V a Multidimensionales ( Normales ,Etc )

1Introduccion al Tema 9

Tema 1. Introduccin.Tema 2. Anlisis de datos univariantes.Tema 3. Anlisis de datos bivariantes.Tema 4. Correlacin y regresin.Tema 5. Series temporales y nmeros ndice.

Tema 5. Probabilidad.Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales.Tema 7. Modelos probabilsticos discretos.Tema 8. Modelos probabilsticos continuos.Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.

Descripcin de variables y datos socioeconmicos

Modelizacin de la incertidumbre en las variables socieconmicas

Tema 5Tema 6Tema 7Tema 8

W Introduccion a la ProbabilidadVariables aleatorias unidimensionales: Definicion y propiedades Ejemplos.

Tema 9 W Variables aleatorias multidimensionales : Definicion y propiedades Ejemplos.

Estudiar situaciones mas realistas

Introduccion a la Estadstica Andres M. Alonso

2Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Variables aleatorias multidimensionales.

Distribuciones conjuntas, marginales y condicionales.

Independencia.

Media y matriz de varianzas y covarianzas.

Media condicionada.

Distribucion normal multivariante.

Lecturas recomendadas: Captulo 6 del libro de Pena (2005) y las secciones3.7, 4.4 y 5.4 de Newbold (2001).


3Ejemplo 1. Se lanzan tres monedas distintas con probabilidades de cara de0,5, 0,4 y 0,3 respectivamente. Sean X el numero de caras (c) en las primerasdos monedas e Y el numero de cruces (x) en las ultimas dos lanzadas.

Los posibles resultados del experimento, sus probabilidades y los valores de lasvariables X e Y son los siguientes.

Resultado Prob. X Y{c, c, c} 0,06 2 0{c, c, x} 0,14 2 1{c, x, c} 0,09 1 1{c, x, x} 0,21 1 2{x, c, c} 0,06 1 0{x, c, x} 0,14 1 1{x, x, c} 0,09 0 1{x, x, x} 0,21 0 2

Hacemos una tabla de doble entrada mostrando la distribucion conjunta de lasdos variables.


4Distribucion conjunta de X e Y

Definicion 1. Para dos variables discretas X e Y , la distribucion conjuntade XXX e YYY es el conjunto de probabilidades Pr(X = x, Y = y) para todos losposibles valores de x e y.

Ejemplo 1.

Y0 1 2

0 0,00 0,09 0,21X 1 0,06 0,23 0,21

2 0,06 0,14 0,00

I Observamos que x

y

Pr(X = x, Y = y) = 1.


5Distribuciones marginales de X e Y

Definicion 2. Para dos variables discretas X e Y con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la distribucionmarginal de XXX es

Pr(X = x) =y

Pr(X = x, Y = y),

y la distribucion marginal de YYY es

Pr(Y = y) =x

Pr(X = x, Y = y).

Ejemplo 1.Y

0 1 20 0,00 0,09 0,21 0,3

X 1 0,06 0,23 0,21 0,52 0,06 0,14 0,00 0,2

0,12 0,46 0,42 1,0

La distribucion marginal de X es

Pr(X = x) =

0,3 si x = 00,5 si x = 10,2 si x = 20 si no

Ejercicio: Distribucion marginal de Y .


6Distribucion condicionada

Definicion 3. Para dos variables discretas X e Y con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la distribucioncondicionada de XXX dado Y = yY = yY = y es

Pr(X = x|Y = y) = Pr(X = x, Y = y)Pr(Y = y)

,

y la distribucion condicionada de YYY dado X = xX = xX = x es

Pr(Y = y|X = x) = Pr(X = x, Y = y)Pr(X = x)

,

Ejemplo 1. La distribucion condicionada de Y dado X = 2 es

P (Y = y|X = 2) = 0,3 si y = 00,7 si y = 10 si no

Ejercicio: Distribucion condicionada de X dado Y = 0.


7Independencia

Definicion 4. Se dicen que dos variables (discretas) X e Y sonindependientes si

Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y)

para todos los valores de x e y.

I Esta definicion equivale a decir que

Pr(X = x|Y = y) = Pr(X = x) oPr(Y = y|X = x) = Pr(Y = y),


Ejemplo 1. X e Y no son independientes pues, por ejemplo:

Pr(X = 0, Y = 0) = 0,00 6= 0,30 0,12 = Pr(X = 0)Pr(Y = 0).


