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Universidad Tecnológica Nacional FRRo Cátedra: Electrotécnia II - Método de las Componentes Simétricas

1

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Rosario

CATEDRA: ELECTROTECNIA II

CUADERNILLO: METODO DE LAS COMPONENTES SIMETRICAS

VERSIÓN: 1 - AÑO: 2014

Alberto G. Martínez - JTP


2

Contenido

1- Método de las componentes simétricas: .................................................................................. 3

2- Descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas simétricos. ................................. 4

3- Propiedades: ............................................................................................................................. 6

4- Impedancias: ............................................................................................................................. 9

5-Potencia Eléctrica con el método de las componentes simétricas: ......................................... 15

6-Aplicaciones del método - Casos de estudio: .......................................................................... 16

7-Medición de las diferentes secuencias de tensión y corriente ................................................ 28

8-Trabajo matricial con el método. ............................................................................................. 32

9-ANEXOS .................................................................................................................................... 35


3

1- Método de las componentes simétricas:

Este método, está basado en el teorema de Fortescue que permite analizar fallas en sistemas

trifásicos de tipo asimétricas, pero puede ser usado para resolver cualquier sistema cuyas

condiciones sean asimétricas en un momento dado.

Las fallas asimétricas a las que nos referiremos son:

Falla monofásica a tierra

Falla Bifásica a tierra

Falla bifásica

Pérdida de un conductor

Pero también se podrá utilizar este método, cuando sea necesario resolver sistemas con cargas

asimétricas.

El método establece que " Cualquier sistema asimétrico de n vectores, puede ser

descompuesto en n sistemas simétricos con n vectores, cada uno"

Como cada vector, puede ser correspondido en el plano complejo de Gauss por un número

complejo, el método puede servir para representar tensiones, corrientes, flujos magnéticos,

impedancias y reactancias.

Los sistemas simétricos se designan con números de orden, esos números estarán dentro del

conjunto de los naturales, incluido el cero.

0, 1, 2, 3, 4, .....

Para el orden 0, el desfasaje entre cada vector del sistema es de cero grados 0º.

Para el orden 1, el desfasaje es nπ2 , para el orden 2, será nx π22

En los sistemas trifásicos, habrá 3 ordenes, el 0, 1 y 2.

Orden 0.

En este caso, el desfasaje es 0º, obtenidos de la operación

020 =nx π

Los vectores serán colineales, con el mismo modulo, sentido y argumento. Es conocido como

sistema homopolar por las condiciones de fase de los vectores (o fasores)

Orden 1


4

En los sistemas de orden 1, los vectores estarán desfasados en º120322 == ππ

n .

Este orden también conocido como secuencia directa o positiva, ordena a los vectores

(fasores) de las fases a 120º entre si y en orden R-S-T, por ejemplo. Posee el sentido de giro

principal del sistema eléctrico.

Orden 2

En los sistemas de orden 2, los vectores están desfasados º24032222 == ππ xnx , esto

implica que el orden las fases estará invertido respecto de un sistema de orden 1.

El sistema de orden 2, es conocido también como secuencia negativa o secuencia inversa. El

sistema de vectores gira en sentido contrario al de secuencia positiva.

La ventaja presentada es que el tratamiento de los circuitos asimétricos trifásicos se facilita al

descomponerse en 3 circuitos trifásicos simétricos, permitiendo resolver circuitos

monofásicos.

2- Descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas simétricos.

Para aplicar el método, referiremos cada una de las fases a una de ellas tomándola como "fase

de referencia", en lo siguiente, se referirán los sistemas de ecuaciones a la fase R o A, pero

puede llegarse a idénticas conclusiones si se refirieran a cualquier otra de las dos fases.

Ahora debemos definir el factor de fase, que es un operador que al multiplicarlo por otro

vector, origina un cambio en la fase del mismo, sin alterar el módulo.

Este factor es llamado con º1201∠=a


5

Este operador, es entonces un fasor con argumento de 120º y módulo igual a 1 o sea un versor

con fase de 120º.

Cualquiera sea el ángulo de la fase tomada como referencia, podemos referir las otras fases de

un sistema simétrico trifásico, separando una fase de otra en 120º y 240º tomados desde la

fase de referencia.

Recordando la operación de producto de vectores, podemos escribir:

150º30º12030 .1.∠+∠∠ == RRRa

Este factor de fase a, posee algunas propiedades

º1201∠=a

01 2 =++ aa Ec (2.1)

31 33 =++ aa Ec (2.2)

De esta forma, un conjunto de corrientes podrá ser descompuesta inicialmente en las tres

secuencias como se muestra en la siguiente figura

Notar que la secuencia negativa tiene un sentido de giro diferente, esto se ha establecido al

invertir dos de las fases.

Las ecuaciones de las corrientes de fase serán:

210

210

210

CCCC

BBBB

AAAA

IIII

IIII

IIII

++=++=++=

Ec (2.3)

Luego, las corrientes de fase podrán ser escritas por las sumas de las corrientes de secuencia

pero referidas a la fase A.

22

10

212

0

210

AAAC

AAAB

AAAA

IaaIII

aIIaII

IIII

++=

++=

++=

Ec (2.4)


6

De esta forma podemos obtener el valor de cada corriente de secuencia sumando el juego de

ecuaciones y operando adecuadamente.

03 ACBA IIII =++ Ec (2.5)

12

22

102

212

0

210

3.

.

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IIaIaI

IaaIIIa

aIIaIIa

IIII

=++++=

++=

=++=

Ec (2.6)

22

22

102

212

0

210

3.

.

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IIaIaI

IaaIIIa

aIIaIIa

IIII

=++++=

++=

=++=

Ec (2.7)

En cada uno de los casos anteriores se obtuvieron las corrientes de secuencia positiva,

negativa y homopolar.

