VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto vamos a...
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1 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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VALOR ABSOLUTO EN LA
RECTA NUMÉRICA
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CONTENIDO
1. Distancia entre dos puntos.
2. Punto medio.
3. Valor Absoluto.
4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto
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Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto vamos a analizar la siguiente situación.
Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad.
La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la izquierda de la casa de Oscar.
La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5 cuadras a la derecha de la casa de Oscar.
Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica
5 cuadras3 cuadras
Casa de BettyCasa de Oscar Casa de Alberto
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Donde: Punto B: ubicación casa de Betty Punto A: ubicación casa de Alberto Punto O: ubicación casa de Oscar
Representemos la anterior situación en la siguiente recta numérica:
Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica
O AB
3 cuadras 5 cuadras
55
Ahora el punto de reunión es donde Alberto.
Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty?
Betty: 8 cuadras.
Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica
Distancia de la casa de Betty a la de Alberto
Distancia de la casa de Oscar a la Alberto
Casa de Alberto
Oscar: 5 cuadras
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Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica
La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se define como la longitud del segmento de recta que tiene como extremos dichos puntos.
La distancia entre los puntos A y B, que denotamos d(A,B) , es la misma que la distancia entre los puntos B
y A, esto es: d(A,B)=d(B,A)
d(A,B)
d(B,A)
I IA <---------------------B
A --------------------->B
I I
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Concepto de punto medio entre dos puntos en la recta numérica
El punto medio entre dos puntos en la recta numérica, es aquel que divide al segmento comprendido entre ellos en dos partes iguales.
El punto medio, equidista (es decir, se encuentra a igual distancia) de los extremos del segmento de recta
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Concepto de punto medio entre dos puntos en la recta numérica
Ejemplo 1: Determinar el punto medio del segmento
correspondiente a la distancia recorrida del punto -2 alpunto 6
Se recorren 8 unidades
El punto medio es 2.
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VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por x , se puede interpretar en la recta numérica como
la distancia entre el origen y el punto cuya coordenada es x.
IMPORTANTE! Como es una distancia su valor es
siempre positivo o cero. En otras palabras, x 0
I I
0<-------------------- x
d(x,0)= I x - 0 I = I x I
0-------------------->x
d(0,x)= I 0 - x I = I –x I = I x I
I I
1010
VALOR ABSOLUTO
Si el punto de referencia no es el origen, sino un
punto 1x , la distancia desde este punto de referencia
hasta otro cualquiera 2x se representa como
d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l
l l
<------------------------>
l l
l l
<------------------------
-------------------------->
d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l
d(x1,x2)=lx1- x2l
d(x2,x1)=lx2- x1l
1x
1x
1x
2x
2x
2x
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2 63 4 5
Ejemplo 2:
(2, 6) 6 2 4 d
( 7, 1) 1 ( 7) 8 d20-2-4- 6- 8
( 7, 10) 7 ( 10) 3 d- 11 - 9 - 7 - 5
1212
VALOR ABSOLUTO
Distancia mayor que cero
Determinar la distancia de -3 a 15
Ahora calculemos la distancia de 15 a -3
Ejemplo 3:
d(-3,15)=I-3 -15I=I-18I=18
d(15,-3)=I15-(-3)I=I15+3I=I18I=18
18 unidades
1313
VALOR ABSOLUTO
Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:
8 2
2 5
2 4 1
5x
3 1x
La distancia de 2 a 5
La distancia de 8 a -2
La distancia de un número real x a 5
El triple de la distancia de un número real x a -1
El doble de la distancia de 4 a 1
Ejemplo 4:
1414
Ecuaciones e Inecuaciones con Valor
Absoluto.
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Recordemos el principio de tricotomía: Para dos números reales “a” y “b” cualquiera, se cumple una y solo una de las siguientes situaciones:
a es menor que b;
a es igual a b
a es mayor que b
I Ia b
b a
a = bI
I IPor tanto:
Para dos puntos x1 y 2
x sobre la recta numérica
sucederá una y solo una de las situaciones: 1.- Que
2x esté a la derecha de
1x
2.- Que 2
x esté a la izquierda de 1
x
3.- Que 2
x sea igual a 1
x
1616
VALOR ABSOLUTO Ejemplo 5:
Expresado como valor absoluto es:
x - 0 = 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es - 3, 3 xd ,0 = 3En términos de distancia
Observando sobre la recta tenemos que hay únicamentedos puntos que cumplen: el 3 y el -3.
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 3 unidades del origen.
