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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN
Tema No. 4 Análisis de Sensibilidad
Introducción
En los temas anteriores se han formulado y luego resuelto distintos modelos
de programación lineal. Puede observarse que si este fuera un problema
real, el tomador de decisiones tendría una buena solución para él y estaría
libre para dedicar su atención a otros asuntos. En muchos, si no en la
mayoría de los casos, esto simplemente no es verdad. Frecuentemente
ocurre que la solución de un modelo no es más que el punto de partida y
que en si mismo es la parte menos interesante del problema real. Recuerde
que si el modelo es una abstracción del problema en vivo. Normalmente, el
tomador de decisiones necesita hacerse preguntas adicionales antes de
confiar lo suficiente en los resultados como para aplicarlos al problema real.
Por ejemplo, puede haber consideraciones más bien significativas que
debido a su complejidad no se hayan incorporado al modelo. En el grado
que el modelo sea una simplificación de la realidad habrá siempre factores
que no se consideran. Es por ello que una vez resuelto el modelo
simplificado, el tomador de decisiones desearía saber como “encaja” la
solución óptima con otras consideraciones que pudieron no ser incluidas.
Por otro lado, pudiese haber incertidumbre o inexactitudes en algunos de
los datos que fueron usados en el modelo. En la solución de un problema
del mundo real lo anterior es la norma en lugar de la excepción. Muchas
veces el gerente desea saber: ¿Qué tan sensible es la solución a los datos
inexactos?, ¿ Qué sucede con la solución óptima si cambiamos la estimación
de un recurso en un 10 o en un 15%?, ¿Variará el valor objetivo o
permanecerá más o menos invariable?. Es obvio que la respuesta a
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preguntas como las anteriores ayudarán a determinar la credibilidad de las
recomendaciones del modelo.
Aunque algunas de las consideraciones precedentes pueden ser
desarrolladas solo informalmente, para fortuna tenemos a nuestra
disposición un instrumento riguroso y preciso. Estos instrumentos están en
el dominio del análisis paramétrico, análisis de sensitividad, análisis de
sensibilidad o análisis de post optimidad. Todos estos términos significan
esencialmente lo mismo y reviste tal significación que todo este tema se
desarrollará a la comprensión de la información sobre la sensibilidad
contenida en la solución calculada de un problema de programación lineal.
Enfoque General del Análisis de Sensibilidad
El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando
se ha aplicado con éxito el método simplex para identificar una solución
óptima. El cual es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir
mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el
método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al
anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o
de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el
número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la
solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la
función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay
una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
Una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del
modelo (aij, bi y cj) son constantes conocidas. En realidad, los valores de
los parámetros que se usan en este modelo son sólo estimaciones basadas
en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para
desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no
existen, es por esta razón que los parámetros de la formulación original
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pueden representar poco más que algunas pequeñas reglas proporcionadas
por el personal de línea el que tal vez se sintió presionado para dar su
opinión. Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o
pesimistas que protegen los intereses de los estimadores.
Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de
operaciones mantendrán cierto escepticismo respecto a los valores
originales entregados por el computador y, en los muchos casos, los
considerarán solamente como un punto de inicio para el análisis posterior
del problema. Una solución "óptima" es óptima nada más en lo que se
refiere al modelo específico que se está usando para representar el
problema real, y tal solución no se convierte en una guía confiable para la
acción hasta que se verifica que su comportamiento es bueno para otras
representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los
parámetros del modelo (en particular bi) se establecen como resultado de
decisiones por políticas gerenciales, y estas decisiones deben revisarse
después de detectar sus consecuencias.
Estas son las razones por las cuales es importante llevar a cabo un análisis
de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución
óptima proporcionada por el método simplex el hecho de que los
parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos
parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que
afecten la optimalizad de la solución. Sin embargo, también existirán
parámetros con valores probables que nos lleven a una nueva solución
óptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución
original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, o
tal vez no factibles.
Por lo tanto, el objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es
identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos
valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos
parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede
resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro
para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se
conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo). En algunos
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casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la
solución óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de
valores para el que la solución óptima (con los valores ajustados de las
variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre
de intervalo permisible para permanecer factible).
La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero,
identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un
cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que
tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles.
Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca
cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de
un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles,
ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.
En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los
cambios al modelo original alterarían los números de la tabla simplex final
(si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas
que realizó el método simplex la primera vez). Por lo tanto, después de
hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla simplex, se puede
verificar con facilidad si la solución óptima original ahora es no óptima (o no
factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para
comenzar de nuevo el método simplex (o el simplex dual) para encontrar
una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados en el
modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas
iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución
básica inicial "avanzada".
El tratamiento general en el análisis de sensibilidad consiste es suponer que
un modelo de programación lineal ha sido resuelto para después investigar
el efecto de hacer cambios en el modelo. Es decir se investiga los efectos
que tendría sobre la solución óptima y el valor objetivo óptimo, el hecho de
que los parámetros de la función objetivo y restricciones tomaran otros
valores posibles.
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El Análisis de Sensibilidad consiste en determinar que tan sensible es la
solución óptima, con respecto a los cambios en los datos del problema, es
decir, los coeficientes en la Función Objetivo y en las Restricciones. Para
ello se basa en la suposición de que todos los datos del problema, con
excepción de una parte, se conservan fijos y se pide información sobre el
efecto del cambio en esta parte de los datos a los que se permite variar. La
información solicitada incluye: el efecto sobre el valor óptimo, el efecto
sobre la solución óptima y el efecto sobre la región factible. En general
habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor
razonable sin que afecte la optimidad de esta solución. Sin embargo,
también habrá parámetros con valores probables que lleven a una nueva
solución óptima. Analiza la forma en que cambiara (si lo hace) la solución
derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por
otros valores posibles.
El Análisis de Sensibilidad también es denominado Análisis de Post-
optimización. Esto por dos razones. La primera es quelas interpretaciones
se refieren siempre a la solución optima en curso. La segunda, que la
mayoría de los cálculos se realizan después de que se ha obtenido la tabla
optima.
La base para aplicar este enfoque es identificar los posibles escenarios del
modelo analiazado, los cuales se clasifican en los siguientes:
����Pesimista: Es el peor panorama del problema, es decir, es el resultado
en caso del fracaso total del modelo.
����Probable: Éste sería el resultado más probable que supondríamos en el
análisis del modelo, debe ser objetivo y basado en la mayor información
posible.
����Optimista: Siempre existe la posibilidad de lograr más de lo que
proyectamos, el escenario optimista normalmente es el que se presenta
para motivar a los inversionistas a correr el riesgo.
Entre algunos de los aspectos más distintivos del análisis de sensibilidad se
tienen los siguientes:
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�Identifica los parámetros sensibles del modelo, es decir, los
parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la
solución óptima.
�Se justifican debido a que: los datos que sustentan el problema
pueden ser inexactos y por variación natural de la situación, más
cuando consideramos que el modelo es una abstracción simplificada
de la situación real que se está estudiando.
�Se efectúa para no tener que resolver nuevamente el problema
ante pequeños cambios controlados.
�Identifica los parámetros que serán necesarios controlar muy de
cerca cuando el estudio se ponga en marcha. Identifica los
parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado
especial para hacer estimaciones cercanas y selecciona una solución
que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores
posibles.
�Indica cuales son los coeficientes que afectan más
significativamente la solución óptima del problema.
Objetivo principal del análisis de sensibilidad
Establecer un intervalo de valores en el cual el parámetro que se analiza
puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima
siempre que el parámetro pertenezca a dicho intervalo.
