Simulacao Numerica para a Equacao Elıptica

−u′′(r)− 1

ru′(r) + λu(r) = u(r)2,

usando o Metodo dos Elementos Finitos

por

Marcia Costa Chaves

sob orientacao do

Prof. Dr. Ricardo Silva Kubrusly

Instituto de Matematica, Doutorado em Ciencias.

Rio de Janeiro, RJ.

Junho 2005

Simulacao Numerica para a Equacao Elıptica

−u′′(r)− 1

ru′(r) + λu(r) = u(r)2,

usando o Metodo dos Elementos Finitos.

por

Marcia Costa Chaves

Tese de doutorado submetida ao Programa de Pos-graduacao em Matematica, Insti-

tuto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos

requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Doutor em Ciencias.

Area de Concentracao: Matematica.

Aprovada por:

Prof. Dr. Ricardo Silva Kubrusly - OrientadorIM - UFRJ

Prof. Dr. Wladimir Augusto das NevesIM - UFRJ

Prof. Dr. Angel Ramon Sanchez DelgadoDEMAT - UFRuralRJ

Prof. Dr. Carlos Antonio de MouraIME - UERJ

Prof. Dr. Luıs Alfredo Vidal de CarvalhoCOPPE - UFRJ

Rio de Janeiro, RJ.Junho 2005

ii

Chaves, Marcia Costa

Simulacao Numerica para a equacao elıptica −u′′(r)

−1ru′(r) + λu(r) = u(r)2, usando o metodo dos

elementos finitos/Marcia Costa Chaves

. -Rio de Janeiro: UFRJ/ IM,2005.

ix,88f;29cm.

Orientador: Ricardo Silva Kubrusly

Tese(doutorado)-UFRJ/IM.Programa Pos-gradua-

cao em Matematica,2005.

Inclui Referencias Bibliograficas.

1.Equacoes Diferenciais Elıpticas-Solucoes

Numericas-Tese.I.Kubrusly, Ricardo Silva. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Instituto de Matematica. III.Tıtulo.

iii

Ao meu marido Antonio

e aos meus filhos

Paula e Andre.

iv

Agradecimentos

Ao meu amigo e tambem orientador Ricardo, por ter aceitado me orientar e ter me

apoiado e compreendido em todas as etapas no decorrer do curso. Principalmente, a

etapa referente ao recurso. Mesmo quando todos ja achavam que nao adiantava mais dar

continuidade, ele assim mesmo insistiu, e por isso estamos aqui cumprindo essa ultima

etapa.

A minha amiga Angela Rocha, por ter me apresentado ao Ricardo, quando ao destran-

car o curso de doutorado, precisei substituir o meu antigo orientador.

Aos meus colegas do Departamento de Matematica da UFRuralRJ, que nunca me

deixaram desanimar, quanto tudo parecia perdido.

Aos colegas, que me acompanharam durante todo o doutorado.

v

Sumario

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Introducao 1

1.1 Resultados de algumas pesquisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Problema elıptico em um domınio exterior 12

2.1 Estabelecimento do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Notacoes e definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Solucao radial em um anel do IRN 23

3.1 Resultados e definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Aproximacao numerica da solucao 34

4.1 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vi

4.3 Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Dificuldades na resolucao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Resultados Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

vii

Resumo

Este trabalho tem como objetivo estudar a construcao de uma solucao numerica

para o seguinte problema elıtico nao linear

−∆u(x) + λu(x) = u(x)p−1 em Ω

u(x) > 0 em Ω

u(x) = 0 sobre ∂Ω

Resultados de existencia para o problema sao desenvolvidos, associados a sua for-

mulacao variacional, no caso em que λ ∈ IR+, p ∈ (2, 2∗) com 2∗ = 2N/N − 2 e sendo

Ω ⊂ IRN , N ≥ 3, um domınio ilimitado com fronteira ∂Ω limitada nao vazia, tal que o

conjunto IRN \ Ω e limitado.

Nossa proposta e construir solucoes aproximadas para o problema no caso em que Ω

e um anel no IRN , isto e, Ω = x ∈ IRN ; lo ≤ ‖x‖ ≤ Lo para o qual resultados de

existencia de solucao positiva radial ja sao conhecidos.

viii

Abstract

In this work we consider the following non linear elliptic equation:

−∆u(x) + λu(x) = u(x)p−1 in Ω

u(x) > 0 in Ω

u(x) = 0 on ∂Ω

It is known that there exists a solution in the case of λ ∈ IR+, p ∈ (2, 2∗) with

2∗ = 2N/N−2 and for Ω ⊂ IRN , N ≥ 3, an unbounded domain with non empty boundary

∂Ω, such that IRN \ Ω is bounded. The existence theory is proved by means of the

variational formulation of the above equation.

We propose to find a finite-element approximation solution for the case of Ω = x ∈

IRN ; lo ≤ ‖x‖ ≤ Lo, that is, of a annulus in IRN , for which the existence of a positive

radial solution is known.

ix

Capıtulo 1

Introducao

Nesse trabalho estamos preocupados em encontrar solucao nao nula para a equacao

elıptica ∆u(x) = G(u(x)), sendo G uma funcao nao linear a qual satisfaz G(0) = 0.

Tal problema e motivado em particular pela pesquisa de certos tipos de ondas solitarias

(estados estacionarios) da equacao nao linear de Klein-Gordon ou tipo Schrodinger. En-

tendemos como ondas solitarias uma solucao Φ = Φ(x, t), para x ∈ IRN e t ∈ IR,

da equacao da onda cuja amplitude maxima no tempo t, supx |Φ(x, t)| , nao tende para

zero quando t →∞, mas a qual tende para zero em algum conveniente sentido, quando

‖x‖ → ∞. Por razoes fısicas, a convergencia deve ter a propriedade de que quanti-

dades tais como energia e carga sejam finitas. Tipos particulares de ondas solitarias sao

(1) “onda viajante” Φ(x, t) = u(x− ct), sendo c uma constante vetorial com ‖c‖ ≤ 1 e

(2) “onda estacionaria” Φ(x, t) = eiwtu(x), sendo w uma constante real.

Para ser mais preciso, considere a seguinte equacao de Klein-Gordon

Φtt −∆ Φ + a2 Φ = f(Φ), (1.1)

aqui Φ = Φ(x, t) e uma funcao complexa definida para t ∈ IR, x ∈ IRN , a uma

2

constante real estritamente positiva e ∆Φ =N∑

i=1

∂2Φ/∂x2i .

Assumindo que f(0) = 0, f(reiθ) = f(r)eiθ e que Φ(x, t) = eiwtu(x) com |w| < a,

isto e, Φ e uma “onda estacionaria”, a equacao (1.1) se reduz a forma

−∆u + (a2 − w2)u + f(u) = 0. (1.2)

Analogamente, substituindo uma onda viajante do tipo (1) na equacao (1.1), obtemos

−N∑

i,j=1

aij∂2u

∂ui ∂xj

+ a2u + f(u) = 0, (1.3)

sendo aij = δij + cicj. Note que ( aij )n×n e uma matriz positiva definida, uma vez que

∑aijξiξj = |ξ|2 − (c · ξ)2 ≥ (1− |c|2)|ξ|2, para todo ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξN) ∈ IRN . Assim, a

equacao (1.3) e elıptica e pode ser convertida em uma equacao contendo o termo −∆u,

por meio de transformacoes lineares.

Observe que cada um desses casos nos conduz a uma equacao

−∆u(x) + G(u(x)) = 0, (1.4)

com G(u) = f(u) + (const)u.

O estado estacionario da equacao nao linear de Schrodinger nos conduz a um problema

similar. De fato, se considerarmos a equacao

iΦt −∆Φ = f(Φ), (1.5)

sendo Φ : IR×IRN → IC e f uma funcao real contınua a qual e impar e tal que f(0) = 0,

e possıvel verificar que a solucao dada pela “onda estacionaria” Φ(x, t) = e−imtu(x) nos

direciona a um problema de contorno com a equacao (1.4).

3

1.1 Resultados de algumas pesquisas

Nessa secao vamos comentar o trabalho de alguns pesquisadores com uma equacao do

tipo (1.4).

Strauss(1977) prova,usando o metodo variacional com a condicao de serem radiais as

funcoes envolvidas,1 que a equacao (1.2) possui uma solucao nao trivial em todo IRN ,

desde que |w| < a. Alem disso, ele prova que a solucao decresce exponencialmente no

infinito.

Gidas, Ni e Nirenberg(1979) provaram a simetria e algumas propriedades das solucoes

positivas para uma equacao diferencial elıptica do tipo (1.2) em domınios limitados e

no espaco inteiro. Eles usaram varias formas do princıpio do maximo, “Se u(x) e nula

em algum ponto do domınio entao u(x) e identicamente nula”. A ideia deles foi a de

movimentar planos paralelos para uma posicao crıtica e entao mostraram que a solucao

e simetrica em torno de um plano limite. Uma das propriedades provadas nesse trabalho

foi a de que o problema (1.4) definido na bola Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ < R, com a

condicao de Dirichlet, possui solucao radialmente simetrica e que decresce a medida que

a coordenada radial aumenta. Outro resultado importante foi o de que o maximo de uma

solucao, para o problema definido em um anel Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0,

ocorre para x0 tal que ‖x0‖ < (L0 + l0)/2 e que descresce a partir daı.

Sabendo que as solucoes do problema (1.4) sao radiais ou translacoes de tais funcoes,

Berestycki, Lions e Peletier(1981) provaram que a equacao diferencial ordinaria associada

1Para assegurar a compacidade, uma vez que a imersao de H1(Ω) em L2(Ω) nao e compacta em

domınio ilimitado.

4

ao problema (1.4), descrita a seguir,

−u′′(r)− N−1r

u′(r) = G(u(r)), para 0 < r < ∞ (a)

u(0) = ζ, u′(0) = 0, (b)

(1.6)

admite solucao , sendo ζ escolhido de maneira que

limr→+∞

u(r) = 0. (1.7)

Foi considerada uma condicao suficiente sobre G para que o problema (1.6)-(1.7) tivesse

uma solucao tao geral quanto as apresentadas em outros trabalhos. Ainda nesse artigo,

estudaram casos nao autonomos, isto e, equacoes em que G = G(r, u). Por fim discutiram

a estabilidade da solucao do problema (1.4), no contexto da equacao do calor nao linear,

ut = ∆u(x) + G(u(x)) ,

considerando a solucao do problema em questao como uma solucao de equilıbrio da

equacao do calor. Continuando seus trabalhos, Berestycki e Lions(1983) provaram a ex-

istencia de solucao, usando o metodo variacional, para o mesmo problema em todo IRN ,

assumindo G : IR → IR uma funcao contınua, ımpar e tal que G(0) = 0. Mostraram

tambem que se u0 fosse uma solucao do problema variacional associado, entao u0 teria a

propriedade de possuir a menor energia dentre todas as possıveis solucoes para o problema.

Tal solucao u0 e chamada um “ground state” de (1.4).

Lions(1982) mostra, usando a teoria de grau topologico, resultado de existencia e

multiplicidade de solucao positiva para o problema (1.4) em domınio limitado, supondo

G(u) uma funcao nao linear particular. Logicamente, a existencia de solucao dependeu

significativamente das hipoteses feitas sobre G. Primeiramente ele distinguiu entre dois

casos, o caso em que G(0) > 0 e o caso em que G(0) = 0. Em adicao a esses dois

5

casos ele considerou diferentes possibilidades dependendo de G ser superlinear e sublinear

no infinito, sendo que G(u) e superlinear no infinito quando lim inft→∞G(t)t−1 > λ1,

em que λ1 e o primeiro autovalor de (−∆) com condicao de Dirichlet na fronteira e

sublinear quando lim supt→∞G(t)t−1 < λ1. Ainda neste trabalho, foi considerada a versao

parametrizada do problema, tomando λG(u) ao inves de G(u) e foram analisados os

diagramas de bifurcacao para os conjuntos de solucoes do problema.

Smoller e Wasserman(1984) estudaram condicoes necessarias e suficientes para a solucao

nao degenerada de (1.4). Isto e, condicoes segundo o qual o “zero” nao e um espectro da

equacao linearizada, ou melhor,

se ∆v(x) + G′(u(x))v(x) = 0 em Ω e v(x) = 0 para x ∈ ∂Ω entao v ≡ 0.

Quando isto e verdade, dizemos que a solucao u(x) de (1.4) com condicao de Dirichlet

e nao degenerada, caso contrario e chamada degenerada. O interesse nessa nocao vem do

fato de que solucao nao degenerada permite aplicacoes de tecnicas topologicas.

Tambem McLeod e Serrin(1987) trabalharam com equacoes relacionadas ao problema

(1.4). Estudaram a unicidade da solucao positiva radial para o problema ∆u+G(u) = 0 em

todo IRN e tal desenvolvimento foi feito com uma equacao diferencial ordinaria associada

ao problema. Eles procuraram a solucao que pertencesse ao espaco C1[0,∞) ∩ C2(0,∞),

supondo as seguintes hipoteses sobre a funcao G,

(i) G ∈ C1[0,∞), G(0) = 0, G′(0) = −m < 0,

(ii) exists α > 0 tal que G(u) < 0 para u ∈ (0, α) e G(u) > 0 para u ∈ (α,∞) e

(iii) G′(α) > 0.

Garaizar(1987) estudou a solucao positiva radial para o problema (1.4) com condicao

6

de Dirichlet em um anel do IRN . Em seu trabalho ele obteve varios resultados de existencia

assim como de nao existencia, evitando restricoes do comportamento de G no infinito que

outros pesquisadores impuseram a funcao G. Um resultado importante de seu trabalho

foi a demonstracao do teorema que garante a existencia de solucao positiva radialmente

simetrica do problema no domınio exterior Ω = x ∈ IRN ; ‖x‖ > l0 > 0.

A existencia de solucao para a equacao −∆u+λu = |u|p−2u em um domınio ilimitado

foi estudada por Benci e Cerami(1987), usando o metodo variacional. Provam a igualdade

inf 1

2

∫Ω(|∇|2 + λ|u|2 )dx; u ∈ H1

0 (Ω),∫Ω|u|pdx = 1 =

= inf 1

2

∫IRN

(|∇|2 + λ|u|2 )dx; u ∈ H10 (IRN),

∫IRN

|u|pdx = 1 ,

e ainda a nao existencia de uma funcao u ∈ H10 (Ω) tal que o primeiro ınfimo fosse

atingido. Fizeram um profundo estudo da obstrucao da compacidade e descobriram uma

forte analogia com o fenomeno ocorrido em problemas com expoente crıtico. Nesse tipo de

problema, Ω e suposto limitado, mas a imersao de J : H10 (Ω) → Lp(Ω) nao e compacta por

causa do expoente crıtico de Sobolev ( p = 2NN−2

). Analisaram tambem o comportamento

de uma sequencia satisfazendo a condicao de Palais-Smale, e dessa maneira estabeleceram

algumas estimativas do nıvel de energia em que a condicao podia falhar, o que permitiu

provar alguns resultados de existencia.

Bandle, Coffman e Marcus(1987) tambem pesquisaram o problema (1.4) para o anel

Ω = x ∈ IRN : l0 < ‖x‖ < L0 do IRN e obtiveram resultado de existencia de solucao

para o problema, com as seguintes condicoes de fronteiras e quando N ≥ 3.

