinar la

probabilidad de que en un día de los artículos vendidos:a) Dos o más sean defectuosos.b) Cinco sean defectuosos.c) Tres o menos sean defectuosos.d) Determinar la esperanza.

Solución:Sea x el numero de artículos defectuosos vendidos en un día:

a) p (X = r)=pqr p=2/3 y q=1/3 → p (X > r)=qr+1

p (X > 1)=q2

b) p (X =5)=pq5

c) p (X≤3)=1- p (X > 4)=1-q5

d) por ser geométrica E[x]=36. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad

p (X)=

Se pide:a) Hallar a b) Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.c) P(X < 1).d) P(X < 2|X > 1).

Solucion:

a)

a(1+x)2 0≤x<30 en otros casos

∫0

3

a(1+x)2 dx=1 → a=1 /12

b) P(1 < X < 2) = F(2) − F(1) =5/18.

c) P(X < 1) = F(1) =1/9d) P(X < 2|X > 1) = P(1 < X < 2)/P(X > 1)= (F(2) − F(1))/(1 − F(1))=45/144

.7. Sea Y una variable aleatoria con función de densidad dada por:

p (y)=

a) Determinar el valor de k.b) Determinar la función de distribución, P[y].c) Calcular P(0 ≤ Y ≤ 0,5).

Solución:

a)

∫−1

0

0,2 dy+∫0

1

(0,2+ky )dy=1→ k=1.2

b)

P(y) =

c) P(0 ≤ Y ≤ 0,5) = F(0,5) − F(0) = 0,25.

8. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

P[x]=

Donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidadde que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado:

a) Sea superior a 200 euros.b) Sea inferior a 450 euros.

0,2 -1≤y<00,2+ky 0<y≤10 en otros casos

0 x<0x/2 0≤x<11/2 1≤x<2x/4 2≤x<41 x≥4

0,2y+0,2 -1≤y<00,6y2+0,2y+0,2 0<y≤10 en otros casos

c) Sea superior a 50 euros y menor ´o igual a 250 euros.d) Calcular el ahorro mensual medio.

Solucion:

a) P(X > 2) = 1 − F(2) = 0,5.b) P(X < 4,5) = F(4,5) = 1.c) P(0,5 < X ≤ 2,5) = F(2,5) − F(0,5) = 3/8.

d) E [X ]=∫0

4

xp ( x ) dx=¿1,75¿

9. Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potenciales clientes se comportara semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad

p (x)=

Donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0,5?

Solución:

Nos piden C de forma queP(X < C) ≥ 0,5 FX(C) ≥0,5

Luego

∫0

c38(4 x−2x2)2dx ≥ 0,5

(C − 1)(C2 − 2C − 2) ≤ 0

Como 0 ≤ C ≤ 1, C = 1.

10. Cierta aleación se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo que X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

p ( x )=10−5 3 x (100−x)5

0≤ x≤ 100

y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleación, es una función del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular el beneficio esperado.

Solución:

3/8(4x-2x2)2 0≤x<20 en otros casos

Hallamos la E[X]

E [ x ]=10−5

5∫

0

c

3 x(100−x )dx=50

LuegoE[G] = A + 50B

11. Si la duración en horas de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con función de densidad

p ( x )=100

x2x>100

SE PIDE:a) Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavía después de 150 horas de servicio.b). ¿Cuál es el número mínimo de tubos n que se pueden poner en un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad 0,999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavía el sistema?

Solución:

P[x]=1−100x

a) P(x < 200|x > 150) =P (150<x<200)

P(x>150)=¼

b) Para el tiempo TP del sistema en paralelo dure menos de 150 horas, es necesario que las n componentes duren menos de 150 horas, luego:

P(TP > 150) = 1 − pn ≥ 0,999→

−log 0.001log 3

=6.29

12.El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor es una variable aleatoria Z con función de distribución

P [z]=

a) Obtener la función de densidad de probabilidad p(z).b ) Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure más de 200 horas.

