ANALISIS DE MARKOV

CONCEPTO

El análisis de Markov es una técnica que maneja las probabilidades de ocurrencias futuras mediante el análisis de las probabilidad conocidas en el presente.

ANALISIS DE MARKOV

APLICACIONES

La técnica tiene diversas aplicaciones en los negocios, incluyendo análisis de la participación en el mercado, predicción de deudas incobrables, predicción de la matrícula universitaria y determinación de si una máquina se descompondrá en el futuro.

ANALISIS DE MARKOV

APLICACIONES

El análisis de Markov hace la suposición de que el sistema comienza en un estado o una condición inicial. Por ejemplo, dos fabricantes competidores pueden tener respectivamente 40% y 60% de las ventas del mercado. Tal vez en dos meses las participaciones del mercado de las dos empresas cambiarían a 45% y 55% del mercado, respectivamente.

ANALISIS DE MARKOV

CARACTERISTICAS

Predecir los estados futuros implica conocer las posibilidades o probabilidades de cambio del sistema de un estado a otro. Para un problema en particular, tales probabilidades se pueden recolectar y colocar en una matriz o tabla.

ANALISIS DE MARKOV

CARACTERISTICAS

Esta matriz se denomina matriz de probabilidades de transición, y muestra la probabilidad de que el sistema cambie de un periodo al siguiente. Este es el proceso de Markov que nos permite predecir los estados o las condiciones futuras.

• Las probabilidades de transición Pij se pueden representar en una matriz cuadrada llamada Matriz de Probabilidad de Transición de la cadena.

6

Matriz de Probabilidad de Transición:

KKK

K

PP

PP

PPP

0

1110

00100

P

Desde el estado i

Hasta el estado j

Pij

PROCESO DE MARKOV

• Las propiedades de la matriz de transición de probabilidad son:

• PROPIEDAD 1

Como cada elemento de la matriz representa una probabilidad, ésta debe tener un valor entre 0 y 1.

7

Matriz de Probabilidad de Transición:

....,2,1,0,;10 jiPP ijij

PROCESO DE MARKOV

• PROPIEDAD 2

• Esto significa que, para cada estado (fila en la matriz), la suma de todas las probabilidades de transición será 1.

• Por ello se dice que la matriz es de tipo estocástica.

8

Matriz de Probabilidad de Transición:

0

....,2,1,0;1j

ij iparaP

PROCESO DE MARKOV

MATRIZ DE TRANSICIÓN: EJEMPLO

.

Tiempo n+1

Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3

Estado 0 0,20 0,65 0,15 0

Tiempo n

Estado 1 0 0,60 0 0,40

Estado 2 0,15 0,15 0,30 0,40

Estado 3 0 0 0 1

PROCESO DE MARKOV

• Es posible representar un proceso de Markov por un grafo.

• Cada nodo representa a un elemento del espacio muestral.

• Cada arco dirigido representa a la probabilidad de transición Pij ( desde i a j) asociada al par de estados que conecta (i , j)

10

0

1

2

P00 P01

P10

P02

P20P22

P11

P21

P12

PROCESO DE MARKOV

• ¿Cuál será la matriz de transición para este grafo?

11

0

1

2

0.5 0.2

0.6

0.3

0.10.4

0.1

0.5

0.2

PROCESO DE MARKOV

• La matriz respectiva será:

12

0

1

2

0.5 0.2

0.6

0.3

0.10.4

0.1

0.5

0.3

PROCESO DE MARKOV

4.05.01.0

3.01.06.0

3.02.05.0

P

• Otro ejemplo de representar una matriz de transición; en forma GRÁFICA y en forma MATRICIAL

13

2/14/14/1

4/304/1

4/14/30

P0

1

2

1/4

3/4

1/4

1/41/4

3/4

1/2

PROCESO DE MARKOV

14

PROCESO DE MARKOV El diagrama transición de

estados :

Matriz de Probabilidad de transición entre estados:

210.97

30.95

4 5

0.05 0.93

0.07

1

0.03

1 2 3 4 5

1 0 0.97 0 0.03 0

2 0 0 0.95

0.05

0

3 0 0 0 0.07

0.93

4 0 0 0 1 0

5 0 0 0 0 1

1

P =

EJEMPLO 1: UN MODELO PARA EL DESPLAZAMIENTO POBLACIONAL

Para efectos de una investigación, en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante de zona urbana, rural o suburbana. Se ha estimado que durante un año cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas se cambian a zona suburbana y el 5% a zona rural. El 6% de las familias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona rural. El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el 6% a zona suburbana.

PROCESO DE MARKOV

Tendremos la siguiente matriz de transición

Urb. Surb. Rur.

900060040

040900060

050150800

,,,

,,,

,,,

P

PROCESO DE MARKOV

EJEMPLO 1: UN MODELO PARA EL DESPLAZAMIENTO POBLACIONAL

Urb Surb. Rural

0,15 0,04

0,05

0,04

0,06 0,06

0,80,90

0,90

PROCESO DE MARKOV