Juan Mayorga-ZambranoMatem atica Superior para Ingeniera con ayuda de Maxima Versi on 1.0ESPESangolqu EcuadorResumen.Este trabajo presenta los t opicos correspondientes al ultimo nivel de Matem aticas en una carrera de Inge-niera. Se presenta la base te orica y se apoya el trabajo pr actico con el uso de Maxima, un sistema algebraicocomputacional del tipo Free Software.Matem atica Superior para Ingenierac _2011 Juan Ricardo Mayorga ZambranoPublicado por ESPEhttp://www.espe.edu.ecPrimera impresi on.Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley de Propiedad Intelectual, podr a ser reproducido,transmitido, almacenado o utilizado en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gr aco, electr onico omec anico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducci on, escaneo, digitalizaci on,grabaci onenaudio, distribuci onenInternet, distribuci onenredesdeinformaci onoalmacenamientoyrecopilaci on en sistemas de informaci on sin el consentimiento por escrito de la ESPE y del autor.Dedicado a mis hijos Daniel, Keren y Jaya.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDVIEstetextohasidopreparadoconLATEX. Sehaadaptado la plantilla svmono disponible en la p agi-na web de la casa SpringerVerlag y que original-mente acepta los idiomas ingl es, franc es y alem an.CTAN lion drawing by Duane Bibby;thanks to www.ctan.orgExiste una opinion muy generalizada segun la cual la matematica es laciencia mas difcil cuando en realidad es la mas simple de todas.La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente porsu simplicidad, los razonamientos matematicos equivocados quedan a lavista. En una compleja cuestion de poltica o arte, hay tantos factoresen juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difcildistinguir lo verdadero de lo falso.El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutirsobre poltica y arte - y en verdad lo hace - mientras que mira lamatematica desde una respetuosa distancia.Ernesto S abato, Uno y el Universo.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDTabla resumida de contenidosPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIntroducci on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. An alisis complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054. Sistemas din amicos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375. An alisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916. Ecuaciones Diferenciales Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271A. Modelamiento matem atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293B. Ondeletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Soluciones a los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325VIIUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDVIII TABLA RESUMIDA DE CONTENIDOSIndice alfab etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDPresentaci onsdadad adas das das dsa das d asd asd d sad sad sad asd sd asd as d asd sad sa dsa d ad asd ad as dss adasdCIUDAD, MES de 2011 REVISORIXUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDPrefacioEste texto nace de las notas de curso que prepar e para un curso de Matem atica Superior para la carrera deIngeniera Mecatr onica apenas me vincul e a la Universidad de las Fuerzas Armadas de Ecuador (ESPE). Ala no siguiente, los estudiantes me preguntaron si se podra trabajar el material con el sofware Maxima - queyo ya haba utilizado con ellos en un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. La respuesta armativadi o el impulso inicial a este proyecto.No soy partidario de hacer m as f acil la Matem atica pues por esta premisa se tiende a bajar el nivelacad emico y la capacidad de desarrollar proyectos de Ingeniera donde el modelamiento matem atico juegaun rol esencial. Pienso que a la Matem atica hay que hacerla m as atractiva de manera que he preparadoel material tratando de hacerlo interesante para los estudiantes. Para convencerse de la importancia de lostemas del curso uno podra enlistarlos junto con ejemplos de aplicaci on a la Ingeniera; pero, probablemente,el estudiante encontrar a m as efectivo converzar con los profesores especialistas de su carrera acerca de loscursos que ellos dictan: por regla general, encontrar a que mientras m as moderno e intrincado es el materialabordado, m as matem aticas son necesarias. Independiente de su concepto acerca de los matem aticos, losespecialistas de su carrera de Ingeniera son gente pr actica quienes no le haran tomar un curso si pensaranque ese tiempo se podra utilizar para cosas con mayor valor [Ald97]Para dominar el material presentado en este documento, el estudiante deber a sudar bastante. Se prov eeun importante apoyo por medio de Maxima, un Sistema Computacional Algebraico, pero ser an necesariospapel y l apiz: el ingeniero debe ser amo de su software y no viceversa.Crticas y observaciones son siempre bienvenidas. Para ello puede escribirme a jrmayorga@espe.edu.ecSangolqu, Juan Mayorga ZambranoAbril 2011 ESPEXIUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDReconocimientosEn la tradici on Hebrea se cuenta la historia de un matrimonio de personas justas que al no poder tenerhijos, deciden divorciarse. Se vuelven a casar, pero esta vez el con una mujer malvada y ella con un hombremalvado. Al cabo de unos a nos la mujer haba logrado transformar a su segundo esposo en un hombre justoen tanto que su ex-esposo se haba vuelto malvado.Sin la paciencia, apoyo y crticas de mi esposa no estara donde estoy ni sera quien soy. Gracias Carmitapor ayudarme a sacar lo mejor de mi.Este proyecto no hubiera podido concretarse sin el apoyo incondicional de las autoridades de la ESPE,con menci on particular al Gral. Carlos Rodrguez y al Crnl. Jorge Vergara. Mi sincero agradecimiento aellos.XIIIUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDBreve rese na del autorJuan R. Mayorga Z. naci o en Ambato - Ecuador,1976. Se gradu o con Suma Quan Laude como mejorestudiante de la promoci on 2001 de la Escuela Po-lit ecnica Nacional obteniendo el ttulo de Matem ati-co. En 2006 obtuvo el ttulo de Doctor en Cienciasde la Ingeniera (menci on en Modelaci on Matem ati-ca) en Universidad de Chile. Cuenta con dos post-doctados: Universidad de Talca (Chile, 2006 - 2007)y Technion (Israel, 2007 - 2008).Ha sido profesor y/o investigador en Israel Institute of Technology - Technion (Israel), Universit e Pa-ris Dauphine (Francia), International Centre for Theoretical Physics - ICTP (Italia), Universidad de Viena(Austria), Universidad de Chile (Chile), Universidad de Talca (Chile), Escuela Polit ecnica Nacional (Ecua-dor), Universidad T ecnica de Ambato (Ecuador) y Universidad Tecnol ogica Indoam erica (Ecuador). Ac-tualmente es profesor investigador en la Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE (Ecuador).Juan R. Mayorga Z. es observante de las Siete Leyes de los Hijos de No e, c odigo de etica universal queles corresponde a las naciones no-judas de la tierra. Sobre este t opico ha traducido del ingl es al espa nol loslibros The Seven Colors of the Rainbow (Bindman) y The Path of the Righteous Gentile (Clorfene &Rogalsky). Fue Coordinador para Chile (2006) y Coordinador Internacional (2007) de la Fundaci on Luz deVida Internacional; miembro del staff de Universidad No ajida (2009 - 2011). Actualmente trabaja bajo lasupervisi on de Jabad Ecuador en la ense nanza y divulgaci on del Noajismo.XVUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDDetalle de contenidosPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIntroducci on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Conjunto de partes y familia de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Cardinalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. El Axioma de Elecci on y el Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Grupos, Anillos y Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192. An alisis complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1. Operaciones con n umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. El cuerpo de los n umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Notaci on imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29XVIIUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDXVIII Detalle de contenidos2.2.1. Funciones m odulo y de conjugaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2. Bolas, conjuntos abiertos y funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. F ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.1. Forma polar de un n umero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2. Teorema Fundamental delAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3. Races de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4. Lmites y Continuidad de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.1. Condiciones de Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.2. Reglas de derivaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.3. Primitivas o antiderivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.4. Curvas y dominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.1. Funci on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6.2. Funciones hiperb olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6.3. Funciones trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.4. Funci on logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7. Integral en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7.1. Denici on en el sentido de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7.2. Longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.7.3. Teorema Fundamental del C alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.7.4. Funci on indicatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.8. El teorema de Cauchy - Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.9. F ormula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.9.