UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR GENERADORES DE …

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARGENERADORES DE CONOCIMIENTOS

PROYECTO GUÍAS USB

EJERCICIOS DE PRECÁLCULO(Parte I)

Elaborado por:

Miguel Ángel Labrador12 Ingeniería Electrónica

Isaac J.J Vera13 Ingeniería Química

Sobre la guía.La guía de Ejercicios de Precálculo está orientada al estudiante del nuevo Programa Voluntario

de Nivelación Académica (PVNA), el cual es una iniciativa de la Universidad Simón Bolívar porproveer a los participantes del programa de las herramientas necesarias para tener una carrerauniversitaria exitosa y paliar la deserción de los estudiantes por no contar con los conocimientosque se supone debieron aprender durante su trayecto por el bachillerato. El programa se asemejaal exitoso Ciclo de Iniciación Universitaria de la USB y comparte los mismos objetivos.

Generadores de Conocimientos, abreviado como GECO, es una agrupación estudiantil cuyoobjetivo es contribuir con espacios para la generación, compilación y divulgación de contenidoacadémico y cultural dentro de la universidad. En este sentido y en el marco del proyectoGuías USB, la agrupación se plantea apoyar al PVNA con la elaboración y difusión de unaserie de guías que pretenden dotar al estudiante de un banco de problemas y ejemplos sobrelas matemáticas fundamentales para el cálculo, al que pueda acudir para practicar, encontrarejemplos resueltos y problemas que le ayuden a incorporar los conceptos básicos para el estudiode las matemáticas y otras áreas donde esta aplica y que se encontrará a lo largo de toda sucarrera. En ningún momento la guía pretende sustituir al libro de texto asignado por el profesor.No obstante, los autores recomiendan el uso de libro Precálculo de James Stewart, del cual sehan obtenido numerosos ejemplos y construido nuevas variantes que aparecen como ejemplosresueltos y ejercicios propuestos. Así mismo muchos ejercicios fueron inspirados y tomados delos Manuales de Matemáticas del Programa de Igualdad de Oportunidades (PIO).

Se sugiere al lector de esta guía que no deje ningún problema sin resolver, pues cada unotiene como objetivo construir un sólida base para enfrentarse a los problemas más complejos, nosolo en la asignatura sino tambiénn en el resto de su carrera.

Las matemáticas pueden llegar a ser muy sencillas, sin embargo, no hay manera de llegara tal punto sin haber trabajado duro. El trabajo duro caracteriza a cada uesebista que tieneéxito en su carrera. Queda de su parte volverse un verdadero estudiante de la universidad de laexcelencia.

Operaciones básicas en R Suma de fracciones Página 3

Ejemplo 1: Efectue las siguientes operaciones

a-. 34 �

110 b-. 2� 1

6Solución:

No se deje engañar por la sencillez de este ejemplo. El objetivo es mostrarle las diferentesmaneras que existen de combinar fracciones y que las conozca todas ya que les serán útilessiempre.

Parte a:

Método 1. En general, se pueden sumar fracciones (de números o expresiones algebraicas)de la siguiente forma:

Sean a, b, c, d, números reales cualesquiera, entonces:a

b� c

d� ad� bc

bd

Apliquemos entonces la fórmula:34 �

110 � 3p10q � 4p1q

40 � 30� 440 � 34

40 � 1720 ùñ 3

4 �110 � 17

20

Problema resuelto. No obstante, el resultado final nos dice que pudo haber una manera másrápida de llegar a él. Se trata del siguiente método.

Método 2. Usaremos el Mínimo Común Denominador (MCD).

Aplicar MCD es lo mismo que buscar el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores. Parahacerlo y en general, para hallar el MCM de dos números cualesquiera:

Se descomponen (se factorizan, estrictamente hablando) los números en factores primos:

4 � 22 10 � 2p5q

Luego, se toman los factores comunes con mayor la potencia y todos los no comunes y semultiplican entre sí:

MCMp4, 10q � 22p5q � 20

Ahora, para obtener el resultado debe tomar el MCM y dividirlo entre el denomidador de laprimera fracción y el resultado multiplicarlo por el numerador de la misma fracción, de inmediatohacer lo mismo con la siguiente fracción y la que sigue en caso de que esté sumando mas de dosfracciones. Observe lo que hemos dicho:

34 �

110 � 5p3q � 2p1q

20 � 1720

Generadores de Conocimientos. GECOUSB GuíasUSB


Puede parecer un procedimiento engorroso, sin embargo, solo hemos dado la explicación larga,en el futuro usted debe ser capaz de aplicar estas operaciones mentalmente ya que se enfrentaráa otras más complejas.

Método 3. Para este método nos valdremos de una de las propiedades básicas de lasfracciones.

Sean a, b y c números reales cualesquiera, entonces:

a

c� b

c� a� b

cSuma/Resta de fracciones con el mismo denomidador.

También, observe que si a, b y c son números reales cualesquiera entonces:

ac

bc� a

bPropiedad de simplificación.

Usaremos estas dos propiedades para calcular la misma suma:

34 �

110 � 3

4

�55

� 1

10

�22

� 15

20 �220 � 17

20

Hemos multiplicado cada fracción por un uno conveniente para que los denominadores decada fracción nos quedaran iguales y poder sumar las fracciones con mismo denominador.

parte b:

Para esta parte podrá usar cualquiera de los anteriores métodos, sin embargo, usaremos unoque encontrará muy cómodo y rápido para los casos donde solo hay un denominador.*1

Generalizamos de la siguiente manera:

Sean a, b y c números reales cualesquiera, entonces

a� b

c� a

1 �b

c� ac� b

c

En otras palabras, solo debemos multiplicar el denominador, c, por a y el resultado sumarloo restarlo a b.

Aplicamos esta forma al ejercicio.

2� 16 � 12� 1

6 � 116

1En realidad no solo hay un denominador. Recuerde que todo número puede verse como él mismo divididoentre 1.



Hemos explicado cuatro maneras de calcular la suma de fracciones, que en el fondo son lasmismas, sin embargo, es importante que las maneje todas pues para aplicarlas cuando usted locrea conveniente.

Ejemplo 2: Efectue y simplifique

1� 23

��34

�"

2��

34 � 1� 2

5

��10� 15

4

� 1

�*

Solución:

Aplicaremos las propiedades de los números reales, así como las operaciones con fraccionesdel ejemplo anterior.

