UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO/A EN

CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - MENCIÓNMATEMÁTICAS

PORTADA

TEMA

EL USO DEL SOFTWARE PARA GRAFICAR ECUACIONES Y SU

RELACIÓN CON LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A LOS

ESTUDIANTES DEL SEGUNDO DE BACHILLERATO DEL COLEGIO

TÉCNICO “MIGUEL MALO GONZÁLEZ”

AUTORA:

GABRIELA ALEXANDRA VANEGAS ARIZAGA

DIRECTORA:

DRA. SUSANA VASQUEZ

CUENCA – ECUADOR

2012

i

CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado presentado por la señora

Profesora René María Cortez Onofre, para optar el Grado Académico de

Licenciada en Ciencias de la Educación – Mención MATEMATICA cuyo título

es: EL USO DEL SOFTWARE PARA GRAFICAR ECUACIONES Y SU




Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para

ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado

examinador que se designe.

En la ciudad de Quito D. M., julio del 2011.

Dra. SUSANA VÁSQUEZ

DIRECTOR DE TESIS

ii

DECLARACIÓN DE AUTORÍA

Yo, Gabriela Alexandra Vanegas Arízaga, declaro bajo juramento que el

trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente

presentado para ningún grado o calificación profesional; que he consultado

las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento y que no he

plagiado dicha información.

Gabriela Alexandra Vanegas Arízaga

iii

DEDICATORIA

Todo este esfuerzo va dedicado a mis padres porque me dieron la vida, me

han apoyado en todo momento para poder alcanzar todas las metas

propuestas; y, han sido el pilar que siempre me ha sostenido para no

desmayar en medio camino.

iv

AGRADECIMIENTO

Mi sincero agradecimiento primeramente a Dios porque me ha llenado de

salud para poder realizar este trabajo, a mis Padres porque me han tenido

paciencia y han estado en mis noches de desvelo, a mis compañeros de

trabajo; y, a todas las personas que de alguna u otra forma me han brindado

su apoyo para poder hacer efectiva la realización de esta tesis.

v

ÍNDICE DE CONTENIDOS

CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR ................................................................. i

DECLARACIÓN DE AUTORÍA ....................................................................... ii

DEDICATORIA .............................................................................................. iii

AGRADECIMIENTO ...................................................................................... iv

ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................. v

ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................... viii

ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................... x

INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1

CAPÍTULO I ................................................................................................... 2

EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN ..................................................... 2

1.1. TEMA ................................................................................................ 2

1.2. PLANTEAMIENTO DELPROBLEMA ................................................ 2

1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .................................................. 3

1.4. ALCANCE DEL PROBLEMA ............................................................ 3

1.5. OBJETIVOS ...................................................................................... 4

1.5.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................... 4

1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................... 4

1.6. JUSTIFICACIÓN ............................................................................... 4

CAPÍTULO II .................................................................................................. 6

MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 6

2.1. SOFTWARE PARA GRAFICAR ECUACIONES. .............................. 6

2.1.1. GRAPH 4.3. ............................................................................... 7

2.1.2. GEOGEBRA 4.0 ......................................................................... 7

2.1.3. DEADLINE 2.36 ......................................................................... 7

2.1.4. MICROSOFT MATHEMATICS 4.0. ............................................ 8

2.1.5. ZGRAPHER 1.4. ........................................................................ 8

2.1.6. WXMÁXIMA 12.04. .................................................................... 9

2.1.7. WINPLOT 1.5. ............................................................................ 9

vi

2.1.8. CABRI 2 PLUS ......................................................................... 10

2.2. ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA .............................................. 10

2.2.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................... 10

2.2.2. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS ... 11

2.2.3. MÉTODOS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS .......... 14

2.2.4. TÉCNICAS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS .......... 15

2.2.5. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO ............................................. 18

2.2.6. LA ECUACIÓN ......................................................................... 19

2.2.6.1. PARTES DE UNA ECUACIÓN .......................................... 19

2.2.6.2. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES ................................. 20

2.3. HIPÓTESIS ..................................................................................... 23

2.4. VARIABLES .................................................................................... 23

2.4.1. VARIABLE INDEPENDIENTE .................................................. 23

2.4.2. VARIABLE DEPENDIENTE ..................................................... 23

2.5. OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES ..................................... 23

CAPÍTULO III ............................................................................................... 24

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN .................................................. 24

3.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN ............................................................ 24

3.2. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN ............................................. 24

3.3. POBLACION Y MUESTRA ............................................................. 25

3.4. TECNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS 25

CAPÍTULO IV ............................................................................................... 26

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS .................................. 26

4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ............................................ 26

4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS . 26

4.1.1.1. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PROFESORES ........ 26

4.1.1.2. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PADRES DE FAMILIA

36

4.1.1.3. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS ESTUDIANTES ........ 46

4.2. VERIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS ............................................... 56

CAPÍTULO V................................................................................................ 57

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................... 57

vii

5.1. CONCLUSIONES ........................................................................... 57

5.2. RECOMENDACIONES ................................................................... 58

CAPÍTULO VI ............................................................................................... 59

LA PROPUESTA ......................................................................................... 59

6.1. TEMA DE LA PROPUESTA ........................................................... 59

6.2. OBJETIVOS .................................................................................... 59

6.2.1. OBJETIVO GENERAL: ............................................................ 59

6.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ................................................... 59

6.3. POBLACIÓN OBJETO .................................................................... 59

6.4. LOCALIZACIÓN ............................................................................. 60

6.5. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS .................................... 60

6.6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA ............................................. 60

6.6.1. INSTALACIÓN ......................................................................... 61

6.6.2. DESINSTALACIÓN .................................................................. 67

6.6.3. INICIAR EL PROGRAMA ......................................................... 67

6.6.4. CONFIGURACION DE LOS EJES ........................................... 67

6.6.5. LISTA DE FUNCIONES ........................................................... 71

6.6.6. GRÁFICA DE FUNCIONES LINEALES ................................... 76

6.6.7. GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS ........................... 81

6.6.8. GRÁFICA DE FUNCIONES DE TERCER GRADO .................. 91

6.6.9. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................. 96

6.6.10. GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES ...................... 99

6.6.11. PLAN DE CLASE UTILIZANDO EL GRAPH 4.3. ................... 102

6.6.12. GRAFICO REALIZADO EN EL PROGRAMA GRAPH 4.3. .... 108

6.6.13. HOJA DE CALIFICACIONES ................................................. 109

BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................... 111

WEBGRAFÍA ............................................................................................. 112

ANEXOS .................................................................................................... 113

ANEXO 1: ENCUESTA A LOS PADRES DE FAMILIA........................... 113

ANEXO 2: ENCUESTA A LOS PROFESORES ..................................... 115

ANEXO 3: ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES ..................................... 117

viii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Manejo de las Variables .................................................. Pág. 23

Tabla 3.1. Matriz Poblacional ........................................................... Pág. 25

Tabla 4.1. Pregunta 1 – Profesores ................................................. Pág. 26









Tabla 4.10. Pregunta 10 – Profesores ............................................. Pág. 35

Tabla 4.11. Pregunta 1 – Padres de Familia .................................... Pág. 36









Tabla 4.20. Pregunta 10 – Padres de Familia .................................. Pág. 45

Tabla 4.21. Pregunta 1 – Estudiantes .............................................. Pág. 46








ix


Tabla 4.30. Pregunta 10 – Estudiantes ............................................ Pág. 55

x

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 4.1. Representación porcentual sobre la dificultad al resolver

problemas matemáticos. .......................................................................... Pág. 26

Fig. 4.2. Representación porcentual sobre los estudiantes que

pueden aprender mejor las matemáticas utilizando un programa

utilitario. ................................................................................................... Pág. 27

Fig. 4.3. Representación porcentual sobre los maestros que han

utilizado programas utilitarios de matemáticas. ....................................... Pág. 28

Fig. 4.4. Representación porcentual sobre los programas utilitarios

que han manejado los maestros. ............................................................. Pág. 29

Fig. 4.5. Representación porcentual sobre los maestros que

ayudarían a los compañeros para capacitar el programa que maneje. ... Pág. 30

Fig. 4.6. Representación porcentual sobre los maestros que pueden

nivelar a los estudiantes, en horas extra clase. ....................................... Pág. 31

Fig. 4.7. Representación porcentual sobre el material didáctico que

utilizan para el gráfico de ecuaciones. ..................................................... Pág. 32

Fig. 4.8. Representación porcentual sobre los métodos que se utiliza

en la asignatura de matemáticas. ............................................................ Pág. 33

Fig. 4.9. Representación porcentual sobre los problemas que afectan

a los estudiantes para aprender matemáticas. ........................................ Pág. 34

Fig. 4.10. Representación porcentual sobre los temas en la que los

estudiantes tienen bajo rendimiento. ....................................................... Pág. 35

Fig. 4.11. Representación porcentual sobre el tiempo que su hijo(a)

pasa al frente de un computador. ............................................................ Pág. 36

Fig. 4.12. Representación porcentual sobre conocimientos de su

hijo(a) acerca del computador.................................................................. Pág. 37

Fig. 4.13. Representación porcentual sobre si ha utilizado algún

programa utilitario de matemáticas. ......................................................... Pág. 38

Fig. 4.14. Representación porcentual sobre los padres que desean

que su hijo(a) aprenda matemáticas utilizando un programa utilitario. .... Pág. 39

xi

Fig. 4.15. Representación porcentual sobre si los padres desean que

mejore la educación utilizando la tecnología. .......................................... Pág. 40

Fig. 4.16. Representación porcentual sobre la dificultad de entender

los temas de matemáticas. ...................................................................... Pág. 41

Fig. 4.17. Representación porcentual sobre el rendimiento de su

hijo(a) en matemáticas. ............................................................................ Pág. 42

Fig. 4.18. Representación porcentual sobre el nivel de dificultad que

tiene su hijo(a) para aprender matemáticas. ............................................ Pág. 43

Fig. 4.19. Representación porcentual sobre si estaría dispuesto a

aprender sobre ecuaciones ..................................................................... Pág. 44

Fig. 4.20. Representación porcentual sobre alternativas para mejorar

el rendimiento de su hijo(a). ..................................................................... Pág. 45

Fig. 4.21. Representación porcentual sobre agilidad sobre el manejo

del computador. ....................................................................................... Pág. 46

Fig. 4.22. Representación porcentual sobre el tiempo que pasa el

estudiante frente al computador. .............................................................. Pág. 47

Fig. 4.23. Representación porcentual sobre aprender matemáticas

utilizando la tecnología. ........................................................................... Pág. 48

Fig. 4.24. Representación porcentual sobre el nivel de dificultad de

un programa utilitario. .............................................................................. Pág. 49

Fig. 4.25. Representación porcentual sobre los programas utilitarios

que ha manejado en la asignatura de matemáticas. ................................ Pág. 50

Fig. 4.26. Representación porcentual sobre recibir clases extras para

aprender el manejo de algún programa utilitario. ..................................... Pág. 51

Fig. 4.27. Representación porcentual sobre el bajo rendimiento en

matemáticas............................................................................................. Pág. 52

Fig. 4.28. Representación porcentual sobre los temas de

matemáticas difíciles de aprender. .......................................................... Pág. 53

Fig. 4.29. Representación porcentual sobre cuanto entienden los

estudiantes por los temas de la asignatura de matemáticas. .................. Pág. 54

Fig. 4.30. Representación porcentual sobre lo que entiendes de lo

que explica el profesor. ............................................................................ Pág. 55

xii

Fig. 6.1. Pantalla de la página web de Graph .......................................... Pág. 61

Fig. 6.2. Pantalla de la página web para descargar el archivo de

Graph 4.3. ................................................................................................ Pág. 62

Fig. 6.3. Pantallas al momento de guardar el archivo de instalación ....... Pág. 62

Fig. 6.4. Pantalla para seleccionar el idioma del programa ..................... Pág. 63

Fig. 6.5. Pantalla de bienvenida antes de la instalación .......................... Pág. 63

Fig. 6.6. Pantalla de bienvenida antes de la instalación .......................... Pág. 64

Fig. 6.7. Pantalla para seleccionar la carpeta .......................................... Pág. 64

Fig. 6.8. Pantalla para seleccionar las opciones adicionales de

instalación ................................................................................................ Pág. 65

Fig. 6.9. Pantalla durante el proceso de instalación ................................. Pág. 65

Fig. 6.10. Pantalla durante el proceso de instalación ............................... Pág. 66

Fig. 6.11. Pantalla que se presenta al finalizar la instalación ................... Pág. 66

Fig. 6.12. Ventana para configurar los ejes de la ventana del Graph ...... Pág. 68

Fig. 6.13. Ventana para editar los ejes del Graph .................................... Pág. 68

Fig. 6.14. Ventana para modificar los ejes del plano cartesiano .............. Pág. 69

Fig. 6.15. Ventana después de las modificaciones realizadas en los

ejes .......................................................................................................... Pág. 70

Fig. 6.16. Ventana para guardar los cambios en Graph .......................... Pág. 70

Fig. 6.17. Ventana cuando ingreso al programa ...................................... Pág. 71

Fig. 6.18. Ventana cuando ingreso al programa ...................................... Pág. 77

Fig. 6.19. Ventana para insertar una función ........................................... Pág. 77

Fig. 6.20. Resultado de la función . .......................................... Pág. 78

Fig. 6.21. Ventana con los gráficos de las funciones lineales. ................. Pág. 79

Fig. 6.22. Ventana para insertar relleno en una función .......................... Pág. 79

Fig. 6.23. Ventana que me muestra el relleno de las funciones .............. Pág. 80

Fig. 6.24. Ventana que me muestra el área de la primera función........... Pág. 81

Fig. 6.25. Ventana que me muestra como elevar a una potencia ............ Pág. 82

Fig. 6.26. Gráfica de la función f(x)=4x^2 ................................................ Pág. 83

Fig. 6.27. Ventana que me muestra el mínimo de la función ................... Pág. 84

Fig. 6.28. Gráfico de la función .................................. Pág. 84

Fig. 6.29. Gráfico que me muestra el mínimo de la función ..................... Pág. 85

xiii

Fig. 6.30. Gráfico que me muestra el corte del eje X ............................... Pág. 86

Fig. 6.31. Gráfico que me muestra la región delimitada ........................... Pág. 86

Fig. 6.32. Gráfico de la función .......................... Pág. 87

Fig. 6.33. Gráfico del corte de la función en el eje X ................................ Pág. 88

Fig. 6.34. Gráfico del área delimitada de la función ................................. Pág. 89

Fig. 6.35. Gráfico de la función ....................................... Pág. 89

Fig. 6.36. Gráfico de los cortes de la función en el eje X ......................... Pág. 90

Fig. 6.37. Gráfico del área de la función delimitada ................................. Pág. 91

Fig. 6.38. Gráfico de la función f(x)=7x^3+3x^2-12x-3 ............................ Pág. 92



Fig. 6.41. Gráfico de la función f(x)=–x^3 + 3x^2 + 9x ........................... Pág. 94



Fig. 6.44. Gráfico de la función trigonométrica f(x)= sen (x + π/6) ........... Pág. 97



Fig. 6.47. Gráfico de la función exponencial f(x)= (1⁄3)X .......................... Pág. 100


Fig. 6.49. Gráfico de la función trigonométrica 2 cos(3x+π) – 1 .............. Pág. 106

Fig. 6.50. Gráfico de la función exponencial -3(1/2)(x+2) + 3 .................. Pág. 106

Fig. 6.51. Gráfico de la función hiperbólica .............................................. Pág. 108

Fig. 6.52.Examen del 2 quimestre sin utilizar el programa Graph 4.3. ..... Pág. 109

Fig. 6.53. Examen del 2 quimestre utilizando el programa Graph 4.3. .... Pág. 110

xiv

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación

EL USO DEL SOFTWARE PARA GRAFICAR ECUACIONES Y SU




Autora: Gabriela Alexandra Vanegas Arízaga

Director: Dra. Susana Vásquez

Fecha: Cuenca 2012

RESUMEN

Esta tesis está orientada a los estudiantes con alto índice de promedios

bajos en la asignatura de matemáticas, ya que la tecnología cada vez sigue

siendo una herramienta indispensable en cualquier ámbito de la vida

cotidiana, el manejo de un programa utilitario ayuda para que los estudiantes

capten y aprendan a resolver ecuaciones de una forma dinámica. Como se

sabe la mayoría de estudiantes dominan la tecnología, por lo que su uso

facilitará la resolución de dichas ecuaciones si utilizan el computador, los

jóvenes utilizan la tecnología para muchos ámbitos en su vida cotidiana, por

lo que ya están familiarizados; y, solo falta enfocarles el programa utilitario

que se va a manejar.

El estudiante aprenderá a utilizar el programa GRAPH 4.3. para que puedan

graficar las ecuaciones que se deberá ser resueltas con anticipación, se

manejará el manual o tutorial del programa utilitario que servirá como guía

para el aprendizaje individual de cada uno.

