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UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals

Elber Leonel Garcés Caicedo

Trabajo de Investigación

Incidencia del GeoGebra en la Resolución de Problemas con Sistemas Lineales 2x2

Autor: Elber Leonel Garcés Caicedo Director: Dr. José Manuel Yabar

Barcelona 2009

Incidencia del GeoGebra en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2 ELBER LEONEL GARCES CAICEDO 3

TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 4 1.1 Antecedentes personales ............................................................................. 4 2. PLANTEAMIENTO Y FUNDAMENTOS DE LA INVESTIGACIÓN ................................. 7 2.1 Contacto con el GeoGebra e ideas intuitivas ................................................ 9 2.2 Formulación del problema de investigación y objetivos ............................. 10

2.2.1 Formulación del problema de investigación. .................................................. 10 2.2.2 Objetivo general ......................................................................................... 10 2.2.3 Objetivos específicos .................................................................................. 10

3. MARCO TEÓRICO ........................................................................................... 11 3.1 Los sistemas de ecuaciones lineales .......................................................... 12

3.1.1 Resolución de un sistema de ecuaciones ..................................................... 12 3.1.2 Errores habituales en la resolución de sistema de ecuaciones 2x2 ................. 13

3.2 Las TICs en la enseñanza de las matemáticas ............................................ 14 3.2.1 Aspectos generales de los recursos tecnológicos ........................................... 15 3.2.3 Recursos tecnológicos y enfoque constructivista del aprendizaje .................... 17

3.3 Enfoque didáctico de la resolución de problemas ....................................... 18 3.4 Visualización y matemáticas ..................................................................... 21

3.4.1 Las gráficas como un lenguaje de los fenómenos a los modelos algebraicos. .... 23 4. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................ 24 4.1 Preguntas Transformadoras ...................................................................... 24

4.1.1 Hipótesis General ...................................................................................... 24 4.2 Metodología ............................................................................................... 24 4.3 Población y Muestra .................................................................................. 24

4.3.1 Conocimientos previos de la muestra. .......................................................... 26 4.4 Aspectos organizativos. .............................................................................. 26 4.5 Técnicas de Observación y Registro ............................................................ 26 4.6 Diseño de las actividades a llevar a cabo para el desarrollo de la

experimentación. ....................................................................................... 27 5. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ............ 30 5.1 Desarrollo de la experiencia ....................................................................... 30 5.2 Realización de las actividades programadas ............................................... 30 6. CONCLUSIÓN. ............................................................................................................... 49 6.1 Proyecciones de la Investigación. ............................................................. 53 6.2 Implicaciones Didácticas. .......................................................................... 53 6.3 Valor Añadido. ........................................................................................... 53

INTRODUCCION


1. INTRODUCCIÓN El propósito de este trabajo es reflexionar sobre la incidencia que puede tener el software de geometría dinámica (SGD) GeoGebra, en el proceso enseñanza -- aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, con alumnos del segmento educativo 15 a 17años. Pretendemos analizar las ventajas y desventajas que puede tener resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2 utilizando conjuntamente las herramientas tradicionales lápiz, papel, gráficas en papel milimetrado, métodos algebraicos y la herramienta tecnológica, software de geometría dinámica GeoGebra. Para tal fin nos enmarcaremos en investigaciones sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, resolución de problemas y software con geometría dinámica GeoGebra. Se considera que una tarea resuelta usando software de geometría dinámica (SGD) podría requerir estrategias diferentes que las que requiere la misma tarea con lápiz y papel y la elección de una u otra herramienta también tiene repercusión en el feedback que el alumno recibe (Laborde, 1992). 1.1 Antecedentes personales El presente trabajo tiene su origen en una serie de preocupaciones e inquietudes, que devienen de mi experiencia en el campo de la educación matemática en el segmento educativo 15-17 años, así como en mi experiencia en el trabajo con las asignaturas de matemática básica y álgebra lineal con alumnos de primer y segundo semestre respectivamente del programa de tecnología en informática en la Universidad del Pacifico (Unipacífico), labor que me ha permitido hondas reflexiones sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de las matemáticas en el municipio de Buenaventura (Colombia). La continuidad en el proceso de aportar mejoras significativas al nivel matemático de la comunidad educativa de Buenaventura me ha llevado a un continuo proceso de capacitación entre los cuales además de cursos informales y participación en congresos, he realizado una especialización en computación para la docencia y otra en didáctica de las matemáticas, formación que me ha motivado a traspasar fronteras intercontinentales, en la búsqueda de mejor cualificación coherente con mi perfil que se cristalizan en este master. Los avances tecnológicos y científicos, la misma motivación de los estudiantes, y la experiencia cotidiana, nos dicen que debemos innovar en la forma de hacer docencia, luego pensamos a partir de esos elementos, apoyarnos en el ordenador, no tanto para resolver, si no para aportar un granito de arena a la solución de algunas dificultades que están presentes en el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas. El perfil de la especialización en computación para la docencia, se centra en utilizar el ordenador como una herramienta didáctica más, la experiencia de trabajar con software

INTRODUCCION


educativo, me ha dejado un gran número de satisfacciones, con el sólo hecho de trabajar algunos software que tenemos a nuestro alcance, vemos la motivación de los estudiantes, una mejoría en su desempeño, se apropian del proceso y sobre todo al final van a tener un aprendizaje mas significativo. Nosotros tenemos muy poco acceso a software educativo, lo que ha limitado el trabajo por un lado, pero por otro lado me motivo a pensar en la forma de suplir aquellas deficiencias, concretando la idea de articular, estudiantes de las anteriores instituciones en un proyecto de producción de software educativo, creado por los estudiantes del segmento educativo 15 – 17 años, apoyados por los de la Unipacífico en un proceso de andamiaje continuo. El legado que ellos querían dejar a sus compañeros era software en temas que han sido en talón de Aquiles en su proceso de formación matemáticamente hablando. Después de un año de trabajo vimos el resultado del primer software al que llamamos Software Etnomatemático. Decidimos compartir este logro con los docentes y directivos docentes, lo colocamos a su servicio, era el sueño de los estudiantes hacerle ese obsequio, no tanto a la institución, como a sus compañeros. A partir de ese momento el proyecto se hizo institucional, a tal punto que se eligió para representarla en junio del 2006 en el concurso municipal de experiencias innovadoras, el cual ocupó el primer lugar, junto con una experiencia de otra institución, lo anterior permitió a estas ser enviadas al Ministerio de Educación Nacional (MEN) para ser evaluadas con el ánimo de su participación en el certamen que se realizaría en octubre del mismo año, que inclusive fue declarado por el MEN, como año de las competencias matemáticas. La institución recibió con beneplácito la noticia que la experiencia se seleccionó para participar en el certamen y que era considerada por el MEN, como una experiencia significativa, certamen al cual por dificultades presupuestales asistí con dos estudiantes. La necesidad de continuar creciendo me motivó a seguir con mi proceso de capacitación para ofrecer a mis estudiantes una educación de calidad, me inscribo en el Master en Aplicaciones Multimedia con la Fundación CIM de la UPC, el cual no se realiza en ese periodo, me inclino por el master en Investigación en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias y cursando este, me entero del software de geometría dinámica GeoGebra, me intereso por conocerlo y veo que encaja perfectamente con el trabajo que se ha estado realizando. Por otro lado es innegable que estamos viviendo una época muy acelerada en descubrimientos tecnológicos, científicos y educativos, donde la globalización de la cultura y la ciencia se están asemejando cada vez más en todos los países del mundo, todos estos países se nutren de las tecnologías de la comunicación y de la información, teniendo ante la sociedad el compromiso de adaptarse a la realidad en que viven y tomar sus propias decisiones.

INTRODUCCION


En el caso de Colombia en Bogotá, el 17 de febrero de 2009, el Ministerio de Educación Nacional y Microsoft firmaron la segunda fase del programa Alianza por la Educación, la que se desarrollará a través de tres componentes: Escuelas Innovadoras, Docentes Innovadores y Estudiantes Innovadores. En esta nueva etapa se beneficiarán 25.000 docentes de instituciones educativas.

De esta forma, se pretende apoyar el diseño y la implementación de una estrategia nacional de instituciones educativas que se constituyan en modelos pedagógicos de transformación de la educación, con lo que se busca generar estudios de casos, promover las buenas prácticas e intercambiar experiencias. Lo que se corresponde perfectamente con esta propuesta y nos motiva a trabajar en la dirección de contribuir a la articulación de las TIC, al proceso enseñanza aprendizaje de la matemáticas y aportar al desarrollo de la didáctica de las matemáticas en Colombia.

PLANTEAMIENTO Y FUNDAMENTOS DE LA INVESTIGACIÓN


2. PLANTEAMIENTO Y FUNDAMENTOS DE LA INVESTIGACIÓN Dentro de las exigencias sociales actuales en Colombia, la matemática es considerada como área fundamental, está incluida en los planes de estudios de todos los niveles: Básica primaria, media, media vocacional y superior, así las matemáticas, pertenecen a la columna vertebral del proceso educativo, proceso que es considerado por la Constitución política de 1.991 como un derecho fundamental de responsabilidad del estado. Este proceso ha estado soportado a través del tiempo en leyes complementarias. Con la adopción de la Constitución Política de 1991, se emana una ley complementaria a la Constitución del 91 en materia de educación, la ley general de la Educación que en algunos de sus artículos profiere disposiciones de responsabilidad estatal, institucional, inclusive de familia, en materia de educación, capítulo 1 artículo 10 y 40 (ley 115/94), de la calidad y cubrimiento, artículo 70 ley 115, “le corresponde a la familia educar a sus hijos y proporcionarles en el hogar un ambiente para su desarrollo integral.” Artículo 50 ley 115/94, se establece los fines de la educación de conformidad con el artículo 67 de la Constitución Política / 91, que entre algunos de sus apartados dice que la educación debe promover:

La adquisición y generación de los conocimientos científicos y técnicos más avanzados para el desarrollo del saber.

El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado al mejoramiento cultural y de la calidad de vida de los colombianos, en la búsqueda de alternativa de solución de los problemas y progreso social.

Con los lineamientos curriculares de Julio/98, la resolución 2343, aparecen formalmente establecidos los estándares curriculares, logros e indicadores de logros para las áreas fundamentales. En el área de matemática se enfatiza en el pensamiento numérico más que en los sistemas numéricos, que son herramientas para pensar bien. La capacidad para darle sentido a los números y manejarlos mentalmente en forma flexible y creativa se le llama pensamiento numérico.

Los estándares de Matemáticas, Resolución 2343/96 y Decreto 0230 de Febrero 11/2002 se caracterizan por tener la siguiente estructura:

Pensamiento y resolución de problemas. Razonamiento matemático (formulación, argumentación y demostración) Comunicación Matemática

Forma De Pensar Matemáticamente:

1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos 2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos 3. Pensamiento métrico y sistemas de medidas 4. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos 5. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos



Los fines de la educación matemática desde la óptica de los estándares (comunicarse mediante la matemática, aprender a razonar matemáticamente, resolver problemas matemáticos, adquirir confianza para hacer matemáticas, aprender a valorar las matemáticas); estan organizados por conjuntos de grados así: 1º a 3º , 4º a 5º , 6º a 7º, 8º a 9º y 10º a 11º.

En el campo de las matemáticas, uno de los temas que reviste mayor importancia en el segmento 15 – 17 años es precisamente el desarrollo de los sitemas de ecuaciones lineales debido a la aplicación en la vida cotidiana en situaciones intra y extramatemáticas como también en otras disciplinas como la Química, Contabilidad, Física, Ingeniería, etc.

De las experiencias pedagógicas en el área de las matemáticas en los niveles de educación básica, media vocacional y superior se encuentra con frecuencia que los alumnos en el proceso de aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, cometen numerosos errores, estos se atribuyen a diferentes causas entre las más frecuentes podemos citar: dificultades en las operaciones con los números reales, dificultades referidas a las representaciones en el plano cartesiano, dificultades de interpretación del problema, dificultades en el cambios de registros, por ejemplo del verbal al algebraico, inclusive en un nivel superior se evidencian algunos rezagos de éstos.

En entrevistas realizadas a docentes del área de Matemáticas, sobre su percepción del tratamiento de los sistemas de ecuaciones lineales, resaltamos las siguientes opiniones: MATRIZ DE DOBLE ENTRADA: Concepción de los docentes sobre el estado académico actual de los estudiantes, en lo referido al aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Concepción Docentes

Dificultades en las operaciones

con los Fraccionarios.

Dificultades en las

operaciones con los

Enteros.

Dificultades de representación

en el plano cartesiano.

Dificultades de interpretación

de graficas

Dificultad en los

cambios de

registros

D1 si si D2 si si si si siD3 si si D4 si si si si si

Matriz 1 de doble entrada

Nota aclaratoria: Donde si, significa que el docente considera que sus estudiantes tienen esa dificultad y los espacios en blanco significan que el docente no hace referencia a ella.