1� 23

��34

�"

2��

34 � 1� 2

5

��10� 15

4

� 1

�*� 1� 2

3

��34

�"

2��

34 � 1� 2

5

��25

4

� 1

�*

� 1� 23

��34

�"

2��

34 � 1� 5

2 � 1�*

� 1� 23

��34

�"

2��

34 �

52 � 2

�*

� 1� 23

��34

�"

2��7

4 � 2�*

� 1� 23

��34

�"

2��15

4

�*

� 1� 23

��34

�"

2� 154

*

� 1� 23

��34

�"

234

*

� 1� 23

��34

� 23

4

� 1� 2p3q3p4q �

234

� 1� 24 �

234

� 1� 214

� �174

Probablemente, en algún paso usted ha perdido el hilo de lo que hicimos, a pesar de queresolvimos operación por operación. Le invitamos a que usted mismo resuelva el ejercicio usandola forma que más le convenga y compare procedimiento y resultados.


Operaciones básicas en R Propiedades de los exponentes Página 6

Ejemplo 3: Efectue y simplifique25 � 1

2110 � 3

15

Solución:

Aplicamos la suma de fracciones (varios métodos simultáneamente) y la propiedad de divisiónde fracciones (coloquialmente conocida como: Doble c). Si aún no tiene claras cuáles son estaspropiedades, diríjase al libro de texto sugerido en la introducción.

25 � 1

2110 � 3

15�

25 � 1

2110 � 1

5�

4�510

110 � 1

5�

910

110 � 2

5p2q�

910

110 � 2

10�

910

1�210

�910310

� 9p10q10p3q �

9p10q3p10q �

93

�1010

� 3p1q � 3 ùñ

25 � 1

2110 � 3

15� 3

Observe que la última línea de cálculos es, por decirlo de alguna manera, el procedimientolargo de cancelar términos arriba y abajo.

Ejemplo 4: Usando las leyes de los exponentes, calcule�35

�1�27

3�35

6�53

�3

�27

�3�35

6�27

9

Solución:

Las leyes de los exponentes se encuentran enla tabla mostrada a la derecha. Usando dichasleyes procederemos a calcular la expresión quese nos da, paso a paso. De ahora en adelan-te asumiremos que ya domina las herramientasque hemos expuesto en los ejemplos anteriores.

Existen múltiples formas de abordar esteejercicio, optaremos por usar la que quizás pa-rece más intuitiva:

Debido a la propiedad conmutativa, pode-mos asociar las potencias con bases iguales paraaplicar la ley iii, entonces

Leyes de los Exponentes

i) a0 � 1 y 0n � 0, ( 00 no estádeterminado)

ii) a�n � 1an

iii) aman � am�n

iv) an

am� am�n

v) pamqn � anm

vi) pabqn � anbn



�35

�1�27

3�35

6�53

�3

�27

�3�35

6�27

9 �

vii)�a

b

n

� an

bn

viii)�a

b

�n

��

b

a

n

ix) a�n

b�m� bm

an

iii�

�35

6�1�27

3�53

�3

�27

�3�9�35

6 �

�35

5�27

3�53

�3

�27

6�35

6viii�

�35

5�27

3�35

3

�27

6�35

6

�

�35

5�35

3�27

3

�27

6�35

6iii�

�35

8�27

3

�27

6�35

6

En este punto vamos a asociar fracciones para poder aplicar la ley iv. Note que no conviene,en ningún momento, calcular a fuerza bruta las potencias, ya que obtendríamos cantidades muyengorrosas que tratar.

�

�35

8�27

3

�27

6�35

6 �

�35

8�27

3

�35

6�27

6 �

�35

8

�35

6 �

�27

3

�27

6iv��

35

8�6�27

3�6

��

35

2�27

�3viii��

35

2�72

3

Lo único que falta es aplicar la ley vii para terminar de simplificar

�35

2�72

3vii� 32

52 �73

23 �925 �

3438 � 3087

200

Ejemplo 5: Demuestra las leyes de lo exponentes iv y ix

Solución:

Demostremos que an

am� am�n usando las leyes y propiedades que ya conocemos.

Si usted no está familiarizado con la realización de este tipo de ejercicios, pues se trata departir de un lado de la igualdad y llegar al otro mediante leyes, propiedades y operaciones yaconocidas por usted.



En este caso, partimos desde el miembro izquierdo de la ecuación. Por propiedades de lasfracciones, sabemos que la multiplicación de fracciones se hace ‘linealmente’, entonces:

an

am� an

1 � 1am

� an � 1am

Ahora observe que la única fracción que tenemos se puede ver como una potencia negativa sinos referimos a la ley ii.

an � 1am

� an � a�m

Ahora, es fácil observar que llegamos a un expresión que podemos simplificar a través de laley iii.

an � a�m iii� an�p�mq � an�m ùñ an

am� am�n

Finalmente, hemos demostrado, en efecto, la ley iv.

Demostremos ahora que a�n

b�m� bm

an.

Nuevamente, partiremos del miembro izquierdo, no porque sea la única forma, sino porquees la más sencilla e intuitiva.

Aplicaremos, tanto al numerador como al denominador la ley ii.

a�n

b�m

ii�1an

1bm

Solo falta aplicar doble c y obtendremos lo que buscamos.

1an

1bm

� bm

anùñ a�n

b�m� bm

an

Finalmente, hemos demostrado la ley ix.


Operaciones básicas en R Radicales Página 9

Ejemplo 6: Simplifique y no deje ningún exponente negativo.�q�2rs�2

r�5sq�8

�1

Solución:

Existen varias formas de abordar este ejercicio, pues las leyes nos facilitan mucho el trabajo.

Empecemos por aplicar las leyes vii y iii ya que, al hacerlo, quitaremos la mayoría deexponentes negativos. �

q�2rs�2

r�5sq�8

�1vii� pq�2rs�2q�1

pr�5sq�8q�1iii� q2r�1s2

r5s�1q8

Ya que tenemos factores de la misma base arriba y abajo, agrupamos en fracciones paraaplicar la ley iv.

q2r�1s2

q8r5s�1 �q2

q8 �r�1

r5 � s2

s�1iv� q�6 � r�6 � s3 ii� s3

q6r6

Vea que ya no se puede simplificar dado que todas las potencias restantes tienen diferentesbases.

Ejemplo 7: Escriba la expresión en la forma más compacta posible suponiendo que x e y sonpositivos.

3a

x2y 4a

x3y2

Solución:

En este ejemplo introducimos el concepto de raíz sobre la base de las operaciones conexponentes, ya que, entendemos a la raíces como exponentes racionales o fraccionarios.

Exponentes Fraccionarios o Racionales.

Suponga que n y m son números enteros y n ¡ 0 entonces para el exponente fraccionario m

nya

simplificado, se define

amn � n

?am

Si n llegase a ser un número par entonces am debe ser mayor o igual que cero.

De la definición, tenemos que una raíz puede representarse como una base elevada a unexponente que es una fracción, lo que intuitivamente nos lleva a pensar que las raíces cumplencon las leyes de los exponentes, lo que de hecho, es así y lo verificaremos más adelante.

