PROBLEMA RESUELTO 11.10

Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ftde radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente losfrenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si sesabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la ace-leración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado losfrenos.

SOLUCIÓN

Componente tangencial de la aceleración. Primero se expresan lasvelocidades en ft/s.

Como el automóvil desacelera a una tasa constante, se tiene

at � promedio at � ��

�

vt

� ��66 ft/s

8�

s88 ft/s�� �2.75 ft/s2

Componente normal de la aceleración. Inmediatamente despuésde que los frenos se han aplicado, la rapidez se mantiene en 88 ft/s, y se tiene

Magnitud y dirección de la aceleración. La magnitud y direcciónde la resultante a de las componentes an y at son

670

PROBLEMA RESUELTO 11.11

Determine el radio mínimo de curvatura de la trayectoria descrita por el pro-yectil considerado en el problema resuelto 11.7.

SOLUCIÓN

Puesto que an � v2��, tenemos que � � v2�an. El radio será pequeño cuan-do v sea pequeño, o cuando an sea grande. La rapidez v es mínima en la partesuperior de la trayectoria, pues vy � 0 en ese punto; an es máxima en elmismo punto, ya que la dirección de la vertical coincide con la dirección dela normal. Por lo tanto, el radio mínimo de curvatura ocurre en la parte supe-rior de la trayectoria. En este punto, se tiene

v � vx � 155.9 m/s an � a � 9.81 m/s2

� � �av

n

2

� � �(1

95.58.19

mm

//ss2)2

� � � 2 480 m

A

vA = 60 mi /h

2500 ft

A

at = 2.75 ft/s2

an = 3.10 ft/s2

a

aMovimiento

a = a n

v = vx

tan � � �aa

n

t� � �

32

.

.17

05

fftt//ss

2

2� � � 48.4°

a � �sen

an

�� � �

3sen.10

48ft

./4s

°

2

� a � 4.14 ft/s2

60 mi/h � � 60 � m h

i � �� �

5 280 1 mi

ft � �� �

3 6 1 0

h 0 s � � � 88 ft/s

45 mi/h � 66 ft/s

a n � � v �

2

� � � (8 2 500 8 f t/ s

f ) t

2

� � 3.10 ft/s 2

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671

PROBLEMA RESUELTO 11.12

La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O se define mediante la rela-ción � � 0.15t2, donde � se expresa en radianes y t en segundos. El collarínB desliza a lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r �0.9 � 0.12t2, donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de queel brazo OA ha girado 30°, determine a) la velocidad total del collarín, b) laaceleración total del collarín, c) la aceleración relativa del collarín con res-pecto al brazo.

SOLUCIÓN

Tiempo t al cual � � 30°. Al sustituir � � 30° � 0.524 rad en la ex-presión para �, se obtiene

� � 0.15t2 0.524 � 0.15t2 t � 1.869 s

Ecuaciones de movimiento. Si se sustituye t � 1.869 s en las ex-presiones para r, � y su primera y segunda derivadas, se tiene

r � 0.9 � 0.12t2 � 0.481 m � � 0.15t2 � 0.524 radr � �0.24t � �0.449 m/s � � 0.30t � 0.561 rad /sr � �0.24 � �0.240 m/s2 � � 0.30 � 0.300 rad /s2

a) Velocidad de B. Mediante las ecuaciones (11.45) se obtienen losvalores de vr y v� cuando t � 1.869 s.

vr � r � �0.449 m/sv� � r� � 0.481(0.561) � 0.270 m/s

Al resolver el triángulo rectángulo que se muestra, se obtiene la magnitud ydirección de la velocidad.

v � 0.524 m/s � � 31.0°

b) Aceleración de B. Mediante las ecuaciones (11.46), se obtiene

ar � r � r�2

� �0.240 � 0.481(0.561)2 � �0.391 m/s2

a� � r� � 2r�� 0.481(0.300) � 2(�0.449)(0.561) � �0.359 m/s2

a � 0.531 m/s2 � � 42.6°

c) Aceleración de B con respecto al brazo OA. Hay que observarque el movimiento del collarín con respecto al brazo es rectilíneo y está de-finido por la coordenada r. Se escribe

aB�OA � r � �0.240 m/s2

aB�OA � 0.240 m/s2 hacia O.

O

BA

q

r

er

eq

A

B

B

B

B

O

qO

O

v = vrer + vUeU

vU = (0.270 m /s)eU

vr = (–0.449 m /s)er

aU = (–0.359 m/s2)eq

a r = (–0.391 m/s2)er

aB/OA = (–0.240 m/s2)er

a = arer + aUeU

b

30°

g

r

r = 0.481 m

a

v

q

q

q

qq

q

q

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672

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S E N F O R M A I N D E P E N D I E N T E

En los siguientes problemas se pide expresar la velocidad y la aceleración de las par-tículas en términos de sus componentes tangencial y normal, o de sus componentesradial y transversal. Aunque es posible que esas componentes no le sean tan fami-liares como las rectangulares, descubrirá que aquellas componentes pueden simpli-ficar la solución de muchos problemas, y que cierto tipo de movimiento se describede manera más sencilla con ellas.