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDDetalle de contenidos XIX2.9.2. Otras consecuencias de la f ormula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.11. Polos y singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.12. El Teorema de los Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.13. C alculo de integrales va residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.13.1. Integrales de funciones trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.13.2. Integrales impropias sobre dominios no-acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2. Deniciones y f ormulas b asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Teoremas de traslaci on o corrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3.1. Primer teorema de traslaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3.2. Transformada inversa de funcionales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.3. Segundo teorema de traslaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4. La transformada inversa mediante el c alculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5. Derivaci on y convoluci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6. Funciones peri odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.7. Delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.8. Aplicaciones de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.8.1. Aplicaci on a un problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.8.2. Aplicaci on a la ecuaci on de Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.8.3. Aplicaci on a la segunda ley de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.8.4. Aplicaci on a sistemas de EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.8.5. Aplicaci on a la Economa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDXX Detalle de contenidosProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314. Sistemas din amicos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2. Clasicaci on de los sistemas din amicos continuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. Existencia, unicidad y estabilidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4. Campos de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.5. Puntos atractivos y repulsivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6. El m etodo de Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.6.1. Runge - Kutta para sistemas de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.6.2. Sistemas din amicos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.6.3. Runge - Kutta para sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.7. Sistemas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.8. Sistemas aut onomos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.9. Estabilidad de puntos crticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9.1. Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.10. Caso no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875. An alisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.2.1. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.2.2. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.2.3. Continuidad de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3. Espacios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3.1. El espacio L2(I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDDetalle de contenidos XXI5.3.2. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.3.3. El proceso de Gram - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.3.4. Bases de Schauder y Hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.4. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.4.1. Criterio de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.4.2. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.4.3. La representaci on de Riesz-Fr echet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.4.4. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.4.5. Operadores adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.5. Bases Hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.5.1. Existencia de bases Hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.5.2. Series de Fourier Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.5.3. Series cl asicas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5.4. El sistema trigonom etrico en L2([L; L]) y las series de Fourier complejas. . . . . . . . 2335.5.5. Series de Fourier Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.5.6. Series de Fourier Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385.6. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.6.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.6.2. Los operadores Fy F1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.6.3. Propiedades importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.6.4. Relaci on de Fcon otras transformadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.6.5. Estudio de se nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656. Ecuaciones Diferenciales Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDXXII Detalle de contenidos6.2. Ejemplos de EDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.3. La ecuaci on de difusi on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2756.4. La ecuaci on de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.5. Resoluci on de EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.5.1. M etodo de separaci on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.5.2. Funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.5.3. Resoluci on mediante las transformadas de Fourier y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846.5.4. Otros m etodos de soluci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A. Modelamiento matem atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.2. Conceptos b asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294A.3. Tipos de modelos matem aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295A.3.1. Modelos est aticos y din amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296A.3.2. Modelos determinsticos y estoc asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299A.3.3. Modelos continuos y discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300B. Ondeletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Soluciones a los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Indice alfab etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDIntroducci on generalIl libro della natura e scrito in lingua matematicaGalileo GalileiLa Ense nanza de las Matem aticas para Ingeniera ha experimentado una transici on desde los a nos ochen-ta. En buena medida esto ha sido orientado por la necesidad de aprovechar la explosi on de recursos compu-tacionales cada vez m as poderosos.Hoy en da es indudable que el estudiante debe conectarse temprano en su carrera con software ma-tem atico que le permita resolver problemas con efectividad y eciencia; pero, al mismo tiempo, estamosconvencidos de que el estudiante de Ingeniera debe ser amo de su software y no en el otro sentido. Por tan-to, al trabajar en este libro hemos tenido presente que, para saltar al computador, el estudiante debe primerotener cimentados sus conocimientos con un n umero apropiado de horas de trabajo con papel y l apiz.Escogimos el software Maxima para apoyar el estudio de la materia bajo tres consideraciones. Por unlado, Maxima es un Sistema Computacional Algebraico (CAS) de manera que permite obtener solucionesanalticas (cuando es posible) y hacer un seguimiento paso a paso de los procedimientos de resoluci on deproblemas. Como consecuencia, a m as de tener una forma r apida para vericar el dominio propio de lasherramientas matem aticas, permite una aplicaci on inmediata a materias de Ingeniera (Termodin amica, Sis-temas Din amicos, Teora de Control, etc.). Por otro lado, si bien Maxima es un CAS y por tanto no tieneel poder num erico de una Plataforma de C alculo Cientco (como Scilab o Matlab), tambi en permitetrabajar num ericamente a un nivel aceptable. Finalmente, Maxima es un software de c odigo abierto de ma-nera que los estudiantes pueden instalarlo en sus computadores de forma gratuita. Esta ultima consideraci ones importante pues piratear software es un delito y el profesor debe buscar alternativas de calidad para losestudiantes que no tienen los recursos econ omicos sucientes para invertir en software licenciado.Se ha usado la versi on 5.24 de Maxima y se ha trabajado con la interface wxMaxima. A lo largo dellibro el c odigo Maxima se presenta a color y sombreado:(%i1) sin(%pi/4);( %o1)12El c odigo Maxima presentado para resolver un determinado problema ha sido probado y preparado demanera tal que sea claro para el estudiante al punto que lo motive a adaptarlo para la resoluci on de otrosproblemas.1UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2 Introducci on generalA lo largo del texto se mantiene un enfoque orientado hacia la Ingeniera. Creemos que un Ingeniero nodemuestra teoremas; pero debe ser capaz de administrarlos y aplicarlos a la resoluci on de problemas. Portanto, presentamos s olo las demostraciones que estimamos