En mi experiencia docente he evidenciado que algunas dificultades se corresponden con las que citan los docentes entrevistados, estas se manifiestan generalmente en la aplicación de algunos instrumentos tales como: Pruebas diagnósticas, talleres, pruebas rápidas orales y escritas entre otros.

Las dificultades mencionadas anteriormente se reflejan en los bajos resultados en las pruebas externas (ICFES, SABER), especialmente en el área de las matemáticas.

En la revisión bibliografica se encontró investigaciones relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales pero ninguna orientada a la implementación de software con geometria dinamica GeoGebra articulado con la resolución de problemas como apoyo al proceso enseñanza aprendizaje del álgebra.



El autor de este trabajo, desde su experiencia ha notado la desmotivación, el desinterés y la apatía de las nuevas generaciones frente a los modelos de formación y educación que el sistema tradicional les ha ofrecido. Esto exige a docentes, investigadores, directivos y a toda la sociedad a asumir el reto de crear nuevas opciones, además actualizarse. Es necesario desarrollar materiales, estrategias metodológicas y ambientes para el proceso enseñanza - aprendizaje que sensibilicen, motiven, comprometan el espíritu y la voluntad de niños, adolescentes y adultos. Frente a esta perspectiva, el “arsenal” de recursos que ofrecen las nuevas tecnologías de la información y la comunicación debe complementarse con estrategias metodológicas pertinentes.

2.1 Contacto con el GeoGebra e ideas intuitivas

Juzgo de valiosa la oportunidad de transitar en los diferentes módulos del máster ya que me instaron a tener una amplia visión sobre el abanico de opciones, gestando en mi, reflexiones y por que no contradicciones, la sumatoria de las anteriores articuladas a mi sistema de conocimientos contribuyeron a mi identidad como docente, hacer una valoración y elección de acuerdo a las necesidades particulares.

A través de alguno de estos módulos pude interactuar con el GeoGebra y descubrir cada ves más sus potencialidades, permitiendome reflexionar sobre la oportunidad de superar ciertas limitaciones que se me presentan en mi que hacer pedagogíco y aprovechar la utilidad que me puede brindar esta herramienta tecnologica, surgiendome algunas ideas intuitivas las cuales relaciono a continuación:

1. GeoGebra permite una forma de trabajo con un planteamiento constructivista, articulando el nuevo conocimiento al sistema de conocimientos del estudiante.

2. El GeoGebra permite potenciar la visualización como una herramienta para la resolución de problemas.

3. La construcción de figuras mediante el GeoGebra nos aproxima a ciertos conceptos geométricos y algebraicos de una forma diferente a otras metodologías. Esta nueva visión puede favorecer su comprensión y realización.

4. La construcción de graficas o figuras mediante el GeoGebra puede complementar el trabajo con otras metodologías.

5. El GeoGebra puede potenciar nuevas heurísticas muy relevantes para trabajar la geometría y el algebra.

A estas ideas intuitivas sobre la posibilidad de contribuir a mejorar problemas didácticos presentes en el proceso enseñanza - aprendizaje de las matemáticas mediante el uso del GeoGebra como herramienta tecnológica de apoyo se puede dar respuesta mediante la realización de una investigación, para la cual nos formulamos la siguiente pregunta de investigación y nos proponemos los siguientes objetivos.



2.2 Formulación del problema de investigación y objetivos En la literatura existente son muchos los autores que hacen referencia a los criterios para la selección del tema o problema de investigación, este trabajo se atempera en Salkind (1997) bajo el siguiente criterio: Experiencia personal y conocimientos previos, para la formulación de la siguiente pregunta de investigación:

2.2.1 Formulación del problema de investigación. ¿Cómo incide en el proceso enseñanza -- aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, la articulación de los métodos tradicionales papel, lápiz, registros algebraicos, gráficos y el SGD GeoGebra?

Para responder a la pregunta de investigación nos planteamos los siguientes objetivos:

2.2.2 Objetivo general Analizar la incidencia que tiene en el proceso enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, la articulación del SGD GeoGebra con los métodos tradicionales.

2.2.3 Objetivos específicos Observar cómo se articulan los métodos algebraicos, gráficos en el proceso de resolución de problemas con sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2, con el Software de Geometría Dinámica (SGD) GeoGebra. Analizar las ventajas y desventajas de la articulación del Software de Geometría Dinámica (SGD) GeoGebra, al proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Contribuir al desarrollo de la competencia visual de los alumnos, a través de la articulación de los métodos gráficos tradicionales y el GeoGebra en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Identificar cómo la herramienta tecnológica propicia el trabajo cooperativo -- colaborativo en los estudiantes, como ambiente favorable para el aprendizaje.

MARCO TEÓRICO


3. MARCO TEÓRICO Esta investigación se centra en el análisis de la articulación del SGD GeoGebra con los métodos tradicionales en el proceso enseñanza – aprendizaje de resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, mediante un planteamiento innovador que propende potenciar estrategias heurísticas en los alumnos resolutores. Se estructura en el siguiente orden: 3.1 En este apartado se hace una breve caracterización de los errores más frecuentes en

el proceso enseñanza -- aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Para lo anterior nos apoyamos en resultados de algunas investigaciones realizadas y tras considerar dichos resultados nos proponemos analizar la incidencia de articular el (SGD) GeoGebra, con los métodos tradicionales como factor equilibrante ante las diversas dificultades presentes en el proceso enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

3.2 Es innegable el creciente interés que se ha tenido en la última década por articular

convenientemente las TIC al proceso enseñanza -- aprendizaje de las matemáticas, en la bibliografía consultada se evidencia el desarrollo de investigaciones sobre la articulación del (SGD) al proceso enseñanza aprendizaje de la geometría, en este trabajo se asume como desafío articular convenientemente el (SGD) GeoGebra con los métodos tradicionales al proceso enseñanza - aprendizaje del álgebra y se pretende analizar las ventajas y desventajas de articular este software con los métodos tradicionales en el proceso enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Se considera como resultado de investigaciones que este entorno favorece el trabajo cooperativo, permite al alumno avanzar a su propio ritmo en la construcción de su aprendizaje.

3.3 En este apartado se hace referencia a la incidencia de la resolución de problemas en

el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales, como una buena dinámica para contribuir al desarrollo del pensamiento de los estudiantes.

3.4 Resultados de investigaciones evidencian que los estudiantes poco recurren a la

representación y resolución grafica de un problema con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, en este apartado desarrollaremos aspectos en relación a la competencia visual como herramienta de apoyo para la resolución de problemas.

Esta investigación pretende resaltar la importancia del desarrollo de la competencia visual mediante la articulación del (SGD) con los métodos tradicionales al proceso de resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, facilitando la reactivación del método grafico en el proceso de resolución.

MARCO TEÓRICO


3.1 Los sistemas de ecuaciones lineales A continuación presentaremos las definiciones de conceptos que se consideran relevantes en esta investigación, sin restarles importancia a los otros.

3.1.1 Resolución de un sistema de ecuaciones

Es el proceso por el cual se llega a la solución del sistema de ecuaciones lineales.

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.

Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales más usuales son: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. El método de eliminación suele emplearse mayoritariamente por los estudiantes, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante multiplicación), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, resultando una ecuación con una sola incógnita, donde el proceso de resolución es simple. Aunque existen otros métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales tales como la regla de Kramer y el método grafico, estos no son de mucha preferencia por los estudiantes a la hora de resolver sistemas lineales dándoles un estatus Infra - matemático.

MARCO TEÓRICO


3.1.2 Errores habituales en la resolución de sistema de ecuaciones 2x2 En el proceso de aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, son numerosos los errores en los cuales incurren los estudiantes, estos se atribuyen a diversas causas entre las más frecuentes podemos citar: dificultades en las operaciones con los números reales, dificultades referidas a las representaciones en el plano cartesiano, dificultades en el cambios de registros, por ejemplo del verbal al algebraico, dificultades de interpretación del problemas. Existen numerosas investigaciones en las que se ocupan de dar cuenta de alguna manera a las dificultades citadas con antelación, a continuación mostramos una serie de autores y sus concepciones al respeto. Para (Vila y Callejo, 2004) hay que reconocer esfuerzos en la última mitad del siglo pasado por caracterizar los valores educativos de las matemáticas: funcionalidad, sentido, comunicación, perseverancia, placer…..(Freudenthal, Guzmán, Polya, Puig Adam………..y una extensa relación de matemáticos y pedagogos que han liderado este proceso), en particular Puig quien redactó en 1958 el ya reconocido decálogo del profesor de matemáticas, en el que recoge sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los institutos. Las dificultades en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales tienen orígenes diversos. Unos están ligados a la complejidad matemática de los elementos básicos que se utilizan en la adquisición del objeto sistemas de ecuaciones lineales (números reales y función afín, otros al concepto de sistemas de ecuaciones lineales y su solución, y otros más a la ruptura entre el pensamiento aritmético y el algebraico (Segura, 2004). En la enseñanza tradicional son numerosos los errores en que incurren los alumnos, a pesar de los esfuerzos que hacen los profesores para que los corrijan y eviten en lo sucesivo, (Segura, 2004). Por ejemplo presentan dificultades para usar las operaciones aritméticas más elementales en problemas verbales que involucran ecuaciones o sistemas de ecuaciones; aún cuando saben aplicar perfectamente los algoritmos de resolución, tales errores vuelven a surgir en la introducción a la escritura literal para valores numéricos y en los comienzos del álgebra, sobre todo en igualdades y desigualdades (Guzmán, 2000). No realizan correctamente el pasaje del registro verbal al algebraico de un problema que involucre un sistema de ecuaciones lineales y recurren pocas veces al pasaje del registro gráfico al algebraico para resolver un sistema de ecuaciones lineales (Pérez Donoso, 1998). En general, no efectúan la representación y resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales, dándole un estatus Infra-matemático a este registro de representación (Ramírez, 1997). Algunos libros de textos y algunos profesores apuntan al desarrollo algorítmico. No trabajan los pasajes de registro algebraico al verbal ni grafico al algebraico, a pesar de que el paso entre registros de representación semiótica resulta necesario para acceder a un objeto matemático. Esto no se trata de una opción pedagógica si no de un aprendizaje obligado (Guzmán, 1990).

MARCO TEÓRICO


Si se toma en cuenta que resultados de algunas investigaciones que han llamado la atención sobre la importancia de articular los diferentes registros(no sólo el de las expresiones algebraicas, si no también el de la lengua natural y el gráfico) en el aprendizaje, particularmente cuando se trabaja con funciones, (Artigue, 2000) citado por (Segura, 2004). La intención de articular el GeoGebra contribuye a mejorar el proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Según cita (Segura, 2004). Además de acuerdo a otras investigaciones, resuelven un sistema de ecuaciones lineales y no verifican la solución, es decir, hay una desarticulación entre el objeto sistemas de ecuaciones lineales y su conjunto solución Panizza (1995). 3.2 Las TICs en la enseñanza de las matemáticas A la hora de evaluar el dominio y el uso de las TIC, la mitad de profesores de matemáticas y de ciencias encuestados admiten ser capaces de elaborar una presentación. No tienen problemas, para manejar hojas de cálculo ni para gestionar ficheros o imágenes, tres de las habilidades técnicas más usuales.

Los profesores si recurren a los ordenadores para que los estudiantes busquen y seleccionen información o desarrollen la capacidad de trabajar en grupo. Incluso se valen de las TIC para preparar las clases, pero las dejan de un lado cuando se trata de innovar en prácticas pedagógicas. La mayoría reconocen que no han recibido formación específica para desarrollar esas habilidades en su materia y que querrían hacerlo. También citan como obstáculos que pueden hacer más intensivo el uso de las TIC en clase “falta de tiempo, inexistencia de recursos y material digital” en los colegios e institutos, entre otros. La falta de confianza se sitúa, igualmente, en un lugar destacado entre las causas que motivan que renuncien a utilizar las herramientas informáticas en su que hacer pedagógico. El informe anterior devela que las escuelas están bien equipadas en PC pero se les saca muy poco rendimiento pedagógico, el uso semanal de las nuevas tecnologías por los profesores de ciencias es 17,9 % y de matemáticas 13,6 % y las TIC, son importantes para logar los siguientes objetivos:

1. Aumentar la motivación 2. Hacer ejercicios 3. Para promover estrategias activas 4. Para desarrollar la autonomía y la responsabilidad

Es evidente y bastante se ha escrito sobre los resultados de las investigaciones que sugieren articular de manera responsable las TIC, al proceso docente educativo de las matemáticas en sus diferentes niveles. Las calculadoras y los ordenadores, son herramientas esenciales para enseñar, aprender y hacer matemáticas, facilitan la organización y el análisis de datos y hacen cálculos con eficacia y exactitud. Pueden apoyar la investigación de los estudiantes en cada área

MARCO TEÓRICO


temática, incluyendo Geometría, Estadística, Álgebra, Medida y Números. Cuando disponen de estas herramientas tecnológicas, los alumnos pueden centrar su atención en tomar decisiones, reflexionar, razonar y resolver problemas. Con un uso apropiado de la tecnología, los estudiantes pueden aprender más matemáticas y con mayor profundidad. La tecnología no debería utilizarse como sustituto de los conocimientos e intuiciones básicos, si no que puede y debería usarse para potenciarlos. En los programas de enseñanza de las matemáticas, la tecnología debería utilizarse amplia y responsablemente, con el objetivo de enriquecer el aprendizaje. La existencia, versatilidad y potencia de la tecnología hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deberían aprender los alumnos, además como pueden aprenderlas mejor. En las aulas de matemáticas que se proponen en principios y estándares, todos los alumnos tienen acceso a la tecnología, para facilitarles el aprendizaje bajo la guía de un profesor competente. La tecnología puede ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas. Por ejemplo, mediante calculadoras y ordenadores pueden examinar más representaciones o ejemplos que los que son posibles a mano, y así, pueden formular y explorar conjeturas fácilmente NCTM (2004).