1. Empleo de componentes tangencial y normal. Estas componentes son lasque se usan con mayor frecuencia cuando la partícula de interés viaja a lo largo de unatrayectoria circular, o cuando se va a determinar el radio de curvatura. Hay que recor-dar que el vector unitario et es tangente a la trayectoria de la partícula (y, en conse-cuencia, se alinea con la velocidad) mientras el vector unitario en apunta a lo largo dela normal a la trayectoria y siempre está dirigido hacia su centro de curvatura. Se con-cluye que, cuando se mueve la partícula, las direcciones de los dos vectores unitariosestán en constante cambio.

2. Expresión de la aceleración en términos de sus componentes tangencial ynormal. En la sección 11.13 se obtuvo la siguiente ecuación, aplicable al movi-miento tanto bidimensional como tridimensional de una partícula:

a � �ddvt� et � �

v�

2

� en (11.39)

Las siguientes observaciones posiblemente ayuden a resolver los problemas de estasección.

a) La componente tangencial de la aceleración mide la razón de cambio de lavelocidad: at � dv�dt. Se deduce que cuando at es constante, es posible utilizar lasecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado con la aceleración igual aat. Además, cuando una partícula se mueve a velocidad constante, se tiene que at � 0y la aceleración de la partícula se reduce a su componente normal.

b) La componente normal de la aceleración siempre está dirigida hacia elcentro de curvatura de la trayectoria de la partícula, y su magnitud es an � v2��. Porconsiguiente, la componente normal se determina con facilidad si se conoce la velo-cidad de la partícula y el radio de curvatura � de la trayectoria. De manera inversa,cuando se conoce la velocidad y la aceleración normal de la partícula, es posibleobtener el radio de curvatura de la trayectoria al resolver esta ecuación para � [pro-blema resuelto 11.11].

c) En el movimiento tridimensional de una partícula, se recurre a un tercervector unitario, eb � et � en, el cual define la dirección de la binormal. En vista deque este vector es perpendicular tanto a la velocidad como a la aceleración, puedeobtenerse al escribir

eb � �vv

�

�

aa

�

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673

3. Empleo de las componentes radial y transversal. Estas componentes se uti-lizan para analizar el movimiento plano de una partícula P, cuando la posición P sedefine mediante sus coordenadas polares r y �. Como se muestra en la figura 11.25,el vector unitario er, que define la dirección radial, se une al punto P y apunta alejándose del punto fijo O, en tanto que el vector unitario e�, que define la direccióntransversal, se obtiene al rotar 90° er en el sentido contrario al de las manecillas delreloj. La velocidad y la aceleración de la partícula se expresaron en términos de suscomponentes radial y transversal en las ecuaciones (11.43) y (11.44), respectivamen-te. Se puede advertir que las expresiones obtenidas contienen la primera y segundaderivadas con respecto a t de ambas coordenadas r y �.

En esta lección se encontrarán los siguientes tipos de problemas que implican a lascomponentes radial y transversal:

a) Tanto r como � son funciones conocidas de t. En este caso se calcularánla primera y segunda derivadas de r y � y se sustituyen las expresiones que se ob-tengan en las ecuaciones (11.43) y (11.44).

b) Existe cierta relación entre r y ��. Primero, es necesario que determineesta relación a partir de la geometría de un sistema dado, y utilizarla para expresar rcomo una función de �. Una vez que se conoce la función r � f(�), se puede aplicar laregla de la cadena para determinar r en términos de � y � y r en términos de �, � y �:

r � f�(�)�r � f �(�)�2 � f�(�)�

Las expresiones que se obtienen se sustituyen entonces en las ecuaciones (11.43) y(11.44).

c) El movimiento tridimensional de una partícula, como se indicó al finalde la sección 11.14, en muchos casos puede describirse de manera eficaz en térmi-nos de las coordenadas cilíndricas R, � y z (figura 11.26). Los vectores unitarios de-ben consistir en eR, e� y k. Las componentes correspondientes de la velocidad y laaceleración se indican en las ecuaciones (11.49) y (11.50). Advierta que la distanciaradial R siempre se mide en un plano paralelo al plano xy, y tenga cuidado de noconfundir el vector de posición r con su componente radial ReR.

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Problemas

11.133 Determine la rapidez periférica de la cabina de pruebas centrí-fuga A, para la cual la componente normal de la aceleración es de 10g.

11.134 A fin de probar el desempeño de un automóvil, éste es con-ducido alrededor de una pista de pruebas circular con diámetro d. Determinea) el valor de d si cuando la rapidez del automóvil es de 72 km/h, la compo-nente normal de la aceleración es de 3.2 m/s2, b) la rapidez del automóvil si d� 180 m y se sabe que la componente normal de la aceleración es de 0.6g.

11.135 Determine el radio mínimo que debe usarse para una carreterasi la componente normal de la aceleración de un automóvil que viaja a 45 mi/h no debe ser mayor que 2.4 ft/s2.

674

11.136 Determine la rapidez máxima que los carros de la montañarusa pueden alcanzar a lo largo de la porción circular AB de la pista, si lacomponente normal de su aceleración no puede ser mayor que 3g.