Los parámetros cuyos cambios son objetos del análisis de sensibilidad
incluyen:
1. Los coeficientes de la función objetivo
2. Los valores del lado derecho de las restricciones.
La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero,
identifica los parámetros más importantes, con lo que se debería poner un
cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que
tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles.
Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca
cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de
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un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles,
ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.
En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los
cambios al modelo original alterarían los números de la tabla simplex final
(si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas
que realizó el método simplex la primera vez). Por lo tanto, después de
hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla simplex, se puede
verificar con facilidad si la solución óptima original ahora es no óptima (o
no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial
para comenzar de nuevo el método simplex (o el simplex dual) para
encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados
en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas
iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución
básica inicial "avanzada".
Interpretación Gráfica del Análisis de Sensibilidad
Para la interpretación gráfica del análisis de sensibilidad vamos a estudiar
inicialmente los cambios que se suscitan en los coeficientes objetivos y
posteriormente los cambios generados en los valores del lado derecho de
las restricciones.
Cambios en los Coeficientes Objetivos.
Supóngase que los datos de las restricciones permanecen invariables y que
solo se cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único
efecto en el modelo, desde el punto de vista geométrico, es que cambia la
pendiente de la recta de la ecuación objetivo; algunos cambios en los
coeficientes de la función objetivo no alteran la solución óptima, aun cuando
la recta tenga una pendiente diferente. El cambio en el Cj de una variable
se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un
producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el
costo de una materia prima para un objetivo de minimización.
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Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para
una variable no básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada
caso son muy diferentes. En síntesis los coeficientes de la función objetivo
pueden modificar la pendiente del contorno de esta. Esto puede afectar o no
a la solución optima y al valor optimo de la función objetivo.
Cambios en los valores del lado derecho de las restricciones.
Desde el punto de vista geométrico, puede verse que un cambio en el
segundo miembro de una restricción ocasiona un deslizamiento paralelo en
la recta de restricción modificada. Puede experimentarse asignando
diferentes valores a este segundo miembro y a los segundos miembros de
los otros lados para apreciar la diversidad de regiones factibles de
diferentes aspectos que pueden surgir de tan simples perturbaciones.
Resulta claro que el cambio del valor de un segundo miembro puede tener
un profundo efecto sobre la solución, este produce un desplazamiento
paralelo de la restricción modificada. Esto puede afectar tanto a la solución
óptima como al Valor Optimo del objetivo. El efecto dependerá de cual
restricción y en cuanto se ha alterado el valor del segundo miembro.
En síntesis:
����Aun el cambio más pequeño en el valor del lado derecho de una
restricción pudiera ocasionar que la solución óptima cambie.
����Mientras el valor caiga dentro de algún intervalo alrededor de su valor
original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en
proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo con el
Precio Dual.
����El menor cambio en el lado derecho de una restricción, tiene como
resultado un cambio en la región factible.
Limitando (estrechando) y relajando una restricción de desigualdad
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Relajación de una restricción
Se refiere a un cambio en el segundo miembro de una restricción que la
hace más fácil de satisfacer. Esto se hace mediante la disminución del
segundo miembro de una restricción ≥ o aumentando el segundo miembro
de una restricción ≤.
Al relajar a una restricción de desigualdad o bien se expande el conjunto
restringido o posiblemente quede inalterado.
Estrechar (Limitar) una restricción
Se refiere a los cambios de segundo miembro de una restricción de
desigualdad que la hace más difícil de satisfacer. Limitar una desigualdad
significa hacerla más difícil de satisfacer. Para una restricción ≥ esto
significa aumentar el segundo miembro de la desigualdad. Para una
restricción ≤ significa disminuirlo.
Al limitar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto
restringido o posiblemente quede inalterado.
Restricciones Activas e Inactivas
Las restricciones activas son aquellas para las cuales los valores óptimos de las
variables superfluas o de holgura son nulos, es decir son recursos escasos, se están
empleando completamente. Las restricciones activas contienen la solución óptima
del modelo.
Las restricciones inactivas son aquellas para las que los valores óptimos de las
variables superfluas o de holgura son positivos, por ello son recursos sobrantes.
En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fijo de datos, las
restricciones inactivas pueden ser alteradas sin afectar la solución óptima. La
solución óptima depende por completo de las restricciones activas.
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Restricciones Redundantes
Una restricción es redundante cuando al ser retirada no cambia la región factible.
Cuando no se puedan expulsar forzadamente todas las variables artificiales de la
solución, las restricciones asociadas a las variables artificiales que no se pudieron
forzar a salir de la solución óptima, son restricciones redundantes analíticamente. La
redundancia analítica implica que esa restricción se puede expresar como una
combinación lineal de las otras restricciones involucradas en la solución óptima y
por ello no es necesario que aparezca.
Es muy posible que una restricción redundante para un conjunto dado de datos no
lo sea cuando se cambian algunos de los datos.
Adición y supresión de restricciones
La adición de restricciones hace que la región factible quede inalterada o se acorte.
Esta o bien empeora el Valor Optimo o lo deja inalterado.
Al suprimir restricciones la región factible queda inalterada o aumenta. Esta o bien
mejora el Valor Optimo o lo deja inalterado.
Resolución de Modelos de Programación Lineal con la Computadora
(algunos software de interés)
El paquete LINDO es un software muy utilizado para problemas de PL. Se puede
bajar una versión para Windows gratuita en la página Home de LINDO en
http://www.lindo.com. En este sitio se explica cómo ejecutar e interpretar los
resultados del paquete LINDO.
SOLVER es un paquete agregado a Excel que sirve para optimizar los modelos
matemáticos sujetos a restricciones como PL. SOLVER emplea algoritmos
matemáticos para encontrar las soluciones óptimas (método simplex). Lo único que
tenemos que hacer es presentar el modelo en la hoja de cálculo de manera
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adecuada. De hecho SOLVER puede hacer mucho más, él puede resolver también
modelos no lineales.
SOLVER Consiste en dos programas: el primero es un programa de Visual Basic para
Excel el cual traduce el modelo escrito en la hoja de cálculo en una representación
interna al segundo programa que reside en la memoria fuera de Excel, éste realiza la
optimización y luego devuelve al primero la solución encontrada para actualizar la
hoja de cálculo. SOLVER se encuentra en el menú Herramientas de Excel, si este no
se encuentra allí, vaya a complementos y márquelo para traerlo al menú de
Herramientas, si tampoco se encuentra allí debe volver a instalar Excel.
Es importante mencionar que SOLVER también tiene su propia terminología, por
ejemplo: para la función objetivo se tiene celda objetivo, para las variables de
decisión se tiene cambiando las celdas, para el modelo de PL se tiene asumir modelo
lineal y para las restricciones se tiene también restricciones.
Análisis de la salida del computador para un problema de
Programación Lineal
Cuando se resuelve un programa lineal, la salida de la computadora contiene la
siguiente información:
1. Se dan los valores óptimos de las variables de decisión, las variables de
holgura y superfluas así como de la función objetivo. Del valor optimo de las
variables de holgura y superfluas se puede deducir rápidamente el valor de
las funciones de restricción (la cantidad de recursos usados, los niveles de
requerimientos satisfechos, etc.) y una solución optima. Las restricciones
con cero holguras o superflua son llamadas activas; obligatorias o efectivas.
Las que tengan valores de holgura o superfluas positivas se llamaran
inactivas.
2. El precio dual dice la tasa de mejora del Valor Optimo de la función objetivo,
cuando el segundo miembro de una restricción aumenta. “Mejora” significa
aumento en un modelo de maximización y disminución en un modelo de
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minimización de Rangos del Segundo Miembro dan un rango admisible en
los cambios del vector de disponibilidad de recursos sobre los cuales el
precio dual es válido. El precio dual es mencionado con frecuencia como
variable dual, precios sobra, precio imagen o precio ingresado.