Reescribamos la expresión entonces, usando nuestros conocimientos sobre leyes de losexponente y conociendo la anterior definición.



3a

x2y 4a

x3y2 Def� px2yq 13�x3y2� 1

4 � px2q 13 y

13 px3q 1

4 py2q 14 � x

23 y

13 x

34 y

24

En este punto, podemos asociar las potencias que tengan las mismas bases y continuaraplicando las leyes de los exponentes:

� x23 y

13 x

34 y

12 �

�x

23 x

34

�y

13 y

12

� x

8�912 y

2�36 � x

1712 y

56

Nos gustaría reescribir todo como raíces nuevamente pero queremos que todo quede dentrode una raíz. Vea lo que pasa si multiplicamos al exponente de la y por 2 arriba y abajo (o sea,un uno conveniente).

x1712 y

56 � x

1712 y

1012 � �x17y10� 1

12

Haremos un pequeño «truco» algebraico, escribimos x17 como x12�5 � x12x5 y obtenemos que�x17y10� 1

12 � �x12x5y10� 112 � �x12� 1

12�x5y10� 1

12 � x1212�x5y10� 1

12 � x�x5y10� 1

12

Ahora sí, convertimos todo en raíces de nuevo, usando la definición.

x�x5y10� 1

12 Def� x 12a

x5y10 ùñ 3a

x2y 4a

x3y2 � x 12a

x5y10

El tratamiento que le hemos dado a este ejercicio es poco prudente, ya que al operar conexponentes fraccionarios hay que cuidarse de las bases negativas (que al hablar de raíces,conocemos como cantidad subradical), ya que no existen raíces con índices pares y cantidadsubradical negativa. Por este motivo, en el próximo ejercicio, les presentamos las propiedadesde los radicales que surgen a partir de muchas de las operaciones que hemos hecho con losexponentes.

Ejemplo 8: Suponga todas las letras como reales positivas y simplifique la expresión�3a

4x2y�

3a

2x5y2

Solución:

En la tabla de la derecha se presentan laspropiedades de los radicales, la cuales, como yamencionamos, cumplen con las leyes de los ex-ponentes anteriormente trabajadas.

Propiedades de las raíces

i) n?

am � amn (Si n es par se tiene

am ¥ 0)



Así como hicimos para los exponentes, acátambién enumeramos e indicaremos las propie-dades que iremos utilizando, sobre la marcha.

Vamos a colocarlo todo en una sola raízusando la propiedad ii.�

3a

4x2y�

3a

2x5y2

ii� 3ap4x2yqp2x5y2q

� 3a

8x7y3

ii� 3?

8 3?

x7 3a

y3

ii) n?

ab � n?

an?

b

iii) n

ca

b�

n?

an?

b

iv) ma

n?

a � nm?

a

v) n?

an � a si n es impar

vi) n?

an � |a| si n es par

Observe que hemos utilizado la propiedad ii dos veces pero viendo la igualdad en dos sentidosdiferentes.

Ahora, para usar la propiedad v reescribimos las cantidades subradicales convenientemente.

3?

8 3?

x7 3a

y3 � 3?

23 3?

x.x6 3a

y3 ii� 3?

23 3?

x3?

x6 3a

y3 � 3?

23 3?

x 3apx2q3 3

ay3 v� 2 3

?x.x2y

Finalmente y reordenando (usando conmutativa):�3a

4x2y�

3a

2x5y2� 2yx2 3

?x

Ejemplo 9: Demuestre que si a y b son números reales y n un número natural, tal que si n

es par entonces a y b son mayores o iguales que cero, se cumple:

n?

ab � n?

an?

b

Solución:

Partimos del miembro izquierdo de la ecuación aplicando la definición de exponentefraccionario y luego las propiedades de lo exponentes.

n?

ab � pabq 1n � a

1n b

1n � n

?a

n?

b

Finalmente, queda demostrada la propiedad.

Observe que de no dejar establecidas las hipótesis del enunciado la propiedad no tendríasentido. Prueba suponiendo que n � 2 y a � b � �4 ¿ Cuánto daría después de usar lapropiedad?



Ejemplo 10: Simplifique la expresión c5bpa5b10q4

Solución:

Apliquemos las propiedades de las raíces.c5bpa5b10q4 iv� 10

bpa5b10q4 � 10

?a20b40 ii� 10

?a20 10

?b40 � 10

apa2q10 10

apb4q10

Aplicamos la propiedad vi ya que el índice de la raíz es par.10apa2q10 10

apb4q10 � |a2||b4|

Recuerde que el valor absoluto de algún número dependerá del signo del número en elargumento. En este caso ambos números son positivos. La razón es que tanto a2 como b4 sonpositivos, ya que están elevados a una potencia par y todo número real elevado a una potenciapar da como resultado otro número positivo. Por lo tanto las barras de valor absoluto sonredundantes, ya que la cantidad que encierran son positivas.

Finalmente c5bpa5b10q4 � a2b4

Ejemplo 11: Simplifique la expresión suponiendo que las letras representan números positivos�2x4y�

45

3 �8y2� 2

3

Solución:

Aplicamos las leyes de los exponentes, las cuales sabemos, aplican para los exponentesfraccionarios. �

2x4y�45

3 �8y2� 2

3 � 23x12y�125 8 2

3 y43

��

238 23

�x12� �y�

125 y

43

��

23p23q 23

�x12� �y�

125 y

43

� �2322� �x12� �y�

125 � 4

3

� 25 �x12� �y�

125 � 4

3

� 25 �x12� �y

�36�2015

� 25x12y�

1615



Recuerde que un exponente negativo indica que podemos escribir la misma expresióndividendo al uno y una vez hecho esto podemos escribir el exponente racional, como una raíz.

� 25x12y�1615 � 32x12

�1

y1615

� 32x12

�1

15?

y16

� 32x12

�1

15?

y15y

� 32x12�

1y 15?

y

� 32x12

y 15?

y

Finalmente �2x4y�

45

3 �8y2� 2

3 � 32x12

y 15?

y

Ejemplo 12: Simplifique la expresión suponiendo que las letras representan números positivos

py10x�5q 15

py�2z3q 13

Solución:

Para este ejercicio convertimos primero todo a raíces y operamos con las propiedades de losradicales, aunque también puede trabajarse como en el ejemplo anterior.

py10x�5q 15

py�2z3q 13�

5a

y10x�5

3a

y�2z3�

5a

y10 5?

x�5

3a

y�2 3?

z3�

5apy2q5 5

c1x5

3

c1y2

3?

z3�

y2 5

c1x5

3

c1y2 z

�y2

5?

15?

x5

z3?

13a

y2

�y2 1

x

z1

3a

y2

�y2

xz

3a

y2

� y2 3a

y2

xz

Finalmente

py10x�5q 15

py�2z3q 13� y2 3

ay2

xz



Ejemplo 13: Escriba la expresión como una sola raíz. Suponga que todas la letras son númerospositivos.