Figura P11.135

Figura P11.137

Figura P11.133

11.137 El pasador A, que se encuentra unido al eslabón AB, está res-tringido a moverse en la ranura circular CD. Si en t � 0 el pasador empiezaa moverse del reposo de manera que su rapidez aumenta a razón constantede 20 mm/s2, determine la magnitud de su aceleración total cuando a) t � 0.b) t � 2 s.

A

8 m

Ar

B

Figura P11.136

BA

80 ft

A

B

C

D

90 mm

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11.141 Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de unacarretera, está disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constanteantes de salir de la carretera por una rampa circular con radio de 560 ft.Continúa desacelerando a la misma tasa constante de manera que 10 s des-pués de entrar a la rampa, su rapidez ha bajado a 20 mi/h, a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a esta rapidez constante laaceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su valor antes de entrara la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del automóvil.

675Problemas

Figura P11.139

11.138 Un tren monorriel parte desde el reposo en una curva de 400m de radio y acelera a una razón constante at. Si la aceleración total máximadel tren no debe exceder 1.5 m/s2, determine a) la distancia más corta en laque el tren puede alcanzar una rapidez de 72 km/h, b) la razón constante deaceleración at correspondiente.

11.139 Una pista al aire libre tiene un diámetro de 420 ft. Una corredora aumenta su rapidez a razón constante desde 14 hasta 24 ft/s enuna distancia de 95 ft. Determine la aceleración total de la corredora 2 s después de que empieza a aumentar su rapidez.

11.140 En un instante dado en una carrera de aviones, el avión Avuela horizontalmente en línea recta, y su rapidez aumenta a razón de 8 m/s2.El avión B vuela a la misma altura que el avión A y, al rodear un pilar, sigueuna trayectoria circular de 300 m de radio. Si se sabe que en un instantedado la rapidez de B está disminuyendo a razón de 3 m/s2, determine, paralas posiciones mostradas, a) la velocidad de B relativa a A, b) la aceleraciónde B en relación con A.

Figura P11.140

Figura P11.141

A

30°

400 m

B

200 m

450 km/h

540 km/h

v

560 ft

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676 Cinemática de partículas 11.142 Los automóviles de carreras A y B se desplazan sobre porcio-nes circulares de una pista de carreras. En el instante que se indica, la rapi-dez de A disminuye a razón de 7 m/s2 y la rapidez de B se incrementa a unatasa de 2 m/s2. Para las posiciones mostradas, determine a) la velocidad deB relativa a A, b) la aceleración de B relativa a A.

11.143 Un golfista golpea una pelota desde el punto A con una ve-locidad inicial de 50 m/s a un ángulo de 25° con la horizontal. Determine elradio de curvatura de la trayectoria descrita por la pelota a) en el punto A,b) en el punto más alto de la trayectoria.

11.144 Según la fotografía de un hombre que está utilizando una limpiadora de nieve, se determina que el radio de curvatura de la trayectoriade la nieve era de 8.5 m cuando la nieve salía del tubo de descarga en A.Determine, a) la velocidad de descarga vA de la nieve, b) el radio de curvaturade la trayectoria en su altura máxima.

11.145 Un balón de básquetbol es golpeado contra el suelo en el puntoA y rebota con una velocidad vA de magnitud 7.5 ft/s, como se muestra enla figura. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por elbalón a) en el punto A, b) en el punto más alto de la trayectoria.

11.146 Se descarga carbón desde la puerta trasera de un camión devolteo con una velocidad inicial de vA � 6 ft/s d 50°. Determine el radiode curvatura de la trayectoria descrita por el carbón a) en el punto A, b) enel punto de la trayectoria 3 ft por debajo del punto A.

Figura P11.144

Figura P11.145

Figura P11.142

Figura P11.143

250 m

45°

30°A

B

144 km/h

300 m

162 km/h

400 m

700 m

A

vA

25°

A 40°

vA

15°

A

vA

vA

50° A

Figura P11.146

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11.150 Se dispara un proyectil desde el punto A con una velocidad ini-cial v0, la cual forma un ángulo � con la horizontal. Exprese el radio de curva-tura de la trayectoria del proyectil en el punto C en términos de x, v0, � y g.

*11.151 Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describela partícula del problema 11.95 cuando t � 0.

*11.152 Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describela partícula del problema 11.96 cuando t � 0, A � 3 y B � 1.

11.153 a 11.155 Un satélite viajará de manera indefinida en una órbi-ta circular alrededor de un planeta si la componente normal de la acelera-ción del satélite es igual a g(R/r)2, donde g es la aceleración de la gravedaden la superficie del planeta, R es el radio del planeta, y r es la distancia desdeel centro del planeta al satélite. Determine la rapidez de un satélite relativa al planeta indicado, si el satélite se desplaza de manera indefinida en una ór-bita circular a 160 km sobre la superficie del planeta.

11.153 Venus: g � 8.53 m/s2, R � 6 161 km.11.154 Marte: g � 3.83 m/s2, R � 3 332 km.11.155 Júpiter: g � 26.0 m/s2, R � 69 893 km.