3- Propiedades:

3.1- Propiedad de la descomposición Cualquier sistema de vectores simples asimétrico contenido en un mismo sistema de vectores

compuesto, (esto es: cualquier sistema de vectores simples, cuyos extremos de coincidan),

tendrá las mismas componentes de secuencia positiva y negativa.

Demostración:

Figura 3.1 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimétricas

Nótese que hay más de una posible distribución de fasores de tensiones simples que poseen

las mismas tensiones compuestas.


7

Las ecuaciones de las tensiones simples se expresan como sigue:

Ec (3.1)

22

10210

212

0210

210

RRRTtTTT

RRRSSSS

RRRR

UaaUUUUUU

aUUaUUUUU

UUUU

++=++=

++=++=

++=

De las ecuaciones anteriores, podemos escribir las ecuaciones de las tensiones compuestas

que quedarán como sigue:

RTTR

TSST

SRRS

UUU

UUU

UUU

−=−=−=

Ec (3.2)

Reemplazando en este juego de ecuaciones las obtenidas en (3.1)

( ))1.()1.( 2

21

212

0210

aUaUU

aUUaUUUUUUU

RRRS

RRRRRRSRRS

−+−=

++−++=−= Ec (3.3)

( )).().( 2

22

1

22

10212

0

aaUaaUU

UaaUUaUUaUUUU

RRST

RRRRRRTSST

−+−=

++−++=−= Ec (3.4)

( ))1.()1.( 2

21

21022

10

−+−=

++−++=−=

aUaUU

UUUUaaUUUUU

RRTR

RRRRRRRTTR Ec (3.5)

De las ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.5), se desprende que las tensiones compuestas en cada caso,

son obtenidas por las tensiones de secuencia positiva y negativa simples afectadas en cada

caso por el operador a y por lo tanto, cada conjunto de tensiones simples encerradas en un

triángulo de tensiones compuestas quedará definido por un único valor de tensiones de

secuencia positiva y negativa.

Dicho de otro modo, cualquier conjuntos de tensiones simples, cuyos extremos de vectores

coincidan entre sí, sin importar si los centros de los sistemas coinciden, poseerán las mismas

componentes de secuencia positiva y las mismas componentes de secuencia negativa.

3.2- Propiedad de la secuencia homopolar

En el sistema de la figura 3.2, la distancia entre las medianas del triángulo envolvente y el

extremo común o central de los vectores simples constituye el valor de la componente

homopolar.


8

Figura 3.2 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimétricas y componente homopolar

3.3- Componente homopolar de los vectores compuestos Los vectores compuestos no poseen componente homopolar debido a que la suma es siempre

nula.

Esto, queda de manifiesto en las ecuaciones que se reescriben a continuación.

RTTR

TSST

SRRS

UUU

UUU

UUU

−=−=−=

Ec(3.2)

La suma de las tensiones compuesta es:

0=−+−+−=++ RTTSSRTRSTRS UUUUUUUUU

Aún con cualquier tipo de asimetría, no habrá componente homopolar para los vectores

compuestos.

3.4-Existencia de las corrientes de secuencia homopolar En todos los casos, para que existan las corrientes de secuencia homopolar, debe existir un

camino cableado que permita la circulación de corrientes que por su naturaleza se encuentran

en fase.

En concordancia con la ley de Kirchoff para un nudo, la suma de corrientes entrantes a un

nudo, debe ser igual a la suma de las salientes. Por lo que para un sistema ∆ o Y con neutro

aislado, la ∞=0Z .

3.5-Cociente de simetría Se aprovecha lo expuesto en la propiedad 3.3 para definir el cociente de asimetría como el

cociente entre la componente de secuencia negativa y la secuencia positiva, aprovechando la

inexistencia de componente homopolar.

1

2

L

L

U

UC =


9

Siendo C < 0,05 se asumirá que el sistema es un sistema simétrico, en este caso, la solución del

sistema podrá reducirse a un sistema simétrico, si la relación es superior, se considera que la

asimetría es grande como para despreciarla.

4- Impedancias:

Los distintos elementos de un circuito pueden comportarse de forma diferente para cada una

de las secuencias por lo que hay que usar la impedancia adecuada para conformar cada

circuito.

La norma IEC 60909, da algunas expresiones para calcular la impedancia de algunos elementos

comunes como líneas aéreas y cables. Por otro lado, permite estimar la impedancia para cada

secuencia para máquinas eléctricas tales como Transformadores y generadores.

4.1-Impedancias de líneas eléctricas para cada secuencia La impedancia de una línea eléctrica dependerá de la configuración, de la cantidad de

conductores por fase que posea, de la geometría de la línea, de la cantidad de hilos de guardia

que posea y de la altura de los conductores.

De acuerdo a la IEC 60909 parte 2 Electrical equipment - Data for short-circuit current calculations in accordance with IEC 909 (1988), puede plantearse la inductancia, la reactancia y la impedancia de una línea aérea tripolar, coplanar de acuerdo a la ec (4.1) estas expresiones

son fáciles de deducir partiendo de di

dL

φ= .

1000ln25,02

]/[

ln25,02

]/[

0

0

xrmg

dkmx

rmg

dmHyl

+=Ω

+=

πµω

πµ

Ec (4.1)

3231312 .. dddd = Ec (4.2)

La expresión (4.1) brinda el valor de inductancia y reactancia para la secuencia directa e

inversa, la resistencia puede ser obtenida del catálogo de conductores con el que se proyecta

la línea pasando el valor de resistencia dado para corriente continua a corriente alterna.

La ecuación (4.2) presenta la distancia media geométrica entre conductores donde son usadas

las distancias entre los conductores de fases.

+++=

3 2

000

.ln3

4

1

283

drmgnj

nqz

n

δπ

µωµωρ Ec (4.3)

La Ecuación (4.3) da la impedancia homopolar para una línea que no tiene hilo de guardia o

protección.