(a) u(x) = 0 para ‖x‖ = l0 e ‖x‖ = L0

(b) u(x) = 0 para ‖x‖ = l0 e ∂u∂r

= 0 para ‖x‖ = L0

7

(c) ∂u∂r

= 0 para ‖x‖ = l0 e u(x) = 0 para ‖x‖ = l0.

Assumindo que limt→0G(t)

t= 0, tambem provaram que o problema com a condicao (a) e

equivalente ao problema com a condicao (b) e ainda que esse implica no problema com a

condicao (c).

Existencia de solucao positiva radial e simetrica do problema ∆u + g(‖x‖)G(u) = 0

em um anel do IRN , com condicao de Dirichlet e de Dirichlet/Neumann, foi estudada por

Li(1989). Ele mostrou que a equacao tem solucao positiva radial em um anel se G e g

forem funcoes positivas e G superlinear em zero e no infinito.

Esteban(1991) estudou o problema de minimizacao

I(Ω) = minu∈H1(IRN\Ω)∫IRN\Ω

(|∇u|2 + |u|2)dx;∫IRN\Ω

|u|p+1dx = 1

que corresponde a equacao de Euler-Lagrange de uma equacao semilinear elıptica em um

domınio exterior com condicao de fronteira de Neumann. Nesse trabalho ela provou que o

problema de minimizacao tem pelo menos uma solucao e ainda que nenhuma das solucoes

do problema quando Ω e o complemento de uma bola e radialmente simetrica e tambem

descreveu como a simetria radial e quebrada.

Kwong(1989) estabeleceu resultados de unicidade de solucao radialmente simetrica

para a equacao ∆u − u + up = 0, com p > 1 e sendo u definida em um anel limitado

e ilimitado do IRN , no caso em que N ≥ 1 e ainda com a condicao de Neumann

na fronteira interna e a condicao de Dirichlet na fronteira externa do anel. No caso de

domınio ilimitado, esta e interpretada como o decaimento para zero no infinito. Trabalhou

com tres regioes: a bola no IRN , o complemento da bola e todo IRN , provando a unicidade

de solucao para

8

p < ∞ se 1 ≤ N ≤ 2;

p ≤ NN−2

se 2 < N ≤ 4;

p < 8N

se 4 < N < 8.

Benci e Cerami(1991) provaram que a topologia do domınio altera o numero de solucoes

positivas para o problema

−∆u + λu = up−1 (1.8)

com a condicao de Dirichlet, quando Ω ⊂ IRN e limitado. Provaram que para cada

p ∈ (2, 2∗), sendo 2∗ = 2NN−2

, existe um λ(p) tal que ∀λ ≥ λ(p) o problema possui pelo

menos cat Ω solucoes distintas. Sendo cat Ω, a categoria de Lusternik-Schnirelman de

Ω em si mesmo. Resumidamente, provaram que se Ω tem uma “rica” topologia entao o

problema tem ”muitas” solucoes.

Sabendo que em um domınio limitado a topologia poderia alterar o numero de solucoes

do problema (1.8), Cerami e Passaseo(1992) investigaram se a topologia tambem afeta

o numero de solucoes para os mesmos problemas em domınios ilimitados. Os resultados

foram positivos. Analogamente aos problemas em domınio limitado, foi utilizado o con-

ceito de categoria relativa de Ω com respeito a IRN \Bρ(0) para provar que a topologia

do domınio afeta o numero de solucoes, sendo definido ρ = inf ρ ; IRN \Ω ⊂ Bρ(0) . Foi

possıvel provar que, para cada p ∈ (2, 2∗), ∃ λ(p) tal que para todo λ ≥ λ(p) o prob-

lema −∆u+λu = up−1, com condicao de Dirichlet, tem no mınimo catΩ[Ω, IRN \Bρ(0)]

solucoes positivas distintas. Cerami e Passaseo(1995) melhoram o resultado, provando

que o problema tem pelo menos catΩ[Ω, IRN \Bρ(0)] + 1 solucoes distintas. Alem disso,

que para todo λ > 0 existe pelo menos uma solucao.

Ambrosetti, Brezis e Cerami(1994) se preocuparam em estudar problemas elıpticos

9

semilineares do tipo −∆u = fλ(x, u) em Ω. Definidos em domınios limitados e com

condicao de Dirichlet, tal que os efeitos de termos superlinear e sublinear sao combinados

de maneira a permitir estabelecer alguns resultados de existencia e multiplicidade. Eles

perceberam que quando fλ(x, u) e a soma desses dois termos, o efeito das duas nao

linearidades muda consideravelmente a estrutura do conjunto solucao. Para ser mais

claro, olharam inicialmente para a solucao positiva de −∆u = λuq + up, com 0 < q <

1 < p e provaram que existe uma constante Λ ∈ IR, Λ > 0 tal que a solucao uλ do

problema existe, sempre que 0 < λ < Λ . Para achar uma tal solucao eles usaram sub

e supersolucoes e concluıram que o termo essencial nesse caso e uq e que p poder ser

arbitrario. Alem disso, eles encontraram uma segunda solucao positiva vλ da equacao,

com vλ > uλ , por argumento variacional. No caso dessa solucao, o termo importante

e up para p ≤ (N+2)(N−2)

. Ainda nesse trabalho, eles provaram que ‖wλ‖∞ → ∞ quando

λ → 0, para uma solucao distinta da solucao mınima uλ.

Wang(1994) estudou a existencia de solucao radial do problema ∆u+g(‖x‖)f(u) = 0

em um anel com condicao de Dirichlet e Dirichlet/Neumamm. Ele provou que o problema

possui solucao positiva radial em todo anel se f for sublinear em zero e no infinito.

A existencia de solucao positiva foi tratada por Cerami e Passaseo(2000), para o

problema elıptico nao linear −∆u + a(x)u = u(N+2)(N−2) , com a(x) ≥ 0 e com condicao de

Neumann no semiespaco do RN , para N ≥ 3. A principal caracterıstica do problema e

a falha da dupla compacidade em domınios ilimitados na presenca de expoente crıtico de

Sobolev.

Molle e Passaseo(1998) estabelecem resultado a respeito do limite de um classe de

problemas de minimizacao. Estes resultados sao aplicados para descrever o comporta-

10

mento assintotico das solucoes do problema eliptıco de Dirichlet em um domınio exterior

Ω de IRN , quando IRN \ Ω torna-se grande. Em(2000), eles estabelecem um resul-

tado de multiplicidade de solucoes quando IRN \ Ω consiste de k componente conexas

“suficientementes grandes”.

Tang(2003) prova a unicidade de solucao radial para o problema semilinear elıptico

∆u(x) − u(x) + u(x)p = 0, com p > 1, sujeita a condicao de fronteira de Dirichlet em

um anel do IRN , para N ≥ 3. Foi feita tambem nesse trabalho uma nova prova para a

unicidade de solucoes positiva do mesmo problema em uma bola finita ou mesmo o espaco

todo.

Ja Daners(2003) caracteriza sequencias de domınios para os quais as solucoes de uma

equacao elıptica com condicao de Dirichlet converge para a solucao do correspondente

problema no domınio limite. Condicoes necessarias e suficientes sao discutidas para con-

vergencia forte e uniforme do correspondente operador resolvente. Varios exemplos sao

dados para ilustrar a maioria dos resultados.

Chen e McKenna(1997), usando um algoritimo numerico que e uma versao construtiva

do Lema de Deformacao estudaram a estabilidade das solucoes do problema

utt + uxx + f(u) = 0,

sendo a nao linearidade de f olhada como u+−1, onde u+ = maxu, 0. Eles resolveram

a questao das solucoes (ondas viajantes) serem estaveis, encontrando solucoes numericas

para o problema.

Chor e McKenna(1993) usam tambem o Teorema do Passo da Montanha para provar

a existencia de pontos crıticos de funcionais nao lineares. Esses funcionais sao tais que

11

seus pontos crıticos sao solucoes de equacoes diferenciais parciais elıpticas. Para aplicar

o Teorema do Passo da Montanha e necessario:

(1) O funcional I(u) deve estar definido em um espaco de Banach B.

(2) Conhecer a existencia de um ponto crıtico e1, o qual e ponto de minimo.

(3) Conhecer a existencia de um outro ponto e2 tal que I(e1) > I(e2).

O teorema estabelece que se considerarmos todos os caminhos que ligam e1 e e2 e

olharmos o ınfimo do maximo do funcional I ao longo desses caminhos, obteremos o valor

crıtico. Nesse trabalho eles mostraram que, quando implementado cuidadosamente, esse

processo conduz a um algoritmo extremamente robusto o qual e globalmente convergente,

e o qual sempre convergira para uma solucao com a requerida propriedade do Teorema

do Passo da Montanha.

No capıtulo dois recordaremos resultados de existencia para o problema (1.4) em

um domınio exterior, usando a formulacao variacional. No capıtulo tres, a existencia de

solucao radial do problema em um anel do IRN . No quarto e ultimo capıtulo, apresentamos

as simulacoes numericas obtidas para a equacao

−u′′(r)− 1

ru′(r) + λu(r) = u(r)2

com a condicao de Dirichlet, quando definida em um intervalo lo ≤ r ≤ Lo.

Capıtulo 2

Problema elıptico em um domınio exterior

Neste capıtulo sera feito um resumo de como se pode provar a existencia de solucao

para o problema (2.1), usando o conceito de categoria de Lusternik-Schnirelman.

2.1 Estabelecimento do problema

Considere o problema

−∆(x) + λ u(x) = (u(x))p−1 em Ω (a)

u(x) > 0 em Ω (b)

u(x) = 0 sobre ∂Ω (c)

(2.1)

sendo Ω um subconjunto do IRN ilimitado, com fronteira regular limitada ∂Ω 6= φ, tal

que IRN \ Ω e limitada, λ ∈ IR+, N ≥ 3 e 2 ≤ p ≤ 2NN−2

.

Pode-se verificar que se u ∈ H10 (Ω) e um ponto crıtico do funcional energia

Eλ : H10 (Ω) → IR definido por

Eλ(u) =∫Ω

1

2(|∇u(x)|2 + λu(x)2)− 1

pu(x)p)dx.

13

restrito a variedade Vp = u ∈ H10 (Ω) : |u(x)|Lp = 1 entao u e solucao da equacao

−∆u(x) + λu(x) = u(x)p−1.

De fato,

Seja F (u, ux1 , ux2 , ..., uxn) =1

2(|∇u(x)|2 + λu(x)2)− 1

pu(x)p

Assim,

Eλ(u) =∫Ω

F (u, ux1 , ux2 , ..., uxn)dx

e entao,

E′

λ(u) · ξ =∫Ω(Fu(u, ux1 , ux2 , ..., uxn) ξ +

N∑i=1

Fuxi(u, ..., uxn) ξxi

)dx

Como u e um ponto crıtico do funcional Eλ , temos que

E′

λ(u) · ξ = 0, ∀ξ ∈ H10 (Ω)

Usando o teorema de Gauss-Green e o fato de ξ ∈ H10 (Ω), obtemos

E′

λ(u) · ξ =∫Ω(Fu −

N∑i=1

∂

∂xi

(Fxi)) · ξdx = 0 ∀ξ ∈ H1

0 (Ω)

Logo Fu −∑N

i=1∂

∂xi(Fuxi

) = 0 e como

F (u, ux1 , ux2 , ..., uxn) =1

2(

N∑i=1

u2xi

+ λu2 )− 1

pup,

temos que Fu = λu − up−1. Por outro lado,

Fuxi= uxi

e∂

∂xi

(Fuxi) = uxixi

.

Assim,

λu − up−1 −N∑

i=1

uxixi= 0

14

Donde

−∆u(x) + λu(x) = u(x)p−1.

Dessa maneira, procurar solucao para o problema (2.1) e equivalente a procurar pon-

tos crıticos do funcional Eλ. Um dos primeiros matematicos a relacionar uma equacao

diferencial a um problema de minimizacao foi Euler no seculo XVIII, que, apos estudar

de forma sistematica problemas que exigiam a minimizacao de uma grandeza associada

a uma famılia de curvas, observou que a curva minimizante deveria satisfazer, em cada

caso, a uma equacao diferencial. Estudando os trabalhos de Euler, Lagrange inventou

um metodo analıtico que chegava ao mesmo resultado, o qual foi chamado de metodo

das variacoes e a equacao diferencial associada ao problema de minimizacao passou a ser

chamada de equacao de Euler-Lagrange. O problema (2.1) foi estudado inicialmente para

domınio limitado. Gidas e outros(1979)provaram a simetria e algumas propriedades das

solucoes do problema. Ambrosetti e outros(1994) combinaram efeitos de termos sublinear

e superlinear para estabelecer alguns resultados de existencia e multiplicidade de solucao.

Smoller e Wasserman(1984) estudaram o problema em uma bola do IRN e obtiveram

resultados de existencia e unicidade de solucao.

Quando Ω e um domınio ilimitado, a existencia de solucao para o problema (2.1)

torna-se um pouco mais difıcil, uma vez que a imersao do espaco H10 (Ω) em Lp(Ω) nao

e compacta. Os estudiosos comecaram a tentar contornar essa dificuldade e obtiveram

resultados de existencia para o problema, supondo que Ω fosse simetrico. Veja por exemplo

Esteban(1982), para o caso em que Ω e o complemento de uma bola, e Strauss(1977) para

outro tipo de simetria.

15

2.2 Notacoes e definicoes

Seja D ⊂ IRN um domınio aberto, denotaremos por H10 (Ω) o espaco de Hilbert obtido

pelo fecho de C∞0 (D) segundo a norma

‖u(x)‖ = (∫Ω|∇u(x)|2 + u(x)2dx)

12

Alem disso, para cada p ∈ (2, 2∗) e λ ≥ 0, denotaremos

m(λ, p, D) = inf∫

D|∇u(x)|2 + λu(x)2dx : u(x) ∈ H1

0 (D), |u(x)|p = 1, (2.2)

Bρ(0) = x ∈ IRN : ‖x− x0‖ < ρ e por ρ = infρ : IRN\Ω ⊂ Bρ(0) .

Se D e uma bola Bρ(x0), prova-se em Gidas(1979) que a funcao que minimiza (2.2)

e esfericamente simetrica em torno do centro x0 e decresce quando a coordenada radial

cresce. E ainda que se ρ1 < ρ2 entao m(λ, p, ρ2) < m(λ, p, ρ1), sendo m(λ, p, Bρ(x0)) =

m(λ, p, ρ).

No caso em que D e todo o IRN , Strauss(1997) e Berestycki(1983) mostram que o

ınfimo m(λ, p, D), e atingido por uma funcao u0(x), a qual e radialmente simetrica em

relacao a um ponto do IRN , decrescendo quando a coordenada radial ρ = ‖x‖ se afasta

desse ponto.

Para finalizar esse paragrafo, daremos a definicao de categoria relativa, que sera

ulilizada nos resultados a seguir

Definicao 2.1 Seja X um espaco topologico, X1 eX2 subconjuntos fechados de X tal que

X2 ⊆ X1.