Figura P11.149 y P11.150

677Problemas11.147 Un tubo horizontal descarga desde el punto A un chorro deagua en un estanque. Exprese el radio de curvatura del chorro en el punto Ben términos de las velocidades vA y vB.

Figura P11.148

A

B

C qmínr

r

v0

x

a

Figura P11.147

A

B

vA

vB

11.148 Un niño lanza una pelota desde el punto A con una velocidadinicial vA de 20 m/s a un ángulo de 25° con la horizontal. Determine la velo-cidad de la pelota en los puntos de su trayectoria donde el radio de curvaturaes igual a tres cuartos de su valor en A.

11.149 Se dispara un proyectil desde el punto A con una velocidad inicial v0. a) Muestre que el radio de curvatura de la trayectoria del proyectilalcanza su valor mínimo en el punto más alto de la trayectoria, B. b) Si sedenota mediante � el ángulo formado por la trayectoria y la horizontal en elpunto dado C, muestre que el radio de curvatura de la trayectoria en C es� � �mín/cos3�.

25°A

vA

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678 Cinemática de partículas 11.156 y 11.157 Si el diámetro del Sol es de 864 000 mi y la acele-ración de la gravedad en su superficie es de 900 ft/s2, determine el radio dela órbita del planeta indicado alrededor del Sol suponiendo que la órbita escircular. (Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)

11.156 Tierra: (vmedia)órbita � 66 600 mi/h11.157 Saturno: (vmedia)órbita � 21 580 mi/h

11.158 Si se sabe que el radio terrestre es de 6 370 km, determine eltiempo en el que el Telescopio Espacial Hubble recorre una órbita si esteinstrumento viaja en una órbita circular a 590 km sobre la superficie de laTierra. (Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)

11.159 Un satélite viaja en una órbita circular alrededor de Marte auna altura de 180 mi. Después de que se ajusta la altura del satélite, se descubre que el tiempo de una órbita ha aumentado 10 por ciento. Si se sabeque el radio de Marte es 2 071 mi, determine la nueva altura del satélite.(Vea la información dada en los problemas 11.153 a 11.155.)

11.160 Los satélites A y B viajan en el mismo plano en órbitas circulares alrededor de la Tierra en alturas, respectivamente, de 120 y 200mi. Si en t � 0 los satélites están alineados en la forma que se muestra, y sesabe que el radio terrestre es R � 3 960 mi, determine cuándo los satélitesvolverán a estar alineados radialmente. (Vea la información dada en los pro-blemas 11.53 a 11.55.)

11.161 La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimientode la partícula está definido por las relaciones r � b(2 � cos � t) y � � � t,donde t y � se expresan en segundos y radianes, respectivamente. Determinea) la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t � 2 s, b) los valoresde � para los cuales la velocidad es máxima.

11.162 El movimiento en dos dimensiones de una partícula se definepor medio de las relaciones r � 2b cos � t y � � � t, donde b y � son constantes. Determine a) la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante, b) el radio de curvatura de su trayectoria. ¿A qué conclusión puede llegarse respecto a la trayectoria de la partícula?

11.163 La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por mediode la relación � � �(4t2 – 8t), donde � y t se expresan en radianes y segundos,respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r � 10 � 6 sen �t, donde r y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t � 1 s, determine a) la ve-locidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del collarín relativa a la varilla.

11.164 La oscilación de la varilla OA alrededor de O se define pormedio de la relación � � (2/�)(sen � t), donde � y t se expresan en radianesy segundos, respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varillade manera que su distancia desde O es r � 25/(t � 4), donde r y t se expresanen pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t � 1 s, determine a) lavelocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración delcollarín relativa a la varilla.

Figura P11.160

Figura P11.163 y P11.164

A

B

rB

rA

Figura P11.161

P

r

q

O

B

A

q

r

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11.165 El movimiento de la partícula P es la elipse definida por lasrelaciones r � 2/(2 – cos � t) y � � � t, donde r se expresa en metros, � enradianes y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración de la par-tícula cuando a) t � 0, b) t � 0.5 s.

11.166 El movimiento bidimensional de una partícula se define porlas relaciones r � 2a cos � y � � bt2/2, donde a y b son constantes. Deter-mine a) las magnitudes de la velocidad y de la aceleración en cualquier ins-tante, b) el radio de curvatura de la trayectoria. ¿A qué conclusión puede lle-garse en cuanto a la trayectoria de la partícula?

11.167 Para estudiar el desempeño de un automóvil de carreras, unacámara de movimiento a alta velocidad se ubica en el punto A y se montasobre un mecanismo que permite registrar el movimiento del automóvilcuando éste se desplaza en el tramo recto BC. Determine la rapidez del automóvil en términos de b, � y � .

679Problemas

11.168 Determine la magnitud de la aceleración del automóvil de carreras del problema 11.167 en términos de b, �, � y �.

11.169 Después de despegar, un helicóptero asciende en línea rectaen un ángulo constante �. Un radar sigue su vuelo desde el punto A. Determine la rapidez del helicóptero en términos de d, �, � y �.

Figura P11.165

Figura P11.167

Figura P11.169

P

rq

B

r

A q

C

v a

b

B

Aq

d

v

b

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680 Cinemática de partículas *11.170 El pasador P está unido a la varilla BC y se desliza librementeen la ranura de la varilla OA. Determine la razón de cambio � del ángulo �,si se sabe que BC se mueve a una rapidez constante v0. Exprese su respuestaen términos de v0, h, � y �.

11.171 Para el automóvil de carreras del problema 11.167, se encontróque éste tardaba 0.5 s en pasar de la posición � � 60° a la posición � � 35°.Si se sabe que b � 25 m, determine la rapidez promedio del carro durante el intervalo de 0.5 s.

11.172 Para el helicóptero del problema 11.169, se encontró que cuan-do éste se ubicaba en B, su distancia y ángulo de elevación era r � 3 000 fty � � 20°, respectivamente. Cuatro segundos después, la estación del radarubicó al helicóptero en r � 3 320 ft y � � 23.1°. Determine la rapidez pro-medio y el ángulo de ascenso � del helicóptero durante el intervalo de 4 s.

11.173 y 11.174 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral quese muestra en las figuras; determine la magnitud de la velocidad de la par-tícula en términos de b, � y � .

Figura P11.170

Figura P11.173 y P11.175 Figura P11.174 y P11.176

11.175 y 11.176 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral quese muestra en la figura. Si se sabe que � es constante y se denota dicha cons-tante mediante �, determine la magnitud de la aceleración de la partículaen términos de b, � y �.

B

C

A

q

b

P

O

h

v0

Ob

Espiral hiperbólica r q = b

O

Espiral logarítmica

01 beer ch11.qxd 1/5/10 6:28 PM Página 680

11.177 Muestre que r � h� sen � si en el instante mostrado, el escalónAB de la escaladora está girando en sentido contrario al de las manecillas delreloj, a una razón constante �.

11.178 El movimiento de una partícula sobre la superficie de un cilindro circular se define por medio de las relaciones R � A, � � 2� t y z � At2/4, donde A es una constante. Determine las magnitudes de la velo-cidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo t.

11.179 El movimiento tridimensional de una partícula se define pormedio de las coordenadas cilíndricas (vea la figura 11.26) R � A/(t � 1), � � Bt y z � Ct/(t � 1). Determine la magnitudes de la velocidad y de laaceleración cuando a) t � 0, b) t � �.

*11.180 Para la hélice cónica del problema 11.95, determine el án-gulo que forma el plano oscilante con el eje y.

*11.181 Determine la dirección de la binormal de la trayectoria des-crita por la partícula del problema 11.96, cuando a) t � 0, b) t � �/2 s.

Figura P11.177

Figura P11.178

681Problemas

h

B

A

P

O

f

q

d

r

x y

z

O

A

bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Página 681

Respuestas a los problemas

1351

CAPÍTULO 11 11.1 266.0 m, 149.0 mys, 228 mys 2 . 11.2 ,m 00.3 27.00 my .s 11.3 ,s 00.3 259.5 ft, 25.0 ftys 2 . 11.4 .ni 0.27 ,.ni 842 ys, 2383 in.ys 2 . 11.5 ,m 952.0 ,s 766.0 28.56 my .s 11.6 a .1.000 s y 4.00 s. b) 1.500 m, 24.5 m. ) 11.9 a .s 00.4 ) b ) 256.0 my .m 062 ,s 11.10 x 5 t 4 y108 1 10t 1 24, v 5 t 3 y27 1 .01 11.11 233.0 in.y .ni 7.78 ,s 00.2 ,s 11.12 a tf 00.3 ) ys 4 . b ) v 5 t 3 2 32) ftys,

x 5 t 4 y4 2 32t 1 64) ft. 11.15 a tf 98.5 ) ys. b .tf 277.1 ) 11.16 236.8 ft 2 s 238.1 , 22 . 11.17 a s 0090.0 ) 22 . b ) 616.97 mmy .s 11.18 a m 0.84 ) 3 ys 2 . b .m 6.12 ) c m 09.4 ) y .s 11.21 a .m 5.22 ) b m 4.83 ) y .s 11.22 a m 3.92 ) ys. b .s 749.0 ) 11.23 a .ni 0.05 ) b ) . c .s 668.0 ) 11.24 tf 33.3 ys. 11.25 a s 7541.0 ) ym. b .m 2.541 ) c m 68.6 ) y .s 11.26 a .m 33.3 ) b .s 22.2 ) c .s 766.1 ) 11.27 a .im 51.7 ) b ) 22.75 3 10 26 tf ys 2 . c .nim 9.94 ) 11.28 a ) 20.0525 mys 2 . b .s 71.6 ) 11.31 a 63.2 ) v 0 T, pv 0 yT. b 363.0 ) v 0 . 11.33 a m 005.1 ) ys 2 . b .s 00.01 ) 11.34 a m 0.52 ) ys. b m 00.91 ) ys. c .m 8.63 ) 11.35 a .s 17.2 ) b im 4.05 ) yh. 11.36 a tf 252 ) ys. b .tf 6701 ) 11.39 a .mk 005.0 ) b mk 9.24 ) y .h 11.40 a ) 22.10 mys 2 m 60.2 , ys 2 . b antes de que A llegue a s 95.2 )