Donde:

δ es la resistividad del terreno


10

rmg es el radio medio geométrico en el caso que se use más de un conductor por fase

ρ es la resistencia específica del cable conductor

μ0 es la permeabilidad del vacío

La reactancia para la secuencia homopolar es distinta a las de secuencia directa e inversa

debido a que para las corrientes homopolares la suma de corrientes en la línea no es cero,

circulando corrientes por el o los hilos de guardia y tierra o sólo por tierra en el caso que la

línea no posea hilo de guardia. Del mismo modo, la parte real de la impedancia se modifica

para tener en cuenta esta vía de retorno.

En la tabla siguiente se muestran un conjunto de valores para una línea de 132 kV coplanar

horizontal, de un conductor por fase, con dos hilos de guardia.

Línea E.T.

Origen E.T.

Destino Terna Tensión Long

nominal total R (1) X B R0 (1) X0 B0

Nº kV km ohm/km ohm/km µs/km ohm/km ohm/km µs/km

PICHANAL TARTAGAL 1 132 105,00 0,1095 0,3926 2,9149 0,1752 1,1385 1,8102

Tabla 4.1.1 - Valores de reactancias directa y homopolar para una línea Al/Ac 240 mm2 (fuente:

Guia de Referencia de Transnoa Año 2011)

4.2-Impedancias de secuencia de motores asincrónicos En régimen normal, el rotor gira a una velocidad menor que el campo rotante (de 1,5 a 4%

menor). Si mantenemos la velocidad de giro en el mismo rango y sentido, pero ahora,

alimentamos al motor con una secuencia invertida de tensiones, o sea, hacemos girar al rotor

en un sentido mediante otro motor, y alimentamos las bobinas con una secuencia R-T-S en

lugar de R-S-T (simulamos una secuencia negativa), podemos deducir rápidamente que el rotor

girará al con velocidad aproximadamente igual pero opuesta al flujo magnético producido por

la armadura del mismo. Esto hace que el rotor corte líneas de flujo al doble de la velocidad del

flujo magnético.

En este escenario, se inducirán fems más grandes en el rotor, lo que dará origen a corrientes

mayores, en contraste con la secuencia directa donde la diferencias de velocidades alcanza a

una pequeña porción de la velocidad del flujo.

Las mayores corrientes que se presentan en esta condición, dan origen a campos

desmagnetizantes mayores, el debilitamiento del flujo, reduce las fems inducidas en el rotor

por este campo.

Dado que las tensiones aplicadas al estator se equilibran por esas fems, su disminución hará

que aumenten las corrientes del estator. Por lo tanto, para igual magnitud de alimentación en

secuencia directa e inversa, las corrientes en secuencia inversa serán mayores.

Esto lleva a concluir que la Z2<Z1

Por otro lado al incorporar el modelo circuital del motor de inducción o asincrónico, podremos

notar otro fenómeno interesante.


11

Figura 4.2.1 - Circuito equivalente monofásico de un motor de inducción

No ahondaremos en la determinación de los parámetros, dejando esto para el curso de

Máquinas Eléctricas, pero diremos que la máquina de inducción puede ser comparada con un

transformador con su secundario cargado con una resistencia variable.

Podemos entonces modelar el comportamiento de una de las fases como un transformador

monofásico.

Vemos que Ra' y Rb' son las resistencias del primario y secundario y éstas están vinculadas a

las pérdidas de la máquina.

La componente S

SRb )1( −representa la potencia mecánica del motor, en función del

deslizamiento S. (el deslizamiento es la diferencia de velocidad entre el campo y el rotor

referida a la velocidad del campo)

Esta resistencia permite modelar la potencia mecánica haciendo P = I2.R. Claro está que hay

que multiplicar a este valor por 3 para obtener la potencia total del motor trifásico.

Entonces, durante el funcionamiento del motor en condiciones de asimetría, para la secuencia

negativa, este valor resistivo será proporcional al trabajo de frenado que hace esta corriente

en el rotor. Esto motiva una diferencia de la resistencia entre secuencia positiva y negativa ya

que si el rotor sigue girando, el trabajo de frenado es menor al trabajo hecho por la

componente de secuencia positiva.

4.3-Impedancias de secuencia de generadores

Para el estudio de las impedancias en generadores, usaremos sólo la componente reactiva ya

que en la mayor parte de los casos (excluidos los generadores de baja potencia) la parte

resistiva es despreciable en comparación.

De acuerdo al tipo de estudio que queremos llevar a cabo, podemos tomar como reactancia de

secuencia directa o positiva a las reactancias

Reactancias de secuencia positiva:

XS"= reactancia sincrónica subtransitoria (para estudios durante los 5 primeros ciclos de la

falla)

XS'= reactancia sincrónica transitoria (para estudios que van entre los 5 y los 200 ciclos

posteriores a la falla)


12

XS = reactancia sincrónica (para el régimen permanente)

Reactancias de secuencia negativa:

Para la secuencia negativa del generador, la reactancia dependerá de

2

""

2qd XX

X+

=

donde:

Xd: reactancia de eje directo

Xq: reactancia de eje en cuadratura

En caso de máquinas de rotor de polos salientes, ambas reactancias son diferentes, pero para

máquinas de rotor liso o cilíndrico, estas reactancias son iguales, de donde surge que la

reactancia de secuencia positiva y negativa serán iguales para el período subtransitorio, para el

resto de los períodos, la reactancia de secuencia negativa será menor.

A fin de poder ilustrar lo expuesto, en los anexos de este cuadernillo se encuentra la hoja de

datos de un generador de 6 MVA, 6.3 kV. Ver anexo nº1.

4.3-Impedancias de secuencia de transformadores En los transformadores, las impedancias de secuencia positiva y negativa son iguales debido a

que los flujos para ambas secuencias circulan por los mismos circuitos magnéticos, en cambio,

la impedancia homopolar puede presentar diferencias. Principalmente esta impedancia

dependerá del grupo de conexión de los transformadores, de la cantidad de "piernas" que

posea el circuito magnético del transformador y los caminos de dispersión que contengan

estos.