3.2.1 Aspectos generales de los recursos tecnológicos La tecnología no sólo influye en cómo se enseña y aprende las matemáticas, si no que también afecta a que se enseña y cuando aparece un tema en el currículo. Disponiendo de tecnología, los niños pueden resolver y explorar problemas que incluyan números grandes, o pueden investigar las características de figuras por medio de programas de geometría dinámica. Los alumnos de la escuela elemental pueden organizar y analizar grandes conjuntos de datos. Los de los niveles medios, pueden estudiar relaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y las nociones de pendiente y variación uniforme mediante representaciones en el ordenador, y realizar experiencias físicas con laboratorios controlados por ordenador. Los alumnos de la escuela superior pueden usar simulaciones para estudiar distribuciones muéstrales, y pueden trabajar con sistemas algebraicos con ordenador que realizan eficientemente la mayoría de las manipulaciones simbólicas que constituían el centro de los programas tradicionales de esta etapa educativa. El estudio del álgebra necesita no limitarse sólo a situaciones en las que la manipulación simbólica es relativamente directa. Utilizando la tecnología, los alumnos pueden razonar sobre cuestiones más generales, como cambios en los parámetros, por ejemplo, y pueden modelizar y resolver problemas complejos hasta ahora inasequibles para ellos. La tecnología difumina algunas de las separaciones artificiales entre los temas de Álgebra, Geometría y Análisis de datos, al permitir a los estudiantes utilizar ideas de una de las áreas de matemáticas para entender mejor otra.

MARCO TEÓRICO


3.2.2 Software de geometría dinámica. El software de geometría dinámica es una herramienta de gran potencial para el proceso enseñanza – aprendizaje de la geometría euclidiana , transformacional y analítica, que permite, en forma sencilla, construir objetos geométricos y luego trasladarlos, rotarlos, y estudiar en ellos aspectos tales como, simetría o proporciones. Es posible medir las figuras, representar las ecuaciones que le corresponden, comprobar sus propiedades geométricas y realizar cálculos vinculados a sus propiedades.

3.2.2.1 GeoGebra El GeoGebra (www.geogebra.org) es un software de matemática para educación en escuela media (secundaria), es un software libre, de código abierto de aprendizaje, diseño, entorno e instrucciones sencillas. Creado por el Dr. Markus Hohenwarter. Integra dinámicamente álgebra, geometría, cálculo en un sistema dinámico de múltiples representaciones, GeoGebra permite a los estudiantes una amplia gama de procesos matemáticos.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como Raíces o Extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

GeoGebra puede instalarse localmente o acceder a el a través de Internet. Las aplicaciones dinámicas de trabajo creadas con GeoGebra pueden ser fácilmente exportadas y publicadas en Internet. Se considera como Una galardonada invención, GeoGebra reúne a una comunidad internacional de profesores de matemática y estudiantes que colectivamente apoyan el desarrollo del sitio Web de GeoGebra y contribuyen con ideas innovadoras para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en diferentes niveles de grado. GeoGebra está disponible en 39 idiomas y es utilizado por los educadores matemáticos en más de 190 países en las aulas de matemáticas, por la tecnología integrada en el desarrollo profesional de los docentes, y en programas de formación docente. El público objetivo de este software puede ser: 1. Los investigadores en el diseño de instrucción y la enseñanza de las matemáticas que

pueden llevar a cabo investigaciones en la integración de la tecnología educativa, la

MARCO TEÓRICO


enseñanza de la matemática y el aprendizaje.

2. Maestros de matemáticas que utilizan o utilizarán GeoGebra en su práctica en el aula. 3. Los administradores de las instituciones educativas, los matemáticos o los especialistas

interesados en el uso sostenible de tecnología de bajo costo.

3.2.3 Recursos tecnológicos y enfoque constructivista del aprendizaje A mi modo de entender existe una relación estrecha entre los recursos tecnológicos y el enfoque constructivista, ya que la idea de este enfoque es favorecer al alumno en su dinámica de aprendizaje, propiciar autonomía, permitirle exploraciones, lo cual encaja perfectamente con la articulación de las TIC y particularmente el software con geometría dinámica GeoGebra, al proceso docente educativo. (Yabar, 2000), Los recursos tecnológicos son instrumentos que convenientemente usados pueden potenciar la capacidad creadora del alumno. Los recursos tecnológicos han de responder a la necesidad del proceso de aprendizaje. (Ejemplo del GeoGebra y la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales). Un modelo constructivista basa el proceso de aprendizaje en la experimentación del alumno sobre objetos de su entorno, en la utilización de materiales apropiados, en actividades de laboratorio. Es una metodología que centra el proceso de aprendizaje en la actividad creadora del alumno, en su función investigadora, en sus propios descubrimientos, entendiendo que es el alumno quien construye y significa sus conocimientos mediante una ayuda pedagógica (Coll, 1987) Coll define la ayuda pedagógica como una ayuda en los dos sentidos: ayuda al alumno, verdadero artífice del proceso de aprendizaje, de quien depende en último término la construcción del aprendizaje y una ayuda que utiliza todos los medios disponibles sin renunciar a priori a ninguno de ellos, es justamente lo que se persigue en esta propuesta, aprovechar las utilidades del (SGD) GeoGebra “un software de matemáticas que reúne geometría, álgebra y cálculo”. Para el proceso enseñanza - aprendizaje de los problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

Como consecuencia de esa concepción del aprendizaje, el constructivismo ha aportado metodologías didácticas propias como los mapas y esquemas conceptuales, la idea de actividades didácticas como base de la experiencia educativa, ciertos procedimientos de identificación de ideas previas, la integración de la evaluación en el propio proceso de aprendizaje, los programas entendidos como guías de la enseñanza, etc. “El constructivismo es la reconstrucción del conocimiento matemático. Con este fin, el constructivismo rechaza argumentos no constructivos como la demostración de G. Cantor, de que los números reales no son contables. El constructivismo plantea que tanto las verdades matemáticas como la existencia de los objetos matemáticos pueden ser establecidas por los métodos constructivos, esto significa que las construcciones matemáticas son necesarias para establecer la verdad o la existencia y se opone al método empleado en la prueba de contradicción. Entre los constructivitas tenemos: Brouwer, Heyting, Bishop y Dummertt.” (Ernest, 1991).

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En esta propuesta se considera el constructivismo como una postura epistemológica que concibe el conocimiento como una construcción personal que realiza el hombre en interacción con el mundo circundante, cada persona construye su realidad, su representación del mundo, en función de su viabilidad, por lo que no cabe en la opción constructivita hablar de verdad absoluta, o de objetividad del conocimiento, es decir la enseñanza moderna (saber y saber hacer en contexto ) no se debe desligar de los aportes constructivita ( aprender haciendo). 3.3 Enfoque didáctico de la resolución de problemas

Nuestro propósito inicial es el de establecer que entenderemos por problemas matemáticos para, de esta manera, poder reflexionar sobre los procedimientos metodológicos más recomendables para su tratamiento en el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. El termino problema está muy desgastado en el contexto escolar pues se ha venido utilizando para hacer referencia a una amplia tipología de actividades que se proponen al alumnado con finalidades muy dispares. Algunos especialistas consideran que los problemas son ejercicios con un texto relacionado con la práctica, como un ejercicio construido con datos que corresponden a la realidad, con lo cual limitan el campo de los problemas solo a aquellos ejercicios que expresan mediante un texto una situación de la realidad en la cual hay un dato incógnito que deberá ser encontrado mediante las operaciones de cálculo correspondientes. Al concebir los problemas de esta manera se ha descuidado un aspecto que es esencial, el marcado carácter sui géneris de los problemas, es decir el hecho que una situación con cierto comportamiento no armónico pueda ser considerado como un problema depende básicamente del sujeto que se ocupa con ella, esto significa que el carácter de problema tiene como condicionante el nivel de conocimientos y habilidades que el sujeto posee. Por otro lado, estamos considerando los problemas a partir de la existencia de situaciones que se dan en el objeto de estudio y que manifiestan un comportamiento no armónico o en muchas ocasiones contradictorio con los restantes componentes del objeto, pero estas situaciones pueden existir sin la intervención del sujeto y por tal razón no deben ser consideradas como problemas. Tales situaciones aparecen con mucha frecuencia en el proceso de enseñanza aprendizaje ya sean planteadas por el profesor o representadas en los libros de textos, sin embargo encontramos niños que no se interesan por resolverlas con lo cual no constituyen problema alguno para ellos, esto significa, que la condición de problema la adquiere en el momento en que el sujeto comprende la necesidad de resolver algo, de transformar las situaciones presentadas y esto esta estrechamente relacionado con los motivos que lo impulsan a la actividad de estudio. Así pues reservaremos el término problema para designar una situación que además de motivarlos en ocuparse de su resolución, sea planteada con finalidad educativa, que

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propone una cuestión matemática cuyo método de solución no es inmediatamente accesible al alumno/ resolutor o grupo de alumnos, que intenta resolverla, por que no dispone de un algoritmo que relacione los datos y la incógnita o de un proceso que identifique automáticamente los datos con la conclusión, y por lo tanto deberá buscar, investigar, establecer relaciones, implicar sus efectos, etc. Para afrontar una situación nueva. Esto nos lleva a una caracterización de la idea de problema como herramienta para pensar matemáticamente Schoenfeld (1992). Uno de los autores que más explícitamente ha hecho referencia a la importancia del papel de la resolución de problemas es Schoenfeld ( 1991 a 1992), quien apunta la conveniencia no tanto de hablar de enseñar a resolver problemas, como de enseñar a pensar matemáticamente, es decir modelizar, simbolizar, abstraer y aplicar ideas matemáticas en un amplio rango de situaciones. En este sentido, el proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales a través de la resolución de problemas es un intento por modificar el desarrollo habitual de las clases, en el que se pretende contribuir al desarrollo de habilidades en los estudiantes tales como establecer relaciones, modelizar, aplicar correctamente algoritmos, desarrollar competencia visual, realizar cambios de registros correctamente y otros procedimientos heurísticos. Dado que estamos haciendo una investigación en didáctica de las matemáticas y considero importante la articulación de la resolución de problemas al proceso enseña – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, quiero desarrollar algunos elementos didácticos que considero relevante tener en cuenta. Ante todo diferenciaremos los conceptos solución y resolución de problemas, cabe destacar que en la literatura especializada se han interpretado de dos maneras distintas, algunos autores consideran que la resolución es el resultado final del problema, el cual se obtiene como resultado de un proceso de solución. En este trabajo consideraremos que la solución es el resultado y el proceso que permite obtenerlo se denominará proceso de resolución del problema. De esta manera nos ocuparemos ahora de este proceso, para lo cual se conoce en la literatura especializada el denominado programa heurístico general y que en algunos textos aparece con ciertas adecuaciones según el nivel de los estudiantes. Cualquiera sea la variante que se tome, describe un proceso continuo y dialéctico que no se puede separar por etapas, salvo, por razones de estudio didáctico, mostraremos aquí las etapas generales de este proceso.

Primera etapa. Trabajo en el problema. Segunda etapa. Trabajo con el problema. Tercera etapa. Representación de la solución.