son relevantes para mejorar la comprensi on dela materia. El smbolo . indica que se da por terminada una demostraci on.Los temas tratados en esta obra se presentan habitualmente en el ultimo nivel de matem aticas en lascarreras de Ingeniera. Por mi experiencia como profesor puedo sugerir tanto al estudiante como al profesorque apoyen su trabajo con otros libros de texto como [ON09] y [Kre06]. Un mismo tema que un estudianteencuentra claro en un libro puede resultar obscuro para otro estudiante y no hay tiempo para desperdiciar:un estudiante de ingeniera est a normalmente sometido a una gran presi on y exigencia.Al nal de cada uno de los captulos se presenta un conjunto de problemas seleccionados. No armamosque los problemas presentados sean originales (si bien hay algunos que son de nuestra autora); m as bienhemos tratado de seleccionarlos a partir de varias fuentes y adaptarlos a nuestro curso. Al nal del libro sepresentan las respuestas para la mayora de ellos.En el Captulo 2 se presenta el An alisis Complejo. Se parte con un repaso del cuerpo C y se avanzar apidamente hacia el manejo de funciones complejas como las hiperb olicas, trigonom etricas y logartmicas.Se abordan entonces los conceptos de derivabilidad e integrabilidad de funciones complejas. La parte naldel captulo presenta el teorema de Cauchy-Goursat, la f ormula integral de Cauchy, las Series de Laurent yel Teorema de los Residuos junto con sus aplicaciones.El Captulo 3 se dedica a la transformada de Laplace. Se abordan las herramientas necesarias para suestudio y se termina el captulo con varios tipos de aplicaciones.En el Captulo 4 se abordan los Sistemas Din amicos Continuos. Hemos creido conveniente incluirlocomo parte de un curso de Matem atica Superior para Ingeniera pues sirve como complemento al cursoest andar de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias que habitualmente antecede a este curso. Se presentan losteoremas de existencia y unicidad de soluciones y se aprovecha el m etodo de Runge - Kutta para describirnum ericamente soluciones. Al nal del captulo se hace una introducci on an alisis de estabilidad de puntoscrticos.En el Captulo 5 se aborda el An alisis de Fourier. Se parte con un recordatorio de ciertos t opicos delAlgebra Lineal. Se introduce el concepto fundamental de conjunto abierto as como las deniciones debases de Schauder y Hilbertianas. Es en este contexto general que se introducen las Series de Fourier. Acontinuaci on se introduce el espacio de las funciones de cuadrado integrable, L2(), fundamental para unestudio moderno de las ecuaciones diferenciales, como un ejemplo de espacio de Hilbert separable. ComocasosespecialesdebasesHilbertianasdeL2()seabordanlossistemastrigonom etrico, deLegendre,de Hermite, y de Laguerre. El captulo termina con una secci on dedicada a la transformada de Fourier, alas herramientas fundamentales para su aplicaci on a las ecuaciones en derivadas parciales y al an alisis dese nales.En el Captulo 6 se presentan las Ecuaciones en Derivadas Parciales como modelos matem aticos y se pre-sentan el m etodo de separaci on de variables y el m etodo de las transformadas para resolver casos analticosde las ecuaciones de onda, calor y Laplace.Se han incluido dos ap endices. En el primero se presenta material complementario. En el segundo serese na muy brevemente lo que es el Modelamiento Matem atico.El material presentado en este curso supone que el estudiante trae aprobados cursos a buen nivel deC alculo Diferencial e Integral (e.g. [Apo67] y [MZ07]),Algebra Lineal (e.g. [Gro87] y [Tor92]), C alculoUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDIntroducci on general 3Vectorial (e.g. [PR95] y [Apo67]) y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (e.g. [Zil97]) para estudios de unacarrera de Ingeniera. En mi experiencia docente he encontrado que los estudiantes que llegan con buenasbases de l ogica matem atica absorben con mucha mayor soltura los conocimientos y m etodos matem aticosde manera que este t opico puede considerarse como requisito para el curso.Para terminar esta Introducci on debo se nalar que la notaci on usada a lo largo del texto es casi siempre laest andar. Se ha hecho un esfuerzo por enunciar explcitamente los dominios de las funciones; esto no se debe unicamente a la (de)formaci on matem atica del autor sino m as bien a un hecho pr actico: he encontrado quemuchos problemas que los estudiantes encuentran casi imposibles se resuelven simplemente al aclarar eluniverso de estudio donde trabajan las funciones.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDCaptulo 1PreliminaresPresentamos a continuaci on t opicos de base que apoyan al material tratado en el libro. La teora intuitivade conjuntos, el manejo abstracto de relaciones y su clasicaci on as como la comprensi on general delconcepto de funci on son normalmente parte del primer curso universitario de Matem aticas en una carrerade Ingeniera. Lo mismo sucede con las estructuras algebraicas elementales: grupos, anillos y cuerpos. Porotro lado, la clasicaci on de conjuntos por su cardinalidad, el concepto general de sucesiones, as comoelmanejodefamiliasdeconjuntosseencuentranenprogramasdeIngenieraconunainclinaci onm ascientca y en carreras de Matem atica y Fsica.1.1. ConjuntosEl sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma axioma de elecci on, ZFC, constituyenlabaseaxiom aticam asusadaparasustentarlaTeoradeConjuntos.SibienZFCesnuestroparaguas,recurrimos a la intuici on - combinada con la l ogica - para desarrollar los conceptos.La axiomatizaci on ZFC surgi o del trabajo de Russel, Zermelo, Hilbert y otros matem aticos que se es-forzaron por reparar los cimientos de la Teora de Conjuntos que haban sido demolidos con la cada de losaxiomas de Frege por el surgimiento de paradojas insalvables. En 1893 Gottlob Frege haba dado un siste-ma de axiomas para la teora de conjuntos (ideada por Georg Cantor), con la intenci on de proveer una basel ogica para la matem atica. Entre otras cosas, estos axiomas buscaban eliminar problemas como la paradojade Cantor.1En 1901 Russel mostr o que uno de los axiomas de Frege, el Axioma de Comprehensi on, erainconsistente. La paradoja de Cantor y uno de los axiomas de Frege son presentados en la Secci on 1.3.A lo largo del texto usaremos la notaci on conjuntivista est andar. Un conjunto normalmente ser a denotadopor letras may usculas (e.g. A, B, C, X) en tanto que se usar an min usculas (e.g. a, b, c, x) para representara los elementos. Siempre se supondr a que todos los conjuntos en consideraci on est an contenidos en ununiverso de trabajo U.1Si suponemos la existencia de , el conjunto m as grande de todos los conjuntos, entonces U : U sera estrictamentem as grande que ; cay endose en una contradicci on.5UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD6 1 PreliminaresFigura1.1El conjuntouniversoes el marcodereferenciaparaelestudiodeundetermi-nadoproblema. Fuente:http://ericmat.les.wordpress.com/Notaci on 1.1[Pertenencia y contenencia]Por a A o equivalentemente A a indicamos que a pertenece al conjunto A. Por C B o B C indicamosque C es un subconjunto de B, esto es, todos los elementos de C tambi en est an en B.Todo conjunto tiene por subconjunto a / 0, el conjunto vaco.Notaci on 1.2A lo largo de todo el texto se abreviar a con ssi la frase si y s olo si. Simb olicamente corres-ponde al bicondicional .Dos conjuntos son iguales cuando cada uno de ellos es subconjunto del otro; es decir, dados dos conjun-tos A y B se tiene queA = B (A B) (B A). (1.1)La intersecci on de A y B, denotado AB, es el conjunto cuyos elementos est an tanto en A como en B, esdecir,AB =x X : (x A) (x B). (1.2)Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si AB =/ 0. La uni on de A y B, denotado AB, es elconjunto cuyos elementos est an en A o en B, es decir,AB =x X : (x A) (x B). (1.3)En el siguiente teorema se establecen las propiedades conmutativa y distributiva de las operaciones uni one intersecci on. En su demostraci on se hace evidente el fuerte vnculo que existe entre la Teora de Conjuntosy la L ogica Proposicional.Teorema 1.1[Operaciones con conjuntos]Sean A, B y C conjuntos. EntoncesAB = BA; (1.4)AB = BA; (1.5)(AB) C= (AC) (BC); (1.6)(AB) C= (AC) (BC). (1.7)Demostraci on. Probemos (1.6). Los puntos (1.4), (1.5) y (1.7) quedan para el lector.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.1 Conjuntos 7Probemos que (AB) C (AC) (BC). Sea x (AB) C, cualquiera. Se tiene quex (AB) C (x AB) (x C) (x A x B) (x C) (x A x C) (x B x C) (x AC) (x BC) x (AC) (BC).Puesto que x fue elegido arbitrariamente, se sigue quex (AC) (BC), para todo x (AB) C,de manera que(AB) C (AC) (BC). (1.8)Puesto que en todos los pasos del procedimiento anterior se tienen bicondicionales, se tiene inmediata-mente que(AC) (BC) (AB) C. (1.9)Entonces, en virtud de (1.1), (1.8) y (1.9), se concluye que (AB) C = (AC) (BC). .El complemento de B con respecto a A, denotado AB, es el conjunto de elementos que estando en A,no est an en B, esto esAB =x A : x/ B. (1.10)En particular, Bc=U B representa el complemento de B.En el siguiente teorema se establece un mecanismo para intercambiar las operaciones de uni on e inter-secci on con ayuda de la complementaci on.Teorema 1.2[Leyes de Morgan]Sean A, B y C conjuntos. EntoncesA(BC) = (AB) (AC); (1.11)A(BC) = (AB) (AC). (1.12)Si A y B son subconjuntos de un universo X, entonces las leyes de Morgan se escriben como(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. (1.13)Ejemplo 1.1Un conjunto cualquiera A est a completamente determinado por sus elementos. Entonces, lasigualdadesA =a, e, i, o, u =i, e, a, o, u =u, a, o, e, i =x : x es una vocal.son todas v alidas.Tip 1.El comando: se utiliza para cualquier tipo de asignacion a un objeto.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD8 1 PreliminaresTip 2.En Maxima un conjunto se declara con objetos contenidos entre llaves. Lasordenesintersection(A1,...,An) yunion(A1,...,An) permiten calcular, respectivamente,A1A2... Any A1A2... An.Tip 3.La ordensetdifference(A,B) calcula AB.Ejemplo 1.2Consideremos los conjuntos(%i1) A: {a,b,c,d,m,n,o,p};B: {b,c,d,p,u,v,w};C: {a,c,d,m,o,w};( %o1) a, b, c, d, m, n, o, p( %o2) b, c, d, p, u, v, w( %o3) a, c, d, m, o, wVeriquemos que para estos conjuntos efectivamente se cumple que (AB) C = (AC) (BC):(%i4) E1: union(intersection(A,B), C);( %o4) a, b, c, d, m, o, p, w(%i5) E2: intersection(union(A,C), union(B,C));( %o5) a, b, c, d, m, o, p, wAsimismo calculemos los dos lados de A(BC) = (AB) (AC):(%i6) D1: setdifference(A,intersection(B,C));( %o6) a, b, m, n, o, p(%i7) D2: union(setdifference(A,B),setdifference(A,C));( %o7) a, b, m, n, o, pObservaci on 1.1No se ha mencionado nada sobre la naturaleza de los elementos de un conjunto; estospodran ser letras, n umeros e incluso otros conjuntos.Ejemplo 1.3Consideremos los conjuntosUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.1 Conjuntos 9(%i1) A: { {0}, {1,2}, {1,3}, {3,4} };( %o1) 0, 1, 2, 1, 3, 3, 4(%i2) B: { {1,2}, {1,3}, {5,8}, {1,2,3} };( %o2) 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 5, 8Se tiene que(%i3) intersection(A,B);( %o3) 1, 2, 1, 3(%i4) union(A,B);( %o4) 0, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 4, 5, 8Ejemplo 1.4Denotemos por N al conjunto de los n umeros naturales:N =1, 2, 3, ..., (1.14)donde0 =/ 0,1 = 0 =/ 0,2 = 0, 1 =/ 0, / 0,3 = 0, 1, 2 =/ 0, / 0, / 0, / 0,............n = 0, 1, 2, ..., n1. (1.15)Denamos Acomo el conjunto formado por todos los subconjuntos binarios de N. Entonces,C= 1, 2, 1, 3, 1, 4, ..., 2, 3, 2, 4, 2, 5, ....Es claro que B =1, 1 =1, no pertenece al conjunto C.Cuando el orden de los elementos es importante tenemos que valernos de alg un truco que permita dis-tinguir cu al elemento es el primero, el segundo, etc.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD10 1 PreliminaresDenici on 1.1[Producto Cartesiano]SeanAyBdosconjuntosno-vacos.Sedeneel producto cartesianodeAyB,denotadoA B,medianteAB =(a, b) : a Ab B,donde,(a, b) a, a, b =a, b, a. (1.16)Se dice que (a, b) AB es el par ordenado con primera componente a A y segunda componenteb B.La denici on (1.16) es el truco que buscamos pues el primer elemento de (a, b) AB, es aquel quepertenece al segundo elemento de (a, b). De la denici on se sigue que(a, b) = (c, d) (a = c) (b = d). (1.17)De manera similar se dene el producto ordenado de los conjuntos no-vacos A1, A2,..., An:A1A2... An = (A1A2... An1) An. (1.18)En particular se pone An= AA... A (n veces).Tip 4.La ordencartesian product(A1,...,An) calcula A1A2... An.Ejemplo 1.5Consideremos los conjuntos(%i1) A: {a,b,c};B: {1,2};C: {u,v};( %o1) a, b, c( %o2) 1, 2( %o3) u, vCalculamos ABC:(%i4) cartesian_product(A,B,C);( %o4) [a, 1, u], [a, 1, v], [a, 2, u], [a, 2, v], [b, 1, u], [b, 1, v], [b, 2, u], [b, 2, v], [c, 1, u], [c, 1, v], [c, 2, u], [c, 2, v]UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.2 Relaciones 111.2. RelacionesLos tres tipos de relaciones m as importantes son las relaciones de orden, de equivalencia y las funciones.Denici on 1.2[Relaci on, dominio, codominio, rango]Dados dos conjuntos no-vacos X y Y, llamamos relaci on de X en Y a todo subconjunto f de X Y. Sedice que x X est a en el dominio def , denotado Dom( f ) X, si existe alg un y Y tal que (x, y) f .Se dice que Yes el codominio def y se denota Cod( f ) =Y. Se dice que y Yest a en el rango def ,denotado Rg( f ) Y, si existe alg un x X tal que (x, y) f .Se suele escribirxry. (1.19)para indicar que (x, y) pertenece a la relaci on r AB.Denici on 1.3[Reexividad, simetra, antisimetra, transitividad]Sea r una relaci on de X en X. Se dice que r es1) reexiva six X : xrx;2) sim etrica six, y X : xry=yrx3) antisim etrica six, y X : xry yrx = x = y.4) transitiva six, y, z X : xry yrz = xrz.Introducimos ahora el concepto de relaci on de orden.Denici on 1.4[Relaci on de orden]Se dice que una relaci on sobre un conjunto es de orden si es reexiva, antisim etrica y transitiva.En este caso se dice que (, ) es un conjunto ordenado.Ejemplo 1.6Sobre Z se dene la relaci on de manera quea b ba N0.El lector puede vericar f acilmente que es una relaci on relexiva, antisim etrica y transitiva y que, portanto, es una relaci on de orden.Denici on 1.5[Relaci on de equivalencia]Se dice que una relaci on sobre el conjunto es de equivalencia si es reexiva, sim etrica y transi-tiva. Se dene la clase de equivalencia de x como[x] y : x y. (1.20)UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD12 1 PreliminaresEjemplo 1.7Sea M Z. Denimos sobre Z, la relaci on de congruencia m odulo M, denotada , comoa b ab es m ultiplo de M.Esta es una relaci on de equivalencia sobre Z. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasicaci onde los n umeros enteros en pares e impares.Introducimos ahora el concepto de funci on o aplicaci on.Denici on 1.6[Funci on / Aplicaci on]Sean Xy Ydos conjuntos no vacos. Se dice que la relaci onf X Yes una funci on o aplicaci onde X en Y si se cumplen las siguientes condiciones:i) Dom( f ) = X.ii) Para cada x X, existe un unico y Ytal que (x, y) f , es decir,x X, !y Y : (x, y) f .Una funci on de X en Yse denotaf : X Yx y = f (x) (1.21)A veces en lugar de la notaci on (3.1), se escribeX x f (x) Y. (1.22)Las notaciones anteriores son especialmente utiles cuando la correspondencia entre x Xe y =f (x) Yest a dada por alguna regla o f ormula especca. En ese sentido puede pensarse quef (x) Y es el productoque resulta de aplicar el procesof a la materia prima x X. Tambi en se dice que la variable dependientey = f (x) resulta de aplicarfa la variable independiente x X.1.3. Conjunto de partes y familia de conjuntosDado un conjunto cualquiera, se llama partes de , denotado P(), al conjunto formado por todoslos subconjuntos de , es decir,P() =U : U . (1.23)El concepto de familia de conjuntos es de vital importancia. A grosso modo una familia de conjuntossobre un conjunto es un una colecci on indexada de partes de .UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.3 Conjunto de partes y familia de conjuntos 13Denici on 1.7[Familia de Conjuntos]Llamamos familia de conjuntos sobre a toda aplicaci on A P().En este caso se dice que es el conjunto de ndices de la familia y, normalmente, se usa la notaci onA . (1.24)La notaci on (1.24) es similar a (1.35) para sucesiones. Esto no es casualidad: una sucesi on de conjuntoses una familia de conjuntos indexada en N.Dada una familia de conjuntos A se denen la uni on e intersecci on de los elementos de lafamilia mediante:_A=_x :(0 tq x A0)_, (1.25)

A=_x :(0 : x A0)_. (1.26)El caso en que = / 0 se maneja por convenci on:_/ 0A= / 0, (1.27)

/ 0A= . (1.28)Un tipo de familia de conjuntos de mucha utilidad es la partici on de un conjunto.Denici on 1.8[Partici on]Se dice que A, una familia de conjuntos sobre , es una partici on de si su uni on da y sicualesquiera dos elementos distintos de la familia son disjuntos, es decir si se cumple que, , ,= : A A= 0; (1.29)_A= . (1.30)La importancia de una partici on yace en que clasica perfectamente, por clases de equivalencia, a loselementos de un conjunto. Esto se establece en la siguiente proposici on.Proposici on 1.1[Partici on en clases de equivalencia]Sea una relaci on de equivalencia sobre . Entonces [x]xes una partici on de .UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD14 1 Preliminares1.4. CardinalidadComparar el tama no de dos conjuntos por el n umero de sus elementos es viable s olo cuando al menosuno de los conjuntos es nito. Para comparar el tama no de dos conjuntos innitos es necesario denir losconceptos de inyectividad y sobreyectividad de funciones.Denici on 1.9[Inyectividad, Sobreyectividad]Seaf : A B. Se dice quef es inyectiva si a elementos diferentes en A les corresponde im agenesdiferentes en B, es decir,x1, x2 A, x1 ,= x2 : f (x1) ,= f (x2).Se dice quefes sobreyectiva si todo elemento de B tiene preimagen, es decir,y B, x A : f (x) = y.Se dice quefes biyectiva si es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.Es f acil vericar que sif : A B es biyectiva entonces existe una funci on g : B A tal quef (g(y)) = y, para todo y B; (1.31)g( f (x)) = x, para todo x A. (1.32)Las relaciones (1.31) y (1.32) nos dicen quefy g son procesos inversos el uno del otro. Se dice que g es lafunci on inversa def(y viceversa) y se denotaf1= g.Denici on 1.10[Cardinalidad / potencia]Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad o potencia si existe una funci on biyec-tiva entre ellos. En este caso se denota#[A] = #[B].Si existe una funci on inyectiva de A en B, se dice que A tiene una cardinalidad menor o igual que lacardinalidad de B y se escribe #[A] #[B]. Si adicionalmente #[A] ,= #[B], se escribe #[A] < #[B].La relaci on , reci en denida, parecera ser de equivalencia. En efecto,el lector puede usar biyeccionespara tratar de probar la reexividad, antisimetra y transitividad. Todo parece funcionar. Y, si esto fueracierto, por la Proposici on 1.1 todos los conjuntos se podran clasicar por su cardinalidad. Sin embargo,sobre qu e conjunto estara denida esta relaci on?Observaci on 1.2La paradoja de Cantor fue mencionada al principio de este captulo. Consiste en su-poner que existe un conjunto con la cardinalidad m as grande (que equivale a suponer que existe unconjunto que contiene a todos los conjuntos) para entonces darse que cuenta que P() es a un m as gran-de. Para evitar problemas como la paradoja de Cantor es indispensable una axiomatizaci on consistentecomo la ZFC. 22Por el contrario, la axiomatizaci on predecesora, de Frege, es inconsistente pues da via libre a paradojas (como las de Cantor,de Russel, etc.) a trav es de su axioma de comprehensi on: Para toda propiedad P existe un conjunto MP que contine a todos yexclusivamente a todos los conjuntos que satisfacen la propiedad P.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.4 Cardinalidad 15Son muy utiles los conjuntos que se pueden contar es decir que son nitos o numerables:Denici on 1.11[Conjuntos numerables y discretos]Se dice que un conjunto A esi) numerable si #[A] =0;ii) discreto si #[A] 0;donde, por denici on,0 = #[N]. (1.33)La clase de conjuntos con potencia30 corresponde a los m as peque nos de los conjuntos innitos. Enefecto, un conjunto A es innito si y s olo si#[A] 0.Ejemplo 1.8Sea P el conjunto de los enteros positivos pares. Es claro que P _ N pero, puesto que lafunci on p : N P denida mediantep(k) = 2k,es biyectiva, se sigue que#[N] = #[P].El anterior ejemplo evidencia una diferencia cualitativa entre conjuntos nitos e innitos. En efecto, siA y B son conjuntos nitos tales que A B, entoncesA _B#[A] = #[B].Observaci on 1.3Es f acil vericar que si es un conjunto con n elementos, n N0, entonces P()tiene exactamente 2nelementos (incluyendo a / 0 y ).Notaci on 1.3En general, se pone#[P()] = 2#[],y por lo xxx se tiene que#[P()] > #[]. (1.34)Para teminar esta secci on, enunciamos un resultado que es util e.g. para el manejo de bases Hilbertianas.Teorema 1.3La union de una familia numerable de conjuntos numerables es numerable.3 es la letra hebrea alef.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD16 1 Preliminares1.5. SucesionesCuando se quiere resolver un problema de Ingeniera mediante un computador habitualmente se recurrea aproximaciones discretas del modelo matem atico; por ello, el concepto de sucesi on es fundamental enMatem aticas.Dado A un conjunto no-vaco, llamamos sucesi on en A a toda funci on cuyo dominio es N o N0 ycuyo codominio es A. Es claro que el rango de una sucesi on es un conjunto discreto. A las sucesiones en unconjunto A se las suele denotar(xn)nN A, (yn)nN A, (zn)nN A, etc. (1.35)Tip 5.La ordenb(n) calcula el n-esimo elemento de la serie de Fibonacci.Tip 6.La ordenmap(f, expr1, expr2,...,exprn) devuelve una expresion cuyo operador principal esel mismo que aparece en las expresiones expr1, ..., exprnpero cuyas subpartes sonlos resultados de aplicar f a cada una de las subpartes de las expresiones.Ejemplo 1.9Supongamos, que se quiere empezar un negocio de cra de conejos. La funci on que mode-la matem aticamente tal fen omeno o proceso es la sucesi on de Fibonacci. En la naturaleza, hay muchoselementos relacionados con la sucesi on de Fibonacci: la cantidad de p etalos de una or y la cantidad deespirales en una pi na, etc. Como se ver a a continuaci on, el negocio tiene perspectivas de ser rentable puesla poblaci on de conejos crece a buen ritmo.La sucesi on de Fibonacci (Fn)nN0 N0, est a denida porFn =___0, si n = 0,1, si n = 1,Fn1 +Fn2, si n 2.La f ormula anterior nos dice que a partir de n = 2 se obtiene F(n) al sumar los dos elementos anterioresde la sucesi on.(%i1) map( fib, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]);( %o1) [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.6 El Axioma de Elecci on y el Lema de Zorn 171.6. El Axioma de Elecci on y el Lema de ZornLa Matem atica que usa normalmente un Ingeniero se sostiene en la Teora de Conjuntos la cual, a su vez,tiene como sustento los Axiom atica ZFC, como se mencion o en la Secci on 1.1. Estos pilares son usados sincuestionamientos pues el trabajo en Ingeniera tiene que ver principalmente con con encontrar mecanismopara resolver problemas.El Axioma de Elecci on, que presentamos a continuaci on, dice muy a grosso modo que si se tiene unacolecci on de recipientes, cada una con al menos un objeto, se puede tomar exactamente un objeto de cadarecipiente y ponerlos en un nuevo recipiente - incluso si hay un n umero innito de recipientes.Axioma de elecci on. Sea Auna familia de conjuntos sobre un conjunto no-vaco tal queA ,= / 0,para todo . Entonces, existe una aplicaci on E: tal queE () A, para todo .El Axioma de Elecci on fue formulado por Zermelo (1904). Para la Teora de Conjuntos, el Axioma deElecci on no es indispensable: se pueden construir otras Matem aticas cuando se lo reemplaza por enunciadosdistintos.Por otro lado, es importante mencionar que hay un gran n umero de proposiciones que son equivalentes(desde el punto de vista l ogico) al Axioma de Elecci on como el Teorema del Buen Orden o el Lema de Zorn- este ultimo se utiliza con frecuencia para probar resultados de existencia en An alisis Matem atico.Para presentar el lema de Zorn es necesario introducir un par de conceptos.Denici on 1.12[Orden total, cotas, elementos maximales]Sea (P, ) un conjunto ordenado y sea Q P.i) Se dice que Q est a totalmente ordenado si dados a, b Q estos son comparables, es decir severica quea b b a. (1.36)ii) Se dice que c P es una cota superior de Q si se cumple queq c, para todo q Q. (1.37)iii) Se dice que m P es un elemento maximal de P si se cumple quem x = m = x. (1.38)iv) Se dice que P es inductivo si todo subconjunto totalmente ordenado de P admite una cota superior.En Matem atica Aplicada no es esencial conocer la demostraci on del Lema de Zorn (a partir del Axiomade Elecci on) pero es fundamental conocer bien su enunciado y saberlo usar.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD18 1 PreliminaresLema 1.1[Lema de Zorn]Todo conjunto ordenado, inductivo y no-vaco admite un elemento maximal.En la Secci on 1.8 utilizaremos el Lema de Zorn para probar que todo espacio vectorial pos ee una basede Hamel.1.7. Grupos, Anillos y CuerposLos conceptos de grupo, anillo y cuerpo son fundamentales en Matem atica. A estas estructuras alge-braicashayquea nadirelconceptodeespaciovectorialparatenertodaelesqueletosobreelcualesposible construir los organos del An alisis Matem atico. Para las tres primeras estructuras algebraicas esindispensable el concepto de operaci on interna.Denici on 1.13[Operaci on interna]Sea un conjunto no-vaco. Llamamos operaci on interna sobre a toda funci on : .A la imagen de (a, b) se le denota ab.En la siguiente denici on uno puede pensar que Z es el conjunto de los enteros, Z.Denici on 1.14[Grupo]Sea una operaci on interna sobre Z. Se dice que(Z, ) es un grupo si se cumplen las siguientescondicionesa) [Asociatividad aditiva] Dados a, b, c Z, se tiene que(ab) c = a(bc). (1.39)b) [Existencia del neutro aditivo] Existe un elemento 0 Z tal quea0 = a, para todo a Z. (1.40)c) [Existencia de inversos aditivos] Para cada a Z existe un elemento b Z tal queab = 0. (1.41)Denici on 1.15[Grupo Abeliano]Se dice que un grupo (Z, ) es Abeliano si se vericad) [Conmutatividad aditiva] Dados a, b Z,ab = ba. (1.42)En la siguiente denici on uno puede pensar que P es el conjunto de los polinomios.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.8 Espacios vectoriales 19Denici on 1.16[Anillo]Sean y dos operaciones internas sobre P. Se dice que (P, , ) es un anillo si (P, ) es un grupoAbeliano y se verican las condicionese) [Asociatividad multiplicativa] Dados a, b, c Z, se tiene que(ab) c = a(bc). (1.43)f) [Propiedad distributiva] Dados a, b, c Z, se tiene quea(bc) = (ab) (ac). (1.44)En la siguiente denici on uno puede pensar que R es el conjunto de los n umeros reales, 1.Denici on 1.17[Cuerpo]Se dice que un anillo (R, , ) es un cuerpo si se verican las siguientes condicionesg) [Existencia del neutro multiplicativo] Existe un elemento 1 R tal quea1 = 1a = a, para todo a R. (1.45)h) [Existencia de inversos multiplicativos] Para cada a Z 0 existe un elemento b Z tal queab = ba = 1. (1.46)i) [Conmutatividad multiplicativa] Dados a, b Z,ab = ba. (1.47)Por supuesto, el conjunto de los n umeros reales tiene muchas m as propiedades que las presentadas en laDenici on 1.17. Estas propiedades son estudiadas en el curso de Prec alculo.1.8. Espacios vectorialesA grosso modo, un espacio vectorial es un conjunto donde se pueden sumar sus elementos y, adicio-nalmente, se los puede multiplicar por escalares de manera que se cumplen las propiedades usuales de losvectores fsicos.4Cuando decimos que en un espacio vectorial se pueden multiplicar vectores con escalares estamos tra-tando con un caso particular de operaci on externa.Denici on 1.18[Operaci on externa]Sean y K dos conjuntos no-vacos. Llamamos operaci on externa sobre (con ayuda de K) a todafunci on : K . A la imagen de (a, u) K se le denota au o simplemente au.4Es decir vectores bidimensionales o tridimensionales.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD20 1 PreliminaresDenamos lo que es un espacio vectorial.Denici on 1.19[Espacio vectorial]Sean (V, ) un grupo abeliano, K un cuerpo y : KV Vuna operaci on externa. Se dice que(V, , ) es un espacio vectorial sobre K si se cumplen las siguientes condiciones.i) (V, ) es un grupo Abeliano.ii) Dados , K y u, v V, se tiene que( +)u = u+u; (1.48)(u+v) = u+v; ()u = (u); (1.49)1u = u. (1.50)Si no hay lugar a confusi on se hablar a del espacio vectorial Ven lugar de(V, , ). En la denici onanterior, si K=1 se dice que V es un espacio vectorial real; si K=C se dice que V es un espacio vectorialcomplejo.Observaci on 1.4En este libro consideramos principalmente espacios vectoriales denidos sobre 1. Casitodos los resultados son tambi en v alidos para K = C pero queremos evitar complicaciones innecesarias.Cuando sea necesario se har a explcito que un espacio vectorial trabaja sobre el cuerpo C.Es com un encontrarse con subconjuntos de espacios vectoriales que son, en s mismos, espacios vecto-riales con las operaciones heredadas de su universo.Denici on 1.20[Subespacio vectorial]Sea V un espacio vectorial. Se dice que W V, W ,= / 0, es un subespacio vectorial de V si dados 1y u, v W se tiene que u+v W.Notaci on 1.4Sean 1ny 1m. Por Ck(;) representaremos el espacio funcional5constituidopor las funciones : que tienen derivadas continuas al menos hasta orden k N. Cuando =1se escribe simplemente Ck() en lugar de Ck(; 1).Ejemplo 1.10Sea V0 = C(a, b). Para cada k N, Vk = Ck(a, b) es un subespacio vectorial de V. Es claroqueV_... _Vk+1_Vk_Vk1_...V1_V0,donde V = C(a, b) es el conjunto de las funciones que tienen derivadas continuas de todos los ordenessobre (a, b).El siguiente resultado es sumamente importante.5Un espacio funcional es un espacio vectorial donde los vectores son funciones que cumplen habitualmente con ciertaspropiedades de derivabilidad y/o integrabilidad.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.8 Espacios vectoriales 21Teorema 1.4[Intersecci on de espacios vectoriales]Sea U una familia de subespacios vectoriales de V. Entonces U =

V tambi en es un subes-pacio vectorial de V.Demostraci on. Sean 1 y u, v U, arbitrarios. Puesto queu, v V, para todo ,se sigue queu+v V, para todo ,pues Ves subespacio vectorial de V, para cada . Se concluye que Ues subespacio vectorial de Vpuesu+v U=

V.Denamos lo que es la c apsula de un subconjunto de un espacio vectorial.Denici on 1.21[C apsula]Dado un subconjunto D de un espacio vectorial V, se llama c apsula de D (o espacio generado porD), denotado < D >, al subespacio vectorial de Vm as peque no que contiene a D.No es difcil comprobar que< D >=

UWU, (1.51)donde Wes el conjunto de los subespacios vectoriales de V. Adicionalmente, se tiene la siguiente caracte-rizaci on que establece que la c apsula de un conjunto est a constituido por todas las combinaciones linealesnitas de elementos del conjunto.Proposici on 1.2[Caracterizaci on de la c apsula]SeanDyVcomoenlaDenici on1.21. Setienequeu < D>ssi existenv1, v2, ..., vn Dy1, 2, ..., n 1 tales queu =nk=1nvn.Cuando dos vectores fsicos u y v no son m ultiplos el uno del otro, no est an sobre la misma lnea recta(trazada en el plano 12o en el espacio 13). Se dice en este caso que u y v son linealmente independientes.Este concepto se puede generalizar para conjuntos de vectores en un espacio vectorial general.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD22 1 PreliminaresDenici on 1.22[Independencia lineal]Un subconjunto nito B = u1, u2, ..., un de un espacio vectorial V, es linealmente independiente(abreviado l.i.) si tomados 1, 2, ..., n 1 se tiene quek=1nun = 0 = i = 0, para todo i = 1, 2, ..., n.En general, un conjunto R Ves linealmente independiente si todo subconjunto nito suyo es lineal-mente independiente. A un conjunto que no es linealmente independiente se dice que es linealmentedependiente (abreviado l.d.).En Matem atica Aplicada los espacios vectoriales de dimensi on innita son mucho m as interesantes quesus pares de dimensi on nita. Necesitamos entonces alguna herramienta para reconocerlos.Denici on 1.23[Dimensi on]Un espacio vectorial V se dice que tiene dimensi on innita si para todo n N, existe un subconjuntocon n vectores y linealmente independiente. Caso contrario, se dice que Vtiene dimensi on nita.Losespaciosvectorialessepuedencompararporsudimensi on. Paraestoesnecesariointroducirelconcepto de base.Denici on 1.24[Dimensi on y bases de Hamel]Sean Vun espacio vectorial y B V. Se dice que B es una base de Hamel de Vsi se cumplen lassiguientes condicionesi) B es linealmente independiente;ii) < B >=V.En este caso, la dimensi on de Ves dim(V) = #(B).Paralosespaciosdedimensi onnita, ladenici onanterioresbastanteclara;sinembargo, paraunespacio de dimensi on innita uno tiene todo derecho a cuestionar la existencia de una base. Gracias alLema de Zorn que fue mencionado en la Secci on 1.6, se puede demostrar que siempre existe una base deHamel.Teorema 1.5[Existencia de bases]Sea V ,=0 un espacio vectorial. Entonces Vtiene una base de Hamel.Demostraci on. Denimos M=U V : U es l.i.. Puesto que V ,=0, existe v V 0 de manera queM ,= / 0 pues v M. No es difcil vericar que (M, ) es un conjunto ordenado.M es inductivo. En efecto, si QMest a totalmente ordenado entonces_UQUcontiene a todos los elementos de Q y es l.i., de manera que es una cota superior de Q.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD1.8 Espacios vectoriales 23Por el Lema de Zorn, Mtiene un elemento maximal B. Se tiene que B es una base de Hamel para V. Enefecto, si se tuvieraV ,=< B >,entonces existira un vector u V < B >. En este caso, el conjunto Bu sera l.i. contradiciendo lamaximalidad de B. .UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhDCaptulo 2An alisis complejo2.1. Introducci onLos matem aticos inventaron C, el conjunto de los n umeros complejos, para poder resolver ecuacionescomox2+1 = 0.Suponiendo la existencia de un n umero x0 = i que verique esta ecuaci on entonces debera cumplirse quei =1 (2.1)que no pertenece al conjunto de n umeros reales, 1. Se empez o a referir a i como un n umero imaginario.Por m as de un siglo se mir o a los n umeros complejos a +bi, donde a, b 1, con mucha suspicacia.Existen realmente? Simb olicamente manipular algebraicamente los n umeros complejos no es complicado,basta tener en mente (2.1) de manera que i2= 1. Pero, de hecho, los n umeros complejos son bastantereales. Si los n umeros complejos hubieran sido inventados hace unos 30 a nos y no hace 300, no hubieranrecibido el apelativo de complejos. Quiz a se les hubiera llamado n umeros planares o n umeros bidimen-sionales o algo similar, y no se utilizara el calicativo de imaginarios..., [Ald97]. En efecto, los n umeroscomplejos son utiles para medir ondas peri odicas y en el manejo pr actico de soluciones de Ecuacionesen Derivadas Parciales. Las funciones de variable compleja son usadas en Electr onica, Transferencia deEnerga, en aplicaciones de las Teoras de Filtrado y de Control, etc.2.1.1. Operaciones con n umeros complejosAl conjuntoC =12=z = (x, y) : x 1 y 1se le llama cuerpo de los n umeros complejos cuando se le prov een operaciones internas de suma y multi-plicaci on conforme a la siguiente denici on.25UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD26 2 An alisis complejoDenici on 2.1[Operaciones con complejos]Si z1 = (a, b) C y z2 = (c, d) C, se denen las operaciones de suma, + : CC C, y multiplica-ci on,: CC C, mediantez1 +z2= (a+c, b+d), (2.2)z1 z2= (ac bd, ad +bc). (2.3)Figura 2.1En virtud de la de-nici on, un n umero complejoes un n umero bidimensional.Lasumaden umeroscomplejosnoesm asquelasumahabitual devectoresde12. Sinembargo,de d onde sale la f ormula (2.3) para la multiplicaci on en C? Una respuesta simple parte de suponer mo-ment aneamente la validez de la f ormula (2.1). En efecto, si ponemos z1 = a +ib y z2 = c +id se tendraquez1 z2 = (a+ib)(c +id) = ac +iad +ibc +i2bd = (ac bd) +i(ad +bc).Tip 7.Para definir una matriz, se utiliza el comandomatrix. La multiplicacion matricialse realiza con el punto.Para dar una segunda respuesta, consideramos el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2,M2(1), y su subespacio vectorial de dimensi on 2,W=__a bb a_: a, b 1_.No es difcil vericar que la aplicaci onC (a, b) _a bb a_Weslinealybiyectiva(yportantounisomorsmo);demaneraquesepuedeconsiderara Wcomounarepresentaci on matricial de C. La multiplicaci on matricial de elementos de Wse corresponde exactamentea la multiplicaci on en C. En efecto, tomando z1 = (a, b) y z2 = (c, d), con representaciones matriciales Z1y Z2, respectivamente,(%i1) Z1: matrix([a, -b], [b, a]);( %o1)_a bb a_UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.1 Introducci on 27(%i2) Z2: matrix([c, -d], [d, c]);( %o2)_c dd c_se tiene que(%i3) Z1.Z2;( %o3)_ac bd ad bcad +bc ac bd_de manera que Z1 Z2 pertenece a W y su representaci on en C es (ac bd, ad +bc), v ease (2.3).2.1.2. El cuerpo de los n umeros complejosNo es difcil vericar que(C, +, ) es efectivamente un cuerpo o campo, es decir que se cumplen lassiguientes propiedades:Asociatividad de la suma. Dados z1, z2, z3 C, se tiene que(z1 +z2) +z3 = z1 +(z2 +z3).Existencia del neutro aditivo. Existe un elemento 0 C tal quez +0 = z, para todo z C.Existencia de inversos aditivos Para cada z C existe un elemento w Z tal quez +w = 0.Por convenci on se denota w =z.Conmutatividad aditiva. Dados z1, z2 C, se tiene quez1 +z2 = z2 +z1.Asociatividad de la multiplicaci on. Dados z1, z2, z3 C, se tiene que(z1 z2)z3 = z1 (z2 z3).Propiedad distributiva. Dados z1, z2, z3 C, se tiene quez1 (z2 +z3) = (z1 z2) +(z1 z3).Existencia del neutro multiplicativo. Existe un elemento 1 C tal queUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD28 2 An alisis complejoz1 = 1 z = z, para todo z C.Existencia de inversos multiplicativos. Para cada z C0 existe un elemento w C tal quezw = w z = 1.Por convenci on se denota w = z1= 1z.Conmutatividad multiplicativa. Dados z, w C, se tiene quew z = w z.2.1.3. Notaci on imaginariaComo ya se mencion o, las operaciones denidas en (2.2) y (2.3) corresponden formalmente a trabajarcon el smbolo i =1. De aqu en adelante se usar a la notaci onz = x +iy, z C, (2.4)y se dir a quex = Re(z) 1, y = Im(z) 1,son respectivamente la parte real e imaginaria de z.Figura 2.2En el plano C =12al eje horizontal se lereere como el eje real yal eje vertical como el ejeimaginario.Tip 8.En Maxima se representa a la unidad imaginaria mediante %i. El comendorectformpermite transformar un numero complejo a su forma rectangular.Usemos Maxima para obtener la f ormula para el cociente de dos n umeros complejos:(%i1) z1: a+b*%i;z2: c+d*%i;( %o1) i b+aUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.2 Funciones complejas 29( %o2) i d +c(%i3) z1 / z2, rectform;( %o3)bd +acd2+c2+ i (bc ad)d2+c2es decir,z1z2= bd +acd2+c2+ i (bc ad)d2+c2(2.5)2.2. Funciones complejasLos modelos matem aticos m as sencillos son las funciones. En esta secci on empezamos su estudio parael caso en que las variables independiente y dependiente viven en C.Denici on 2.2[Funci on compleja]Se llama funci on compleja de variable compleja a toda funci on cuyo dominio y codominio son sub-conjuntos de C:f : U C Cz w = f (z) (2.6)T enga presente que una funci on compleja tiene tres componentes: dominio, codominio y una f ormula.Coherente con esto, a veces, en lugar de la notaci on (2.6) se escribeC U z f (z) C. (2.7)Observaci on 2.1[Regla del M aximo Dominio]Si no se hace explcito el dominio de una funci on y se prov ee s olo una f ormula deber a suponerse comodominio de la funci on el conjunto m as grande de n umeros complejos donde la f ormula tiene sentido.Por defecto se supondr a que el codominio es C.2.2.1. Funciones m odulo y de conjugaci onAs como el valor absoluto es la funci on real m as importante, la funci on compleja m as importante detodas es la funci on m odulo pues permite medir distancias en C. La relevancia se debe a que para establecerla convergencia de un m etodo n umerico, implementado computacionalmente para resolver un problema deUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD30 2 An alisis complejoIngeniera, se requiere que a medida que avanza el algoritmo la distancia entre la soluci on aproximada y lasoluci on real debe ser cada vez m as peque na.Denici on 2.3[M odulo]La funci on m odulo (o simplemente m odulo), [[ : C 1, se dene mediante la f ormula[z[ =_x2+y2, para z = x +iy. (2.8)Las propiedades de la funci on m odulo se resumen en el siguiente teorema.Teorema 2.1[Propiedades del m odulo]Se cumple que1) [z[ 0, para todo z C;2) [z[ = 0 ssi z = 0;3) [zw[ =[z[[w[, para todo z, w C;4) [z +w[ [z[ +[w[, para todo z, w C.Entonces el m odulo de un n umero complejo es un n umero no-negativo; es cero s olo si su argumento esel n umero 0 +0i. Asimismo, el teorema anterior establece que el m odulo del producto de dos n umeroscomplejos es igual al producto de sus respectivos m odulos.Figura 2.3A la propiedad 4del Teorema 2.1 se le deno-mina desigualdad triangularpues reeja el hecho de quela longitud de un lado de untri angulo no puede sobrepasarla suma de las longitudes delos otros dos lados.Observaci on 2.2Por el Teorema 2.1 se tiene que la funci on m odulo constituye una norma para el espaciovectorial C. En la Denici on 5.1 se generaliza el concepto para cualquier espacio vectorial.Tip 9.En Maxima el comandoabs permite calcular el tamano de un numero real ocomplejo.Ejemplo 2.1Dados a, b, k 1 se tiene que(%i1) abs(a+b%i)+abs(-4)+abs(k);( %o1) [k[ +[b%i +a[ +4UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.2 Funciones complejas 31La f ormula para calcular la distancia entre n umeros complejos es simb olicamente id entica a la corres-pondiente f ormula para n umeros reales.Denici on 2.4[Distancia en C]La distancia entre los n umeros complejos z1 = x1 +iy1 y z2 = x2 +iy2 est a dada pordist(z1, z2) = [z1z2[ (2.9)=_(x1x2)2+(y1y2)2.La proyecci on con respecto al eje de las x est a dada por la siguiente denici on.Denici on 2.5[Funci on de conjugaci on]Se dene la funci on de conjugaci on,: C C, mediante la f ormulaz = x iy, paraz = x +iy. (2.10)Se dice que z es el conjugado de z y viceversa.Figura 2.4El conjugado z deun n umero complejo z. Fuen-te: http://www.itlp.edu.mx/Tip 10.El comandoconjugate permite obtener el conjugado de un numero complejo.Ejemplo 2.2Dados los n umeros complejos z = a+ib y w = c +id, calculemos zw y zw(%i1) z: a+%i*b;w: c+%i*d;(%o1) i b+a(%o2) i d +c(%i3) conjugate(z*w), rectform;(%o3) i (ad bc) bd +acUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD32 2 An alisis complejo(%i4) conjugate(z)*conjugate(w), rectform;(%o4) i (ad bc) bd +acEn el ejemplo anterior se ha probado una parte de la siguiente proposici on.Proposici on 2.1[Propiedades de la conjugaci on]Dados z C y w C, se tiene que1) zw = zw;2) [z[2= zz;3)zw = [z[[w[, en tanto que w ,= 0.2.2.2. Bolas, conjuntos abiertos y funciones acotadasEl lector recordar a la importancia que tienen los intervalos abiertos]x0r; x0 +r[=x 1 : [x x0[ < r, r > 0,cuando se denen conceptos como lmite y continuidad para funciones reales; en C ese papel lo juegan lasbolas. Se dene la bola con centro en z0 C y radio r > 0 como el conjuntoB(z0; r) =z C : [z z0[ < r. (2.11)Denici on 2.6[Conjunto abierto]Sea C. Se dice que es un conjunto abierto si para todo z existe r > 0 tal que B(z; r) .Dado un conjunto U C, denotamos por Int(U) a su interior, esto es, el conjunto abierto m as grandecontenido en U.Figura 2.5La zona en colorrepresenta una bola. La bolano incluye a su frontera (lazona punteada).Toda bola es un conjunto abierto. M as a un, se tiene la siguiente caracterizaci on.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.2 Funciones complejas 33Proposici on 2.2[Caracterizaci on de un conjunto abierto]Un conjunto C es abierto ssi = Int().Recordemos que un subconjunto de 1 es acotado si se lo puede incluir en un intervalo (a, b). La mismaidea sirve para subconjuntos de C:Denici on 2.7[Conjunto acotado]Un conjunto U C se dice acotado si se lo puede cubrir con alguna bola; esto equivale a que sepueda hallar un M > 0 tal que[z[ < M, para todo z U.En este caso se tiene que U B(0; M).Denici on 2.8[Funci on acotada]Se dice quef: C C es una funci on acotada si su rango est a acotado, es decir, si existe unaconstante M > 0 tal que[ f (z)[ M, para todo z . (2.12)Tip 11.El comandoplot3d permite hace graficos tridimensionales.Ejemplo 2.3Sea=z = x +iy C : x [3, 3] y [4, 4].La funci on denida porf (z) = z2, z ,es acotada. En efecto, se tiene que[ f (z)[ 25, para todo z .(%i1) z: x+y*%i;(%o1) i y +x(%i2) plot3d(abs(z2), [x,-3,3], [y,-4,4]);UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD34 2 An alisis complejoFigura2.6Gr acode[ f (z)[= x2+ y2, parax [3, 3], y [4, 4]..2.2.3. SucesionesPara establecer cuando un m etodo num erico prov ee una buena aproximaci on a la soluci on de un proble-ma concreto de Ingeniera se requiere el concepto de convergencia de sucesiones. El concepto de sucesi onfue establecido en la Secci on 1.5.Denici on 2.9[Convergencia de sucesiones]Una sucesi on(zn)nN C converge al n umero z C si para cada distancia > 0 existe un N=N() N tal que zn B(z; ) cuando n > N.Observaci on 2.3La Denici on 2.9 es equivalente a que se cumplalmn[znz[ = 0,que es simb olicamente igual a la denici on de convergencia de sucesiones reales: > 0, N N : (n > N) [z zn[ < .Ent erminosdesucesionesreales,laconvergenciade sucesionescomplejasseestablecemediantelasiguiente proposici on.Proposici on 2.3[Convergencia de sucesiones complejas]La sucesi on (zn)nN = (xn +i yn)nN C converge a z = x +iy C ssilmnxn = x, lmnyn = y.De manera que para establecer la convergencia de una sucesi on compleja, y para calcular su lmite, hay queanalizar dos sucesiones reales y calcular dos lmites de sucesiones reales, respectivamente.Tip 12.El comandoassume permite suministrar al computador informacion cualitativa sobrevariables y parametros.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.2 Funciones complejas 35Tip 13.Para definir una funcion se utiliza := en tanto que para el calculo delmites se recurre al comandolimit. Los comandosinf yminf representan +y,respectivamente.Ejemplo 2.4Sean k 1 y p > 0. Consideremos la sucesi on (zn)nN denida por la f ormulazn = sin(2n)np+i_1+kn2_n2/5.Esta sucesi on es convergente pues sus partes real e imaginaria son convergentes:(%i1) assume(p>0);( %o1) [p > 0](%i2) x(n):= sin(2*n)/np;y(n):= (1+k/n2)(n2/5);( %o2) x(n) := sin(2n)np( %o3) y(n) :=_1+kn2_n25(%i4) limit( x(n), n, inf);limit( y(n), n, inf);( %o4) 0( %o5) ek5Una de las propiedades m as importantes de los conjuntos acotados es que en ellos se pueden encontrarsucesiones convergentes.Denici on 2.10[Subsucesi on]Dada una sucesi on(zn)nN C y una funci on creciente N k nk N, se dice que la sucesi on(znk)kN es una subsucesi on de (zn)nN.La propiedad mencionada se establece en el siguiente teorema.Teorema 2.2[Compacidad]Toda sucesi on acotada (zn)nN C pos ee una subsucesi on convergente (znk)kN C.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD36 2 An alisis complejoTip 14.El comandomakelist permite generar listas de datos que pueden graficarse con elcomandograph2d. El comandograph2d es parte del paquete graph2d que se carga conel comandoload.Tip 15.La ordenexpr, numer entrega un resultado numerico de tipo flotante de la expresionexpr.Ejemplo 2.5Consideremos la sucesi on compleja denida por la f ormulazn= xn +yn= sin_2n_+i_1+ cos(n)n_n.Veriquemos que est a sucesi on no es convergente pero s acotada.