Partiendo del circuito equivalente del transformador (por fase) podemos ver que:

Figura 4.3.1 - Circuito equivalente monofásico de un transformador

Las resistencias representan las pérdidas en cada arrollamiento. La rama paralelo central,

representa el circuito de magnetización.

Para obtener los parámetros del circuito de magnetización se realiza un ensayo de vacío,

midiendo tensiones y corrientes se puede conocer la impedancia de esta rama.

Por otro lado, en un ensayo de cortocircuito, se pueden conocer los parámetros agrupados de

las resistencias e inductancias de los arrollamientos primario y secundario.


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En el transformador se define la tensión de cortocircuito, pudiendo hallarse por ensayo, y es el

valor de la tensión (del lado primario por ejemplo) que se debe alcanzar para que estando el

secundario cerrado en un cortocircuito circule la corriente nominal.

Viendo el circuito de la figura 4.3.2 donde se han agrupado los parámetros R y X de los

arrollamientos primario y secundario y se han referido al primario, podemos ver rápidamente

que la tensión que alcanza la fuente para que circule la corriente nominal será igual a la caída

de tensión interna del transformador cuando circula la corriente nominal por él.

Figura 4.3.2 - Circuito de ensayo de tensión de cortocircuito

Dividiendo esta tensión por la corriente se obtiene la impedancia de ambos arrollamientos

(primario + secundarios) referida a uno de los lados de transformador que dependerá del lado

del que se realiza el ensayo.

Puede verse en la figura 4.3.2 que se ha despreciado la rama magnetizante ya que la corriente

que circula por ella es despreciable frente a la nominal del transformador.

Inom

VccZCC = Ec(4.4)

Para evitar tener que referir esta impedancia en todos los casos a uno u otro arrollamiento, se

da el valor porcentual de la caída de tensión del ensayo.

100% xVnom

VccCC =µ Ec (4.5)

Esto permite encontrar la impedancia ya sea referida al primario como al secundario.

Mediante la siguiente expresión podrá hallarse la impedancia referida a cualquiera de los lados

del transformador. Esta impedancia será la impedancia de secuencia positiva o negativa y es la

impedancia que existe entre el primario y secundario de un transformador.

[ ]100

2CC

nom

nom xS

VZ

µ=Ω Ec(4.6)

Donde:

Sn= potencia aparente nominal

Vn=tensión de línea nominal

μCC=tensión de cortocircuito en %

Si dividimos a μCC en [%] por 100 obtendremos la tensión de cortocircuito en por unidad.


14

Para demostrar lo dicho, operamos con la (4.6)

[ ]

ccnom

cccc

nomnom

nom

cc

nom

nom

nom

CC

nom

nomCC

nom

nom

ZI

VV

IV

V

V

S

V

xV

xVx

S

Vx

S

VZ

===

====Ω

..

1.

100

100

100

22 µ

Ec (4.7)

La (4.7) llega al valor de la impedancia en ohm para la secuencia directa e inversa.

La norma IEC 60909, establece una forma de estimación de la reactancia homopolar del

transformador cuando no se cuenta con mejor información o posibilidad de hacer un ensayo, y

es tomar el X0=0,8.X1.

La tabla 4.3.1 muestra simplificadamente como quedan compuestos los circuitos de cada

secuencia cuando se tienen diferentes conexiones de transformadores.

tabla 4.3.1 - Circuitos de secuencia para la solución de conexiones de transformadores


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5-Potencia Eléctrica con el método de las componentes simétricas:

La potencia aparente en un sistema con asimetría debe calcularse siguiente los lineamientos

expuestos en esta sección.

UIS .*_

= Ec.(5.1)

Si recordamos que las tensiones pueden escribirse en función de una fase y su descomposición

en secuencias:

22

10

212

0

210

UaaUUU

aUUaUU

UUUU

T

S

R

++=

++=

++=

Ec (5.2)

Y las corrientes pueden escribirse como sigue:

212

0

*

22

10

*

210

*

aIiaII

IaaIII

IIII

T

S

R

++=

++=

++=

Ec (5.3)

Reemplazando la (5.2) y la (5.3) en la expresión (5.1) se obtendrá la potencia aparente para el

circuito con asimetría, quedando:

=++== TTSSRR UIUIUIUIS****_

.

=+++++

++++++++++=

))((

))(())((

22

10212

0

212

022

10210210

_

UaaUUaIIaI

aUUaUIaaIIUUUIIIS

Aplicando distributiva a cada paréntesis, quedará:

23

212

20224

113

102

122

01000

23

214

202

222

113

1012012

000

221202211101201000

_

UaIUaIaUIUaIUaIUaIUaIaUIUI

UaIUaIUaIUaIUaIaUIaUIUaIUI

UIUIUIUIUIUIUIUIUIS

+++++++++

++++++++++

+++++++++=

Agrupando de acuerdo a los productos, cancelando y replanteando las expresiones se obtiene:

221100

_

333 UIUIUIS ++= Ec(5.4)

La expresión (5.4) es entonces la suma de las potencias aparentes por fase de cada secuencia.

El factor 3, es una consecuencia de la separación de la asimetría en componentes simétricas,

donde cada sistema simétrico (homopolar, directo e inverso) posee tres circuitos monofásicos

iguales, uno por cada fase.


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6-Aplicaciones del método - Casos de estudio:

Abordaremos la aplicación más importante del método de las Componentes Simétricas que es

la evaluación de fallas en los sistemas eléctricos trifásicos.

Estudiaremos los diversos casos de falla comenzando por los cortocircuitos. Naturalmente, el

estudio del cortocircuito trifásico o trifásico a tierra queda fuera de este estudio por ser una

falla simétrica.

6.1- Cortocircuito monofásico a tierra: Dentro de las fallas asimétricas, el cortocircuito monofásico (vinculación de una de las fases

con tierra), es la falla más frecuente.