8Vector de esperanzas

Definicion 5. Para dos variables discretas X e Y con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la esperanza de(X,Y )(X,Y )(X,Y ) es

= E[(

XY

)]=x

y

(xy

)Pr(X = x, Y = y).

E

[(XY

)]=(

x

y xPr(X = x, Y = y)

x

y yPr(X = x, Y = y)

)=(

x x

y Pr(X = x, Y = y)y y

xPr(X = x, Y = y)

)=(

x xPr(X = x)y yPr(X = x)

)=(E[X]E[Y ]

).

I La esperanza de un vector, (X,Y ), es el vector de las esperanzas de suscomponentes.


9Esperanza de g(X,Y )

I La esperanza de una funcion de la variable o vector aleatorio, (X,Y ), quetiene distribucion conjunta Pr(X = x, Y = y) para todos los posibles valoresde x e y es:

E[g(X,Y )] =x

y

g(x, y) Pr(X = x, Y = y).

Ejemplo 2. Con los datos del Ejemplo 1, calcule E[XY ].Y

0 1 20 0,00 0,09 0,21 0,3

X 1 0,06 0,23 0,21 0,52 0,06 0,14 0,00 0,2

0,12 0,46 0,42 1,0

Entonces,

E[XY ] = (0 0) 0,00 + (0 1) 0,09 + + (2 2) 0,00 = 0,93.Introduccion a la Estadstica Andres M. Alonso

10

Covarianza

Definicion 6. Para dos variables X e Y , la covarianza entre XXX e YYY es

Cov(X,Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])]

I A menudo, se escribe XY para representar la covarianza.

I En la practica, normalmente, se evalua la covarianza a traves de otra formulaequivalente:

Teorema 1.Cov[X,Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ]

I Cov(X,Y ) = E[(Y E[Y ])(X E[X])] = Cov(Y,X).


11

Matriz de varianzas y covarianzas

Definicion 7. Para dos variables X e Y , la matriz de varianzas y covari-anzas entre XXX e YYY es

SSS =[

V (X) Cov(X,Y )Cov(Y,X) V (Y )

].

Ejemplo 3. Volvemos al Ejemplo 1. Tenemos:E[X] = 0 0,3 + 1 0,5 + 2 0,2 = 0,9E[Y ] = 0 0,12 + 1 0,46 + 2 0,52 = 1,5

E[X2]

= 02 0,3 + 12 0,5 + 22 0,2 = 1,3V [X] = 1,3 0,92 = 0,49

E[Y 2]

= 02 0,12 + 12 0,46 + 22 0,52 = 2,54V [Y ] = 2,54 0,932 = 1,6751

E[XY ] = 0 0 0,00 + 0 1 0,09 + . . .+ 2 2 0 = 0,93Cov[X,Y ] = 0,93 0,9 1,5 = 0,42 y SSS?


12

Suma y diferencia de variables aleatorias

Proposicion 1. Sean X e Y dos variables con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y), y sea Z = X + Y , entonces:

i) E[Z] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].ii) V (Z) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ).

Demostracion

E[Z] =x

y

(x+ y) Pr(X = x, Y = y)

=x

y

xPr(X = x, Y = y) +x

y

yPr(X = x, Y = y)

=x

xy

Pr(X = x, Y = y) +y

yx

Pr(X = x, Y = y)

=x

xPr(X = x) +y

yPr(Y = y) = E[X] + E[Y ].


13

Suma y diferencia de variables aleatorias

V (Z) = E[Z2] E[Z]2 =x

y

(x+ y)2Pr(X = x, Y = y) (E[X] + E[Y ])2

=

x

y(x

2 + 2xy + y2) Pr(X = x, Y = y) (E[X] + E[Y ])2

= E[X2] + 2E[XY ] + E[Y 2] (E[X]2 + 2E[X]E[Y ] + E[Y ]2)= V (X) + 2Cov(X,Y ) + V (Y ).

I Analogamente se prueba que

Proposicion 2. Sean X e Y dos variables con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y), y sea Z = X Y , entonces:

i) E[Z] = E[X + Y ] = E[X] E[Y ].ii) V (Z) = V (X) + V (Y ) 2Cov(X,Y ).


14

Correlacion

Definicion 8. La correlacion entre XXX e YYY es

XY = Corr[X,Y ] =Cov[X,Y ]

DT [X]DT [Y ]

Definicion 9. Para dos variables X e Y , la matriz de correlaciones entreXXX e YYY es

RRR =[

1 Corr(X,Y )Corr(Y,X) 1

].

