Unrn Am i 2012 Tp5 Derivadas

[UNRN – Sede Andina – Análisis Matemático I] [2012]

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I Año: 2012 – 1º Cuatrimestre

Trabajo Práctico Nº 5: Derivadas Equipo Docente: Ma. Laura Halladjian – P. Mariano Nowakoski – Gabriela L. Paladino

1. Utilizando la definición, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto indicado:

( )( )( )

( )

2

3

) 1 2

) 2

) 1 31) 0

1

a f x x en x

b f x x en x

c f x x en x

d f x en xx

= + =

= =

= + =

= =+

e) ( )2 1

12 1 1x si x

f x en xx si x

⎧ >= =⎨

− ≤⎩

f) ( )2 1 0

00 0

x sen si xf x en xx

si x

⎧ ⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= =⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

2. Dadas las siguientes gráficas, hallar los puntos en que f no sea derivable: a) b)


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c) d)

3. Hallar la ecuación de una recta que sea tangente a la gráfica de y = x2 y sea paralela a la recta 3x – y + 1 = 0.

4. Hallar la ecuación de una recta que sea tangente a la gráfica x

y 1= y sea paralela a la recta x

+ 2y – 6 = 0.

5. ¿En qué puntos de la gráfica de la función ( ) 2 6 8f x x x= − + la recta tangente es paralela al eje de las x? 6. Utilizando las técnicas de derivación, hallar la derivada de la función dada:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

3 2

2

22

2

) 3 ) lnsin cos) 3 )sin cos

) 4 ) cosh2

) 5 3 14 ) sinh2

) cos sin )2 1

) ( ) ) ln 11 3) 1 .ln )

) ) t2

x x

x x

x

x x

x

a f x i f x x xx xb f x x j f xx x

e ec f x x k f x x

e ed f x x x l f x x

e xe f x x x m f xx

f f x xe n f x x e x

g f x x x o f xx x

xeh f x p f xx

−

−

= =

−= + =

++

= + = =

−= − + = =

+= − =

+= = +

= + = −

= =+

an x


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7. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto dado:

a) x

xf 1)( = (0; 1) b) 2

57

21)( xxf +−= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21;0

c) t

tf533)( −= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2;

53 d) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

xxxxf 23)( 2 (2;18)

e) f (x) = (2x + 1)2 (0; 1) f) f (x) = 3(5 – x)2 (5; 0) g) f ( ϑϑϑ −= sen4) (0; 0) h) g (t) = 2 + 3cost (π; -1) 8. Hallar f’ (x):

a) x

xxf 4)( 2 −= b) f (x) = x2 – 3x – 3x-2 + 5x-3

c) 43 23)(

xxxxf −−= d) 2

23 43)(xxxxf +−

=

e) f (x) = x(x2 + 1) f) f (x) = x4/5 g) 53)( xxxf += h) xxxf cos34)( += i) f (x) = 2senx + 3cosx j) f (x) = (x2 + 2x)(x + 1)

k) 3 2

1)(x

xf = l) 3223)(

−−

=ttth

m) x

xxf 1)( += n) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

121)( 4

tttf

o) ( )3)( 3 += xxxh p) f (x) = (3x3 + 4x)(x – 5)(x + 1)

q) 22

22

)(cxcxxf

−+

= r) ( )31)(

2

+−

=tttth

9. Para cada una de las siguientes funciones, hallar los puntos (si los hay) en los que la función propuesta tiene tangente horizontal:

a) y = x4 – 3x2 + 2 b) y = x + sen x 0 ≤ x < 2π c) 2

1x

y =

10. Para cada una de las siguientes funciones, hallar f’ (x) y f’ (c) para el valor de c indicado.

a) ( )4231)( 3 −= xxf , c = 0 b)

765)(

2xxf −= , c = 1

c) f (x) = 5x-2(x + 3) , c = 1 d) f (x) = (x2 – 2x + 1)(x3 – 1) , c = 1

e) f (x) = (x3 – 3x)(2x2 + 3x + 5) , c = 0 f) ( ) 22 13)(

xxxxf −= , c = -1

g) 11)(

−+

=xxxf , c = 2


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11. Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

3

200

3

2

2

2

2

1 tan

n

x

f x x

f x x

f x x

f x e

f x x

+

= +

= +

= +

=

= +

( ) ( )cos 3f x x=

( ) ( )43sinf x x=

( ) ( )( ) ( )

ln 3 1

ln 1 cos

f x x

f x x

= +

= +

( ) ( ) ( )1 124 sinf x sen x x− −= −

( )

( ) ( )( )

2 2

23

2

sin cos

2 5

ln 1

f x x x

xf x

x

= +

+=

+

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

sin 3

sin 3

12 2

cos

ln 5 ln 3

cos

ln 1

x

x

f x e x

f x x x

f x e x

f x x

= −

= −

= −

= +

12. Hallar dy/dx :

( )

22 2 2

2

3 3

1 13 3 32 2

3 2

9) 16 )9

) 4 )

) 9 )

) 9 ) 2

xa x y e yx

b xy f x y y x

c x y g x y x y

d x xy y h xy x y

−+ = =

+= − =

+ = − = −

− − = = −


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13. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos4

ln3

) )

) 0 ) 1

1) )

x x

xx x

xx

a f x x d f x x

b f x x a a e f x senx

c f x sen x f f x xx

= =

= + > = +

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

14. Sean f y g funciones tales que ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 21 , ` 1 3 ; ` 0 4; 1 2 .f x x g x sen sen x g h x g x= + = + = = + Calcular

( ) ( ) ( ) ( )´ 0 ´ 0f g y h fo o . 15. Para cada una de las siguientes funciones:

a) Realizar un gráfico, b) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto indicado. c) Para aquellas que resulten derivables, hallar la ecuación de la recta tangente en el punto

indicado.

( )

( )

) 1 1

0 2) 2

2 2

a f x x en x

si xb f x en x

x si x

= − =

<⎧= =⎨ − ≥⎩

c) ( )1 0

00 0

xsen si xf x en xx

si x

⎧ ⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= =⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

d) ( )2 1 0

00 0

x sen si xf x en xx

si x

⎧ ⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= =⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

16. Sea ( ) 3 3: / 6 x xf f x e +→ = ,

a) mostrar que ( )´ 0f x > para todo x,

b) Utilizando el Teorema de la función inversa, analice la existencia de ( ) ( )1 ´ 5f − y, calcule su valor. 17. Sea [ ) ( ): 1; / 1f f x x x− +∞ → = − − +

a) Analizar el signo de ( )´f x para todo x,

b) Utilizando el Teorema de la función inversa, analice la existencia de ( ) ( )1 ´ 5f − y, calcule su


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valor.

18. Sea ( ): / sinh2

x xe ef f x x−−

→ = = ,

a) mostrar que ( )´ 0f x > para todo x,

b) Utilizando el Teorema de la función inversa, analice la existencia de ( ) ( )1 ´f x− . Calcule ( ) ( ) ( )( )1 1´ 0 sinh 0f − −= . 19. La ley de movimiento de un punto a lo largo de una recta es ( ) 26 2s t t t= − . Hallar la velocidad de movimiento del punto para t=0, t=1; t=2. 20. Un objeto circular va aumentando su tamaño con el tiempo. El radio r, en centímetros viene dado por r = 9t + 6, donde t representa el tiempo en minutos.

a) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento del radio? b) ¿Cuál es la velocidad de variación del área?

21. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4cm2 /min. Encuentre la razón de cambio de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 2200 .cm

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