Valor absoluto :

El valor absoluto de un entero es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es

positivo o negativo. En una línea numérica es la distancia entre el número y el cero.

Regla para cada una de las operaciones:

Regla de los signos para la suma

1. Si los números tienen el mismo signo, se suman los valores

absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números son de distinto signo, se restan los valores absolutos

(al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del

número con mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Regla de los signos para la multiplicación y la división

Signo de una potencia

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas .

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar t iene el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

Suma de números enteros

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo

negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

Ejemplos números enteros del mismo signo

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo

del más grande en valor absoluto).

Ejemplos números enteros de distinto signo

(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos

utilizando paréntesis.

- (+8) . (+3) = + 24

- (-3) . (-2) = + 6

- (+4) . ( -1) = - 4

- (-2) . (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

- (-15) : (-15) = +1

- 8 : 4 = +2

- - 4 : (-2) = +2

- 10 : 2 = +5

- 10 : (-2) = - 5

Propiedades de los números enteros

Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay

diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º

segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)

Número mayor: Que supera en cantidad a otro.

Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.

El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.

El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.

Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y

la siguiente es siempre la unidad (1).

Formas de calcular el máximo común divisor:

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo

común divisor (M.C.D.)

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20

10: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40

2 60

2

20 2 30 2

10 2 15 3

5 5 5 5

1

1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2x2x5= 20

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en

factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia,

el producto de los cuales será el MCD.

Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en

factores primos

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general

demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.

Usando el algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la

división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir

el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y

un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un

resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

Usando el mínimo común múltiplo

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común

múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se

obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm)

de a y b:

MCD de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como

sigue: , aunque hay métodos más

prácticos y sencillos.