Para la presentación de la falla, supondremos que se pone en contacto la fase R del generador

con tierra, luego, el razonamiento seguido puede expandirse para una falla en cualquier otra

fase. El objetivo perseguido es encontrar una expresión que permita hallar el valor de la

corriente de falla.

Las ecuaciones que plantearemos, referirán todas las secuencias a la fase R.

Figura 6.1.1 - Circuito de falla monofásica a tierra

De acuerdo a la figura 6.1.1 podemos escribir las siguientes ecuaciones

0

0

===

TS

R

II

U Ec(6.1)

La tensión de la fase R será cero ya que es la fase que entra en contacto con tierra, las

corrientes de las fases S y T pueden entonces despreciarse frente a las corrientes que

circularán por la fase R.

fallaR

R

IIIII

UUUU

=++==++=

210

210 0 Ec (6.2)

0

0

22

10

212

0

=++=

=++=

IaaIII

aIIaII

T

S Ec (6.3)

Las ecuaciones (6.2) y (6.3) fueron escritas tomando a la fase R como referencia.


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Restando las corrientes de la ecuación (6.3) podemos escribir:

)()(

)()(

0)()(

0)(

22

21

22

21

22

21

22

10212

0

aaIaaI

aaIaaI

aaIaaIII

IaaIIaIIaIII

TS

TS

−=−⇒

−−=−⇒

=−+−=−

=++−++=−

De esta ecuación se concluye que 21 II =

Por otra parte planteamos que 0212

0 =++= aIIaII S

Esto puede re escribirse de acuerdo a la igualdad obtenida como

0112

0 =++= aIIaIIS Ec(6.4)

Como puede verse en la (6.4)

02

1

0112

)( IaaI

IaIIa

−=+

−=+ Ec(6.5)

Pero como 12 −=+ aa , la (6.5) puede escribirse como sigue

01 II −=− o 01 II =

Podemos decir entonces que durante la falla monofásica todas las corrientes de secuencia

tendrán el mismo valor modular.

201 III == Ec(6.6)

A continuación se dibujan los circuitos monofásicos para cada secuencia.

Figura 6.1.2 -Circuitos monofásicos de secuencias

De los circuitos de la figura 6.1.2 se obtienen estas ecuaciones

000

222

1111

UZI

UZI

UZIE f

=−=−

=−

Ec(6.7)


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Incorporando los resultados expresados en (6.7) en la ecuación (6.2), obtendremos la siguiente

expresión.

2211100210 ZIZIEZIUUUU fR −−+−=++= Ec(6.8)

La (6.8) puede reescribirse considerando lo expuesto por la (6.6)

0)( 02111 =++−= ZZZIEU fR y de esta expresión, podemos dar paso a la determinación

del valor de la corriente de secuencia positiva como:

)( 02111 ZZZIE f ++=

0211 ZZZ

EI f

++= Ec(6.9)

Luego, por la Ec (6.2) de corriente de la fase R y por la igualdad presentada en la (6.6) surgirá

que:

0211210

.3.3

ZZZ

EIIIII

fR ++

==++= Ec (6.10)

Si el centro de estrella del generador se encontrara conectado a tierra mediante una

impedancia de neutro, la expresión (6.10) debería modificarse de acuerdo a lo que se muestra

en la (6.11)

n

fR ZZZZ

EI

3

.3

021 +++= Ec(6.11)

Esto encuentra explicación en el circuito equivalente de la falla, ya que las corrientes

homopolares circulan en fase, todas juntas por la impedancia de puesta a tierra del generador,

esto crea una caída de tensión en esta impedancia que será

nn ZIU .3 0= , el 3, es debido a que las corrientes homopolares de las tres fases circulan por la

impedancia de puesta a tierra.

Esa caída de tensión, debe quedar plasmada en el circuito monofásico de la falla, pero como

por este circuito sólo circula una corriente homopolar y no la de todas las fases (ya que se

resuelve el circuito monofásico) se subsana la diferencia multiplicando por 3 a la impedancia.

La figura 6.1.3, muestra los circuitos monofásicos equivalentes para la falla monofásica a tierra,

en las dos condiciones, con el centro de estrella del generador conectado rígido a tierra o

mediante impedancia de neutro.


19

Figura 6.1.3 -Circuitos monofásicos equivalente del cortocircuito monofásico

Como se muestra, los circuitos equivalentes son circuitos serie entre las secuencias positiva,

negativa y homopolar, esto queda justificado ya que las corrientes de las tres secuencias son

iguales.

6.2- Cortocircuito bifásico aislado de tierra: En la falla bifásica aislada de tierra, las corrientes entre las fases que hacen contacto, serán

iguales en módulo y opuestas en sentido.

Las ecuaciones del sistema pueden escribirse como :

22

10

212

0

210

AAAC

AAAB

AAAA

IaaIII

aIIaII

IIII

++=

++=

++=

Asumimos que la corriente de la fase A es nula o despreciable frente a las corrientes de falla

resultando que:


20

Figura 6.2.1 -Circuitos de cortocircuito bifásico

CB

A

II

I

−== 0

Ec(6.12)

Esto resultará en que:

22

12

0

22

10

212

0

210

3

3

00

ACBA

ACBA

ACBA

AAAC

AAAB

AAAA

IaIIaI

IIaaII

IIII

IaaIII

aIIaII

IIII

=++

=++

=⇒=++

++=

++=

++=

Ec(6.13)

De la (6.13) se concluye que esta falla no tendrá componente homopolar de corrientes.

La siguiente figura muestra el diagrama fasorial para esta falla, quedando en evidencia que la corriente de secuencia positiva estará adelantada 90º de la corriente de falla (corriente de la fase B), mientras que la corriente de secuencia negativa estará en retraso de 90º de la corriente de la fase B.

.