Nos diremos que a categoria relativa em X de X1 com respeito a X2 e “n” e escrevemos

catX [X1, X2] = n

16

se e somente se “n” e o menor inteiro nao negativo tal que

X1 =n⋃

i=0

Ai, X2 ⊆ A0

tal que, para cada i, Ai e fechado e existe hi ∈ C([0, 1] × Ai, X) que satisfaz as seguintes

condicoes,

(i) hi(0, x) = x, ∀x ∈ Ai, i = 0, 1, 2, ...n;

(ii) ∀ i ≥ 1, ∃ pi ∈ X : hi(1, x) = pi ∀x ∈ Ai

(iii) h0(1, x) ∈ X2, ∀x ∈ A0; h0(t, x) ∈ X2, ∀x ∈ A0 ∩ X2e ∀ t ∈ [0, 1]

2.3 Resultados

Recordaremos nesta secao alguns resultados, que sao encontrados em Cerami(1992) e

em Benci e Cerami(1991) que garantem a existencia de solucao para o problema (2.1).

Vamos assumir que 0 ∈ IRN \ Ω e que exista r ∈ IR+, tal que os conjuntos Ω,

Ω+ = x ∈ IRN : d(x, Ω) ≤ r

Ω− = x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) ≥ 2r

sejam homotopicamente equivalentes.

Para cada u ∈ H10 (IRN), considere β : H1

0 (IRN) −→ IRN definida por

β(u) =

∫IRN χ(x)|u(x)|pdx∫

IRN |u(x)|pdx

sendo χ(x) =

x se; ‖x‖ ≤ R

x‖x‖ se; ‖x‖ ≥ R,

para R = 3ρ

17

Lema 2.1 Para cada p ∈ (2, 2?) fixo, existe λ = λ(p) tal que ∀λ ≥ λ

m(λ, p, r) < 21− 2p m(λ, p, IRN) (2.3)

Prova: Esse lema esta substancialmente contido em Cerami(1992). Vamos fazer alguns

detalhes da demonstracao

Considere a aplicacao injetiva Tλ : H10 (IRN) −→ H1

0 (IRN) definida por

[Tλ(u)](x) = λ−N2p u(

x√λ

) (2.4)

E possıvel mostrar que

|Tλ(u)| Lp (B√λr

(0)) = |u(x)|Lp(Br(0))

e que

∫B√

λr(0)

( |∇Tλ(u)|2 + |Tλ(u)|2 )dx =1

λ1−(N2−N

p)

∫Br(0)

( |∇u(x)|2 + λu(x)2)dx

Assim

m(λ, p, r) = λ1−( 2N−N

p) m(1, p,

√λ r)

Analogamente e possıvel verificar que

m(λ, p, IRN) = λ1−( 2N−N

p) m(1, p, IRN)

Entao, provar (2.3) e equivalente a mostrar que

∃ λ : ∀ λ ≥ λ m(1, p,√

λ r) ≤ m(1, p, IRN)

e essa relacao segue, pois

limρ→∞

m(λ, p, ρ) = m(λ, p, IRN)

18

Lema 2.2 Para cada p ∈ (2, 2?) dado, seja

σ(λ) = infEλ(u) : u ∈ H10 (Ω), |u(x)|p = 1 e β(u) 6∈ Ω+

entao

limλ→∞

σ(λ)

m(λ, p, r)> 1 (2.5)

Prova: A demonstracao e feita por contradicao. Considere (λn)n∈IN uma sequencia que

tenda para o infinito e tal que

limn→∞

σ(λn)

m(λn, p, r)= α ≤ 1.

Pela definicao de σ(λ) , existe uma sequencia de funcoes un ⊂ H10 (Ω) com |un|p =

1 e que β(un) 6∈ Ω+ tal que

limn→∞

σ(λn)

m(λn, p, r)= α ≤ 1.

Portanto, usando a aplicacao Tλn definida em (2.4), deduzimos

limn→∞

∫√λnΩ(|∇Tλn(un)|2 + |Tλn(un)|2)dx

m(1, p,√

λnr)= α ≤ 1.

Por outro lado,

|Tλ n(un) |Lp(IRN ) = |Tλ n(un) |Lp(√

λ nΩ) = 1 e

∫√λ nΩ( |∇Tλ n(un)|2+|Tλ n(un)|2)dx =

∫IRN ( |∇Tλ n(un)|2+|Tλ n(un)|2)dx > m(1, p, IRN)

Daı, concluimos que α = 1 e que

∫IRN

( |∇Tλ n(un)|2 + |Tλ n(un)|2)dx → m(1, p, IRN).

Como Tλ n(un) = 0 em IRN \ Ω, ∀n

∫Ω( |∇Tλ n(un)|2 + |Tλ n(un)|2)dx → m(1, p, Ω).

19

Mas e possıvel provar que m(1, p, Ω) = m(1, p, IRN) e que Tλ(un) = ωn(x) + Ψ1(x −

yn) sendo que ωn e uma sequencia em H10 (IRN), convergindo fortemente para Ψ1 ∈

H10 (IRN), a qual e uma funcao positiva esfericamente simetrica em torno da origem, que

minimiza m(1, p, IRN) e yn ⊂ IRN e tal que ‖ yn ‖IRN →∞, veja Benci(1987).

Dessa maneira provam-se as seguintes relacoes,

(i) dist(χ(yn√λn

, Ω)n→∞−→ 0

(ii) ‖β(un)− χ(yn√λn

)‖ n→∞−→ 0

Donde concluımos que dist(β(un), Ω)n→∞−→ 0, contradizendo a hipotese de β(un) 6∈

Ω+.

Corolario 2.1 Para cada p ∈ (2, 2∗), existe λ = λ(p) tal que, para todo λ ≥ λ.

m(λ, p, r) < 21− 2p m(λ, p, Ω)

e se , u ∈ Vp, Eλ(u) ≤ m(λ, p, r) ⇒ β(u) ∈ Ω+

Prova: O colorario e uma consequencia dos lemas (2.1) e (2.2) e da identidade m(λ, p, Ω) =

m(λ, p, IRN).

Lema 2.3 Para cada p ∈ (2, 2∗) fixo, λ > 0 e ρ > 0 seja

µ(λ, p, ρ) ≡ inf∫Ω( |∇u |2 + λ u2) dx : u ∈ H1

0 (Ω), ‖u ‖p = 1 e ‖ β(u) ‖ < ρ

Entao para cada ρ < R

µ (λ, p, ρ) > m(λ, p, Ω) (2.6)

20

Prova: Para ρ ∈ ( 0, R ) fixo, temos pela definicao de µ (λ, p, ρ) que

µ (λ, p, ρ) ≥ m(λ, p, Ω) = m(λ, p, IRN).

Para provar (2.6) argumentamos por contradicao e para isso assumimos que

µ (λ, p, ρ) = m (λ, p, IRN).

Entao existe uma sequencia de funcoes un tal que un ∈ Vp, ‖ β(un) ‖ < ρ e

Eλ(un)n→∞−→ m(λ, p, IRN)

Sabemos de Benci(1991), secao 3, que un(x) = ωn(x) + Ψλ(x − yn), sendo ωn ⊂

H10 (IRN) , uma sequencia convergindo fortemente para 0 em H1

0 (IRN), yn ⊂ IRN tal

que ‖ yn ‖ → ∞ e sendo Ψλ ∈ H10 (IRN) uma funcao positiva esfericamente simetrica

em torno da origem, tal que |Ψλ |Lp = 1 e∫IRN ( |∇Ψλ |2 + λ |Ψλ |2) dx = m(λ, p, IRN).

Prova-se que ‖β(Ψλ(x − yn))‖ n→∞−→ R, e usando o fato de que ωnn→∞−→ 0

fortemente em H10 (IRN), e ainda ser β contınua em H1

0 (IRN), deduz-se que

‖β(un)‖ n→∞−→ R contradizendo a hipotese de que ‖β(un)‖ < ρ < R.

Corolario 2.2 Para cada p ∈ ( 2, 2∗ ) e para λ > λ(p) existe um numero τ(λ) > 2r

tal que ∀ τ ≥ τ(λ)

u ∈ Vp, Eλ(u) ≤ m(λ, p, r) ⇒ β(u) ∈ IRN \ B2 ρ(0)

Prova: Como 2 ρ < R = 3 ρ, temos de (2.6) que,

µ(λ, p, 2 ρ) > m(λ, p, Ω) = m(λ, p, IRN),

assim β(u) ∈ IRN \B2 ρ(0) e uma consequencia de

m(λ, p, IRN) = limτ→∞

m(λ, p, τ) e m(λ, p, ρ1) < m(λ, p, ρ2) para ρ1 > ρ2

21

Teorema 2.1 Existe uma funcao

λ : (2, 2∗) → IR+

tal que ∀λ ≥ λ(p) o problema (2.1) possui pelo menos catΩ[ Ω, IRN \ Bρ(0) ] solucoes

distintas.

Daremos aqui a ideia da prova, que pode ser encontrada em Cerami(1992). A prova

do teorema e feita mostrando-se que o funcional

Eλ( u ) =∫Ω( |∇u(x) |2 + λ u(x)2 ) dx

restrito a Vp = u ∈ H10 ( Ω ), |u |p = 1 satisfaz a hipotese do teorema que enunciaremos

a seguir.

Teorema 2.2 Seja M uma variedade Riemaniana completa e f ∈ C1( M, IR ). Defina

f c = u ∈ M ; f(u) ≤ c Kc = u ∈ M ; f(u) = c, (∇ f |M )( u ) = 0

Considere −∞ < a′

< a < b < b′

< ∞ e suponha que f satisfaz a condicao de

Palais-Smale no conjunto u ∈ M ; f( u ) ∈ ( a′, b

′) e Ka = Kb = ∅. Entao

# u ∈ M ; f( u ) ∈ [ a, b, ], (∇ f |M )( u ) = 0 ≥ catfb [ f b, fa ].

Sendo entendido que a funcao f satisfaz a condicao de Palais-Smale (PS) se toda susessao

(un) tal que f(un) e limitada e f ′(un) → 0 possui uma subsequencia convergente.

Prova: Primeiramente prova-se, usando multiplicadores de Lagrange, que todo ponto

crıtico u de Eλ |Vp cuja energia Eλ( u ) ≤ m( λ, p, Ω ) e uma funcao que nao muda de

sinal.

22

Alem disso para cada p ∈ ( 2, 2∗ ) fixo, os colorarios (2.1), (2.2) garantem a existencia

de λ( p ) e τ ( λ ) > 2r tal que ∀ λ ≥ λ( p ) e τ ≥ τ( λ )

m( λ, p, r ) < 21− 2p m( λ, p, Ω)

Se u ∈ Vp; Eλ( u ) ≤ m( λ, p, r ) ⇒ β( u ) ∈ Ω+

Se u ∈ Vp; Eλ( u ) ≤ m( λ, p, τ ) ⇒ β( u ) ∈ IRN \ B2 ρ ( 0 )

Escolha τ ≥ τ( λ ) e r ∈ [ r, 2r ] de maneira que

u ∈ Vp : Eλ( u ) = m( λ, p τ ), (∇Eλ|Vp )( u ) = 0 = ∅

u ∈ Vp : Eλ( u ) = m( λ, p r ), (∇Eλ|Vp )( u ) = 0 = ∅

Observe que essa escolha sempre e possıvel , pois caso contrario terıamos infinitos pontos

crıticos cuja energia varisse no intervalo ( m( λ, p, Ω ), 21− 2p m( λ, p Ω )).

E possıvel mostrar que a condicao de Palais-Smale e verificada no conjunto

u ∈ Vp : m( λ, p, Ω ) < m( λ, p, τ ) < 21− 2p m( λ, p, Ω )

e assim aplicando o teorema (3.2), o funcional Eλ tem em Vp pelo menos

catE

m( λ, p, r)λ

[ Em( λ, p, r)λ , E

m( λ, p, τ)λ ] pontos crıticos cuja energia e menor que m( λ, p, r).

Para completar a prova, mostra-se que

catE

m( λ, p, r)λ

[ Em( λ, p, r)λ , E

m( λ, p, τ)λ ] ≥ catΩ [ Ω, IRN \Bρ(0) ] = catΩ+ [ Ω, IRN \BR+τ ( 0 ) ]

sendo que a utima igualdade e uma consequencia da homotopia entre os conjuntos Ω+, Ω−

e Ω e os conjuntos IRN \Bρ( 0 ) IRN \BR+τ ( 0 ) com R ≥ R.

Capıtulo 3

Solucao radial em um anel do IRN

A ideia trabalhada nesse capıtulo e bem diferente daquela no capıtulo anterior e im-

portante para o que sera desenvolvido no capıtulo seguinte, pois permite transformar um

problema numerico N-dimensional em um unidimensional.

Como ja vimos no primeiro capıtulo, a existencia de solucao positiva para o problema

∆u(x) + G(u(x)) = 0 em Ω, (3.1)

u(x) = 0 em ∂Ω, (3.2)

definido em um anel Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0 , pode ser provada de varias

maneiras. Como nosso interesse e em solucoes radiais, vamos recordar nesse capıtulo

alguns resultados que serao importantes para a construcao da solucao numerica, em cujas

demostracoes, o fato de ser radial a solucao foi levado em consideracao.

3.1 Resultados e definicoes

Vamos definir funcao radial e demonstrar que uma solucao radial u(x) da equacao

diferencial (3.1) nos conduz a uma solucao u(r) = u(x), para r = ||x||, da seguinte

24

equacao diferencial ordinaria,

u′′(r) +N − 1

ru′(r) + G(u(r)) = 0. (3.3)

Definicao 3.1 Uma funcao u(x) e dita radial se satisfz a condicao: para quaisquer dois

vetores x1, x2 tais que ||x1|| = ||x2|| ⇒ u(x1) = u(x2).

Proposicao 3.1 Seja u(x) uma solucao positiva radial do problema

∆u(x) + G(u(x)) = 0 (3.4)

Entao u(r) = u(x), com r = ‖x‖, e solucao da equacao diferencial ordinaria

u′′(r) +N − 1

ru′(r) + G(u(r)) = 0 (3.5)

Prova: Seja u(x) uma solucao radial do problema (3.4). Como u(x) = u(r) para

r = ‖x‖ =√

x21 + x2

2 + ... + x2N temos que

∂u(x)

∂xi

=u′(r)xi√

x21 + x2

2 + ... + x2N

e∂2u(x)

∂x2i

=u′′(r)x2

i

r2+

u′(r)

r− u′(r)x2

i

r3.

Sendo ∆u(x) =N∑

i=1

u2xixi

, temos que

∆u(x) =N∑

i=1

u′′(r)x2i

r2+

N∑i=1

u′(r)

r−

N∑i=1

u′(r)x2i

r3.

Como r2 =∑N

i=1 x21 + x2

2 + ... + x2N , a equacao anterior se reduz a forma

∆u(x) =u′′(r)r2

r2+

Nu′(r)

r− u′(r)r2

r3

Ou melhor

∆u(x) = u′′(r) +(N − 1)

ru′(r)

25

Assim, u(r) = u(x) e solucao da equacao (3.5), isto e,

u′′(r) +(N − 1)

ru′(r) + G(u(r)) = 0.

Analogamente e possıvel provar que se u(r), com r = ||x||, e solucao da equacao diferen-

cial ordinaria (3.5) entao funcao radial u(x) = u(r) tambem e solucao do problema

(3.4).

Nos teoremas que recordaremos a seguir, temos resultados de existencia de solucao

radial positiva para o problema (3.1) definido em um anel do IRN , com condicao de

fronteira de Dirichlet, assim como resultados de nao existencia.