DESCRIPTORES: Graficar Ecuaciones // Enseñanza de la Matemática

1

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo de investigación ayudará a los estudiantes, para que

puedan aprender a desarrollar resoluciones de cualquier ecuación, luego

graficarlas utilizando el programa utilitario GRAPH 4.3. , que es un programa

que ayuda a realizar gráficos de ecuaciones, mediante el cual el estudiante

aprenderá el manejo del mismo para estar en contacto con la tecnología de

punta y facilitará la comprensión de cada uno de los ejercicios.

En este trabajo se conocerá lo referente al programa utilitario GRAPH 4.3.,

como manejarlo para obtener los resultados esperados, las múltiples

ecuaciones que existen, y, las diferentes maneras de resolverlos para luego

plasmarlo en el programa.

Para llegar al objetivo planteado se unirán las dos partes mencionadas

anteriormente ayudando a mejorar el rendimiento de cada estudiante en la

asignatura de matemáticas utilizando las técnicas de aprendizaje más

adecuadas.

2

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

1.1. TEMA

"El Uso Del Software Para Graficar Ecuaciones y su Relación con la

Enseñanza de La Matemática a los Estudiantes del Segundo De Bachillerato

del Colegio Técnico “Miguel Malo González"

1.2. PLANTEAMIENTO DELPROBLEMA

Actualmente los estudiantes no se dedican al estudio, se les dificulta el

graficar las ecuaciones de cualquier tipo, existe un nivel alto de estudiantes

del bachillerato que pierden el año en la materia de matemáticas, por no

poder graficar una sencilla ecuación, como hoy en día todo viene creado, se

les dificulta cuando ya tienen que pensar un poquito en un ejercicio de

razonamiento. En algunos países por ser más avanzados tienen un

ambiente muy libertino por lo que no se preocupan por superarse sino sólo

en trabajar y divertirse, se olvidan completamente de la preparación

académica.

En nuestro país como es un país subdesarrollado no se les exige mucho, ya

que existe un alto índice de estudiantes que tienen padres migrantes, y éste

es el factor negativo primordial que en toda Institución Educativa prevalece,

en consecuencia, la ausencia de los padres en algunos estudiantes, como

se sienten abandonados, reaccionan de una manera rebelde por lo que no

toman interés en estudiar, son personas indisciplinadas, como se les

denomina una “lacra” para la sociedad; y, por el simple hecho de llamarse

matemáticas, porque por generaciones siempre han mencionado que

cuando se dictan clases de matemáticas, es tan difícil que en el

3

subconsciente del ser humano queda grabado y cuando le toca recibir clases

ya están con el pensamiento negativo; y todo esto se suma para no poder

rendir adecuadamente.

En nuestro ambiente de formación se realiza un análisis en donde se ha

constatado la dificultad de los estudiantes para graficar ecuaciones por lo

que se ha visto la necesidad de encontrar una manera de hacer que los

estudiantes puedan aprender a trazar las ecuaciones de una forma más

dinámica, ya que los estudiantes mediante un ambiente animado siempre les

llamará la atención, con la utilización de la tecnología se puede hacer que

los estudiantes aprendan de otra manera, de una forma más llamativa,

utilizando programas interactivos para llamar la atención y que el estudiante

capte rápidamente.

1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Utilización del programa GRAPH 4.3. por los estudiantes para el proceso de

enseñanza – aprendizaje y mejor entendimiento en el gráfico de las

ecuaciones.

1.4. ALCANCE DEL PROBLEMA

Hacer que nuestros estudiantes aprendan de una manera dinámica a

graficar las ecuaciones matemáticas para que mediante la utilización de un

programa utilitario se les facilite aprender más rápidamente su resolución; y,

ayudar a que el estudiante se interese por la asignatura.

Hoy en día existe mucho facilismo para los estudiantes, se les hace más

difícil el aprender matemáticas, porque tienen que razonar, tener lógica y

coherencia para poder llegar al resultado esperado de alguna operación

propuesta, para poder impregnar en un gráfico los resultados por lo que se

4

ha visto en la necesidad de utilizar un programa para que puedan interactuar

con ellos y de esa manera llegar al estudiante para su aprendizaje.

1.5. OBJETIVOS

1.5.1. OBJETIVO GENERAL

Verificar la relación que existe entre un software para gráfico de ecuaciones

y la enseñanza de las matemáticas, mediante la utilización del programa

Graph 4.3., con el propósito de mejorar el rendimiento académico de los

estudiantes.

1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar los diferentes tipos de ecuaciones que existen.

Conocer los diferentes software para gráfico de ecuaciones.

Conocer el manejo del programa Graph 4.3. para su utilización.

Demostrar el incremento del promedio académico de aquellos

estudiantes que tienen promedios bajos.

1.6. JUSTIFICACIÓN

Este proyecto se llevará a cabo por la poca atención que dan los estudiantes

a las matemáticas, como se ha visto al pasar del tiempo esta asignatura

sigue siendo la más complicada para un estudiante, por la lógica y por la

paciencia que deben tener para poder resolver problemas.

Se ha visto que los estudiantes en un gran porcentaje les gusta utilizar la

tecnología de punta, les llama la atención lo dinámico, por lo que se ha

planteado el manejo de un programa utilitario para ayudar al estudiante a

entender un poco más como resolver ecuaciones, que se utiliza en la

mayoría de los ejercicios de matemáticas.

5

Hoy en día los estudiantes manejan muy bien la tecnología por lo que se les

hace más fácil aprender a graficar ecuaciones utilizando cualquier programa

informático, con la ayuda del programa los estudiantes tendrán mayor

agilidad para resolver cualquier tipo de ecuación.

Con el fin de ayudar al estudiante a mejorar su rendimiento se ha resuelto

enseñarles a realizar ecuaciones con el programa GRAPH 4.3, esperando

que esta asignatura llegue a ser apreciada por los estudiantes ya que por

siglos ha sido la más difícil en las Instituciones Educativas.

Con esta herramienta el docente tendrá la facilidad de enseñar de una

manera dinámica para que los estudiantes puedan aprender de una mejor

manera, puedan receptar la forma de resolver ecuaciones y les sea más fácil

entender la materia.

6

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. SOFTWARE PARA GRAFICAR ECUACIONES.

Es muy necesario el uso del software en la actualidad para poder ayudar a

los estudiantes a entender la asignatura de matemáticas, ya que hoy en día

se utiliza un sin número de software para las clases de matemáticas,

algunos de estos son:

Graph 4.3.

Geogebra 4.0

Deadline 2.36

Microsoft Mathematics 4.0.

Zgrapher 1.4.

Wxmáxima 12.04.

Winplot 1.5.

Cabri 2 Plus

Estos programas sirven para realizar cálculos, graficar, desarrollar

problemas matemáticos, etc., y cada vez los programadores siguen creando

otros con muchas más opciones con el propósito de facilitar al estudiante el

aprendizaje óptimo al momento de aprender matemáticas e inclusive existen

páginas web interactivas como el descartes que permiten que el estudiante

capte de una mejor manera la clase y sea más rápido en su autoaprendizaje.

Cada uno de estos software, además de que tienen un mismo

funcionamiento, que es el de graficar ecuaciones o funciones, tienen sus

propias características, aunque algunos programas tendrán más similares y

otros más divergentes.

El software seleccionado para la Institución Educativa en la que se está

realizando la investigación, es el Graph 4.3., por su fácil manejo, por ser

gratuito, por ser sencillo al momento de su instalación y porque tiene las

opciones más básicas que ayudará al estudiante a aprender su

funcionamiento de una forma rápida y concisa.

7

2.1.1. GRAPH 4.3.

El programa Graph 4.3. es un software gratuito de fácil manejo, muy utilizado

por los estudiantes, ya sean de primaria, secundaria o universitarios, por su

manera de graficar ecuaciones utilizando simplemente una función, una de

las desventajas que tiene es que el programa no puede resolver las

ecuaciones solamente graficarlas. En el Graph a toda ecuación se debe

convertir en función para poder realizar el gráfico correspondiente, tiene un

sin número de opciones que ayuda a que sea uno de los programas de

mayor utilización, no solamente grafica una función sino incluso se puede

adjuntar otras ecuaciones en las que se puede realizar diferentes tipos de

cálculos como áreas, distancias, etc. El programa se ejecuta en cualquier

Windows excluyendo al Windows 95, que por ser la versión más antigua no

puede correr el programa.

2.1.2. GEOGEBRA 4.0

Es el software interactivo totalmente gratuito para la educación, porque

incorpora aritmética, geometría, álgebra y cálculo, es el más utilizado por ser

más completo que el Graph. En geogebra se puede generar desde un punto

hasta una imagen animada, se trabaja mediante coordenadas para poder

crear rectas, segmentos, polígonos etc. desde ahí se puede calcular áreas,

derivadas, integrales, perímetros, etc. se puede exportar a archivos jpeg, gif,

etc., es el único que se muestra en tres tipos de vista gráfica, algebraica y

hoja de cálculo, su manejo es muy sencillo y de fácil aprendizaje. El

programa se ejecuta en cualquier versión del Windows excepto en el

Windows 95 porque es el más antiguo de todos y tiene pocas funciones que

no puede soportar al programa.

2.1.3. DEADLINE 2.36

Deadline es un programa que desarrolla ecuaciones gráficamente y

numéricamente, está elaborado para estudiantes e ingenieros porque

8

incorporan los gráficos con cálculos avanzados. El programa es diseñado

para soportar ecuaciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y

paramétricas. Soporta gráficas de diferentes grados de dificultad, es muy

bueno porque es más avanzado que el Geogebra y guarda los resultados

por fecha de vencimiento. Se ejecuta en todo los sistemas de Windows

excepto en Windows 95 por su versión antigua y no puede soportar el

programa.

2.1.4. MICROSOFT MATHEMATICS 4.0.

Es un programa muy completo porque no solamente grafica ecuaciones sino

también realizan diversos tipos de cálculos, existe incluso un convertidor de

unidades, su fácil utilización permite que se pueda usar el lápiz digital y avisa

a escribir combinaciones incorrectas. Se puede realizar gráficos en segunda

y tercera dimensión, contiene más de 100 ecuaciones para su rápido

manejo. En definitiva es una herramienta científica, se ejecuta en todos los

Windows pero se debe tener instalado el .NET Framework Microsoft o .NET

Framework 3.5 en Sp1; ya que cuenta con una cinta de interfaz, el único

inconveniente del sistema es que solamente se puede guardar y abrir en el

mismo formato que maneja el programa, no se puede exportar a otros

formatos como otros software para gráficos.

2.1.5. ZGRAPHER 1.4.

ZGrapher es un software que puede realizar gráficos de y(x), x(y) y las

funciones de tabla definidas. Además de graficar permite realizar cálculos

básicos, se puede colocar comentarios utilizando las etiquetas y leyendas.

Se grafica en base a funciones por lo que se puede trabajar con varias en un

mismo gráfico, este programa se diferencia porque utilizando la función de

regresión se puede encontrar la tendencia de su gráfico; también se puede

exportar a Word o ser guardados en diferentes extensiones de imágenes

BMP, GIF e imágenes PCX no se puede grabar en JPG o JPEG. Es el

9

programa más básico de todos para gráfico de ecuaciones, soporta el

sistema operativo Windows en todas sus versiones, hasta el más antiguo por

ser un software liviano.

2.1.6. WXMÁXIMA 12.04.

Es un software gratuito completo porque contiene un conjunto de polinomios,

matrices, racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D,

manejo de números de coma muy grandes, entre otras funcionalidades, lo

más importante que tiene el software es que se puede depurar para

encontrar si existe algún problema y poder realizar el análisis de cada

variable. Este programa permite realizar cálculos, encontrar números pares,

primos, obtener la descomposición factorial, máximo común divisor y el

mínimo común múltiplo, convertir en decimal un número fraccionario, etc.,

realizar gráficos de ecuaciones o del resultado de los cálculos realizados. Se

puede ejecutar en todos los sistemas operativos de Windows sin excepción

alguna.

2.1.7. WINPLOT 1.5.

Winplot es un programa muy fácil de manejar ya que utilizan los estudiantes

para trabajos o tareas, es un sencillo software que permite realizar gráficos

estáticos o animados de curvas y superficies, con los que se puede graficar

en segunda o tercera dimensión funciones lineales, cuadráticas,

hiperbólicas, exponenciales, geométricas y trigonométricas. La mayor de las

ventajas es la forma del trazo que lleva el programa, es totalmente gratuito y

no existen en otros sistemas de gráficos de ecuaciones. Puede obtener

algunas utilidades como la de modificar los valores en los puntos x, y, z,

número de divisiones, visualizar animaciones con las gráficas, etc. por ser

básico y liviano el programa puede correr en cualquiera de las versiones del

Sistema Operativo Windows.

10

2.1.8. CABRI 2 PLUS

Cabri es un programa muy utilizado por su fácil manejo y sus múltiples

opciones para enseñar a los estudiantes. Es una excelente herramienta para

el aprendizaje de los estudiantes, se utiliza para geometría, ya sea gráficos

estáticos o dinámicos, su principal ventaja es que permite transferir la

información de una calculadora científica hacia el computador o viceversa.

Se grafica en base a funciones por lo que se puede realizar diferentes tipos

de cálculos básicos del gráfico correspondiente o de un conjunto de gráficos.

Es la primera herramienta que inició con los gráficos dinámicos, es muy

sencillo en mu utilización, se puede ejecutar en cualquier versión del sistema

operativo Windows, excepto en Windows 95 por su deficiente características

del sistema operativo.

2.2. ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

2.2.1. INTRODUCCIÓN

Para enseñar matemáticas se tiene que considerar algunos aspectos

negativos que influyen en su aprendizaje: la edad de los estudiantes,

problemas familiares, estado de ánimo, la mala utilización de la tecnología y

la mucha dependencia para con terceras personas. La tarea como maestro

es: Incrementar el interés de los estudiantes en la asignatura de

matemáticas, cultivar el carácter lúdico, incentivar para el autoaprendizaje,

promover la investigación y utilizar la tecnología para el aprendizaje.

La enseñanza de las matemáticas se agrupa en dos contextos que se

consideran para la resolución de problemas, que son:

- Cuando nos basamos en el mundo real: Identificar las matemáticas

en contextos reales, esquematizar, formular y visualizar un problema

11

de varias maneras, descubrir relaciones y regularidades, reconocer

aspectos de similares características en diferentes problemas,

transformar un problema real a uno matemático.

- Cuando seguimos una estructura matemática: Representar una

relación mediante una fórmula, utilizar diferentes modelos, refinar y

ajustar modelos, combinar e integrar modelos, probar las

regularidades, formular un concepto matemático nuevo, generalizar.

2.2.2. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS

En las matemáticas se necesitan algunas estrategias para poder entender

de una manera adecuada y poder llegar al estudiante correctamente, con la

utilización de la tecnología se logrará un mejor rendimiento, nuevas

habilidades, nuevos conocimientos y nuevas actitudes.

“Educar a un individuo, a una sociedad o a la humanidad misma, estamos

inmensos en un proceso de formación que es el encargado de amplificar el

aprendizaje y proporcionar un contexto para el mismo en tres terrenos

principales:

a) El conocimiento y como aplicarlo

b) El aprendizaje de habilidades

c) El aprendizaje de valores y aptitudes” (Sánchez, 2010)

Una estrategia de aprendizaje es un procedimiento que un estudiante

adquiere y emplea para aprender significativamente y solucionar problemas

propuestos.

Para utilizar una estrategia el estudiante debe tener un sentido de análisis,

síntesis y lógica, para lo cual se debe tener una actitud activa, despertar la

curiosidad del estudiante, poder debatir con sus compañeros, compartir sus

conocimientos con el grupo, fomentar la iniciativa y toma de decisiones.

12

Para la asignatura de matemáticas se deberá utilizar algunas metodologías

que se pueden implementar al momento de enseñar en el aula utilizando

algún software gráfico, estas son:

Primeramente se trata de hacer que el estudiante conozca a fondo

todos los conceptos que se manejan en matemáticas, estimular la

búsqueda independiente, incitar al aprendizaje de un programa para

gráfico de ecuaciones, su propio descubrimiento de estructuras

matemáticas, problemas que surgen de modo natural, etc. con esta

enseñanza el contenido será más motivacional y más fácil de asimilar.

Es necesario utilizar la historia para poder entender y comprender

temas difíciles del modo más adecuado, algunos conceptos

relacionados con los números algebraicos y geometría surgieron de

hechos históricos; y, de científicos que realizaron muchas

investigaciones utilizando los pocos recursos que habían en cada una

de sus épocas.

