El Valor Absoluto

Valores Absolutos de Nmero Reales Distancia entre Nmeros Reales Desigualdades triangulares Demostracin de las desigualdades triangulares Propiedades de los Valores Absolutos Ejemplos

Nmeros reales/El valor absoluto.

Nmeros reales/El valor absoluto.

El Valor Absoluto

Definicin

El valor absoluto |x| de un nmero real x se define como

si 0

si 0

x xx

x x

Tomar el valor absoluto de un nmero es una operacin que convierte un nmero negativo en uno positivo cambiando el signo del nmero en cuestin. El valor absoluto de un nmero positivo es el mismo nmero positivo.

Nmeros reales/El valor absoluto.

El Valor Absoluto

Ejemplo |-5| = 5 y |2| = 2.

As si x 2 se tiene |x 2| = x 2

Y si x 2 se tiene |x 2| = 2 x.

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El Valor Absoluto

Propiedad Importante

|x| x |x| siempre

y

|b| |a| si y slo si |a| b |a|.

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La distancia entre Nmeros Reales

La distancia entre dos nmeros reales x e y es |x y|.

x y

|x y|

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La distancia entre Nmeros Reales La distancia entre dos nmeros reales x e y es |x y|.

Ejemplo Hallar todos los nmeros x tal que la suma de sus distancias a 1 y -1 sea 4.

Solucin Estos nmeros cumplen |x 1| + |x + 1| = 4.

Para resolver la ecuacin , debemos eliminar los valores absolutos.

Para ello, observamos que si x 1, tanto x 1 como x + 1 son positivos. Por lo tanto, para x 1, se tiene |x 1| + |x + 1| = x 1 + x + 1 = 2x.

La ecuacin original ahora resulta 2x = 4, esto es, x = 2. Esta es una solucin ya que 2 > 1.

Si 1 < x < 1, la ecuacin se simplifica hasta 2 = 4, que no tiene solucin.

Para x -1, la ecuacin se convierte en -2x = 4, esto es, x = 2.

Conclusin: los puntos son x = 2 y x = -2.

Las desigualdades triangulares

Desigualdades triangulares

Tendremos igualdad en la parte izquierda si el signo de x e y son opuestos (o si uno de ellos es 0).

||x| - |y|| |x + y| |x| + |y|.

Las desigualdades triangulares son desigualdades matemticas muy tiles. Se aplica a muchas situaciones. Son las siguientes:

Tendremos igualdad en la parte derecha si el signo de x e y son iguales (o si uno de ellos es 0).

a b

c

Las desigualdades triangulares recibe su nombre del hecho de que para un tringulo de lados de longitud a, b, and c, c a + b.

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Demostracin de las Desigualdades >Triangulares

Desigualdades Triangulares

||x| - |y|| |x + y| |x| + |y|.

Para cualquier par de nmeros x e y, |x| x |x| , |y| y |y|.

Sumando estas inecuaciones obtenemos (|x| + |y|) x + y |x| + |y|.

Lo cual implica: |x + y| |x| + |y|.

La inecuacin |x + y| |x| + |y| implica |a + b b| |a + b| + |b| |a| |b| |a + b|.

Sea x = a + b e y = b.

Por tanto ||a| |b|| |a + b| para cualquier pareja de valores a y b.

Intercambiando las posiciones de a y b, obtenemos |b| |a| |a + b|.

Acabamos de demostrar lo siguiente:

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Propiedades del Valor Absoluto

7 ||a| - |b|| |a + b| |a| + |b|. Desigualdades triangulares

Ejemplo Sea , , . Demostrar que .x y w x y x w w y

Problema Cundo tenemos una igualdad en la estimacin anterior?

1 |a| 0 2 |-a| = |a| 3 a2 = |a|2

4 |ab| = |a||b| 5 -|a| a |a| 6 |a| = |b| a = b

6 Sea b > 0. |a| > b a > b o a < -b.

por la desigualdad triangular.

x y x w w y x w w yDemostracin

Aqu sumamos y restamos un mismo nmero w a |x y|. De esta forma la expresin no vara.

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Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos

Ejemplo 1

Solucin

Conclusin La ecuacin tiene dos soluciones: x = 2 y x = -3.

|2x + 1| = 5

Para los valores de x tales que 2x + 1 0 tenemos |2x + 1| = 5 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2.

Si x = 2, 2x + 1 0. As que x = 2 es una solucin.

Para los valores de x tales que 2x + 1 < 0 tenemos |2x + 1| = 5 -2x - 1 = 5 -2x = 6 x = -3.

Si x = -3, 2x + 1 < 0. As que x = -3 es una solucin.

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Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos

Ejemplo 2

Solucin

Conclusin

|2x + 3| 5

Por la propiedad 6 de los valores absolutos: |2x + 3| 5 2x + 3 5 o 2x + 3 -5.

2x + 3 5 2x 2 x 1.

2x + 3 -5 2x -8 x -4.

Por tanto la solucin es x -4 y x 1.

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Grficas de ecuaciones con Valores Absolutos Ejemplo 3

Solucin Si 0, 0, 2 2 .x y x x y y x y y x

Si 0, 0, 0 2 0.x y x x y y y y

Si 0, 0, 0 0.

Por lo tanto todos los puntos , , 0 , 0,

cumplen la ecuacin.

x y x x y y

x y x y

Si 0, 0, 2 0 0.x y x x y y x x

La Grfica de la Ecuacin En el primer cuadrante: y = x y todo el tercer cuadrante.

Dibuja la grfica de x + |x| = y + |y|.

Nmeros reales/El valor absoluto.

Clculo en una variable

Autor: Mika Seppl

Traduccin al espaol: Flix Alonso Gerardo Rodrguez Agustn de la Villa