Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático

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VALOR ABSOLUTO

¿Qué tienen en

común los

números –2 y +2?

Es obvio que son

distintos, pero

acaso ¿no están

ambos a la misma

distancia de 0?

En pocas palabras, –2 está a la misma

distancia a la izquierda de 0, que +2 a la

derecha de 0.

El VALOR ABSOLUTO de un número

representa la distancia del punto a al

origen.

"2" está a 2 unidades de cero,

y "-2" también está a 2 unidades de cero.

Así que el valor absoluto de 2 es 2,

y el valor absoluto de -2 también es 2

Esto es:

|–2| = 2 ; |2| = 2

Para cada número real “x”, la

interpretación de |x| es la distancia (sin

importar la dirección) a la que se

encuentra x del origen.

Definición Si: x R

x ; si x 0x

x ; si x 0

Ejemplos:

|7| = 7

|–3| = –(–3) = 3

2 3 2 3

3 π π 3

Propiedades:

P1.

2x x ; x

P2.

x 0 ; x

P3.

22 2x x x ; x

P4.

x x ; x

P5. x.y x . y ; x, y

P6.xx

; x, y y 0y y

ECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO:

Si a 0 x a x a x a

Ejemplos:

|x| = 2 x = 2 x = –2

|x - 3| = 5 x - 3 = 5 x - 3 = –5

x = 8 x = –2

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Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. |5 – x| = 7

2. |x – 1| = 3

3. |x 3| 2

4. |2x 6| 4

5. |3x 6| |5x 10| 16

6. 1

2x 1

7. |x2| – |x| – 42 = 0

8. |x2 + x – 12| = 3 – x

9. |2x + 3| = |x – 1|

10. ||x – 5| + 3| = 2

INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO:

Propiedades :

P1.Si x a a 0 a x a

P2.Si x a x a x a

Resuelve las siguientes inecuaciones:

11. |3x – 5| < 7

12. |4x – 3| > 5

13. |x2 – 9| 7

14. |2x – 7| –2

15. |2x 4| |5x 10| 14

16. 1 1

3x 2x 52 3

17. |x2 – 6x + 8| 4 – x

18. |4 – x| > |2 + 3x|

19. |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7|

20. 2

2

|x 4| 5

|x 5x 6| 2

Propiedades Auxiliares:

P1. Si x y x y x y 0

P2. Si x y x y x y 0

… PARA LA CASA

Resuelve el siguiente grupo de

ecuaciones e inecuaciones:

01. |3x – 4| = 0

A. 0 B. 3/4

C. 4/3 D. 1

02. |4 – x| = 3

A. {1, 7} B. {–1, –7}

C. {–1, 7} D. {1, –7}

03. |2x – 3| = 7

A. {2, 5} B. {–2, –5}

C. {2, –5} D. {–2, 5}

04. |3x – 2| = 1

A. {1/3, 1} B. {–1, 1/3}

C. {–1/3, 1} D. {–1, –1/3}

05. |x – 3| < 1

A. x ]–, 2[ B. x [2, 4]

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3

C. x ]2, 4[ D. x ]4, +[

06. |3x – 6| < 9

A. x ]1, 5[ B. x [1, 5]

C. x ]–5, 1[ D. x ]–1, 5[

07. |x – 4| 1

A. x ]3, 5[

B. x ]–, 3] [5, +[

C. x ]3, 5]

D. x ]–, 3[ [5, +[

08. |x + 2| 3

A. [–5, 1[ B. [–5, 1]

C. ]0, 5] D. [1, 5]

09. |1 – 5x| < 1

A. [0, 2/5] B. [0, 1]

C. ]0, 5[ D. [0, 1[

10. 1

0|x 3|

A. R B. R – {0}

C. R – {3} D. [–3, 3]

11. |3x + 4| 3x + 8

A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[

C. [2, +[ D. R

12. |x + 6| 10x

A. [–2/3, +[ B. [–11/6, +[

C. [6/11, +[ D. [2/3, +[

13. |2x + 3| < x + 1

A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [

C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[

14. |2x + 6| 2x + 1

A. R B. R–

C. { } D. R+

15. |2x + 6| –4

A. { } B. R–

C. R D. R+

16. |2x + 6| = 2x + 6

A. [–3, +[ B. [3, +[

C. [2, +[ D. [–2, +[

17. |2x + 1| = |x|

A. {–1} B. {1, 1/2}

C. {–1/3} D. {–1, –1/3}

18. |2x + 4| = |x – 10|

A. {–2} B. {–14, 2}

C. {–14} D. {–14, –2}

19. |3x + 4| > 2x + 10

A. [–6, +[ B. ]–, –14/5[

C. [6, +[ D. [–14/5, +[

20. Si : |x2 + 4| + 3 x2 + 1 + |x – 5|,

el menor valor positivo que satisface la

inecuación es :

A. –2 B. –1

C. 1 D. 2

21. Si: |x – 4|2 – 5|x – 4| + 6 = 0, halla

la suma de los posibles valores de “x” que

satisface la ecuación.

A. 13 B. 16

C. 11 D. 5

22. Si: |x – 2| + x2 = 4, halla la suma de

los posibles valores de “x” que satisface la

ecuación.

A. 2 B. –2

C. –1 D. 1

23. Las soluciones de la ecuación :

|18 – 3x – x2| = 3 – x son:

A. –5 y 3 B. –5, –7 y 3

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4

C. –7 y –5 D. –5, –6 y 3

24. La solución de la inecuación :

|x + 2 – x2| |x2 – 3x + 4|, es:

A. 1 x 3 B. – < x 1

C. –3 x D. – x 3

25. Resolver :

1 1 13x 2x x 1

2 3 6

A. {1, –1} B. {0, 1/3}

C. {–1, 1} D. {–1/3, 0}

26. Resolver la ecuación mostrada :

1 17x 1 x 1 4

4 4

e indica la suma de sus raíces.

A. 3 B. –1

C. 2 D. 0

27. Resuelve la ecuación :

2

3 3 5 51 1

xx x x

e indica la menor solución :

A. 4 B. –4

C. 1 D. –1

28. Después de resolver la inecuación :

x 1 x 1 3x 13 2,5

2 4 3

indica la suma de los valores enteros que

admite “x”.

A. –2 B. –1

C. 0 D. 1

29. Luego de resolver la inecuación:

2

6x1 1

x 2 x 3 x 5 x 6

indica un intervalo solución :

A. ]–3, 0[ B. ]2, 3[

C. ]–3, 3[ D. ]–2, 0[

30. Resolver :

|x3 – 7x + 6| 19x – x3 – 18, es:

A. ]–, –3[ ]–3, 1]

B. ]–3, 1] [3, +[

C. ]–, 1] [3, +[

D. ]–, –1] [1, +[

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