Es fundamental la enseñanza de las matemáticas a través de la

resolución de problemas, es el método heurístico que está en boga,

por lo que estudiante desarrollará su capacidad mental de

razonamiento, ejercerá su creatividad para el resultado más

adecuado, identificará la mejor forma de resolverlos, confiará en sí

mismo, se divertirá con su propia actividad mental utilizando el

programa utilitario, se preparará para otros problemas de la ciencia y

de la vida cotidiana; y, se enfrentará a los nuevos retos de la

tecnología que es lo más indispensable en la actualidad; estará

preparado para toda clase de problemas sencillos o complicados que

se presenten en la vida diaria.

13

El trabajo en grupo es otra de las metodologías que se puede utilizar,

porque ayuda al estudiante a un gran enriquecimiento personal,

genera liderazgo, compartir ideas para resolver un mismo problema,

trabajar para que el grupo sobresalga, disminuir el nivel de dificultad

del problema planteado porque se puede intercambiar conocimientos

para obtener el resultado más acertado, apoyarse continuamente

entre los integrantes, transmitir el conocimiento de uno a los demás

para que puedan tener todos un mismo nivel de preparación.

En la actualidad hay muchos distractores por lo que los estudiantes

no toman interés en un tema de matemáticas específico, por lo que se

ha incorporado un programa de gráfico de ecuaciones para que

puedan tener mayor interés y sea más sencillo la asimilación del

aprendizaje en cada estudiante, el interés del estudiante será por la

visualización; y, por la forma dinámica en la que se maneja el

programa incluyendo los cálculos que se puede realizar dentro de

éste.

Se debe fomentar el gusto por la matemática a los jóvenes, para lo

cual se debe impartir conocimientos relacionados con la práctica,

hacer de un problema matemático un problema de la vida diaria con

eventos que pueden darse comúnmente para poder encontrar la

mejor solución por lo que pondrán mayor interés porque el afectado

será el propio estudiante, con eso se ha despertado el interés de los

jóvenes constantemente, ya que la mayoría de las situaciones que se

dan en nuestra vida está relacionado con las matemáticas.

Agrupar a los estudiantes de acuerdo a su capacidad de asimilación

para que todos los integrantes del grupo tengan su mismo nivel de

aprendizaje y avanzar de acuerdo a sus conocimientos.

14

2.2.3. MÉTODOS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS

El método a aplicar en cada clase depende de muchas circunstancias y del

entorno, el docente debe ser hábil para seleccionar el más adecuado con el

cuál el estudiante tendrá un aprendizaje significativo.

Los métodos que se ejecuta en la asignatura de matemáticas son:

Método Deductivo: Parte de lo general a lo particular, de un conjunto

de hipótesis llega a una conclusión específica, de un conjunto de

verdades llega a una verdad sintetizada. Este método consta de la

comprobación, aplicación y demostración.

Método Inductivo: Parte de lo particular a lo general, hace referencia

a varios hechos particulares que forman parte de una verdad, de un

conjunto de verdades particulares forman una compuesta. Este

método consta de observación, experimentación, comparación,

abstracción y generalización.

Método Analítico: Es el que diferencia las partes de un todo y realiza

el análisis ordenado de sus elementos por separado. Este método

consta de división, descomposición y clasificación.

Método Sintético: Reúne los elementos analizados anteriormente

mediante el análisis y síntesis para producir nuevas tesis, criterios; y,

argumentación. Este método consta de reunir y relacionar.

Método Heurístico: “Considerado como uno de los método más

eficaces porque permite desarrollar el pensamiento lógico con más

seguridad y firmeza”. (Sánchez, 2007). Hace valorar la búsqueda del

conocimiento, desarrollar los problemas y parte del conocimiento que

ya tiene el estudiante para partir de allí a asimilar el nuevo

15

conocimiento. Este método consta de identificación del problema,

observación, medición, clasificación, inferencia, formular hipótesis,

establecer pautas, experimentación, análisis e interpretación; y,

redacción de la teoría.

Método de simulación y juegos: Despierta el interés de los jóvenes

porque tiene una serie de opciones que se puede utilizar para el

aprendizaje de los estudiantes como adivinanzas de números,

demostraciones ingeniosas, cuadros mágicos, juegos con material

concreto, utilización del programa para gráfico de ecuaciones, juegos

matemáticos, etc. Este método consta de: aprestamiento,

conocimiento y realización.

Método de Observación: Este método ayuda a establecer

información necesaria a través de los órganos de los sentidos con el

fenómeno a ser investigado, o cuando tiene su información a través

de observaciones realizadas anteriormente por otra persona utilizando

revistas, libros, informes, etc.

Estos métodos son los más utilizados para que los estudiantes puedan

asimilar adecuadamente el aprendizaje de las matemáticas, se puede

trabajar con uno o con la unión de dos o más métodos para mejor

entendimiento de los estudiantes.

2.2.4. TÉCNICAS DE APRENDIZAJE PARA MATEMÁTICAS

“Son un conjunto de procedimientos, pasos y ciertas actividades que

permiten al estudiante acceder al conocimiento de una manera activa,

autónoma, solidaria, y no pasiva – receptora de conocimientos dados por el

profesor; teniendo como sustento que, en todo proceso educativo, deben

cumplirse todos los momentos del ciclo de aprendizaje: experiencia –

16

concreta, gráfica – reflexiva, simbólica – conceptual y práctica – aplicativa.”

(Sánchez, 2007)

Por lo que se debe analizar cuidadosamente la técnica más acertada para la

asimilación de conocimientos de cada uno de los estudiantes.

Las técnicas más usuales en la asignatura de matemáticas son:

Técnica Operatoria: Es el que realiza actividades de operaciones

que permitan el entendimiento y la comprensión ayudando a su

aprendizaje.

El proceso a seguir es el siguiente:

a) Selección del tema

b) Desarrollo de la técnica

c) Ejecución de las operaciones

d) Diferentes formas de solución

e) Planteamiento y realización de ejemplos similares

Técnica Resolución de problemas: Es el que sirve para resolver

problemas matemáticos de cualquier índole, siguiendo un orden

lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.


a) Análisis del problema

b) Trazar un plan de resolución

c) Resolución del problema

d) Verificar la solución obtenida

e) Proponer un problema similar

Técnica Formación de Conceptos Numéricos: Es el que forma

conceptos a partir de situaciones que se suscitan en el convivir social

17

para producir conocimientos nuevos y representar en valores

numéricos.


a) Provocar intuiciones favorables.

b) Sugerir actividades prácticas del convivir social.

c) Impactar el símbolo numérico.

d) Retener la imagen numérica.

e) Proceder a la aprehensión sensorial y activa.

f) Producir el símbolo para representar el valor numérico aprendido.

g) Asociar el símbolo con la aplicación de los conocimientos.

h) Dominar la ejecución simbólica de los números.

Técnica Lluvia de Ideas: Es el que permite que el grupo actúe con

absoluta libertad y puedan expresar en voz alta todo los

conocimientos adquiridos de un tema específico en un tiempo

determinado.


a) Presentación del tema

b) Estimulación de la responsabilidad de sus ideas y registro de cada

una de ellas.

c) Identificación de las ideas más relevantes

d) Sistematización y conclusiones

Técnica de la Gincana: Es el que realiza la exploración y refuerzo de

los conocimientos, destrezas y habilidades mediante la participación

activa de cada grupo.


a) Se realiza grupo de estudiantes

18

b) El docente da a conocer el listado de problemas

c) Cada ejercicio contestado correctamente equivale un punto

d) El grupo que acumule el mayor puntaje es el ganador

e) Se debe disponer de no menos de 30 minutos

f) Se realiza la tabulación de las respuestas

g) Se determina el grupo ganador

Estas técnicas son las que más se utilizan en matemáticas, aunque hay

otras que se pueden utilizar de acuerdo al tema que se esté tratando en ese

momento y el nivel de asimilación del mismo.

2.2.5. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

El aprendizaje significativo se basa generalmente en que el estudiante debe

aprender a aprender, se vuelve profesor y estudiante a la vez, tiene que

plantearse pautas, limites, reglas, investigar y adquirir nuevos conocimientos

en base a un tema específico.

“El alumno relaciona de manera no arbitraria y sustancial la nueva

información con los conocimientos y experiencias previas y familiares que ya

posee en su estructura de conocimientos o cognitiva” (Barriga &

Hernández, 2002)

Para tener un aprendizaje significativo los maestros deben seguir el

siguiente proceso:

a) Generar expectativas apropiadas a los estudiantes mediante los

objetivos o intenciones de los mismos.

b) Activar los conocimientos previos de los estudiantes realizando

discusiones guiadas y preguntas con respecto al tema tratado.

c) Orientar, guiar la atención y aprendizaje utilizando las simbologías y

formulando preguntas integradas.

19

d) Mejorar la forma de impartir la información nueva utilizando las

ilustraciones, gráficas y formulando preguntas insertadas.

e) Promover una organización global más adecuada de la información

nueva para que puedan asimilar más fácilmente la información.

f) Potenciar y explicar el enlace entre los conocimientos previos y la

información nueva.

2.2.6. LA ECUACIÓN

Es una igualdad entre dos polinomios o expresiones algebraicas, consta de

dos miembros, el primer miembro es aquel que se encuentra a lado

izquierdo del signo igual y el segundo miembro es el que se encuentra a lado

derecho del signo igual.

“Ecuación es la igualdad en la que hay una o varias cantidades

desconocidas llamadas incógnitas”. (Pérez, 2008)

2.2.6.1. PARTES DE UNA ECUACIÓN

Término: Es un número o una variable sola, o números y variables

multiplicados.

Expresión: Es un grupo de términos separados por los operadores suma,

resta, multiplicación o división.

20

Coeficiente: Es un número que está multiplicando a una variable.

Variable: Es un símbolo para un número que todavía no se conoce, se le

representa con cualquier letra del alfabeto.

Operador: Es un símbolo +, -, x o / que representa la operación a realizar.

Constante: A los números que se encuentran solos.

(www.disfrutalasmatematicas.com)1

2.2.6.2. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES

La clasificación de ecuaciones se mide por el grado de sus términos y por la

cantidad de incógnitas diferentes que presentan, se detallan a continuación:

2.2.6.2.1. Por la parte literal.

a) Numérica: Si los coeficientes de las incógnitas son números.

Ejemplo: La ecuación 2x2 – 3x + 7 = 0 es numérica porque los

coeficiente serían 2, -3 y 7

b) Literal: Si los coeficientes de las incógnitas son letras.

Ejemplo: La ecuación ax2 + bx + c= 0 es literal porque los coeficientes

serían a, b y c.

2.2.6.2.2. Por la forma de presentación de las variables.

a) Entera: Es aquella en la que ninguno de sus términos tiene

denominador.

Ejemplo: La ecuación 2z – 3 = 20 es una ecuación entera.

1Pierce, R. (2011). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/definiciones.html

21

b) Fraccionaria: Es aquella en la cual algunos de sus términos tienen

denominador.

Ejemplo: La ecuación – = 20 es una ecuación fraccionaria.

c) Racional: Cuando sus incógnitas no están afectadas de radical. Estos a

su vez pueden ser: Ecuaciones racionales enteras o fraccionarias.

Ejemplo: La ecuación + = es una ecuación racional fraccionaria

porque presenta letras en su denominador.

d) Irracional: Si las incógnitas se encuentran dentro del radical.

Ejemplo: La ecuación + = es una ecuación irracional.

2.2.6.2.3. Con respecto al grado de la incógnita.

a) Lineales: Cuando el mayor exponente de la variable o variables es 1.

Además se les llama así porque al graficar la ecuación se obtiene una

línea recta

Ejemplo: La ecuación 8x – 5y = 8 es lineal en dos incógnitas: x, y

b) Cuadráticas: Cuando el mayor exponente de la variable es 2. Al

graficarla se obtiene una figura que se llama parábola.

Ejemplo: La ecuación z2 – 5z – 3 = 0 es cuadrática porque el mayor

exponente de la variable z es 2.

c) Cúbicas: Cuando el mayor exponente de la variable es 3.

Ejemplo: La ecuación 5r3 – 4r + 8 = 5 es de grado 3 o cúbica.

d) Para ecuaciones de grado 4, 5 y 6, etc., se nombra solo diciendo el

grado.

22

2.2.6.2.4. Por el número de incógnitas.

a) Ecuaciones de una sola variable: Cuando solo interviene una variable

desconocida.

Ejemplo: Las ecuaciones3x2 +2 = 0, 0.2t – 8 = 0.25 son de una variable:

x en la primera; y, t en la segunda.

b) Ecuaciones de dos o más variables: Cuando intervienen dos o más

variables desconocidas. Si hay igual número de ecuaciones que de

variables, entonces se llama n ecuaciones con n variables.

Ejemplo: La expresión 2x – 3y + 4 = 0 es una ecuación de dos

variables x e y.

2.2.6.2.5. Con respecto a sus raíces y soluciones.

a) Compatibles: Cuando tienen por lo menos una solución. A su vez estas

ecuaciones se divide en:

- Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones:

Ejemplo: La ecuación x2 – 3 = 6 tiene dos raíces o dos soluciones.

- Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo: La ecuación 3x – (x – 1) = 2x + 1; es indeterminada, esto

significa que la igualdad se verifica para cualquier valor x, es decir

tiene infinitas soluciones.

b) Incompatibles: Son aquellas que no admiten solución.

Ejemplo: La ecuación , esta ecuación resulta ser incompatible o

absurda pues el signo que precede a la raíz, es positivo, luego en el

segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa

como la que aparece.(http://algebraparatodos.wordpress.com)2

2 Kubrick. (Abril de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://algebraparatodos.wordpress.com

23

2.3. HIPÓTESIS

La falta del uso de software educativo para graficar ecuaciones incide en la

enseñanza de la matemática.

2.4. VARIABLES

2.4.1. VARIABLE INDEPENDIENTE

Software para graficar ecuaciones.

2.4.2. VARIABLE DEPENDIENTE

Enseñanza de la matemática

2.5. OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES

Tabla 2.1. Manejo de las Variables

VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ITEMS

Variable

Independiente:

Software para

graficar ecuaciones.

Tiempo

Programas Educativos

Manual de Graph 4.3.

Clases extras

Conocer el manejo

del programa

Graficar

Ecuaciones

A1.1.

A1.2.

A2.5.

A2.6.

A3.6.

Variable

Dependiente:

Enseñanza de la

matemática

Programa Graph 4.3.

Material Didáctico

Métodos de

enseñanza

Graficar

Ecuaciones

Conocer como

graficar las

ecuaciones.

A1.4.

A2.3.

A2.4.

A2.7.

A2.8.

A3.5.

24

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

3.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN

El tipo de investigación que se va a utilizar es la Descriptiva, Bibliográfica

y la de campo.

La Descriptiva porque se puede determinar si la utilización de un programa

utilitario mejorará el rendimiento de los estudiantes.

Es Bibliográfica porque se va a estudiar cómo afecta la utilización de un

programa utilitario con los estudiantes de una Institución en su

aprovechamiento.

Es una Investigación de Campo, se lo realizará en el Colegio Técnico

“Miguel Malo González” con los estudiantes del segundo de bachillerato en

un tiempo determinado.

3.2. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN

El método que se va a utilizar en nuestra investigación es el Método

Estadístico, porque que permite realizar el análisis de los datos para

transformarlos en información y de allí extraer resultados, conclusiones y

recomendaciones, el método estadístico debe seguir las siguientes etapas:

1. Recolección

2. Recuento

3. Presentación

4. Síntesis

5. Análisis

25

3.3. POBLACION Y MUESTRA

La población para nuestra investigación serán los estudiantes del Segundo

de Bachillerato del Colegio Técnico “Miguel Malo González”; considerando a

los siguientes:

Tabla 3.1. Matriz Poblacional

MUESTRA TAMAÑO

Docentes 20

Estudiantes 60

Padres de Familia 20

Total 100

3.4. TECNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS

La técnica que se va a utilizar en nuestra investigación son las

ENCUESTAS, para lo cual se utiliza los siguientes tipos de preguntas:

Preguntas de opción múltiple, preguntas dicotómicas, preguntas con

respuesta a escala y preguntas abiertas.

Las preguntas de tipo abiertas son aquellas, en las que el encuestado

contesta con sus propias palabras, no limitando las opciones de respuestas.

Las preguntas de tipo cerrado el encuestado debe seleccionar o elegir la

respuesta en una lista de opciones, dentro de estas se tiene las dicotómicas

son aquellas que sólo dan opción a respuestas contrapuestas; opción

múltiple se le pide al entrevistado que indique la alternativa que expresa su

opinión entre varias opciones; y, las que son con respuesta a escala

presentan una serie de respuestas definidas entre las que el encuestado

puede elegir.

26

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS

4.1.1.1. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PROFESORES

1. ¿Los estudiantes tiene dificultad al resolver problemas

matemáticos?

Tabla 4.1. Pregunta 1 - Profesores

OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE

SI 19 95,00%

NO 1 5,00%

TOTAL 20 100,00%

Fuente: Encuesta a los profesores del Colegio “Miguel Malo González”

Elaborado por: Gabriela Vanegas A.