Solución:a)

p ( z )=dP[ z ]dz

=2 z e−z 2

z>0

b) P(Z > 2) = 1 − P(Z < 2) = 1 − (1 − e−4) = e−4

0 z<0

1-e-z2z≥0

13. Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor, una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por:

p (z)=

a) Sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una función continua de x, determinar a y b.

b) Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatación sea inferior a 3.c) Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado más de 3 cm, ¿con qué

probabilidad la dilatación estará entre 3 y 5 cm?

Solución:

a) Por continuidad f(3−) = f(3+) =) 3a = b

f(5−) = f(5+) =) b = b

a∫0

3

x dx+b∫3

5

dx+ b3∫5

8

(8−x )dx=1

a= 115

y b=15

b) P(X < 3)=1

15∫0

3

xdx= 310

c) P(3 < x < 5|x > 3)=P (3<x<3)

P(x>3)=4

7

14. Sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad:

p (x)=

a) Calcular la función de distribución de X.b) Hallar k, si P(k ≤ x ≤k + 1) = 0,09.

Solución:

a) P[x]=∫−6

xx+650

dx= 150

( 12

x2¿+6 x+18)¿

b) P(k ≤ x ≤ k + 1) = F (k + 1) − F (k) = 0,09 =) k = −2

ax 0≤x<3b 3<x≤5b/3(8-x) 5<x≤8

(x+6)/50 -6≤x≤40 en otros casos

15.La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya función de densidad es:

p (x)=x6

2≤ x≤ 4

¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda? El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta un beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone una perdida de 6 euros. Es por tanto, importante para ´el establecer cuál Esla cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad es el maximizar la ganancia esperada, determinar cuál es la fabricación optima.

Solución:

G(c, x)=

E[G(c, x)]=∫2

c

(18 x−6 c ) x6

dx+∫c

1

12cx6

dx

E[G(c, x)]=−12

c2+18 c−8

d E [G (c , x )]dc

=−32

c2+18=0→ c=√12

16.Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) =0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ).

Solución:

E(Y ) = E(3X − 8) = 3E(X) − 8 = −2V ar(Y ) = V ar(3X − 8) = 9V ar(X) = 4,5

17.Supongamos que una variable aleatoria X tiene función de densidad de probabilidad:p(x) = 2x 0 < x < 1

Determinar la función de densidad de probabilidad de las variablesa) Y = H1(X) = 3X + 1,b) Z = H2(X) = e−X

c) W = H3(X) = X2

Solución:

a) P[x]=∫0

x

2 xdx=x2

P ( y )=p (3 x+1≤ y )=p¿

P ( y )=23 ( y−1

3 )1< y<4

12x-6(c-x) 2≤x≤c12c c<x≤a

b) P ( z )=p (e−x ≤ z )=p¿

P ( z )=−2( ln zz )e−3< z<e−1

c) P (w )=p ( x2 ≤ z)=p¿

P (w )=1 0<w<1

18. Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presión. Esta diferencia está dada por

R=12

d V 2

Con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la velocidad del viento (en km/h). Si V es una función de densidad de probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la función de densidad de probabilidad de R.

Solución:

p(v)=1/10 P[v]=v−10

1010<v<20

P[r]=P[ 1

2d v2 ≤r ]=P[0≤V ≤√ 2 r

d ]=√ 2 rd

−10

1050 d<r<200 d

P [ r ]=¿ 110√2 dr

50 d<r<200 d

19. Calcule y escriba en una tabla la distribución de la variable aleatoria suma de los númerosque aparecen al lanzar dos dados.

Solución.