Teorema 3.1 Seja l0 > 0. Dado N ≥ 2 e G uma funcao real contınua satisfazendo,

(i) existe A ≥ 0, tal que F (u) ≤ 0 para u < A e G(u) > 0 para u > A, sendo

F (s) =∫ s0 G(s)ds,

(ii) G(u) = O(uk) quando u → +∞ e k > −1

Entao, existem L′0s, tal que o problema (3.1)-(3.2) tem solucao radial e positiva

quando definido no anel Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0 .

Teorema 3.2 Seja l0 > 0. Dados N ≥ 2 e G(u) uma funcao como no teorema (3.1),

seguem as seguintes afirmacoes:

Assuma A > 0.

(i) Se G(0) < 0 e k < 1 ou G(0) = 0 e k ≤ 1, existem constantes C1 ≤ C2 tais

que existe uma solucao positiva radial do problema (3.1)-( 3.2) quando L0 − l0 ≥ C2 e

solucao nao radial quando L0 − l0 < C1.

(ii) Se G(0) < 0 e k = 1, existem constantes C1 ≤ C2 < C3 ≤ C4 tais que existe

uma solucao positiva radial para o problema (3.1)-(3.2) quando C3 > L0 − l0 > C2 e

26

solucao nao radial quando L0 − l0 < C1 ou L0 − l0 > C4.

(iii) Se G(0) < 0 e k > 1, existem constantes C1 ≤ C2 tais que existe uma solucao

radial positiva para o problema (3.1)-(3.2) quando L0 − l0 ≤ C1 e nao radial quando

L0 − l0 > C2.

(iv) Se G(0) = 0 e k > 1, existe solucao positiva radial para o problema (3.1)-(3.2)

para todo L0 > l0.

Assuma A = 0 e defina f0 = lims→0 G(s)/s.

(v) Se f0 = 0 e k ≤ 1 ou f0 < +∞ e k < 1, existe uma constante C > 0 tal

que existe uma solucao radial positiva para o problema (3.1)-(3.2) se L0 − l0 > C e nao

radial para L0 − l0 < C.

(vi) Se 0 < f0 < +∞ e k = 1, existem constantes 0 < C1 ≤ C2 tais que existe

solucao positiva radial para o problema (3.1)-(3.2) se C1 < L0 − l0 < C2 e nao radial se

L0 − l0 < C1 ou L0 − l0 > C2.

(vii) Se 0 < f0 < +∞ e k > 1 ou f0 = +∞ e k ≥ 1, existe uma constante C > 0

tal que existe solucao positiva radial para o problema ( 3.1)-(3.2) se 0 < L0 − l0 < C e

nao radial se L0 − l0 > C.

(viii) Se f0 = 0 e k > 1 ou f0 = +∞ e k < 1, existe solucao positiva radial para

o problema (3.1)-(3.2) para todo L0 > l0.

O teorema que vamos recordar agora foi um dos resultados que nos motivou a tentar

construir inicialmente uma solucao numerica para um problema definido em um domınio

exterior, uma vez que ele garante a existencia de uma solucao radial do problema (3.1)-

(3.2) definido no complemento de uma bola, isto e, Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ > l0 > 0 e ainda

que a solucao tende para zero a medida que ||x|| → ∞. No entanto, as nossas tentativas

27

numericas nao nos conduziram a nenhum resultado.

Teorema 3.3 Se G(0) = 0 e F (A) < 0, entao existe uma solucao positiva radial para

o problema definido no domınio exterior,

∆u(x) + G(u(x)) = 0, x ∈ Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ > l0 > 0

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω

e

u(x) → 0 quando ‖x‖ → +∞

As demonstracoes dos teoremas anteriores nao sao feitas diretamente. Na realidade,

usa-se a proposicao (3.1) para transformar o problema (3.1)-(3.2) no seguinte problema

de equacao diferencial ordinaria

u′′(r) +(N − 1)

ru′(r) + G(u(r)) = 0, l0 < r < L0 (3.6)

u(l0) = 0 u(L0) = 0 (3.7)

o qual e usado para mostrar a existencia de solucao do problema em questao.

Uma analise do retrato de fase do problema (3.6)-(3.7) mostra que existe um unico

R0 tal que u′(R0) = 0 e assim u′(r) > 0 para l0 < r < R0 e u′(r) < 0 para

R0 < r < L0, como podemos observar nas figuras (3.1) e (3.2).

Uma das maneiras de se demonstrar a existencia de uma solucao positiva para o

problema (3.1)-(3.2) e mudar um pouco o objetivo do problema. Primeiramente resolve-

se o sistema de equacao diferencial

u′(r) = v(r) (3.8)

28

Figura 3.1: Retrato de fase Figura 3.2: Solucao

v′(r) = −(N − 1)

rv −G(u(r)) r > l0 (3.9)

com as seguintes condicoes iniciais

u(l0) = 0 v(l0) = α (3.10)

e, depois, com a solucao (u(r), v(r)) do sistema, procura-se o menor L0(α) tal que

u(L0(α)) = 0, e assim e possıvel garantir a existencia de solucao do problema (3.1)-(3.2)

no anel Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0(α) . Para isso foi preciso introduzir um novo

parametro, a velocidade inicial α. Sera com essas ideias que trabalharemos no capıtulo

seguinte, na procura de uma solucao numerica.

Definindo a funcao energia H(r) por

H(r) =v(r)2

2+ F (u(r)) (3.11)

temos que, sobre a trajetoria de (3.8)-(3.9), a energia H e decrescente. Usando esse

fato e possıvel mostrar que se u(r) e solucao do problema (3.6)-(3.7), entao o valor de

maximo da solucao p > A, ou melhor, p = maxu(r) : l0 < r < L0 > A.

29

Para o que sera feito a seguir, algumas hipoteses adicionais serao necessarias sobre G.

G e uma funcao real contınua definida em IR+ a qual satisfaz:

∃ A ≥ 0 tal que F (u) ≤ 0 se 0 ≤ u < A e G(u) > 0 se u > A (3.12)

∃ consts b, d1, d2 > 0 e k > −1 tais que para u ≥ b entao d1uk ≤ G(u) ≤ d2u

k. (3.13)

Vamos estudar um pouco a trajetoria de (3.8)-(3.9). Vejamos que ela alcanca o maximo

(u(R0)) e entao que, a partir daı, e possıvel encontrar L0(α).

Proposicao 3.2 Seja G satisfazendo (3.12). Defina e = maxG(u) : u ≤ A. Entao,

se α > 2(N−2)Al0

+ (3N−7)l0eN

, existe t1 tal que u(t1) = A e

t1 ≥ l0( 1 + O(1/α)). (3.14)

E ainda

v(t1) ≥ α( 1 + O(1/α)). (3.15)

Observe que, quando A = 0, basta considerar t1 = l0 e v(t1) = α. Ja no caso de

A > 0 a prova e feita por contradicao.

Proposicao 3.3 Seja G satisfazendo (3.12), (3.13). Se α > 2(N−2)Al0

+ (3N−7)l0eN

, existe

um R0 > t1 tal que v(R0) = 0.

Como v(t1) > 0, existe ε > 0 de maneira que v(tε) > 0 e u(tε) = A + ε para

tε = t1 + ε. Alem disso, usando a condicao de ser decrescente a funcao energia e as

hipoteses da proposicao, e possıvel mostrar que v(r) tende para −∞ quando r cresce.

Assim garantimos a existencia de R0 tal que v(R0) = 0. Como podemos observar, R0

depende de α, assim escreve-se R0(α).

30

Proposicao 3.4 Se existe um R0(α) tal que para (u(r), v(r)) satisfazendo (3.12) e

(3.13) nos temos v(R0(α)) = 0 e u(R0(α)) = p > A entao

p(α) → +∞ α → +∞.

Supondo que G satisfaca (3.13), vamos comentar um pouco as limitacoes de R0(α)

para grandes valores de α, isto e, valores tais que p(α) > b. Seja tb tal que u(tb) = b

e v(tb) ≥ 0.

Proposicao 3.5 Se k > −1, entao existe uma constante C > 0 tal que

R0 − tb < Cp(1−k)/2.

Proposicao 3.6 Assuma que G satisfaz (3.13), seja M(b) = maxG(u) : u ≤ b.

Entao se α > 2(N−2)bl0

+ (3N−7)l0M(b)N

, existe um tb tal que u(tb) = b e

tb ≤ l0( 1 + O(1/α)). (3.16)

Temos tambem que

v(tb) ≥ α( 1 + O(1/α)).

Corolario 3.1 Se k > 1, entao para grandes α, R0 − l0 ≤ O(1/α).

Os resultados a seguir mostram a existencia de trajetorias de (3.8)-(3.9) com condicoes

iniciais

u(R0) = p, v(R0) = 0 (3.17)

tais que existe um R satisfazendo u(R) = 0, como vemos na figura (3.3).

Lema 3.1 Suponha que 0 < m(p) ≤ G(u) ≤ M(p), quando B ≤ u ≤ p. Entao para

toda trajetoria (u(., p), v(., p)) de (3.8)-(3.9), existe T > R0 com u(T, p) = B.

31

Figura 3.3: Retrato de fase

O valor de B e escolhido de maneira que F (B) ≥ b. Definimos q = v(T ), sendo

como antes u(T ) = B > A.

Lema 3.2 Se k ≥ 0, entao existe C > 0 de modo que | − q/T | ≥ C independente de

α, para grandes valores de α.

O teorema que enunciaremos a seguir pode ser encontrado em Smoller(1984) e assegura

a existencia de solucao do problema quando k ≥ 0.

Teorema 3.4 Suponha que G(u) ≥ m ≥ 0 para u ≥ B. Entao

(i) para todo p > B, existe um T > R0 tal que u(T, p) = B;

(ii) seja q=v(T,p), se −qT → +∞ quando p → +∞, entao o problema (3.6)-(3.17)

tem solucao com R = R(p).

Na demonstracao do teorema verifica-se que T depende de p e R0. Portanto algumas

vezes escreveremos T = T (p), mas como R0 = R0(α) e p = p(α) temos tambem

T = T (α).

Lema 3.3 Se k ≥ 1, existe uma constante C > 0 tal que

T −R0 ≤ CB(1−k)/2.

32

Lema 3.4 Para p ≥ 2B, u(R0) = p, defina τ(p) por u(τ(p)) = p/2. Entao

τ(p) ≥ (Cp1−k + R20)

1/2.

Teorema 3.5 Suponha G satisfazendo (3.12) e (3.13) com k ≥ 0. Entao existe solucao

de (3.6)-(3.7) com R = R(α) (ouR(p)).

E importante ressaltar alguns resultados relacionando o comportamento de R(α) para

grandes valores de α, ou seja quando p(α) > b e tambem para “pequenos” valores de α,

significando α limitado.

Proposicao 3.7 Seja G satisfazendo (3.12) e (3.13) com k ≥ 1. Dado α∗ suficiente-

mente grande, existe um constante C > 0 tal que R(α) ≤ C para α > α∗.

Lema 3.5 v(R(α)) →∞ quando α → +∞.

Lema 3.6 Se A > 0 e G(0) = 0, entao dado qualquer M podemos achar um α tal

que R(α) existe e R(α) > M.

Lema 3.7 Se k > 1, para ε > 0, existe um α tal que R(α) existe e R(α)− l0 < ε.

Proposicao 3.8 Se, alem deG satisfazer (3.12) e (3.13), G satisfaz tambem

F (A) < 0.

entao, dado um α∗ > 0, existe uma constante δ = δ(G, α∗) tal que se (u(., α), v(., α))

e uma trajetoria de (3.8)-(3.9) com H(R0) ≥ 0 e α < α∗, entao t1 − l0 ≤ δ.

Note que a proposicao (3.8) e sempre verdade para as solucoes do problema (3.6)-(3.7).

Para encerrar este capıtulo vamos demonstrar o teorema que garante a existencia de

solucao do problema (3.1)-(3.2) em um domınio exterior.

33

Teorema 3.6 Se G(0) = 0 e F (A) < 0, entao existe um solucao positiva radial para

o problema exterior,

∆u(x) + G(u(x)) = 0, x ∈ Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ > l0 > 0

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω

e

u(x) → 0 quando ‖x‖ → +∞

Prova: Pelo teorema (3.1) sabemos da existencia de um solucao positiva radial para

o problema (3.6)-(3.7). Pela ultima proposicao, se existe uma solucao para o problema

(3.6)-(3.7) entao t1− l0 e limitada. Tambem pela continuidade do fluxo, se α e pequeno,

entao t1 e muito grande; isto e, para todo ε0 > 0 existe ε tal que se α < ε, entao

|u(1/ε, 0)− u(1/ε, α)| ≤ ε0.

Entao, concluımos a existencia de um valor α0 tal que se α ≤ α0 entao α 6∈ S

(S = α > 0 : ∃R(α) < ∞). Defina α1 = infα : (α, +∞) ⊂ S.

Temos que α1 6∈ S , portanto ha somente uma possibilidade (u(r, α), v(r, α)) → (0, 0)

quando r → +∞ com u(r, α1) > 0 quando l0 < r < +∞; isto e, u(r, α1) e um

solucao para o problema exterior.

Capıtulo 4

Aproximacao numerica da solucao

Neste capıtulo estamos interessados em construir uma aproximacao numerica da solucao

do problema

∆u(x) + G(u(x)) = 0 em Ω (a)

u(x) > 0 em Ω (b)

u(x) = 0 sobre ∂Ω (c)

(4.1)

Como sabıamos da existencia de solucao para o problema (4.1) definido em um anel

do RN , Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0 e tambem da existencia de solucao para

o problema definido no domınio exterior Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ > l0 > 0, a primeira

ideia que tivemos, foi a de construir uma solucao numerica no anel Ω e depois a partir

desse resultado, obter uma solucao numerica do problema no domınio exterior Ω, usando

para isso todas as informacoes e propriedades utilizadas nas demonstracoes dos teoremas

citados nos capıtulos anteriores, que garantem a existencia de solucao dos problemas. E, a

medida do possıvel, validar tais propriedades. No entanto, apareceram varias dificuldades,

como por exemplo, o fato de a solucao do problema linear associado so possuir a solucao

35

nula, o que impossibilitou de utiliza-la na obtencao da solucao do problema nao linear.

Esta e outras dificuldades serao detalhadas no decorrer deste capıtulo. Em funcao dessas

dificuldades, o nosso primeiro objetivo que era a construcao de uma solucao numerica

no domınio exterior Ω = x ∈ IRN : ‖x‖ > l0 > 0, nao foi possıvel de ser atingido e

dessa maneira so estamos apresentando os resultados numericos obtidos para o problema

definido no anel Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0.

Na procura de uma solucao numerica, foi importante a solucao do problema ser radial,

pois com isto foi possıvel, como ja vimos anteriormente, transformar o problema (4.1),

definido no anel Ω no seguinte problema de equacao diferencial ordinaria

u′′(r) + (N−1)r

u′(r) + G(u(r)) = 0 para 0 < l0 ≤ r ≤ L0 (a)

u(r) > 0 para 0 < l0 < r < L0 (b)

u(l0) = 0 u(L0) = 0 (c)

(4.2)

porque assim estariamos trabalhando com um problema de uma dimensao.