Fig. 4.1. Representación porcentual sobre la dificultad al resolver problemas matemáticos.



Análisis: De los 20 profesores que constituyen la muestra, 19 que

corresponde al 95.00%, tienen dificultad para resolver problemas

matemáticos, y 1 que corresponde al 5.00% que no tienen dificultad.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran

porcentaje de estudiantes tienen dificultad para resolver problemas

matemáticos por la falta de dedicación y porque no les gusta razonar.

SI 95,00%

NO 5,00%

27

2. ¿Qué porcentaje de estudiantes, cree Ud. que puedan captar y

aprender matemáticas utilizando algún programa utilitario?



25% 5 25,00%

50% 8 40,00%

100% 2 10,00%

Otros 5 25,00%

TOTAL 20 100,00% Fuente: Encuesta a los profesores del Colegio “Miguel Malo González”


Fig. 4.2. Representación porcentual sobre los estudiantes que pueden aprender mejor las

matemáticas utilizando un programa utilitario.




corresponde al 40.00%, 5 que corresponde al 25.00%, Otros que

corresponde al 25.00% y 2 que corresponde al 10.00% de los estudiantes

que pueden captar y aprender matemáticas utilizando un programa utilitario.


porcentaje de estudiantes aprendieran y captaran la asignatura de

matemáticas utilizando cualquier programa utilitario, por lo tanto se intentará

impartir clases utilizando un programa utilitario.

25% 25,00%

50% 40,00%

100% 10,00%

Otros 25,00%

28

3. ¿Ha manejado algún programa utilitario de matemáticas?



SI 5 25,00%

NO 15 75,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.3. Representación porcentual sobre los maestros que han utilizado programas

utilitarios de matemáticas.




corresponde al 75.00%, que no han manejado ningún programa utilitario de

matemáticas y 5 que corresponde al 25.00%, que si han manejado alguno.


porcentaje de maestros no manejan ningún programa utilitario, por lo tanto

se debe capacitar para que maneje alguno de ellos.

SI 25,00%

NO 75,00%

29

4. Si la respuesta de la pregunta anterior es SI, Indique los programas

que ha utilizado



Graph 2 10,00%

Geogebra 1 5,00%

Cabri 1 5,00%

Deadline 0 0,00%

Euclides 0 0,00%

Otros 1 5,00%

Ninguno 15 75,00%



Fig. 4.4. Representación porcentual sobre los programas utilitarios que han manejado los

maestros.




corresponde al 75.00%, que no han manejado ningún programa utilitario de

matemáticas, 3 que corresponde al 5.00%, que maneja Geogebra, Cabri,

Otros; 2 que corresponde al 10.00%, que manejan Graph y 0 que

corresponde al 0.00%, que no manejan Deadline ni Euclides.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar la mayoría

de los maestros manejan el programa Graph por lo que se utilizará ese

programa para impartir las clases de matemáticas.

Graph 10,00%

Geogebra 5,00%

Cabri 5,00%

Deadline 0,00%

Euclides 0,00%

Otros 5,00%

Ninguno 75,00%

30

5. ¿Se daría un poco de tiempo para enseñar a los compañeros

maestros de la misma asignatura a utilizar el programa que usted

conoce?



SI 18 90,00%

NO 2 10,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.5. Representación porcentual sobre los maestros que ayudarían a los compañeros

para capacitar el programa que maneje.




corresponde al 90.00%, que capacitara a sus compañeros en el programa

que conoce y 2 que corresponde al 10.00%, que no pueden capacitar a sus

compañeros por falta de tiempo.


porcentaje de maestros ayudarían a capacitar a sus compañeros, por lo

tanto se dará un espacio para poder realizar dicha capacitación.

SI 90,00%

NO 10,00%

31

6. ¿Estaría dispuesto a impartir clases extras, para nivelar a los

estudiantes en el manejo del programa utilitario?



SI 18 90,00%

NO 2 10,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.6. Representación porcentual sobre los maestros que pueden nivelar a los

estudiantes, en horas extra clase.




corresponde al 90.00%, que pueden nivelar a los estudiantes y 2 que

corresponde al 10.00%, que no pueden nivelar a los estudiantes por falta de

tiempo.


porcentaje de maestros ayudarían a nivelar a los estudiantes, por lo tanto se

coordinará con los estudiantes el horario adecuado para impartir dichas

clases.

SI 90,00%

NO 10,00%

32

7. Señale con una X. ¿Qué tipo de material ha utilizado con los

estudiantes para la gráfica de una ecuación?



Programa Utilitario 1 2,08%

Hojas Milimetradas 16 33,33%

Hojas A4 cuadros 5 10,42%

Hojas de papel ministro 18 37,50%

Cuaderno 8 16,67%

Otro 0 0,00%



Fig. 4.7. Representación porcentual sobre el material didáctico que utilizan para el gráfico

de ecuaciones.




corresponde al 37.50%, que utilizan hojas de papel ministro para graficar

ecuaciones, 16 que corresponde al 33.33%, utilizan hojas milimetradas para

graficar ecuaciones,8 que corresponde al 16.67%, utilizan el cuaderno para

graficar ecuaciones, 5 que corresponde al 10.42%, utilizan hojas A4 cuadros

para graficar ecuaciones,1 que corresponde al 2.08%, utilizan un programa

utilitario para graficar ecuaciones, y 0 que corresponde al 0.00%, que utilizan

otro material didáctico.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que la

mayoría de los maestros utilizan hojas de papel ministro u hojas

milimetradas para graficar las ecuaciones, por lo tanto los estudiantes no

conocen programas utilitarios de matemáticas.

Programa Utilitario

2,08% Hojas Milimetradas

33,33%

Hojas A4 cuadros 10,42%

Hojas de papel ministro 37,50%

Cuaderno 16,67%

Otro 0,00%

33

8. Indique los métodos que utiliza para enseñar matemáticas.



Didáctico 6 27,27%

Heurístico 12 54,55%

Científico 4 18,18%

Otro 0 0,00%



Fig. 4.8. Representación porcentual sobre los métodos que se utiliza en la asignatura de

matemáticas.




corresponde al 54.55%, que utiliza el método Heurístico, 6 que corresponde

al 27.27%, que utiliza el método Didáctico, 4 que corresponde al 18.18%,

que utiliza el método Científico y 0 que corresponde al 0.00%, utilizan otros

métodos.


mayoría utilizan el método Heurístico por lo tanto se pone en práctica este

método aplicando en la utilización de un programa utilitario para el mejor

entendimiento de los estudiantes.

Didáctico 27,27%

Heurístico 54,55%

Científico 18,18%

Otro 0,00%

34

9. Indique ¿cuáles son los problemas que afectan al estudiante para

que se le dificulta aprender matemáticas?



Difusión Familiar 6 14,29%

Problema de aprendizaje 10 23,81%

Falta de dedicación 10 23,81%

Situación Económica 2 4,76%

Descuido de la materia 13 30,95%

Otro 1 2,38%



Fig. 4.9. Representación porcentual sobre los problemas que afectan a los estudiantes para

aprender matemáticas.




corresponde al 30.95%, que certifican que no rinden los estudiantes por

descuido de la materia, 20 que corresponde al 23,81%, que certifican que no

rinden los estudiantes por problemas de aprendizaje y falta de dedicación, 6

que corresponde al 14.29%, que certifican que no rinden los estudiantes por

difusión familiar, 2 que corresponde al 4.76%, que certifican que no rinden

los estudiantes por su situación económica y 1 que corresponde al 2.38%,

que certifican que no rinden los estudiantes por otras causas.


mayoría de los estudiantes no rinden por descuido de la materia por lo tanto

se le debe dar talleres y conferencias sobre cuán importante es la asignatura

de matemáticas, hacer saber que es importante estudiar para salir adelante.

Difusión Familiar 14,29%

Problema de aprendizaje

23,81%

Falta de dedicación

23,81%

Situación Económica

4,76%

Descuido de la materia 30,95%

Otro 2,38%

35

10. Señale con una X. ¿En qué temas los estudiantes tienen un

rendimiento más bajo?



Ecuaciones 11 28,21%

Trigonometría 7 17,95%

Factorización 13 33,33%

Radicación 4 10,26%

Otros 4 10,26%



Fig. 4.10. Representación porcentual sobre los temas en la que los estudiantes tienen bajo

rendimiento.




corresponde al 33.33%, que los estudiantes tiene bajo rendimiento en la

factorización, 11 que corresponde al 28.21%, que los estudiantes tiene bajo

rendimiento en las ecuaciones, 7 que corresponde al 17.95%, que los

estudiantes tiene bajo rendimiento en Trigonometría y 8 que corresponde al

10.26%, que los estudiantes tiene bajo rendimiento en Radicación y otros

temas.

Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar la mayoría

de los estudiantes tienen mayor dificultad en la factorización y en las

ecuaciones por lo tanto se explicará más detalladamente estos temas.

Ecuaciones 28,21%

Trigonometría 17,95%

Factorización 33,33%

Radicación 10,26%

Otros 10,26%

36

4.1.1.2. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS PADRES DE FAMILIA

1. ¿Cuánto tiempo pasa su hijo al frente de un computador?

Tabla 4.11. Pregunta 1–Padres de Familia


½ Hora 2 10,00%

1 Hora 7 35,00%

2 Horas 7 35,00%

Más de 2 Horas 4 20,00%

TOTAL 20 100,00% Fuente: Encuesta a los Padres de Familia del Colegio “Miguel Malo González”


Fig. 4.11. Representación porcentual sobre el tiempo que su hijo(a) pasa al frente de un

computador.

Fuente: Encuesta a los Padres de Familia del Colegio “Miguel Malo González”


Análisis: De los 20 Padres de Familia que constituyen la muestra, 14 que

corresponde al 35.00%, que sus hijos pasan de 1 a 2 horas en el

computador, 4 que corresponde al 20.00%, que sus hijos pasan más de 2

horas en el computador y 2 que corresponde al 10.00%, que sus hijos pasan

solamente ½ hora en el computador.


mayoría de los hijos que pasan más de una hora frente a un computador, por

lo tanto se puede utilizar ese tiempo para que aprendan a manejar un

programa utilitario de matemáticas.

½ Hora 10,00%

1 Hora 35,00%

2 Horas 35,00%

Más de 2 Horas

20,00%

37

2. ¿Qué programas maneja su hijo(a)?

Tabla 4.12. Pregunta 2 – Padres de Familia


Programas educativos 5 15,15%

Programas de Juegos 6 18,18%

Manejo de office 5 15,15%

Navegar por Internet 16 48,48%

Otros 1 3,03%



Fig. 4.12. Representación porcentual sobre conocimientos de su hijo(a) acerca del

computador.




corresponde al 48.48%, que los hijos conocen acerca de navegar por

internet, 6 que corresponde al 18.18%, que los hijos conocen acerca de

programas de juegos, 10 que corresponde al 15.15%, que los hijos conocen

acerca de programas educativos y manejo de office; y,1 que corresponde al

3.03%, que los hijos conocen otros programas.


mayoría de sus hijos conocen como navegar por internet por lo tanto se

utilizará esta herramienta para investigar sobre el manejo de algún programa

utilitario.

Programas educativos

15,15%

Programas de Juegos

18,18%

Manejo de office

15,15%

Navegar por Internet 48,48%

Otros 3,03%

38

3. ¿Ha utilizado algún programa utilitario de matemáticas?



SI 2 10,00%

NO 18 90,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.13. Representación porcentual sobre si los padres han utilizado algún programa

utilitario de matemáticas.




corresponde al 90.00%, no han utilizado ningún programa utilitario de

matemáticas y 2 que corresponde al 10.00%, que han utilizado algún

programa utilitario de matemáticas.


porcentaje de Padres de Familia que no han utilizado ningún programa

utilitario de matemáticas, por lo tanto los que desean ayudar a sus hijos

tienen que capacitarse o aprender el programa.

SI 10,00%

NO 90,00%

39

4. ¿Considera necesario que su hijo(a) aprenda matemáticas utilizando

algún programa utilitario?



SI 11 55,00%

NO 9 45,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.14. Representación porcentual sobre los padres que desean que su hijo(a) aprenda

matemáticas utilizando un programa utilitario.




corresponde al 55.00%, desean que sus hijos aprendan matemáticas

utilizando algún programa utilitario y 9 que corresponde al 45.00%, que no

han utilizado ningún programa utilitario de matemáticas.


porcentaje de Padres de Familia desean que su hijo aprenda matemáticas

utilizando algún programa utilitario, por lo tanto se implementará el programa

para que puedan utilizar en la asignatura de matemáticas.

SI 55,00%

NO 45,00%

40

5. ¿Cree Ud. que mejore la educación con el manejo de la tecnología?



SI 12 60,00%

NO 8 40,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.15. Representación porcentual sobre si los padres desean que mejore la educación

utilizando la tecnología.




corresponde al 60.00%, que creen que se puede mejorar la educación

utilizando la tecnología y 8 que corresponde al 40.00%, que piensan que no

pueden mejorar la educación utilizando la tecnología.


porcentaje de Padres de Familia creen que con la utilización de tecnología

puedan mejorar la educación, por lo tanto se tratará de utilizar la tecnología

para el aprendizaje de sus hijos.

SI 60,00%

NO 40,00%

41

6. ¿Cree Ud. que para su hijo(a) los temas impartidos en matemáticas

son difíciles de entender?



SI 11 55,00%

NO 9 45,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.16. Representación porcentual sobre la dificultad de entender los temas de

matemáticas.




corresponde al 55.00%, piensan que los temas impartidos a sus hijos en

matemáticas son difíciles de entender y 9 que corresponde al 45.00%, los

temas impartidos a sus hijos en clases de matemáticas son fáciles de

entender.


porcentaje de Padres de Familia piensan que los temas impartidos en clases

de matemáticas son difíciles de entender, por lo tanto se realizará talleres y

el uso de programas utilitarios para el aprendizaje de matemáticas.

SI 60,00%

NO 40,00%

42

7. Marque con una X. ¿Cuál es el rendimiento de su hijo en

matemáticas?



Sobresaliente 2 10,00%

Muy Bueno 7 35,00%

Bueno 5 25,00%

Regular 5 25,00%

Insuficiente 1 5,00%



Fig. 4.17. Representación porcentual sobre el rendimiento de su hijo(a) en matemáticas.




corresponde al 35.00%, que sus hijos tienen un promedio de muy bueno, 10

que corresponde al 25.00%, que sus hijos tienen un promedio de Bueno y

regular, 2 que corresponde al 10.00%, que sus hijos tienen un promedio de

sobresaliente y 1 que corresponde al 5.00%, que sus hijos tienen un

promedio de insuficiente.


mayoría de los hijos tienen un promedio de muy buena, por lo tanto se debe

buscar alternativas para mejorar ese promedio.

Sobresaliente 10,00%

Muy Bueno 35,00%

Bueno 25,00%

Regular 25,00%

Insuficiente 5,00%

43

8. ¿Cuánta dificultad tiene su hijo(a) para resolver problemas

matemáticos?



Mucha 4 20,00%

Poca 9 45,00%

Regular 4 20,00%

Ninguna 3 15,00%



Fig. 4.18. Representación porcentual sobre el nivel de dificultad que tiene su hijo(a) para

aprender matemáticas.




corresponde al 45.00%, que sus hijos tienen poca dificultad para resolver

problemas matemáticos, 8 que corresponde al 20.00%, que sus hijos tienen

Regular y mucha dificultad para resolver problemas matemáticos y 3 que

corresponde al 15.00%, que sus hijos no tienen ninguna dificultad para

resolver problemas matemáticos.


mayoría de los padres de familia piensan que sus hijos tienen poca

dificultad para resolver problemas matemáticos por lo tanto de los que tienen

poca dificultad se puede unir con los que tienen mucha para contrarrestar.

Mucha 20,00%

Poca 45,00%

Regular 20,00%

Ninguna 15,00%

44

9. Si no conoce. ¿Estaría dispuesto a aprender sobre ecuaciones para

poder ayudar a su hijo(a) a realizar las tareas enviadas por el

profesor?



SI 18 90,00%

NO 2 10,00%

TOTAL 20 100,00%



Fig. 4.19. Representación porcentual sobre si estaría dispuesto a aprender sobre

ecuaciones




corresponde al 90.00%, están dispuestos a aprender sobre ecuaciones para

ayudar a su hijo y 2 que corresponde al 10.00%, que no están dispuestos a

aprender sobre ecuaciones para ayudar a su hijo.


porcentaje de Padres de Familia están dispuestos a aprender matemáticas si

no conocen el tema, por lo tanto conjuntamente con el profesor de la

asignatura se establecerá un calendario para ayudar a los padres de familia

que deseen superarse, sobre todo si desean ayudar a su hijo.

SI 90,00%

NO 10,00%

45

10. ¿Qué alternativa sugiere para que su hijo(a) rinda más en la

asignatura de matemáticas?



