va_bidimensional-2013 (1).pdf

__________________________________________________________________________ Ana María Díaz - Cecilia Larraín 1

X,YRecY

P(X=x)= p (x,y) ; x Rec(X)∈∑

X,YRecX

P(Y=y)= p (x,y) ; y Rec(Y)∈∑

X,Y

Y

P (x,y)P(X/y)= ; (x,y) Rec(X,Y)

P (y)∈

X,Y

X

P (x,y)P(Y/x)= ; (x,y) Rec(X,Y)

P (x)∈

j jRecX

E(X/Y=y )= x p(x/y )⋅∑

22j j jV(X/Y=y )=E(X /Y=y ) - E(X/Y=y )

[ ]{ [ ]}Cov(X,Y)=E (X-E(X) Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)⋅

X,YRecX RecY

E(XY)= xy p (x,y)⋅∑ ∑

Cov(X,Y)ρ(X,Y)= ; -1 ρ(x,y) 1

σ(x)σ(y)≤ ≤

)(

),()/(

bYP

bYaXPbYaXP

==≤==≤

X,YP (x,y)=P(X=x,Y=y) ; (x,y) Rec(X,Y)∈

),(, yxf YX

Variables Aleatorias Bidimensionales

Definición: Sean (X,Y) dos variables aleatorias discretas, entonces existe:

llamada Distribución de Probabilidad Conjunta de (X,Y) o

función de cuantía conjunta de (X,Y) tal que cumple con:

Definición: Sean (X,Y) dos variables aleatorias continuas, entonces existe:

llamada función de densidad conjunta de (X,Y), tal que cumple con:

1.- ),(Re),(0),( YXcyxyxf ∈∀≥

2.- ∫ ∫ =cX cY

dydxyxfRe Re

1),(

3.- ∫ ∫= =

=≤≤≤≤b

aX

d

cY

dydxyxfdYcbXaP ),();(

Definición: Sean X e Y dos variables aleatorias discretas, tal que P(x,y) es su función de probabilidad conjunta, entonces:

Distribución de probabilidad Marginal de X

Distribución de probabilidad Marginal de Y

Distribución de probabilidad de X condicionada por Y

Distribución de probabilidad de Y condicionada por X

Esperanza de X condicionada por Y=yj

Varianza de X condicionada por Y=yj

Covarianza de X,Y

Esperanza conjunta de (X,Y)

Coeficiente de correlación de Pearson de (X,Y)

Si X e Y son Variables aleatorias Discretas

∑ ∑ =−∈∀≤≤−

cX cY

yxP

YXcyxyxP

Re Re

1),(.2

),(Re),(1),(0.1


)()()( YEXEYXE +=+ ( , ) 0Cov X Y =)()()( YEXEXYE =

)()(),(2)()()( YVXVYXCovYVXVYXV +=++=+

)()(),(2)()()( YVXVYXCovYVXVYXV +=−+=−

0),( =YXρ

)()/(;)()/( yPXYPxPYXP YX ==

)()/(;)()/( YEXYEXEYXE ==

);(~);(~ 222

211 σµσµ NYseayNX

)(Re;),()(Re

XcxdyyxfxfcY

∈∀= ∫

[ ]{ [ ]}Cov(X,Y)=E (X-E(X) Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)

)(Re;),()(Re

YcydxyxfyfcX

∈∀= ∫

22j j jV(X/Y=y )=E(X /Y=y )- E(X/Y=y )

Definición: Sean X e Y dos variables aleatorias continuas , tal que f(x,y) es su función de densidad conjunta, entonces:

Función de densidad Marginal de X

Función de densidad Marginal de Y

)(Re;)(

),()/( Xcx

yf

yxfyxf

jyY

∈∀==

Función de densidad de X condicionada por Y=yj

)(Re;)(

),()/( Ycy

xf

yxfxyf

jxX

∈∀==

Función de densidad de Y condicionada por X=xj

Por lo tanto:

)/()()/().(),( xyfxfyxfyfyxf == ∫−∞=

===≤a

x

dxbyxfbYaXP )/()/(

j jRecX

E(X/Y=y )= xf(x/Y=y )dx∫ Esperanza de X condicionada por Y=yj

Varianza de X condicionada por Y=yj

RecX RecY

E(XY)= xyf(x,y)dydx∫ ∫ Esperanza conjunta de (X,Y)

Covarianza de (X,Y)

Propiedades de la Covarianza

Definición: Se dice que (X,Y) son variables aleatorias Independientes si y solo si :

),(Re),()()(),( YXcyxyYPxXPyYxXP ∈∀===== Si X e Y son v.a. Discretas

),(Re),()()(),( YXcyxyfxfyxf ∈∀= Si X e Y son v.a. Continuas

Consecuencias: Si X e Y son variables aleatorias Independientes , entonces:

�

�

�

�

�

� entonces:

);(~ 2

2

2

121 σσµµ +++ NYX

);(~ 22

2121 σσµµ +−− NYX

ℜ∈+++=++ℜ∈=++

==

dcbaYXCovbcadYbdVXacVdYcXbYaXCov

dcbaYXacCovdcYbaXCov

YVYYCovXVXXCov

,,,),()()()(),(.3

,,,),(),(.2

)(),(;)(),(.1


Ejercicio 1 Un restaurante sirve tres comidas de precio fijo, que cuestan 7, 9 y 10 dólares. Para una pareja seleccionada al azar, que va a comer a ese restaurante, sea X = costo de la comida del hombre e Y = costo de la comida de la mujer. La función de probabilidad conjunta de X e Y se presenta en la siguiente tabla:

Y X 7 9 10

7 0.05 0.05 0.10 9 0.05 0.10 0.35 10 0 0.20 0.10

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo del hombre no supere al consumo de

la mujer? b. Si el consumo de la mujer es de 9 dólares, ¿cuál es el costo esperado para el

consumo del hombre?

c. Determine e interprete el valor de XYρ

d. X e Y, ¿son v.a.i? Justifique su respuesta

Ejercicio 2 En empresas que prestan servicio de soporte computacional los fines de semana, se ha estudiado que el número (Y) de llamadas recibidas solicitando atención de emergencia cada fin de semana y el número (X) de especialistas disponibles, son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta:

Y

X 0 1 2 3 4

1 0.15 0.10 0.05 0.02 0 2 0.04 0.23 0.12 0.02 0.01 3 0.01 0.12 0.08 0.03 0.02

a. En los fines de semana en que hay dos especialistas disponibles ¿Cuál es el

número esperado de llamadas de emergencia recibidas? b. ¿Cuál es la probabilidad que en un fin de semana el número de llamadas

solicitando atención de emergencia sobrepase el número de especialistas disponibles?

c. Determine el porcentaje de variabilidad del número de llamadas que solicitan atención de emergencia los fines de semana.

d. ¿Existe una relación lineal entre las variables?

Ejercicio 3 La mezcla adecuada de polvos finos y gruesos, antes de sintetizar cobre, es esencial para lograr uniformidad en el proceso terminado. La cantidad de polvos finos (X) y polvos gruesos (Y), ambas en toneladas, utilizadas en las mezclas, son variables aleatorias modeladas por la siguiente función de probabilidad conjunta:

2(x+2y) ; 0 < x < 1 , 1 < y < 2

f(x,y)= 70 en otro caso

a. Determine la cantidad de polvos gruesos esperada. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el doble de la cantidad de polvos finos sea

superior que la cantidad de polvos gruesos (2X > Y)? c. Determine e interprete el valor de XYρ


Ejercicio 4 La velocidad del taladro y la velocidad de alimentación están relacionadas por la siguiente función de probabilidad conjunta:

8x(y-x) ; 0 x y 3

f(x,y)= 70 ; en o.c.

≤ ≤ ≤

Recorrido de f(x,y)

a. Determine la velocidad esperada de alimentación del taladro si la velocidad de alimentación es 2 revoluciones por segundos

Resp.: 1 revoluciones por segundos Ayuda:

34y ;0 y 3

f(y) = 810 ; en o.c.

≤ ≤

2

2

3(2x - x ) ; 0 x 2

f(x/y= )= 40 ; en o.c.

≤ ≤

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad del taladro fluctúe entre 1 y 2

revoluciones por segundos y que la velocidad de alimentación sea menor a 1,5 revoluciones por segundos.

Resp: y1,5

2

y=1x=1

8 1P(1 < x < 2 , 0 < Y < 1,5) = (xy - x )

27 144dxdy =∫ ∫

o 1,5 1,5

2

x=1y=x

8 1P(1 < x < 2 , 0 < Y < 1,5) = (xy - x )

27 144dydx =∫ ∫

Ejercicio 5 La cantidad de sustancia contaminante corrosiva (X) y de sustancia contaminante tóxica (Y), expresadas en grs., que se encuentran al examinar las emisiones de gases, en vehículos elegidos al azar, son variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:


-x-y

XY

2e , 0 y < x < f (x,y) =

0 , en otro caso.

< ∞

Si en un vehículo elegido al azar, la cantidad de la sustancia contaminante tóxica que emite es de 2 grs. Calcule la probabilidad que la cantidad de sustancia contaminante corrosiva que emite supere a 4 grs. Resp: 0,1353

Sol:

P(X > 4 / y = 2) = x = 4

f(x/y = 2)dx

∞

∫

f(y) =

-2y

-x-y

x = y

2e ; y > 02e dx =

0 ; en o.c.

∞

∫

-x+2e ;x > 2f(x/y = 2)=

0 ;en o.c.

P(X > 4 / y = 2) = -x+2 -2

x=4

e dx = e

∞

∫

= 0,1353 Ejercicio 6 En una tienda, las utilidades mensuales (X) y el gasto mensual en propaganda (Y) son v.a. con función de densidad conjunta (X e Y en millones de $):

2(4xy-x) ; si 3 < x <6 ; 0,5 < y < 1

f(x,y)= 270 ; en otro caso

a. X e Y, ¿son v.a.i?. Justifique su respuesta b. ¿Cuál es la utilidad en un mes que se gastó $750.000 en propaganda? c. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una utilidad inferior a $5.000.000 d. Calcule e interprete P(X < 4/Y < 0,75)

Ejercicio 7 Las piezas de metal, que tienen determinadas sillas para oficinas, llevan una capa de níquel y sobre ella una de cromo. Ambas capas se miden en micras de milímetros. El grosor de la capa de níquel (X) y de la capa de cromo (Y) son variables aleatorias que tienen la siguiente función de densidad conjunta.