Escolhemos a funcao G(u) = u(r)2 − λu(r), sendo λ ∈ IR+∗ , para a construcao de

uma solucao numerica do problema. Primeiramente, porque dessa maneira, estariamos

resolvendo a equacao (2.1), para p = 3, e o nosso objetivo inicial era construir uma solucao

numerica em um domınio exterior. E depois porque a funcao satisfaz todas as hipoteses,

que serao relembradas a seguir, dos teoremas (3.1), (3.2) e (3.6).

As hipoteses dos teoremas de existencia sao: G(0) = 0,

G(u) = O(uk) quando u →∞ para k = 2

Para A = (3/2)λ, F (u) ≤ 0 para u < A e G(u) > 0 para u > A, sendo

F (s) =∫ s0 G(t)dt.

36

Cabe ainda lembrar que a funcao G(u) satisfaz as seguintes hipoteses adicionais:

G e uma funcao contınua definida em IR+;

Para A = (1.4)λ, temos que , F (u) ≤ 0 se 0 ≤ u < A e G(u) > 0, se u > A;

Para b = 2, d1 = 12, d2 = 1 e k = 2 temos que d1u

k ≤ G(u) ≤ d2uk para u ≥ b.

A figura (4.1) mostra o grafico da funcao G(u), para diferentes valores de λ.

Figura 4.1: Grafico da funcao G(u) para λ = 1/2, 1 e 2.

Considerando N = 3, a equacao (4.2)-(a) passa a ser escrita na forma

−u′′(r)− 2

ru′(r)− u(r)2 + λu(r) = 0, (4.3)

que e a equacao da qual estaremos estudando a solucao numerica.

4.1 Formulacao Variacional

Como nosso interesse e usar o metodo dos elementos finitos e ele nao e aplicavel direta-

mente ao problema (4.3), e necessario expressar o problema numa forma mais conveniente

e entao aplicar o metodo de Galerkin.

37

Seja D(Ω) = v(r) ∈ C∞0 ; v(∂Ω) = 0 o espaco das funcoes testes com suporte

compacto em Ω e ( · ) o produto interno em um espaco de funcoes definido por

(u(r) · v(r)) =∫ L0

l0u(r)v(r)dr.

Fazendo f(u(r)) = 2ru′(r) + u(r)2 − λu(r), a equacao (4.3) assume a forma

−u′′(r) = f(u(r)) (4.4)

Multiplicando a equacao (4.4) por v(r) ∈ D(Ω) e integrando no intervalo (l0, L0)

obtemos

−∫ L0

l0u′′(r)v(r)dr =

∫ L0

l0f(u(r))v(r)dr ∀v ∈ D(Ω).

Integrando por partes o lado esquerdo da identidade acima e usando a condicao de fron-

teira v(l0) = v(L0) = 0, encontramos

∫ L0

l0u′(r)v′(r)dr =

∫ L0

l0f(u(r))v(r)dr ∀v ∈ D(Ω).

Como D(Ω) e denso em V = H10 (Ω), a igualdade tambem e valida para todo v ∈ V.

Portanto a formulacao variacional do problema (4.4), com a condicao de fronteira de

Dirichlet, pode ser escrita na forma

(u′(r) · v′(r)) = (f(u(r)) · v(r)) ∀v ∈ V (4.5)

4.2 Metodo de Galerkin

O metodo de Galerkin consiste em aproximar o espaco de solucoes por um subespaco

de dimensao finita. Para aproximar tal espaco, definimos um subespaco Vn, gerado pelos

38

n primeiros elementos linearmente independente de uma base do espaco de Hilbert H10 (Ω).

Uma escolha classica, e usar as autofuncoes do operador D = −∆u(x) como base.

Assim, buscamos uma solucao aproximada uh = uh(r) do problema (4.5) no subespaco

Vn, sendo

Vn = [ϕ1, ϕ2, ..., ϕn].

Problema Aproximado

Aproximamos o problema (4.5) por

(u′h(r) · v′(r)) = (f(uh(r)) · v(r)) ∀v ∈ Vn (4.6)

sendo

uh(r) =n∑

j=1

ξjϕj(r), ϕj ∈ Vn (4.7)

a solucao aproximada de u = u(r). Para determinar uma solucao aproximada uh(r) ∈ Vn

e necessario determinar os coeficientes ξj.

4.3 Metodo dos Elementos Finitos

No metodo dos elementos finitos, veremos a seguir que a escolha da base e feita de

uma maneira bem intuitiva e eficiente, para que a matriz do sistema que aparece no

desenvolvimento do problema seja uma matriz com muitos elementos nulos, obedecendo

uma certa ordem. Este tipo de matriz e denominada matriz esparsa e o sistema linear

resultante, cuja matriz dos coeficientes seja deste tipo, em geral e bem condicionado.

Escolhendo n pontos ri no intervalo (l0, L0) e possıvel dividir o intervalo em (n+1)

subintervalos de comprimentos hi = ri − ri−1, para i = 1, ..., n + 2, sendo ro = lo e

39

Figura 4.2: Particao de intervalo (lo, Lo)

rn+1 = Lo, como podemos ver na figura (4.2). Utilizando os pontos escolhidos, vamos

construir uma base de funcoes lineares por partes ϕi , a fim de aproximar as funcoes

f(r), u(r) e v(r) por combinacoes lineares. Para i = 1, 2, ..., n defina ϕi da seguinte

maneira:

ϕi(r) =

0 se (r ≤ ri−1) ∪ (r ≥ ri+1)

rhi− ri−1

hise r ∈ [ri−1, ri]

− rhi+1

+ ri+1

hi+1se r ∈ [ri, ri+1]

(4.8)

cujos graficos sao vistos na figura (4.3), para n = 5 e quando os comprimentos dos

subintervalos sao todos iguais, isto e, hi = h e ainda definidas no intervalo escolhido

(3.6, 14.6).

Figura 4.3: Grafico de ϕi para i = 1, ..., 5.

Analisando os graficos das figuras (4.4) e (4.5), para uma funcao f arbitraria, pode-

mos entender melhor como vamos usar as funcoes da base ϕii=1..n para aproximar uma

funcao. Se fh(r) e a aproximacao da funcao f(r) no subespaco Vn, podemos observar

40

Figura 4.4: Funcao f. Figura 4.5: Aproximacao da funcao f.

atraves dos graficos acima, que quanto maior for o numero de pontos escolhidos no inter-

valo (lo, Lo), melhor sera a aproximacao da funcao f = f(r) e ainda que ela pode ser

escrita como combinacao linear das funcoes ϕi da seguinte forma

fh(r) =n∑

j=1

f(rj)ϕj(r)

Assim, denotando fh(uh(r)) = fh(r) na equacao (4.6), o problema aproximado passa

a ser escrito como encontrar uh(r) que satisfaca a equacao

(u′h(r) · v′(r)) = (fh(r) · v) ∀v ∈ Vn (4.9)

Como uh e a solucao aproximada e

uh(r) =n∑

j=1

ξjϕj(r),

sendo ξ ∈ IRN o vetor dos coeficientes de uh, isto e, ξj = uh(rj) para j = 1, ..., n e

a equacao (4.9) valida para todo v ∈ Vn, sera, em particular, valida para v = ϕi com

i = 1, 2, ..., n. Assim obtemos n equacoes

(u′h(r) · ϕ′i(r)) = (fh(r) · ϕi(r)), i = 1, 2..., n.

41

Como u′h(r) =∑n

j=1 ξjϕ′j(r), as equacoes assumem a forma

(n∑

j=1

ξjϕ′j · ϕ′i ) = ( fh · ϕi ), i = 1, 2, ..., n

Denotando bi = (fh ·ϕi), o sistema de n equacoes e n incognitas passa a ser escrito

da seguinte maneira

n∑j=1

ξj (ϕ′j · ϕ′i) = bi, i = 1, 2, ..., n

Portanto, para i fixo, temos

ξ1ai1 + ξ2ai2 + ... + ξnain = bi

com aij = (ϕ′i · ϕ′j).

Note que, quando i varia de 1 a n,∑n

j=1 ξj(ϕ′j · ϕ′i) representa o produto da

matriz

Ao =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

pelo vetor ξ =

ξ1

ξ2

...

ξn

.

Substituindo fh(r) =∑n

j=1 f(rj)ϕj(r) em bi = (fh · ϕi), temos que

bi = (n∑

j=1

f(rj)ϕj(r) · ϕi(r)) =n∑

j=1

f(rj)(ϕj(r) · ϕi(r))

e assim, o vetor b = ( b1, b2, b3, ..., bn)t e o produto da matriz

Bo =

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

......

. . ....

bn1 bn2 · · · bnn

pelo vetor f =

f1

f2

...

fn

42

com bij = (ϕi · ϕj). Portanto, encontrar uh que seja solucao do problema (4.9) e

equivalente a encontrar o vetor ξ que satisfaca o sistema

Ao ξ = b

De acordo com a escolha feita para as funcoes testes ϕi e sendo aij = (ϕ′i, ϕ′j) e

bij = (ϕi, ϕj) temos que, as matrizes Ao e Bo sao simetricas e ainda que para j ≥ i + 2

aij = bij = 0.

Calculo dos termos da matriz Ao e da matriz Bo

O calculo dos termos nao nulos da matriz Ao e da matriz Bo e feito diretamente e

temos dois casos possıveis: i = j e i = j − 1.

Tomando o comprimento de todos os subintervalos hj iguais, isto e, hj = h, temos

que os termos da matriz Ao diferentes de zero sao: ajj = (ϕ′j · ϕ′j) = 2h

e aj−1j =

= ajj+1 = (ϕ′i ·ϕ′j−1) = − 1h. Nesse caso, a matriz Ao assume a forma a seguir, que e uma

matriz de facil resolucao computacional para o sistema Aoξ = b.

Ao =1

h

2 −1 0 · · · · · · · · · 0

−1 2 −1 0 · · · · · · 0

0 −1 2 −1 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 −1 2 −1

0 · · · · · · · · · 0 −1 2

Considerando tambem, o comprimento dos subintervalos hj todos iguais, os termos

da matriz Bo diferentes de zero sao: bjj = (ϕj · ϕj) = 2h3

e bj−1j = (ϕj−1 · ϕj) = h6.

Como a matriz Bo e simetrica, temos que (ϕj−1 · ϕj) = bj−1j = bjj+1 = (ϕj · ϕj+1) = h6.

43

Sendo assim, a matriz Bo assume a forma

Bo =h

6

4 1 0 · · · · · · · · · 0

1 4 1 0 · · · · · · 0

0 1 4 1 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 1 4 1

0 · · · · · · · · · 0 1 4

Devemos estar atentos a que as matrizes Ao e Bo foram conseguidas para o problema

(4.4) quando consideramos f(u(r)) = 2ru′(r) + u2(r)− λu(r) mas tambem podemos con-

siderar a funcao como sendo f(u(r)) = 2ru′(r) + u2(r) e assim a equacao (4.3) passa ter

a seguinte forma

−u′′(r) + λu(r) = f(u(r)), (4.10)

sendo λ um numero real positivo.

Multiplicando a equacao (4.10) por v(r) ∈ D(Ω), integrando no intervalo (lo, Lo),

resolvendo por partes, a primeira integral do lado esquerdo, usando que D(Ω) e denso em

V = H1o (Ω) e ainda o fato de v(lo) = v(Lo) = 0, encontramos a equacao

∫ L0

l0u′(r)v′(r)dr + λ

∫ L0

l0u(r)v(r)dr =

∫ L0

l0f(u(r))v(r)dr ∀v ∈ V.

Assim, a formulacao variacional assume a forma

(u′(r) · v′(r)) + λ(u(r) · v(r)) = (f(u(r)) · v(r)) ∀v ∈ V (4.11)

Com isso, o problema aproximado definido no subespaco Vn passa a ser:

Encontrar uh tal que

(u′h(r) · v′(r)) + λ(uh(r) · v(r)) = (fh(r) · v(r)) ∀v ∈ Vn (4.12)

44

Escrevendo as funcoes como combinacao da base ϕii=1,...,n e tomando v = ϕi, obte-

mos n equacoes

(n∑

j=1

ξjϕ′j(r) · ϕ′i(r)) + λ(

n∑j=1

ξjϕj(r) · ϕi(r)) = (n∑

j=1

f(rj)ϕj(r) · ϕi(r)), i = 1, 2, ..., n

ou seja,

n∑j=1

ξj(ϕ′j(r) · ϕ′i(r)) + λ

n∑j=1

ξj(ϕj(r) · ϕi(r)) =n∑

j=1

f(rj)(ϕj(r) · ϕi(r)), i = 1, 2, ..., n,

ou melhor,

n∑j=1

ξj((ϕ′j(r) · ϕ′i(r)) + λ(ϕj(r) · ϕi(r))) =

n∑j=1

f(rj)(ϕj(r) · ϕi(r)), i = 1, 2, ..., n

Denotando

aij = (ϕ′i(r) · ϕ′j(r)) + λ(ϕi(r) · ϕj(r)) e bij = (ϕi(r) · ϕj(r)),

temos que, a equacao a cima e equivalente ao seguinte sistema linear de equacoes

A1ξ = B1f

com A1 = (aij)n×n e B1 = (bij)n×n.

Como a base que utilizamos e a mesma do caso anterior e tambem de acordo com as

definicoes dos termos aij e bij, podemos concluir que as matrizes A1 e B1 sao simetricas

e ainda que, para j ≥ i + 2, temos aij = bij = 0. Alem disso, a matriz B1 e igual a

matriz Bo e A1 e igual a soma da matriz Ao com λBo, sendo Ao e Bo encontradas

anteriormente. Assim, considerando todos os comprimentos dos subintervalos iguais, a

45

matriz A1 assume a forma

A1 =

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · · · · 0

− 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · 0

0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · · · · 0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

E interessante observar que todas as matrizes Ao, A1, Bo e B1 foram construıdas

supondo um problema com a condicao de Dirichlet na fronteira. Aparentemente, esta

hipotese so foi utilizada no momento em que encontramos a formulacao variacional, pois

ao resolvermos uma integral por partes que aparece no desenvolvimento, usamos o fato de

v(lo) = v(Lo) = 0. No entanto, esta hipotese tambem foi utilizada na construcao das ma-

trizes pois, ao escolhermos os n-pontos ri no intervalo (lo, Lo) nos estaremos com (n + 2)

nos, que sao lo = r0, r1, r2, ..., rn e rn+1 = Lo. Mas, como tınhamos a informacao de que

nos extremos a funcao era nula, nos so estavamos interessados em descobrir o valor da

funcao nos nos r1, r2, ..., rn e por isso as funcoes testes foram escolhidas com a mesma

propriedade.

Um outro fato e que a aproximacao gh de uma funcao arbitraria g pelas funcoes

da base ϕii=1,...,n sempre sera nula na fronteira, isto e, gh(lo) = gh(Lo) = 0, pois

ϕi(lo) = ϕi(Lo) = 0, ∀i e

gh(r) =n∑

i=1

g(ri)ϕi(r).

46

Com isso podemos observar que as funcoes f que aparecem nos problemas so podem

ser escritas como combinacao da base ϕii=1,...,n se tambem satisfazerem a condicao de

fronteira.

Vamos agora estudar como ficam as matrizes do sistema linear para problema com

outro tipo de condicao de fronteira, uma vez que, como vimos, nas demonstracoes dos

teoremas apresentados no capıtulo 3, o problema (4.2) nao e resolvido diretamente. E

introduzido um novo parametro, a velocidade inicial α, e entao prova-se que a trajetoria

(4.2)-(a) com as condicoes de fronteira

u′(lo) = α u(lo) = 0,

tem uma solucao positiva u = u(r) e que existe Lo(α) > lo tal que u(Lo(α)) = 0. E,

a partir daı, procura-se o menor Lo(α) para o qual u(Lo(α)) = 0. Assim, prova-se a

existencia de solucao do problema (4.1) para Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0(α).