Más participación 9 37,50%

Más atención 7 29,17%

Incrementar Tareas 2 8,33%

Más Horas clase 5 20,83%

Otra 1 4,17%



Fig. 4.20. Representación porcentual sobre alternativas para mejorar el rendimiento de su

hijo(a).




corresponde al 37.50%, que desean que el profesor haga participar más a

sus hijos, 7 que corresponde al 29.17%, que desean que el profesor ponga

mayor atención a sus hijos,5 que corresponde al 20.83%, que desean que

haya más horas clase, 2 que corresponde al 8.33%, que desean que el

profesor incremente las tareas y 1 que corresponde al 4.17%, a otra

alternativa.


mayoría están de acuerdo en que el profesor debe hacerles participar más

en clase, por lo tanto se realizará clases con la mayor participación de los

estudiantes.

Más participación

37,50%

Más atención 29,17% Incrementar

Tareas 8,33%

Más Horas clase

20,83%

Otra 4,17%

46

4.1.1.3. ENCUESTAS REALIZADAS A LOS ESTUDIANTES

1. ¿Es ágil en el manejo de un computador?

Tabla 4.21. Pregunta 1 – Estudiantes


SI 35 58,33%

NO 25 41,67%

TOTAL 60 100,00%

Fuente: Encuesta a los estudiantes del segundo de bachillerato sección nocturna


Fig. 4.21. Representación porcentual sobre agilidad sobre el manejo del computador.



Análisis: De los 60Estudiantes que constituyen la muestra, 35 que

corresponde al 58.33%, son ágiles en el manejo del computador y 25 que

corresponde al 41.67%, que no son ágiles en el manejo del computador.


porcentaje de Estudiantes manejan muy bien al computador, por lo tanto se

tomará como base esos conocimientos para implementarlos en un programa

utilitario de matemáticas para un mejor aprendizaje.

SI 58,33%

NO 41,67%

47

2. ¿Cuántas veces pasa al frente de un computador?



Siempre 6 10,00%

Frecuentemente 13 21,67%

A Menudo 11 18,33%

Rara Vez 30 50,00%

Nunca 0 0,00%

TOTAL 60 100,00% Fuente: Encuesta a los estudiantes del segundo de bachillerato sección nocturna


Fig. 4.22. Representación porcentual sobre el tiempo que pasa el estudiante frente al

computador.



Análisis: De los 60 Estudiantes que constituyen la muestra, 30 que

corresponde al 50.00%, que pasan rara vez frente a un computador, 13 que

corresponde al 21.67%, que pasan frecuentemente frente a un computador,

11 que corresponde al 18.33%, que pasan a menudo frente a un

computador, 6 que corresponde al 10.00%, que pasan siempre frente a un

computador y 0 que corresponde al 0.00%, que nunca pasan frente a un

computador.


mayoría de los estudiantes pasan rara vez en el computador, por lo tanto se

tratará de facilitarles con el laboratorio de cómputo para que puedan hacer

sus trabajos e impartir clases en el mismo.

Siempre 10,00% Frecuenteme

nte 21,67%

A Menudo 18,33%

Rara Vez 50,00%

Nunca 0,00%

48

3. ¿Le gustaría aprender matemáticas utilizando la tecnología?



SI 48 80,00%

NO 12 20,00%

TOTAL 60 100,00%



Fig. 4.23. Representación porcentual sobre aprender matemáticas utilizando la tecnología.




corresponde al 80.00%, estudiantes que les gustaría aprender matemáticas

utilizando la tecnología y 12 que corresponde al 20.00%, estudiantes que no

les gustaría aprender matemáticas utilizando la tecnología.


porcentaje de Estudiantes desean aprender matemáticas utilizando la

tecnología, por lo tanto se implementará un programa utilitario para que

puedan utilizar en la asignatura de matemáticas.

SI 80,00%

NO 20,00%

49

4. ¿Cuál es su nivel de dificultad en el manejo de un programa

utilitario?



Mucha 13 21,67%

Poca 20 33,33%

Regular 22 36,67%

Ninguna 5 8,33%



Fig. 4.24. Representación porcentual sobre el nivel de dificultad de un programa utilitario.




corresponde al 36.67%, que los estudiantes tienen un nivel de dificultad

regular, 20 que corresponde al 33.33%, que los estudiantes tienen poca

dificultad, 13 que corresponde al 21.67%, que los estudiantes tienen mucha

dificultad y 5 que corresponde al 8.33%, que no tienen ninguna dificultad en

el manejo de un programa utilitario.


mayoría de los estudiantes tienen un nivel de dificultad regular para el

manejo de un programa utilitario, por lo tanto se realizará talleres en horas

extras para que puedan capacitarse en el manejo de los mismos para que

puedan recibir clases utilizando alguno de esos programas.

Mucha 21,67%

Poca 33,33%

Regular 36,67%

Ninguna 8,33%

50

5. ¿Qué programas ha utilizado en la asignatura de matemáticas?



Ninguno 47 78,33%

Graph 2 3,33%

Geogebra 2 3,33%

Cabri 2 3,33%

Deadline 0 0,00%

Euclides 0 0,00%

Otros 7 11,67%



Fig. 4.25. Representación porcentual sobre los programas utilitarios que ha manejado en la

asignatura de matemáticas.




corresponde al 78.33%, de estudiantes que no manejan ningún programa en

matemáticas, 7 que corresponde al 11.67%, de estudiantes que manejan

otros programas y 6 que corresponde al 3.33%, de estudiantes que manejan

Graph, Geogebra y Cabri.


mayoría de los estudiantes no manejan ningún programa utilitario, por lo

tanto se les enseñará a manejar el programa utilitario específico para el

desarrollo de la asignatura en matemáticas.

Ninguno 78,33%

Graph 3,33%

Geogebra 3,33%

Cabri 3,33%

Deadline 0,00%

Euclides 0,00%

Otros 11,67%

51

6. ¿Le gustaría recibir clases extras para nivelarse en el manejo del

programa utilitario?



SI 57 95,00%

NO 3 5,00%



Fig. 4.26. Representación porcentual sobre recibir clases extras para aprender el manejo de

algún programa utilitario.




corresponde al 95.00%, estudiantes que les gustaría recibir clases extras

para nivelarse en el manejo de cualquier programa utilitario de matemáticas

y 3 que corresponde al 5.00%, estudiantes que no les gustaría recibir clases

extras para nivelarse en el manejo de ningún programa utilitario de

matemáticas.


porcentaje de Estudiantes desean aprender cualquier programa utilitario, por

lo tanto se dará clases extras en horario extra clase para que puedan

aprender a manejar el programa utilitario que se utilice.

SI 80,00%

NO 20,00%

52

7. Según usted, el rendimiento en la asignatura MATEMATICAS se

debe a:



El profesor no se hace entender 4 6,25%

Es difícil el tema 23 35,94%

La clase es demasiado aburrida 6 9,38%

No le gusta la asignatura 15 23,44%

Otro 16 25,00%



Fig. 4.27. Representación porcentual sobre el bajo rendimiento en matemáticas.




corresponde al 35.94%, tienen bajo rendimiento porque son difíciles los

temas, 16 que corresponde al 25.00%, tienen bajo rendimiento por otras

causas,15 que corresponde al 23.44%, tienen bajo rendimiento porque no

les gusta la materia, 6 que corresponde al 9.38%, tienen bajo rendimiento

porque la clase es aburrida y 4 que corresponde al 6.25%, tienen bajo

rendimiento porque el profesor no se hace entender.


mayoría de los estudiantes tienen bajo rendimiento porque los temas que se

han visto en matemáticas son difíciles de entender, por lo tanto se debe

crear talleres extra clases para reforzar el aprendizaje y hacer que el

estudiante aprenda lo indicado en las clases impartidas.

El profesor no se hace entender

6,25% Es difícil el tema

35,94%

La clase es demasiado

aburrida 9,38%

No le gusta la asignatura

23,44%

Otro 25,00%

53

8. Indique los temas de matemáticas que se le dificulta aprender



Ecuaciones 20 24,10%

Trigonometría 20 24,10%

Radicación 8 9,64%

Logaritmos 10 12,05%

Factorización 18 21,69%

Otros 7 8,43%



Fig. 4.28. Representación porcentual sobre los temas de matemáticas difíciles de aprender.




corresponde al 24.10%, que se les dificulta aprender ecuaciones y

trigonometría, 18 que corresponde al 21.69%, que se les dificulta aprender

factorización, 10 que corresponde al 12.05%, que se les dificulta aprender

logaritmos, 8 que corresponde al 9.64%, que se les dificulta aprender

radicación y 7 que corresponde al 8.43%, que se les dificulta aprender otros

temas.


mayoría de los estudiantes se les dificulta aprender ecuaciones y

factorización, por lo tanto se tratará de utilizar un programa utilitario para que

se les sea más fácil y de una forma dinámica el aprendizaje.

Ecuaciones 24,10%

Trigonometría 24,10%

Radicación 9,64%

Logaritmos 12,05%

Factorización 21,69%

Otros 8,43%

54

9. Señale con una X. ¿Cuánto entiende de los temas impartidos por el

profesor de matemáticas en clase?



Nada 2 3,33%

Casi Nada 3 5,00%

Sólo algunas cosas 32 53,33%

Casi todo 19 31,67%

Todo 4 6,67%



Fig. 4.29. Representación porcentual sobre cuanto entienden los estudiantes por los temas

de la asignatura de matemáticas.




corresponde al 53.33%, que sólo algunas cosas entienden los estudiantes,

19 que corresponde al 31.67%, que casi todo entienden los estudiantes, 4

que corresponde al 6.67%, que entienden todos los temas impartidos, 3 que

corresponde al 5.00%, que no entienden casi nada los estudiantes y 2 que

corresponde al 3.33%, que no entienden nada

.


mayoría de los estudiantes sólo entienden algunos temas, por lo tanto se

debe crear talleres y usar metodologías adecuadas para llegar al estudiante.

Nada 3,33% Casi Nada

5,00%

Sólo algunas cosas

53,33%

Casi todo 31,67%

Todo 6,67%

55

10. ¿Qué haces cuando no entiendes lo que explica tu profesor(a) de

Matemática?



Le preguntan inmediatamente al profesor 9 12,86%

Le preguntas al profesor después de clase 9 12,86%

Esperas entenderlo en la próxima clase. 11 15,71%

Le preguntas a tus compañeros 23 32,86%

Le preguntas a personas fuera del colegio 4 5,71%

Revisas libros de texto o de consulta 8 11,43%

No le preguntas a nadie 6 8,57%



Fig. 4.30. Representación porcentual sobre lo que entiendes de lo que explica el profesor.




corresponde al 32.86%, que preguntan a los compañeros si no entienden las

clases, 11 que corresponde al 15.71%, que espera a entender en la próxima

clase, 18 que corresponde al 12.86%, que le preguntan inmediatamente al

profesor y le preguntan al profesor después de clase, 8 que corresponde al

11.43%, que revisa en los libros de texto o consulta, 6 que corresponde al

8.57%, no le preguntan a nadie y 4 que corresponde al 5.71%, que

preguntan a las personas que se encuentran fuera del colegio.


mayoría de los estudiantes que preguntan a los compañeros, por lo tanto

con la ayuda de los compañeros se puede llegar a ayudar a los compañeros

para que aprendan y entiendan la materia.

12,86%

12,86%

15,71%

32,86%

5,71%

11,43% 8,57% Le preguntan inmediatamente al profesor

Le preguntas al profesor después de clase

Esperas entenderlo en la próxima clase.

Le preguntas a tus compañeros

Le preguntas a personas fuera del colegio

Revisas libros de texto o de consulta

No le preguntas a nadie

56

4.2. VERIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS

Según la hipótesis acerca de “La falta del uso de software educativo para

graficar ecuaciones incide en la enseñanza de la matemática” se ha

verificado:

Según el análisis realizado se ve que la mayoría de los estudiantes son

ágiles en el uso del computador pero no han manejado ningún tipo de

programa diferente a los utilitarios que son Word, Excel, PowerPoint, etc. por

lo que los estudiantes, padres de familias y maestros consideran que las

clases de la asignatura de matemáticas sean impartidas utilizando algún

programa matemático para su fácil entendimiento y asimilación.

Verificamos que el aprovechamiento académico en la asignatura de

matemáticas es bajo en la mayoría de los estudiantes por el descuido y

desinterés de la materia, sobre todo en el tema de ecuaciones y

trigonometría por que se les dificulta mucho la resolución de problemas de

esta índole; y, se complican mucho en el desarrollo del problema.

Comprobamos que los estudiantes, padres de familia y maestros están

dispuestos a aprender a manejar el programa utilitario en horas extra clase

para no interrumpir las clases normales, para ayudar a los estudiantes a una

mejor asimilación de los contenidos impartidos; y, para incrementar el

rendimiento académico de cada estudiante.

57

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES

Como arrojan los resultados de la investigación indican que hay un sin

número de estudiantes con bajo rendimiento en la asignatura de

Matemáticas porque se les hace complicado entender la forma de resolución

de los ejercicios ya que nuestra población está basada en jóvenes

estudiantes que después de una larga jornada de trabajo tienen que asistir a

clases para por lo que no tienen los recursos necesarios para sus estudios y

necesitan el dinero para su preparación.

Según las encuestas realizadas a los maestros muestra el alto índice de

estudiantes con bajo rendimiento, las causas que indican son por la falta de

dedicación a la materia y problemas de aprendizaje haciéndose dificultoso

para los estudiantes entender la factorización y las ecuaciones que son los

temas más relevantes en matemáticas según el nivel en el que se

encuentran.

Según las encuestas realizadas a los padres de familia indican que la

mayoría del tiempo los estudiantes pasan en el computador con internet y

manejan office, que las matemáticas se les dificulta entender por el hecho de

que no tienen tiempo algunos estudiantes para repasar los ejercicios ni

realizar las tareas específicas.

Según las encuestas realizadas a los estudiantes muestran que la mayoría

de las veces no entienden la materia o es difícil el tema que se imparte sobre

todo en los temas referentes a ecuaciones, también se visualiza que un gran

porcentaje no han manejado ningún tipo de programa en la asignatura de

matemáticas, que cuando se está en clase solamente entienden algunos

58

temas los más fáciles; y, que en los temas más complejos piden ayuda a los

compañeros que hayan entendido para que les expliquen nuevamente.

5.2. RECOMENDACIONES

Implementar el software más adecuado y realizar la capacitación del mismo,

para que los estudiantes puedan entender y asimilar rápidamente de una

forma correcta los temas matemáticos impartidos en una manera dinámica

para agilizar su aprendizaje, ya que la mayoría de los estudiantes no

cuentan con tiempo suficiente porque trabajan, algunos incluso son padres

de familia.

Buscar la ayuda de la tecnología para que junto con la mejor metodología

incrementar el interés de los estudiantes en la asignatura de matemáticas; y,

unida a la técnica más adecuada haga que el estudiante pueda captar

fácilmente los temas referentes a la factorización y resolución de

ecuaciones, que son los temas en los que tienen mayor dificultad.

Los padres de familia deben controlar la forma de uso del internet dentro de

su casa y poner mayor interés en la educación de sus hijos (as) reforzando

los contenidos impartidos en clase, por lo tanto deben aprender el manejo

del programa utilitario para que pueda ayudar a su representado en las

tareas enviadas a casa.

Los estudiantes deben utilizar la tecnología para que puedan aprender de

una manera dinámica la clase de matemáticas impartida por el maestro, con

ayuda de esto se hace más sencillo la asimilación de los temas que reciben

en la clase; y, se les facilita resolver problemas de una manera eficaz y

eficiente.

59

CAPÍTULO VI

LA PROPUESTA

6.1. TEMA DE LA PROPUESTA

Gráfico de ecuaciones mediante la Utilización del Programa Graph 4.3

6.2. OBJETIVOS

6.2.1. OBJETIVO GENERAL:

Emplear en la institución Educativa el uso de materiales didácticos basados

en T.I.C. para la enseñanza de las ecuaciones matemáticas.

6.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Aplicarla TIC en la Institución Educativa para cada asignatura.

Disminuir el porcentaje de estudiantes con bajo rendimiento.

Utilizar el programa Graph 4.3. para el grafico de las ecuaciones

en el aula de clase.

Reducir la dificultad de los temas tratados referente a las

ecuaciones matemáticas.

6.3. POBLACIÓN OBJETO

Este proyecto beneficia a los estudiantes que tienen un bajo rendimiento

académico y a los docentes, ya que impartirán la asignatura de una manera

más fácil y rápida.

60

6.4. LOCALIZACIÓN

La propuesta se va a efectuar en el Colegio Técnico “Miguel Malo González”

Gualaceo – Ecuador.

6.5. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS

- Instalación del programa Graph 4.3.

- Desinstalación del programa Graph 4.3.

- Iniciar el programa

- Configuración de los Ejes dentro del programa

- Lista de funciones que utiliza el software

- Ejemplo de gráfica de funciones lineales.