A continuación presentamos todos los sucesos que pueden ocurrir al lanzar dos dadosy el valor que para cada uno de estos sucesos tiene la variable suma:(1,1) 2 (2,1) 3 (3,1) 4 (4,1) 5 (5,1) 6 (6,1) 7(1,2) 3 (2,2) 4 (3,2) 5 (4,2) 6 (5,2) 7 (6,2) 8(1,3) 4 (2,3) 5 (3,3) 6 (4,3) 7 (5,3) 8 (6,3) 9(1,4) 5 (2,4) 6 (3,4) 7 (4,4) 8 (5,4) 9 (6,4) 10(1,5) 6 (2,5) 7 (3,5) 8 (4,5) 9 (5,5) 10 (6,5) 11

(1,6)) 7 (2,6) 8 (3,6) 9 (4,6) 10 (5,6) 11 (6,6) 12Como todos estos sucesos tienen la misma probabilidad 1/36, la distribución de la suma será:X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

20. Un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener un seis que un siete, ya que hay el mismo número de resultados a favor de un resultado que de otro. Cinco y uno, cuatro y dos, tres y tres, para el seis y seis y uno, cinco y dos, cuatro y tres, para el siete. ¿Es cierta esta afirmación? Razone la respuesta.

Solución.

No, en realidad los sucesos que dan origen a que la suma valga 6 son: (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) por tanto la probabilidad será 5/36, mientras que los sucesos que hacen que la suma sea 7 son (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) y en consecuencia esta probabilidad será 6/36.

21. Para estudiar si las ratas tienen visión cromática, en una caja que cuenta con tres palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En cada prueba la posición de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se somete una rata a cuatro pruebas. ¿Cual sería la distribución de la variable aleatoria número de pulsaciones que consiguen alimento, si la rata no distinguiera el rojo y pulsase al azar?

Solución.

La variable aleatoria número de pulsaciones puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4. El suceso que da origen a que la variable valga 0 sería:R, R,R, Rcuya probabilidad sería 2/3 · 2/3 · 2/3 · 2/3 = 16/81

El suceso que da origen a que la variable valga 1 sería:R,R, R, RUR, R, R, RUR, R,R, RUR, R,R, R

y su probabilidad sería 4 · 1/3 · 2/3 · 2/3 · 2/3 = 32/81

El suceso que es la imagen inversa de 2 es:R,R,R,RUR, R,R,RUR, R,R,RUR, R, R, RUR, R, R, RUR, R, R, R

y su probabilidad 6 · 1/3 · 1/3 · 2/3 · 2/3 = 24/81

La imagen inversa de 3 es:R,R, R, RUR, R,R, RUR, R, R, RUR,R,R,R

y su probabilidad 4 · 1/3 · 1/3 · 1/3 · 2/3 = 8/81

La imagen inversa de 4 es el suceso:R,R, R, Ry su probabilidad es 1/3 · 1/3 · 1/3 · 1/3 = 1/81

Resumiendo la distribución del número de aciertos es:

X 0 1 2 3 4P 16/81 32/81 24/81 8/81 1/81

22. Un jugador de Rol, en una partida de Dungeons and Dragons, para salvarse de un conjuro de Raistlin, necesita sacar un 18 en el lanzamiento de los dados. El Dungeon Máster le ofrece lanzar tres dados de seis caras o uno de diez junto con uno de ocho. ¿En cual de estas dos alternativas es más probable obtener un 18 y salvarse del conjuro? Explique su respuesta ¿Sería la respuesta la misma si hubiese que sacar 17 o más para evitar el conjuro?

Solución.

Para sacar 18 con tres dados de seis caras tiene que ocurrir el suceso (6, 6, 6) que tiene una probabilidad 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216.Para obtener 18 con un dado de diez caras y otro de ocho tiene que ocurrir el suceso(10, 8) cuya probabilidad es 1/10 · 1/8 = 1/80. Obviamente esta probabilidad es mayor que la anterior.Para obtener 17 o más con los tres dados tiene que ocurrir el suceso: (5, 6, 6) (6, 5, 6) (6, 6, 5) (6, 6, 6) cuya probabilidad es 4/216.Para conseguir el mismo resultado con los dos dados tiene que ocurrir:(10, 7) (9, 8) (10, 8) que tiene una probabilidad de 3/80 que también sería mayor que con los tres dados.

23. Tenemos una urna con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultáneamente. Recibimos 200 pesetas si las dos bolas son blancas, 100 si las dos son verdes y 10 si una es roja y la otra verde, en los demás casos no recibimos nada. ¿Cuál es el valor esperado de los premios?

Solución.