3. Rangos del Coeficiente Objetivo, proporciona los cambios admisibles que se
pueden hacer a los coeficientes de la función objetivo sin que cambie la
solución óptima (los valores óptimos de las variables). Bajo condiciones
normales (se dice no degeneradas), si un coeficiente de la función objetivo
se modifica en una cantidad igual al cambio admisible, habrá una solución
óptima alternativa con nuevos valores para los variables. Si el coeficiente
cambia una cantidad que exceda el cambio admisible, habrá una nueva
solución óptima (suponiendo no degeneración).
4. “Salida de costos reducidos” se aplica a las variables de decisión cuyo valor
óptimo es cero. Proporciona la misma información que los Rangos de los
Coeficientes Objetivos para estas variables.
En conclusión, se debe anotar que el formato usado en la solución de problemas de
programación lineal difiere en detalles menores de un paquete de “software” a
otro. Sin embargo, la solida comprensión de un sistema prepara a uno para trabajar
con cualquier sistema con mínimo esfuerzo.
Análisis de la Solución óptima: Valor Objetivo óptimo, valor óptimo
de las variables, costos reducidos, precios duales (sombras).
����COSTO REDUCIDO: Es lo que se debe mejorar, el coeficiente de la función
objetivo de la variable no básica antes de que esta se convierta en una
variable básica en alguna solución optima del P.L también se puede decir,
que es la tasa neta de decremento del valor objetivo optimo que se obtiene
al incrementar la variable no básica asociada.
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En una solución óptima no degenerada (el número de variables de la forma
estándar para restricciones de igualdad con valores óptimos positivos es
igual al número de restricciones), el costo reducido de cualquier variable de
decisión particular se define como la cantidad en que debe cambiar el
coeficiente de esa variable en la función objetivo para tener un valor optimo
positivo para esa variable. De esta manera, si una variable es ya positiva en el
punto optimo, su costo reducido será cero. Si el valor óptimo de una variable
es cero, entonces, la definición de costos reducidos, puede verse que este es
el “aumento admisible” o la “disminución admisible”.
Considere ahora una solución degenerada (el número de variables de la
forma estándar para restricciones de igualdad con valores óptimos positivos
es menor al número de restricciones) con una variable de decisión cuyo valor
optimo sea cero. El coeficiente de esa variable en la función objetivo debe
ser cambiado por lo menos en (y posiblemente mas) el costo reducido, con
el objeto de que haya una solución opima en la que la variable aparezca a
nivel positivo.
Cuando se resuelve un problema por computadora la salida contiene la
siguiente información: Se dan los valores óptimos de las variables de
decisión, las variables de holgura y superfluas (variables que se usan para
convertir una restricción de desigualdad en una de igualdad) así como de la
función objetivo. Del valor optimo de las variables de holgura y superfluas se
puede deducir rápidamente el valor de las funciones de restricción (la
cantidad de recursos usados, los niveles de requerimientos satisfechos, etc.)
y una solución optima. Las restricciones con cero holguras o superfluas son
llamadas activas; obligatorias o efectivas. Las que tengan valores de holgura
o superfluas positivos se llamaran inactivas.
����PRECIO SOMBRA O PRECIO DUAL: Es la cantidad en la que se mejora el valor
optimo de Z si el lado derecho de la restricción se incrementa una unidad
(suponiendo que la base sigue siendo optima).
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El precio dual dice la tasa de mejora del VO (valor óptimo de la función
objetivo) cuando el segundo miembro de una restricción aumenta. “Mejora”
significa aumento en un problema de maximización y disminución en un
problema de minimización de RANGOS DEL SEGUNDO MIEMBRO dan un
rango admisible en los cambios del vector de disponibilidad de recursos
sobre los cuales el precio dual es válido. El precio dual es mencionado
comúnmente como variable dual, precio imagen o precio ingresado.
Los rangos de la función objetivo proporcionan los cambios admisibles que
se pueden hacer en los coeficientes de la función objetivo sin que cambie la
solución óptima (los valores óptimos de las variables). Bajo condiciones
normales (se dice no degenerada9, si un coeficiente de a función objetivo se
modifica en una cantidad igual al cambio admisible, habrá una solución
optima alternativa con nuevos valores para las variables. Si el coeficiente
cambia una cantidad que exceda el cambio admisible, habrá una nueva
solución óptima (suponiendo la no degeneración).
La salida de costos reducidos se aplica a variables de decisión cuyo valor
óptimo es cero. Proporciona la misma información que los rangos de los
coeficientes objetivos para estas variables.
ANÁLISIS DE CASO
Protac Inc. Produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos
(llamada equipo de remoción de escombros) se destina esencialmente a las
aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está
destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos
para remover escombros (el E-9) y el mimbro mayor de la línea de equipos
forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo.
Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de
mercadotecnia de Protac juzga que durante ese periodo será posible vender todos
los E-9 y F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora
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recomendar una cedula de producción para el próximo mes. Es decir ¿Cuántos E-9s y
F-9s deben producirse?
CONSIDERACIONES PRINCIPALES
1. Protac tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda y $4000 por
cada F-9.
2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A
como en el departamento B.
3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen
disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas de
operación mecánica en el departamento A y 20 horas en el departamento B,
mientras que cada F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en
el departamento B.
Departamento Para los E-9 Para los F-9 Total
Disponible
A 10 15 150
B 20 10 160
4. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de
trabajo que se dedicaran a la comprobación del acabado de los productos
terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta
establecida de 150 horas. Esta comprobación se realiza en un tercer
departamento que no tiene relación de las actividades del departamento A y
B. Cada E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada F-9 10. Puesto que el
10% de 150 es 15, el total de horas de trabajo destinadas a la comprobación no
puede ser de menos de 135.
1 E-9 1 F-9 Requerimientos
en total de horas
Horas para 30 10 135
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comprobación
5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado la alta gerencia
ha decretado que para la política de operaciones es necesario construir al
menos un F-9 por cada 3 E-9s.
6. Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo menos cinco
aparatos (en cualquier combinación de E-9s y F-9s) para el próximo mes, así
que por lo menos debe producirse esa cantidad.
Max 5000E + 4000F
S.a:
E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción)
E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado)
10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A)
20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B)
30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo)
E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)
10E + 15F =150
Fig. 1. Conjunto factible completo.
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA
Supóngase que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo
cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único efecto en el
modelo desde el punto de vista geométrico es que cambia la pendiente de la recta
de utilidades a tal grado que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos
cambios en los coeficientes de la
aun cuando la recta de utilidades tenga una pendiente diferente.
Por ejemplo, vamos a reemplazar la antigua
nueva Función Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a
los E-9 y más alta a los F-9.
Ahora hay tres Funciones Objetivo diferentes:
IENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo
cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único efecto en el
modelo desde el punto de vista geométrico es que cambia la pendiente de la recta
que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos
cambios en los coeficientes de la Función Objetivo no alteran la solución óptima,
aun cuando la recta de utilidades tenga una pendiente diferente.
Por ejemplo, vamos a reemplazar la antigua Función Objetivo 5000E + 4000F con la
Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a
Ahora hay tres Funciones Objetivo diferentes:
5000E + 4000F
4000E + 5000F
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que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo
cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único efecto en el
modelo desde el punto de vista geométrico es que cambia la pendiente de la recta
que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos
Objetivo no alteran la solución óptima,
jetivo 5000E + 4000F con la
Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a
Fig. 2. Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las
correspondientes soluciones.
Se muestra que las pendientes negativas asociadas con los contornos de cada una
de las tres funciones llegan a ser progresivamente menos inclinados (los contornos
van siendo más horizontales) cuando la redituabilidad de los F
respecto a los E-9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)
aumenta].
Sin embargo, aunque los objetivos 5000E + 4000F y 4000E + 5000F tienen
contornos diferentes pendientes, estas no son lo bastantes diferentes para darnos
un nuevo vértice como solución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la
solución optima es la misma, en concreto E*= 4,5 y F*= 7,0.
Por otra parte, es importante observar que en este caso la utilidad
En el caso anterior se tenía:
5000E + 10000F
Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las
Se muestra que las pendientes negativas asociadas con los contornos de cada una
de las tres funciones llegan a ser progresivamente menos inclinados (los contornos
horizontales) cuando la redituabilidad de los F-9 aumenta con
9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)
Sin embargo, aunque los objetivos 5000E + 4000F y 4000E + 5000F tienen
contornos diferentes pendientes, estas no son lo bastantes diferentes para darnos
ución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la
solución optima es la misma, en concreto E*= 4,5 y F*= 7,0.
Por otra parte, es importante observar que en este caso la utilidad óptima
Función Objetivo = 5000E + 10000F
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Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las
Se muestra que las pendientes negativas asociadas con los contornos de cada una
de las tres funciones llegan a ser progresivamente menos inclinados (los contornos
9 aumenta con
9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)
Sin embargo, aunque los objetivos 5000E + 4000F y 4000E + 5000F tienen
contornos diferentes pendientes, estas no son lo bastantes diferentes para darnos
ución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la
óptima difiere.
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Utilidad optima = 5000E* + 4000F*
= 5000(4,5) + 4000 (7) = 50,500
Mientras que en el último caso
Utilidad optima = 4000E* + 5000F*
= 4000(4,5) + 5000 (7) = 51,200
CAMBIOS EN EL SEGUNDO MIEMBRO
Pasemos por alto la Función Objetivo y concentrémonos en el segundo miembro de
las funciones de restricción. Nuevamente el análisis grafico explicara con claridad
los efectos de los cambios en los parámetros. Como ejemplo específico vamos a
suponer que la quinta restricción del modelo de Protac Inc.:
30E + 10F ≥ 135 (Contrato de Trabajo) (a)
Transforma en:
30E + 10F ≥ 210 (b)
Puesto que 135 es un numero más pequeño que 210 la expresión (a) es más fácil de
satisfacer que (b). Por ejemplo, el par (E=3; F=5) satisface a (a) porque
30E + 10F = 30(3) + 10(5)= 90 + 50 = 140
Puesto que 140 ≥ 135 queda satisfecha (a). Pero 140 es menor que 210 y por lo tanto
el par (E=3; F=5) no satisface la condición (b), las condiciones más escasas de
valores E y F satisfacen la igualdad (b). Debido a esto, es razonable esperar que el
cambio de (a) a (b) podría, en cierto sentido “recortar” la región factible.
Desde el punto de vista geométrico, puede verse que un cambio en el segundo
miembro de una restricción ocasiona un deslizamiento paralelo en la recta de
restricción. Entonces en este caso, el razonamiento anterior sugiere que al cambiar
el segundo miembro de 135 a 210, la quinta recta de restricción se desliza
que se elimine una parte de la región factible.
Fig. 3 Análisis Gráfico del modelo original.
Esta figura muestra el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).
el segundo miembro de 135 a 210, la quinta recta de restricción se deslizara de modo
que se elimine una parte de la región factible.
Análisis Gráfico del modelo original.
el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).
20
ra de modo
el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).
21
Fig. 4 Análisis Gráfico del modelo con un nuevo segundo miembro para la quinta restricción.
Esta figura muestra el nuevo conjunto de restricciones en el que la quinta restricción
(a) ha sido reemplazada por (b). Aunque desde el punto de vista geométrico el
conjunto de restricciones del análisis grafico del modelo con un nuevo segundo
miembro luce bastante deferente del modelo original, lo único que se ha hecho es
deslizar la restricción rotulada como (5) alejándola del origen hacia su nueva
posición. Puede experimentarse asignando diferentes valores a este segundo
miembro y a los segundos miembros de los otros lados para apreciar la diversidad
de regiones factibles de diferente aspecto que pueden surgir de tan simples
perturbaciones.
Analizando ahora el grafico del modelo con un nuevo segundo miembro para la
quinta restricción. Se muestra la solución optima para la Función Objetivo 5000E +
4000F. Comparando esto con el análisis grafico del problema original puede verse
que la solución del nuevo problema es enteramente diferente de la anterior.
Tenemos:
Problema Anterior:
Restricciones Activas: (3) y (4)
Restricciones Inactivas: (1), (2) y (5)
Solución (Resolviendo las restricciones activas):
E*= 4,5; F*= 7
Utilidad Optima= VO= 50,500
Nuevo Problema:
Restricciones Activas: (4) y (5)
Restricciones Inactivas: (1), (2) y (3)
22
Solución:
Restricciones (4): 20E + 10F = 160
Restricciones (5): 30E + 10F = 210
-10E = -50
E = 5
Sustituyendo: 20(5) + 10F = 160
F = 6
Por lo tanto, E*= 5; F*=6
Utilidad Optima= VO= 5000E* + 4000F*
= 5000(5) + 4000(6)= 49000
LIMITANDO Y DISMINUYENDO UNA RESTRICCIÓN DE DESIGUALDAD
En el punto anterior hemos comparado las dos restricciones:
30E + 10F ≥ 135 (a)
30E + 10F ≥ 210 (b)
Hacemos notar que todas las restricciones son de forma ≥, y dado que el segundo
miembro de la desigualdad (b) es mayor que el de (a), la primera es más difícil de
satisfacer.
Este proceso de aumentar el segundo miembro de una restricción ≥ se llama limitar
la restricción. La restricción (b) está más limitada que la (a) en forma análoga, si el
segundo miembro de una restricción ≤ disminuye, la restricción se vuelve más difícil
de satisfacer y por lo tanto resulta más limitada.
23
Supóngase que en vez de aumentar el segundo miembro de (a) lo disminuimos de
modo que:
30E + 10F ≥ 100 (c)
Puede verse que, como el segundo miembro de la desigualdad es un número más
pequeño y como (c) es una restricción ≥, hay más combinaciones de valores de E y F
que la satisfacen, la restricción resulta más fácil de satisfacer. Este proceso de
disminuir el segundo miembro de una restricción ≥ se llama disminuir la restricción.
La restricción (c) esta más disminuida que la (a). De igual manera, si se aumenta el
segundo miembro de una restricción ≤ se vuelva más fácil de satisfacer y por lo
tanto esta mas disminuida.
En general, estos resultados son verdaderos para desigualdades de restricción y no
dependen de la dimensión del modelo (el numero de variables de decisión) o si la
restricción es de la forma ≤ o ≥. Los efectos de limitar (disminuir) varias restricciones
a la vez también contrae (expande) o, posiblemente, dejen inalterada la región
factible. Sin embargo, si unas restricciones se estrechan mientras que otras se
aflojan simultáneamente, es poco lo que se puede decir sobre el resultado.
RESTRICCIONES REDUNDANTES
Una restricción como la número 1 de la grafica 2 se llama redundante. Aunque hay 5
restricciones graficadas en esta figura, solo se requieren cuatro para definir la
región factible. Esto se debe a que, como claramente lo indica el dibujo, cualquier
combinación de E y F que satisfaga las restricciones rotuladas como (2), (3), (4) y
(5), automáticamente satisfará la restricción marcada con (1).
Puesto que una restricción redundante puede ser descartada por definición, sin
cambio en la región factible, su eliminación no afectara a la solución óptima del
problema.
Es importante destacar:
1. Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de
reconocer. Aun el caso simple de problemas con dos variables de decisión, si
se está mirando solo la forma algebraica del modelo
restricciones redundantes no se destacan de inmediato. Por ejemplo, no es
evidente a partir de la formulación
redundante en el modelo en estudio. La representación grafica, por
supuesto, lo hace claro en este problema bidimensional.
2. Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,
supongamos que el administrador de Protac, Inc. decide explorar los efectos
de una nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar
de 5. Entonces el segundo mie
vez de 5.
Fig. 5. Limitación a la quinta restricción.
3. En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera
restricción modificada. En otras palabras, al estrechar el requerimiento de 5 a
7 nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.
Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de
reconocer. Aun el caso simple de problemas con dos variables de decisión, si
mirando solo la forma algebraica del modelo matemático
restricciones redundantes no se destacan de inmediato. Por ejemplo, no es
evidente a partir de la formulación matemática que la restricción E + F
redundante en el modelo en estudio. La representación grafica, por
supuesto, lo hace claro en este problema bidimensional.
Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,
supongamos que el administrador de Protac, Inc. decide explorar los efectos
nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar
de 5. Entonces el segundo miembro de la primera restricción cambiara a 7 en
Limitación a la quinta restricción.
En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera
restricción modificada. En otras palabras, al estrechar el requerimiento de 5 a
nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.
24
Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de
reconocer. Aun el caso simple de problemas con dos variables de decisión, si
matemático, las
restricciones redundantes no se destacan de inmediato. Por ejemplo, no es
que la restricción E + F ≥ 5 sea
redundante en el modelo en estudio. La representación grafica, por
Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,
supongamos que el administrador de Protac, Inc. decide explorar los efectos
nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar
cambiara a 7 en
En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera
restricción modificada. En otras palabras, al estrechar el requerimiento de 5 a
nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.
Por esta razón es frecuente que una restricción redundante permanezca en
un modelo.
ADICIÓN Y SUPRESIÓN DE RESTRICCIONES
Aplicando el análisis en el modelo de Protac, Inc. suprimir
(1) (la restricción redundante) puede no tener efecto en el modelo. Suprimir la
restricción (2) permite que se agrande la región factible. Suprimir la restricción (5)
permite un mayor crecimiento. Entonces, en general, al suprimi
región factible queda inalterada o aumenta.
Ya se ha observado el efecto de
efecto durante el desarrollo de la grafica del conjunto restringido del modelo de la
Protac, Inc. Recuérdese que la superposición de restricciones sucesivas tiene el
efecto de “recortar” el conjunto restringido.
Puesto que la adición de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región
factible, agregar una nueva restricción a un modelo puede causar que se recorte
una pieza del conjunto restringido que contenga la solución optima previa. Si esto
ocurre el resultado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.
Por esta razón es frecuente que una restricción redundante permanezca en
ESTRICCIONES
Aplicando el análisis en el modelo de Protac, Inc. suprimir la restricción marcada con
(1) (la restricción redundante) puede no tener efecto en el modelo. Suprimir la
restricción (2) permite que se agrande la región factible. Suprimir la restricción (5)
permite un mayor crecimiento. Entonces, en general, al suprimir restricciones la
región factible queda inalterada o aumenta.
Ya se ha observado el efecto de agregar restricciones al modelo. Se mostro este
efecto durante el desarrollo de la grafica del conjunto restringido del modelo de la
Protac, Inc. Recuérdese que la superposición de restricciones sucesivas tiene el
efecto de “recortar” el conjunto restringido.
de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región
factible, agregar una nueva restricción a un modelo puede causar que se recorte
una pieza del conjunto restringido que contenga la solución optima previa. Si esto
tado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.
25
Por esta razón es frecuente que una restricción redundante permanezca en
la restricción marcada con
(1) (la restricción redundante) puede no tener efecto en el modelo. Suprimir la
restricción (2) permite que se agrande la región factible. Suprimir la restricción (5)
r restricciones la
restricciones al modelo. Se mostro este
efecto durante el desarrollo de la grafica del conjunto restringido del modelo de la
Protac, Inc. Recuérdese que la superposición de restricciones sucesivas tiene el
de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región
factible, agregar una nueva restricción a un modelo puede causar que se recorte
una pieza del conjunto restringido que contenga la solución optima previa. Si esto
tado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.
26
Fig. 6. Adición de una sexta restricción.
En la figura se ha agregado una sexta restricción de desigualdad al modelo de
Protac, Inc.
La región sombreada enmarca la parte del conjunto restringido que se elimino
mediante la adición de la restricción marcada con (6). La dirección “cuesta arriba”
del diagrama es hacia el noroeste y la nueva línea de utilidades máximas no está tan
“cuesta arriba” como la anterior. Por lo tanto, la imposición de una nueva
restricción ha conducido a una reducción en la utilidad óptima.
Entre mayor sea el numero de restricciones, mayor será la probabilidad de que el
valor del objetivo optimo sea menos deseable.
La adición y supresión de restricciones dan resultados análogos a los de limitar o
disminuir a las restricciones de desigualdad, sobre los efectos de la región factible y
el valor optimo del objetivo.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LA PROTAC INC. POR COMPUTADORA
En esta sección usaremos la computadora para analizar el problema de la Protac Inc.
La comprensión de lo que se esta leyendo sobre los resultados obtenidos por la
computadora depende de la correlación que se haga, siempre que sea posible, de
los conceptos que se presenten con las nociones geométricas ya desarrolladas.
Para una fácil referencia vamos a reproducir aquí el modelo junto con el análisis
grafico expuesto:
Max 5000E + 4000F
S.a:
E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción) (1)
E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado) (2)
10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A) (3)
20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B) (4)
30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo) (5)
E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)
Como ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;
F*=7.
Fig. 7. Nueva visita a Protac, Inc.
Para el modelo tenemos:
VO= utilidad máxima= 5000E* + 4000F*
0 (Balance de Posición en el mercado) (2)
≤ 150 (Capacidad del Departamento A) (3)
≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B) (4)
≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo) (5)
≥ 0 (Condiciones de no negatividad)
ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;
VO= utilidad máxima= 5000E* + 4000F*
=5000(4,5) + 4000(7)=50,500
27
ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;
28
Reconocemos que las dos restricciones en horas de trabajo disponibles en los
departamentos A y B son activas en el punto óptimo. Las tres restricciones
restantes son inactivas.
���� FORMULACIÓN DEL PROBLEMA POR COMPUTADORA
Como ya hemos mencionada, la computadora procesa la forma estándar para la
restricción de igualdad. Sin embargo, como ya hemos visto, el proceso de convertir
un problema a la forma estándar por la restricción de igualdad es bastante
mecánico. Por esta razón, la mayoría de los códigos de computación PL aceptan
como entrada el modelo original, que puede tener algunas restricciones de
desigualdad y entonces la computadora automáticamente cambia el modelo a una
forma estándar para la restricción de igualdad antes resolver el problema. Por ello,
podemos introducir directamente el modelo original. No obstante, hay dos
formalidades importantes que se deben observar cuando se establezca un
problema para la computadora. Primero, que el algoritmo simplex que resuelve
problemas de programación lineal requiere que todas las variables sean no
negativas. Por lo tanto, esto debe efectuarse en el modelo que se ingrese
directamente a la computadora. Sin embargo, dado que la computadora siempre
supone que esto es verdad, no necesita escribirse esto de forma explícita.
El segundo punto es que todas las variables de las restricciones deben aparecer en
el primer miembro, en tanto que todos los términos constantes aparecerán a la
derecha. Por supuesto el modelo será el mismo ya sea que las variables estén o no
en el primer miembro y las constantes en el segundo, y en una simple descripción de
la formulación del modelo esta formalidad no necesita ser observada.
Ahora hagamos las siguientes observaciones:
1. La formulación del modelo que fue ingresado aparece arriba del resultado.
Se sigue de inmediato que el VO es 50,500
2. Los valores óptimos de las variables de decisión se muestran en la columna
“VALOR”. Ahí vemos que E*=4.5, F*=7,0. En esta columna se encontraran los
valores óptimos de todas las variables que aparezcan explícitamente en el
29
modelo que se hayan ingresado (no ingresamos variables de holgura y
superfluas, por lo que no aparecerán en esta columna).
3. La computadora marca reglones en lugar de restricciones. Considera que la
función objetivo será el reglón 1, la primera restricción el reglón 2, etc.
Fig. 8. Resultados para la Protac Inc obtenidos por computadora.
MAX 5000E + 4000F
SUJETO A
2) E + F > = 5
3) E – 3F < = 0
4) 10E + 15F < = 150
5) 20E + 10F < = 160
6) 30E + 10F > = 135
VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO
50500.00
VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO
E 4.50 0.00
F 7.00
REGLON VALOR COSTO REDUCIDO
2 6.50 0.00
3 16.50 0.00
4 000 150.00
5 0.00 175.00
6 70.00 0.00
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
VO= 50,500
S1*
Utilidad adicional
obtenida si está
disponible una hora de
trabajo adicional en el
departamento B
La solución optima es
E*=4.5, F*=7.0
30
RANGOS DE COEFICIENTES OBJETIVO
VARIABLE COEF. ACTUAL INCREMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
E 5000 3000.00 2333.33 F 4000 3500.00 1500.00
RANGOS DE LOS SEGUNDOS MIEMBROS
VARIABLE SEGUNDO MIEMBRO
ACTUAL
AUMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
2 5 6.50 INFINITO
3 0 INFINITO 16.50
4 150 90.00 47.14
5 160 73.33 40.00
6 135 70.00 INFINITO
4. La columna de “HOLGURA O SUPERFLUA” de los resultados da los valores
de las variables de holgura o superfluas. En el análisis geométrico hemos
visto que las restricciones de los departamentos A y B son activas. Todas las
demás son inactivas. Se puede ver, en los resultados que se muestran, como
ceros los valores de holgura de los reglones 4 y 5 y como valores de holguras
o superfluos positivos en los tres reglones restantes.
5. La solución es no degenerada. En la figura 7 solo dos líneas se interceptan en
el vértice óptimo. Esta es la interpretación geométrica. En los resultados de
salida, la no degeneración se revela en el hecho de que hay cinco variables
positivas (E*, F* y las holguras de los reglones 2,3 y 6) que igualan el numero
de restricciones que hay arriba del impreso de salida.
���� SENSIBILIDAD EN EL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS
Consideremos primero una situación en la que conservamos fijos todos los números
con excepción de las horas de trabajo disponibles en el departamento B.
Puesto que esta restricción sobre horas de trabajo disponibles es de la forma ≤,
podemos decir, que un aumento en el monto del segundo miembro “disminuye” la
Aumento y
disminución admisibles
en la redituabilidad de
F sin que cambie E* o
F*
Refleja el rango valido
para un precio dual de
175
restricción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no
puede disminuir el valor óptimo pero podría mejorarlo.
Sea el símbolo b el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.
entonces en la figura 7 será b
Fig. 9. Tres nuevos valores para b.
Superpongamos en la figura 9 las restricción del departamento B para los valores
b=161, b=233 1/3 y b= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de
corresponden, geométricamente, a desplazamientos paralelos de la recta de
restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de
significa que estamos disminuyendo la restricción, la interpretación geométrica es
que el conjunto restringido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos
conjuntos restringidos, junto con las soluciones
disponibilidades de trabajo de 161, 233 1/3 y 250 se muestran en las figuras 10, 11 y 12
respectivamente.
ción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no
puede disminuir el valor óptimo pero podría mejorarlo.
el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.
b=160.
Superpongamos en la figura 9 las restricción del departamento B para los valores
= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de
corresponden, geométricamente, a desplazamientos paralelos de la recta de
restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de
significa que estamos disminuyendo la restricción, la interpretación geométrica es
ngido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos
conjuntos restringidos, junto con las soluciones óptimas correspondientes a las
disponibilidades de trabajo de 161, 233 1/3 y 250 se muestran en las figuras 10, 11 y 12
31
ción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no
el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.
Superpongamos en la figura 9 las restricción del departamento B para los valores
= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de b
corresponden, geométricamente, a desplazamientos paralelos de la recta de
restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de b
significa que estamos disminuyendo la restricción, la interpretación geométrica es
ngido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos
correspondientes a las
disponibilidades de trabajo de 161, 233 1/3 y 250 se muestran en las figuras 10, 11 y 12
Estas figuras muestran algunos hechos interesantes:
1. Cuando b= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo
activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las
ecuaciones
Resolviendo el sistema, obtenemos E*= 4.575 y F*= 6.95. el nuevo beneficio máximo
viene a ser
Fig. 10. b =161
Fig. 12. b = 250
figuras muestran algunos hechos interesantes:
= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo
activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las
10E + 15F = 150
20E + 10F = 161
Resolviendo el sistema, obtenemos E*= 4.575 y F*= 6.95. el nuevo beneficio máximo
VO= 5000E* + 4000F*
Fig. 11.
32
= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo
activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las dos
Resolviendo el sistema, obtenemos E*= 4.575 y F*= 6.95. el nuevo beneficio máximo
. b =233 1/3
33
= 5000(4.575) + 4000(6.95) = 50,675
Obsérvese que
1. ∆VO= incremento de la utilidad =
= (utilidad cuando b= 161)-(Utilidad cuando b= 160)
= 50,675 – 50,500 = 175
Y también aparece 175 en los resultados de salida de la computadora, que se
muestran en la figura 8, como precio dual correspondiente al reglón 5, de la
restricción del departamento B.
2. La figura 11 muestra que cuando b= 233 1/3, las tres restricciones de los
departamentos A y B y el balance del mercado son activas. El resultado de
salida de la computadora para este problema se muestra en la figura 13. Esta
indica cero como variable de holgura en las tres restricciones activas. Solo
hay cuatro variables positivas. Dado que en este problema hay cinco
restricciones y como la solución optima tiene solo cuatro variables positivas,
esta es degenerada, de acuerdo con la definición dada en la sección
precedente. La solución actual es E*=10, F*= 3 1/3, también,
VO= 5000E* + 4000F*
= 5000(10) + 4000(3 1/3) = 63.333 1/3
Cuando b= 233 1/3, el segundo miembro de la restricción de trabajo del
departamento B aumenta 73 1/3 unidades mas allá del valor original 160. Esto resulta
consistente con la interpretación anterior del precio dual, que fue de 175 y vemos
que el VO aumenta en
∆VO= 63.333 1/3 – 50,500= 12,833 1/3 = (175) (73 1/3)
34
Fig. 13. Resultados de la computadora para b= 233.33.
MAX 5000E + 4000F
SUJETO A
2) E + F > = 5
3) E – 3F < = 0
4) 10E + 15F < = 150
5) 20E + 10F < =
6) 30E + 10F > = 135
VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO
VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO
E 10.00 0.00
F 3.33 0.00
REGLON VALOR COSTO REDUCIDO
2 8.33 0.00
3 0.00 0.00
4 000 150.00
5 0.00 175.00
6 198.33 0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
RANGOS DE LOS COEFICIENTES OBJETIVOS
VARIABLE COEF. ACTUAL AUMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
233.33 Nuevo valor de b
63333.33
La utilidad de 63,333.33 es
175(233.33-160)=
12,833.33 mayor que la
utilidad anterior de b=160
La solución optima es
E*=4.5, F*=7.0
Solo cuatro variables
positivas, por lo que la
solución optima es
degenerada.