- Ejemplo de gráfica de funciones cuadráticas.

- Ejemplo de gráfica de funciones de tercer grado.

- Ejemplo de gráfica de funciones trigonométricas.

- Ejemplo de gráfica de funciones Exponenciales

- Plan de clase utilizando el Graph 4.3.

- Gráfico realizado en el programa Graph 4.3.

- Hojas de calificaciones

6.6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA

Graph es un excelente programa sencillo, rápido y fácil de utilizar para

realizar gráficos de ecuaciones y de cualquier función, éste software es

utilizado por estudiantes secundarios y universitario.

“Graph es un programa diseñado para representar gráficamente funciones

matemáticas en un sistema de coordenadas. Es un programa afín a

Windows, con menús y cuadros de diálogo, y capaz de dibujar funciones

explícitas, paramétricas y polares, e igualmente, tangentes, rellenos, series

de puntos, ecuaciones e inecuaciones. Asimismo, permite evaluar una

61

gráfica en un punto dado u obtener una tabla de valores respecto a la

función seleccionada, y mucho más. Graph es un software libre; puede

distribuirlo y/o modificarlo bajo los términos de GNU General Public License,

compatible para Microsoft Windows 2000, Windows XP, Windows Vista, y

Windows 7, pero todavía puede contener errores”. (www.padowan.dk)3

6.6.1. INSTALACIÓN

Graph se distribuye normalmente como un programa de instalación llamado

SetupGraph-x.y.exe (3.0 MB), en donde x e y es el número de la versión.

Para instalar se debe seguir los siguientes pasos:

1. Ingresar a la dirección http://padowan.dk/graph/ y de ahí clic en la

opción download.

Fig. 6.1. Pantalla de la página web de Graph

Fuente: Página web http://padowan.dk/graph/


2. Se selecciona la versión completa que es SetupGraph-4.3.exe (3.0

MB).

3Johansen, I. (Agosto de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://www.padowan.dk/bin/Graph-Spanish.pdf

http://padowan.dk/graph/

http://padowan.dk/graph/

62

Fig. 6.2.Pantalla de la página web para descargar el archivo de Graph 4.3.

Fuente: Página web http://padowan.dk/graph/Download.php


3. Aparece la ventana para descargar el archivo. Seleccionar Guardar

archivo y el archivo se va a descargar, es seguro, por lo que se puede

bajar con toda confianza.

Fig. 6.3. Pantallas al momento de guardar el archivo de instalación

Fuente: SetupGraph-4.3.exe


4. Se va al archivo de instalación y hacer doble clic para iniciar el

proceso.

http://padowan.dk/graph/Download.php

63

5. Aparece una ventana en la cual se debe seleccionar el idioma con la

que se desea utilizar durante la instalación.

Fig. 6.4.Pantalla para seleccionar el idioma del programa



6. Aparece una ventana de bienvenida, se hace clic en siguiente.

Fig. 6.5.Pantalla de bienvenida antes de la instalación



7. Aparece ahora el acuerdo de licencia, se hace clic en acepto el

acuerdo de licencia y clic en siguiente.

64

Fig. 6.6.Pantalla de bienvenida antes de la instalación



8. Seleccionar el directorio donde se grabará el programa; el software

sugiere instalarlo en la carpeta C:\Program Files\Graph, por lo general

esta opción no se modifica y clic en siguiente.

Fig. 6.7.Pantalla para seleccionar la carpeta



65

9. Seleccione las opciones adicionales de instalación que requiera y clic

en siguiente

Fig. 6.8. Pantalla para seleccionar las opciones adicionales de instalación



10. Aparece las opciones detalladas del asistente, se puede modificar si

no se está de acuerdo con una de ellas y clic en instalar para

empezar la instalacion.

Fig. 6.9. Pantalla durante el proceso de instalación



66

11. Luego se espera mientras se está ejecutando la instalación.

Fig. 6.10. Pantalla durante el proceso de instalación



12. Cuando termina la instalación aparece la siguiente ventana, en la cual

se puede ejecutar el programa haciendo clic en “Ejecutar Graph” para

activar el cuadro de verificación y clic en Finalizar.

Fig. 6.11. Pantalla que se presenta al finalizar la instalación



67

6.6.2. DESINSTALACIÓN

“La desinstalación puede realizarse de dos formas:

1) Desde el Panel de control con la herramienta Agregar o quitar

programas en Windows XP, o con Programas en Windows Vista y

en Windows 7.

2) Desde el archivo de desinstalación incluido en Inicio> Todos los

programas> Graph.

El proceso desinstalará completamente el programa, pero asegúrate

previamente de que Graph no está en ejecución.”(www.padowan.dk)4

6.6.3. INICIAR EL PROGRAMA

Se puede abrir el programa haciendo clic en el acceso directo creado por

defecto o voy a inicio, clic en todos los programa y clic en Graph.

“Observa que puedes introducir un archivo .grf (archivo de Graph) como un

parámetro, en cuyo caso Graph abrirá el archivo

especificado.”(www.padowan.dk)5

6.6.4. CONFIGURACION DE LOS EJES

El uso de este programa es muy sencillo pero se puede aprovechar mucho

mejor nuestro tiempo de trabajo si se configura los ejes al principio.


http://www.padowan.dk/bin/Graph-Spanish.pdf 5Johansen, I. (Agosto de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de


68

Esto permitirá evitar tener que realizar siempre los mismos cambios cada

vez que se desee trabajar con el programa.

Se inicia el programa. La primera pantalla que se ve es la que se tiene en el

siguiente gráfico:

Fig. 6.12. Ventana para configurar los ejes de la ventana del Graph

Fuente: Graph 4.3.


Lo primero que se debe hacer es configurar los ejes. Como solamente

interesan las representaciones en las que x>0 e y>0 se hace lo siguiente:

Clic en (A) para editar las configuraciones de los ejes. Aparecerá entonces el

gráfico siguiente:

Fig. 6.13. Ventana para editar los ejes del Graph

Fuente: Graph 4.3.


69

Tiene 4 pestañas: Eje X, Eje Y, Configuración, Colores y Fuentes.

En la pestaña del Eje X se pone el valor mínimo en cero; se hace lo mismo

en la pestaña del Eje Y. De esta forma se restringe nuestra zona de

representación a los valores positivos de x e y.

En las pestañas de Eje X y Eje Y se cambia también los valores máximos a,

por ejemplo, 100. Esto permitirá poder ver la representación. En cualquier

caso, según la función que se vaya a representar, se tendrá habitualmente

que cambiar estos valores máximos.

En las pestañas de Eje X y Eje Y tienen la opción Ver cuadrícula. Puede

resultar útil activarla si se está interesado en tener una referencia de los

puntos por los que pasa la representación. Cada usuario puede decidir

según sus preferencias y siempre podrá cambiarlo en el momento que

desee.

En la pestaña Configuración se marca Semiejes en el Estilo de los ejes. De

esta forma solamente se tendrá en pantalla el cuadrante en el que se

representan los valores de x e y positivos, como muestra en el siguiente

gráfico.

Fig. 6.14. Ventana para modificar los ejes del plano cartesiano

Fuente: Graph 4.3.


70

En la pestaña Colores y Fuentes, se elije el color negro para los ejes. Así se

deja el resto de colores para las representaciones.

Por último se hace clic en Aceptar para guardar todos los cambios que se ha

elaborado. Quedará una pantalla de la siguiente manera:

Fig. 6.15. Ventana después de las modificaciones realizadas en los ejes

Fuente: Graph 4.3.


A continuación se elije Archivo>Salir. Aparecerá la pantalla que muestra en

la figura 6.16. Se elije Sí. En la siguiente pantalla se crea una carpeta para

los archivos de Graph y se le pone un nombre al archivo actual (por ejemplo,

Cuadrante 1).

Fig. 6.16. Ventana para guardar los cambios en Graph

Fuente: Graph 4.3.


71

Se vuelve a abrir Graph. Aparece de nuevo la pantalla que se ve al principio,

pero ahora se sabe que se tiene una configuración de los ejes guardada

(Cuadrante 1).

A continuación se hace clic en Abrir un sistema de coordenadas ya guardado

(botón B de la siguiente figura).

Fig. 6.17. Ventana cuando ingreso al programa

Fuente: Graph 4.3.


Se hace Clic en nuestro sistema Cuadrante 1 y ya se tiene todo listo para

dibujar.

De esta forma se ahorra tener que definir las características de los ejes cada

vez que se quiera dibujar y, lo más importante, se dará un aspecto

homogéneo a todas las representaciones.(http://webpages.ull.es)6

6.6.5. LISTA DE FUNCIONES

El listado que aparece a continuación recoge todas las variables, constantes,

operaciones y funciones que reconoce el programa.

6Casas, A. L. (Octubre de 2007). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://webpages.ull.es/users/alorente/software/graph_4_3/graph_guia.pdf

72

La relación de operaciones está ordenada por la prioridad a la hora de

realizarlas, de más importante a menos. Para cambiar el orden en que se

efectúan se pueden utilizar paréntesis, entendiendo como tales paréntesis (

), llaves { } y corchetes [ ].

El programa no distingue entre mayúsculas y minúsculas. La única

excepción a esto es la diferencia entre la constante de Euler (e) y el número

E utilizado en notación científica (ejemplo 2,6 E +34 = 2,6 x 10^34).

Variable /

Constante Descripción

X la variable usada en funciones normales.

T la variable usada en funciones en forma paramétrica o polar.

E constante e de Euler. El valor en este programa es e =

2,718281828459045235360287

Pi la constante π, El valor en este programa es pi =

3,141592653589793238462643

undef Devuelve siempre un error. Se utiliza para indicar una parte no

definida en la función.

I La unidad imaginaria. Se define como i^2 = -1. Sólo es útil al

trabajar con números complejos.

Rand Genera un número aleatorio entre 0 y 1.

Operaciones Descripción

Potencia (^) Eleva a la potencia indicada en el exponente.

Opuesto (-) El valor negativo de un número. Ejemplo: =-x de f (x)

Lógico NO (no) Verifica si un término es falso.

Multiplicación (*) Multiplica dos términos. Ejemplo: f (x) = 2*x

División (/) Divide dos términos. Ejemplo: f (x) = 2/x

Suma (+) Suma dos términos. Ejemplo: f (x) = 2+x

Resta (-) Resta dos términos. Ejemplo f (x) = 2-x

73

Operaciones Descripción

Mayor que (>) Indica que una expresión es mayor que otra.

Mayor o igual (>=) Indica que una expresión es mayor o igual que otra.

Menor que (<) Indica que una expresión es menor que otra.

Menor o igual (<=) Indica que una expresión es menor o igual que otra.

Igual (=) Indica que dos expresiones tienen el mismo valor.

No igual (<>) Indica que dos expresiones no tienen el mismo valor.

Lógico Y (y) Indica que ninguna de las dos expresiones son falsas.

Lógico O (o) Indica que al menos una de las dos expresiones no es falsa.

XOR lógico (xor) Indica que sólo una de las dos expresiones no es falsa.

Funciones Descripción

Trigonométricas

sin Calcula el seno de un valor, el cual puede estar expresado en grados o

radianes.

cos Calcula el coseno de un valor, el cual puede estar expresado en grados

o radianes.

tan Calcula la tangente de un valor, el cual puede estar expresado en

grados o radianes.

asin Calcula la inversa (en el sentido de función) del seno de un valor. El

resultado puede estar expresado en grados o radianes.

acos Calcula la inversa (en el sentido de función) del coseno de un valor. El

resultado puede estar expresado en grados o radianes.

atan Calcula la inversa (en el sentido de función) de la tangente de un valor.

El resultado puede estar expresado en grados o radianes.

csc Calcula la cosecante de un valor, el cual puede estar expresado en

grados o radianes.

sec Calcula la secante de un valor, el cual puede estar expresado en

grados o radianes.

cot Calcula la cotangente de un valor, el cual puede estar expresado en

grados o radianes.

74

acsc Calcula la inversa (en el sentido de función) de la cosecante de un

valor. El resultado puede estar expresado en grados o radianes.

asec Calcula la inversa (en el sentido de función) de la secante de un valor.

El resultado puede estar expresado en grados o radianes.

acot Calcula la inversa (en el sentido de función) de la cotangente de un

valor. El resultado puede estar expresado en grados o radianes.

Hiperbólicas

sinh Calcula el seno hiperbólico de un valor.

cosh Calcula el coseno hiperbólico de un valor.

tanh Calcula la tangente hiperbólica de un valor.

asinh Calcula la inversa (en el sentido de función) del seno hiperbólico de un

valor.

acosh Calcula la inversa (en el sentido de función) del coseno hiperbólico de

un valor.

atanh Calcula la inversa (en el sentido de función) de la tangente hiperbólica

de un valor.

csch Calcula la cosecante hiperbólica de un valor.

sech Calcula la secante hiperbólica de un valor.

coth Calcula la cotangente hiperbólica de un valor.

acsch Calcula la inversa (en el sentido de función) de la cosecante hiperbólica

de un valor.

asech Calcula la inversa (en el sentido de función) de la secante hiperbólica

de un valor.

acoth Calcula la inversa (en el sentido de función) de la cotangente

hiperbólica de un valor.

Potencias y logaritmos

sqr Calcula el cuadrado de un valor, elevar a exponente 2.

exp Calcula e elevado a el valor indicado.

sqrt Calcula la raíz cuadrada de un valor.

root Calcula la raíz n-ésima de un valor.

ln Calcula el logaritmo neperiano de un valor.

log Calcula el logaritmo en base 10 de un valor.

75

logb Calcula el logaritmo en base n de un valor.

Útiles para números complejos

abs Calcula el valor absoluto de un número complejo.

arg Calcula el ángulo (argumento) de un número complejo. Se puede

expresar en grados o radianes.

conj Calcula el conjugado de un número complejo.

re Calcula la parte real de un número complejo.

im Calcula la parte imaginaria de un número complejo.

Redondeo y truncamiento

trunc Calcula la parte entera de un número.

fract Calcula la parte decimal de un número.

ceil Redondea un valor al número entero superior más cercano.

floor Redondea un valor al número entero inferior más cercano.

round Redondea la primera parte (un número) a tantos decimales como se

indiquen en la segunda parte de la función.

¿Piecewise?

sign Calcula el signo de un valor: 1 si el valor es mayor que 0, y -1 si es

menor que 0.

u : devuelve un 1 si el valor es mayor o igual que 0, y 0 en cualquier otro

caso.

min Muestra el menor de los valores indicados.

max Muestra el mayor de los valores indicados.

range Muestra el segundo valor si está entre el primer y tercer valor indicado.

if Muestra el segundo valor si el primero es falso; en otro caso muestra el

tercer valor.

ifseq Funciona igual que una lista de funciones if.

Funciones especiales

integrate Calcula la integral numérica de la primera expresión entre la segunda y

tercera expresión.

sum Calcula la suma de los valores de toma la primera expresión en todos

los números enteros comprendidos entre la segunda y tercera

expresión.

76

fact Calcula el factorial de un valor.

gamma Calcula el valor de la función gamma de Euler para el número indicado.

B Calcula el valor de la función beta para el número indicado.

W Calcula el valor de la función W de Lambert para el número indicado.

zeta Calcula el valor de la función zeta de Riemann para el número

indicado.

mod Calcula el resto de dividir el primer valor entre el segundo indicado.

Dnorm Calcula la probabilidad de una distribución normal para una variable

con media y desviación estándar.

Simplificaciones importantes:

sin (x) ^2 = (sin (x))^2

sin 2x = sin (2x)

sin 2 + x = sin (2) + x

sin x^2 = sin (x^2)

2 (x+3) * x = 2* (x+3) * x

- x^2 = - (x^2)

2x = 2*x (www.padowan.dk)7

6.6.6. GRÁFICA DE FUNCIONES LINEALES

Se abre el programa, se elije el sistema de coordenadas y ya se está listo

para representar nuestra primera función.

Para introducir la función se hace clic en el botón (C) Introducir una función

(figura 6.18.); también se puede abrir el cuadro de diálogo pulsando Ins en el

teclado.



77

Se Debe tener en cuenta que en este cuadrante se introduce funciones que

están expresadas como y = f (x), por lo que se debe acondicionar la función

a dicha expresión.

Fig. 6.18.Ventana cuando ingreso al programa

Fuente: Graph 4.3.


Se quiere introducir la función . En el cuadro de diálogo se

introduce la expresión de f(x) como se ve en la figura 6.19. Para indicar la

operación multiplicación se usa el símbolo (*) y para la operación división se

usa el símbolo (/).

Fig. 6.19. Ventana para insertar una función

Fuente: Graph 4.3.


78

Se tiene presente que las expresiones con decimales se las puede introducir

de dos formas:

a) utilizando el punto para separar la parte entera de la decimal (por

ejemplo, 0.5).

b) poniendo entre paréntesis la fracción (por ejemplo, (1/2)).