P(B1 B2) = P(B1) · P(B2 / B1) = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45P(V1 V2) = P(V1) · P(V2 / V1) = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 1/15P((R1 V2) (V1 R2)) = P(R1 V2) + P(V1 R2) = 5/10 · 3/9 + 3/10 · 5/9 =15/90 + 15/90 = 1/3Por consiguiente el premio esperado sería:

E[premio] = 200 · 1/45 + 100 · 1/15 + 10 · 1/3 + 0 · 26/45 = 14,4

24. En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Si la rata elige A vuelve al punto de partida después de recorrer dos metros. Si elige B recorre cinco metros y vuelve al mismo punto. Si elige C sale al exterior recorriendo un metro. ¿Por término medio que distancia recorre una rata antes de salir, si siempre elige un orificio distinto de los seleccionados en veces anteriores?

Solución.

Los itinerarios que pueden darse con las distancias recorridas en cada caso, son (A,B, C) 8, (B, A, C) 8, (A, C) 3, (B, C) 6, (C) 1, y sus probabilidades serían:

P(A, B, C) = P(A) · P(B/A) · P(C/AB) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6P(B, A, C) = P(B) · P(A/B) · P(C/BA) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6

P(A, C) = P(A) · P(C/A) = 1/3 · 1/2 = 1/6

P(B, C) = P(B) · P(C/B) = 1/3 · 1/2 = 1/6

P(C) = 1/3

En consecuencia la distancia media recorrida será:

E[D] = 8 · 1/3 + 6 · 1/6 + 3 · 1/6 + 1 · 1/3 = 4,5

25. Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde

F(x)=  k(9-x)                                  si x= 5, 6, 7, 8                                        en otro caso

a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X

Solución.

a) P(X=5) = k (9-5) = 4kP(X=6) =k(9-6) =3k                                                P(X=7) =k(9-7) =2kP(X=8) =k(9-8) =1kSabemos  que:  10k = 1  entonces tenemos que: k = 1/10

función de ProbabilidadX 5 6 7 8

P (X) 4/10 3/10 2/10 1/10

Función de Distribución AcumuladaX P(X) F(X)5 4/10 0+4/10 = 4/106 3/10 4/10+3/10 =7/107 2/10 7/10+2/10 =9/108 1/10 9/10+1/10 = 1

                    0       si   X < 5                    4/10    si  5 ≤ X ≤ 6F(X) =          7/10    si  6 ≤ X ≤ 7                     9/10   si  8 ≤ X ≤ 9                    1       si X> 8

b) Mediaµ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6

VarianzaV(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1

26.  Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z esta dada por,

          F(x)=  x2-3x                             para x= 4, 5, 6, 7              60                                  si x= 4, 5, 6, 7Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,

Solución:

a)  Función de Probabilidad

P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60                                             60P(X=5)= (5)2-3/5) = 10/60                    60P(X=6)= (6)2-3/6) = 18/60                    60P(X=7)= (7)2-3/7) = 28/60                    60

Función de Distribución Acumulada

X P(X) F(X)

4 4/60 0+4/60 = 4/60

5 10/60 4/60+10/60 = 14/60

6 18/60 14/60+18/60 = 32/60

7 28/60 32/60+28/60 = 1

b) Mediaµ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60VarianzaV(x)= (4 - 37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)V(x)=8.560 Desviación Estándarσ =    (8.560)1/2    = 2.925

27. Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:Datos:

X 4 5 6 7P (Xi) 4/60 10/60 18/60 28/60

Solución:

                5 buenas

n = 7       2 defectuosasr = 3X = Numero de colchas defectuosasX = 0, 1, 2

función de Probabilidad

X = Xi 0 1 2

P (Xi) 2/7 4/7 1/7

Función de Distribución Acumulada

X P(X)F(X)

0 2/7 0 + 2/7 = 2/7

1 4/7 2/7 + 4/7 = 6/7

2 1/7 6/7 + 1/7 = 1

Mediaµ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7

VarianzaV(x)= (0 – 6/7)2(2/7) + (1-6/7)2 (4/7) + (2-6/7)2 (1/7)= 20/49 = 0.40816

Desviación Estándar

σ =    0.40816    = 0.6388

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:

 Función de probabilidad

X = Xi 1 2 3 4 5 6 7 8

P (Xi) 2/28 3/28 4/28 5/28 4/20 3/20 2/20 1/20

Función de Distribución Acumulada

X P(X) F(X)

1 2/28 0 + 2/28 = 2/28

2 3/28 2/28 + 3/28 = 5/28

3 4/28 5/28 + 4/28 = 9/28

4 5/28 9/28 + 5/28 = 14/28

5 4/20 14/28 + 4/20 = 14/20

6 3/20 14/20 + 3/20 = 17/20

7 2/20 17/20 + 2/20 = 19/20

8 1/20 19/20 + 1/20 = 1

Mediaµ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20)  = 129/28

VarianzaV(x)=(1-129/28)2(2/28)+(2-129/28)2(3/28)+(3-129/28)2(4/28)+(4-129/28)2(5/28)+(5-129/28)2(4/20)+(6-129/28)2(3/20)+(7-129/28)2(2/20)+(8-129/28)2(1/20)= 57/16 = 3.5625

Desviación Estándar

σ =       3.5625      =  1.887

28. Sea x una variable aleatoria que expresa el nº de personas que habitan en una vivienda elegida al

azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ó +

pi 0,230 0,322 0,177 0,155 0,067 0,024 0,015 0,010

a) Obtener el nº medio de personas que habitan en una vivienda.

b) Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

c) Hallar la probabilidad de que el nº de personas que viven en un hogar sea menor o igual que

cuatro.

d) Comprobar que es una distribución de probabilidad.

Solución:

a)

Todas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que:

b)

C)

d)

29. Se lanza tres veces una moneda. Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de caras en los tres

lanzamientos.

a) Hallar y representar la función de probabilidad de x. (ver Ejemplo pag. 3)

Se lanza 3 veces una moneda:

b) Calcular el nº esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era previsible el resultado?

c) Calcular el nº esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era previsible el resultado?

Solución:

a) E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

x=0 →{XXX}

x=1 →{XXC,XCX,CXX}

x=2 →{CCX,CXC,XCC}

x=3 →{CCC}

b) Calcular el nº esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era previsible el resultado?

Sí, ya que en cada lanzamiento P(C)=1/2 y al lanzar tres veces se tiene que .

c) Hallar la desviación típica de x

o bien:

30. Una compañía ha vendido 205 billetes para un avión de 200 plazas.Sea x la variable aleatoria que

expresa el nº de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión. Su distribución es:

xi 198 199 200 201 202 203 204 205

pi 0,05 0,09 0,15 0,20 0,23 0,17 0,09 0,02

a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan plaza.

b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que va al aeropuerto

c) Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo?

Solución:

a)

b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que va al aeropuerto.

c) Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga sitio en el vuelo?

31. Una Variable aleatoria, donde x=nº de caras al lanzar tres veces una moneda

Solución:

Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3

Lanzar 3 veces moneda:

E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria x:

- Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}

- Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}

- Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}

- Toma valor 3 cuando {CCC}

La función de probabilidad es:

Función de probabilidad de x:

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0 1 2 3

¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras?

¿y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?

32. En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Si la rata elige A, entonces vuelve al punto de partida habiendo recorrido dos metros. Si elige B, entonces recorre cinco metros y está en el punto de partida. Si elige C, entonces sale al exterior recorriendo un metro. ¿Cuál es el valor esperado de la distancia recorrida por la rata, si siempre elige un orificio distinto a los anteriores?