la zona de intercambio. 11.41 a .tf 437 ,s 50.51 ) b im 5.24 ) yh, 23.7 miy .h 11.42 a tf 05.5 ) ys 2 . b tf 52.9 ) ys 2 . 11.43 a .s 00.3 ) b tf 00.4 ) ys 2 . 11.44 a ) 20.250 mys 2 m 003.0 , ys 2 . b .s 8.02 ) c mk 5.58 ) y .h 11.46 a tf 63.71 ) ys 2 b, 3.47 ftys 2 b. b .tf 1.02 ) c tf 46.9 ) y .s 11.47 a m 00.2 ) ysx. b m 00.2 ) ysw. c m 00.8 ) ysx . 11.48 a m 0.02 ) ys 2 y, 6.67 mys 2 w. b) 13.33 mysw, 13.33 mw . 11.49 a tf 0.03 ) ysx. b tf 00.51 ) ysx. c tf 0.54 ) ysx. d tf 0.03 ) ysx. 11.50 a tf 04.2 ) ys 2 x, 4.80 ftys 2 w. b tf 00.21 ) ysx . 11.53 a mm 002 ) ys y. b mm 006 ) ys y. c mm 002 ) ys z.

d mm 004 ) ys y . 11.54 a mm 33.31 ) ys 2 z, 20.0 mmys 2 z. b mm 33.31 ) ys 2 y.

c mm 0.07 ) ys y, 440 mm y . 11.55 a mm 00.01 ) ys y, b mm 00.6 ) ys 2 y, 2.00 mmys 2 x.

c mm 571 ) x . 11.56 a mm 042 ) ys 2 w, 345 mmys 2 x. b mm 031 ) ys y, 43.3 mmysx.

c mm 827 ) y . 11.57 a .ni 00.2 ) ys 2 x, 3.00 inys 2 w. b .s 766.0 ) c .ni 766.0 ) x . 11.58 a 1 ) 2 6t 2 )y4 in.ys 2 . b .ni 60.9 )

11.61 a) Los valores correspondientes de (t, v, x) son (0, 218 ft/s, 0),(4 s, 26 ftys, 245 ft), (10 s, 30 ftys, 24 ft), (20 s, 220 ftys,74 ft). b tf 21 ) ys, 74 ft, 176 ft. 20.0 fty s.

11.62 Consulte el problema 11.61 para ver las gráficas. a) 30.0 ft/s, b) 30 ft/s, 114 ft.

11.63 a 0 ) , t , 10 s, a 5 0; 10 s , t , 26 s, a 5 25 ftys 2 ; 26 s , t , 41 s, a 5 0; 41 s , t , 46 s, a 5 3 ftys 2 ; t . 46 s, a 5 0; x 5 2540 ft en t 5 0, x 5 60 ft en t 5 10 s, x 5 380 ft en t 5 26 s, x 5 80 ft en t 5 41 s, x 5 17.5 ft ent 5 46 s, x 5 22.5 ft en t 5 50 s. b .tf 3831 ) c .s 5.94 ,s 00.9 )

11.64 a Igual que en el problema 11.63. b) 420 ft. c) 10.69 s, 40.0 s. ) 11.65 a .s 8.44 ) b m 3.301 ) ys 2 x . 11.66 mm 702 y s 11.67 a) 10.5 s. b) curvas v-t y x-t. 11.69 m 69.3 ys 2 . 11.70 a .s 006.0 ) b m 002.0 ) y .m 48.2 ,s 11.71 .s 93.9 11.72 im 3.85 ,s 45.8 y .h 11.73 .s 525.1 11.74 a m 0.05 ) ys, 1 194 m. b m 52.95 ) y .s 11.77 a .s 00.81 ) b ,m 8.871 ) c mk 7.43 ) yh. 11.78 b .m 57.3 ) 11.79 a .s 00.2 ) b tf 002.1 ) ys, 0.600 fty .s 11.80 a .nim 10.5 ) b im 81.91 ) y .h 11.83 a .s 69.2 ) b .tf 422 ) 11.84 a) 163.0 in.ys 2 . b) 114.3 in.ys 2 . 11.86 .tf 401 11.89 a mm 06.8 ) ys c 35.5°, 17.20 mmys 2 a 35.5°.

b mm 4.33 ) ys a 8.6°, 39.3 mmys 2 a .°7.41 11.90 a m 1.951 ,0 ) ys 2 b 82.9°. b m 82.6 ) ys y, 157.9 mys 2 w . 11.91 a m 73.5 ) ys. b ) t 5 2.80 s, x 5 27.56 m, y 5 5.52 m,

v 5 5.37 mys 2 b .°4.36 11.92 a .ni 00.2 ) ys, 6.00 in.ys. b Para ) v mín , t 5 2Np s, x 5 8Np in.,

y 5 2 in., v 5 (2.00 in. o bien 2.00 in.ys y ys z.Para vmáx , t 5 (2N 1 1)p s, x 5 4(2N 1 1)p, y 5 6 in.,v 5 6.00 in.ys y o bien 6.00 in.ys z .