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Cuarta etapa. Consideraciones finales. El trabajo en el problema abarca, el aseguramiento de las condiciones previas necesarias, la motivación, el planteamiento del problema, su comprensión y orientación hacia el objetivo. Corresponde al docente el análisis de las condiciones previas que son necesarias para que el estudiante pueda entender el problema y enfrentarse a su proceso de resolución, estas condiciones deben ser aseguradas mediante una reactivación adecuada. La motivación que se plantee debe ser tal que provoque en el estudiante las necesidades de aprendizaje, con lo cual se garantiza su disposición para ocuparse con el problema. Para el planteamiento del problema se puede proceder de diferentes maneras, en primer grado, por ejemplo, se debe plantear de manera oral, con la ayuda de dibujos o de objetos que propicien su comprensión, esto será de esta manera hasta que los niños puedan leer; posteriormente los problemas se pueden escribir en el tablero, plantearlos desde el libro de texto o llevarlos en hojas de trabajo, también posible mediante retroproyector u otro medio apropiado sin anular la posibilidad de su planteamiento oral. Para la comprensión del problema se debe garantizar que los estudiantes reciban una instrucción heurística, inicialmente el maestro va asegurando el conocimiento de algunas reglas heurísticas generales, tales como:

Lee detenidamente el texto del ejercicio. Analiza que es lo dado y que es lo buscado. Trata de representar lo dado mediante un dibujo, gráfico, tabla, o simplemente

en tu libreta subráyalos con colores apropiados. Trata de comunicar la situación planteada con otras palabras, exprésale a tus

compañeros lo que has entendido. Progresivamente se deberán ir incorporando algunos principios heurísticos, tales como la analogía, la reducción y otros. De cualquier manera, lo importante es que los estudiantes aprendan que para comprender el problema pueden ejecutar acciones de transformación. Para el trabajo con el problema se concibe todo lo relacionado con la búsqueda de una vía de solución apropiada, aspecto que esta muy relacionado con las acciones dirigidas a la comprensión del problema, pero que ahora se enriquece con la incorporación de las estrategias de trabajo heurístico, Polya (1969), las matemáticas son una disciplina de descubrimiento. Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, Pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si se pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad

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conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual y deja una huella imperecedera en la mente y en el carácter del resolutor. Hay que darles a los estudiantes la oportunidad de explorar las diferentes posibilidades de resolver el problema, para así encontrar varias vías de solución y poder seleccionar la más adecuada. La anterior apreciación está plenamente identificada con el decálogo de Puig (1958) en el cual se hace referencia a estimular la actividad creadora del alumno, elemento que me parece importante, y como dice Polya (1969) desde los problemas se puede potenciar y que se corresponde perfectamente con la heurística que consiste en la búsqueda y para este caso en particular de vía de solución. En la tercera etapa se trata de realizar la vía encontrada, el control de los resultados encontrados y representar la solución, para lo cual lo estudiantes deben ser instruidos en diferentes formas de representación. Finalmente se realizan consideraciones retrospectivas y perspectivas, se tiene que reflexionar acerca de cómo se ha procedido en cada etapa y que se incorporará en el sistema de conocimientos de los estudiantes desde el punto de vista metacognitivo, en forma de mensajes muy sintéticos que la literatura especializada denomina ganancia metodológica la cual representa el vínculo de estas consideraciones con las perspectivas futuras. Se considera irrelevante en matemáticas dedicar tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés e impedirá su desarrollo intelectual. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de los alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello(Polya, 1969). La construcción o el descubrimiento de un concepto matemático no se realiza de manera esporádica, es necesario recurrir a diferentes niveles que empiezan en un nivel intuitivo y van progresando sucesivamente a través de un nivel experimental, uno teórico y uno axiomático. Más allá de las consideraciones perspectivas, se ha comprobado que es conveniente organizar algunas actividades mediante las cuales los estudiantes puedan disfrutar de los resultados obtenidos y que permiten además el retorno del pensamiento de los estudiantes a lo concreto. 3.4 Visualización y matemáticas La serie de estudios sobre el aprendizaje de los estudiantes relacionados con el álgebra y diagramas interactivos en un entorno tecnológico son ricos, las Herramientas de software que invitan a la interacción con el usuario, tienen la intención de ofrecer un uso distinto de la información visual, que ayude a superar algunas dificultades que presentan los estudiantes.

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Desde hace años, investigaciones de Krutestkii (1976), Moses (1977), souwarson (1982), Presmeg (1985) y en el campo de la resolución de problemas, pusieron de manifiesto que, atendiendo a las características de sus resoluciones, los estudiantes se clasifican en tres grandes grupos: 1. El visual o geométrico; compuesto por aquellos individuos dotados de una habilidad

especial para interpretar visualmente relaciones matemáticas abstractas y caracterizados por su persistencia en el uso de esquemas visuales incluso cuando los problemas se pueden resolver fácilmente desde otros enfoques.

2. El analítico; formado por estudiantes que no tienen necesidad de recurrir a ningún tipo de soporte visual para trabajar con esquemas abstractos.

3. Intermedio o Armónico; Integrado por aquellos alumnos en los que se da un equilibrio entre las aproximaciones visuales y analítica en la resolución de problemas.

Las mismas tendencias de los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos también están presentes en su forma de aprender matemáticas. En general los programas de matemáticas han restado importancia en los aspectos visuales (excepto los contenidos geométricos) y se han dedicado casi exclusivamente a su parte analítica. La importancia creciente de la visualización en el proceso docente educativo de las matemáticas es innegable, esto lo reflejan las diferentes investigaciones realizadas en las dos últimas décadas aunque con mayor desarrollo en el campo de la geometría, como ya lo hemos dicho. En el algebra, encontramos algunos conceptos en los que reviste importancia, sobre todo en temas como las representaciones gráficas. La visualización es un proceso muy presente en el aprendizaje de las matemáticas ya que se pueden construir modelos visuales que describen una buena parte de las estructuras matemáticas subyacentes a un concepto. La aparición de los ordenadores en las clases ha motivado crecientemente el interés por el desarrollo de la capacidad de representación visual. La visualización puede convertirse en una forma de validación de un descubrimiento matemático Brousseau en su teoría de las situaciones didácticas, concibe el proceso de validación como parte fundamental del proceso amplio de construcción de un conocimiento matemático. Brousseau describe varias formas de validación entre las que se encuentra la empírica, esta describe el proceso de probar algo, mostrando que funciona, sin explicar necesaria mente el por qué. Los recursos tecnológicos son la base de esta, la implementación pertinentemente del software de geometría dinámica GeoGebra, al proceso docente- educativo del algebra, contribuye al desarrollo de esta habilidad.

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3.4.1 Las gráficas como un lenguaje de los fenómenos a los modelos algebraicos. Desde mediados de 1980, Dugdale (1993) ha estado creando y estudiando las herramientas multi representacionales para promover la comprensión de las graficas en los estudiantes relacionándolas a situaciones matemáticas y no matemáticas. Sus esfuerzos se han dirigido a movilizar los estudiantes más allá de la grafica y la lectura de sus puntos para interpretar el significado global de la graficas y las relaciones funcionales que ellas describen. Dentro del trabajo TERC (Mokros & Tinker, 1987), quienes siguiendo los estudios iniciales de Dugdale, sobre las experiencias de los estudiantes de generación de graficas en tiempo real con pruebas y computadoras basados en laboratorios (MBLs) usar el MBLs permite a los estudiantes reunir datos de la situación y representarlos gráficamente. Esta tecnología derivada de los símbolos algebraicos es motivante para los estudiantes ya que le permite experimentar con la situación y le sirve de referencia para situaciones más complejas. Otro intento de una aproximación potencial de graficas es aquel donde la grafica no es sólo una representación de relaciones dentro de un fenómeno si no también por sí misma un lenguaje, la cual entonces puede ser usada como puente para el lenguaje simbólico. Schwartz & yerushalmy (1995) proponen una representación intermedia entre un lenguaje natural complejo en el cual los problemas son formulados frecuentemente y el denso, analítico, simbólico y preciso lenguaje matemático. Usos similares de los iconos fueron surgiendo por Nemirovsky & Rubín (1992) y por Janvier, Girardon, y Morand (1993). La representación lingüística intermedia propuesta por Schwartz & yerushalmy, basada en la función y su vocabulario, incluye siete iconos gráficos que describen como la función y su ritmo cambian.

Cantidad Rango de cambio

Incrementa Disminuye Constante

Incrementa Disminuye Constante

Tabla No. 1 Siete iconos gráficos que muestran los cambios en la función y su ritmo de cambio.

La anterior reflexión entre otros aspectos está orientada a cubrir las necesidades de aquellos alumnos cuya orientación cognitiva es meramente visual y propiciarles la oportunidad de acceder a las matemáticas a través de su componente visual.

DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN


4. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

En este diseño presentamos la siguiente estructura: Preguntas transformadoras e hipótesis general, metodología, población y muestra, aspectos organizativos, técnicas de observación y registros, y cronograma. 4.1 Preguntas Transformadoras ¿Como hacer que los estudiantes adquieran un aprendizaje significativo, en el proceso enseñanza aprendizaje, de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2? ¿Cómo se articula el GeoGebra, al proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2?

4.1.1 Hipótesis General La articulación del GeoGebra con los métodos tradicionales favorece el proceso enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2. 4.2 Metodología

Es difícil escoger un único método como ideal para realizar una investigación, pues estos se complementan entre sí. Se considera que aunque esta investigación se enmarca en un modelo CUALITATIVO, el cual se llevara a cabo para el análisis de los resultados y el CUANTITATIVO, para facilitar la presentación, lectura e interpretación de los mismos, también se utiliza el HIPOTETICO – DEDCUCTIVO, ya que este permite comprobar experimentalmente el problema de investigación basados en la parte teórica para que esta no pierda sentido, por ello la teoría se relaciona con la realidad. Este incluye otros métodos como el inductivo, o deductivo y el experimental todos ellos con unas fortalezas especificas y es justamente la unión de todas esas fortalezas lo que lo hacen más fiable. Muchos de nuestros conocimientos son proporcionados por la experiencia y el método experimental permite estar ¨seguros¨ de lo que se hace. Además se puede hacer modificaciones en el desarrollo lo cual da vía libre para la corrección de errores e introducir mejoras en la investigación. Al trabajar con software como es nuestro caso, se evidencia la utilidad y pertinencia de este ya que se debe buscar una solución de calidad, efectiva y funcional, para ello se realizan diferentes pruebas buscando satisfacer las necesidades de los estudiantes.

4.3 Población y Muestra

En este apartado se tratan aspectos tales como la población del municipio de Buenaventura, su estructura educativa, la estructura de la institución educativa José María Cabal, su población estudiantil, la formación de sus docentes entre otros.



Buenaventura es el municipio de mayor extensión territorial del valle del cauca; con una extensión aproximada de 6078 kilómetros cuadrados, la población de Buenaventura según el DANE, en el último censo (1993), es de 260.000 habitantes, pero para sus residentes esa población fluctúa entre 350.000 y 400.000 habitantes. Según la secretaría de educación municipal la estructura educativa de Buenaventura cuenta con 37 instituciones educativas oficiales dirigidas por 9 jefes de zona, 3 supervisores, 36 rectores, 137 coordinadores y 1081 docentes; para atender una población de 62.826 estudiantes. También se cuenta con 21 centros de educación superior entre las que se destaca la Universidad del Pacífico, la Universidad del Valle, la Universidad del Quindío, la Universidad Antonio Nariño, sede pacífico etc. La institución educativa José María Cabal atiende una población de 2.110 alumnos distribuidos en sus diferentes sedes así:

• 1400 sede José María Cabal (66,6%) • 500 sede Eusebio Muñoz Perea (23.69%) • 110 sede Doce de Abril (5.21%) • 100 sede Uribe Uribe (4.73%)

Gráfica No. 1 El personal docente para atender a esta comunidad estudiantil es de 70 docentes entre los cuales tenemos normalistas, licenciados y especialistas. La población que en teoría se beneficiará de esta investigación es de: 480 estudiantes, que corresponde aproximadamente al 22.74% distribuidos en las sedes José María Cabal y Eusebio Muñoz Perea. Se asumirá como estrategia en esta investigación, estudiar un grupo reducido. El grupo de estudio específico será los estudiantes del segmento educativo15 – 17 años de la sede Eusebio Muñoz Perea, cuya población total es de 90 estudiantes distribuidos en tres cursos.

POBLACIÓN Y MUESTRA

JSMC; 1400

EMP; 500

DAB; 110 UU; 100

JSMCEMPDABUU



Para el desarrollo de esta investigación seleccionaremos un grupo de 27 estudiantes, a los que organizaremos en subgrupos de dos estudiantes, para facilidad en la administración de la clase, propiciando la colaboración entre compañeros en la cual se refleja la idea de la actividad colectiva. Cuando los estudiantes trabajan juntos es posible utilizar en forma pedagógica las interacciones sociales compartidas. Algunos investigadores consideran que los grupo cooperativos son más eficaces cuando cada estudiante tiene asignadas sus responsabilidades y todos deben hacerse competentes antes de que cualquiera pueda avanzar. El énfasis en el uso de grupos de compañeros para aprender matemáticas, aportará elementos para reconocer la influencia del medio social durante el aprendizaje. Una de las ventajas que tiene esta manera de administrar la clase, es que el docente hace una asistencia personalizada, atendiendo a las necesidades particulares de cada estudiante y permitiéndole avanzar a su ritmo de aprendizaje. Para maximizar nuestra fiabilidad, la muestra se aproximará lo más posible a la población, nos ocuparemos de asegurar su similitud y poder generalizar los resultados a la población, desarrollaremos el análisis sólo con los grupos que realicen la totalidad de la secuencia de actividades.