5a

64x6y � 10a

4x12y2 � 15a

8x18y3 � 20a

16x24y4

Solución:

Nuevamente, aplicamos las propiedades de la raíces. No las indicaremos, intente detectar quepropiedad se utilizó.

5a

64x6y � 10a

4x12y2 � 15a

8x18y3 � 20a

16x24y4

� 5a

26x6y � 10a

4x12y2 � 15a

8x18y3 � 20a

16x24y4

� 2x 5?

2xy � 10a

4x12y2 � 15a

8x18y3 � 20a

16x24y4

� 2x 5?

2xy � 10a

22x10x2y2 � 15a

23x15x3y3 � 20a

24x20x4y4

� 2x 5?

2xy � |x| 10a

22x2y2 � x 15a

23x3y3 � |x| 20a

24x4y4

Recuerde que los valores absolutos son producto de la propiedad vi. No obstante, el enunciadonos indica que todas la letras representan números positivos, luego, el valor absoluto de unnúmero positivo es el mismo número.

2x 5?

2xy � |x| 10a

22x2y2 � x 15a

23x3y3 � |x| 20a

24x4y4

� 2x 5?

2xy � x 10a

22x2y2 � x 15a

23x3y3 � x 20a

24x4y4

� 2x 5?

2xy � x 10ap2xyq2 � x 15

ap2xyq3 � x 20

ap2xyq4

Vea que ahora tenemos cantidades subradicales que tienen la misma base. Escribamos lasraíces como exponentes fraccionarios.

� 2x 5?

2xy � x 10ap2xyq2 � x 15

ap2xyq3 � x 20

ap2xyq4

� 2xp2xyq 15 � xp2xyq 2

10 � xp2xyq 315 � xp2xyq 4

20

Note que podemos hacer simplificaciones en los exponentes, de manera que


5 � xp2xyq 15 � xp2xyq 1

5

Si volvemos a escribir todo como raíces, se dará cuenta que podemos sumar y restarlas, yaque raíces con el mismo índice y cantidad subradical se pueden sumar y restar.

Error Común. No comenta el error de sumar cantidades de naturaleza distinta. Lo queseguramente habrá escuchado de sus instructores ya: No sume peras con manzanas.

?a�

?b �

?a� b La igualdad es falsa.


Operaciones básicas en R Expresiones Algebraicas Página 15

Entonces:


5 � xp2xyq 15 � xp2xyq 1

5

� 2x 5?

2xy � x 5?

2xy � x 5?

2xy � x 5?

2xy

� 2x 5?

2xy � x 5?

2xy

� x 5?

2xy

Finalmente:

5a

64x6y � 10a

4x12y2 � 15a

8x18y3 � 20a

16x24y4 � x 5?

2xy

Ejemplo 14: Desarrolle la expresión utilizando las fórmulas de producto notable.

px� 1qp2x2 � x� 1q

Solución:

Usted puede comenzar el ejercicio aplican-do la propiedad distributiva tal como lo ha he-cho hasta ahora, sin embargo, aunque si aplica-remos distributiva, lo haremos de la siguienteforma:

px� 1qp2x2 � x� 1q � px� 1qp2x2 � px� 1qq� px� 1q2x2 � px� 1q2

Note que solo asociamos los términos x y 1como un solo factor para aplicar luego distribu-tiva.

Productos Notables

i) pA�BqpA�Bq � A2 �B2

ii) pA�Bq2 � A2 � 2AB �B2

iii) pA�Bq2 � A2 � 2AB �B2

iv) pA�Bq3 � A3 � 3A2B � 3AB2 �B3

v) pA�Bq3 � A3 � 3A2B � 3AB2 �B3

Ahora solo queda aplicar la propiedad distributiva para el primer término y luego desarrollarel segundo utilizando el segundo producto notable.

� px� 1q2x2 � px� 1q2 � 2x3 � 2x2 � x2 � 2x� 1 � 2x3 � 3x2 � 2x� 1

Finalmente

px� 1qp2x2 � x� 1q � 2x3 � 3x2 � 2x� 1



Ejemplo 15: Desarrolle la expresión�x

12 � y

12

�x

12 � y

12

Solución:

Para tener éxito operando las expresiones algebraicas, en otras palabras, desarrollar, factorizary simplificar, debe tener claro el principio de sustitución el cual se trata de saber que fórmulautilizar y que términos sustituiremos en ella.

En este caso, es evidente que aplica el primer producto notable, donde A � x12 y B � y

12 .

Aplicamos la fórmula:�

x12 � y

12

�x

12 � y

12

��

x12

2��

y12

2� x� y

Ejemplo 16: Demuestre la fórmula

pA�Bq3 � A3 � 3A2B � 3AB2 �B3

Solución:

Recuerde que si se quiere demostrar una fórmula sencilla como esta, es bueno partir de unode los miembros de la ecuación y operar algebraicamente hasta llegar al otro.

Tomamos el miembro izquierdo para hacer la demostración:

pA�Bq3 � pA�BqpA�Bq2

Aplicamos el tercer producto notable y obtenemos

pA�BqpA�Bq2 � pA�BqpA2 � 2AB �B2q� ApA2 � 2AB �B2q �BpA2 � 2AB �B2q� A3 � 2A2B � AB2 �BA2 � 2AB2 �B3

� A3 � 2A2B �BA2 � AB2 � 2AB2 �B3

� A3 � 2A2B � A2B � AB2 � 2AB2 �B3

� A3 � 3A2B � 3AB2 �B3

Finalmente, queda demostrada la fórmula.



Ejemplo 17: Demuestre la fórmula

pa� bq2 � a2 � b2

Solución:

Si es suficientemente observador, se habrá dado cuenta que esta fórmula no aparece en la listade fórmulas de productos notables. La razón es que no existe, ya que no aplica para todos losnúmeros reales.

Para demostrar que no aplica, daremos un contraejemplo.

Un contraejemplo se trata de ofrecer un ejemplo donde no se satisface la regla que se diceaplica para todo los casos, en otras palabras, daremos un ejemplo donde la fórmula no se cumple.Puede escoger el que usted quiera.

Suponga que a � 1 y b � 2 entonces el miembro izquierdo de la igualdad:

pa� bq2 � p1� 2q2 � 32 � 9

Mientras que el miembro derecho

a2 � b2 � p1q2 � p2q2 � 5

Como 9 � 5 la igualdad no se cumple para el caso donde a � 1 y b � 2, violando así lapresunción de que es válida para todos los números reales.

