V Jornades de l’Assocoació Catalana de...

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V Jornades de l’Assocoació Catalana de GeoGebra

Leandro Tortosa GrauUniversidad de Alicante

www.dccia.ua.es/[email protected]

Voronoi, el fútbol y otros problemas

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mailto:[email protected]


2Leandro Tortosa, Universidad de Alicante

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H(A,Pi) = semiplano formado por los puntos más cercanos a A que a otro punto Pi.!

VA representa al conjunto de puntos que se encuentra más cerca de A que de cualquier otro punto del conjunto S.!

Diagrama'de'Voronoi'

V Jornades de l�Associació Catalana de GeoGebra!

Dado un conjunto de puntos, el diagrama de Voronoi de esos puntos divide al plano en polígonos. En cada polígono encontramos un único punto del conjunto y está formado por los puntos del plano que se encuentran más cerca de ese punto que de cualquier otro del conjunto de puntos dado.

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Diagramas de VoronoiSe puede construir por medio de intersecciones de los hiperplanos que se obtienen a partir de las mediatrices que se generan tomando los puntos de dos en dos.

EJEMPLO CON 4 PUNTOS


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[email protected] Jornades de l�Associació Catalana de GeoGebra!

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GEOGEBRA 4!

Voronoi[<Lista de puntos>]!


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En el verano de 2012 se han producido por toda España una serie de devastadores incendios que han destruido muchas miles de hectáreas de bosques, cuya pérdida es difícilmente reparable. Uno de estos incendios se ha producido en la provincia de Alicante, en un paraje de incalculable valor ecológico, como es el parque natural de la sierra de Mariola, próxima a los municipios de Alcoy y Cocentaina.

Debido al alto valor de la flora y la fauna del lugar es necesario proteger la misma de este tipo de catástrofes.

Para proteger la zona, nos planteamos establecer cinco bases con servicios básicos que cubran la parte central del parque natural y en la que se puedan establecer unos puestos de control, con material humano y técnico para la prevención de incendios y auxilio en caso de accidentes u otro tipo de incidencias.

Deseamos que las bases con los servicios básicos se encuentren repartidas por la zona de manera que abarquen zonas más o menos proporcionales, sin que ninguna de ellas tenga bajo su control un área desproporcionadamente grande frente a las otras.

Un problema de localización de servicios.


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Mapa de la sierra de Mariola, con la red de crreteras, caminos y caminos forestales (obtenido de Google maps).


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INSERTAMOS 5 PUNTOS EN POSICIONES AL AZAR, REPRESENTANDO LAS BASES QUE QUEREMOS REPARTIR POR LA ZONA.


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¿Estarán situados correctamente estos puntos, de manera que cubran un área similar?

VORONOI

Voronoi nos proporciona una idea gráfica del área que abarca cada uno de los puntos. Podemos tomar como puntos base para la creación del diagrama de Voronoi los puntos A, B, C, D, E que hemos creado manualmente en el dibujo. Posteriormente, podemos utilizar el comando de Geogebra

Voronoi[A,B,C,D,E],

para que nos dibuje las distintas regiones de Voronoi asociadas a cada punto.


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¿Son estos puntos realmente importantes dentro de la red de

caminos y pistas forestales?

Estudio de la red

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MenorDistancia[ <lista aristas>, D, E, true ]

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MenorDistancia[ <lista aristas>, A, C, true ]

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Pasamos los datos a un programa de análisis de redes complejas. En este caso hemos usado GEPHI. GEPHI

Mediante GHEPHI podemos estudiar la centralidad de los nodos del mismo, que nos proporciona una medida de la importancia de los nodos dentro de la red.Analizamos las siguientes medidas de centralidad:- grado- closeness- betweenness

La medida betweenness nos proporciona la importancia de cada nodo teniendo en cuenta la proporción del conjunto de caminos más cortos entre dos nodos cualesquiera de la red, pasando por ese nodo respecto a todos los posibles caminos más cortos entre los dos nodos elegidos.

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RED GEPHI

Betweenness

Grados

Closeness

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http://Users/tortosa/Desktop/giweb/principal.html

http://Users/tortosa/Desktop/giweb/principal.html



¿Jugaba Voronoi al fútbol?

¿Podemos analizar el juego del Barça a través delas posiciones de sus jugadores?

¿Qué conceptos geométricos podemos aplicar en este análisis?

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Imagen de posiciones promedio.

Aplicamos el diagrama de Voronoi a las posiciones promedio de los jugadores a lo largo del partido. El diagrama de Voronoi nos permite visualizar las posiciones medias de los jugadores, así como el área del campo cubierta por cada uno. Este diagrama nos permite extraer interesantes conclusiones como se desprende de los ejemplos estudiados.

http://espndeportes.espn.go.com/?cc=7586ESPN Deportes

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http://espndeportes.espn.go.com/?cc=7586

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Ejemplo: Celtic - Barça

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Ejemplo: Barça - BilbaoEjemplo: Barça - Bilbao

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Algunos problemas interesantes

?

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Estadística de la posición de Messi durante el partido

Barça-Bilbao.

¿Cuál es su posición media?¿Cómo podemos calcular el centro de gravedad de un

polígono?

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