4.3.1 Conocimientos previos de la muestra. La población objeto de estudio son alumnos de grado once los cuales aunque ya cursaron los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, presentan las dificultades que se expresan en el marco teórico en el desarrollo de este, la anterior elección se hace teniendo en cuenta las limitaciones de esta investigación. Considerando el factor tiempo, se hace difícil enseñar a los estudiantes tanto el tama objeto de estudio como las utilidades del software, luego se toma la decisión de capacitarlos en el uso de los elementos básicos del GeoGebra necesarios para desarrollar el tama, y centrarnos en observar la incidencia de articular este, al desarrollo del tema. 4.4 Aspectos organizativos. La experiencia se llevara a cabo en la sala de informática de la sede Eusebio Muñoz Perea, esta cuenta con diez ordenadores los cuales no tienen conexión a Internet, la población objeto de estudio se organizará en parejas para tener una mejor administración de la clase y por la disponibilidad de equipos, el tiempo previsto par la realización de esta experimentación será de 12 clases cuya duración es de 60minutos cada clase, la primera cuyo objetivo es la familiarización con el GeoGebra, tendrá una duración de 120 minutos y las actividades siguientes se desarrollaran en clases de 60 minutos. Se prevé dejar 120 minutos para los imprevistos en el desarrollo de las actividades. 4.5 Técnicas de Observación y Registro Se realizará entrevistas dirigidas a:

1. Los estudiantes en el segmento educativo 15 – 17años.



2. Docentes con mucha experiencia en la enseñanza de las matemáticas en el segmento educativo 15 – 17años.

Para la realización de este trabajo de investigación se utilizarán diferentes tipos de instrumentos con finalidades específicas. A los docentes:

1. Entrevista grabada en video orientada a indagar aspectos relacionados con la concepción de los docentes sobre el estado inicial (antes de aplicar la investigación) del proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

A los estudiantes 2.1. Una secuencia de actividades programadas expresamente para la realización de la

parte experimental. Estas actividades y los cuestionarios adjuntos nos darán la información sobre la evolución de los estudiantes.

2.1.1 Grabación en video de algunas secciones de la secuencia de actividades para

interpretar un poco la sensación de los estudiantes al interactuar con el GeoGebra. 2.1.2 Instrumentos digitalizados, que consisten en los archivos de los trabajos

desarrollados por los estudiantes para mirar su desempeño con el GeoGebra. 2.1.3 Los registros en papel de los trabajos realizados por los estudiantes para

confrontarlos con la información anterior.

4.6 Diseño de las actividades a llevar a cabo para el desarrollo de la

experimentación. Para la realización de esta investigación se ha diseñado la siguiente secuencia de actividades. ACTIVIDAD CERO La actividad cero se desarrollará en el mes de enero, se extractará de una propuesta hecha por Valles, Yabar y Margalef en su texto de matemáticas para tercero de eso, se hace una revisión previa y luego se aplicará sin modificación alguna ya que se considera apropiada. Esta actividad se realizará en una sesión 120 minutos La anterior actividad y tendrá como objetivo que los estudiantes se apropien de los elementos básicos utilizados en el GeoGebra para el tratamiento de las funciones lineales, tales como ingresar en la entrada una ecuación, graficar la ecuación, adecuar las escalas de los ejes a los valores necesarios, crear puntos que se muevan sobre una línea, cambiarle atributos a la línea, encontrar la intersección de dos objetos, entre otros.



Para el diseño de las primeras actividades nos centraremos básicamente en lograr que los estudiantes interpreten que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, para lo anterior diseñaremos unos problemas de ecuación lineal, una vez alcanzado este logro, se diseñaran las actividades siguientes con el objetivo de desarrollar la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

ACTIVIDAD UNO La actividad uno consistirá en un problema de cambio de monedas, cuya solución es una ecuación lineal de la forma y = ax, para la cual se elaborará un cuestionario que constara de dos partes: Una algebraica en la que se realizaran preguntas cuyo objetivo será observar el comportamiento de los estudiantes en manejo de tablas de valores, representación en el plano cartesiano, cambio de registro verbal al algebraico, entre otros. En el uso de la herramienta tecnológica, nos centraremos en lograr que los estudiantes le den más relevancia a la gráfica para resolver problemas y sobre todo que interpreten que un punto sobre la línea es solución de su ecuación. ACTIVIDAD DOS La actividad dos consistirá en la formulación de un problema en el que se ofrecerá servicio de Internet, el costo de servicio por hora es conocido al igual que el incremento fijo cuando se usan cabinas privadas, lo anterior dará origen a una función lineal de la forma y = ax+b, se perseguirá los mismos objetivos que en la actividad anterior, se realizaran preguntas para obtener información sobre los siguientes procesos: Uno algebraico cuyo objetivo será observar la evolución de los estudiantes en manejo de tablas de valores, representación en el plano cartesiano, cambio de registro verbal al algebraico, entre otros. En el uso de la herramienta tecnológica, nos centraremos en lograr que los estudiantes le den más relevancia a la gráfica para resolver problemas y sobre todo que interpreten que un punto sobre la línea es solución de su ecuación. ACTIVIDAD TRES. Para la actividad tres se planteará un problema de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se le pedirá a los estudiantes que lo resuelvan: de manera algebraica y gráficamente pintando con colores deferentes las líneas. En el uso de la herramienta tecnológica se le pide al estudiante que realice lo mismo que hizo en papel milimetrado, es decir, graficar las líneas y pintarlas de colores diferentes, pero además, luego haga clic en intersección de dos objetos, seleccione las dos líneas



para ver las coordenadas del punto de intersección, que la compare con la grafica en el papel milimetrado y que explique como lo interpreta. El objetivo de la anterior además de pretender que los estudiantes se apropien cada vez más del uso de la herramienta tecnológica, será mirar su desempeño en el proceso se resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, desde el los puntos de vista algebraico y grafico. ACTIVIDAD CUATRO. En esta actividad se planteara un problema de un quiosco de venta de dos periódicos diferentes en cual se proporciona información necesaria para saber cuantos diarios de cada uno se vende. El objetivo básico además de pretender que los estudiantes se apropien cada vez más del uso de la herramienta tecnológica, será mirar su desempeño en el proceso se resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, desde el los puntos de vista algebraico y grafico. ACTIVIDAD CINCO. En la actividad quinta se formulara un ejercicio trivial, se pedirá a los estudiantes que lo resuelvan de dos maneras diferentes y que además expliquen por que eligen esos métodos. Se pretenderá obtener información por un lado, sobre los métodos que eligen y por otro lado conocer sus argumentos. ACTIVIDAD SEIS. La actividad sexta consistirá en un problema de hallar dos números de los cuales se conoce su suma y el doble de la misma. Se pedirá a los estudiantes que lo resuelvan de dos maneras distintas, se persigue identificar si los estudiantes conocen, cuando un sistema tiene o no tiene solución. ACTIVIDAD SIETE. En la actividad siete se les propondrá un problema relacionado con la geometría, el cual tiene infinitas soluciones, se les pedirá que lo resuelvan de dos maneras diferentes y que además expliquen por que eligen esos métodos, se pretende saber si los estudiantes identifican ¿cuando un sistema tiene infinitas soluciones? y sus preferencias en los métodos para la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS


5. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 5.1 Desarrollo de la experiencia Esta experiencia se lleva a cabo en la Institución Educativa José María Cabal, ubicada en Buenaventura (Colombia), a la cual estoy adscrito como docente de tiempo completo en el área de matemáticas. Uno de los motivos para esta decisión deviene de la necesidad de aprender a realizar formalmente una investigación. En mi calidad de docente he tenido interés por contribuir a mejorar el nivel de desempeño de los estudiantes en esta área, en este sentido se ha realizado un proyecto de producción de software -- educativo, completamente a priori, en el cual una de los contenidos desarrollados fue: sistemas de ecuaciones lineales 2x2, pero este a pesar de ser una idea relevante, carece de ciertos fundamentos científicos. Al saber del GeoGebra me intereso por comentar la experiencia con los docentes y directivos docentes de la institución quienes se interesaron por su implementación, es así como se con logra obtener el permiso para desarrollar la investigación, se elige el docente Dagoberto Ibarguen Madrid, por su perfil: Licenciado en Matemáticas, Especialista en Didáctica de las Matemáticas, Especialista en Computación para la Docencia, para hacer el papel de co investigador. Convienen desarrollar la investigación en la sede Eusebio Muñoz Perea, sede a la cual está adscrito el docente Ibarguen, lo cual le facilita el trabajo, establecemos un proceso de comunicación continua vía digital y telefónica, se le dan las instrucciones para descargar el GeoGebra. Las primeras actividades se desarrollaron en forma de ejercicios, pero reflexionando sobre la necesidad apremiante de innovar en la forma de hacer docencia, y su coherencia al corresponderse con los intereses y enfoques en las investigaciones actuales, se imprime el carácter innovador a la investigación y se decide cambiar los ejercicios por problemas. Se diseña una secuencia de actividades para 60 minutos de clases cada una, orientadas a la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando el GeoGebra como una herramienta didáctica de apoyo. Con lo anterior se pretende contribuir en la superación de los errores frecuentes en los estudiantes al desarrollar los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, evidenciados en la teoría. 5.2 Realización de las actividades programadas Tal como estaba programado se realizaron en las fechas previstas las actividades preparadas.

Actividad cero Primero se llevó a cabo la actividad cero que era la introducción al programa GeoGebra.



La figura muestra el trabajo realizado por un grupo de estudiantes.

Captura de pantalla, Protocolo de construcción 1

Conclusión de la actividad cero Los estudiantes se mostraron motivados al trabajar con el GeoGebra, argumentan que es de fácil manipulación, que les permite realizar tareas más rápido y mejor, se considera un logro que los estudiantes desarrollaron habilidades en el manejo del GeoGebra. Actividad uno. Los resultados obtenidos en esta actividad se resumen en la siguiente matriz de doble entrada, seguida de una gráfica en papel milimetrado realizada por un grupo de estudiantes. Pregunta Grupo

tabla

Representa en papel milimetrado

Explica que observa

Dice coordenadas De dos puntos sobre la recta

Dice coordenadas de dos puntos que no estén sobre la recta

G1 C C Cd C G2 C C C C G3 C Cd C G4 C Cd C C G5 C Cd C C G6 C Cd Cd C

Matriz 2, de doble entrada que resume los resultados de la primera actividad. Donde C= Correcto sin dificultades; Cd= Con dificultades



Gráfica en papel milimetrado de la función lineal y=2.200x



Conclusión parte algebraica de la actividad uno En conclusión, según la interpretación que se hace a los datos anteriores, los estudiantes realizan correctamente las tablas de valores, en su mayoría tienen dificultades en el uso del papel milimetrado, no argumentan sus procesos, identifican cuando un punto está sobre la línea y cuando no. Conclusión de la actividad uno referente al uso del GeoGebra Para la interpretación del desempeño en el uso de la herramienta tecnológica, se ha seleccionado en una misma pantalla el archivo GeoGebra y el protocolo de construcción realizado por un grupo de estudiantes. En cuanto al uso de la herramienta tecnológica, los estudiantes, no usan tabla de valores, ni papel milimetrado para graficar, escriben la ecuación en el campo correspondiente y se ocupaban de comparar que la grafica obtenida con el GeoGebra con la que obtuvieron en el papel milimetrado, y creaban un punto y lo desplazaban sobre la línea para identificar las coordenadas de los que pertenecían y los que no. La conclusión de esta actividad es que los estudiantes terminaron identificando que un punto que está sobre la línea es solución de la ecuación.




Actividad dos Los resultados obtenidos de esta actividad se resumen en la siguiente matriz de doble entrada. Pregunta Grupo

Tabla

Representa en papel milimetrado

Explica que observa

Halla la expresión matemática

Utiliza la grafica para responder preguntas

Contextualiza

G1 C C C C C C G2 C C C C C+ C G3 C C C C I G4 C C C C C G5 C C I C C C G6 C I C C

Matriz 3 de doble entrada que resume los resultados de la segunda actividad Donde C= Correcto sin dificultades; C+= Interesante; I= Incorrecto

Conclusión parte algebraica actividad dos A partir de los datos anteriores llegamos a la conclusión que los estudiantes realizan correctamente las tablas de valores, en su mayoría tienen dificultades en el uso del papel milimetrado, en general no argumentan sus procesos y en ocasiones no se corresponde el argumento con el proceso, por otro lado realizan correctamente el cambio del registro verbal al algebraico, identifican cuando un punto está sobre la línea y contextualizan. La figura ilustra el trabajo realizado por un grupo de estudiantes.