Ejemplo 18: Factorice las siguientes expresiones obteniendo los factores comunes.

a) 4mpa2 � x� 1q � 3mpx� 1� a2q b) xp2a� b� cq � 2a� b� c

Solución:

Parte a:

Observe que tenemos dos términos sumándose, donde cada término posee un factor m quepodemos sacar factor común.

4mpa2 � x� 1q � 3mxpx� 1� a2q � m�4pa2 � x� 1q � 3xpx� 1� a2q�

Recuerde que factorizar una expresión consiste en realizar el proceso inverso de la propiedaddistributiva, por lo tanto si usted factorizar algo, al aplicar la propiedad distributiva deberíapoder llegar al punto donde comenzó siempre que su factorización esté bien.



Aún no terminamos con el ejercicio, ya que podemos sacar otro factor común. Ambos términosdentro de los corchetes poseen el factor a2 � x� 1.

m�4pa2 � x� 1q � 3xpx� 1� a2q� � m

�4pa2 � x� 1q � 3xpa2 � x� 1q�

� mpa2 � x� 1qp4� 3xq

Finalmente

4mpa2 � x� 1q � 3mxpx� 1� a2q � mpa2 � x� 1qp4� 3xq

Nótese que pudimos haber sacado ambos términos factor común y habernos ahorrado un parde pasos.

Parte b:

Fíjese que, nuevamente, tenemos una suma de términos sin embargo, esta vez vamos a sacarfactor común de forma parcial. Sacamos factor común �1:

xp2a� b� cq � 2a� b� c � xp2a� b� cq � p2a� b� cq

Insistimos que factorizar se trata de revertir el proceso de la propiedad distributiva y sisacamos factor común �1 de una suma(o resta) de términos, cada término cambia de signo paraque, al devolver el procedimiento usando distributiva, lleguemos al mismo lugar desde el cualpartimos.

Ahora podemos sacar factor 2a� b� c de toda la expresión

xp2a� b� cq � p2a� b� cq � p2a� b� cqpx� 1q

Finalmente

xp2a� b� cq � 2a� b� c � p2a� b� cqpx� 1q

Ejemplo 19: Factorice sacando factor común la expresión12x�

12 p3x� 4q 1

2 � 32x

12 p3x� 4q� 1

2

Solución:

Cuando se trata de expresiones con exponentes racionales, sacamos factor común el términoque tenga el menor exponente fraccionario. Para este caso, como x es factor común, sacamosfactor común x�

12 que es la x con menor exponente.

12x�

12 p3x� 4q 1

2 � 32x

12 p3x� 4q� 1

2 � x�12

�12x�

12�p� 1

2qp3x� 4q 12 � 3

2x12�p� 1

2qp3x� 4q� 12

�



Observe que si sacamos factor común x12 , tendremos que restarle �1

2 a los exponentes de cadax. Por otro lado, también podemos sacar 1

2 factor común.

� x�12

�12p3x� 4q 1

2 � 32xp3x� 4q� 1

2

�� 1

2x�12

�p3x� 4q 1

2 � 3xp3x� 4q� 12

�

El factor p3x� 4q también lo podemos sacar factor común con su menor potencia.

� 12x�

12

�p3x� 4q 1

2 � 3xp3x� 4q� 12

�� 1

2x�12 p3x� 4q� 1

2

�p3x� 4q 1

2�p� 12q � 3xp3x� 4q� 1

2�p� 12q�

� 12x�

12 p3x� 4q� 1

2 rp3x� 4q � 3xs � 12x�

12 p3x� 4q� 1

2 p4q � 42x�

12 p3x� 4q� 1

2 � 2x�12 p3x� 4q� 1

2

Ya hemos terminado de factorizar la expresión, de manera que:

12x�

12 p3x� 4q 1

2 � 32x

12 p3x� 4q� 1

2 � 2x�12 p3x� 4q� 1

2

Expresiones como las de este ejemplo son las que aparecen comúnmente luego de aplicar laregla del cociente para derivadas de funciones.

Ejemplo 20: Factorice las siguientes expresiones

a) p5a� xq2 � 24� 11px� 5aq b) 7pa� 1q4 � 31pa2 � 2a� 1q � 20

Solución:

Parte a:

Note que la expresión tiene la forma x2 � bx� c, donde x vendría a ser 5a� x, solo debemosreordenarla un poco.

p5a� xq2 � 24� 11px� 5aq � p5a� xq2 � 11p5a� xq � 24

Proponemos un cambio de variable auxiliar. Llamemos t � 5a�x y reescribimos la expresión.

Note que

p5a� xq2 � 11p5a� xq � 24 CV� t2 � 11t� 24

Devolveremos el cambio una vez hallamos factorizado.

Lo que tenemos ahora es un polinomio de segundo grado y podemos factorizarlo usando el«ensayo y error» o «tanteo».



Método del Ensayo y Error

Un polinomio cuadrático del tipo x2� bx� c se puede factorizar, en algunos casos, buscando dosnúmeros s y r tales que

s.r � c y s� r � b

En otras palabras, dos números que al multiplicarlos entre sí den c y al sumarlos den b.

En este caso tenemos que dichos números son �3 y �8, donde

p�3qp�8q � 24 y � 3� 8 � �11

Con lo cual

t2 � 11t� 24 � pt� 3qpt� 8q

Ya que hemos factorizado el polinomio, devolvemos el cambio de variable. Recuerde que hemosconsiderado que t � 5a� x.

t2 � 11t� 24 � pt� 3qpt� 8q CV� p5a� x� 3qp5a� x� 8q

Finalmente

p5a� xq2 � 24� 11px� 5aq � p5a� x� 3qp5a� x� 8q

Parte b:

Podemos resolver esta parte de forma similar a la otra, con un cambio de variable, sin embargo,no parece que esta expresión cumpla con la forma x2 � bx� c. Vamos a manipular un poco.

Para empezar, note que el factor que acom-paña al 31 corresponde con la fórmula de fac-torización ii, por lo tanto podemos escribir:

7pa� 1q4 � 31pa2 � 2a� 1q � 20�7pa� 1q4 � 31pa� 1q2 � 20

Reescribimos la expresión de la siguiente mane-ra para poder «reducirla» a un polinomio cua-drático.

� 7�pa� 1q2�2 � 31pa� 1q2 � 20

Fórmulas de Factorización

i) A2 �B2 � pA�BqpA�Bq

ii) A2 � 2AB �B2 � pA�Bq2

iii) A2 � 2AB �B2 � pA�Bq2

iv) A3 �B3 � pA�BqpA2 � AB �B2q

v) A3 �B3 � pA�BqpA2 � AB �B2qGeneradores de Conocimientos. GECOUSB GuíasUSB


Hagamos nuevamente un cambio de variable, t � pa� 1q2 y obtenemos que

7�pa� 1q2�2 � 31pa� 1q2 � 20 CV� 7t2 � 31t� 20

Ahora que tenemos un polinomio cuadrático ya podemos pensar en factorizar, sin embargono podemos usar el mismo método anterior ya que este polinomio no es de la forma x2 � bx� c.Para polinomios cuadráticos de la forma ax2�bx�c utilizaremos un caso de tanteo más especial.