<<<<+

=casootro

yxxyxf

0

8,00;5,00)1(2),(

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la capa de cromo sea más gruesa que la

capa de níquel?

Resp.: P(Y > X) = 0,8

0 0

2( 1)y

y x

x dxdy= =

+ =∫ ∫


b. Si la capa de cromo es menor que 0,3 micras de milímetros. ¿Cuál es la

probabilidad de que la capa de níquel sea inferior a 0,2 micras de milímetros Resp. P(X < 0,2/ Y < 0,3) =

c. Pruebe, con una medida estadística adecuada, si es posible afirmar que mientras mayor es el grosor de la capa de níquel, mayor es el grosor de la capa de cromo, si las variables están correlacionadas. Ayuda

5

;0 y 0,8f(y) = 4

0 ; en o.c.

≤ ≤

1,6( 1) ;0 x 0,5

f(x) = 0 ; en o.c.

x + ≤ ≤

Ejercicio 8

Al estudiar el tipo de partículas que contaminan el aire de Santiago, se ha determinado que las cantidades X e Y (en gramos) de partículas tipo A y B respectivamente, que se contabilizan en los filtros colocados diariamente para tal efecto, son variables aleatorias con función de probabilidad de densidad conjunta dada por:

( ) ( ) <<−<<+

=coen

yyxyxyxf

. 0

10103,

Determine la probabilidad de que un día determinado se encuentre más de 0.5 gramos de partículas tipo A y menos de 0.5 gramos de partículas tipo B.

Ejercicio 9 Sean X e Y variables aleatorias que denotan la producción diaria de cable (en miles de metros) en los turnos A y B respectivamente de cierta empresa. El comportamiento conjunto de ambas variables se modela mediante la función de densidad:

2x + ycuando 0 x 1 ; 0 y 0,8

f(x,y) = 1,12

0 en otro caso

≤ ≤ ≤ ≤

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la producción del turno A no supere los 600 metros de

cable, cuando en el turno B no superan los 700 metros? Resp . 0,422

b. Si el costo de producir un metro de cable es de 1800 u.m. en el turno A y de 2100 u.mm en el turno B. ¿Cuál es el costo total esperado de la producción diaria de cables de esta empresa? , Resp: E(X) = 0,619 E(Y) = 0,438 E(Costo total) = 2.034.000 um

Ejercicio 10 Un fabricante de refrigeradores somete sus productos terminados a una inspección final. Hay dos tipos de defectos: raspaduras o grietas en el acabado de porcelana y defectos mecánicos. El número de cada tipo de defectos es una variable aleatoria, y en la tabla siguiente se muestran las probabilidades conjuntas de ocurrencia de dichos defectos, donde X representa la ocurrencia de defectos de terminación e Y representa la ocurrencia de defectos mecánicos:


X Y 0 1 2 3 4 5

0 0,22 0,08 0,04 0,02 0,02 0,02 1 0,16 0,06 0,04 0,02 0,02 0 2 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 3 0,06 0,02 0 0 0 0 4 0,02 0 0 0 0 0

Si en la inspección final se eligen al azar y en forma independiente tres refrigeradores, ¿cuál es la probabilidad de por lo menos en un refrigerador los defectos mecánicos superen los defectos de terminación?

Ejercicio 11 La función densidad conjunta de las variables aleatorias tensión superficial (X), en erg/cm2, y el pH (Y) de cierto producto químico es:

≤≤≤≤

+−=

.c.o0

6y4,2x0si8

yx1

)y,x(fXY

a. ¿Cuál es la probabilidad que la tensión superficial del producto químico supere a

su tensión superficial esperada?

b. Encuentre la probabilidad de que el pH sea superior a 5 cuando la tensión superficial no alcanza a 0,6 (erg/cm2)

Ejercicio 10 Una persona tiene dos bombillas para una lámpara en particular. Sea X = La duración de la primera bombilla, e Y = La duración de la segunda bombilla (ambas en miles de horas). Suponga que X e Y son independientes y con función densidad conjunta dada por:

( )

>>

=+

caso otroen 0

0y0x ·e 3 y)f(x,

2y1,5x-

a. ¿Cuál es la probabilidad que la primera bombilla dure a lo sumo 1500 horas y que la segunda también dure a lo sumo 1500 horas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total, de ambas bombillas, esté entre 1000 y 2000 horas?

c. En una investigación con respecto a la duración de la primera bombilla, un proveedor selecciona al azar 8 bombillas de distintas partidas. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 6 de las bombillas duren más de 700 horas?

va_bidimensional-2013 (1).pdf

Documents

Transcript of va_bidimensional-2013 (1).pdf