Solución

Los itinerarios que pueden darse con las distancias recorridas en cada caso, son

(A, B, C) 8,

(B, A, C) 8,

(A, C) 3,

(B, C) 6,

(C) 1,

y sus probabilidades serían:

P(A, B, C) = P(A) · P(B/A) · P(C/A˙B) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6

P(B, A, C) = P(B) · P(A/B) · P(C/B˙A) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6 P(A, C) = P(A) · P(C/A) = 1/3 · 1/2 = 1/6

P(B, C) = P(B) · P(C/B) = 1/3 · 1/2 = 1/6 P(C) = 1/3

En consecuencia la distancia media recorrida será:

E[D] = 8 · 1/3 + 6 · 1/6 + 3 · 1/6 + 1 · 1/3 = 4,5

33. Tenemos una urna con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultáneamente. Recibimos 200 pesos si las dos bolas son blancas, 100 si las dos son verdes y 10 si una es roja y la otra verde, y en los demás casos no recibimos nada. ¿Cual es el valor esperado de los premios?

Solución

P(B1 B2) = P(B1) · P(B2 / B1) = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45

P(V1 V2) = P(V1) · P(V2 / V1) = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 1/15

P((R1 V2) U (V1 R2)) = P(R1 V2) + P(V1 R2) = 5/10 · 3/9 + 3/10 · 5/9 = 15/90 + 15/90 = 1/3

Por consiguiente el premio esperado sería:

E[premio] = 200 · 1/45 + 100 · 1/15 + 10 · 1/3 + 0 · 26/45 = 14,4

34. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de

euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de

euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza

matemática del juego.Solución:

µ =16.667

35. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó

un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el

precio justo a pagar por la papeleta?

Solución: μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 

36. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x p i

0 0,1

1 0,2

2 0,1

 x p i x· p i 

+100 100/6

+ 200 200/6

+ 300 300/6

- 400 -400/6

+ 500 500/6

-600 -600/6

           100/6

3 0,4

4 0,1

5 0,1

Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 =  0.5

37. Sea X el número de casos nuevos de SIDA diagnosticados en un importante hospital, durante un día. La función de probabilidad para X es:

Caso de SIDA, x

0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad, P

0.1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 0.1

a)     Hallar la función de distribución de dicha variable.b)     Hallar la probabilidad de que un día cualquiera, por lo menos tres casos nuevos sean diagnosticados.c)     Hallar la media de casos diagnosticados al día y la desviación típica.

Solución:

a)

Casos de sida, X

0 1 2 3 4 5 6

F(x)=   P(X ≤ x)

0.1 0.2 0.3 0.6 0.8 0.9 1

b) 0.7;  

c) µ=3.1, σ=1.7

38. Suponga que la variable aleatoria x representa el porcentaje de impureza contenidas en un tambor de aceite comestible que comercializa una empresa con la siguiente función de distribución de densidad

f ( x )={x

25si ¿ x<5

−x

25+

25

si 5≤x≤10

0 t . o .l .

Determine la función de distribución acumulada. De ella obtenga F(x = 2,) e interprete el resultado.

Solución

F ( x )={0 si x≤0

∫0

xx

25dx si 0<x<5

∫0

5x

25dx+∫

5

x

(− x25

+ 25 )dx si 5≤x≤10

1 si x>10

Desarrollando las integrales anteriores, se tiene que:

F ( x )={0 si x≤0x2

50si 0< x<5

12+(− x2

50+ 2

5x ) si 5≤x≤10

1 si x>10

Finalmente,

F ( x=2,5 )=F ( x≤2,5 )= (2,5 )2

50=0,125=12,5%

La probabilidad de que un tambor de aceite contenga a lo más 2,5% de impureza es de 0,125

39. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribución en particular es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:

f ( x )={2(1− 1x2 ) si 1≤x≤2

0 t . o. l .

i. Calcule F(x)ii. Calcule el valor esperado de la variable aleatoria X.