21

Figura 6.2.2 -Diagrama fasorial de corrientes

En este fasorial, se ve que:

11

1

12

12

33

3

32

3.23

30

3

III

III

IIaaI

IIaaII

B

BB

BB

CBA

==⇒

==

=−+

=++

Ec(6.14)

La misma metodología puede seguirse para la determinación de la corriente en función de la

corriente de secuencia negativa, en este caso llegaremos a que:

22 33

3III B ==⇒ Ec(6.15)

Como las corrientes de secuencia positiva y negativa poseen el mismo módulo, resultará que el

circuito equivalente de la falla es:

Figura 6.2.3 -Circuito equivalente monofásico de la falla Bifásica


22

De este circuito se puede determinar que:

21

1

21

121

3ZZ

EII

ZZ

EII

fasefallaB +

==⇒

+==

− Ec(6.16)

6.3- Cortocircuito bifásico con contacto a tierra: Para esta falla podemos plantear las condiciones de corrientes y tensiones según la expresión

(6.17). Se evidencia que la corriente por la fase A será nula o podrá despreciarse frente a la

corriente de falla.

Figura 6.3.1 -Circuito de falla bifásica a tierra

Además, debido a que las dos fase en falla, hacen contacto con tierra, ambas fase tendrán potencial 0V.

Ec(6.17)

I

U U O

U U U U

U U U U U a U aU

U U U U U aU a U

R O

S T

R R R R

S S S S R R R

T T T T R R

O

R

=

= == + +

= + + = + +

= + + = + +

1 2

0 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2

2

2

Sumando miembro a miembro y multiplicando por a según corresponda se obteiene:

U a U aU U a a U a a U U

U U

R S T R R R R

R R

+ + = + + + + + + + + =

=

2 2 4 220 1 2

2

1 1 1 1 1 3

3

( ) ( ) ( )

1

1210

0

021

3

3)1()111()1(

3

3)1()1()111(

4222

220.

RR

RRRRTSR

RR

RRRTSR

UU

UaaUUaaUUaaUU

UU

UaaUaaUUUUU

=

=++++++++=++

=

=++++++++=++


23

Esto implica que se tienen las mismas tensiones de secuencia por lo que el circuito equivalente debe ser un

circuito paralelo entre las tres redes de secuencia.

Luego

021

210102102

0

1

2

1

1

1

021

0

1

0

00

2

1

2

22

1

11

)(

0

ZZZ

ZZZZZZUZEZ

Z

U

Z

U

Z

UEI

IIII

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

Z

UEI

R

R

++−=−−−=

++==

−=−=

−=−=

−=

Llamando 212102 ZZZZZZZ ++=∗ (Notar que Z* tiene unidad de 2Ω ) Ec(6.18)

Como la corriente de la fase R es nula, el numerador de la fracción que representa a esta corriente

debe ser nulo tambien.

*02

11020Z

ZEZUZUZEZIR =→=→= ∗ Ec(6.19)

Luego:

2

1

1

12

0

121

20

Z

Ua

Z

UEa

Z

UaIIaIIS −−+−=++=

*1

)(2

02

1*

022*

0

02

ZZ

ZEZa

ZZ

ZEZEa

ZZ

ZEZIS −−+−= Ec(6.20)

SIaaZ

EZa

Z

EZZ

EZa

Z

EZa

Z

EZa

Z

EZ

Z

ZaE

ZZ

ZZZZZZZZEa

Z

EZ

=−++=

=−++−=

=−−+++−=

).()1(

)(

2*02

*2

*0

*02

*22

*2

*0

*1

020210212*2

Ec(6.21)

6.4- Pérdida de una fase de alimentación La figura 6.4.1 da una idea de la condición de falla, de la misma se puede rápidamente

determinar las condiciones a las de la corriente.


24

Figura 6.4.1 -Esquema trifilar de la falla de pérdida de fase

En este escenario, las variables eléctricas quedarán como se indica a continuación.

Se aprecia que para las corrientes se cumplen las condiciones de una falla bifásica aislada de

tierra.

TS

R

II

I

−== 0

Ec(6.22)

Suponemos para este desarrollo que la carga alimentada es un motor, el centro de estrella no

está puesto a tierra.

Refiriendo todas las ecuaciones de corriente a la fase R quedará la expresión (6.23)

02

10

212

0

2100

IaaIII

aIIaII

IIII

T

S

R

++=

++=

++==

Ec(6.23)

Sumando las expresiones según se muestra a continuación se obtienen las expresiones de I1 e

I2. La componente homopolar de la corriente será nula ya que no hay camino de retorno al

generador o alimentación.

030 IIII TSR ==++ Ec (6.24)

SSTSR IaaIIIaaII 21

2 3 −==++ Ec(6.25)

Donde 3

)( 2

1

aaII S −

= Ec(6.26)

Luego, del diagrama fasorial de la figura 6.4.2 o de la operación con los vectores de la (6.26)

quedará:

33

31

SS Ij

IjI == Ec(6.27)


25

Figura 6.4.2 -Diagrama fasorial de la ecuación (6.25)

Trabajando, con igual procedimiento se obtendrá la corriente de secuencia negativa.

SSTSR aIIaIaIIaI −==++ 22

2 3 Ec(6.28)

Figura 6.4.3 -Diagrama fasorial de la ecuación (6.28)

Donde 3

)( 2

2

aaII S −

= Ec(6.29)

Del diagrama fasorial de la figura 6.4.3 o de la operación con los vectores de la (6.29) quedará:

33

32

SS Ij

IjI −=−= Ec(6.30)

Como los módulos de ambas corrientes de secuencia son iguales, y al igual que en el caso de la

falla bifásica, el circuito equivalente de la falla, constará en una serie del circuito de secuencia

positiva con el circuito de secuencia negativa.


26

Figura 6.4.4 -Circuito equivalente monofásico de la falla

Donde Z1 y Z2 son las sumas de las impedancias de cada secuencia (en este caso, generador y

carga)

21

11

.3

33

3

ZZ

E

III

fase

S

+=

===⇒

Ec(6.31)

En este caso, la fem a usar para calcular la corriente de falla IS es la fem de fase. Hay que

observar que la única secuencia que tiene fem es la secuencia positiva o directa.

