Valores máximos y mínimos de una función

7/31/2019 Valores mximos y mnimos de una funcin

1/18

Mximos y mnimos de una funcin Ing. Jos Luis Albornoz Salazar - 0 -

Titulo: MXIMOS Y MNIMOS DE UNA

FUNCINAo escolar: MATEMATICA 1Autor: Jos Luis Albornoz SalazarOcupacin: Ing Civil. Docente UniversitarioPas de residencia: VenezuelaCorreo electrnico: [email protected]

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboracin en elsentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendacin a la

siguiente direccin :

[email protected] puede enviar cualquier ejercicio o problema que

considere pueda ser incluido en el mismo.

Si en sus horas de estudio o prctica se encuentra con unproblema que no pueda resolver, envelo a la anterior direccin y

se le enviar resuelto a la suya.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/18


MXIMOS Y MNIMOS

DE UNA FUNCIN

Antes de abordar este aspecto, es bueno recordar cmo encontrar

la recta tangente a una funcin con la utilizacin de la derivada primera y

que significado grfico tiene el signo de la pendiente de dicha recta.

Ejemplo 1 : Encuentre la recta tangente a la parbola f(x) = X2 4X + 5en el punto (3,2).

Solucin: Inicialmente se calcula la derivada primera de lafuncin f(x) = X2 4X + 5

f(x) = 2X 4para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemos introducir el

valor de X del punto sealado en la ecuacin de la derivada primera.

Como X = 3 en dicho punto:

f(3) = 2(3) 4 ; f(3) = 6 4 ; f(3) = 2

As, la recta tangente en (3,2) tiene pendiente 2. De la forma

punto-pendiente de la ecuacin de una recta, y y1 = m(x x1), seobtiene :

y 2 = 2(x 3) : y 2 = 2x 6 ; Y = 2X 4

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo positivo

(m>0) significa que est inclinada hacia arriba en sentido anti horario con

respecto al eje horizontal (eje x) como se muestra en la figura siguiente:

La FIGURA 1 presenta la parbola f(x) = X2 4X + 5 y un segmento

de la recta tangente en (3,2)

FIGURA 1

Ejemplo 2 : Encuentre la recta tangente a la parbola f(x) = X2 4X + 5en el punto (1,2).

Solucin: Inicialmente se calcula la derivada primera de lafuncin f(x) = X2 4X + 5

f(x) = 2X 4

para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemos introducir el

valor de X del punto sealado en la ecuacin de la derivada primera.

Como X = 1 en dicho punto:

f(1) = 2(1) 4 ; f(1) = 2 4 ; f(1) = 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Y = 2X 4


3/18


As, la recta tangente en (1,2) tiene pendiente 2 . De la forma

punto-pendiente de la ecuacin de una recta, y y1 = m(x x1), se

obtiene :

y 2 = 2(x 1) : y 2 = 2x + 2 ; Y = 2X + 4

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo negativo(m


4/18


Esto nos indica que por el punto (2,1) de la parbola X2 4X + 5pasa la recta tangente horizontal (pendiente igual a cero) y se encuentra

ubicado un nmero crtico de dicha parbola.

La FIGURA 3 presenta la parbola f(x) = X2 4X + 5 y un

segmento de la recta tangente horizontal en (2,1)

FIGURA 3

Ejemplo 4 : Determine los nmeros crticos de la funcinf(x) = X2 4X + 5.

y confirme si constituyen un mximo o un mnimo relativo de la misma.

Solucin: Inicialmente se calcula la derivada primera de lafuncin f(x)

f(x) = 2X 4

Los nmeros crticos son aquellos donde la derivada primera es

igual a cero o no existe. En este caso en particular (ver ejercicio 3) el

punto crtico es (2,1)

Por este punto pasa la recta tangente horizontal a la parbola

estudiada (ver figura 3).

Para saber si este punto representa un mximo o un mnimo de la

funcin se debe estudiar el signo de la pendiente de la recta tangente

antes y despus de dicho punto.