Outra dificuldade, que nos leva a trabalhar com uma condicao de fronteira diferente

para o problema (4.2) e o fato de o problema linear associado so possuir a solucao nula.

Isso faz com que percamos a funcao inicial natural para se comecar a trabalhar na obtencao

de uma solucao do problema nao linear. Alem disso, todas as tentativas que fizemos na

construcao de uma funcao inicial, com as informacoes obtidas dos teoremas, nao surtiram

efeito, como veremos mais adiante nos desenvolvimentos numericos.

Assim, comecamos a investigar o problema (4.2) com as novas condicoes de fronteira,

considerando a definicao para f de duas maneiras.

Para que possamos entender como as condicoes de fronteiras sao incorporadas ao

sistema Aξ = b, vamos alterar um pouco as novas condicoes.

47

Considere os problemas (a), (b) e (a1), (b) com a condicao de fronteira (c).

−u′′(r) = f(u(r)) para 0 < lo ≤ r ≤ Lo (a)

−u′′(r) + λu(r) = f(u(r)) para 0 < lo ≤ r ≤ Lo (a1)

u(r) > 0 para 0 < lo < r < Lo (b)

u′(lo) = α u(lo) = p (c)

(4.13)

Sendo em (a) f(u(r)) = (2r)u′(r)− λu(r) + u(r)2 e em (a1) f(u(r)) = (2

r)u′(r) + u(r)2.

Seja Vn+2 = [ϕ0, ϕ1, ϕ2, ..., ϕn+1] um subespaco de H1(Ω), gerado pelos (n + 2)-

primeiros vetores linearmente independentes. Para cada no ri, com i = 1, ...n as funcoes

da base ϕi, serao definidas como em (4.8). E como nao temos a condicao de Dirichlet na

fronteira, e preciso definir as funcoes ϕ0 e ϕn+1,

ϕ0(r) =

−rh1

+ r1

h1se r ∈ [r0, r1]

0 se r ∈ [r1, rn+1]

(4.14)

e

ϕn+1(r) =

0 se r ∈ [r1, rn]

rhn+1

− rn

hn+1se r ∈ [rn, rn+1]

(4.15)

de maneira que, seja possıvel escrever a solucao aproximada em funcao da base, isto e,

uh(r) =∑n+1

j=0 u(rj)ϕj(r).

As solucoes dos problemas (4.13)-(a) e (4.13)-(a1) e as suas derivadas, sao conhecidas

no no ro = lo, ou seja,

du

dr(lo) = α e u(lo) = p

e sao desconhecidas nos n + 1 nos ri, i = 1, ..., n + 1.

Para este tipo de fronteira, uma nova formulacao variacional precisa ser feita. Multi-

plicando as equacoes diferenciais (4.13)-(a) e (4.13)-(a1) por v ∈ H1(Ω) e integrando em

48

(lo, Lo), temos

(a) −∫ Lo

lou′′(r)v(r)dr =

∫ Lo

lof(u(r))v(r)dr, ∀ v ∈ H1(Ω)

e

(a1) −∫ Lo

lou′′(r)v(r)dr + λ

∫ Lo

lou(r)v(r)dr =

∫ Lo

lof(u(r))v(r)dr, ∀ v ∈ H1(Ω)

Integrando por partes a primeira integral e usando o fato de u′(lo) = α tem-se

−∫ Lo

lou′′(r)v(r)dr = −u′(Lo)v(Lo) + u′(lo)v(lo) +

∫ Lo

lou′(r)v′(r)dr =

= −u′(Lo)v(Lo) + αv(lo) +∫ Lo

lou′(r)v(r)dr

Assim a formulacao variacional e dada respectivamente por

(a)∫ Lo

lou′(r)v′(r)dr =

∫ Lo

lof(u(r))v(r)dr + u′(Lo)v(Lo)− αv(lo), ∀v ∈ H1(Ω) (4.16)

e

(a1)∫ Lo

lou′(r)v′(r)dr + λ

∫ Lo

lou(r)v(r)dr = (4.17)

=∫ Lo

lof(u(r))v(r)dr + u′(Lo)v(Lo)− αv(lo), ∀v ∈ H1(Ω).

Sendo Vn+2 = [ϕ0, ϕ1, ϕ2, ..., ϕn+1] um subespaco de H1(Ω), problemas aproximados

sao formulados por:

Determinar uh(r) ∈ Vn+2 tal que

(a)∫ Lo

lou′h(r)v

′(r)dr =∫ Lo

lof(uh(r))v(r)dr + u′h(Lo)v(Lo)− αv(lo), ∀v ∈ Vn+2 (4.18)

e

49

(a1)∫ Lo

lou′h(r)v

′(r)dr + λ∫ Lo

louh(r)v(r)dr = (4.19)

=∫ Lo

lof(uh(r))v(r)dr + u′h(Lo)v(Lo)− αv(lo), ∀v ∈ Vn+2

Entao, escrevendo uh(r) e fh(r) como combinacao linear da base ϕi(r)i=0,...,n+1

temos

uh(r) =n+1∑j=0

ξjϕj(r) e fh(r) =n+1∑j=0

f(rj)ϕj(r) (?)

Substituindo (?) em (4.18), (4.19) e tomando v = ϕi, encontramos

(a)∫ Lo

lo

n+1∑j=0

ξjϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr =

∫ Lo

lo

n+1∑j=0

f(rj)ϕj(r)ϕi(r)dr + u′h(Lo)ϕi(Lo)− αϕi(lo).

e

(a1)∫ Lo

lo

n+1∑j=0

ξjϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr + λ

∫ Lo

lo

n+1∑j=0

ξjϕj(r)ϕi(r)dr =

=∫ Lo

lo

n+1∑j=0

f(rj)ϕj(r)ϕi(r)dr + u′h(Lo)ϕi(Lo)− αϕi(lo).

Ou seja,

(a)n+1∑j=0

ξj(∫ Lo

loϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr) =

n+1∑j=0

f(rj)(∫ Lo

loϕj(r)ϕi(r)dr) + u′h(Lo)ϕi(Lo)− αϕi(lo).

e

(a1)n+1∑j=0

ξj(∫ Lo

loϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr + λ

∫ Lo

loϕj(r)ϕi(r)dr) =

=n+1∑j=0

f(rj)(∫ Lo

loϕj(r)ϕi(r)dr) + u′h(Lo)ϕi(Lo)− αϕi(lo).

Definindo

aij =∫ Lo

loϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr, bij =

∫ Lo

loϕj(r)ϕi(r)dr,

a1ij =

∫ Lo

loϕ′j(r)ϕ

′i(r)dr + λ

∫ Lo

loϕj(r)ϕi(r)dr,

50

f = (f0, f1, ..., fn+1)t, di = u′h(Lo)ϕi(Lo)− αϕi(lo) e ξ = (ξ0, ξ1, ..., ξn+1)

t,

temos que as equacoes acima sao respectivamente equivalentes aos sistemas

A2ξ = B2f + d e A3ξ = B3f + d,

sendo A2 = (aij)n+2×n+2, A3 = (a1ij)n+2×n+2, d = (di)n+2×1 e B2 = B3 = (bij)n+2×n+2.

Se considerarmos todas as subdivisoes iguais e compararmos estes resultados com os

obtidos anteriormente, verificaremos que as matrizes A2 e A3 sao diferentes tanto de A

como de A1 e a matriz B2 e diferente de B = B1. Nas matrizes A2, A3, B2 e B3 os termos

alterados sao an+1n+1, a00, a1n+1n+1, a1

00, bn+1n+1 e b00, cujos calculos sao feitos a seguir,

a00 =∫ lo+h

loϕ′0(r)ϕ

′0(r)dr =

∫ lo+h

lo(−1

h)2dr =

1

h,

an+1n+1 =∫ Lo

Lo−hϕ′n+1(r)ϕ

′n+1(r)dr =

∫ Lo

Lo−h(1

h)2dr =

1

h,

a100 = a00 + λ

∫ lo+h

loϕ0(r)ϕ0(r)dr =

1

h+ λ

∫ lo+h

lo(−r

h+

lo + h

h)2dr =

1

h+

λh

3

e

a1n+1n+1 = an+1n+1 + λ

∫ Lo

Lo−hϕn+1(r)ϕn+1(r)dr =

1

h+ λ

∫ Lo

Lo−h(−r

h+

rn

h)2dr =

1

h+

λh

3

51

Assim, A2 e A3 tomam a forma

A2 =1

h

1 −1 0 · · · · · · · · · 0

−1 2 −1 0 · · · · · · 0

0 −1 2 −1 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 −1 2 −1

0 · · · · · · · · · 0 −1 1

e

A3 =

1h

+ λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · · · · 0

− 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · 0

0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · · · · 0 − 1h

+ h6

1h

+ λh3

Verifica-se facilmente que as matrizes A2, A3 e B2 possuem duas linhas e duas colunas

a mais do que as matrizes Ao, A1, Bo e B1, isso ocorre porque, nos casos anteriores,

tınhamos a condicao de Dirichlet na fronteira.

Os termos da matriz B2, que estao relacionados com os pontos interiores ao intervalo

(lo, Lo), coincidem com os termos correspondentes da matriz B = B1, mas os termos

relacionados aos extremos do intervalo sao definidos por bn+1n+1 = (ϕn+1(r) · ϕn+1(r)) e

b00 = (ϕ0(r) · ϕ0(r)) e verifica-se que eles sao a metade dos outros termos da diagonal.

Portanto, denotando por uo(r) a funcao que usaremos para calcular f(r) = f(uo(r))

52

e sabendo que di = 0 para i = 1, ...n, d0 = −αϕ0(lo) e dn+1 = u′o(Lo), temos que as

matrizes B2 e d assumem a forma

B2 =h

6

2 1 0 · · · · · · · · · 0

1 4 1 0 · · · · · · 0

0 1 4 1 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 1 4 1

0 · · · · · · · · · 0 1 2

e d =

−α

0

0

...

0

u′o(Lo)

,

sendo entendido por u′o(Lo) = limr→L−ou′o(r).

Assim, vamos tranformar os sistemas lineares anteriores de maneira a assegurar que

satisfacam as condicoes de fronteira.

Para facilitar o entendimento do desenvolvimento a seguir, vamos supor um sistema

generico Aξ = F,

a00 a01 0 · · · · · · · · · 0

a10 a11 a12 0 · · · · · · 0

0 a21 a22 a23 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 ann−1 ann ann+1

0 · · · · · · · · · 0 an+1n an+1n+1

ξ0

ξ1

ξ2

...

ξn

ξn+1

=

F0

F1

F2

...

Fn

Fn+1

,

sendo ξi = u(ri), para uh(r) =∑n+1

i=0 ξiϕi(r).

A primeira linha do sistema e dada por

a00ξ0 + a01ξ1 = F0.

53

Tomando a00 = 1, a01 = 0 e F0 = p, a igualdade e verdadeira e satisfaz uma das

condicoes de fronteira, pois ξ0 = u(lo) = p.

Para a segunda linha temos,

a10ξ0 + a11ξ1 + a12ξ2 = F1 ⇔ a11ξ1 + a12ξ2 = F1 − a10ξ0 = F1 − a10p

Apos o calculo de F1 − a10p, faca na matriz a10 = 0. Portanto, o sistema linear assumira

a forma

1 0 0 · · · · · · · · · 0

0 a11 a12 0 · · · · · · 0

0 a21 a22 a23 0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 ann−1 ann ann+1

0 · · · · · · · · · 0 an+1n an+1n+1

ξ0

ξ1

ξ2

...

ξn

ξn+1

=

p

F1 − a10p

F2

...

Fn

Fn+1

Como em nosso caso p = 0, F1 nao muda e assim podemos trabalhar com a submatriz

An+1×n+1, obtida da anterior eliminando a primeira coluna e primeira linha. Nao podemos

esquecer que ainda falta incorporar ao sistema a outra condicao de fronteira, u′(lo) = α .

Usando a mesma notacao para o novo sistema, isto e Aξ = F, temos que a primeira linha

e dada por

a11ξ1 + a12ξ2 = F1

Como queremos que u′(lo) = α, devemos ter u(lo + h) = αh e sendo lo + h = r1,

temos u(r1) = ξ1 = αh. Portanto tomando F1 = αh, a11 = 1 e a12 = 0 e sendo

u′h(r) =∑n+1

i=0 ξiϕ′i(r), a igualdade acima e verdadeira e satisfaz a condicao de fronteira.

54

Para a segunda linha, temos

a21ξ1 + a22ξ2 + a23ξ3 = F2 ⇔ a22ξ2 + a23ξ3 = F2 − a21ξ1 = F2 − a21αh

Apos o calculo de F3 − a21αh, faca a21 = 0. Assim, com as duas condicoes de fronteira

incorporadas, os sistemas A2ξ = B2f + d e A3ξ = B3f + d assumem a forma

1 0 0 · · · · · · · · · 0

0 2h

−1h

0 · · · · · · 0

0 −1h

2h

−1h

0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 −1h

2h

−1h

0 · · · · · · · · · 0 −1h

1h

ξ1

ξ2

ξ3

...

ξn

ξn+1

=

αh

F2 − a21αh

F3

...

Fn

Fn+1

e

1 0 0 · · · · · · · · · 0

0 2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · 0

0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · 0

......

.... . .

......

...

0 · · · · · · 0 − 1h

+ h6

2h

+ 2λh3

− 1h

+ h6

0 · · · · · · · · · 0 − 1h

+ h6

1h

+ λh3

ξ1

ξ2

ξ3

...

ξn

ξn+1

=

αh

F2 − a121αh

F3

...

Fn

Fn+1

4.4 Dificuldades na resolucao do problema

A primeira dificuldade do trabalho, como ja comentamos anteriomente, surge no mo-

mento em que se vai determinar o vetor Bf para resolver o sistema linear Aξ = Bf, pois

55

em nosso caso a funcao f assume uma das seguintes formas

f(u(r)) =2

ru′(r)− λu(r) + u(r)2

f(u(r)) =2

ru′(r) + u(r)2.

O que se faz normalmente nesta situacao e usar a solucao uL(r) do problema linear

associado, que no caso e dado por

u′′(r) +2

ru′(r)− λu(r) = 0, (4.20)

para calcular a funcao f(uL(r)) da primeira iteracao numerica do problema nao linear.

Em seguida, procura-se calibrar o valor para ε na equacao

u′′(r) +2

ru′(r) + εu(r)2 − λu(r) = 0, (4.21)

de maneira a encontrar uma solucao do nao linear com um erro determinado.

No entanto veremos a seguir, que o problema (4.20) com a condicao de Dirichlet so

possui a solucao nula.

De fato, considere o seguinte problema de autovalor

−∆u(x) = βu(x) x ∈ Ω (4.22)

u(x) = 0 x ∈ ∂Ω,

com β = −λ, para λ > 0. Definindo a forma bilinear

a(u, v) =n∑

i=1

∫Ω(∂u

∂xi

∂v

∂xi

)dx,

temos que a(u, v) e simetrica, contınua e coerciva em V.