Descomponemos el 7 en dos factores, por ejemplo 7 � p7qp1q. Descomponemos también �20como �20 � p�4qp5q, aunque también pudiese ser �20 � p�1qp20q, �20 � p�5qp4q, etc. Noobstante debemos «tantear» una combinación que sea la factorización.

Ahora, observe la figura y vea como hemos multiplicado los factores que hemos sacado y elresultado que hemos obtenido: El coeficiente que acompaña a t. Esta es la forma de saber quela descomposición es acertada y que la factorización que se muestra en rojo es la correcta, porlo tanto:

7t2 � 31t� 20 � p7t� 4qpt� 5q CV� �7pa� 1q2 � 4

� �pa� 1q2 � 5�

Note que aún podemos seguir factorizando, ya que el factor p7pa� 1q2 � 4q es casi unadiferencia de cuadrados, por lo tanto es factorizable, al contrario del factor ppa� 1q2 � 5q, lasuma de cuadrados no es factorizable en R.

Utilizaremos la fórmula de factorización número i.

Escribamos el primer factor como una diferencia de cuadrados:�7pa� 1q2 � 4

� �pa� 1q2 � 5� � �p?7q2pa� 1q2 � 4

�pa� 1q2 � 5�

��?

7pa� 1q2� 4

�pa� 1q2 � 5�

Vea bien lo que hemos hecho, hemos reescrito el número 7 como p?7q2 para poder meterlodentro del cuadrado junto con el factor pa�1q y así tener una verdadera diferencia de cuadrados.



usando la fórmula i��?7pa� 1q

2� 4

�pa� 1q2 � 5� � �?7pa� 1q � 4

�?7pa� 1q � 4

�pa� 1q2 � 5�

��?

7a� 7� 4�?

7a� 7� 4 �pa� 1q2 � 5

��?

7a� 3�?

7a� 11 �pa� 1q2 � 5

�

Finalmente

7pa� 1q4 � 31pa2 � 2a� 1q � 20 ��?

7a� 3�?

7a� 11 �pa� 1q2 � 5

�

Ejemplo 21: Factorice las siguientes expresiones

a) m3 � 3m2 � 16m� 48 b) a5 � 4a3 � 8a2 � 32

Solución:

En este ejemplo presentamos la factorización por agrupación, que sirve para factorizarpolinomios de grado mayor a dos con solo aplicar factor común.

Parte a:

La idea es factorizar parcialmente la expresión para que aparezca un factor común global ycontinuar factorizando, de ser necesario.

Sacamos factor común de los primeros dos monomios, luego hacemos lo mismo con losrestantes

m3 � 3m2 � 16m� 48 � m2pm� 3q � 16m� 48� m2pm� 3q � 16pm� 3q

Note que antes teníamos la suma de cuatro términos y ahora tenemos la suma dos términos,lo cuales tienen un factor en común, el m� 3.

Sacamos factor común m� 3:

m2pm� 3q � 16pm� 3q � pm� 3qpm2 � 16q� pm� 3qpm2 � 42q� pm� 3qpm� 4qpm� 4q

Finalmente

m3 � 3m2 � 16m� 48 � pm� 3qpm� 4qpm� 4q



Parte b:

Nuevamente, sacamos factor común de forma parcial

a5 � 4a3 � 8a2 � 32 � a3pa2 � 4q � 8pa2 � 4q� pa2 � 4qpa3 � 8q

Fíjese que podemos seguir factorizando ya que los dos factores que nos quedaron sonfactorizables al ser uno una diferencia de cuadrados y otro una diferencia de cubos.

pa2 � 4qpa3 � 8q � pa2 � 22qpa3 � 23q� pa� 2qpa� 2qpa3 � 23q

Para la diferencia de cubos usaremos la fórmula de factorización número iv.

pa� 2qpa� 2qpa3 � 23q � pa� 2qpa� 2qpa� 2qpa2 � 2a� 4q

El polinomio a2 � 2a � 4 no se puede factorizar más en los números reales, por razones queusted verá más adelante en su curso de matemáticas.

Finalmente

a5 � 4a3 � 8a2 � 32 � pa� 2qpa� 2qpa� 2qpa2 � 2a� 4q

Ejemplo 22: Factorice el polinomio

x4 � 2x2 � 9

Solución:

Ya hemos visto que polinomios de este estilo se pueden factorizar aplicando un cambio devariable y reducirlos a polinomios de grado dos. No obstante, note que este polinomio no sepuede factorizar por dicho procedimiento ya que luego no podremos utilizar tanteo, de hecho nopodríamos factorizar como un polinomio de grado dos.

Para este ejercicio acudiremos a una técnica muy recurrente en manipulación algebraica: Lade sumar y restar términos de forma conveniente.

x4 � 2x2 � 9 � x4 � 2x2 � 9� p4x2 � 4x2q � x4 � 2x2 � 4x2 � 9� 4x2 � x4 � 6x2 � 9� 4x2

Hemos sumado y restado el monomio 4x2, lo cual no genera ningún problema, pues es comosumar cero. La razón de ser de este truco es la siguiente:

x4 � 6x2 � 9� 4x2 � px2 � 3q2 � 4x2 � px2 � 3q2 � p2xq2


Operaciones básicas en R Expresiones Racionales Página 24

Hemos convertido el polinomio inicial en una diferencia de cuadrados. Factorizamos comocorresponde

px2 � 3q2 � p2xq2 � px2 � 3� 2xqpx2 � 3� 2xq � px2 � 2x� 3qpx2 � 2x� 3q

Los dos factores resultantes, que son ambos polinomios de segundo grado, no son factorizables,por lo que finalmente

x4 � 2x2 � 9 � px2 � 2x� 3qpx2 � 2x� 3q

Si no está convencido del procedimiento, haga propiedad distributiva hacia atrás y verá quellegará al polinomio inicial.

Ejemplo 23: Simplifique las expresiones

a) a2 � a� 10a2 � 7a� 10 b) x2 � x� 6

x2 � 2x� x3 � x2

x2 � 2x� 3

Solución:

Parte a:

Para simplificar expresiones algebraicas, siempre y cuando estas sean simplificables,tendremos primero que factorizar todas las expresiones como los dos polinomios que conformaneste ejercicio y luego ver que se puede simplificar.

Por lo tanto no es válido pensar que el monomio a2 del numerador se puede «cancelar» conel del denominador. La razón es que ninguno de los están multiplicando.