11.95 2R21 1 vn2 t2) 1 c2, Rvn24 1 v n

2t2 . 11.96 a tf 00.3 ) ys, 3.61 ftys 2 . b .s 28.3 ) 11.97 .m 353 11.98 a m 05.51 ) ys. b .m 21.5 ) 11.99 tf 83.51 ys # v 0 # 35.0 fty .s 11.100 a im 4.07 ) yh # v 0 # 89.4 miyh. b .°92.4 ,°98.6 ) 11.101 a m 78.2 ) . 2.43 m. b de la red. m 10.7 ) 11.102 m 442.0 # h # .m 683.0 11.103 .dy 242 o bien tf 627 11.104 0 # d # .tf 737.1 11.105 tf 8.32 y .s 11.106 a tf 8.92 ) ys. b tf 6.92 ) y .s 11.107 m 46.01 ys # v 0 # 14.48 mys. 11.108 m 876.0 ys # v 0 # 1.211 my .s 11.111 a .°09.4 ) b .tf 369 ) c .s 42.61 ) 11.112 a) 14.66°. b .s 4701.0 )

En esta página y las siguientes se dan las respuestas a los problemas cuyo número está en caracteres normales. Las respuestas a los problemas con número en letras cursivas no se proporcionan en esta lista.

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11.113 a .°83.01 ) b .°47.9 ) 11.115 a .m 25.6 ,°0.54 ) b .m 48.5 ,°2.85 ) 11.117 a m 045.1 ) ys a 38.6°. b m 305.1 ) ys a .°3.85 11.118 m 50.5 ys b .°8.55 11.119 nudos 737.1 c .°14.81 11.120 a im 76.2 ) yh d 12.97°. b im 852 ) yh a 76.4°.

c m 56 ) c .°04 11.123 a .ni 35.8 ) ys b 54.1°. b .ni 04.6 ) ys 2 b .°1.45 11.124 a .ni 10.7 ) ys d 60°. b .ni 96.11 ) ys 2 d .°6.06 11.125 a mm 538.0 ) ys 2 b 75°. b mm 53.8 ) ys b .°57 11.126 a m 859.0 ) ys 2 c 23.6°. b m 719.1 ) ys c .°6.32 11.127 tf 45.01 ys d .°3.18 11.128 a) 5.18 ftys b 15°. b) 1.232 ftys b 15°. 11.129 mk 94.71 yh a .°0.95 11.130 mk 97.51 yh c .°0.62 11.133 m 0.82 y .s 11.134 a .m 052 ) b mk 9.28 ) y .h 11.135 .tf 5181 11.136 im 9.95 y .h 11.137 a mm 0.02 ) ys 2 . b mm 8.62 ) ys 2 . 11.138 a .m 9.871 ) b m 811.1 ) ys 2 . 11.139 tf 35.2 ys 2 . 11.141 tf 59.51 ys 2 . 11.143 a .m 182 ) b .m 902 ) 11.144 a m 99.7 ) ys a 40°. b .m 28.3 ) 11.145 a .tf 57.6 ) b .tf 0711.0 ) 11.146 a .tf 937.1 ) b .tf 9.72 ) 11.147 r B 5 v B

2 y9v A . 11.148 m 71.81 ys a 4.04° y 18.17 m ys c .°40.4 11.151 R( 2 1 c 2 )y2v n R . 11.152 .tf 05.2 11.153 8.52 3 10 3 mk y .h 11.154 65.21 3 10 3 mk y .h 11.155 3.351 3 10 3 mk y .h 11.156 9.29 3 10 6 .im 11.157 588 3 10 6 .im 11.158 .h 606.1 11.161 a 3 ) pb e u , 24p 2 b e r . b ) u 5 2Np, N 5 . . . . ,2 ,1 ,0 11.162 a 2 ) bv, 4bv 2 . b ) r 5 b un círculo. , 11.163 a ) 2 p in.ys 2 ) e r 08 , p in.ys 2 ) e u . b ) 0. 11.165 a 2

( (6( ) p mys) e u , 24 p 2 m ys 2 ) e r

b ) ( ( ( ( 2 py2 mys) e r 1 p mys) e u , 2 p 2 y2 mys 2 ) e r 2 p 2 m ys 2 ) e u.

11.166 a 2 ) abt 2 , ab21 1 4b2t4 . b ) ( r 5 a círculo) 11.169 du

. nat b sec bytan b cos u 2 sen u) 2 .

11.170 v 0 soc b tan b cos u 1 sen u) 2 y .h 11.171 mk 7.581 y .h 11.172 im 8.16 y .°7.94 ,h 11.175 bv2yu 3 ) 24 1 u4 . 11.176 1

(( 1 b 2 ) v 2 e bu .