56

Sabe-se do teorema de Lax-Milgram que, para f ∈ H, sendo V e H espacos de

Hilbert, com V ⊂ H denso e a imersao de V em H contınua e compacta, tem-se a

existencia de um unico u ∈ V tal que

a(u, v) = (f, v) ∀ v ∈ V (4.23)

Denotando a norma de H por | · |, a de V por ‖ · ‖ e definindo a aplicacao

G : H → V

f → u = Gf,

sendo u a solucao do problema (4.23), e possıvel verificar que G e linear e que

a(Gf, v) = (f, v), ∀ v ∈ V

e ainda que G e contınua pois,

α‖Gf‖2 ≤ a(Gf, Gf) = (f, Gf) ≤ |f ||Gf | ≤ c |f | ‖Gf‖

α‖Gf‖2 ≤ c |f |‖Gf‖ ⇒ ‖Gf‖ ≤ c

α|f |.

Assim, se considerarmos o problema

a(u, v) = β(u, v) ∀ v ∈ V, (4.24)

temos que βu desempenhara o papel da funcao f ⇒ G(βu) = u. Portanto, se o problema

(4.24) admitisse uma solucao u(r) nao nula, deverıamos ter β > 0 , uma vez que

α‖u‖2 ≤ a(u, u) = (β u, u) = β(u, u) = β |u|2 ≤ β c ‖u‖2 ⇒ 0 < α ≤ β c ⇒ β >α

c> 0.

Sendo assim, com β < 0, o problema (4.22) so admite a solucao nula.

57

Com isso, nao era possıvel que a solucao do problema linear fosse utilizada na cons-

trucao da solucao do problema nao linear, dificultando o trabalho.

Em consequencia desta situacao, comecamos a retirar dos resultados teoricos in-

formacoes sobre a solucao, que pudessem ser uteis na construcao de uma funcao inicial

uo(r), a fim de substituir a solucao do problema linear.

No entanto, no inıcio do trabalho, as nossas tentativas foram bastante desanimadoras,

uma vez que, ainda nao sabıamos da dependencia que Lo possuia de α, para α = u′(lo).

Sendo assim, quando construıamos uma funcao uo(r), com r = ‖x‖, e rodavamos

os programas, as solucoes aproximadas obtidos a cada etapa, possuıam derivadas em lo

diferentes e com isso tinhamos um novo problema, pois Ω era alterado. Fazendo com que

nao conseguıssemos a convergencia dos algoritmos.

Veremos mais adiante que a dependencia que Lo tem de α e muito grande, pois se

α tiver uma alteracao na casa decimal, por exemplo de ordem 10−4, o valor de Lo e

alterado.

Mesmo com a informacao de que Lo dependia de α e de todas as propriedades

demonstradas no desenvolvimento do capıtulo 3, nao tınhamos como descobrir o valor de

Lo para cada α. Mas, como sabıamos que o problema

−u′′(r)− 2

ru′(r) + λu(r) = u2(r) para r ∈ [lo, Lo]

com a condicao de fronteira

u(lo) = 0, u′(lo) = α,

possua uma solucao positiva u(r) e ainda que, para cada M > 0, existia um α e Lo(α)

maior que M tal que u(Lo(α)) = 0, continuamos a trabalhar no problema.

58

Para tentar resolver essa dificuldade construmos um programa, usando a subrotina

dsolve do Maple, com o objetivo de encontrarmos pelo menos um valor para α e para

Lo(α).

Alem disso, como tınhamos a informacao de que o problema (4.1) definido em um anel

do IRN , isto e, para o conjunto Ω = x ∈ IRN : 0 < l0 < ‖x‖ < L0, possuıa solucao radial

positiva, que decrescia a medida que a coordenada radial aumentava. E tambem que a

solucao possuıa um unico maximo em Ω e que esse maximo ocorria para xo ∈ Ω com

‖xo‖ < (Lo + lo)/2, foi possıvel continuar procurando resolver o problema numericamente

pelo Metodo dos Elementos Finitos.

4.5 Resultados Numericos

Comentaremos a seguir os resultados numericos que obtivemos da solucao aproximada

dos problemas (a), (b) e (a), (c),

−u′′(r)− 2ru′(r) + λu(r) = u(r)2 em r ∈ [lo, Lo] (a)

u(lo) = 0 e u(Lo) = 0 (b)

u(lo) = 0 e u′(lo) = α (c)

(4.25)

quando nos sistemas lineares estudados anteriormente, tomarmos λ = 1, α = 0.8159,

lo = 10, Lo(α) = 22 e considerando f uma das duas seguintes funcoes

f1(u(r)) = (2/r)u′(r)− λu(r) + u(r)2,

f2(u(r)) = (2/r)u′(r) + +u(r)2.

Vamos comecar descrevendo um pouco como foi feito o processo de obtencao dos

valores de α e Lo(α).

59

A partir de um valor escolhido para lo e Lo, tentamos descobrir um valor para a

velocidade inicial α, de maneira que a solucao encontrada do problema (a), (c), usando

o subrotina dsolve, fosse estritamente positiva no intervalo (lo, Lo). E, a partir deste α

encontrado, fomos aumentando ou diminuindo o valor de α, de forma a encontrar uma

solucao que possuısse uma unica raiz no intervalo, isto e, um Lo(α).

Para encontrarmos Lo(α), com o qual vamos trabalhar nos desenvolvimentos numericos,

comecamos com α = 0.8150, lo = 10 e Lo = 19.

Figura 4.6: Calculo de Lo(α)

Os graficos das figuras (4.6), (4.7) e (4.8) mostram alguns dos resultados encontrados

para a solucao do problema (a), (c), a medida que variavamos o valor de α, no programa

descrito a seguir.

60

Programa para o Calculo de α.

Escolha lo, Lo e v

Tome v1 = v, v2 = 0.0001 e k1 = 0.

ic = u(lo) = k1, D(u)(lo) = v.

eq=−u′′(r) = (2/r)u′(r)− λu(r) + u(r)2

b = dsolve(eq, ic)

Tome n e h = (Lo − lo)/(n + 1)

Avalia se b(lo + (n− 1)h) ≥ 0 se verdade faca v = v + v2, caso contrario faca v = v − v2,

Lo = Lo + 1, v1 = 10× v, v2 = v2/10 e v = v + v2.

Observe na figura (4.6) que os graficos para pontos proximos de Lo estao se aproxi-

mando do eixo horizontal e inclusive tem um que intercepta esse eixo. Isso ocorre para

α = 0.8159 com Lo(α) ≈ 21.

Um dado importante e que mostra a dificuldade encontrada na resolucao numerica e

que, aumentando a precisao, ou seja, trabalhando com uma quantidade de dıgitos igual a

14, por exemplo, e possıvel verificar que quando consideramos α = 0.8158376671 encon-

tramos Lo(α) ≈ 25, 8. Ficando assim mais claro o quanto Lo depende de α. Com isso, o

problema (a), (b) estaria definido em um outro intervalo (lo, Lo), para valores de α bem

proximos. O que dificulta a convergencia dos algoritmos porque a cada implementacao a

velocidade inicial muda e portanto nos estarıamos resolvendo um novo problema a cada

iteracao.

Os graficos das figuras (4.7) e (4.8) mostram o resultado para Lo(α), quando trabalha-

mos com α = 0.8158376671.

61

Figura 4.7: Solucao para α = 0.8158376671

Usando a subrotina dsolve, alem de encontrarmos o valor de Lo para α = 0.8159, foi

possıvel ter uma ideia do valor aproximado do maximo da solucao do problema (a), (b),

assim como o ponto para o qual a solucao atinge esse maximo. Com essas informacoes, fo-

mos construindo funcoes, que denotaremos por uo(r), que pudessem ser usadas no calculo

da funcao F que aparece no sistema linear Aξ = F.

Mostraremos a seguir algumas dessas tentativas, assim como os resultados numericos

obtidos na resolucao do problema (a), (b), usando o Metodo dos Elementos Finitos, com

as matrizes Ai e Bi encontradas anteriomente para i = 0, 1, 2, 3.

Como nao temos a solucao exata para comparar os resultados numericos obtidos,

vamos definir N(m) como sendo a razao entre a norma da diferenca de duas solucoes

62

Figura 4.8: Determinacao do valor de Lo(α)

consecutivas u(m + 1)− u(m) e a norma de u(m), ou seja

N(m) =||u(m + 1)− u(m) ||

||u(m) ||,

e e observando os valores de N(m) para m ∈ j, j+1, ..., j+k, sendo j uma implementacao

arbitraria, que vamos analisar a convergencia ou nao dos algoritmos estudados a seguir.

Tentativas na construcao da funcao inicial uo(r) e seus resulta-

dos numericos.

Para facilitar o entendimento do texto, vamos denotar por uh(m) e α(m) respectiva-

mente, a solucao aproximada e a derivada no ponto lo da m-esima implementacao.

Primeira Tentativa - A partir do grafico que aparece na figura (4.6), e possıvel

verificar que o ponto ro, para o qual a solucao u(r) do problema (a), (b) definido no

intervalo (lo, Lo(α)) atinge o maximo, e aproximadamente 13.25. E tambem que o valor

63

de maximo esta proximo de 1.6. Com essas informacoes e ainda sabendo que u′(ro) = 0,

construımos um polinomio p(r) = ar3+br2+cr+d que satisfizesse as seguintes condicoes:

p(lo) = 0, p′(lo) = α, p′(ro) = 0 e p(Lo) = 0.

Lembramos que foi considerado lo = 10 e Lo(α) = 22.

Figura 4.9: Grafico do polinonio p(r)

Usando a subrotina linsolve do Maple resolvemos o sistema e encontramos como re-

sultado o polinomio

p(r) = 0.008074583896r3 − 0.4071241903r2 + 6.536008637r − 32.72225124,

cujo grafico pode ser visto na figura (4.9).

Como estamos interessados em uma solucao positiva e ainda a solucao numerica obtida

pela subrotina dsolve tendia para zero a medida que r se aproximava de Lo, definimos a

64

funcao inicial da seguinte maneira:

uo(r) =

p(r) se r ∈ [lo, s1]

0 se r ∈ [s1, Lo],

(4.26)

sendo s1 a raiz do polinomio p(r) no intervalo (lo, Lo) e obtivemos os resultados numericos

que serao descritos a seguir, com as matrizes Ai e Bi descritas anteriormente.

Matriz Ao, Bo.

Usando uma malha uniforme com h = 47, temos 21 elementos e 22 nos. A solucao

aproximada uh nos nos sao dados na tabela:1 e os graficos de uh(1), uh(2) e uh(3),

obtidos usando a subrotina spline sao mostrados na pela figura (4.10).

Figura 4.10: Tres solucoes de (a),(b), com Ao

Observando os graficos das solucoes aproximadas e sendo de N(1) = 1.308731964

e N(2) = 2.132899782, podemos concluir que neste caso nao ha estabilidade para o

algoritmo. Este resultado era esperado, visto que a inclinacao das solucoes obtidas em lo

65

esta aumentado a cada implementacao.

Matriz A1, B1.

E bom lembrar que quando fizemos os calculos das matrizes A1 e B1 trabalhamos com

a funcao f2.

Tabela:1 Solucao Aproximada uh(1) para Ao e Bo

No Aproximada No Aproximada No Aproximada

1 0 9 0.8433450614 17 -0.1485192978

2 0.2410342763 10 0.5766971097 18 -0.1188154382

3 0.5062769851 11 0.3030193692 19 -0.08911157865

4 0.7795033846 12 0.0675081034 20 -0.05940771911

5 1.010663710 13 -0.09867897946 21 -0.02970385956

6 1.148625663 14 -0.1845332365 22 0

7 1.163277895 15 -0.2010956632

8 1.053195674 16 -0.1782231574

Usando uma malha uniforme com h = 47, temos 21 elementos e 22 nos. Os valores da

solucao aproximada uh, referentes a primeira iteracao, nos nos sao mostrados na tabela:2.

Os graficos das figuras (4.11) e (4.12) mostram os resultados das seis primeiras e o da

decima iteracoes respectivamente.

Com isso verificamos que as solucoes obtidas possuem maximos cada vez maiores.

Isso ocorre pois as matrizes A1 e B1 foram construıdas para resolver o problema (a), (b) e

assim nenhuma exigencia foi feita em relacao a derivada da solucao no extremo esquerdo

do intervalo (lo, Lo).

66

Este fato fez com que o valor de α mudasse a cada implementacao, fazendo com que

nao houvesse uma estabilizacao do algoritmo. Este resultado era esperado, pois estarıamos

com um novo valor para Lo(α) a cada implementacao e no entanto, no programa, o valor

de Lo estava fixo.

Figura 4.11: Solucoes de (a), (b) para A1 Figura 4.12: Solucao uh(10)

Este fato fica ainda mais claro com a tabela:3, pois ela contem os valores de N(m)

e α(m). Assim, e possıvel perceber que α inicialmente diminui, mais depois aumenta

rapidamente e tambem que a razao N(m) esta aumentando, de onde podemos verificar a

instabilidade do algoritmo.

67

Tabela:2 Solucao Aproximada uh(1) para A1 e B1

No Aproximada No Aproximada No Aproximada

1 0 9 1.062476782 17 0.02249583536

2 0.3055625608 10 0.8781008976 18 0.01127975523

3 0.6063741285 11 0.6746543565 19 0.007456849526

4 0.8820281407 12 0.4787253307 20 0.006602210427

5 1.098810863 13 0.3107613821 21 0.004961955689

6 1.228856544 14 0.1827150751 22 0

7 1.260429780 15 0.09713058600

8 1.198774836 16 0.04769731254

Tabela:3 Valores de α(m) e de N(m)

m α(m) N(m) m α(m) N(m)

1 0.5347344814 0.07489688121 6 0.5997158540 0.4456472845

2 0.4650914572 0.04799199919 7 0.8619552051 1.089198968

3 0.4454216036 0.06207509529 8 1.760477791 3.368315453

4 0.4556413643 0.1068691414 9 7.367652952 18.06110710

5 0.4980055756 0.2073421679 —– —– —–

68

Matriz A2, B2.

Trabalhamos neste caso com a funcao f1 e o problema (a), (c). Usando uma malha

uniforme com h = 47, temos 21 elementos e 22 nos.

A solucao aproximada encontrada nao e boa, como podemos verificar na tabela:4 e

nos graficos das figuras (4.13) e (4.14), que mostram as solucoes obtidas na primeira e

segunda implementacao. Mostrando assim a instabilidade do algoritmo.

Figura 4.13: Solucao uh(1) para A2 Figura 4.14: Solucao uh(2) para A2

69

Tabela:4 Solucao Aproximada uh(1) para A2 e B2

No Aproximada No Aproximada No Aproximada

1 0 9 0.8189646880 17 -0.4144970039

2 0.4662285714 10 0.5207495346 18 -0.4144970039

3 0.6933234827 11 0.2162423782 19 -0.4144970039

4 0.9288562294 12 -0.0495721634 20 -0.4144970039

5 1.123085283 13 -0.2457303651 21 -0.4144970039

6 1.225124506 14 -0.3613788766 22 -0.4144970039

7 1.205003089 15 -0.4076639801

8 1.061320816 16 -0.4144970039

Matriz A3, B3.

As matrizes foram construıdas para o problema (a), (c) e considerando a funcao f2.