Se ve que es posible utilizar tanteo, de forma que vamos a factorizar:

a2 � a� 10a2 � 7a� 10 � pa� 5qpa� 4q

pa� 2qpa� 5q

Note que ahora, tanto en el denominador como en el denominador, tenemos factores que semultiplican por lo que ya podemos pensar en simplificar o «cancelar» términos.

pa� 5qpa� 4qpa� 2qpa� 5q �

pa� 4qpa� 5qpa� 2qpa� 5q �

a� 4a� 2

a� 5a� 5 � a� 4

a� 2p1q �a� 4a� 2

Hemos hecho la simplificación lenta o menos directa, para que usted vea que tachar términosno es cuestión de magia. De ahora en adelante lo haremos de la forma tradicional.



Parte b:

Ahora tenemos el producto (nos lo indica el signo de producto) entre dos expresiones comola que simplificamos en la parte anterior. De forma que, tal y como en la parte anterior,factorizamos:

x2 � x� 6x2 � 2x

� x3 � x2

x2 � 2x� 3 � px� 3qpx� 2qxpx� 2q � x2px� 1q

px� 3qpx� 1q

Observe que no siempre factorizaremos con tanteo, justo acabamos de factorizar por factorcomún.

Vea también que podemos simplificar algunos términos de ambas expresiones antes de hacerel producto.

px� 3qpx� 2qxpx� 2q � x2px� 1q

px� 3qpx� 1q �x� 3

x� x2

x� 3 � px� 3qx2

xpx� 3q � x2

x� x

Finalmente:

x2 � x� 6x2 � 2x

� x3 � x2

x2 � 2x� 3 � x

Ejemplo 24: Simplifique la expresión

2x2 � 3x� 2x2 � 1

2x2 � 5x� 2x2 � x� 2

Solución:

Aunque en este ejemplo podríamos factorizar primero como antes, primero ejecutamos la«doble c» y luego factorizaremos:

2x2 � 3x� 2x2 � 1

2x2 � 5x� 2x2 � x� 2

� p2x2 � 3x� 2qpx2 � x� 2qpx2 � 1qp2x2 � 5x� 2q

� p2x� 1qpx� 2qpx� 2qpx� 1qpx� 1qpx� 1qp2x� 1qpx� 2q

� x� 2x� 1



Ejemplo 25:

1� x2

9� x2 �x2

9� 6x� x2 �6x

9� 6x� x2

Solución:

Para sumar o restar expresiones racionales debemos hacer el Mínimo Común Múltiplo, paralo cual debemos factorizar los denominadores en busca de los comunes y no comunes.

Sin embargo, nos gusta ordenar los polinomios de forma descendente así que antes de empezarharemos unos pequeños ajustes.

1� x2

9� x2 �x2

9� 6x� x2 �6x

9� 6x� x2 �x2 � 1x2 � 9 �

x2

x2 � 6x� 9 �6x

x2 � 6x� 9

Ahora sí, factoricemos los denominadores para encontrar el MCM entre ellos.

x2 � 1px� 3qpx� 3q �

x2

px� 3q2 �6x

px� 3q2

Para encontrar el MCM debemos localizar quiénes son los factores comunes y los no comunes.

Comunes: x� 3; px� 3q2; x� 3; px� 3q2 No comunes: No hay.

La teoría nos dice que para encontrar el MCM debemos tomar de entre los comunes a losque tengan la mayor potencia y de los no comunes a todos, para así multiplicarlos. Como solotenemos comunes entonces el MCM está dado por:

px� 3q2px� 3q2

De manera que, ya con nuestro MCM, hacemos el mismo procedimiento que cuandosumábamos o restábamos fracciones de números reales. Si desea refrescar su memoria remítaseal ejemplo 1.

x2 � 1px� 3qpx� 3q �

x2

px� 3q2 �6x

px� 3q2 �px� 3qpx� 3qp1� x2q � px� 3q2px2q � px� 3q2p6xq

px� 3q2px� 3q2

Ahora haremos algo que le puede parecer contradictorio, vamos a desarrollar todo elnumerador para poder escribir todo como un solo polinomio.



� px� 3qpx� 3qp1� x2q � px� 3q2px2q � px� 3q2p6xqpx� 3q2px� 3q2

� px2 � 9qp1� x2q � x2px2 � 6x� 9q � 6xpx2 � 6x� 9qpx� 3q2px� 3q2

� x4 � 10x2 � 9� x4 � 6x3 � 9x2 � 6x3 � 36x2 � 54x

px� 3q2px� 3q2

� �10x2 � 9� 9x2 � 36x2 � 54x

px� 3q2px� 3q2

� �55x2 � 9� 54x

px� 3q2px� 3q2

� 9� 54x� 55x2

px� 3q2px� 3q2

Finalmente:

1� x2

9� x2 �x2

9� 6x� x2 �6x

9� 6x� x2 �9� 54x� 55x2

px� 3q2px� 3q2

Ejemplo 26: Efectúe la resta

52x� 3 �

3p2x� 3q2

Solución:

Como seguramente ya se dio cuenta los métodos para sumar o restar fracciones de númerosreales son aplicables a las expresiones racionales, de manera que ahora resolveremos este ejerciciode una forma diferente al anterior, aunque por supuesto, por cualquier método válido debeobtener el mismo resultado.

Multiplicamos la primera fracción por le término 2x � 3 arriba y abajo, en otras palabras,por un 1 conveniente:

52x� 3 �

3p2x� 3q2 �

5p2x� 3qp2x� 3q2 �

3p2x� 3q2

Vea que ahora tenemos la resta de dos fracciones con igual denominador, de forma quepodemos decir:

5p2x� 3qp2x� 3q2 �

3p2x� 3q2 �

5p2x� 3q � 3p2x� 3q2 � 10x� 15� 3

p2x� 3q2 � 10x� 18p2x� 3q2



Ejemplo 27: Simplifique

1x� x

x� x2

x� 1

Solución:

Aunque parezca un ejercicio complicado, realmente se trata de hacer operacionessucesivamente hasta conseguir una sola fracción.

Sumamos las dos fracciones más internas:

1x� x

x� x2

x� 1

� 1x� x

xpx� 1q � x2

x� 1

� 1x� x

x2 � x� x2

x� 1

� 1

x�x

1x

x� 1� 1

x� xpx� 1qx

� 1x� px� 1q �

1x� x� 1 � 1

�1 � �1

Finalmente:

1x� x

x� x2

x� 1

� �1

Ejemplo 28: Racionalice las expresiones

a) 3x?x� b

b) 2a?x� 1

Solución:

Parte a:

Racionalizar las expresiones puede parecer mecánico, sin embargo debe estar siempre atentopues en la parte b se percatará del detalle en el procedimiento.

Racionalizar consiste en «quitar» las raíces del numerador o del denominador, aplicandotécnicas algebraicas.