35
E 5000 3000.00 2333.33
F 4000 3500.00 1500.00
RANGOS DEL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS
VARIABLE VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS ACTUAL
AUMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
2 5 8.33 INFINITO
3 0 INFINITO 0.00
4 150 200.00 0.00
5 233 0.00 133.33
6 135 198.33 INFINITO
3. Cuando b aumenta más allá del valor 233 1/3, las figuras 11 y 12 muestran que
la restricción de trabajo del departamento B se convierte en redundante. Los
valores de E* y F*, así como el VO, se mantienen como en las figuras 11 y 13.
Fig. 14. Resultados de la computadora para b= 250.
MAX 5000E + 4000F
SUJETO A
2) E + F > = 5
3) E – 3F < = 0
4) 10E + 15F < = 150
5) 20E + 10F < =
6) 30E + 10F > = 135
VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO
El aumento admisible
es ahora cero.
250 Esta restricción es
ahora redundante.
63333.33
Cuando la restricción del
departamento B es
redundante, la utilidad no
cambia.
36
VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO
E 10.00 0.00
F 3.33 0.00
REGLON VALOR COSTO REDUCIDO
2 8.33 0.00
3 0.00 0.00
4 000 150.00
5 16.66 175.00
6 198.33 0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
RANGO DE LOS C OEFICIENTES OBJETIVOS
VARIABLE COEF. ACTUAL AUMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
E 5000 INFINITO 2333.33 F 4000 3500.00 19000.00
RANGO DEL VECTOR DISPONIBILIDAD DE RECURSOS
VARIABLE VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS ACTUAL
AUMENTO ADMISIBLE
DISMINUCION ADMISIBLE
2 5 8.33 INFINITO
3 0 3.75 25.50
4 150 10.71 89.25
5 250 INFINITO 16.66
6 135 INFINITO 198.33
La restricción es ahora
inactiva y el precio dual es
cero.
El aumento admisible ha
llegado a ser infinito.
37
Por ejemplo, la salida de la computadora correspondiente a b=250 aparece en la
figura 14. Se observa que la solución es ahora no degenerada y que las restricciones
activas (con holgura 0) son ahora las del departamento A y del balance del mercado.
Se observa también que el precio dual del departamento B en su restricción ha
descendido de 175 a 0. Este cambio en el precio dual muestra que la interpretación
de su significado dado anteriormente debe restringirse a un rango específico de
valores del segundo miembro. El rango apropiado aparece, en la salida de la
computadora, en la sección “Rangos del vector disponibilidad de recursos” y
“Disminución Admisible”. Las figuras 8, 13 y 14 nos dicen que:
a. Cuando b=160 (fig.8) el precio dual de 175 es válido para un aumento
admisible (en b) de 73 1/3 horas y una disminución admisible de 40. Puesto
que 160-40= 120, y 160+73 1/3= 233 1/3, se ve que para los valores de b
comprendidos entre 120 y 233 1/3 horas, la mejoría en el VO por cada unidad
que se aumente en el vector de disponibilidad de recursos, con los demás
datos fijos, es de 175.
b. Cuando b=233 1/3 (fig.13) el precio dual se conserva en 175, pero el aumento
permisible es 0, lo que significa que el valor 175 no se aplica a los valores del
segundo miembro que sobrepasen a 233 1/3. En realidad, el análisis
geométrico demuestra que la restricción llega a ser inactiva y redundante
cuando b> 233 1/3. Pequeños cambios en una restricción inactiva no pueden
afectar al VO, y por lo tanto el precio dual de una restricción inactiva será
siempre cero.
c. Cuando b=250 (fig.14) vemos que ahora que la restricción relevante es
inactiva, el precio dual es realmente cero y el incremento admisible es
infinito. Es decir, para cualquier incremento ulterior en b la restricción
permanecerá inactiva y el precio dual se mantendrá en el valor 0. En la figura
14 la disminución admisible de 16.66 llevara al vector de disponibilidad de
recursos de regreso a 233 1/3. Para valores de b menores que 233 1/3 vemos
que la figura 13 que el precio dual es 175, no cero.
En síntesis:
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1. El precio dual de una restricción dada puede interpretarse como el índice
de mejoría del VO cuando el segundo miembro de esta restricción
aumenta (o sea, la mejoría por unidad de aumento del vector de
disponibilidad de recursos), mientras los otros datos permanecen fijo.
“Índice de mejoría” significa “Índice de crecimiento” para un modelo de
maximización “Índice de disminución” para un modelo minimización. Si el
segundo miembro disminuye, el precio dual es el índice de lo que el VO
empeora. La interpretación del precio dual es válida solo dentro de un
rango para el segundo miembro dado. Este rango queda especificado
mediante el “Aumento Permisible” o la “Disminución Permisible” de las
columnas de los “Rangos del primer miembro” de la sección de
resultados impresos de la computadora. Este es el rango para el cual el
precio dual es constante. Fuera de este rango permisible el precio dual
puede cambiar a un valor distinto.
2. De acuerdo con la interpretación anterior, el precio dual de una
restricción inactiva será siempre cero.
3. Se observa que la información de sensibilidad del vector de disponibilidad
de recursos que proporciona la computadora no nos dice como cambia la
solución optima E*, F*. solamente explica la forma en que el VO cambia
cuando el vector de disponibilidad de recursos.
4. Cuando tenemos una solución degenerada, alguno de los precios tendrá
o bien un aumento admisible de cero o bien una disminución admisible
de cero. En este caso obtenemos en el resultado de salida solo una
cantidad limitada de información. Concretamente, solo tendremos lo
relativo al efecto de los cambios hacia el vector de disponibilidad de
recursos, sobre el VO.
���� SENSIBILIDAD DEL COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN Y ALTERNATIVAS ÓPTIMAS
Consideremos los incrementos en el coeficiente de F en la función objetivo, es decir,
el aumento de la redituabilidad por unidad, en tanto que el coeficiente de E se
mantiene fijo. Recordemos que los contornos de la función objetivo tenderán a ser
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mas horizontales (tienen una pendiente negativa) cuando este coeficiente aumenta.
Refiriéndonos a la figura 7 vemos que la solución optima permanecerá en el vértice
E*= 4.5, F*= 7.0 hasta que el coeficiente de F aumenta lo suficiente como para que
los contornos de la función objetivo sean paralelos a la restricción (3). Cuando esto
ocurra, habrá soluciones alternativas optimas, el vértice actual (E*=4,5, F*=7,0) y el
vértice determinado por la intersección de las restricciones (3) y (5). Si el coeficiente
de F continua creciendo, la solución actual (E*= 4.5, F*=7.0) ya no será optima y el
punto determinado por la intersección de las restricciones (3) y (5) será el único
optimo.
El aumento permisible para el coeficiente de F es así determinado por el aumento
en los coeficientes que hace que los contornos de la función objetivo sean paralelos
a la restricción (3).
Los contornos de la función objetivo serán paralelos a la restricción (3) cuando
ambas rectas tengan la misma pendiente, lo que significa que los coeficientes
deberán satisfacer la siguiente igualdad:
coe�iciente de E en (3)
����������� �� � �� (3)=
coe�iciente de E en el objetivo
coe�iciente de F en el objetivo
Lo cual implica que
10
15=
5000
coe�iciente de F en el objetivo
De lo cual se obtiene
Coeficiente de F en el objetivo = (5000) (15/10)= 7500
En la función objetivo, el coeficiente actual de F es 4000. Esta llega a ser paralela a
(3), es decir, ocurre la alternativa óptima si este valor aumenta a 7500. Entonces, la
solución óptima actual permanece vigente en tanto el incremento de F sea ≤ 3500.