6.5- Falla monofásica a tierra en régimen de carga Para desarrollar este apartado nos valdremos de lo estudiado en el apartado 6.1.

Las condiciones generales de la falla se mantienen, siendo necesario introducir el efecto de la

carga en el estudio de la falla o sea que será necesario adaptar las expresiones matemáticas

para el nuevo modelo circuital. Para esto, tomamos las ecuaciones que se plantearon como

solución de la falla monofásica.

Figura 6.5.1 -Falla monofásica con carga

La expresión de la corriente de falla monofásica venía dada por las ecuaciones (6.10) o (6.11),

esta última en el caso que el generador se conectara a tierra mediante una resistencia de

puesta a tierra.

En el caso de la figura 6.5.1 se tiene un resistor de neutro por lo que la solución del vendrá

dada por la (6.11), pudiendo expandir los resultados a un sistema con el generador rígido a

tierra haciendo cero este valor.


27

n

fR ZZZZ

EI

3

.3

021 +++= Ec (6.11)

En la conformación de los tres circuitos monofásicos para cada componente simétrica, la

impedancia de la carga queda en paralelo con la falla, de modo que la tensión aplicada a la

falla ya no será la fem del generador y habrá que hallar la tensión de Thevenin.

En tanto, la impedancia "vista" desde la posición de la falla, resulta para este caso, el paralelo

entre la impedancia del generador y la resistencia de la carga.

Figura 6.5.2 -Circuito de secuencia positiva

1ZR

xREU f

th += Ec(6.12)

1

11

.

ZR

RZZth +

= Ec(6.13)

Figura 6.5.3 -Circuito de secuencia con sus equivalencias

Para la secuencia negativa, puede plantearse de forma similar el circuito equivalente.

Figura 6.5.4 -Circuito de secuencia negativa

Para esta secuencia la impedancia presente en el punto de falla es el paralelo entre la

impedancia de carga y la impedancia de secuencia negativa del generador.


28

2

22

.

ZR

RZZth +

= Ec(6.14)

Para la secuencia homopolar, el circuito y las impedancias dependerán de la conexión a tierra

del generador y la carga.

Para el circuito de la figura 6.5.1, se puede apreciar que el circuito monofásico para le

secuencia homopolar quedará representado como sigue.

Figura 6.5.5 -Circuito de secuencia homopolar

La impedancia para esta secuencia queda comprendida por la serie entre la impedancia

homopolar del generador y la resistencia de puesta a tierra del generador.

Nte RZZ .300 += Ec(6.15)

Notar que el circuito equivalente para esta secuencia se ha dibujado abierto en el extremo de

la carga, esto es debido a que el centro de estrella de la misma se encuentra aislado de tierra.

Queda como trabajo para el alumno determinar la impedancia de secuencia homopolar para el

caso en que el centro de estrella de la carga se encuentre conectado a tierra.

Una consideración importante a realizar, es que si la carga no es una carga resistiva y posee

acoplamientos magnéticos, es posible que tenga impedancias de secuencias distintas, esto

debe reflejarse en cada uno de los circuitos de secuencias planteados.

Por otro lado, si la carga está dada en triángulo, necesariamente hay que plantear su

equivalente a estrella. Está claro que en este caso, la estrella equivalente tendría el centro de

estrella aislado de tierra.

7-Medición de las diferentes secuencias de tensión y corriente

En lo que sigue se tratará un aspecto interesante de las componentes simétricas que es la

medición de las diferentes secuencias de corriente y tensión.

7.1- Medición de la componente de secuencia positiva y negativa de corriente En el caso que se estudiará a continuación, se propone un circuito para la medición de

corriente de secuencia positiva y negativa de un sistema. Para que este circuito mida

adecuadamente, es necesario que el sistema no posea conexión a tierra o neutro cableado de

forma de asegurar que la componente de secuencia negativa sea nula.

La siguiente figura muestra el circuito


29

Figura 7.1.1 -Circuito de medición de corrientes de secuencia positiva y negativa

En este circuito, se debe cumplir que Z = Rej60.

Las deducciones de las expresiones de la medición se escriben a continuación y se comenta el

circuito de forma detallada. Las relaciones de transformación de los TIs (transformadores de

corriente) no son importantes, éstas podrán ser 1:1. Para el análisis que sigue se tomarán de

esta forma.

Aplicando el principio de superposición, podemos reordenar el circuito de medición y suponer

que la corriente en los secundarios de los TIs son iguales a las corrientes en los primarios.

Figura 7.1.2 -Circuito de medición con separación de corrientes

Rápidamente se puede deducir que para cada uno de los circuitos, y estando circuladas por

una corriente, IB o IC, la caída de tensión en el circuito será:

RZ

RZIU

RZ

RZIU

C

B

+=

+=

.

.

Ec (7.1)

En el caso de que supongamos que el circuito está siendo circulado por la corriente de la fase B

podemos ver en la figura 7 que la corriente que atraviesa al amperímetro A1 es:

RZ

RIA BB +

=1


30

En el caso que el circuito sea atravesado por la corriente de la fase C, la corriente que atraviesa

al amperímetro A1 será:

RZ

ZIA CC +

=1

Estas corrientes se obtienen dividiendo la caída de tensión producida en el paralelo de

impedancias, por la impedancia de la rama del amperímerto A1 que encuentra cada corriente

asumiendo que los amperímetros poseen impedancia interna despreciable.

Luego, aplicando superposición, se suman las dos corrientes que atraviesan al amperímetro A1

quedando la siguiente expresión.