La manera de deshacernos de la raíz en el caso a es haciendo que dicha raíz quede elevada alcuadrado y así, como usted bien sabe, la raíz se vaya con el cuadrado.



Multiplicamos entonces por le término?

x� b arriba y abajo:

3x?x� b

� 3x?

x� b?x� b

?x� b

� 3x?

x� b�?x� b

2 �3x?

x� b

x� b

Observe que la razón por la que la raíz desaparece es porque hemos multiplicado arriba yabajo por el término conveniente. Racionalizar se trata de encontrar el término conveniente.

Parte b:

Nuevamente, multiplicaremos por el término adecuado para poder eliminar las raíces.

2a?x� 1

� 2a?

x� 1�a?x� 1

2 �2a?

x� 1?x� 1

Note que aún tenemos una raíz debajo, sin embargo está restada por uno número lo quesignifica que no podemos aplicar exactamente el mismo procedimiento que antes. Necesitamosobtener el término conveniente de forma distinta que antes.

Para poder deshacernos de la raíz multiplicaremos por lo que de ahora en adelante llamaremosel conjugado del denominador, el término:

?x� 1

Este término es el mismo que el denominador de la fracción que hemos obtenido pero con elsigno opuesto.

Multipliquemos arriba y abajo por este término:

2a?

x� 1?x� 1 � 2

a?x� 1 p?x� 1q�?

x� 1� �?

x� 1�

Vea que en el denominador tenemos una diferencia de cuadrados, procedemos de acuerdo aello:

� 2a?

x� 1 p?x� 1q�?x�2 � 1

� 2a?

x� 1 p?x� 1qx� 1

Finalmente note que para poder eliminar esta raíz se tuvo que elevar ambos términos alcuadrado a través de multiplicar el término adecuado para generar una diferencia de cuadradosy aplicar el correspondiente producto.


Guía Precálculo. Ejercicios Propuestos Página 30

Ejercicios Propuestos

1-. Calcule 445�

454 Respuesta: 24

5

2-. Calcule112

18 � 1

9Respuesta: 6

3-. Calcule ��

15 �

��23

��1

6 �53�3

5

�� 2

3

��1

3

�� Respuesta: 7645

4-. Calcule��

25 �

11� 1

2

12 �

11� 2

5

Respuesta: �4835

5-. Calcule49 � 3

249 � 3

2� 16

35 Respuesta: �1

6-. Simplifique y escriba de la forma más compacta posible las siguientes expresiones:

a) p10x�2yq2p50x3y�1q2 Respuesta: y4

25x10

b)�

sr�2q�3

s2r3q�4

�3

Respuesta: s3r15

q3

c) p3ab2c�6q�

2a2b

c3

�2

Respuesta: 34a2

d) a�1b�1

a�3 � b�3 Respuesta: a2b2

b3 � a3

7-. Demuestre que�a

b

�n

��

b

a

n

8-. Simplifique las expresiones. Suponga la letras como positivas.

a)�

7

ca8b9

c2

�2

Respuesta: a2b2 7

ca2b4

c4

b) 4a

125h?

25h6 Respuesta: 5h

9-. Demuestre que ma

n?

a � nm?

a

10-. Suponga que las letras que representan números positivos y simplifique

a) p9stq 32

p27s3t�4q 23

Respuesta: 3t4 6?

t?s



b)�

a2b�3

x�1y2

3�x�2b�1

a32 y

13

Respuesta: xa4 4

?a

y6b10 3?

y

11-. Verifique que si n y q son números positivos�4b

5m� 23 n4q6 3

b2m

12 n3q5

�1

� 1|n||q|2nq 12

?2000q2

Sugerencia: Escriba las raíces como exponentes

12-. Calcule�b

1�a

1�?24

Respuesta: 2�?2� 2

a1�?

2

13-. Desarrolle la expresión�

m�2n14 �m� 1

2 n�12

Respuesta: m�4n12 � 2m� 3

2 n�34 �mn�2

14-. Desarrolle usando las fórmulas de productos notables

px� 1� x2qpx� 1� x2q

Respuesta: �x4 � x2 � 2x� 1

15-. Demuestre que

pa2 � b2q2 � pa2 � b2q2 � 4a2b2

16-. En cálculo diferencial, la derivada de la función fpxq � p2x� 1q3px� 3q 12 es

3p2x� 1q2p2qpx� 3q 12 � p2x� 1q

�12

px� 3q� 1

2

Factorice la expresión. Respuesta: 12p2x� 1qpx� 3q� 1

2 p14x� 35q

17-. Factorice las expresiones

a) x6 � 2x3 � 3 Respuesta: px� 3?

3qpx2 � 3?

3x� p 3?

3q2qpx� 3?

3qpx2 � 3?

3x� p 3?

3q2qb) a4 � pa� 2q2 Respuesta: pa� 2qpa� 1qpa2 � a� 2q

18-. Factorice x4 � x2 � 1

Sugerencia: Sume y reste x2 Respuesta: px2 � x� 1qpx2 � x� 1q19-. Factorice x�

32 � 2x�

12 � x

12 Respuesta: x�

32 px� 1q2

20-. Simplifique a expresiòn:�pa2 � axq2a2 � x2 � 1

a3 � a2x

��

a3 � a2x

a2 � 2ax� x2 �a2 � x2

a3 � ax2

�

Respuesta: 1a



21-. Simplifique la expresión

x2 � x� 12x2 � 49 � x2 � x� 56

x2 � x� 20 �x2 � 5x� 24

x� 5

Respuesta: 1x� 7

22-. Realice las operaciones correspondientes

a) 1x� 1

x2 �1x3

b) 2a2 �

3ab

� 4b2

Respuestas: x2 � x� 1x3 ; 2b2 � 3ab� 4a2

a2b2

23-. Simplifique la expresión �a� 1

b

m�a� 1

b

n

�b� 1

a

m�b� 1

a

n

Respuesta: am�n

bm�n

24-. Simplifique la siguiente expresión que se usa en el cálculo (ej. Mate 1, 2)d1�

�x3 � 1

4x3

2

Respuesta: 4x6 � 14x3

25-. Racionalice las siguientes expresiones:

a) x4apx� yq3 Respuesta: x 4

?x� y

x� y

b) �23?

5� 3?

2Respuesta: �2

3�

3?

25� 3?

10� 3?

4�

c) 5?5�?

3� 3?

5�?3

Respuesta:?

5� 4?

3


Bibliografía.

Stewart, J., Lothar, R. y Saleem, W. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo(6a. ed.). Cengage Learning.

Rodríguez, A., Kuhn, C. y Leal, S. (2015). Manual de Matemáticas.

Este material fue elaborado y tipeado en LATEX por Isaac Vera y Miguel Ángel Labrador parauso de toda la comunidad académica.

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