Solución.

a. Sea X: demanda semanal de gas propano (en miles de galones)

Como x es una variable aleatoria continua, se tiene que:

F ( x )=∫−∞

x

f ( x ) dx=∫1

x

2(1−1

x2 )dx=2∫1

x

(1−1

x2 )dx=2[∫1

x

dx−∫1

x1

x2dx]=2[ x¿

1

x+

1x

¿1

x]=2[ (x−1 )+(1x −1)]=2[ x+1

x−2]=2 [x2+1

x−2]=2[ x2+1−2x

x ]=2x

( x2−2x+1 )

=2x

( x−1 )2

por lo tanto

F ( x )={ 0 si x<12x

( x−1 )2 si 1≤x≤2

1 si x>2

b. El valor esperado de una variable aleatoria continua es por definición:

E ( x )=∫1

2

x⋅f ( x ) dx=2∫1

x

x (1−1

x2 )dx=2 [∫1

x

x⋅dx−∫1

x

x⋅1

x2dx ]=2[∫

1

x

x⋅dx−∫1

x1x

dx ]¿2[ x2

2¿1

x+ ln ( x ) ¿

1

x ]=2[(2−12 )+( ln (2 )−ln (1 )⏟

=0 )]=2[32 −ln (2 )]=̇¿1,61

¿

40. Considere la función de densidad de una v.a X con distribución exponencial dada

por:

f X( x )=¿ {λe−λx si x>0(con λ>0) ¿ ¿¿¿(a) Determine los momentos de 1º, 2º, 3º y 4º orden (b) Encuentre la varianza de X.

Solución:

a) i) Usando Función generadora de momentos

μxt=∫0

∞etx f ( x )dx

μxt=∫0

∞etx ( λe−λx )dx =(1−t

λ)−1

lim ( t →0 )∂m

∂ tmμxt

=E ( xm )

E( x )=lim ( t →0) [∂∂ t(1−t

λ)−1]=1

λ

E( x2 )=lim ( t→0 )[∂2

∂ t2(1−t

λ)−1]=2

λ2

E( x3 )=lim ( t→0 )[∂3

∂ t3(1−t

λ)−1]=6

λ3

E( x4 )=lim ( t →0 )[∂4

∂ t4(1−t

λ)−1]=24

λ4

b)

V ( x )=E( x2)−( E( x ))2= 2

λ2−( 1

λ)2= 1

λ2

41. Considere la función de densidad dada por:

f X( x )=¿ {K ( x−1) si 1≤x≤5 ¿ ¿¿¿

(a) Encuentre la función de densidad de la v.a Y definida por Y=ln(X)(b) Encuentre la función de distribución acumulada de la v.a Y definida en (a)

(c) Determine P(0 .5≤Y ≤1)

Solución

∫1

5k ( x−1 )dx=8 k=1↔ k=1

8

a)

y=ln x↔ x=g ( x )−1=e y

f ( y )=f ( g( x )−1 )|g' ( x )−1|g' ( x )−1=e y

∴ f ( y )=18

( e y−1 )|e y|

f ( y )={18 (e2 y−e y) si 0≤ y≤ln 5

0 en c . oc

b)

F (Y= y ){ 0 si y<0

∫0

y 18(e2Y−eY )dY si 0≤Y ≤ y

1 si y> ln 5

F (Y= y ){ 0 si y<0e2 y

16− e y

8+ 1

16si 0≤Y≤ y

1 si y> ln5

c)

P(0,5≤ y≤1 )=∫0,5

1 18(e2 y−e y)dy=0 ,15823

42. Considere la función de probabilidad dada por:

P( X=x )=¿ {K ( x−1) si x=1,2,3,4,5 ¿¿¿¿(a) Encuentre la función de probabilidad de la v.a Y definida por Y=ln(X)(b) Encuentre la función de distribución acumulada de la v.a Y definida en (a)

(c) Determine P(0 .5≤Y ≤1)Solución

∑x=1

x=5

p (x )=k+2k+3k+4 k=1

k=110

a)

y=ln x↔ x=e y

∴P(Y = y )={ey−1

10, y=0 ,ln2 ,ln 3 ,ln 4 ,ln 5

o , enc . oc .

b)

F (Y= y )=(

0 , si y<0

110

∑y=0

y

(e y−1) si , y=0 ,ln 2 ,ln 3 ,ln 4 ,ln 5

1 si y> ln5

43. Para la siguiente función de densidad f ( x )=C∗(1−x2 ),−1≤x≤2

. Encuentre:(a) El valor de C para que la función de densidad sea válida.(b) La probabilidad que X sea mayor a cero.(c) La función de distribución acumulada.(d) Determine el valor de x para el cual la probabilidad de exceder éste es igual a 0,25.(e) La esperanza y varianza de X.