Ejemplo 4. Tenemos (ver Ejemplo 3)

DT [X] = 0,7

DT [Y ] = 1,294

Cov[X,Y ] = 0,42Corr[X,Y ] =

0,420,7 1,294 0,464.

Hay una relacion negativa entre las dos variables.


15

Propiedades de la correlacion

1. 1 XY 1

2. La correlacion es igual a 1 si y solo si existe una relacion lineal positiva entreX e Y , es decir

Y = + X, donde > 0.

3. La correlacion es 1 si y solo si existe una relacion lineal negativa

Y = X donde < 0.

4. Si X e Y son independientes, XY = 0.

I El recproco del ultimo resultado no es cierto: existen variables incorreladaspero dependientes.


16

Esperanza condicionada

Definicion 10. Para dos variables discretas X e Y con distribucion conjuntaPr(X = x, Y = y) para todos los posibles valores de x e y, la esperanzacondicionada de XXX dado Y = yY = yY = y es

E[X|Y = y] =x

xPr(X = x|Y = y),

y la esperanza condicionada de YYY dado X = xX = xX = x es:

E[Y |X = x] =y

yPr(Y = y|X = x).

Ejemplo 5. Volvemos al Ejemplo 1. La media condicionada de Y dado X = 2es

E[Y |X = 2] = 0,3 0 + 0,7 1 = 0,7.


17

Ley de las esperanzas iteradas

Proposicion 3. E[E[X|Y ]] = E[X].Demostracion

Primero, debemos notar que E[X|Y ] es una v.a. que depende de Y , por tantose aplica el resultado E[g(Y )] =

y g(y) Pr(Y = y):

E[E[X|Y = y]] =y

(x

xPr(X = x|Y = y))Pr(Y = y)

=y

x

xPr(X = x, Y = y)

=x

xy

Pr(X = x, Y = y) =x

xPr(X = x) = E[X].

I Analogamente, E[Y ] = E[E[Y |X]].


18

Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales


Distribuciones conjuntas, marginales ycondicionales.

Independencia.


Media condicionada.


V.A. Discretas

V.A. Continuas


19

Generalizacion para variables continuas

Definicion 11. Para dos variables aleatorias cualesquiera, se define la funcionde distribucion conjunta por

F (x, y) = P (X x, Y y)

y en el caso de v.a. continuas se define la funcion de densidad conjunta por

f(x, y) =2

xyF (x, y).

I Se tiene que x

y

f(x, y) dx dy = F (x, y).

I Se calculan la distribuciones marginales, condicionadas, media, covarianza,etc. de manera similar al calculo para variables discretas sustituyendo integralespor las sumas donde sea necesario.


20

Ejemplo 6. Verificar que la siguiente funcion bivariante es una densidad

f (x, y) = 6xy2, 0 < x < 1, 0 < y < 1,

En primer lugar observamos que f(x, y) 0 y en segundo lugar, debemoscomprobar que la densidad integra a 1.

10

10

6xy2dxdy = 10

6x[y3

3

]10

dx

= 10

6x13dx = 2

[x2

2

]10

= 1.


21

Densidades marginales

La densidad marginal de X es f(x) =f(x, y) dy

La densidad marginal de X es f(x) =f(x, y) dy

Ejemplo 6. Tenemos

f(x) = 10

6xy2 dy =[6xy3

3

]10

= 2x para 0 < x < 1

Igualmente, la densidad marginal de Y es

f(y) = 10

6xy2 dx =[6x2

2y2]10

= 3y2 para 0 < y < 1


22

Independencia

Definicion 12. Se dicen que dos variables X e Y son independientes si

F (x, y) = F (x)F (y),


I Para v.a. continuas independientes tenemos, equivalentemente, que

f(x, y) = f(x)f(y) para todos los valores de x e y.

Ejemplo 6. Observamos que

f(x, y) = 6xy2

= 2x 3y2= f(x)f(y)

Entonces, X e Y son independientes.


23

Independencia y correlacion

Proposicion 4. Si X y Y son v.a. independientes, entonces

Cov(X,Y ) = Corr(X,Y ) = 0.

El resultado recproco no es cierto

Ejemplo 7. Sea X una v.a. distribuida N (0, 1), e Y = X2, entonces:E[X] = 0

E[Y ] = E[X2] = 1

E[XY ] = E[X3] = 0 por ser una distribucion simetrica

Cov(X,Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = 0.

Y, sin embargo, X e Y son claramente dependientes.


