UTPL-CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS-II-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
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CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS
ESCUELA:
NOMBRES:
Ciencias Biológicas y Ambientales
Ing. Daniela Calva
BIMESTRE: Segundo
Octubre 2011-Febrero 2012
AGENDA
• Unidad 4: Cálculo Multi Variable.– Derivadas Parciales
• Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales– Definición
– Tipos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
– Soluciones de Ecuaciones Diferenciales
– Formas de Resolución de Ecuaciones Diferenciales
Unidad 4: Cálculo Multi Variable.
Derivadas Parciales
k y n representan a números
y, u y v representan a funciones
Derivadas Parciales
Definición:
Consideremos una función z=f(x,y) de dosvariables x y y.
Las derivadas parciales se calculanconsiderando que una de las variables semantiene constante, y derivando respecto ala otra.
Derivadas Parciales
Si z=f(x,y), las primeras derivadasparciales de f con respecto a x e y son lasfunciones fx y fy definidas:
Notación Derivadas Parciales
Ejemplo 1:Calcular fx y fy para la función
Solución:Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta:
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 3:
Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales
Definición:
Una ecuación que contiene una derivada de una
función desconocida, se denomina ecuación
diferencial.
y’=xy2
ED es toda igualdad en la cual existentérminos que contienen derivadas odiferenciales de una o más variablesdependientes con respecto de una o másvariables independientes.
Ejemplo 1:
Ejemplo 1:
Se llama solución general de unaecuación diferencial a todarelación entre las variables, libresde derivadas, que satisface dichaecuación diferencial.
Ejemplo 1:
Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtienea partir de la solución general, dando valores a las constantes.
Tipos de EDFísico.- Cuando se trata de interrelacionar variablesque representan magnitudes físicas que están enrelación precisa dentro de los cuerpos u objetos deluniverso, considerando los aumentos odisminuciones como elementos de análisis.
Geométrico.- Cuando surge de interrelacionar las
medidas de los cuerpos o figuras geométricas.
De la primitiva.- Cuando se obtiene de ejecutar el
proceso de derivación o diferenciación de una función
mediante la aplicación de las reglas y procedimientos
habituales.
Ejemplos:Físico:La variación del volumen de agua con respecto de lavariación del tiempo determina el caudal:
Geométrico:Derivada del perímetro: dp=2πdR
De la primitiva:
Tipos de ED de primer ordenEcuaciones Separables:Si el lado derecho de la ecuación y’=f(x,y) se puedeexpresar como una función g(x) que sólo depende de x,por una función p(y) que soló depende de y.
Ecuaciones Lineales:Es aquella que se puede expresar de la forma
Donde solo dependen de la variableindependiente x, no así de y.
Tipos de ED de primer orden
Ecuaciones Exactas:Son aquellas que adoptan la formaQue es la diferencial total de la función f(x,y) y se cumple que
Tipos de soluciones de ED
General o completa: cuando la soluciónes representativa de una familia deprimitivas, lo cual queda evidenciado enla presencia de parámetros o constantes.
Particular: Cuando la solución cumplecon ciertas condiciones referenciales, quedebe cumplir la primitiva correspondiente,como por ejemplo pasar por un puntoespecífico.
Formas de resolución de EDO
Variables separadas:Son las que pueden llegar a escribirsecomo:
Proceso:Para resolver basta con integrar ambosmiembros con respecto a x
Formas de resolución de EDO
Ejemplos:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: