Untitled (3)

21
Informe de pr ´ actica alculo de factores de mejoramiento para mortalidad chilena Autor: Luis Z´ niga Supervisor: Cristi´ an Concha informe de pr´ actica I,II y III 8 de mayo de 2015

description

ssss

Transcript of Untitled (3)

  • Informe de practica

    Calculo de factores de mejoramientopara mortalidad chilena

    Autor:

    Luis Zuniga

    Supervisor:

    Cristian Concha

    informe de practica I,II y III

    8 de mayo de 2015

  • iDatos Alumno

    Nombre: Luis Zuniga

    Cedula de identidad : 17229166-k

    Carrera : Ingeniera Matematica

    Facultad: Ciencias

    UNiversidad: Universidad de Santiago de Chile

    Cargo de Practica: Analista actuarial

    Area: Actuario

    Datos Empresa

    Razon Social: Metlife

    Rut:99289000-2

    Ubicacion: Agustinas 640,Santiago

  • Indice general

    Symbols III

    1. Introduccion 1

    1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2. Practica I 3

    2.0.1. Obtencion y Validacion de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.0.2. Calculo de tasas de mortalidad brutas qxt . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3. Practica II 8

    3.1. Modelo De Lee-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3.1.1. Desarrollo del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3.2. Modelo De Cairns-Blake-Dowd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2.1. Desarrollo Del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    4. Practica III 12

    4.0.2. Factores de mejoramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    A. Descomposicion En Valores Singulares 14

    Bibliografa 17

    ii

  • Symbols

    t Tiempo anos

    x Edad anos

    qxt Probabilidad de que una persona muera de edad x en el tiempo t

    xt Fuerza de mortalidad

    qxt tasa bruta de mortalidad, valor observado de qxt

    qxt tasa de mortalidad ajustada

    Ext numero de expuestos al riesgo en el tiempo t en la edad x

    Dxt Numero de muertos observados en el tiempo t en la edad x

    AAx Factores de mejoramiento en el ano x

    iii

  • Captulo 1

    Introduccion

    El ingeniero matematico se especializa en el uso de tecnicas avanzadas de la matematica

    para modelar y resolver problemas complejos de Ingeniera y Ciencias. Su formacion

    abarca las ecuaciones diferenciales , las probabilidades, la optimizacion y la programa-

    cion, entre otras. Estas herramientas le permiten traducir distintos tipos de problemas

    a lenguaje matematico y resolvervelos con la ayuda de un computador.

    Los estudiantes de esta carrera deben tener un acercamiento al mundo laboral, con

    el objetivo de aplicar los conocimientos adquirido. Para ello se efectuan 3 practicas

    profesionales.En este caso las 3 practicas fueron realizadas en el ambito de los seguros,

    en la empresa METLIFE. Metlife es una empresa de seguros, la cual se encuentra en

    las mejores de dicha categora. Sus seguros ocupan los primeros lugares de calidad en el

    mercado, son los primeros en seguros colectivos, los primeros en seguros masivos y los

    terceros en individuales. En esta practica se me encargo la tarea de calcular unos valores

    muy importantes en el calculo de pensiones de las rentas vitalicias, a estos valores se les

    llama Factores de mejoramiento.

    1.1. Motivacion

    La literatura actuarial mas reciente reconoce el hecho de que la mortalidad evolucio-

    na con el tiempo. Experiencias de mortalidad que corresponden a diferentes perodos

    muestran diferentes probabilidades de muerte en la misma edad. Esto es apoyado por el

    hecho de que la mortalidad se ha visto declinar gradualmente con el tiempo, aun cuando

    la disminucion no es necesariamente uniforme en todos los grupos de edad, esta decli-

    nacion es llamada Factor De Mejoramiento. Es importante ser capaz de medir como la

    mortalidad cambia con el tiempo de manera precisa,por ello nuestro objetivo principal

    1

  • Introduccion 2

    es el calculo de estos factores. En esta practica se usa el modelo de Lee-Carter(LC)

    y Cairns-Blake-Dowd(CBD) , los cuales han sido muy difundidos en la literatura de-

    mografica y actuarial, tanto teorica como aplicada. En cuanto a su aplicacion existe

    evidencia emprica que muestra la efectividad de estos modelos, por ejemplo Lee-Carter

    se aplico los Estados Unidos, donde se aplico en proyecciones referidas al equilibrio del

    sistema de seguridad social, y en distintos pases de habla hispana como en Argenti-

    na(Belliard & Williams) y Espana(Debon,2006). .

  • Captulo 2

    Practica I

    Para el calculo de los factores de mejoramiento se nos otorga una base de datos, esta

    base debemos filtrarla con tal de aplicar los modelos y calcular las tasas de mortalidad

    que ajustaremos con los modelos. Como primera parte de la practica 1 se muestra la

    validacion y el calculo de las tasas de mortalidad.

    2.0.1. Obtencion y Validacion de Datos

    Los datos que se usaran provienen de la informacion enviada por las companas de

    seguros del segundo grupo, que operan o han operado con los seguros previsionales

    establecidos en el D.L. N3.500, de 1980, segun lo instruido por la Circular N 1194. Esta

    informacion paso la validacion fsica y de consistencia logica o presentan una excepcion

    a alguna regla de validacion logica, de todas las companas de vida, ya sean aseguradoras

    o reaseguradoras, es de acceso publico y se puede encontrar en el portal de la SVS. La

    informacion de causantes y beneficiarios se separa en tres tipos:

    De control(Registro tipo 1): Contiene informacion que permite identificar el

    perodo hasta el cual se informaron las polizas y el total de registros, tanto de

    polizas como de beneficiarios, que se grabo en el archivo. Cabe senalar que solo se

    informa un registro de este tipo y corresponde al primer registro del archivo.

    De detalle por poliza(registro tipo 2):Contiene informacion acerca de cada

    poliza, entendiendo por poliza el siniestro de invalidez o de sobrevivencia o la poliza

    de renta vitalicia, asociada a un mismo afiliado causante.

    De detalle por afiliado y beneficiario (registro tipo 3):Contiene informacion

    acerca del afiliado causante y de cada beneficiario en lo que respecta a los datos

    propios de cada uno.

    3

  • Practica 1 4

    La base original cuenta con un total de 1291455 registros y abarca un perodo del 01 de

    enero de 1981 hasta el 31 de diciembre del ano 2013.

    Para llevar a cabo el calculo de los factores, hemos considerado un perodo de 13 anos,

    considerando una experiencia de mortalidad del 01 de Enero del 2000 hasta el 31 de

    Diciembre del 2013. La eleccion del perodo de observacion fue hecha pensando en que

    nuestro perodo de observacion refleje la actualidad del pas de la ultima decada. No

    consideraremos invalidos de ningun tipo, debido a que estos reflejan una porcion muy

    pequena de la data. En el siguiente cuadro podemos resumir el grupo de observacion

    elegido:

    Sanos Invalidos TotalHombres 561829 19250 581079Mujeres 662712 47664 710376

    Total 1224541 66914 1291455

    Finalmente podemos resumir los antecedentes del estudio como:

    Fuente de informacion: Circular N1194 al 30 de Junio de 2014.

    Periodo de observacion de la Base : 01 de Enero de 1981 hasta el 31 de Diciembre

    del 2013

    Periodo de observacion analizado: 01 de Enero de 2000 hasta el 31 de Diciembre

    del 2013

    Grupos de Observacion:

    - Causantes y beneficiarios hombres sanos

    - Causantes y beneficiarias mujeres sanas

    Agrupacion de Edades: Expuestos y siniestros fueron agrupados para la determi-

    nacion de tasas de mortalidad en perodos de 5 anos de edad.

    Ano Base del Estudio: 2011

    2.0.2. Calculo de tasas de mortalidad brutas qxt

    Para calcular las tasas de mortalidad brutas, debemos hallar la exposicion al riesgo de

    los individuos. La exposicion al riesgo central, Ec corresponde a la exposicion exacta al

    riesgo, es decir la diferencia entre la edad de inicio de estudio y la edad de salida del

    estudio. La edad de inicio se obtiene restando la fecha de inicio del estudio con la edad

    de nacimiento del individuo.En caso de que el individuo contrate una poliza despues de

    la fecha de inicio de estudio, entonces su edad de inicio de estudio correspondera a la

  • Practica 1 5

    fecha de vigencia de la poliza. En cambio la edad de salida del individuo corresponde a

    la diferencia entre la fecha de termino del estudio y la edad de nacimiento. Si el indivi-

    duo fallece en el transcurso del estudio, entonces su fecha de salida es su fecha de muerte.

    Si el fecha de inicio de estudio es el 01/02/1993 y la fecha de termino de estudio es el

    02/02/1996, podemos calcular la exposicion al riesgo central de un individuo nacido en

    el 11/10/1973 con poliza vigente al 05/10/1988 y que ademas se mantiene vivo todo

    el estudio. Para calcular la edad de inicio y la edad de termino debemos dividir los

    meses por 12(numero de meses que tiene un ano) y los das por 365.25 (numero de das

    promedio que tiene un ano), en efecto

    Edad de inicio = 01/02/1993 11/10/1973= 1993 1973 + (2 10)/12 + (1 11)/365,25= 19,30595Edad de termino = 02/02/1996 11/10/1973= 1996 1973 + (2 10)/12 + (2 11)/365,25= 22,30869

    Ec = Edad de termino Edad de inicio= 22,30869 19,30595= 3,00274Tambien podemos calcular la exposicion al riesgo por ano, como el perodo de estudio

    tiene una duracion de 3 anos, entonces podemos calcular la exposicion central en x =0,1,2,3 usando la siguiente funcion

    Ecx =

    [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio si x = 01 si [Edad de termino] [Edad Inicial] > x > 0Edad de termino [Edad de termino] si [Edad de termino] [Edad Inicial] = x > 00 si 0 < [Edad de termino] [Edad Inicial] < x

  • Practica 1 6

    Donde [] denota la parte entera de un numero.Procedemos a calcular las exposiciones por ano

    Ec0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ec1 = 1Ec2 = 1Ec3 = [Edad de termino] Edad de termino = 22,30869 [22,30869] = 0,30869

    Para corroborar los calculos,verificamos que Ec =Ecx en efecto,Ec0 +Ec1 +Ec2 +Ec3 = 0,6941 + 1 + 1 + 0,30869 = 3,00274 = Ec

    Otra manera de estimar las tasas de mortalidad es usar las exposicion al riesgo inicial,

    esta difiere de la exposicion central en las personas que fallecen antes del termino del

    estudio, ya que contara toda la exposicion del ano de la muerte, la exposicion central

    cuenta hasta el da del fallecimiento. Si pensamos en el mismo individuo anterior agre-

    gando el hecho de que fallecera el 05/06/1995, entonces podemos repetir los calculos

    anteriores

    Edad de inicio = 01/02/1993 11/10/1973= 1993 1973 + (2 10)/12 + (1 11)/365,25= 19,30595Edad de termino = 05/06/1995 11/10/1973= 1995 1973 + (6 10)/12 + (5 11)/365,25= 21,65023956

    Ec = Edad de termino Edad de inicio= 21,65023956 19,30595= 2,34428956calculamos las exposiciones por ano,

    Ec0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ec1 = 1Ec2 = [Edad de termino] Edad de termino = 21,65023956 [21,65023956] = 0,6502Ec3 = 0

    Ec0 +Ec1 +Ec2 +Ec3 = 0,6941 + 1 + 0,6502 + 0 = 2,3443 = Ec

  • Practica 1 7

    Y podemos usar esto para calcular las exposiciones iniciales por ano, notando que el ano

    de muerte x = 2 sera contado en su totalidad, o seaEi0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ei1 = 1Ei2 = 1Ei3 = 0

    Ei0 +Ei1 +Ei2 +Ei3 = 0,6941 + 1 + 1 + 0 = 2,6941 = EiDe lo anterior podemos deducir lo siguiente,

    Eix =

    [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio si x = 01 si [Edad de termino] [Edad Inicial] x > 00 si 0 < [Edad de termino] [Edad Inicial] < x

    Estas dos formas de medir la exposicion al riesgo son consistentes con las dos diferentes

    hipotesis acerca del proceso de mortalidad y conducen a calcular dos tipos alternativos

    de tasas de mortalidad:

    1. la fuerza de mortalidad2. q : la probabilidad de muerte

    Para una edad determinada, la division del numero de fallecimientos observados en el

    estudio por la exposicion al riesgo central entrega un estimador de , o de la tasa central

    de muerte, m, y al dividir el numero de fallecimientos por la exposicion al riego inicial

    se obtiene un estimador de q.

    Si se denota el numero observado de muertes de edad x por Ax o por A cuando no

    existen problemas de confusion. Para la misma edad x, se denota por Ecx a la exposicion

    central de individuos de esa edad y por Eix, a la exposicion inicial, entonces se tienen los

    siguientes estimadores:

    q = AEi

    = AEc

  • Captulo 3

    Practica II

    En esta etapa nos encontramos con algo mas conocido por los ingenieros matematicos,

    los modelos matematicos. Como segunda practica se realiza la comprension y la aplica-

    cion de los modelos de mortalidad. Estos modelos fueron programados en R,matlab y

    Excel.

    3.1. Modelo De Lee-Carter

    Lee y Carter en el ano 1992 propusieron un modelo que describe los cambios en la

    mortalidad en funcion del tiempo y la edad. La primera suposicion que haremos es que

    las fuerzas de mortalidad cumplen la siguiente condicion

    qxt = qx+1,t+2 0 < 1 < 1,0 < 2 < 1,Esto se puede interpretar como que las tasas de mortalidad son constantes en un rango

    de tiempo y de edad. Bajo esta suposicion, la fuerza de mortalidad xt y el ndice de

    mortalidad mxt coinciden. Lee y Carter especificaron que las fuerzas de mortalidad xt

    siguen una distribucion log-bilineal, esto es

    ln(xt) = x + xt (3.1)La interpretacion de los parametros se puede ver de la siguiente manera: ex es la forma

    general de la mortalidad y las tasas de mortalidad cambia acorde al parametro t, con lo

    que se deduce que t implica el comportamiento tendencial(o nivel) de la mortalidad en

    8

  • Practica II 9

    el tiempo, x da una medida de la fuerza con la que t afecta a cada grupo especifco de

    una edad determinada.Otra condicion para los parametros con tal obtener una solucion

    una solucion unica es que

    x

    x = 1,t

    t = 0 (3.2)3.1.1. Desarrollo del Modelo

    El modelo clasico usado para estimar x, x y t es

    ln(xt) = x + xt + xt (3.3)para x = x1, x2, ..., xm y t = t1, t2, ..., tn, donde xt denota las fuerzas de mortalidadbrutas. xt es un termino de error con media 0 y varianza

    2 que refleja las influencias

    historicas no capturadas en el modelo. Para estimar los parametros vamos a mnimizar

    el error, la funcion objetivo que corresponde a mnimos cuadrados es

    S = xmx=x1

    tnt=t1(ln(xt) x xt)2 (3.4)

    Para efectuar la minimizacion vamos a derivar con respecto a x y igualar a 0

    tnt=t1 ln(xt) = (tn t1 + 1)x + x

    tnt=t1 t

    luego podemos usar las condiciones planteadas anteriormente, obteniendo la siguiente

    condicion

    x = 1tn t1 + 1 tmt=t1 ln(xt)

    As podemos partir deduciendo que x se puede estimar usando la media de los logarit-

    mos.

    Otra manera de ver esto, es la siguiente: si sumamos con respecto al tiempo todos los

    valores entregados por (2,3), tenemos quet

    ln(xt) =t

    x +t

    tx +t

    ext

    =t

    x = xT

  • Practica II 10

    Donde T es la cantidad de anos.

    Para deducir los valores de t y x , estos salen del primer termino de una descomposicion

    de valores singulares(ver apendice A) de la matriz ln xt x. Especificamente, las tasasde mortalidad pueden ser agrupadas en la siguiente matriz de dimensiones (xm x1 +1) (tn t1 + 1):

    =x1t1 x1tn xmt1 xmtn

    Ahora vamos a crear la matriz ln xt x, en efecto

    Z = ln() =

    ln(x1t1) x1 ln(x1t1) x1 ln(xmt1) xm ln(xmtn) xm

    Donde cada uno de los elementos de la matriz los denotaremos como zxt. Luego vamos

    a obtener x y t son los resultados de la minimizacion de

    S = xmx=x1

    tnt=t1(zxt xt)2 (3.5)

    La solucion esta dada por los valores descomposicion en valores singulares de Z. Mas

    precisamente, vamos a definir la matriz cuadrada ZtZ de dimension (tnt1+1)(tnt1+1)y ZZt de dimension (xm x1 +1) (xn x1 +1). Sea u1 el vector propio correspondientea el mayor valor propio de ZtZ. Sea v1 el vector propio asociado al mayor valor de ZZ

    t.

    La mejor aproximacion de Z es

    Z 1v1ut1As se deduce que tx = 1v1ut1, de lo cual se deduce que

    = v1xmx1+1j=1 v1j y =1

    xmx1+1j=1 v1ju1 (3.6)siempre que xmx1+1j=1 v1j 0. Las condiciones impuestas en (2,2) son satisfechas por losparametros x y t.

  • Practica II 11

    3.2. Modelo De Cairns-Blake-Dowd

    El analisis emprico suguiere que ln (qxt/pxt) se puede aproximar mediante una regresionlineal en un tiempo t fijo, excepto en edades menores. Usando este argumento Cairns en

    el ano 2006 asumio lo siguiente

    ln( qxt1 qxt ) = [1]t + [2]t x

    donde [1]t y

    [1]t definen un proceso estocastico. Esta formulacion no presenta problemas

    de definicion, por ello no necesita restricciones. El modelo de Cairns-Blake-Dowd tambien

    se puede ajustar en fuerzas de mortalidad asumiendo que estas son independientes y

    Poisson distribuidas, con una media igual al producto de la exposicion al riesgo central

    y la cantidad de muertos, es decir, xt poisson(Ext qxt)3.2.1. Desarrollo Del Modelo

    Asumiendo que tenemos informacion de las tasas brutas para un conjunto de anos t =t1, t2, ..., tn y un conjunto de edades x = x1, x2, ..., xm. En base a estas observaciones,vamos a estimar el intercepto 1t y la pendiente

    2t .Esto puede ser realizado por mnimos

    cuadrados, mediante el siguiente modelo de regresion

    ln( qxt1 qxt ) = [1]t + [2]t x + xt (3.7)

    Donde xt es termino de error independiente y normalmente distribuida, con media 0 y

    varianza 2 . La funcion objetivo correspondiente es

    S = xmx=x1

    tnt=t1( qxt1 qxt [1]t [2]t x)2 (3.8)

    esta debe ser minimizada para cada ano calendario t, entregandonos los parametros [1]t

    y [2]t . Notar que en el caso de Lee-Carter, donde los ndices t dependen del perodo

    de obserbacion, los ndices del modelo de Cairns-Blake-Dowd se estiman de manera

    separada para cada ano calendario t.

  • Captulo 4

    Practica III

    La tercera y ultima practica consiste en calcular los factores de mejoramiento, para dicha

    tarea debemos estimar los valores futuros de las tasas de mortalidad.Para el modelo de

    Lee-carter usaremos una serie de tiempo autorregresiva de media movil (ARIMA) sobre

    el parametro t.

    Un modelo autorregresivo integrado de media movil o ARIMA es un modelo estadstico

    que utiliza variaciones y regresiones de datos estadsticos con el fin de encontrar patrones

    para una prediccion hacia el futuro.El modelo ARIMA(p, d, q) tiene 3 parametros p, d, q,que nos indican el orden de la parte autoregresiva, integrada y de media movil del modelo.

    El modelo ARIMA(p, d, q) puede expresarse comokt = (dkt kt) + 0 + p

    i=1idkti qi=1 iti + t

    Para el modelo de Cairns-Blake-Dowd se proyectan los ndices 1t y 2t usando regresiones

    lineales, o sea

    1t =m1t + b12t =m2t + b2

    A continuacion se calculan los factores de mejoramiento.

    4.0.2. Factores de mejoramiento

    Los factores de reduccion son una herramienta ampliamente utilizada en la practica

    actuarial para proyectar la mortalidad. En este enfoque, la probabilidad de muerte a la

    12

  • Practica III 13

    edad x en un ano calendario generico t esta relacionada con la probabilidad de muerte

    a la edad x en un ano base t0(t > t0) mediante la siguiente expresion,qxt = qxt0RFx(t t0)

    donde el factor RFx(t t0), llamado factor de reduccion, captura la mejora de la mor-talidad a la edad x para el perodo (t0, t). En su forma mas simple la extrapolacionmediante factores de reduccion supone que la probabilidad de muerte es una funcion

    exponencial del ano calendario. Esto es, qxt = qxt0rtt0x . En el contexto de pensiones losfactores de reduccion son normalmente estimados a partir de informacion historica de

    mortalidad poblacional, y luego ajustados para reflejar las diferencias entre la poblacion

    general y la poblacion de pensionados. Las probabilidades de muerte proyectadas son

    calculadas haciendo rx = 1 AAx100 , obteniendo la expresionqx,t = qxt0 (1 AAx100 )

    tt0(4.1)

    Donde AAx denota el factor de mejoramiento anual(en porcentajes) para la edad x y

    finalmente despejando en la expresion (1,1) tenemos queAAx = 1001 ( qx,tqxt0 )

    1tt0 (4.2)

    que es la expresion que usaremos para hacer el calculo de factores de mejoramiento.

    Usando como ano base el 2011 y las tasas de mortalidad futuras en el ano t=2073

    procedemos a calcular los factores de mejoramiento usando la expresion

    AAx = 1001 ( qx,2073qx,2011)1

    t62 (4.3)Se omite el colocar cifras, debido a que los factores de mejoramiento calculados en este

    proyecto pertenecen a la empresa metlife.

  • Apendice A

    Descomposicion En Valores

    Singulares

    En algebra lineal, la descomposicion en valores singulares(Singular Value Descompo-

    sition) de una matriz real o compleja es una factorizacion de la misma con muchas

    aplicaciones en estadstica y otras disciplinas. Recordemos un poco de nuestro curso

    de algebra Lineal, sea una matriz A Rnn diagonalizable, esto nos dice que podemosreescribir la matriz como A = PDP1,con D matriz diagonal conformada por los valorespropios ed A. La idea es generalizar esto a matrices no cuadradas para eso vamos a

    dar algunas definiciones y teoremas omitiendo su demostracion, el siguiente teorema le

    dara sentido a la descomposicion,

    ex+xtTeorema A.0.1. Sea A Rmn, los valores propios de la matriz cuadrada AAT Rnnsiempre son reales y positivos,y sus vectores propios asociados son ortogonales.

    Al ser los valores propios reales y positivos tenemos orden y las races estaran bien

    definidas, ahora tiene sentido dar la siguiente definicion,

    Definicion 1. Sean 1, 2, . . . , n 0 los valores propios de AAT , es decir los primerosvalores propios no nulos de la matriz, ordenados de mayor a menor. Entonces i = ies el i-esimo valor singular de la matriz AAt

    Teorema A.0.2. Una SVD de A es una factorizacion del tipo A = UV T con U Rmm,V Rnn y Rmn una matriz formada con los valores singulares de A en su diagonalprincipal ordenados de mayor a menor.

    Antes de pasar a explicar la construccion del SVD, vamos a dar un ultimo teorema,

    14

  • Apendice A. Descomposicion En Valores 15

    Teorema A.0.3. Sea A Rnm, entonces existe una SVD de A.La descomposicion se realiza de la siguiente manera, sean v1, v2, . . . vr una base ortonor-

    mal formada por los vectores propios asociados a los valores singulares no nulos de AAT .

    Luego definimos los vectores ui de la siguiente manera

    u1 = Av11

    , u2 = Av22

    , . . . , ur = Avrr

    Con lo que definimos las componentes de la descomposicion de la siguiente manera

    U = [u1 ur]TV = [v1 vr]T

    =

    1 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 r 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    Donde a ui y vi se le llaman vectores singulares por la izquierda y por la derecha,

    respectivamente.

    Ejemplo 1.

    .Si A =

    0 0

    0 9

    3 0

    , entonces ATA =

    9 0

    0 81

    cuyos autovalores son 1 = 81 y 2 = 9asociados a los autovectores v1 = [0 1]T v2 = [1 0]T , respectivamente. Como la ma-triz es simetrica, estos vectores son ortogonales,luego los Valores Singulares de A son

    1 = 81 = 9 2 = 9 = 3. Observamos que, efectivamente, la cantidad de ValoresSingulares no nulos coincide con el rango de la matriz. Ahora buscamos los vectores{u1, u2, u3} con ui R3, que deberan cumplirAv1 = 1u1Av2 = 2u2Av3 = 0R3

  • Apendice A. Descomposicion En Valores 16

    Esto es u1 = Av11 = 19[0 9 0]T = [0 1 0]T y u2 = Av22 = 13[0 0 3]T = [0 0 1]T .Entonces completamos una base ortonormal de R3 con {[0 1 0]T , [0 0 1]T , [1 0 0]T}.As nuestras Matrices ortogonales son: U =

    0 0 1

    1 0 0

    0 1 0

    , V =

    0 1

    1 0

    Y la matrizcompuesta por los Valores Singulares ordenados es,

    =

    9 0

    0 3

    0 0

    Por lo tanto la DVS de A es:

    A =

    0 0 1

    1 0 0

    0 1 0

    9 0

    0 3

    0 0

    0 1

    1 0

    = 9

    0

    1

    0

    [0 1] + 3

    0

    0

    1

    [1 0] =

    0 0

    0 9

    3 0

    Y la DVS Reducida es

    A =

    0 0

    1 0

    0 1

    9 0

    0 3

    0 1

    1 0

    Observacion: No siempre ocurre que V = V T como en este caso.

  • Bibliografa

    [1] A. Debon,F. Montes y F. Puig, Modeling and forecasting mortality in Spain ,

    2006.

    [2] R.D. Lee, R. Rofman Modeling and forecasting mortality in Chile , 1002.

    [3] M. Belliard, I. Williams, Proyeccion estocastica de la mortalidad. Una aplicacion

    de Lee-Carter en Argentina ,2013.

    [4] E. Pitacco, M. Denuit, S. Haberman, A. Olvieri , Modelling Longevity Dyna-

    mics for Pensions and Annuity Business, Oxford, 2009.

    [5] SVS website : http://www.svs.cl/

    [6] Monika Turyna, Thomas Hrdina, Calculating Interval Forecasts http://

    homepage.univie.ac.at/robert.kunst/pres09_prog_turyna_hrdina.pdf

    17

    Symbols1 Introduccin1.1 Motivacin

    2 Prctica I2.0.1 Obtencin y Validacin de Datos2.0.2 Clculo de tasas de mortalidad brutas

    3 Prctica II3.1 Modelo De Lee-Carter3.1.1 Desarrollo del Modelo

    3.2 Modelo De Cairns-Blake-Dowd3.2.1 Desarrollo Del Modelo

    4 Prctica III4.0.2 Factores de mejoramiento

    A Descomposicin En Valores Singulares Bibliografa