Cuando el divisor es 2, 5 o múltiplo de éstos da lo mismo una forma u otra,

pero cuando el divisor es otro número se tiene un problema (por ejemplo,

1/3) ya que se tiene una parte periódica.

En estos casos es mejor poner entre paréntesis la fracción.

Clic en Aceptar y el resultado será como se ve en el siguiente gráfico:

Fig. 6.20.Resultado de la función .

Fuente: Graph 4.3.


79

Si se quiere realizar otra función en la misma gráfica, solamente se le agrega

la función directamente, si se implementa las funciones ,

, , . Como se ve en el gráfico:

Fig. 6.21. Ventana con los gráficos de las funciones lineales.

Fuente: Graph 4.3.


El programa permite sombrear partes de la función. Por ejemplo, se va a

sombrear todas las funciones que se grafica anteriormente, para lo cual se

pulsa el botón Rellena el área seleccionada con un color uniforme o trama.

También se podría hacer en la barra de menús Función/Insertar Relleno.

Aparecerá la siguiente ventana:

Fig. 6.22. Ventana para insertar relleno en una función

Fuente: Graph 4.3.


80

Como lo que se desea rellenar la zona entre la función y el eje X, no se tiene

que modificar lo que aparece por defecto en la pestaña Relleno.

Para indicar que sólo se quiere la zona comprendida entre -3 y 3, en la

siguiente pestaña Opciones de Graph se rellenará las casillas

correspondientes al intervalo deseado.

El área se rellenará con líneas oblicuas, marcándose con una línea tanto el

comienzo como el final de la misma.

Tras pulsar en el botón Aceptar, la gráfica quedará igual a la que se muestra

en la siguiente imagen. Los rellenos aparecen reflejados en la columna de la

izquierda y en la leyenda de la gráfica.

Si se equivoca en algo, se puede rectificar señalando en la columna de la

izquierda Relleno y pulsar el botón derecho del ratón. Aparecerá el menú

contextual y se elegirá la última opción Editar.

Fig. 6.23. Ventana que me muestra el relleno de las funciones

Fuente: Graph 4.3.


Ya que se tiene sombreada a las funciones graficadas se calcula el área

encerrada en ella. Se puede observar que es un rectángulo. El área de esta

figura geométrica (un rectángulo) se calcula multiplicado la base por la

altura.

81

Utilizando el programa también se puede calcular dicha área. Se puede

elegir en la barra de herramientas el botón Calcula el segmento comprendido

entre el segmento de una gráfica y el eje X, o utilizar el menú Calcular/Área.

Teniendo seleccionada la función, en la parte inferior izquierda de la ventana

principal aparecerá un nuevo recuadro.(http://recursostic.educacion.es)8

Fig. 6.24. Ventana que me muestra el área de la primera función

Fuente: Graph 4.3.


6.6.7. GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Toda función de segundo grado con polinomio es de la forma

, donde son números reales, estos tres números son

llamados coeficientes de la ecuación, contiene una variable dependiente.

Considerando que si alguno de ellos vale cero, es nulo, se puede tener los

siguientes casos:

, es decir son nulos. Por tanto , .

, es decir es nulo. Por tanto , .

8Commons, C. (Enero de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://recursostic.educacion.es/observatorio/web/eu/software/software-educativo/588-sergio-gonzalez-moreau

82

, ningún coeficiente es nulo. Por tanto

, .

, es decir es nulo. Por tanto , .

Para poder elevar a una potencia, , en nuestro programa de debe utilizar

el símbolo de circunflejo ( ^ ), escribiéndolo de la siguiente manera x^2,

como me indica en el siguiente gráfico:

Fig. 6.25. Ventana que me muestra como elevar a una potencia

Fuente: Graph 4.3.


A continuación se explicará la forma de graficar para cada caso

mencionados anteriormente.

Caso :

Haciendo que ,la función tendrá la siguiente forma: , ,

luego la ecuación asociada será .

Primero se crea un nuevo archivo y al igual que se hizo en ejercicios

anteriores para crear esta función, se pulsa en el botón Insertar una nueva

función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la

83

ecuación (tal y como se ha visto anteriormente). Tras pulsar en OK la gráfica

será así:

Fig. 6.26. Gráfica de la función

Fuente: Graph 4.3.


Se observa por la gráfica que esta función siempre toma valores positivos (y

a mayor número, mayor valor de la función) ya que se queda en la zona

superior (la positiva) del eje Y. Además siguiendo el trazado de la gráfica, se

ve que va descendiendo el valor de la función conforme se acerca al eje Y

por el lado izquierdo, y que luego en cuanto se aleja por la derecha (se toma

grandes valores positivos) la función aumenta considerablemente. Ese

cambio de sentido en la gráfica hace que exista un lugar (un punto) en el que

la función valga menos que en cualquier otra parte. En dicho punto la función

alcanza lo que se dice su mínimo absoluto.

El valor (el punto) que se desea calcular, y se debe fijar en la gráfica,

coincide con la intersección del trazado de la función y los ejes de

coordenadas. Para poder averiguar los máximos y mínimos de una función

se selecciona de la barra de herramientas el botón Evaluar la función

seleccionada y se elije del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo, en

este caso aparece el punto (0, 0) como el lugar en que la función toma su

mínimo.

84

Fig. 6.27. Ventana que me muestra el mínimo de la función

Fuente: Graph 4.3.


Caso :

Se considera que y , por lo que la función tendrá la forma:

, , luego la ecuación asociada será: .

Se creará un nuevo archivo y se pulsa en el botón Insertar una nueva

función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la

ecuación. Tras pulsar en OK la gráfica será así:

Fig. 6.28. Gráfico de la función

Fuente: Graph 4.3.


85

Se observa que es similar a la gráfica anterior, decrece conforme se acerca

al eje Y y aumenta según se aleja de él. Como diferencias destacables se ve

que corta al eje Y en sólo un punto, al eje X en dos y su mínimo es un punto

que no coincide con ninguno de ellos. Se calcula las coordenadas de todos

estos puntos.

Teniendo seleccionado de la barra de herramientas el botón Evaluar la

función seleccionada, se elije del recuadro inferior izquierdo la opción

Extremo. Aparece el punto (-0,83 , -2,08) como el lugar en que la función

toma su mínimo, como me muestra en el gráfico.

Fig. 6.29. Gráfico que me muestra el mínimo de la función

Fuente: Graph 4.3.


Con respecto al punto de corte con el eje Y bastará con que se elija del

recuadro inferior izquierdo la opción Función y se escribe 0 en la primera

casilla del recuadro inferior. Se obtiene que. Luego el punto de corte con el

eje Y tiene de coordenadas (0 , 0).

Por último se ve los puntos de corte con el eje X, o lo que es lo mismo las

soluciones de la ecuación.

Se elije esta vez la opción Eje-x de la casilla inferior. Se pulsa una vez a la

izquierda del eje Y y se obtiene el punto (-1.67, 0). Si se pulsa a la derecha

del eje Y sale como resultado el punto (0, 0).

86

Fig. 6.30. Gráfico que me muestra el corte del eje X

Fuente: Graph 4.3.


Mirando la gráfica se puede observar que hay una región delimitada por el

eje X y la función y que está entre los números -1.67 y 0 (las intersecciones

entre la función y el eje X).

Se marca la función de la columna de la izquierda y se pulsa en el botón

Calcular el área debajo de un segmento de una curva (séptimo por la

derecha de la barra de herramientas). Aparece en la parte inferior izquierda

un recuadro, en cuya casilla Desde se escribe -1.67 y en la de Hasta se

pondrá 0. Según el programa su área sería de -2.3148 unidades cuadradas.

Como se sabe que todas las áreas son positivas, el valor correcto es 2.3148

unidades cuadradas, como se observa en la gráfica.

Fig. 6.31. Gráfico que me muestra la región delimitada

Fuente: Graph 4.3.


87

Caso :

Nuestra función de segundo grado será la siguiente, ,

. La ecuación asociada , tiene por coeficientes

, y .

Para insertar la función se pulsa el botón Insertar ecuación y se rellena la

casilla Ecuación de la función con la ecuación. Tras pulsar en OK saldrá la

siguiente gráfica.

Fig. 6.32.Gráfico de la función

Fuente: Graph 4.3.


Se puede observar en la gráfica que esta función siempre toma valores

positivos (y a mayor número, mayor valor de la función) salvo para una

pequeña parte que se encuentra en la zona negativa del eje Y. Esta zona

está comprendida entre los puntos en que la gráfica corta al eje X. Se

averigua dichas intersecciones utilizando la herramienta que ya se ha visto

en ejemplos anteriores.

Se selecciona de la barra de herramientas el botón Evaluar la función

seleccionada y se elije del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Con

respecto al eje Y hay un punto a cada lado, si se pulsa en la parte izquierda

aparecerá el valor --8 y si se va al lado derecho dará como valor -3. Es decir,

los puntos de corte con el eje X son (-8 , 0) y (-3 , 0).

88

Fig. 6.33. Gráfico del corte de la función en el eje X

Fuente: Graph 4.3.


Los puntos de corte (que son números reales) de la función con el eje X son

las soluciones a la ecuación de segundo grado. Como consecuencia, si una

función no corta al eje X su ecuación no puede tener soluciones.

Para calcular el mínimo absoluto de la función, se ve que cerca del eje Y la

gráfica pasa de decrecer a crecer. Existe un número real cuyo valor en la

función es el menor de todos los posibles. El programa permite calcular las

coordenadas de dicho punto.



Extremo. Se pulsa en cualquier parte de la gráfica y se obtiene el punto (-

5.5, -6,25). El número real -5,5 es el que toma el mínimo valor en esta

función, -6,25.

Al igual que en casos anteriores se calcula el área de alguna región del

plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre los puntos de

corte con el eje X.

Se selecciona de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo

de un segmento de una curva. Como los cortes con el eje X son en -8 y -3,

89

éstos serán los valores con los que se rellenará las casillas del recuadro

inferior izquierdo. El resultado que aparece es -20,83 unidades cuadradas y

como ya se sabe de antes, el valor correcto es 20.83 unidades cuadradas,

como se muestra en la gráfica.

Fig. 6.34. Gráfico del área delimitada de la función

Fuente: Graph 4.3.


Caso :

Se considera la siguiente función , . La función

asociada es , y , la gráfica de esta ecuación sería la

siguiente:


Fuente: Graph 4.3.


90

Se calcula el punto de corte eje X de la zona, teniendo marcada en la zona

izquierda de la ventana la función, se selecciona de la barra de herramientas

el botón Evaluar la función seleccionada y se elije del recuadro inferior

izquierdo la opción Eje-x. Con respecto al eje Y hay un punto a cada lado, si

se pulsa en la parte izquierda aparecerá el valor -1.53 y sise va al lado

derecho dará como valor 1.53. Es decir, los puntos de corte son (-1.53 , 0) y

(1.53 , 0), como se muestra en la siguiente gráfica.

Fig. 6.36.Gráfico de los cortes de la función en el eje X

Fuente: Graph 4.3.


Se va a calcular el área entre los puntos de los cortes, para eso, se

selecciona de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de

un segmento de una curva. Como los cortes con el eje X son en -1.53 y 1.53,

éstos serán los valores con los que se rellenará las casillas del recuadro

inferior izquierdo. El resultado que aparece es -14.2568 unidades cuadradas,

que muestra en la siguiente gráfica.(http://recursostic.educacion.es)9

9Commons, C. (Enero de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de


91

Fig. 6.37. Gráfico del área de la función delimitada

Fuente: Graph 4.3.


6.6.8. GRÁFICA DE FUNCIONES DE TERCER GRADO

Se denomina función cúbica a la que está formada por la expresión:

donde (distinto de cero), , ; y, son números

reales.

Caso :

Nuestra función de segundo grado será la siguiente,

, . La ecuación asociada , tiene por

coeficientes , , y .



siguiente gráfica.

92


Fuente: Graph 4.3.


Se puede observar en la gráfica que esta función toma valores positivos y

negativos. Esta zona está comprendida entre los puntos en que la gráfica

corta al eje X. Se averigua dichas intersecciones utilizando la herramienta

que ya se ha visto en ejemplos anteriores.




aparecerá el valor –1.42, sise ubica en el centro aparecerá el punto -0.24 y

sise va al lado derecho dará como valor 1.24. Es decir, los puntos de corte

con el eje X son (-1.42, 0), (-0.24, 0) y (1.24, 0).


Fuente: Graph 4.3.


93


las soluciones a la ecuación de tercer grado. Como consecuencia, si una


Para calcular el mínimo absoluto de la función, se ve que en el eje Y la

gráfica pasa de crecer a decrecer. Existe un número real cuyo valor en la


coordenadas de dicho punto.



Extremo. Se pulsa en cualquier parte de la gráfica y se obtiene el punto

(0.62, -7.62). El número real 0.62 es el que toma el mínimo valor en esta

función, -7.62. Al igual que en casos anteriores se calcula el área de alguna

región del plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre los

puntos de extremos del corte con el eje X.

Se selecciona de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo

de un segmento de una curva. Como los cortes con el eje X son en -1.42 y

1.24, éstos serán los valores con los que se rellenará las casillas del

recuadro inferior izquierdo. El resultado que aparece es -3.32 unidades

cuadradas y como ya se sabe de antes, el valor correcto es 3.32 unidades

cuadradas, como se muestra en la gráfica.


Fuente: Graph 4.3.


94

Caso :

Nuestra función de segundo grado será la siguiente, –

, . La ecuación asociada – , tiene por

coeficientes , y .



siguiente gráfica.

Fig. 6.41. Gráfico de la función –

Fuente: Graph 4.3.


Se puede observar en la gráfica que esta función toma valores positivos y

negativos. Esta zona está comprendida entre los puntos en que la gráfica

corta al eje X. Se averigua dichas intersecciones utilizando la herramienta

que ya se ha visto en ejemplos anteriores.




aparecerá el valor –1.85, si se ubica en el centro aparecerá el punto 0 y si se

va al lado derecho dará como valor 4.85. Es decir, los puntos de corte con el

eje X son (-1.85, 0), (0, 0) y (4.85, 0).

95


Fuente: Graph 4.3.



las soluciones a la ecuación de tercer grado. Como consecuencia, si una



gráfica pasa de decrecer a crecer. Existe un número real cuyo valor en la


coordenadas de dicho punto. Teniendo seleccionado de la barra de

herramientas el botón Evaluar la función seleccionada, se elije del recuadro

inferior izquierdo la opción Extremo. Se pulsa en cualquier parte de la gráfica

y se obtiene el punto (-1, -5). El número real -1 es el que toma el mínimo

valor en esta función, -5.


plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre los puntos de

extremos del corte con el eje X. Se selecciona de la barra de herramientas el

botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Como los

cortes con el eje X son en -1.85 y 4.85, éstos serán los valores con los que

se rellenará las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado que

96

aparece es 75.47 unidades cuadradas y como ya se sabe de antes, el valor

correcto es 75.47 unidades cuadradas, como se muestra en la gráfica.


Fuente: Graph 4.3.


Para los demás casos se trabaja de la misma manera, solamente se coloca

los datos de la función a graficar. (http://recursostic.educacion.es)10

6.6.9. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el

triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las

longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los

ángulos del triángulo. Las funciones trigonométricas pueden ser: seno,

coseno, tangente, contangente, secante y cosecante.

Para cualquiera de estos tipos de funciones se procede a graficar de la

siguiente manera:

Nuestra función a graficar será la siguiente: , .

La ecuación asociada .

10

Commons, C. (Enero de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de


97



siguiente gráfica.

Fig. 6.44. Gráfico de la función trigonométrica

Fuente: Graph 4.3.


Se puede observar en la gráfica que esta función toma valores periódicos.

Esta zona está comprendida entre los puntos en que la gráfica corta al eje X.

Se averigua dichas intersecciones utilizando la herramienta que ya se ha

visto en ejemplos anteriores.



respecto al eje hay varios puntos que corta al eje X, inicia con el valor 8.90 a

lado derecho y restando periódicamente 3.14 se puede saber los puntos en

los que corta la gráfica, los siguientes puntos en donde corta sería 5.76,

2.62, -0.52….. así sucesivamente. Como se muestra en la gráfica.

98


Fuente: Graph 4.3.



las soluciones a la ecuación trigonométrica. Como consecuencia, si una



gráfica siempre está constante. Existe un número real cuyo valor en la


coordenadas de dicho punto. Teniendo seleccionado de la barra de

herramientas el botón Evaluar la función seleccionada, se elije del recuadro

inferior izquierdo la opción Extremo. Se pulsa en cualquier parte de la gráfica

y se obtiene varios puntos como límite inferior, la variable constante es el eje

y que siempre será -1.


plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre dos puntos que

corten el eje X. Se selecciona de la barra de herramientas el botón Calcular

el área debajo de un segmento de una curva. Como alguno de los cortes con

el eje X son en -3.67 y 2.62, éstos serán los valores con los que se rellenará

las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado que aparece es -

9.5489E-6 unidades cuadradas y como ya se sabe, el valor correcto es

9.5489E-6 unidades cuadradas, como se muestra en la gráfica.