Como el punto crtico est ubicado en (2,1) puedo estudiar la

pendiente antes (cuando x = 1) y despus (cuando x = 3)

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 1,

sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 2X 4

f(1) = 2(1) 4 ; f(1) = 2 4 ; f(1) = 2

Esto nos indica que antes del punto crtico la pendiente de la rectatangente es negativa (m0).

Si antes del punto crtico el signo de la pendiente de la rectatangente es negativo y despus del punto crtico la pendiente dela recta es positiva se concluye que es un punto mnimo.

Bajo esta consideracin se concluye que el punto (2,1) representa

un mnimo relativo de la funcin estudiada f(x) = X2 4X + 5.(ver.FIGURA 3)

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4 6


5/18


Como una ayuda grfica me permito recomendar el siguiente

procedimiento:

Dibujamos la recta real y marcamos el valor del nmero crtico.

0 1 2 3

Calculamos la pendiente de la tangente antes del nmero crtico,

puede ser en x = 1 en este caso y la graficamos sobre la recta anterior

(como di negativo 2 debemos recordar lo enunciado en la pg. 2)

0 1 2 3

Posteriormente calculamos la pendiente de la tangente despus del

nmero crtico, puede ser en x = 3 en este caso y la graficamos sobre la

recta anterior (como di positivo 2 debemos recordar lo dicho en la

pg.1)

0 1 2 3

Es fcil observar que entre estas dos rectas se puede colocar una

curva que represente un mnimo de una funcin:

0 1 2 3

Ejemplo 5 : Determine los nmeros crticos de la funcinf(x) = X2 .



f(x) = 2X


igual a cero o no existe.

2X = 0 ; X = 0 / - 2 ; X = 0

Conocido el valor de x de la parbola, lo sustituyo en la ecuacin

de sta y calculo el valor de y

f(x) = X2 . ; f(0) = 02 . ; f(0) = 0.

Esto nos indica que por el punto (0,0) pasa la recta tangentehorizontal (pendiente igual a cero) y se encuentra ubicado un nmero

crtico de dicha parbola.




Como el punto crtico est ubicado en (0,0) puedo estudiar la

pendiente antes (cuando x = 1 ) y despus (cuando x = 1)

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 1 ,

sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 2X

f( 1) = 2( 1) ; f( 1) = + 2


6/18


Esto nos indica que antes del punto crtico la pendiente de la recta

tangente es positiva (m>0).


sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 2X

f(1) = 2(1) ; f(1) = 2

Esto nos indica que despus del punto crtico la pendiente de la

recta tangente es negativa (m


7/18


Ejemplo 6 : Determine los nmeros crticos de la funcinf(x) = X3 3X.



f(x) = 3X2 3



3X2 3 = 0 ; 3X2 = 3 ; X2 = 3/3 ; X2 = 1 ; X = 1

Esto significa que existen dos nmeros crticos, es decir cuando

X=1 y cuando X = 1

Estudiamos el punto donde X = 1 :

Para calcular el punto de la funcin donde X = 1, introduzco este

valor en la ecuacin de dicha funcin:

f(x) = X3 3X ; f( 1) = ( 1)3 3( 1) ; f( 1) = 1 + 3

f( 1) = 2 el punto crtico es ( 1,2)




Como el punto crtico est ubicado en ( 1,2) puedo estudiar lapendiente antes (cuando x = 2 ) y despus (cuando x = 0)


sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 3X2

3

f( 2 ) = 3( 2 )2 3 ; f( 2 ) = 3(4) 3 ; f( 2 ) = 9

Esto nos indica que antes del punto crtico la pendiente de la rectatangente es positiva (m>0).

2 1 0


sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 3X2 3

f(0 ) = 3(0)2 3 ; f(0) = 3(0) 3 ; f(0) = 3

Esto nos indica que despus del punto crtico la pendiente de larecta tangente es negativa (m


8/18



Para calcular el punto de la funcin donde X= 1, introduzco este


f(x) = X3 3X ; f(1) = (1)3 3(1) ; f(1) = 1 3

f(1) = 2 el segundo punto crtico es (1, 2)




Como el punto crtico est ubicado en (1, 2) puedo estudiar lapendiente antes (cuando x = 0 ) y despus (cuando x = 2)


sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 3X2 3

f(0 ) = 3(0)2 3 ; f(0) = 3(0) 3 ; f(0) = 3


0 1 2




0 1 2

La FIGURA 5 muestra la grfica de la funcin f(x) = X3 3X con

sus dos rectas tangentes horizontales.