Esto es lo que se llama aumento permisible del coeficiente de F. es el valor que se
muestra en la figura 8 bajo el rubro “Aumento permisible” para F.
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Recordemos ahora que cuando el coeficiente de F aumenta (conservándose fijo el
coeficiente E) obtendremos finalmente una nueva solución en la que el valor optimo
de F habrá aumentado. Esto concuerda con la intuición, ya que un aumento en la
redituabilidad de F no motivara que produzcamos F a un nivel más bajo.
La situación para un modelo de minimización de costos es precisamente lo inverso.
Puesto que se quiere minimizar el costo total, no se esperara que cuando se
aumenten los costos de una actividad mientras se mantienen constantes los demás
datos, se puede llegar a un nivel de mayor optimización de esa actividad.
Los Rangos de los coeficientes objetivo en el resultado computacional, es en la
interpretación de esta porción de la salida impresa, que se debe distinguir entre los
casos de solución degenerada contra la no degenerada.
Hay otro hecho de interés que se aplica a soluciones no degeneradas. Cuando se ve,
para alguna variable de la sección “Rangos de los coeficientes objetivos” de los
resultados de salida, un cero como dato en cualquiera de las columnas “Aumento
permisible” o “disminución permisible”, se sabe que hay por lo menos una solución
optima alterna para el problema que se esta manejando. Además, siempre que
exista una alternativa óptima aparecerá dicha señal. Esto se ilustra en la figura 15,
con una hipotética programación lineal de maximización con dos variables de
decisión y tres restricciones de desigualdad. El contorno de la función objetivo es
paralelo a la segunda restricción (marcada como (2) y mediante el empleo de la
tecnica de solución grafica puede verse que los vértices marcados con I y II son
alternativas optimas para este problema. Debido al algoritmo que emplea la
computadora para resolver el problema, encontrara solo uno de esos vértices como
solución optima y el resultado de salida se aplicara exclusivamente a este vértice.
Supongamos que el vértice I es la solución encontrada por la computadora. La
grafica de la figura 15 muestra que cualquier aumento en el coeficiente de x,
cambiara el contorno de la función objetivo a una inclinación como la de la línea
punteada y el vértice II se convertirá en la única solución óptima. El resultado en
salida de la computadora para la solución del vértice I tendría, como señal de este
fenómeno, un valor cero enseguida de x, bajo la columna “Aumento permisible”.
Fig. 15. Alternativas Óptimas.
En síntesis:
Para una solución no degenerada:
1. Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el
encabezado “Rangos de los coeficientes objetivo” dicen cuanto se puede
aumentar el coeficiente de una variable dada (o disminuirlo) sin alterar la
solución optima, mientras los demás da
supuesto, como la redituabilidad en este rango varia, los valores del VO
estarán por
VO= 5000E* + (redituabilidad de F) · F*
Como ilustración de esto, imagine que se asigna el valor 6000 al coeficiente F, que
esta dentro del rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución
permanecerá en el punto (E*=4.5, F*=7) y
Para una solución no degenerada:
Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el
encabezado “Rangos de los coeficientes objetivo” dicen cuanto se puede
aumentar el coeficiente de una variable dada (o disminuirlo) sin alterar la
solución optima, mientras los demás datos se conservan constantes. Por
supuesto, como la redituabilidad en este rango varia, los valores del VO
VO= 5000E* + (redituabilidad de F) · F*
Como ilustración de esto, imagine que se asigna el valor 6000 al coeficiente F, que
el rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución
permanecerá en el punto (E*=4.5, F*=7) y
VO= 5000E* + 6000F*
= 5000(4.5) + 6000(7)= 64,500
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Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el
encabezado “Rangos de los coeficientes objetivo” dicen cuanto se puede
aumentar el coeficiente de una variable dada (o disminuirlo) sin alterar la
tos se conservan constantes. Por
supuesto, como la redituabilidad en este rango varia, los valores del VO
Como ilustración de esto, imagine que se asigna el valor 6000 al coeficiente F, que
el rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución
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2. Cuando un coeficiente se modifica en menos de la cantidad admisible, la
solución óptima del momento permanece como única solución optima del
modelo.
3. Cuando un coeficiente en particular es aumentado en la cantidad admisible,
habrá una solución óptima alterna con un valor óptimo mayor (en un modelo
de maximización) para la variable afectada. (Para un modelo de
minimización, el aumento en un coeficiente de la cantidad permisible
producirá un óptimo alterno con un valor óptimo más bajo para la variable
afectada).
4. Cuando un coeficiente variable es disminuido en la cantidad admisible, habrá
otra solución óptima alterna en el que la variable afectada tendrá un valor
óptimo más bajo (más alto) en un modelo de maximización (minimización).
Para una solución degenerada:
1. Las señales antes descritas para la alternativa óptima deben pasarse por alto.
2. Mientras que el coeficiente de una función objetivo varié dentro del rango
indicado la solución óptima no cambiara. Esto también es válido en el caso
no degenerado. En el último ejemplo, sin embargo, se obtenía una
alternativa óptima cuando el coeficiente era cambiado al límite del rango, y
cuando se continuaba el cambio en esta dirección se obtenía una solución
óptima única. En el caso degenerado esto ya no puede garantizarse. Todo lo
que podemos decir es que el coeficiente de cualquier función objetivo
deberá ser cambiado por lo menos en las cantidades admisibles indicadas, y
posiblemente en más, para producir una nueva solución optima.
���� COSTO REDUCIDO
Para dar una interpretación de esto se debe observar primero si la solución es
degenerada o no.
1. En una solución optimo no degenerada, el costo reducido de cualquier
variable de decisión particular se define como la cantidad en que se debe
cambiar el coeficiente de esa variable en la función objetivo para tener un
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valor optimo positivo para esa variable. De esta manera, si una variable es ya
positiva en el punto optimo, su costo reducido será cero. Si el valor optimo
de una variable es cero, entonces, de la definición de costo reducido, puede
verse que este es el “Aumento admisible” o la “Disminución admisible” que
corresponda a la variable dada (uno de estos valores será infinito; el otro
será el costo reducido). Por ejemplo, supóngase que cambiamos los datos E
y F del modelo de Protac de modo que el valor optimo sea E*= 0. Entonces,
el costo reducido de E será la cantidad en que su redituabilidad (el
coeficiente de E en la función objetivo) debería ser aumentada para tener
una solución optima con E*> 0. Este es precisamente el dato que se
encontraría, correspondiendo a E en la columna “Aumento admisible”. En
este caso, para cualquier disminución de coeficiente de E (haciendo a E
menos redituable) el valor E* permanecerá en cero. Por lo tanto, la
“Disminución permisible” correspondiente será infinita.
2. Otra interpretación equivalente del costo reducido, para una solución no
degenerada, de una variable de decisión cuyo valor óptimo es actualmente
cero, lo definiría como la razón (por unidad de aumento) a la cual disminuye
el valor objetivo cuando esa variable es “forzada a entrar” en una solución
optima (es decir, obligada a asumir valores positivos en esta). En el ejemplo
anterior, siendo E*=0, el VO disminuirá si nos obligásemos a encontrar una
solución optima con la restricción adicional E=1. Esta tasa de decrecimiento
en cuanto E* es forzado inicialmente a ser positivo seria dada por el costo
reducido de E.
3. Considere ahora una solución degenerada con una variable de decisión cuyo
valor óptimo sea cero. El coeficiente de esa variable en la función objetivo
debe ser cambiado por lo menos en (y posiblemente mas) el costo reducido,
con el objeto de que haya una solución optima en la que la variable aparezca
a nivel positivo.
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Bibliografía
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negocios. México. Editorial Thomson.
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