Conclusión actividad dos referente al uso del GeoGebra. Para la interpretación del desempeño en el uso de la herramienta tecnológica, se ha seleccionado en una misma pantalla el archivo GeoGebra y el protocolo de construcción. En cuanto al uso de la herramienta tecnológica, los estudiantes no usan tabla de valores, ni papel milimetrado para graficar, escribían la ecuación en el campo correspondiente y se ocupaban de comparar la grafica obtenida con el GeoGebra con la que obtuvieron en el papel milimetrado, y creaban un punto y lo desplazaban sobre la línea para identificar las coordenadas de los que pertenecían y los que no. La conclusión de esta es que los estudiantes terminaron identificando que un punto que está sobre la línea es solución de la ecuación ahora con mayor propiedad que en la actividad anterior. Con base a la interpretación que se hace a la información anterior, se establece la siguiente conclusión: Primera conclusión general Los estudiantes en el uso de la herramienta tecnológica se tornan más comunicativos, expresan palabras textuales tales como: Con la recta es más fácil saber cuales puntos se encuentran y cuales no. (G2)Hay que fijarse bien en la recta para ubicar los que si y los que no. (G5)Lo anterior se puede interpretar como la importancia que empieza a tener las graficas en la resolución de problemas y el desarrollo de la competencia visual. Otro aspecto importante es que para ellos era muy motivante comparar la solución obtenida de manera tradicional con la que se obtenía mediante el GeoGebra. Con base a los resultados obtenidos anteriormente, se considera prudente realizar las siguientes actividades programadas las cuales se enfocaron al desarrollo de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Actividad tres Conclusión actividad tres parte algebraica La interpretación que hago a los datos obtenidos es que los estudiantes muestran un buen desempeño en el cambio del registro verbal al algebraico, en el proceso de resolución de problemas, los estudiantes utilizan diferentes métodos con errores y aciertos, es así como por ejemplo el (G1), presenta errores en la transposición de términos, los (G2 y G4), resuelven primero por eliminación incorrectamente, pero luego lo hacen correctamente por sustitución, el (G5) resuelve por igualación, en general presentan dificultades en los procesos algebraicos a la hora de resolver problemas con sistemas de ecuaciones lineales, lo anterior se corresponde tanto con nuestro marco teórico resultado de investigaciones en las que se hace referencia a la complejidad matemática de los elementos básicos, como las concepciones de los docentes expresadas en las entrevistas.



La figura ilustra el trabajo realizado por un grupo de estudiantes


Conclusión actividad tres referente al uso del GeoGebra Para la interpretación del desempeño en el uso de la herramienta tecnológica, se ha seleccionado en una misma pantalla el archivo GeoGebra y el protocolo de construcción. En cuanto al uso de la herramienta tecnológica, los estudiantes muestran mejor desempeño a la hora de resolver el problema con sistema de ecuaciones lineales 2x2, apoyados en el GeoGebra, excepto un grupo que su ritmo de aprendizaje es más lento y esto se ve reflejado en su trabajo como se aprecia en el archivo anterior. Los estudiantes escriben la ecuación que describe el primer acto, la colorean de azul y luego realizan el mismo procedimiento con la ecuación que describe el segundo acto coloreando de rojo, clica en intersección de dos objetos, señalan las rectas y entienden que el punto de intersección de las rectas, es la solución al problema planteado dado que es un punto que pertenece a las dos rectas. Actividad cuatro. En cuanto a la actividad cuatro, comentaremos que se persiguen los mismos objetivos anteriores, pero por dificultades con los archivos que dan cuenta sobre la utilización del software en la realización de la parte experimental, carecemos de la información suficiente para una interpretación fiable. En este sentido identificado con Propper (1959; p 142). El propósito no es promover un conocimiento falso, si no seleccionar cual es el más exacto y fiable sometiendo las teorías expuestas las comprobaciones empericas. El anterior posicionamiento nos insta a continuar con la siguiente actividad.



Actividad cinco. Conclusión actividad quinta parte algebraica La interpretación que se hace a los datos obtenidos es que los estudiantes muestran un buen desempeño en el cambio del registro verbal al algebraico, en el proceso de resolución de problemas, los estudiantes utilizan el método de eliminación con una notable mejora en el dominio de este, excepto el G1. Interpretan que el sistema no tiene solución pero no contextualizan. Conclusión actividad quinta referente al uso del GeoGebra El otro método que eligen para resolver el sistema es el grafico, apoyados en el GeoGebra, pero no argumentan ni evidencian el proceso de trabajo con el software sólo lo enuncian. Actividad seis. Conclusión actividad sexta parte algebraica La interpretación que me sugieren los datos obtenidos es que los estudiantes muestran un buen desempeño en el cambio del registro verbal al algebraico, en el proceso de resolución de problemas, los estudiantes utilizan el método de eliminación con una notable mejora en el dominio de este, incluso el G1. Conclusión actividad sexta referente al uso del GeoGebra El otro método que eligen para resolver el sistema es el grafico, apoyados en el GeoGebra, pero no argumentan ni evidencian el proceso de trabajo con el software sólo lo enuncian. Actividad siete. Conclusión actividad siete parte algebraica La interpretación que me sugieren los datos obtenidos ratifican lo expresado en la interpretación de los resultados en la actividad seis, que los estudiantes muestran cada vez mejor desempeño en el cambio del registro verbal al algebraico, en el proceso de resolución de problemas, los estudiantes utilizan el método de eliminación con una notable mejora en el dominio de este, incluso el G1. Conclusión actividad siete referente al uso del GeoGebra El otro método que expresan eligieron para resolver el problema es el grafico, apoyados en el GeoGebra, lo expresan tácitamente en los impresos de las actividades realizadas pero no argumentan ni explican su proceso de trabajo con el software, lo anterior sumado a la ausencia de los archivos que evidencian el proceso de trabajo con el software, no nos brinda información suficiente.



Los resultados obtenidos en las actividades anteriormente desarrolladas, permiten caracterizar los grupos y de estas se desprenden las siguientes conclusiones: Conclusiones de los grupos. La conclusión de los grupos de trabajo se hará teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

1. El que hablaremos del aseguramiento de las condiciones previas, es decir, lograr que entiendan que un punto sobre la línea es solución de su ecuación como elemento esencial para el buen desempeño en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, utilizando el método grafico.

2. El otro aspecto referido al uso de la herramienta tecnológica, como apoyo en el

proceso de resolución de problemas. GRUPO 1. Podemos concluir que el grupo presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, de igual manera en el manejo del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones, presentan dificultades al pasar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, y utilizan este concepto para responder algunas preguntas. Contextualizan con dificultad, y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica. En cuanto a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, muestra en la secuencia de actividades un desempeño que podemos considerar como bueno en lo referido al cambio de registros de representación de lenguaje verbal al algebraico, presentan algunas dificultades en el proceso de resolución de problemas, el método que prefieren es el de sustitución, no se apoyan de ninguna manera en la gráfica (plano cartesiano), para responder a las preguntas, pero si interpretan el tipo de solución y contextualizan. GRUPO 2. El grupo dos al presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones lo realizan correctamente es decir, pasan del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, y utilizan este concepto para responder preguntas, contextualizan y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica. En cuanto a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, muestra en la secuencia de actividades un desempeño que podemos considerar como bueno en lo referido al cambio de registros de representación del lenguaje verbal al algebraico, presentan algunas dificultades en el proceso de resolución de problemas sobre todo con el



método de igualación, pero se desenvuelven mejor con el método de sustitución, se apoyan con frecuencia en la gráfica (plano cartesiano) para responder a las preguntas, interpretan el tipo de solución pero no contextualizan es decir, no responden a las preguntas planteadas interpretando los resultados obtenidos. GRUPO 3. El grupo presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, de igual manera en manejo del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones no presentan dificultades al pasar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación y utilizan este concepto para responder preguntas, no contextualizan, y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica. En cuanto a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se observa en la secuencia de actividades un desempeño que podemos calificar con dificultades en lo referido al cambio de registros de representación del lenguaje verbal al algebraico. Presentan algunas dificultades en el proceso de resolución de problemas, no se apoyan de ninguna manera en la gráfica (plano cartesiano), para responder a las preguntas. GRUPO 4. El grupo presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, de igual manera en manejo del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones, traducen correctamente del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, y utilizan este concepto para responder preguntas, contextualizan y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica. En cuanto a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, muestra en la secuencia de actividades un desempeño que podemos calificar como bueno en lo referido al cambio de registros de representación, de lenguaje verbal al algebraico, no presentan falencia alguna en el proceso de resolución de problemas, el método que prefieren es el de eliminación, en ocasiones se apoyan en la gráfica (plano cartesiano), para responder a las preguntas, interpretan el tipo de solución y no contextualizan. GRUPO 5. El grupo 5 presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, de igual manera en manejo del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones no presentan dificultades al pasar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, y utilizan este concepto para responder preguntas, contextualizan, y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica.



En la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, muestra en la secuencia de actividades un desempeño que podemos valorar como bueno en lo referido al cambio de registros de representación, de lenguaje verbal al algebraico, presentan algunas falencias en el proceso de resolución de problemas en la primera actividad, pero en las siguientes se observa progreso en su desempeño, el método que prefieren es el de igualación, no se apoyan de ninguna manera en la gráfica (plano cartesiano), para responder a las preguntas, interpretan el tipo de solución y contextualizan. GRUPO 6. Este grupo presenta un buen desempeño en el manejo de las tablas de valores, y en manejo del plano cartesiano. En cuanto al cambio de registro de representaciones presentan dificultades al pasar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, saben interpretar que un punto sobre la línea es solución de su ecuación, y utilizan este concepto para responder preguntas, contextualizan y comparan los procedimientos y resultados obtenidos operando de forma tradicional con los mismos obtenidos apoyados en la herramienta tecnológica. En cuanto a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, muestra en la secuencia de actividades un desempeño que podemos calificar como bueno en lo referido al cambio de registros de representación de lenguaje verbal al algebraico, no presentan falencias en el proceso de resolución de problemas, el método que prefieren es el de eliminación, no se apoyan de ninguna manera en la gráfica (plano cartesiano), para responder a las preguntas, interpretan el tipo de solución y no contextualizan.

Nueva fase experimental En vista de las dificultades que se tuvo para obtener información que evidenciara las ventajas y desventajas del uso del GeoGebra, por ejemplo en la aplicación de la actividad cuatro, hubo dificultades técnicas, lo que aportó deficiente información, por otro lado en el desarrollo de algunas actividades, la argumentación y su respectiva evidencia en lo referido al uso del GeoGebra nos llevaron a diseñar un par de actividades que nos proporcionaran información complementaria, aportar más datos, mejorar la fiabilidad de los datos y de la investigación, y lograr los objetivos propuestos. Actividad ocho En la actividad octava se propone un problema de cambio de monedas (calderillas) y se pide a los estudiantes que resuelvan sólo utilizando el GeoGebra. Con el problema que se plantea a continuación además de obtener información sobre la incidencia del GeoGebra en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se pretende atender a una sugerencia del en el sentido que cuando se ha resuelto el problema por otro método antes de usar el GeoGebra, su proceso luego puede estar viciado. Para tener más elementos a la hora de interpretar los datos, se pide que expliquen su proceso resolución.



Con el objetivo de minimizar los errores que pueden ocasionar las limitaciones en el desarrollo de la investigación se organizan los datos obtenidos de la siguiente manera: Se colocan en una misma pantalla el archivo del proceso de resolución con GeoGebra, el protocolo de construcción y la solución impresa proporcionada por los estudiantes, para con base a esas tres fuentes de datos que se complementan entre si, hacer la interpretación. Se ha seleccionado las resoluciones de dos grupos de estudiantes a un mismo problema, para caracterizar sus procesos. Problema.