FIGURA 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


9/18


NOTA IMPORTANTE SOBRE EL MTODO

GRFICO RECOMENDADO :

El mtodo recomendado en las pginas anteriores puede generar

algunas dudas cuando se escogen los valores a estudiar antes y despus

del punto crtico.

Esto puede suceder cuando los nmeros crticos estn ubicados

muy cerca uno del otro y al querer estudiar un nmero antes o despus

del mismo nos ubiquemos en uno que tambin es un nmero crtico.

A continuacin vamos a resolver un ejercicio donde se presenta

una situacin de este tipo para fijar mejor la idea:

Ejemplo 7 : Determine los nmeros crticos de la funcinf(x) = X4 +

X3 4 X2



f(x) = 4X3 + 4X2 8X



Al igualar la derivada primera a cero se obtiene que :

4X3 + 4X2 8X = 0 ; 4X (X2 + X 2) = 0 ; 4X (X + 2) (X 1) = 0

De donde se desprenden tres valores de X, es decir

X = 0 ; X = 1 ; X = 2

Esto significa que existen tres nmeros crticos, es decir cuando X = 0,

cuando X = 1 y cuando X = 2

Note que hay dos nmeros crticos cercanos, es decir, 0 y 1; es

posible que cuando vaya a analizar un valor despus de cero (0) escoja a

uno (1) o cuando vaya a estudiar un valor antes de uno (1) escoja a cero

(0).

Para evitar cualquier error al realizar el anlisis respectivo se

recomienda que en estos casos se estudie un nmero decimal antes o

despus del nmero crtico que est ms cercano.


Para calcular el punto de la funcin donde X = 0 , introduzco este

valor en la ecuacin de dicha funcin: f(x) = X4

+

X3

4 X2

f(0) = (0)4 +

(0)3 4 (0)2 ; f(0) = 0

el primer punto crtico es (0,0)




Como el punto crtico est ubicado en (0,0) pudiera estudiar lapendiente antes (cuando x = 1 ) y despus (cuando x = 1)

Pero como en X = 1 hay otro punto crtico NO LO DEBOESCOGER porqu all la pendiente de la recta tangente es igual acero. Cuando se presente esta situacin puedo escoger un nmerodecimal que est despus del cero (0) y antes del uno (1)


10/18


Se puede estudiar entonces cuando X = 1 y cuando X = 0,5


sustituyo este valor en la ecuacin de la derivada primera

f(x) = 4X3 + 4X2 8X

f( 1) = 4( 1)3

+ 4( 1)2

8( 1) ; f( 1) = 4( 1)

+ 4(1) 8( 1)

f( 1) = 4+ 4 + 8 ; f( 1) = 8


1 0 0,5

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 0,5 ,


f(x) = 4X3 + 4X2 8X

f(0,5) = 4(0,5)3 + 4(0,5)2 8(0,5) ; f(0,5) = 4(0,125)+ 4(0,25) 8(0,5)

f(0,5) = 0,5+ 1 4 ; f(0,5) = 2,5

Esto nos indica que despus del punto crtico la pendiente de larecta tangente es negativa (m


11/18


Se puede estudiar entonces cuando X = 0,5 y cuando X = 2

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 0,5 ,


f(x) = 4X3 + 4X2 8X

f(0,5) = 4(0,5)3

+ 4(0,5)2

8(0,5) ; f(0,5) = 4(0,125)

+ 4(0,25) 8(0,5)

f(0,5) = 0,5+ 1 4 ; f(0,5) = 2,5


0,5 1 2




0,5 1 2


Para calcular el punto de la funcin donde X = 2 , introduzco este

valor en la ecuacin de dicha funcin: f(x) = X4 +

X3 4 X2

f( 2) = ( 2)4 +

( 2)3 4 ( 2)2 ; f(1) =

el tercer punto crtico es ( 2 ,

)