RZ

ZI

RZ

RIAAA CBCB +

++

=+= 111

Ec (7.2)

De acuerdo a la relación entre los valores establecidos para la impedancia y resistencia, se

deduce que:

º303

1

)11( º60

−∠=+

=+ ∠R

R

RZ

R Ec (7.3)

º303

1

)11( º60

º60 ∠=+

=+ ∠

∠

R

R

RZ

Z Ec (7.4)

Podemos ver que el resultado de (7.3) puede obtenerse de la suma vectorial planteada a

continuación.

Figura 7.1.3 -Diagrama fasorial de (1-a)

Podemos entonces reemplazar RZ

R

+ por )1(

3

1a− , un razonamiento análogo podrá hacerse

con RZ

Z

+ concluyendo que )1(

3

1 2aRZ

Z −=+

. Reemplazando ambos resultados en la

(7.2) quedará:

)1(3

1)1(

3

1111 2aIaIAAA CBCB −+−=+= =


31

)(3

1)1(

3

1)1(

3

11 22

CBCBCB IaaIIIaIaIA −−+=−+−= Ec (7.5)

Trabajando con la (7.5) se obtiene

124

102

22

102102 )(

3

1)(

3

11 IIaIIaIaIaIIIIIaaIIA CBA −=−−−−−−−−−=−−−=

Ec(7.6)

La ecuación (7.6) muestra que la medición obtenida por el amperímetro A1 es la componente

de secuencia positiva con signo invertido.

Operando análogamente con la rama del amperímetro A2 se obtiene que la medición en este

amperímetro será -I2.

Habiendo demostrado de esta forma que los amperímetros A1 y A2 miden las corrientes de

secuencia positiva y negativa respectivamente.

7.2- Medición de la componente de secuencia homopolar de corriente

En el circuito que se muestra en la siguiente figura, se puede ver un sistema para la medición

de la secuencia homopolar de corriente. Para que este sistema mida adecuadamente la

secuencia homopolar de corriente, es necesario que el sistema al cual se conecte, posea

caminos por los cuales puedan circular la corriente de secuencia homopolar.

Figura 7.2.1 -Circuito de medición de la corriente homopolar

Basado en la ecuación (2.5), la suma de las corrientes de fase es el triple de la corriente

homopolar

03 ACBA IIII =++ Ec (2.5)

De esta misma expresión surge que se puede medir la corriente homopolar en una conexión

aditiva de las corrientes de fase de un sistema, claro que para esto es necesario que el sistema

tenga un camino conductivo por el cual puedan cerrarse las corrientes homopolares.

Cuando el sistema medido sea simétrico, el amperímetro conectado no tendrá deflexión.


32

7.3- Medición de la componente de secuencia homopolar de tensión

El circuito de medición que se muestra a continuación, se utiliza para la determinación de la

componente homopolar de la tensión. El resultado medido, es la suma de las tensiones de fase

de las tres fases. En consecuencia, si existe asimetría en la tensión, podrá medirse en el

secundario de los transformadores de medición la tensión suma.

La conexión usada para los transformadores de tensión es primario en estrella y secundario en

triángulo abierto.

Figura 7.3.1 -Circuito de medición de la tensión homopolar

La medición resultará 00 33 UUUUU ACBA ==++ en el caso que la relación de los

transformadores de tensión sean 1:1.

Para otras relaciones de TVs, cada tensión de fase del secundario debe afectarse por la

relación. Naturalmente, el voltímetro estará graduado en escala adecuada para ese caso.

8-Trabajo matricial con el método.

Partimos de un conjunto de fasores y los expresamos de acuerdo al método de las

componentes simétricas.

22

10

212

0

210

RaaRRT

aRRaRS

RRRR

++=

++=

++=

Ec (8.1)

En la Ec (8.2) aparece la expresión de la (8.1) en forma matricial.

2

1

0

2

2

R

R

aa1

aa1

111

T

S

R R

⋅= Ec (8.2)

En forma abreviada podrá escribirse


33

2

1

0

T

S

R

R

RR

⋅= Α donde 2

2

aa1

aa1

111

=A

Para dar solución a este juego de ecuaciones formado por tres ecuaciones y tres incógnitas, se

opera por ejemplo con la regla de Cramer.

∆

Ta1

Sa1

R11

R∆

aT1

aS1

1R1

∆

aaT

aaS

11R2

2

2

1

2

2

0 === RR

)a(a)a(aa)(a)a(a

aa1

aa1

111

∆donde 22224

2

2 −=−+−−−== .3

Resolviendo cada una de las expresiones quedará:

3)a3.(a

)aT(aa)S(a)aR(aR

2

2224

0

TSR ++=−

−+−−−= Ec(8.3)

)a3.(a

a)T(11)S(a)a-R(a

)a3.(a

S)RaT)(RaaTSaR

2

22

2

22

1 −−+−+=

−−+−−−=

Trabajando con esta expresión quedará:

aa

a

0

a1a

a-

1a

1)-a(a-

1)1)(a(a

)a(a

1)(a 22

2

2

=−

−++=+=+−=−−

48476

22

aa1

aa

a)(1 ==−−

Resultando 3

TaaSRR

2

1

++= Ec (8.4)

Luego, la última ecuación a plantear resulta:

)a3(a

1)T(aa)-S((1)a-R(a

)a3.(a

RaSaR)(TSaTaR

2

22

2

22

2 −−++=

−−+−−−=

Operando, resulta 3

aTaRR

S2

2

++= Ec (8.5)


34

Las expresiones (8.3) a la (8.5) pueden expresarse en forma matricial como se presentan en la

8.6.

T

S

aa1

aa1

111

3

1

R

R2

2

2

1

0 RR

⋅= Ec (8.6)

En forma abreviada, podemos escribir la (8.6) como sigue:

T

S

R

R

R

R1-

2

1

0

⋅= A Ec (8.7)

Siendo

aa1

aa1

111

3

1

2

21 =Α− Ec (8.8)


35

9-ANEXOS

ANEXO 1 - TABLA DE DATOS GENERADOR 6000 kVA - 6,3 kV

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional … · secuencia para máquinas eléctricas...

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