(%i1) load(graph2d);( %o1) C : /PROGRA 1/MAXIMA 1,0/share/maxima/5,24,0/share/contrib/graph2d.lisp(%i2) xn: makelist([n,sin(n*%pi/2)], n, 1, 20);(%i3) graph2d(xn);( %o3) 0(%i4) yn: makelist([n,(1+(1/n)*cos(n*%pi))n], n, 1, 20), numer;(%i5) graph2d(yn);( %o5) 0Figura 2.7La sucesi on (xn)est a acotada inferiormente por1 y superiormente por 1.line05 10 15 20-1-0.500.51UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.3 F ormula de Euler 37Figura 2.8La sucesi on (yn)est a acotada superiormentepor 3,0 e inferiormente por0,0.line05 10 15 2000.40.81.21.622.4En las Figuras 2.7 y 2.8 se han unido con rectas los puntos de los rangos de las sucesiones (xn) e (yn). Esclaro que[xn[ 1,0, para todo n N,[yn[ 3,0, para todo n N.Entonces, conforme al Teorema 2.2, la sucesi on (zn) pos ee subsucesiones convergentes. Mostremos una deellas. Consideramos la subsucesi on denida medianten = 4k, k N,es decir tomamosznk= i_1+14k_4kk N.Es claro que (znk)kN C es convergente. Su lmite L C es:(%i1) zn(k):= %i*(1+1/(4*k))(4*k);( %o1) zn(k) := i_1+14k_4k(%i2) L: limit(zn(k),k,inf);( %o2) ei(%i3) L, numer;( %o3) 2,718281828459045i2.3. F ormula de EulerLaf ormuladeEuler, provistaenelsiguienteteorema, esfundamentalparaelmanejodefuncionescomplejas pues simplica muchos c alculos que de otra manera resultaran engorrosos.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD38 2 An alisis complejoTeorema 2.3[F ormula de Euler]Sea 1. La sucesi on (En)nN C, denida por la f ormulaEn =nk=0(i)kk!,converge al n umero complejo denido comoeicos() +i sin(). (2.13)La f ormula de Euler parece m agica pues prov ee una manera para calcular una potencia imaginaria de unn umero real. De d onde sale la F ormula de Euler? Por supuesto la respuesta estricta corresponde a probarel Teorema. Una segunda alternativa, no estricta pero util, radica en utilizar la expansi on de Taylor:ex=k=0xkk!,que es v alida para x 1. Si aceptamos por el momento la validez de esta f ormula para n umeros complejos,entonces mediante el reemplazox = i,se obtieneei=k=0(1)k2k(2k)! +ik=0(1)k2k+1(2k +1)!que es justamente (2.13). En efecto, el estudiante recordar a que las series de Taylor - McClaurin de lasfunciones coseno y seno son, respectivamente,cos(x) =k=0(1)kx2k(2k)!,sin(x) =k=0(1)kx2k+1(2k +1)!.Tip 16.La sentenciado se utiliza para realizar iteraciones. Una de las maneras deutilizarla en un buclefor es mediante la sintaxisfor var: val.inicialstep incrementothru limitedo cuerpoTip 17.El comandofactorial permite calcular el factorial de un numero enterono-negativo.Tip 18.La ordensum(f(r), r, r0, rf) calcularfr=r0f (r).Ejemplo 2.6Por la f ormula de Euler se tiene para z = ei 5/4:UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.3 F ormula de Euler 39(%i1) t: 5*%pi/4;( %o1) 3,926990816987241(%i2) if numer#false then numer:false else numer:true;( %o2) f alse(%i3) z: %e(t*%i);( %o3) 0,70710678118655i 0,70710678118655Comparemos z con algunas aproximaciones En conforme al Teorema 2.3:(%i4) for n:1 thru 36 step 7 doprint("E", n, "=", sum((%i*t)k /factorial(k), k, 0, n), numer);E1 = 3,926990816987241i +1E8 =1,241231126428202i 0,49260665647578E15 =0,70714055976349i 0,70725225507102E22 =0,70710677944946i 0,70710678147133E29 =0,70710678118655i 0,70710678118655E36 =0,70710678118655i 0,70710678118655( %o4) doneObs ervese que E29 prov ee la misma precisi on que la f ormula de Euler implementada en Maxima.2.3.1. Forma polar de un n umero complejoCon ayuda de la f ormula de Euler se escribe la forma polar de un n umero complejo z = x +iy ,= 0:z = r ei, (2.14)donder =[z[, (, ]. (2.15)Se dice que r y son el m odulo y el argumento de z, respectivamente.Observaci on 2.4T engasepresentequeel argumentodeunn umerocomplejoperteneceal intervalo(, ] antes que a [0, 2). La elecci on se debe exclusivamente a la convensi on con que se encontrar a ellector en la mayora de textos.UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD40 2 An alisis complejoFigura 2.9Relaci on entrelas coordenadas rectangulares(x, y) y polares(r, ) de unn umero complejo.Tip 19.El comandopolarformtransforma un numero complejo de forma cartesiana a formapolar.Ejemplo 2.7Tranformemos un n umero complejo z de su forma rectangular a su forma polar y viceversa:(%i1) z: a+%i*b;( %o1) i b+a(%i2) w: polarform(z);( %o2)_b2+a2ei atan2(b,a)(%i3) rectform(w);( %o3) i b+aLa siguiente notaci on se usar a de aqu en adelante. Tome nota.Notaci on 2.1Para un angulo 1, el valor corresponde al angulo en (, ] tal quesin() = sin( ) y cos() = cos( ). (2.16)Entonces es el angulo en (, ] que prov ee la misma direcci on que 1.Las f ormulas para multiplicaci on y divisi on de polinomios son realmente simples en forma polar:Teorema 2.4[Multiplicaci on en forma polar]Dados los n umeros complejos z1 = r1ei1y z2 = r2ei2se tiene quez1 z2 = r1r2ei(1+2); (2.17)z1z2= r1r2ei(12), z2 ,= 0. (2.18)UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.3 F ormula de Euler 41En particular, la multiplicaci on de un complejo z por un factor de la forma eirepresenta una rotaci onde tama no del vector z. Para futura referencia, tenga presente que[ei[ = 1, para todo 1. (2.19)Con ayuda de (2.17) se obtiene el siguiente corolario.Corolario 2.1[Potencia real de base compleja]Dados z = re C0 y 1 se tiene quez= rei. (2.20)2.3.2. Teorema Fundamental delAlgebraEste teorema es uno de los adelantos m as grandiosos de toda la matem atica y encuentra aplicaci onen las m as diversas ramas de la ciencia... Todas sus demostraciones emplean las llamadas propiedadestopol ogicas de los n umeros reales y complejos - propiedades ligadas a la continuidad, [Kur87]. Por con-veniencia, presentamos aqu este resultado y lo aplicamos. Una demostraci on se presenta m as adelante eneste captulo como consecuencia de la f ormula integral de Cauchy, v ease el Corolario 2.12.Teorema 2.5[Teorema Fundamental delAlgebra]Todo polinomio de cualesquiera coecientes complejos, cuyo grado no sea menor que la unidad, tienepor lo menos una raz, generalmente compleja.Es decir que para un polinomio p : C C denido por la f ormulap(z) = a0 +a1z1+... +anzn,donde n N, ai C, i = 0, 1, ..., n, y an ,= 0, existe un z0 C que es soluci on de la ecuaci onp(z) = 0, z C.Tip 20.La sintaxissolve(eqn, var) se puede usar para buscar soluciones analticas de laecuacion eqn en la variable var.Tip 21.El comandoallroots sirve para buscar numericamente las raices de un polinomio.Ejemplo 2.8Consideramos el polinomio p : C C denido por la f ormulaUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD42 2 An alisis complejop(z) = z35z2+17z 15.Calculemos algebraicamente las races de p = p(z).(%i1) p(z):= z3-5*z2+17*z-15;( %o1) p(z) := z35z2+17z 15(%i2) sol: solve(p(z)=0, z), rectform;( %o2) [z =_____3_7633325527_13213332_7633325527_13_____i _7633325527_132+139_7633325527_13+ 53,z =_____3_7633325527_132+13332_7633325527_13_____i _7633325527_132+139_7633325527_13+ 53,z =_7633325527_13269_7633325527_13+ 53]Calculemos num ericamente las races de p = p(z):(%i3) nsol: allroots(p(z));( %o3) [z = 1,207734257895888,z = 2,970628028470036i +1,896132871052056,z = 1,8961328710520562,970628028470036i]Para vericar num ericamente si en el objeto nsol est an almacenadas realmente buenas aproximacionesz1, z2, z3 de las races de p(z) debera tenerse quep(zi) 0, i = 1, 2, 3.(%i4) for i:1 thru length(nsol) doprint("i=",i,"; |p(zi)|=", ev(abs(p(z)),nsol[i],expand));i = 1; [p(zi)[ = 1,77635683940025051015i = 2; [p(zi)[ = 1,42108547152020041014i = 3; [p(zi)[ = 1,42108547152020041014( %o4) doneUniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD2.3 F ormula de Euler 43Obs erves que para las tres soluciones num ericas, la distancia a cero es menor a 1,31014.2.3.3. Races de la unidadConsideremos para cada n N el polinomio pn : C C denido por la f ormulapn(z) = zn1.Hallar los ceros de pn corresponde a hallar las races n- esimas de la unidad. Gracias al Teorema FundamentaldelAlgebra se puede probar que existen n n umeros complejos distintos zk, k = 0, 1, 2, ..., n1, tales que(zk)n= 1.Si denotamos por z0 = 1, la soluci on obvia, nos encontramos con que en el plano complejo hay n 1races adicionales de la unidad. C omo hallarlas?Supongamos que z = reiverica pn(z) = 0. se tiene entonces quernen= 1,de manera que r = 1 y _2kn: k = 0, 1, ..., n1_.Se tiene entonces el siguiente teorema.Corolario 2.2[Races de la unidad]Sea n N. Las n raices n- esimas de la unidad sonzk = e2kni, k = 0, 1, ..., n1. (2.21)Ejemplo 2.9Calculemos las 7 races s eptimas de la unidad:(%i1) ec: z7 - 1 = 0;( %o1) z71 = 0(%i2) solve(ec, z);( %o2) [z = e2i 7, z = e4i 7, z = e6i 7, z = e6i 7, z = e4i 7, z = e2i 7, z = 1]UniversidaddelasFuerzasArmadas-ESPEJuanMayorga-Zambrano,PhD44 2 An alisis complejo2.4. Lmites y Continuidad de funciones complejasLa forma de denir los conceptos de lmite y continuidad para funciones de variable compleja es similara sus contrapartes para funciones reales.Denici on 2.11[Lmite de una funci on compleja]Sup ongase que una funci on complejaf est a denida en B(z0; r) z0. Se dice que L C es el lmitedefcuando z tiende a z0, denotadoL =lmzz0f (z), (2.22)si para todo > 0, existe > 0 tal que[z z0[ < = [ f (z) L[ < .Para asegurar la existencia del lmite de una funci on real basta con probar que los lmites laterales por laizquierda y por la derecha coinciden. Este criterio no tiene an alogo al tratar con funciones complejas puesen (2.22) existen innitas maneras de acercamiento de z a z0.El c alculo de lmites de funciones mediante sucesiones es v alido para funciones complejas. Ese es elcontenido de la siguiente proposici on.Proposici on 2.4[C alculo de un lmite via sucesiones]Sup ongase que una funci on complejafest a denida