24



Distribuciones conjuntas, marginales y condicionales.

Independencia.


Media condicionada.

X



25

Distribucion normal multivariante

Definicion 13. Una variable aleatoria multivariante XXX = (X1, X2, . . . , Xp)

sigue una distribucion normal multivariante si tiene como funcion dedensidad a

f(xxx) =1

(2pi)p/2||1/2 exp{12(xxx)1(xxx)

},

donde = (1, 2, . . . , p), y

=

21 12 1p21

22 2p

... ... . . . ...p1 p2 2p

.

I Si XXX tiene una distribucion normal multivariante, se escribe XXX N (,).


26

Propiedades de la distribucion normal multivariante

1. La funcion de densidad es simetrica alrededor de .

2. La media del vector aleatorio XXX es , i.e., E [XXX] = .

3. La matriz de varianzas y covarianzas del vector aleatorio XXX es , i.e.,E [(XXX )(XXX )] = .

4. Cualquier subconjunto de h variables univariantes del vector xxx, conh < p, sigue una distribucion normal h-dimensional. En particular, lasdistribuciones marginales son normales univariantes.

5. Si definimos un vector YYY = AAAYYY , dondeAAA es una matriz de constantes realesde dimension kp, entonces YYY sigue una distribucion normal k-dimensional.


27

Propiedades de la distribucion normal multivariante

I Podemos completar la propiedad anterior con los siguientes resultados validospara vectores aleatorios cualesquiera:

Sea XXX un vector aleatorio p-dimensional tal que E [XXX] = yE [(XXX )(XXX )] = . Sea YYY = AAAXXX, donde AAA es una matriz deconstantes reales de dimension k p entonces: E [YYY ] = AAA. E [(YYY AAA)(YYY AAA)] = AAAAAA.

I Re-escribimos la propiedad 5 como:

5. Si definimos un vector YYY = AAAXXX, dondeAAA es una matriz de constantes realesde dimension kp, entonces YYY sigue una distribucion normal k-dimensional,Nk(AAA,AAAAAA).


28

El siguiente grafico muestra la funcion de densidad conjunta de una distribucionnormal bivariante estandar, con media = (0, 0)T y matriz de varianzas ycovarianzas = I.

32

10

12

3

32

10

12

30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


29

Independencia y correlacion bajo normalidad

Proposicion 5. Si (X,Y ) es un vector aleatorio normal, y X e Y sonincorrelados (Cov(X,Y) = 0) entonces X e Y son independientes.

I Recordar queIndependientes Correlacion = 0Independientes : Correlacion = 0

Independientes Correlacion = 0

+Normalidad

Ejemplo 8. Sea (X,Y ) un vector normal bivariante de media = (4, 6) y

matriz de varianza y covarianzas =[2 11 5

]. Sean Z = X+Y3 y T =

2XY3 .

Compruebe que Z y T son independientes.


30

Ejemplo 9. (Junio/2002 modificado) Las calificaciones obtenidas en dospruebas distintas A y B por los alumnos presentados a la Selectividad, son(in?)dependientes y siguen las distribuciones normales: NA( = 62; = 20),NB( = 52; = 10). La covarianza entre ellas es 100. La prueba se considerasuperada con 50 puntos. Calcular:

(a) La probabilidad de que un alumno en la prueba A haya obtenido unapuntuacion menor que 40. X(b) La probabilidad que haya superado la prueba B. X(c) Si para el acceso a una Universidad se necesita que la media aritmetica delas dos notas anteriores sea mayor que 70, cual es la probabilidad de que unalumno escogido al azar pueda acceder a dicha Universidad?

Sea X la nota en la prueba A e Y la nota en la prueba B. Sea T = X+Y2 .


31

Que sabemos? [XY

] N

([6252

];[400 100100 100

]).

y

T = [0,5 0,5][XY

] N

([0,5 0,5]

[6252

]; [0,5 0,5]

[400 100100 100

] [0,50,5

]) N

(57;

175).

Por tanto,

Pr(M > 70) = Pr(M 57

175>

70 57175

) Pr(Z > 0,98) = Pr(Z < 0,98) = 0,1635.


32

Recapitulacion


Variables aleatorias multidimensionales.Distribuciones conjuntas, marginales ycondicionales.Independencia.Media y matriz de varianzas y covarian-zas.Media condicionada.

W Extension del conceptode variable aleatoriay su caracterizacion.

Distribucion normal multivariante.W Extension multivariante

de la distribucion normal


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