11.180 nat 21 [R2 1 v N 2 t 2 )y c24 1 vN

2 t2] 11.181 a ) u x 5 90°, u y 5 123.7°, u z 5 33.7°. b ) u x 5 103.4°,

u y 5 134.3°, u z 5 . °4.74 11.182 a .s 00.4 ,s 00.1 ) b .m 5.42 ,m 05.1 ) 11.184 a ) 22.43 3 10 6 tf ys 2 . b 663.1 ) 3 10 23 .s 11.185 a .tf 7.96 ,s 26.11 ) b tf 03.81 ) y .s 11.186 a .s 00.3 ) b arriba de su posición inicial. mm 52.65 ) 11.187 v A 5 12.5 mmysx, v B 5 75 mmysw,

v C 5 175 mmysw . 11.189 mk 88.71 yh a .°4.63 11.190 tf 44.2 ys 2 . 11.193 r . 5 120 mys, r 5 34.8 mys2, u

.5 20.0900 radys,

u 5 20.0156 radys2 .

CAPÍTULO 12 12.1 a .°09 en bl 310.5 ,°54 en bl 000.5 ,°0 en bl 789.4 ) b bl 000.5 )

en todas las latitudes, c bl 4551.0 ) ? s 2 y en todas las latitudes. tf 12.2 a .N 42.3 ) b .gk 00.2 ) 12.3 003.1 3 10 6 gk ? my .s 12.5 a m 76.6 ) ys. b .5570.0 ) 12.6 a mk 522 ) yh. b mk 1.781 ) y .h 12.7 .im 242.0 12.8 a .tf 3.531 ) b .tf 8.551 ) 12.9 419 N al inicio y 301 N durante el deslizamiento. 12.10 m 414.0 ys 2 c .°51 12.11 a m 94.2 :A ) ys 2 y, B: 0.831 mys 2 w. b .N 8.47 ) 12.12 a m 896.0 :A ) ys 2 y, B: 0.233 mys 2 w. b .N 8.97 ) 12.15 a m 689.0 ) ys 2 b 25°. b .N 7.15 ) 12.16 a m 497.1 ) ys 2 b 25°. b .N 2.85 ) 12.17 a tf 799.0 ) ys 2 a 15°, 1.619 ftys 2 a .°51 12.19 Sistema 1: a tf 37.01 ) ys 2 . b) 14.65 ftys. c) 1.864 s.

Sistema 2: a tf 01.61 ) ys 2 . b tf 49.71 ) ys. c .s 242.1 ) Sistema 3: a tf 947.0 ) ys 2 . b tf 78.3 ) ys. c .s 7.62 )

12.20 a m 269.1 ) ys 2 x. b .N 1.93 ) 12.21 a m 36.6 ) ys 2 z. b m 123.0 ) y . 12.22 a m 35.41 ) ys 2 a 65°. b m 42.4 ) ys 2 d .°56 12.24 743.0 m 0 v 0

2 yF 0 . 12.26 2kym (2l2 1 x0

2 2 l) . 12.27 im 5.911 y .h 12.28 a .N 6.33 ) b ) a A 5 4.76 mys 2 y, a B 5 3.08 mys 2 w,

a C 5 1.401 mys 2 z . 12.29 a .N 0.63 ) b ) a A 5 5.23 mys 2 y, a B 5 2.62 mys 2 w. a C 5 0. 12.30 a ) a A 5 a B 5 a D 5 2.76 ftys 2 w, a C 5 11.04 ftys 2 x.

b .bl 08.81 ) 12.31 a tf 2.42 ) ysw. b tf 52.71 ) ysx . 12.36 a .N 4.08 ) b m 03.2 ) y .s 12.37 a .°9.94 ) b .N 58.6 ) 12.38 tf 52.8 ys. 12.40 m 77.2 ys , v , 4.36 my .s 12.42 tf 00.9 ys , v C , 12.31 ftys. 12.43 tf 24.2 ys , v , 13.85 fty .s 12.44 a .N 7.131 ) b .N 4.88 ) 12.45 a .N 355 ) b .N 956 ) 12.46 a .tf 866 ) b bl 0.021 ) x. 12.47 a tf 59.6 ) ys 2 c 20°. b tf 78.8 ) ys 2 c .°02 12.48 a .N 509.2 ) b .°90.31 ) 12.49 N 6211 b .°6.52 12.50 °1.42 # u # .°9.551 12.51 a .°9.34 ) b .093.0 ) c mk 8.87 ) y .h 12.53 a .W 8581.0 ) b .°82.01 ) 12.55 .mm 864 12.56 m 63.2 ys # v # 4.99 my .s 12.57 a movimiento inminente hacia abajo, ,4091.0 )

b movimiento inminente hacia arriba. ,943.0 ) 12.58 a bl 629.1No se desliza ) b 80°.

b bl 321.1 Se desliza hacia abajo. ) b 40°. 12.61 a) 0.1834. b) 10.39° para el movimiento inminente hacia la

izquierda, 169.6° para el movimiento inminente hacia la derecha.

12.62 a) 2.98 ft/s. b) 19.29° para el movimiento inminente hacia la izquierda, 160.7° para el movimiento inminente hacia la derecha.

12.64 450.1 2eV/mv02 .

12.65 333.1 l . 12.66 a) F r 5 210.73 N, F u 5 0.754 N.

b ) F r 5 24.44 N, F u 5 .N 811.1 12.67 F r 5 0.0523 N, F u 5 .N 234.0

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