- 3 -2 - 1 0 1 3- 4 2
3 unidades 3 unidades
con conjunto solución: 3, 3
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Ejemplo 6:
Expresado como valor absoluto es:
x 0 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo
x d 0 3,En términos de distancia
Observando sobre la recta tenemos que todos lospuntos entre el -3 y el 3 cumplen
3 3,
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia menor de 3 unidades del origen.
con conjunto solución: 3 3,
3 Unidades 3 Unidades
VALOR ABSOLUTO
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Ejemplo 7:
Expresado como valor absoluto es:
x - 0 > 3 x 3
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo
xd ,0 > 3En términos de distancia
Observando sobre la recta se tiene que todos los puntosa la izquierda del -3 y a la derecha del 3 cumplen
-∞,-3 ∪ 3,∞
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia mayor de 3 unidades del
origen.
3 unidades3 unidades
con solución: -∞,-3 ∪ 3,∞
VALOR ABSOLUTO
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Ejemplo 8:
Solución:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a -3 es de 7 unidades
Escrito lo anterior en términos de valor absoluto 3 3 7( )x x
Los valores que cumplen esta condición son: 10x ó 4x
El conjunto solución es: 4,10
Observe que ya no es al origen
VALOR ABSOLUTO
2020
INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 9
Encontrar el conjunto solución de 5 7x
Gráficamente corresponde a:
Los puntos se encuentran en el intervalo 2, 12
Solución
5 120-2
7 unidades 7 unidades
2121
Ejemplo 10
Encontrar el conjunto solución de: 1 4x
Solución
Puesto que 1 ( 1)x x Punto de referencia (-1)
El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a 4 unidades de - 1
Los valores que cumplen esta condición son 5x y 3x
Por lo tanto el conjunto solución es: - 5, 3
Ecuaciones Lineales con valor absoluto
-4 3210-1-5 -2-3
4 unidades 4 unidades
2222
Ecuaciones Lineales con valor absoluto
Ejemplo 11:
Encontrar el conjunto solución de 4 6x Expresión verbal: Todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a - 4 es igual a – 6
OJO!!!: distancia = – 6 ?
La distancia es una longitud, por lo tanto no puede ser negativa
Conclusión: El conjunto solución de la expresión
4 6x es
- 6 < 0
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VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 12:
Encontrar la expresión correspondiente, en términos de:
Los puntos cuya distancia a – 2 es menor o igual a 4 unidades
Para el conjunto de puntos representados en la recta numérica
- 8 - 6 42- 2 0- 4
Distancia:
Valor absoluto:
4)2( x
42 x
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VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 13:
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4
a.)Si x es igual a -1
464)6( xxxx
0-1-2-3-4 1 2 3 4-5-6
x equidista tanto de -6 como de 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:
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VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 13 (continuación)
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4
b.) Si x está más cerca de -6 que de 4, se tiene:
464)6( xxxx
0-1-2-3-4 1 2 3 4-5-6
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VALOR ABSOLUTO
Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4
0-1-2-3-4 1 2 3 4-5-6
c.) Si x está más lejos de -6 que de 4, se tiene:
464)6( xxxx
Ejemplo 13 (continuación)
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Ecuaciones lineales con valor absoluto
Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de 4 3x x
Solución:
Esta expresión, se puede interpretar como los puntos x que equidistan tanto de – 4 como de 3.
Solo hay un punto x que equidista tanto de – 4 como de 3 y es el punto -0,5 = -½.
El conjunto solución será por lo tanto {-½}
-4 3-½
-4 3
Punto Medio
entre -4 y 3
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VALOR ABSOLUTO Ejemplo 15:
Solución:
Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que
estén a más de 4 unidades de 2.
Los puntos que satisfacen son aquellos que están a la izquierda de -2 y a la derecha de 6 (sin incluirlos)
, 2 6, El conjunto solución es:
2 4x
El enunciado del ejemplo en términos de valor absoluto corresponde a la inecuación:
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VALOR ABSOLUTO
Expresar en lenguaje corriente
x 2 3 4
43 x
x 2 5
x 1 5
x x 2 3
Los números reales cuya distancia a 3 es mayor a 4 unidades
Los números reales cuya distancia a 2 es menor ó igual a 5 unidades
Los números reales cuya distancia a -1 es igual a 5 unidades
Los números reales cuya doble distancia a 3 es mayor a 4 unidades
Los números reales cuya distancia a 2 es mayor que su distancia a -3
Ejemplo 16