99


Fuente: Graph 4.3.


Para los demás casos de funciones trigonométricas se trabaja de la misma

manera, solamente se coloca los datos de la función a graficar.

(http://recursostic.educacion.es)11

6.6.10. GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y

exponente x.

Como para todo , la función exponencial es una función de

en .

Leyes de los Exponentes:

1.

2.

11

Commons, C. (Enero de 2009). Recuperado el Dciciembre de 2011, de

recursostic.educacion.es/observatorio/web/eu/software/software-educativo/598-sergio-gonzalez-moreau

100

3.

4.

5. .

6.

Para poder realizar el gráfico de las funciones exponenciales se debe seguir

los siguientes pasos:

La función a graficar será la siguiente, , . La ecuación

asociada .



siguiente gráfica.

Fig. 6.47. Gráfico de la función exponencial

Fuente: Graph 4.3.


Se puede observar en la gráfica que esta función toma valores en una forma

creciente y no corta el eje X. Para comprobar si el gráfico se corta en algún

101

punto se selecciona de la barra de herramientas el botón Evaluar la función

seleccionada y se elije del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Como

se visualiza el cuadro que aparece a lado izquierdo aparece en blanco, esto

quiere decir que en ningún momento se corta la gráfica en el eje X, por lo

que aparecen cuadros vacíos.

Para calcular el mínimo absoluto de la función, se ve que en el eje Y se

incrementa. Existe un número real cuyo valor en la función es el menor de

todos los posibles. El programa permite calcular las coordenadas de dicho

punto. Teniendo seleccionado de la barra de herramientas el botón Evaluar

la función seleccionada, se elije del recuadro inferior izquierdo la opción

Extremo. Se pulsa en cualquier parte de la gráfica y se obtiene los cuadros

vacíos, porque no existe un valor mínimo.


plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre dos puntos que

corten el eje X. Se selecciona de la barra de herramientas el botón Calcular

el área debajo de un segmento de una curva. Se toma algunos valores de X,

como -1 y 3, éstos serán los valores con los que se rellenará las casillas del

recuadro inferior izquierdo. El resultado que aparece es -2.697 unidades

cuadradas y como ya se sabe, el valor correcto es 2.697 unidades

cuadradas, como se muestra en la gráfica.


Fuente: Graph 4.3.


102

6.6.11. PLAN DE CLASE UTILIZANDO EL GRAPH 4.3.

En esta clase se aprenderá a utilizar el programa Gaph 4.3. para graficar

ecuaciones, previo en la clase anterior que se aprendió la instalación, las

funciones, características y manejo del programa.

PLAN DE ACCIÓN EN EL AULA

1. DATOS INFORMATIVOS:

AREA: Matemáticas

NOMBRE DEL BLOQUE: Números y Funciones

METODOLOGÍA: Observación, Heurístico, Analítico y Sintético.

EJES DEL APRENDIZAJE: El razonamiento, la demostración, la

comunicación, las conexiones y/o la representación

EJE TRANSVERSAL: La interculturalidad

INSTITUCIÓN: Colegio Técnico “Miguel Malo González”

AÑO DE BACHILLERATO: Segundo de Bachillerato “A”

PERÍODO: 1 y 2

TIEMPO: 90 minutos

DOCENTE: Gabriela A. Vanegas A.

FECHA: Junio 01 del 2012

TEMA: Gráfica de ecuaciones trigonométricas o exponenciales.

OBJETIVO: Aplicar el programa Graph 4.3. para realizar los gráficos

correspondientes a las ecuaciones trigonométricas o exponenciales,

siguiendo un orden secuencial, para su rápida asimilación y

aprovechamiento académico.

2. ESTRUCTURA:

103

Componentes

Temáticos

Indicadores

esenciales

Descriptores Ponderación de aprendizaje

Conocimien-

tos

Habilidades /

D.C.D.

Actitudes /

Valores

Estrategias y

Recursos Evaluación

- El programa

Graph 4.3. y sus

características.

- El Sistema de

Ecuaciones y su

clasificación.

- Gráfica de las

diferentes

ecuaciones

- Grafica de las

ecuaciones

implementando el

programa Graph

- Reconoce a los

diferentes tipos de

ecuaciones.

- Desarrollo de

cálculos

necesarios para el

gráfico respectivo.

- Manejo del

programa Graph

4.3. correctamente

- Asimila el

contenido de la

asignatura

- El

funcionamiento

del programa

Graph 4.3.

- Partes del

programa

Graph 4.3.

- La Ecuación

- Los tipos de

ecuaciones.

- Diferentes

gráficos para

- Reconocer los

diferentes tipos de

ecuaciones.

- Desarrollar los

cálculos necesarios

para el gráfico

respectivo.

- Manejar el

programa Graph

4.3. correctamente.

- Asimilar el

contenido de la

asignatura

- Honestidad

- Liderazgo

- Innovación

- Espíritu de

Superación

personal.

-

Responsabili

dad

-

Compañeris

- Video

documental

sobre la

tecnología.

- Observar el

manejo del

programa

Graph 4.3.

- Conocer el

manual del

Graph 4.3.

- Exposición

de los

- Participación

individual y

grupal.

- Pruebas de

conocimientos

- Investigar

acerca de los

programas

que sirven

para realizar

gráficos.

- Realizar la

gráfica de las

104

4.3. rápidamente.

- Utiliza el

programa Graph

4.3. para el gráfico

de ecuaciones.

- Elabora su propio

material didáctico.

cada tipo de

ecuación.

- Aplicar el

programa

Graph 4.3.

para el gráfico

de la ecuación.

rápidamente.

- Utilizar el

programa Graph

4.3. para el gráfico

de ecuaciones.

- Elaborar su propio

material didáctico.

mo.

-

Colaboració

n.

- Integración

diferentes

tipos de

ecuaciones.

- Utilizar el

programa

Graph 4.3.

para graficar

las diferentes

ecuaciones.

ecuaciones:

2x+y=0; 3x2-

3=0 en el

programa

Graph 4.3.

- Realizar un

módulo con

los temas

expuestos en

clases.

105

3. DESARROLLO DE LA CLASE:

Se inicia la clase con una dinámica para animarla e incrementar el interés de

los jóvenes, se agrupará a los estudiantes en grupos de 3 personas

integrando en cada grupo un estudiante ágil para el manejo del computador

y que pueda ayudar a sus integrantes, se repasará los conceptos de algunas

ecuaciones utilizando la técnica mas adecuada, con la utilización de un

proyector se realizará la práctica conjuntamente con los estudiantes, para

que aprendan la forma de como graficar una ecuación en el programa.

Para graficar la función y = 2 cos(3x+π) – 1 y -3(1/2)(x+2) + 3, se sigue los

siguientes pasos:

1. Clic en inicio

2. Clic en Todos los programas

3. Clic en la carpeta Graph

4. Clic en el programa ejecutable Graph

5. Dentro del programa, clic en función de la barra de menú.

6. Clic en insertar función

7. Dentro de la caja de texto f(x) se escribe 2 cos(3x+π) – 1

8. Clic en el botón aceptar

9. Nuevamente clic en insertar función

10. Dentro de la caja de texto f(x) se escribe -3(1/2)(x+2) + 3

11. Clic en el botón aceptar

Después de haber seguido los pasos enunciados anteriormente muestra las

siguientes gráficas:

106

Fig. 6.49. Gráfico de la función trigonométrica 2 cos(3x+π) – 1

Fuente: Graph 4.3.


Fig. 6.50. Gráfico de la función exponencial -3(1/2)(x+2)

+ 3

Fuente: Graph 4.3.


107

Al terminar la clase se reforzará para aquellos estudiantes que no han

entendido la misma, con ayuda de aquellos que se les hizo más fácil

entenderla.

4. MATERIAL DIDACTICO:

Computador, Copias, Hojas para imprimir tamaño A4, programa

Graph 4.3.

5. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN:

Trabajo de investigación, Actividad en clase, Lección, Tarea.

6. BIBLIOGRAFÍA:

http://ideasmatematicas.wikispaces.com/file/view/graph_guia.pdf

Ing. Gabriela Vanegas Lcdo. Juan Benalcázar T. Lic. Segundo Vera

PRACTICANTE RECTOR JEFE DE ÁREA

http://ideasmatematicas.wikispaces.com/file/view/graph_guia.pdf

108

6.6.12. GRAFICO REALIZADO EN EL PROGRAMA GRAPH 4.3.

Graficar la siguiente ecuación: y calcular su área.

Fig. 6.51. Gráfico de la función hiperbólica

Fuente: Graph 4.3.


El área total es 9.3896, lo que indica en el programa.

109

6.6.13. HOJA DE CALIFICACIONES

SIN UTILIZAR EL PROGRAMA GRAPH 4.3.

Considerando que las dificultades son los puntos equivalentes de cada

pregunta.

Fig. 6.52. Examen del 2 quimestre sin utilizar el programa Graph 4.3.

Fuente: Graph 4.3.


110

UTILIZANDO EL PROGRAMA GRAPH 4.3.

Considerando que las dificultades son los puntos equivalentes de cada

pregunta.

Fig. 6.53. Examen del 2 quimestre utilizando el programa Graph 4.3.

Fuente: Graph 4.3.


111

BIBLIOGRAFÍA

Baldor, A. (2010). Algebra. Maracaibo / Venezuela: Talleres Venezolanos de

impresión S.A.

Barriga Arceo, F. D., & Hernández Rojas, G. (2002). Estrategias Docentes

para un Aprendizaje Significativo. México D.F.: McGraw-Hll/Interamericana

Editores S.A. de C.V.

Gonzáles, M. O., & Mancill, J. D. (2010). Algebra Elemental Moderna. Quito:

Editorial Ecuador F.B.T. Cía. Ltda.

Océano. (2000). Enciclopedia Audiovisual - Educativa de Matemáticas.

Barcelona / España: Océano Grupo Editorial S.A.

Pérez A., A. (2008). Algebra 1. Quito: CODEU.

Sánchez B., V. P. (2010). Pedagogía General. Loja: Editorial de la

Universidad Técnica Particular de Loja.

Sánchez R., J. (2007). Matemática Básica. Loja: Gráficas JRL.

112

WEBGRAFÍA

Casas, A. l. (Octubre de 2007). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://webpages.ull.es/users/alorente/software/graph_4_3/graph_guia.pdf


http://recursostic.educacion.es/observatorio/web/eu/software/software-

educativo/588-sergio-gonzalez-moreau


http://recursostic.educacion.es/observatorio/web/eu/software/software-


Commons, C. (Enero de 2009). Recuperado el Dciciembre de 2011, de

recursostic.educacion.es/observatorio/web/eu/software/software-


Johansen, I. (Agosto de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de


Kubrick. (Abril de 2009). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://algebraparatodos.wordpress.com

Pierce, R. (2011). Recuperado el Diciembre de 2011, de

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/definiciones.html

ANEXOS

ANEXO 1: ENCUESTA A LOS PADRES DE FAMILIA

1. ¿Cuánto tiempo pasa su hijo al frente de un computador?

½ hora ___ 1 hora ___ 2 horas ___

Más de 2 horas ____ Especifique cuántas horas: _______

2. ¿Qué programas maneja su hijo(a)?

Programas educativos como Traductores, diccionarios, etc. ____

Programas de Juegos ____

Manejo de Office ____

Navegar por Internet ____

Otros ____ Indique cuales:

3. ¿Ha utilizado algún programa utilitario de matemáticas?

SI ___ NO ___

Si responde SI especifique

¿Cuál?_____________

4. ¿Considera necesario que su hijo(a) aprenda matemáticas

utilizando algún programa utilitario?

SI ___ NO ___


¿Por qué?_______________________________________________

5. ¿Cree Ud. que mejore la educación con el manejo de la

tecnología?

SI ___ NO ___


¿Cómo?_________________________________________________

6. ¿Cree Ud. que para su hijo(a) los temas impartidos en

matemáticas son difíciles de entender?

SI ___ NO ___

¿Por qué?_______________________________________________

7. Marque con una X. ¿Cuál es el rendimiento de su hijo en

matemáticas?

Sobresaliente__ Muy Bueno__ Bueno__

Regular__ Insuficiente__

8. ¿Cuánta dificultad tiene su hijo(a) para resolver problemas

matemáticos?

Mucha ____ Poca____ Regular___ Ninguna___

9. Si no conoce. ¿Estaría dispuesto a aprender sobre ecuaciones

para poder ayudar a su hijo(a) a realizar las tareas enviadas por

el profesor?

SI ___ NO ___

10. ¿Qué alternativa sugiere para que su hijo(a) rinda más en la

asignatura de matemáticas?

a. Más participación

b. Más atención

c. Incrementar las tareas

d. Más horas clase

e. Otra Especifique:

_______________________

ANEXO 2: ENCUESTA A LOS PROFESORES

1. ¿Los estudiantes tiene dificultad al resolver problemas

matemáticos?

SI ___ NO ___

¿Por qué?_______________________________________________

2. ¿Qué porcentaje de estudiantes, cree Ud. que puedan captar y

aprender matemáticas utilizando algún programa utilitario?

El 25% ____ El 50%____ El 100%___ Otro____%

3. ¿Ha manejado algún programa utilitario de matemáticas?

SI ___ NO ___

4. Si la respuesta de la pregunta anterior es SI, Indique los

programas que ha utilizado

a) Graph

b) Geogebra

c) Cabri

d) DeadLine

e) Euclides

f) Otro(s):_____________

5. ¿Se daría un poco de tiempo para enseñar a los compañeros

maestros de la misma asignatura a utilizar el programa que usted

conoce?

SI ___ NO ___

Si contesta NO responda

¿Por qué?_______________________________________________

6. ¿Estaría dispuesto a impartir clases extras, para nivelar a los

estudiantes en el manejo del programa utilitario?

SI ___ NO ___

Si contesta NO responda

¿Por qué?_______________________________________________

7. Señale con una X. ¿Qué tipo de material ha utilizado con los

estudiantes para la gráfica de una ecuación?

Programa utilitario____

Hojas milimetradas____

Hojas A4 cuadros____

Hojas de papel ministro____

Cuaderno____

Otro___

Indique cuál?__________

8. Indique los métodos que utiliza para enseñar matemáticas.

a) Didáctico

b) Heurístico

c) Científico

d) Otro: Especifique:

9. Indique ¿cuáles son los problemas que afectan al estudiante para

que se le dificulta aprender matemáticas?

a. Difusión Familiar

b. Problema de aprendizaje

c. Falta de Dedicación

d. Situación Económica

e. Descuido en la materia

f. Otro. Especifique: _________________________

10. Señale con una X. ¿En qué temas los estudiantes tienen un

rendimiento más bajo?

a) Ecuaciones___

b) Trigonometría___

c) Factorización___

d) Radicación___

e) Otro(s)___ Indique: _________________________________

ANEXO 3: ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES

1. ¿Es ágil en el manejo de un computador?

SI ___ NO ___

2. ¿Cuántas veces pasa al frente de un computador?

a) Siempre

b) Frecuentemente

c) A Menudo

d) Rara vez

e) Nunca

3. ¿Le gustaría aprender matemáticas utilizando la tecnología?

SI ___ NO ___

¿Por qué?_______________________________________________

4. ¿Cuál es su nivel de dificultad en el manejo de un programa

utilitario?

Mucha ____ Poca____ Regular___ Ninguna___

5. ¿Qué programas ha utilizado en la asignatura de matemáticas?

a) Ninguno

b) Graph

c) Geogebra

d) Cabri

e) DeadLine

f) Euclides

g) Otro(s):____________________________________________

6. ¿Le gustaría recibir clases extras para nivelarse en el manejo del

programa utilitario?

SI ___ NO ___

7. Según usted, el rendimiento en la asignatura MATEMATICAS se

debe a:

a. El profesor no se hace entender

b. Es difícil el tema

c. La clase es demasiado aburrida

d. No le gusta la asignatura

e. Otro:______________________________

8. Indique los temas de matemáticas que se le dificulta aprender

a. Ecuaciones

b. Trigonometría

c. Radicación

d. Logaritmos

e. Factorización

f. Otro(s):________________

9. Señale con una X. ¿Cuánto entiende de los temas impartidos por

el profesor de matemáticas en clase?

b) Nada___

c) Casi nada___

d) Sólo algunas cosas___

e) Casi todo___

f) Todo___

10. ¿Qué haces cuando no entiendes lo que explica tu profesor(a) de

Matemática?

a) Le preguntas inmediatamente al profesor.

b) Le preguntas al profesor después de clase.

c) Esperas entenderlo en la próxima clase.

d) Le preguntas a tus compañeros.

e) Le preguntas a personas fuera del colegio.

f) Revisas libros de texto o de consulta.

g) No le preguntas a nadie

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