a)

∫−1

1c (1−x2 )dx=1

c=3/4

b)P( x>0 )=∫0

1 34( x2−1 )dx=0 .5

c)

F ( x )={ 0 x<−1

∫−1

X 34

(1−x2 )dx −1≤x≤1

1 x>1

d) Resolver y despejar k : P(X>k)=0,25

e) i)

E( x )=∫−1

1 3 x4

( x2−1 )dx

ii)

V ( x )=E( x2)−E( x )2

E( x2 )=∫−1

1 x2

2( x2−1 )dx

44. Una empresa embotelladora de bebidas envasa su producto en envases de 200 cc, 500 cc, 700 cc y 1000 cc. Sea X: Envase (cantidad de cc) que prefiere comprar un consumidor. Supongamos que X tiene una función de probabilidad dada por:

X(cc) 200 500 700 1000

p(x) 0.1 0.3 0.2 0.4

(a) Calcule E(X ), E(X2

) y V(X )(b) Si el precio de una botella con X cc es de $ 5X-200 ¿Cuál es el precio esperado por una botella de

bebida para un cliente que compra una bebida al azar? (c) ¿Cuál es la varianza del precio 5X-200 pagado por el cliente?(d) Supongamos ahora que a medida que la embotelladora venda el producto en envases mas

grandes, abarata sus costos, por lo que determina que el nuevo precio de venta es h(X)=10 X -

∫k

1 34

( x2−1)dx=0 ,25

0.01X 2. Bajo este escenario ¿Cuál es el nuevo precio esperado por una botella de bebida para un

cliente que compra una bebida al azar?

a)

i)

E( x )=∑i=1

4

xp( x )=200×0,1+500×0,3+700×0,2+1 . 000×0,4

E( x )=710 cc

ii)

E( x2 )=∑i=1

4

x2 p( x )=2002×0,1+.. . .. .+1.0002×0,4

E( x2 )=577 . 000(cc )2

iii)

V ( x )=E( x2)−E( x )2=577 . 000−7102

V ( x )=72. 900(cc )2

b) y: precio de una botella con X cc.

y=5 x−200E( y )=5 E( x )−200=5×710−200=$ 3 .350

c) V ( y )=V (5 x−200 )=52 V ( x )=25×72 . 900=($ )2 1 . 822.500

d)

e) h(x): nuevo precio de venta de una botella con X cc.

E( h( x ))=E (10 x−0 , 01 x2 )=10 E( x )−0 , 01 E ( x2)E( h( x ))=10×710−0 , 01×577 . 000=$ 1 .33045. Sea X el número de departamentos vendidos en una semana por una empresa constructora. La

función de probabilidad de tal evento está dada por:

x 0 1 2 3 4 5

P(X=x) k 2k 3K 4K 0.2 0.3

(a) Determine el valor de k que hace que la tabla anterior sea una función de probabilidad.(b) ¿Cuál es la probabilidad que se tengan a lo más dos casas dañadas por el terremoto en la villa?

Interprete brevemente el resultado según su criterio.(c) Determine e interprete la esperanza y variabilidad de X.

Solución

a)

∑x=0

x=5

p ( x )=1

10 k+0,5=1k=0 ,05

b)

P( x≤2 )=p( x=0 )+ p( x=1)+ p( x=2)P( x≤2 )=0 , 05+0 , 10+0 ,15=0 ,30

c)

i)

E( x )=∑x=0

x=5

xp ( x )=0×0 ,05+1×0 ,10+ .. .. .. . .+5×0 , 30

E( x )=3,3 .. deptos/ semanales

ii)

σ x=√σ x2=E ( x2)−E( x )2

E( x2 )=x2 p( x )=02×0 , 05+12×0 ,10+ .. ..+52×0 ,30=13 ,2σ x

2=13 ,2−3,32=2 ,31 . .(deptos/ semanales)2

σ x=√2, 31=1 ,52. . deptos/ semanales