Como el punto crtico est ubicado en ( 2 ,

) puedo estudiar

la pendiente antes (cuando x = 3) y despus (cuando x = 1)



f(x) = 4X3 + 4X2 8X

f( 3) = 4( 3)3

+ 4( 3)2

8( 3) ; f( 3) = 96


12/18



3 2 1




3 2 1

La FIGURA 6 muestra la grfica de la funcin f(x) = X4 + 4/3 X3 4 X2

FIGURA 6

PUNTO DE INFLEXIN DE UNA FUNCIN

Los nmeros crticos de una funcin no solo sealan la presencia

de un mximo o un mnimo de ella, en algunas oportunidades pueden

sealar la presencia de un punto de inflexin.

En este caso, el punto de inflexin de dicha funcin es aquel por

donde pasa una recta tangente horizontal a ella (pendiente igual a cero)

pero que no representa un valor extremo de dicha funcin.

Cuando estudiamos los valores extremos de la funcin (mximos y

mnimos) notamos que la pendiente de las rectas tangentes antes y

despus del nmero crtico cambiaban de signo. Cuando el nmero

crtico seala la presencia de un punto de inflexin notaremos que la

pendiente de la recta tangente antes y despus de dicho nmero crtico

NO CAMBIA de signo.

Para fijar bien la idea anterior resolveremos el ejercicio siguiente:

-15

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2


13/18


Ejemplo 8 :Determine los nmeros crticos de la funcinf(x) = (X 1)3 + 2.



f(x) = 3(X 1)2



3(X 1)2 = 0 ; X 1 = 0 ; X = 1

Esto significa que existe un nmero crtico, es decir X = 1

Para calcular el punto de la funcin donde X = 1, introduzco este


f(1) = (1 1)3

+ 2;

f(1) = (0)3

+ 2;

f(1) = 2el punto crtico es (1, 2)




Como el punto crtico est ubicado en (1,2) puedo estudiar lapendiente antes (cuando x = 0 ) y despus (cuando x = 2)

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 0 , sustituyoeste valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 3(X 1)2

f(0) = 3(0 1)2 ; f(0) = 3( 1)2 ; f(0) = 3(1) ; f(0) = 3


0 1 2

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 2 , sustituyo

este valor en la ecuacin de la derivada primera f(x) = 3(X 1)2

f(2) = 3(2 1)2 ; f(2) = 3(1)2 ; f(2) = 3(1) ; f(2) = 3

Esto nos indica que despus del punto crtico la pendiente de larecta tangente es positiva (m>0).

0 1 2

Es fcil observar que entre estas dos rectas no se puede colocar

curva alguna que represente un mximo o un mnimo de una funcin:

Si antes y despus del punto crtico la pendiente de larecta tangente no cambia de signo se concluye que estamos enpresencia de un punto de inflexin.

La FIGURA 7 muestra la grfica de la funcin f(x) = (X 1)3 + 2

FIGURA 7

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4


14/18


Los puntos de inflexin no solo se localizan en donde est ubicado

un nmero crtico (FIGURA 10), generalmente lo encontraremos por donde

pasan rectas tangentes con pendientes distintas de cero (FIGURAS 8 y 9).

Si existe un punto en la grfica de una funcin en queel sentido de la concavidad cambia, y la funcin tiene unarecta tangente en este punto, entonces la grfica cruza surecta tangente en ese punto, como se muestra en lasfiguras 8, 9 y 10. A dicho punto se le llama PUNTO DEINFLEXIN.

Aunque no es la condicin nica y suficiente, la mejor forma de

determinar la ubicacin de un punto de inflexin consiste en igualar laderivada segunda (o segunda derivada) a cero.

Se dice que una grfica tiene concavidad positiva (figura 11)cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es positivo.

FIGURA 11

Se dice que una grfica tiene concavidad negativa (figura 12)cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es negativo.

FIGURA 12

c

FIGURA 8

FIGURA 9

c

FIGURA 10

c


15/18


Ejemplo 9 : Determine la ubicacin del punto de inflexin de lafuncin f(x) = X3 3X y confrmelo estudiando el sentido de la

concavidad antes y despus de l.