Proceso algebraico grupo 1



Uso del GeoGebra Grupo1


Interpretación del proceso grupo1 Se observa perfectamente que en principio lo que hacen es el cambio de registro verbal al algebraico, para obtener las expresiones matemáticas que describen cada acto, luego se apoyan en el GeoGebra, en primer lugar introducen la primera expresión que obtuvieron, la colorean de rojo, seguido introducen la otra expresión, la colorean de azul, hacen clic en intersección de dos objetos, seleccionan las líneas y obtienen las coordenadas del punto de intersección de las rectas, ya con estos datos retornan a sus apuntes de trabajo para darle significado a el punto de intersección, es decir contextualizan y escriben la solución. Proceso algebraico Grupo2



Interpretación del proceso grupo2 El proceso de resolución de este grupo presenta algunas variantes, en principio lo primero que hacen es definir sus variables, luego se observa que hacen el cambio de registro verbal al algebraico, para obtener las expresiones matemáticas que describen cada acto, luego se apoyan en el GeoGebra, en primer lugar introducen la primera expresión que obtuvieron, seguido introducen la otra expresión, a diferencia del grupo anterior no colorean, hacen clic en intersección de dos objetos, seleccionan las líneas y obtienen las coordenadas del punto de intersección de las rectas, hacen explícito el hecho que están haciendo uso del método gráfico para su resolución, ya con estos datos retornan a sus apuntes de trabajo para darle significado a el punto de intersección, es decir contextualizan y escriben la solución argumentando sus procesos. Actividad nueve Con la siguiente actividad cerramos el segundo ciclo de recolección de datos. Consistió en un par de cuerdas de diámetros y longitudes diferentes, las cuales al anudarse reducen su longitud dando origen a un sistema de ecuaciones lineales 2x2, en esta se pretende además de obtener información sobre la incidencia del GeoGebra en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, resaltar la importancia de la manipulación de los objetos concretos en la resolución de problemas, para ello se pide a los estudiantes que realicen la actividad práctica. Problema.

Proceso algebraico grupo 1



Interpretación del proceso grupo1 En principio se interpreta que el primer paso es completar la tabla para cada cuerda ya con la tabla rellena y el hecho de haber manipulado las cuerdas tenían elementos para obtener las expresiones que se pedían en el punto dos, con estas expresiones proceden como en el problema anterior. Proceso algebraico grupo 2





Interpretación del proceso grupo2 Este grupo explica paso a paso su proceso, en el que se puede observar que en primer lugar, definen sus variables, luego realizan el cambio de registro de lenguaje verbal al algebraico, para obtener las expresiones matemáticas que representan los actos, con esta información se apoyan en el GeoGebra, haciendo uso del método grafico como ellos manifiestan, ingresan la expresión matemática obtenida para cada una de las cuerdas, primero la de la cuerda de menor longitud, obteniéndose así la recta a, y luego la de mayor longitud y obtiene la recta b, lo siguiente que realizan es hacer clic en intersección de dos objetos, seleccionan las dos rectas a y b, y encuentran el punto de intersección de las rectas. Con la información anterior retorna a sus apuntes para consignar en ellos la interpretación a las coordenadas del punto hallado y por ende contextualizar Solución grafica grupo2 del segundo caso del problema



6. CONCLUSIÓN. Para la elección y concreción del tema de investigación fueron muchas las motivaciones que me asistieron, unas devienen de mi experiencia docente, otras de mi interacción con el GeoGebra, sin embargo, desde el inicio del desarrollo de este trabajo se presentaron algunas dificultades de orden metodológico, de diseño e implementación de las actividades y por ende de obtención de datos, pero estos obstáculos fueron superados oportunamente. Para la realización de esta propuesta de trabajo se crean un sin número expectativas, quizás por su carácter innovador pero pese a las limitaciones de la cantidad de la muestra, de los recursos e instrumentos utilizados, se puede considerar una experiencia fructífera el logro y concreción de esta investigación. En este apartado se presentan las conclusiones fruto del análisis de la información obtenida en la secuencia de las actividades, la estructura para la organización se corresponde con la organización del trabajo, de esta manera tendremos: Retomando el objetivo general de esta investigación: Analizar la incidencia de una propuesta metodológica en la que se integran registros algebraicos, gráficos, la resolución de problemas y el GeoGebra, en el proceso enseñanza - aprendizaje, de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, en la Institución Educativa, José María Cabal. En el marco teórico de este trabajo nos referimos a resultados de investigaciones realizadas por Krutestkii (1976), Moses (1977), Souwarson (1982), Presmeg (1985), en el campo de la resolución de problemas, las cuales pusieron de manifiesto que atendiendo a las características de sus resoluciones, los estudiantes se clasifican en: Visuales, Armónicos y Analíticos. Las mismas tendencias en la resolución de problemas matemáticos también están presentes en su forma de aprender matemáticas. Según Villa Callejo (2004), los errores frecuentes en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, unos están ligados a la complejidad matemática de los elementos básicos que se utilizan en la adquisición del objeto en mención (números reales, función afín, concepto de sistemas de ecuaciones lineales y su solución), otros mas a la ruptura entre el pensamiento aritmético y el algebraico. Schoenfeld (1992) plantea la resolución de problemas como herramienta para pensar matemáticamente que se corresponde con las ideas de Polya (1969) al considerar que através de la resolución de problemas se contribuye al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes, luego hay que darles la oportunidad de explorar las diferentes posibilidades de resolver el problema, para así encontrar varias vías de solución y poder seleccionar la más adecuada. Las dificultades que presentan los estudiantes develados por los docentes en sus entrevistas, la experiencia del autor que se corresponde con los fundamentos teóricos de esta investigación pueden ser objeto de mejoras si se articula pertinentemente el GeoGebra al proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2.


La articulación del (SGD) GeoGebra hacen de esta una propuesta innovadora y de actualidad, dado que si bien se están desarrollando investigaciones sobre la articulación del (SGD) GeoGebra al proceso enseñanza aprendizaje en su mayoría están enfocadas en la geometría y se encuentra muy poca literatura con relación al algebra y menos articulados como se propone en esta investigación. Se comprobaron las siguientes ventajas de articular el GeoGebra al proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2:

Ventajas.

1. Permite que los estudiantes aprendan a su propio ritmo. 2. Los estudiantes pueden controlar sus procesos mediante la comparación

permanente de sus tareas realizadas con y sin el apoyo del GeoGebra. 3. Favorece el desarrollo de la competencia visual en los estudiantes. 4. Permite la articulación de los diferentes registros de representación, en la

resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2. 5. Favorece el desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes a través de la

resolución de problemas. 6. Propicia el trabajo en equipo. 7. Permite una asistencia más personalizada, ya que se puede atender a las

necesidades específicas de cada estudiante. 8. Motiva a los estudiantes, ya que les ofrece otras alternativas para aprender, que se

complementan con los métodos tradicionales. 9. Sugieren la articulación de metodologías pertinentes al proceso, permite innovar en

la forma de hacer docencia. 10. Contribuye al logro de un aprendizaje significativo.

Considero la siguiente desventaja de articular el GeoGebra al proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2:

Desventaja.

1. No permite ver los procesos paso a paso, esto limita la posibilidad de conocer con precisión los momentos de errores y aciertos de los estudiantes a través de su proceso.

La información obtenida en la interpretación de los resultados de la secuencia de actividades corrobora la hipótesis general, recordemos nuestra hipótesis general:


La articulación del GeoGebra en una propuesta metodológica para la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales 2x2, contribuye al logro de un aprendizaje significativo. En la siguiente figura se observa como se articulan los métodos tradicionales, algebraicos y gráficos al proceso de resolución de problemas con sistemas ecuaciones lineales 2x2, y como los estudiantes establecen un dialogo armónico entre los diferentes registros de representación, lo anterior se hace evidente cuando los estudiantes a partir del enunciado (lenguaje verbal), traducen al lenguaje algebraico (expresión matemática que describe el acto), luego construyen tablas de valores, realizan gráficas apoyados en la herramienta tecnológica, hallan las soluciones mediante la grafica, retornan al lenguaje algebraico para interpretar los resultados y contextualizar.

Este diagrama muestra a manera de ejemplo la evolución de los estudiantes en las dos primeras actividades tomando como elemento de partida sus conocimientos previos y analizando los resultados obtenidos al interactuar con la herramienta tecnológica en el desarrollo de las actividades didácticas. Primera columna pintada de color rosa están expresadas las dificultades que presentan los estudiantes antes de empezar el proceso. La segunda columna de color azul están expresados los primeros logros frutos de interactuar por primera vez con la herramienta tecnológica como apoyo al proceso. La tercera columna pintada de verde están expresados los resultados fruto de la segunda interacción con el GeoGebra como herramienta de apoyo al proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, en esta secuencia se observa los avances de los estudiantes en las dos primeras intervenciones a lo largo del proceso. Lo anterior permite hacernos una idea intuitiva del los logros de los estudiantes a través de la secuencia de actividades en su trabajo con el software. Figura que muestra el proceso de evolución de los estudiantes en las dos primeras actividades

Gráfica No. 2


En cuanto a los instrumentos aplicados se puede reconocer la pertinencia de su última versión, aunque se pretendió ser lo más claro y conciso en las preguntas de las actividades hubo algunas dificultades en la formulación de algún problema lo cual generó dudas y contradicciones en su proceso de resolución. Las entrevistas grabadas en video realizadas a los docentes para conocer su percepción referente al proceso enseñanza - aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, fueron llevadas a cabo de manera empírica, así como la grabación en video de las clases para hacer un seguimiento de la percepción de los estudiantes en su interacción con el GeoGebra. La idea de colocar en un mismo pantallazo el archivo obtenido en GeoGebra, el protocolo de construcción y los impresos de las resoluciones a los problemas hechas por los estudiantes fue interesante ya que esta triangulación de información en el análisis, minimiza errores, permite fiabilidad a la investigación profundizar en la misma. Los instrumentos utilizados han sido pertinentes a las características de esta investigación, han dado respuesta a la pregunta de investigación y han permitido el logro de los objetivos de la investigación. Es importante anotar que para la elaboración e implementación de estos instrumentos no se tenían los conocimientos desarrollados en el módulo de metodología por lo tanto las estrategias aplicadas para los fines anteriores fueron a priori. Finalizaremos las conclusiones haciendo referencia a la estrategia usada para el análisis de los resultados, aunque la estrategia utilizada es a priori, dado que no se usa un instrumento de análisis previamente validado, nos hemos ocupado de minimizar los errores y triangular los datos objetos de análisis. Pese a sus limitaciones, nos ha permitido hacer un estudio sistemático de la incidencia de articular el (SGD) GeoGebra, en el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, permitiendo establecer algunas ventajas y desventajas, aspecto que considero muy relevante. 6.1 Proyecciones de la investigación. El trabajo realizado servirá de apoyo a una posible tesis doctoral que se interese sobre la articulación del (SGD) GeoGebra al proceso enseñanza – aprendizaje del álgebra de esta forma con base a las dificultades y resultados obtenidos se pueden proponer los siguientes objetivos:

La experiencia se desarrollo con estudiantes que ya habían cursado los sistemas de ecuaciones lineales, para cumplir con los objetivos del master en el tiempo estipulado, se proyecta realizar una investigación con alumnos que no tengan conocimientos previos sobre los sistemas de ecuaciones lineales.

En consecuencia con los objetivos del master en el sentido de identificar problemas relevantes en el ámbito de la educación matemática y científica, situado en un


contexto social y teórico dar respuesta con metodologías y comunicar los resultados, es proyección del aspirante a master en investigación aplicar los conocimientos aprendidos en metodología en una investigación sobre funciones y graficas, observando las clases del docente Ibarguen quien conoce el GeoGebra.

Socializar el (SGD) GeoGebra con la comunidad matemática de la Institución Educativa José María Cabal, apoyado en docente Ibarguen y los estudiantes que participaron en esta investigación.

6.2 Implicaciones Didácticas. Las implicaciones didácticas hacen referencia a la pertinencia o aportes de la investigación al proceso enseñanza - aprendizaje de las matemáticas. Esta investigación cobra importancia al estar enmarcada en el uso de las TIC en la educación. La articulación del GeoGebra al proceso enseñanza – aprendizaje del álgebra y su carácter innovador en el sentido de integrar: métodos tradicionales, resolución de problemas y (SGD) GeoGebra en una misma propuesta metodológica para el desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales 2x2. A partir de esta investigación es posible desarrollar materiales educativos tales como: unidades didácticas, libros de textos, materiales docentes que puedan incorporar las propuestas realizadas en este estudio. Esta investigación nos insta a reflexionar sobre la necesidad apremiante de introducir metodologías alternas que motiven al estudiante y propendan por un aprendizaje significativo. 6.3 Valor Añadido. Esta investigación le interesa a la comunidad matemática de la Institución Educativa José María Cabal por que le aporta elementos que pueden contribuir en su objetivo de mejorar el nivel desempeño de los estudiantes. Lo anterior puede extenderse a la comunidad educativa del municipio de Buenaventura. Por otro lado se puede interesar en ella, el Ministerio de Educación Nacional de Colombia, ya que esta investigación se corresponde con el proyecto nacional de articular las TIC al proceso enseñanza – aprendizaje, en un convenio que se adelanta con el apoyo de Microsoft. Esta investigación será de las primeras en su tipo para revisar la teoría y la práctica en GeoGebra, basando en la enseñanza del álgebra en un modelo centrado en una perspectiva innovadora que propone metodologías alternas a los actuales paradigmas tradicionales de enseñanza de las matemáticas y proporciona la orientación teórica para la investigación futura y el desarrollo de software.