Usando a mesma malha, mostramos o resultado da solucao aproximada uh(1) nos 22

nos na tabela:5. Os graficos da figura (4.15), mostram as solucoes aproximadas de 7

implementacoes consecutivas.

Podemos verificar, atraves da tabela:6 a estabilidade do algoritmo nas 7 primeiras

implementacoes; no entanto, a medida que o numero de implementacoes aumenta, as

solucoes vao se distanciando, verificando dessa maneira a instabilidade do algoritmo.

70

Tabela:5 Solucao Aproximada uh(1) para A3 e B3

No Aproximada No Aproximada No Aproximada

1 0 9 1.049354724 17 0.03165650909

2 0.4662285714 10 0.8665383433 18 0.01785093006

3 0.6902336117 11 0.6656400675 19 0.01020970099

4 0.9211061846 12 0.4726989966 20 0.006094124056

5 1.111749701 13 0.3078847157 21 0.004082992838

6 1.226934015 14 0.1831888967 22 0.003481815980

7 1.250740674 15 0.1016018151 23 ——-

8 1.185897483 16 0.05639383224 24 ——-

Tabela:6 Valores de N(m) para a matriz A3

m N(m) m N(m)

1 0.08190389633 6 0.3937866458

2 0.05555306860 7 0.8969082758

3 0.06856126294 8 2.532798149

4 0.1090400509 9 11.46415429

5 0.1960315419 10 156.5802896

Com a mesma funcao inicial uo, a matriz A3 e considerando Lo = 20.4, os resultados

foram um pouco mais estaveis, como vemos na tabela:7 e nos graficos das figuras (4.16),

71

Figura 4.15: Solucoes aproximadas para A3

(4.18). Alem disso, e possıvel verificar, veja a figura (4.17), que houve uma alteracao do

valor para Lo.

Tabela:7 N(m), Tent:1, A3 e Lo = 20.4

m N(m) m N(m)

1 0.08927702190 6 0.1677480817

2 0.06650606911 7 0.3032565081

3 0.05630860267 8 0.5100549820

4 0.06160238125 9 0.7468979859

5 0.09307427164 10 0.8623368777

Assim, podemos concluir que com a funcao inicial uo(r) escolhida, nao houve esta-

72

Figura 4.16: Solucoes uh(r) para A3 com Lo = 20, 4

Figura 4.17: Determinacao de Lo(α) Figura 4.18: uh(10) com Lo = 20, 4

bilidade para o algoritmo . No entanto, conseguimos um pouco mais de estabilidade da

solucao aproximada, quando resolvemos o problema (a) com as matrizes A3 e B3.

73

Segunda Tentativa - Neste caso, nos consideramos a funcao inicial como sendo o

polinomio p(r) que foi obtido anteriormente, isto e,

uo(r) = p(r) = 0.008074583896r3 − 0.4071241903r2 + 6.536008637r − 32.72225124.

Como percebemos a estabilidade do algoritmo, quando trabalhamos com a matriz A3,

resolvemos nesta segunda etapa so buscar solucao neste caso.

No desenvolvimento que faremos a seguir, continuaremos usando lo = 10, Lo = 22,

α = 0.8159 e uma malha uniforme com h = 47. As solucoes aproximadas uh(r) sao

mostradas em 22 nos, uma vez que escolhemos 20 pontos no intervalo (lo, Lo(α)).

Matriz A3, B3.

Os resultados obtidos neste caso foram melhores do que na primeira tentativa. Houve

inicialmente uma maior estabilidade do algoritmo, como vamos perceber nos valores de

N(m), que serao mostrados na Tabela:8.

No entanto, estavamos interessados em utilizar a resolucao do problema (a), (c) para

conseguirmos a solucao aproximada do problema (a), (b) e podemos ver pelos resultados

e pelos graficos, que nao foi possıvel conseguir tal objetivo, pois as solucoes que foram

obtidas nao se anularam em Lo. O que e bem natural, por causa da dependencia que Lo

tem de m α.

Alem disso, apesar da matriz A3 ter sido construıda de maneira que u′(lo) = α, e

possıvel perceber uma mudanca na inclinacao da curva solucao, para pontos proximos de

lo.

Assim, quando consideramos uma malha do intervalo (lo, Lo) com muitos pontos, a

solucao obtida, muda de inclinacao em lo e este fato faz com que o valor de Lo tambem

74

seja alterado.

Usando a mesma funcao uo, fomos alterando o valor de Lo, de maneira a encontrar

uma solucao aproximada do problema (a), (c) que interceptasse o eixo horizontal, pois

dessa maneira tambem conseguirıamos uma solucao aproximada para o problema (a), (b)

em um intervalo (lo, Lo − ε ).

Considerando Lo = 20, 29, vemos nos graficos das figuras (4.20) e (4.21), que e possıvel

encontrar uma solucao aproximada satisfazendo os dois problemas no intervalo (lo, Lo−ε ),

para ε suficientemente pequeno. Este fato pode ser confirmado pela tabela:9, que mostra

os valores da solucao aproximada uh(4). E sendo o valor da solucao no ultimo no negativo,

fica facil verificar a existencia de um ε como acima.

Figura 4.19: Solucao do problema (a),(c) com a matriz A3

75

Tabela:8 N(m) para Tent. 2 e A3

m N(m) m N(m)

1 0.06560146598 6 0.2882000498

2 0.05531580729 7 0.4880195094

3 0.05985662606 8 0.7247424752

4 0.08886637830 9 0.3099607350

5 0.1591469674 10 ——

No entanto podemos verificar que, a cada implementacao, as solucoes estao se afas-

tando uma das outras, visto que os valores de N(m) estao aumentando. E portanto nao

ha uma estabilidade para o algoritmo. Na realidade, o processo se repete como antes. E

novamente este fato decorre da dependencia que Lo tem de α.

Tabela:9 Solucao para Tent.2 com A3 e Lo = 20.29

1 0 9 1.264310158 17 0.05632838222

2 0.3997910000 10 1.045239451 18 0.03335095111

3 0.6030992831 11 0.7961804308 19 0.01914923894

4 0.8376946329 12 0.5655607876 20 0.01013565072

5 1.080355103 13 0.3798769986 21 0.003963911768

6 1.286912679 14 0.2446243229 22 -0.0009724477305

7 1.404720081 15 0.1528594537

8 1.397029705 16 0.09353409704

76

Figura 4.20: Matriz A3 para Lo = 20.29 Figura 4.21: Probl. (a), (b) e Lo = 20.29

Tabela:10 Tent. 2:N(m), A3 com Lo = 20.29

m N(m) m N(m)

1 0.08190389633 6 0.3937866458

2 0.05555306860 7 0.8969082758

3 0.06856126294 8 2.532798149

4 0.1090400509 9 11.46415429

5 0.1960315419 10 156.5802896

Como vimos no inıcio deste capıtulo, a funcao G(u(r)) do problema (4.1)-(a) satisfaz

para k = 2 a condicao G(u) = O(uk) quando u → ∞ . Assim pelo Lema(3.7), temos

que para todo ε > 0, existe um α tal que Lo(α) existe e Lo(α)− lo < ε.

Ainda usando a mesma funcao inicial uo(r) e lo = 10, nos construımos um programa,

que descreveremos a seguir, considerando a matriz A3 de maneira a tentar encontrar

um α e Lo(α) que satisfizesse o lema. Alem disso, como para resolver o problema pelo

77

metodo dos elementos finitos, nos precisavamos de um extremo direito para o intervalo,

consideramos inicialmente Lo = 20.29.

Programa para obter α e Lo(α)

Tomemos lo = 10, Lo = 20.29, α = 0.8159, v1 = 0.00001 e n o numero de pontos escolhidos

no intervalo (lo, Lo).

Calculo de A3. Defina A3 uma matriz de ordem n + 1× n + 1 da seguinte maneira,

Para i variando de 2 ate n faca A3[j, j] = (2/h) + (2λh)/3 e A3[1, 1] = A3[n + 1, n + 1] =

(1/h)+ (λh/3). Para j variando de 3 ate n+1 faca para i variando de 1 ate j se i = j− 1

entao A3[i, j] = (−1/h) + (h/6).

Calculo de B3. Defina B3 uma matriz de ordem n + 1× n + 1 da seguinte maneira,

Defina g1 = (r/h)2 e g11 = 2× int(g1, r = 0..h).

g2 = (1− (r/h))(r/h) e g21 = int(g2, r = 0..h).

Para i variando de 1 ate n faca B3[i, i] = g11, B3[n + 1, n + 1] = g11/2.

Para j variando de 1 ate n + 1 faca para i de 1 ate j se i = j − 1 entao B3[i, j] = g12.

Tome m = 1. Este e um contador para a solucao aproximada a cada implementacao.

Calculo de f(uo(r)).

Defina d1 e f1 vetores de ordem n + 1.

Para i variando de 1 ate n faca d1[1] = 0 e d1[n + 1] = u′o(Lo).

Para i variando de 1 ate n + 1 faca f1[i] = (2/(lo + ih))u′o(lo + ih) + ε(uo(lo + ih))2

ff2 = B3 × f1.

Vamos agora incorporar a condicao inicial u′(lo) = α.

Defina f2 e f vetores de ordem n + 1.

78

Para i variando de 1 ate n + 1 faca f2[i] = ff2[i] + d1[i].

f [1] = α× h e f [2] = f2[2]− ((−1/h) + (h/6))× αh

Para i variando de 3 ate n + 1 faca f [i] = f2[i]

Resolucao do sistema A3ξ = f.

O sistema foi resolvido com a subrotina linsolve do Maple. Denotando a solucao

aproximada da m-esima implementacao por u[m], α[1] = u[1][1]/h e definindo V [m] =

u[m][n + 1], que e o valor da m−esima solucao aproximada mais proximo de Lo, con-

struımos o final do programa.

Quando V [m] > 0 faca se (u[m][1]/h − α[1]) < 9.v1 entao α = α + v1 caso contrario

α[1] = u[m][1]/h, v1 = v1/10 α = α + v1.

Defina f3 e d2 vetores de ordem n + 1

Para i variando de 1 ate n faca f3[i] = (2/lo + ih).(u[m][i + 1]− u[m][i])/h + ε.(u[m][i])2

f3[n + 1] = (2/(lo + (n + 1)h)).(u[m][n + 1]− u[m][n])/h + ε.(u[m][n + 1])2

Para i variando de 1 ate n faca d2[i] = 0 e d2[n + 1] = (u[m][n + 1]− u[m][n])/h.

Faca f1 = f2, d1 = d2 e m = m + 1

ff2 = B3 × f1

Para i variando de 1 ate n + 1 faca f2[i] = ff2[i] + d1[i].

f [1] = α× h e f [2] = f2[2]− ((−1/h) + (h/6))× αh

Para i variando de 3 ate n + 1 faca f [i] = f2[i]

Resolva o novo sistema u[m] = linsolve(A3, f)

A figura (4.22) e a tabela:11 mostram o resultado da primeira solucao aproximada do

problema (a), (c) e podemos verificar que neste caso a solucao nao satisfaz o problema

(a), (b) uma vez que u(Lo) e diferente de zero, e que, de acordo com a tabela, temos que

79

Figura 4.22: Primeira solucao do programa

u(Lo) = 0.04093185123.

Usando o programa descrito, nos encontramos para α = 0.81592 o seguinte valor

Lo(α) = 20.19348643. Os graficos da figura (4.24) mostram as solucoes obtidas e podemos

observar que uma delas intercepta o eixo horizontal. Portanto e possıvel verificar que o

valor da funcao u[4](Lo) e negativo, existindo assim um ponto onde a solucao se anulou.

80

Tabela:11 Resultado de u[1] com o programa acima

1 0 9 1.198825480 17 0.1215843154

2 0.3997910000 10 1.093139102 18 0.07483982895

3 0.6006057009 11 0.9475422980 19 0.05207165235

4 0.8108849569 12 0.7797893881 20 0.04483438710

5 1.002348731 13 0.6074761582 21 0.04388283656

6 1.148974620 14 0.4460319093 22 0.04093185123

7 1.233483818 15 0.3072344883

8 1.249118323 16 0.1983023381

Para obter o valor de Lo(α) mais preciso nos usamos a subrotina unapply e a funcao

fsolve do Maple.

Tabela:12 Resultado de u[4] e Lo com o programa acima

1 0 9 1.264342168 17 0.05632931963

2 0.3999380000 10 1.045261995 18 0.03335152851

3 0.6032177065 11 0.7961956875 19 0.01914960011

4 0.8377937313 12 0.5655707804 20 0.01013588634

5 1.080438885 13 0.3798833814 21 0.003964081146

6 1.286982477 14 0.2446283269 22 -0.000972302060

7 1.404776352 15 0.1528619355

8 1.397073151 16 0.09353562431

81

Figura 4.23: Solucoes u[1], u[2], u[3] e u[4].

Assim observando a tabela:13, podemos concluir que os resultados melhoraram, pois

houve inicialmente, uma establidade dos valores de N(m).

Tabela:13 Tent. 2:N(m), A3 com Lo = 20.29

m N(m) m N(m)

1 0.05743275897 6 0.5097814800

2 0.05046646104 7 1.239916890

3 0.07367299606 8 3.950949734

4 0.1254972122 9 23.36886877

5 0.2405624428 10 597.7451334

82

Figura 4.24: Obtencao de Lo(α)

83

Conclusao

Foi constatado no trabalho numerico desenvolvido, uma grande instabilidade da equacao

em relacao aos valores de contorno.

Isto ocorre pois, quando alteramos a condicao de contorno relacionada com a veloci-

dade, o intervalo de definicao da solucao tambem e alterado. Na realidade, foi possıvel

verificar numericamente que o intervalo de definicao da solucao muda consideravelmente,

se pequenas alteracoes forem feitas na velocidade.

Foi possıvel verificar tambem que os resultados numericos obtidos para os problemas

(a)-(b) e (a)-(c), definidos no inıcio da secao (4.5), tiveram uma maior estabilidade quando

trabalhamos com as matrizes A3 e B3, no sistema linear AF = B, em comparacao com

os resultados obtidos quando usamos as outras matrizes. Este fato e considerado natural,

uma vez que, na construcao da matriz A3, o termo de condicao de contorno relacionado

com a velocidade foi incorporado a matriz.

O metodo numerico implementado foi bem instavel. Isto decorreu tambem da instabil-

idade do problema em relacao a condicao de fronteita, pois sabemos que, para utilizarmos

o metodo dos elementos finitos, e preciso fazer uma particao do intervalo de definicao da

solucao procurada e este era alterado a cada implementacao.

No entanto, podemos concluir que as solucoes obtidas numericamente verificaram as

previsoes dos resultados de existencia encontrados na teoria.

Alem disso, verifica-se atraves das solucoes aproximadas encontradas, as principais

caracterısticas esperadas para as solucoes do problema, assim como: a existencia de um

unico ponto de maximo localizado em um ponto do intervalo menor que o ponto medio

84

entre os extremos e decaimento para zero da solucao u(r), definida no intervalo (lo, Lo(α)),

a medida que r se aproxima do valor de Lo(α). Caracterısticas estas que podem ser

confirmadas na teoria desenvolvida, por exemplo, Garaizar(1987).

Os resultados gerados por esta analise podem ser utilizados para confirmar quantita-

tivamente o modelo teorico estudado, assim como para induzir novos estudos qualitativos

sobre a equacao estudada.

85

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