Solucin: Inicialmente se calcula la derivada segunda de lafuncin f(x)

f(x) = 3X2 3 : f

(x) = 6X

Al igualar la segunda derivada a cero :

6X = 0 ; X = 0

Esto significa que el punto de inflexin puede estar ubicado cuando

X = 0 ; para determinar el valor de Y, introduzco ste valor en la funcin.

f(0) = (0)3 3(0) ; f(0) = 0 es decir en (0,0)

La FIGURA 13 muestra la grfica de la funcin f(x) = X3 3X y

podemos observar que en el punto (0,0) cambia el sentido de la

concavidad (de negativa a positiva). De hecho cambia en forma similar a

lo mostrado en la FIGURA 8.

Primero estudio si por ese punto pasa una recta tangente a la

funcin, para lo cual introduzco el valor de X = 0 en la primera derivada:

f(x) = 3X2 3 ; f(0) = 3(0) 3 ; f(0) = 3

Con este valor se confirma que por el punto (0,0) pasa una recta

tangente a la funcin f(x) = X3 3X y tiene una pendiente m = 3

Para estudiar el sentido de la concavidad se escoge un valor de X

antes y un valor despus de X = 0 (podemos escoger -1 y 1).

Para estudiar la concavidad cuando X = 1 ; introduzco este valor

en la segunda derivada:

f ( 1) = 6( 1) ; f( 1) = 6

Se dice que una grfica tiene concavidad negativa (figura 12)

cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es negativo.

Para estudiar la concavidad cuando X = 1 ; introduzco este valor

en la segunda derivada:

f( 1) = 6( 1) ; f( 1) = 6

Se dice que una grfica tiene concavidad positiva (figura 11)

cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es positivo.

Si existe un punto en la grfica de una funcin en que el

sentido de la concavidad cambia, y la funcin tiene una recta

tangente en este punto, entonces la grfica cruza su recta

tangente en ese punto. A dicho punto se le llama PUNTO DEINFLEXIN.

La FIGURA 13 muestra la grfica de la funcin f(x) = X3 3X con

un segmento de la recta tangente que pasa por el punto de inflexin (0,0).

FIGURA 13

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3


16/18


OTROS DOS MTODOS PARA LOCALIZAR E IDENTIFICARLOS VALORES MXIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN:

PRIMER MTODO : Estudiando los valores que toma la funcinantes y despus de los nmeros crticos :

Ejemplo 10 : Localice e identifique los valores mximos y mnimosrelativos de la funcin f(x) = X3 3X

1er paso : Se calcula la derivada primera de la funcin f(x) = X3 3X :

f(x) = 3X2 3

2do paso : Se iguala la derivada primera a cero para identificar losnmeros crticos :

3X2 3 = 0 ; 3X2 = 3 ; X2 = 3/3 ; X2 = 1 ; X = 1


X=1 y cuando X = 1

3er paso : Se introducen los nmeros crticos en la ecuacin inicial y sedetermina el valor de la funcin en cada nmero crtico :

Para X = 1 :

f(x) = X3 3X ; f(1) = (1)3 3(1) ; f(1) = 1 3

f(1) = 2 ; (1,2)Para X = 1 :

f(x) = X3 3X ; f(-1) = ( 1)3 3( 1) ; f(-1) = 1 + 3

f( 1) = 2 ; ( 1, 2)4to paso : Conocidos los valores de la funcin en los puntos crticos, seprocede a estudiar el valor de la misma en un punto antes y en un punto

despus de cada nmero crtico.

Analizando el nmero crtico X = 1 (en donde la funcin adquiere

un valor de f(1) = 2 ), es decir el punto crtico (1, 2) :

Se estudia el valor de la funcin cuando X=0 y cuando X=2 (antes

y despus del nmero crtico X=1)

Para X = 0 :

f(x) = X3 3X ; f(0) = (0)3 3(0) ; f(0) = 0 0

f(0) = 0 ; (0, 0)Para X = 2 :

f(x) = X3 3X ; f(2) = (2)3 3(2) ; f(2) = 8 6

f(2) = 2 ; (2, 2)

Si los valores de la funcin antes y despues del nmero crtico son

mayores al valor de la funcin en el punto crtico [ f(0) > f(1) y f(2) > f(1) ],

estamos en presencia de un valor mnimo de la funcin.

En la grfica siguiente podemos observar la ubicacin de los tres

puntos estudiados y se verifica facilmente lo expresado en el prrafo

anterior.

antes (0, 0) despus (2, 2)

Punto crtico (1,

2)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3


17/18


Analizando el nmero crtico X = 1 (en donde la funcin adquiere

un valor de f( 1) = 2 ) , es decir el punto crtico ( 1, 2) :

Se estudia el valor de la funcin cuando X = 2 y cuando X=0(antes y despus del nmero crtico X = 1 )

Para X = 2 :

f(x) = X3 3X ; f( 2) = ( 2)3 3( 2) ; f(-2) = 8 + 6

f(2) = 2 ; (2 , 2)Para X = 0 :

f(x) = X3 3X ; f(0) = (0)3 3(0) ; f(0) = 0 0

f(0) = 0 ; (0, 0)

Si los valores de la funcin antes y despues del nmero crtico son

menores al valor de la funcin en el punto crtico, estamos en presencia

de un valor mximo de la funcin [ f(-2) < f(-1) y f(0) < f(-1) ].

En la grfica siguiente podemos observar la ubicacin de los tres

puntos estudiados y se verifica facilmente lo expresado en el prrafo

anterior.

Punto crtico ( 1, 2)

Antes (2 , 2) despus (0, 0)

SEGUNDO MTODO : CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADAEstudiando el signo de la concavidad de la funcin en los nmeroscrticos :

Ejemplo 11 : Localice e identifique los valores mximos y mnimosrelativos de la funcin f(x) = X3 3X

1er paso : Se calcula la derivada primera de la funcin f(x) = X3

3X

:

f(x) = 3X2 3

2do paso : Se iguala la derivada primera a cero para identificar losnmeros crticos :

3X2 3 = 0 ; 3X2 = 3 ; X2 = 3/3 ; X2 = 1 ; X = 1


X=1 y cuando X = 1

3er paso : Se calcula la segunda derivada de la funcin f(x) = X3 3X:

f(x) = 3X2 3 ; f(x) = 6X

4to paso : Se estudia el signo de la concavidad de la funcin en cada unode los puntos crticos.

En este paso es bueno recordar que el punto crtico seala el

extremo superior o inferior de una concavidad (recta tangente horizontal).

Se dice que una grfica tiene concavidad positiva (figura 11)cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es positivo.

FIGURA 11

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3


18/18


Se dice que una grfica tiene concavidad negativa (figura 12)cuando el valor de la segunda derivada en el punto evaluado es negativo.

FIGURA 12

Analizando el nmero crtico X = 1 :

Introduzco este valor en la derivada segunda:

f (x) = 6X ; f( 1 ) = 6( 1) ; f( 1 ) = 6

Observamos que el valor de la segunda derivada cuando X = 1

tiene signo negativo [ f( 1 ) = 6 ] lo que indica que la concavidades negativa y representa un valor mximo relativo de la funcin (verfigura 12).

Para determinar ese valor mximo, introduzco el nmero crtico en

la ecuacin inicial

Para X = 1 :

f(x) = X3 3X ; f(-1) = ( 1)3 3( 1) ; f(-1) = 1 + 3

f( 1) = 2 ; ( 1, 2)

Analizando el nmero crtico X = 1 :

Introduzco este valor en la derivada segunda:

f (x) = 6X ; f(1) = 6(1) ; f(1) = 6

Observamos que el valor de la segunda derivada cuando X = 1

tiene signo positivo [ f(1) = 6 ] lo que indica que la concavidad espositiva y representa un valor mnimo relativo de la funcin (verfigura 11).

Para determinar ese valor mnimo, introduzco el nmero crtico en

la ecuacin inicial

Para X = 1 :

f(x) = X3 3X ; f(1) = (1)3 3(1) ; f(1) = 1 3

f(1) = 2 ; (1,2)

Punto crtico ( 1, 2)

Punto crtico (1,2)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

Valores máximos y mínimos de una función

Documents

Transcript of Valores máximos y mínimos de una función