BIBLIOGRAFIA Polya, G. (2005). Cómo plantear y resolver problemas México: Trillas Vila A., Callejo M. L. (2004). Matemáticas para aprender a pensar Villa M. S., Cep de Teruel. Estudio Sobre el Comportamiento visual en el Segmento Educativo 14-16 Enseñanza de las ciencias, 1995, 13 (I), 97 – 105 Iranzo N., Cobo P. y Fortuny J. M., UAB. La co-emergencia de técnicas de papel y lápiz y de geometría dinámica en las estrategias de resolución de problemas de Geometría: un estudio de casos Acosta I. G., (2003). -Didácticas de las Matemáticas – ¿Cómo enseñar para obtener un aprendizaje significativo? Cap. V, Página 129 - 136. Segura, M. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: UNA SECUENCIA DIDÁCTICA Revista Latinoamericana investigación en matemática Educativa, Vol. 7, # 001, Pág. 49 -78 México D.F. Yabar, J. M. (2000). La computadora en la enseñanza secundaria dentro de un enfoque constructivista del aprendizaje, en el constructivismo en la práctica Pág. 133-142. Editorial GRAO. Schoenfeld, A., Arcavi, A. (1998). On the Meaning of Variable, Mathematics Teacher, (81) 420 – 427 National Council of teachers of Mathematics. (NCTM). (2004) Versión original (2000). Principios y estándares para la educación Matemática, Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, España. Azcarate, C., Deulofeu, J. (1990). Funciones y gráficas, Matemáticas: cultura y aprendizaje. Madrid: Ed. Síntesis. Janvier, C. (1987). Translation Processes in Mathematics educational, in problems of Representation in the teaching and learning of Mathematics, Janvier, C., (Ed) 27 – 32 Hillsdadel: NJ Erlbaum. Ruthven, K. (2009). Towards a naturalistic conceptualisation of technology integration in classroom. Practice: The example of school Mathematics.


Ruthven, K. (2008). Mathematical technologies as vehicle for intuition and experiment: A foundational theme of the international commission on Mathematical instruction, and a continuing preoccupation. Ruthven, K. (2008). The interpretative flexibility, Instrumental evolution and institutional adoption of Mathematical software in education practice: The example of computer algebra and dynamic geometry. Strauss, A., & Corbin, J. (2002). Bases de la investigación cualitativa. Técnicas y procedimientos para el desarrollo de una teoría fundamentada. Universidad de Antioquia (Colombia). http://www.iesdelgadohernandez.es/pealfa/mates/matbach2cs/html/web01-sitemas/index.html http://www.mathcasts.org/mtwiki/GlosaryT/System2 http://www.elperiodico.com http://www.geometriadinamica.cl/software/ http://www.geometriadinamica.cl/articulo/ficha.


ANEXOS


Tabla de Anexos ANEXO 1. Secuencia de Actividades ................................................................................ 58 ANEXO . Actividades Complementarias .......................................................................... 73 ANEXO 3. Plan de Trabajo ............................................................................................... 75


ANEXO 1. Secuencia de Actividades

Institución Educativa José María Cabal

Resolución de Aprobación No. 1817 de 4 sept. 2002

ACTIVIDAD 0 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________




ACTIVIDAD 1 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ FUNCIÓN LINEAL Una persona quiere cambiar por pesos cierta cantidad de dólares, se desplaza a san Andresito y se encuentra que la tasa de cambio es $2200 por dólar, procede a cambiar. Con la información anterior: a- Completar la siguiente tabla de valores

b- Representa en papel milimetrado los pares ordenados de la tabla anterior teniendo en

cuenta que en el eje de las y las divisiones van de 1000 en 1000. c- Trata de unir los puntos representados anteriormente, ¿que observas? d- Halle la expresión matemática que usted considere describe el cambio de las monedas

anteriores e- Podrías decirme los pesos que obtengo al cambiar 8 dólares. Si ________________; No___________________; Como lo haces _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

X US (dólares) 1 2 3 4 5 6 7Y $(pesos) Solución (x,y)


f- Podrías decirme los dólares que se debe cambiar para juntar $550.000, ¿Cómo lo

haces? USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLÓGICA Haga uso del GeoGebra para representar la ecuación que describe el cambio de monedas. Como las divisiones del eje de las y han de ir de 1000 en 1000 hemos de cambiar en Opciones/Zona gráfica/ Eje_x: Eje_y= 1 - 1000

Dibuja la recta que representa la ecuación y píntala de color azul. Para ello dibuja la recta y en el menú Edita/propiedades/color indica el color que quieres que tenga.


Compruebe que los valores de la tabla hallada anteriormente, son puntos sobre la recta. Sugerencia: crea un punto que se mueva sobre la recta y observa sus coordenadas.

Compara tus resultados con los obtenidos en GeoGebra ¿qué concluyes? ¿El punto de coordenadas P (8,17600) es solución de la ecuación? ¿Por qué? ¿El punto de coordenadas Q (250,550000) pertenece a la recta? ¿Por qué? ¿Cómo interpretas el resultado anterior




ACTIVIDAD 2 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ FUNCIÓN LINEAL PARTE ALGEBRAICA En un café Internet del centro comercial la 14, se ofrece servicio de Internet, el costo por hora es de $1500 y un incremento fijo de $500 si las cabinas son privadas. Con la información anterior y teniendo en cuenta que utilizamos cabina privada: a- Complete la siguiente tabla de valores. b- Representa en papel milimetrado los pares ordenados de la tabla anterior recuerda que

las divisiones del eje de las y van de 1000 en 1000. c- Trata de unir los puntos representados anteriormente, ¿que observas? d- Halle la expresión matemática que usted considere describe el valor a pagar en función

del tiempo de servicio, si utilizamos cabina privada e- Podrías decirme los pesos que debo pagar por 8 horas de servicio? Si ________________; No___________________; Como lo haces _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f- Podrías decirme cuantas horas he utilizado si me cobraron $14000 por el servicio,

¿Cómo lo haces?

X (horas) 1 2 3 4 5 6 7Y $(pesos) Solución (x,y)


USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLOGICA Haga uso del GeoGebra para representar la ecuación que describe el valor a pagar en función del tiempo de servicio. Dibuja la recta en color rojo. Previamente cambia en Opciones/Zona gráfica/ Eje_x: Eje_y= 1 - 1000 el valor de las divisiones del eje de las y Compruebe que los valores de la tabla hallada anteriormente, son puntos sobre la recta. Sugerencia: crea un punto que se mueva sobre la recta y observa sus coordenadas.

Compara tus resultados anteriores con los obtenidos en GeoGebra ¿qué concluyes? ¿El punto de coordenadas P (6,9500) es solución de la ecuación? ¿Por qué? ¿El punto de coordenadas Q (15,9000) pertenece a la recta? ¿Cómo interpretas los resultados obtenidos?




ACTIVIDAD 3 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARTE ALGEBRAICA Por la compra de 2móviles y 3 mp4 una persona paga $834000. Otra persona compra 5móviles y 4 mp4 y le cobran $1462000, ¿Cuál es el valor de un móvil y el de un mp4? Haciendo uso del GeoGebra intenta solucionar el problema que se presenta. Explica como lo haces. USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLOGICA Haga uso del GeoGebra para representar la ecuación que describe el primer acto, (primera). Utiliza el zoom de alejamiento para poder ver la gráfica (los valores de las divisiones de la gráfica se hacen más grandes).

Colorea la recta de azul.


Realiza el procedimiento anterior, con la ecuación que describe el segundo acto, (Segunda), coloreándola de rojo. Crea un punto que se mueva sobre la recta azul

Ve deslizando el punto sobre la línea y observa sus coordenadas, escribe las coordenadas del punto donde se intersectan las dos (2) rectas. Clica en intersección de dos (2) objetos, clica sobre las dos líneas y comprueba que las coordenadas del punto de intersección coincidan con las encontradas anteriormente

Interpreta este resultado Resuelva algebraicamente el problema. Compara los resultados obtenidos




ACTIVIDAD 4 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Resuelve de dos maneras diferentes el siguiente problema: En un quiosco reciben por la mañana los diarios A i B. Reciben 10 diarios más del A que del B. Al mediodía han vendido 24 diarios A y 27 diarios B y observan que el número de diarios A que quedan por vender es el doble de numero los diarios B. ¿Cuántos diarios de cada uno ha recibido el quiosco? Explica lo que haces para resolverlo.




ACTIVIDAD 5 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Resuelve de dos maneras diferentes el siguiente problema: PARTE ALGEBRAICA BJETIVO: Reconocer los diferentes casos, en la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. PASO 1 Resuelva algebraicamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales, observe la solución y establezca conclusiones. X - 3y = 5 X + y = 1 PASO 2 Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones anterior, realizando las graficas en papel milimetrado y pintando las líneas con colores diferentes (azul y rojo) por ejemplo, que observas? PASO 3 USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLOGICA Utiliza el programa el GeoGebra, para resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior, realizando el mismo procedimiento que en la actividad 3, compara las soluciones obtenidas en cada paso (PASO 1, PASO 2, PASO 3), ¿qué concluyes y por qué?




ACTIVIDAD 6 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Resuelve de dos maneras diferentes el siguiente problema. La suma de dos números es 10 y El doble de su suma es14 ¿Cuales son los números? Di por qué elegiste esos métodos y explica tu proceso de resolución.




ACTIVIDAD 7 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación. Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Resuelve de dos maneras diferentes el siguiente problema. El perímetro de un triángulo isósceles es 18 centímetros. Si se suma la medida de uno de sus lados congruentes (igual medida) a la mitad de la medida del lado no congruente, se obtiene 9 centímetros: ¿Cuál es la medida de cada lado del triángulo? Di por qué elegiste esos métodos y explica tu proceso de resolución.


ANEXO 2. Actividades Complementarias



ACTIVIDAD 8 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación.

Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2. USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLOGICA. Resuelve utilizando el GeoGebra el siguiente problema: Tengo dos mil pesos ($ 2000) en monedas de cincuenta pesos ($ 50) y monedas de doscientos pesos ($200). Si tengo un total de veinticinco (25) monedas ¿cuantas monedas de $50 y cuantas de $200 tengo? Explica lo que haces para resolverlo.




ACTIVIDAD 9 La siguiente actividad hace parte del instrumento para obtener información en una investigación, sobre el proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, se estará altamente agradecido por su participación.

Alumno: _______________________________________________________ Institución: _____________________________________________________ Edad: ______________________________ Sexo: ______________________ RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2. USO DE LA HERRAMIENTA TECNOLOGICA. Resuelve utilizando el GeoGebra el siguiente problema: Se tienen dos cuerdas, una gruesa y otra delgada de longitudes 100 y 80 cm respectivamente, se hacen nudos en cada una de ellas y al medir las distancias se observa que la de 100 cm reduce la longitud 8cm después de cada nudo, mientras que la de 80 cm la reduce en 3cm. Con la información anterior:

1. Realiza una tabla de valores para como la siguiente, para cada cuerda.

2. Halle la expresión matemática que según usted expresa la longitud en función del número de nudos para cada cuerda.

3. Resuelve el sistema utilizando GeoGebra, e interpreta esta solución.

4. Experimenta invirtiendo las longitudes de las acuerdas y di que observas.

Número de nudos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Longitud en (cm)


ANEXO 3. Plan de Trabajo FECHA ETAPA ACCIONESDiciembre Planteamiento y fundamentos

de la investigación Socialización de la experiencia

con el GeoGebra, a docentes y directivos docentes de la Institución Educativa José María Cabal.

Solicitud y obtención del permiso para la realización de la experiencia.

Instalación del software en la sala de informática de la sede Eusebio Muñoz Perea.

Enero Planteamiento y fundamentos de la investigación

Familiarización del docente Ibarguen con el GeoGebra.

Realización de las entrevistas a los docentes sobre su concepción del proceso enseñanza – aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

Diseño de los primeros cuestionarios. Aplicación de la actividad cero.

Febrero Diseño de instrumentos Diseño de las actividades con problemas.

Desarrollo del marco teórico Recolección de los primeros

datos. Marzo Diseño de instrumentos y

recolección de datos Desarrollo del marco teórico. Revisión de los datos

obtenidos. Diseño y aplicación de las

siguientes actividades Abril Análisis de los resultados Desarrollo del marco teórico.

Análisis de los datos obtenidos.

Recolección de los datos de las actividades para la información


complementaria necesaria.Mayo Análisis de los resultados Desarrollo del marco teórico.

Análisis de los resultados. Conclusiones.

Junio Análisis de los resultados Desarrollo del marco teórico.

Análisis de los resultados. Conclusiones.

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