Trabajo y teoría social: conceptos clásicos y tendencias ...
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE … · La Teoría Clásica de Campos es una teoría...
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0 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN “TEXTO: TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS” Dr. Jorge Abel Espichán Carrillo (Resolución Rectoral Nº 216-2011-R del 14-03-2011) (01-03-2011 al 31-08-2012)
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
“TEXTO:
TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS”
Dr. Jorge Abel Espichán Carrillo
(Resolución Rectoral Nº 216-2011-R del 14-03-2011)
(01-03-2011 al 31-08-2012)
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ÍNDICE
Página
ÍNDICE 1
RESUMEN 3
INTRODUCCIÓN 4
MARCO TEÓRICO 6
MATERIALES Y MÉTODOS 7
RESULTADOS 8
Capítulo 1. GENERALIDADES 9
1.1. Teoría Clásica de Campos 91.2. Campo Físico 91.3. Relación de la Teoría Clásica de Campos con otras ramas de la Física 91.4. Formulación Lagrangiana 101.5. Lagrangiana para sistemas continuos 14
Capítulo 2. FORMALISMO LAGRANGIANO DE LA TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS 17
2.1. Formulación Lagrangiana para campos 17
Capítulo 3. TEOREMA DE NOETHER 19
Capítulo 4. TENSOR ENERGÍA-MOMENTO Y MOMENTO ANGULAR 22
Capítulo 5. SIMETRÍAS INTERNAS 27
5.1. Campo Escalar Complejo 27
Capítulo 6. LAGRANGIANO Y TENSOR ENERGÍA-MOMENTO DEL CAMPOELECTROMAGNÉTICO 33
Capítulo 7. TRANSFORMACIÓN DE GAUGE LOCAL 37
Capítulo 8. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE EINSTEIN 45
Capítulo 9. EL ESPACIO-TIEMPO DE LA RELATIVIDAD GENERAL 50
Capítulo 10. GEOMETRÍA RIEMANNIANA. GEODÉSICAS 52
10.1 Geodésicas 58
Capítulo 11. EL PRINCIPIO DE COVARIANCIA GENERAL 63
2
Capítulo 12. DERIVADAS COVARIANTES. TENSOR DE CURVATURA 65
12.1 Tensor de Curvatura 69
Capítulo 13. ECUACIONES DE EINSTEIN Y APLICACIONES 73
13.1 Aplicación: La Métrica de Schwarzschild 76
DISCUSIÓN 90
REFERENCIALES 92
APÉNDICE 93
Cuadro: Resultado de la Investigación 94Sílabo de la asignatura Teoría Clásica de Campos. 95
3
RESUMEN
En el presente trabajo de investigación se ha elaborado un texto de naturaleza teórico-
práctico, redactado en lenguaje simple, que expone los conceptos, leyes y propiedades de los
campos clásicos de forma sistemática y concreta, que permite el dictado de la asignatura de
TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS correspondiente al sétimo ciclo académico de la currícula
de estudios de la Escuela Profesional de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemática de nuestra Universidad.
Específicamente, se procura introducir en forma clara y precisa los conceptos
fundamentales para la comprensión de la asignatura en referencia, presentando su aplicación en
gravitación, cuyo resultado fue obtenido de una investigación, de la métrica de Schwarzschild
considerando un fluido perfecto simétricamente esférico estático que obedece una ecuación de
estado Politrópica y, asimismo, se pretende preparar al estudiante para que emprenda con éxito
el estudio de otras asignaturas relacionadas a ésta, a nivel de pre-grado y post-grado.
Este texto está basado, en su plan general y en algunas extensiones de su contenido, en
los textos mencionados en la referencia, sin embargo, aquí la exposición de los conceptos es
más directa y se incluyen las demostraciones en forma detallada que a su vez sirve como
ejercicio.
Los resultados muestran que a diferencia de todos los autores mencionados en la
referencia, el presente trabajo hace más dinámico y fácil el proceso de enseñanza y aprendizaje
de esta asignatura.
4
INTRODUCCION
La Teoría Clásica de Campos estudia la dinámica de los fenómenos físicos macroscópicos
descrita por un campo físico. Un campo físico se puede pensar como la asignación de una
cantidad física en cada punto del espacio-tiempo (generalmente de una manera continua).
Ellos, además de evolucionar temporalmente o variar en el tiempo, presentan variación en el
espacio. Esa característica hace que los campos físicos se consideren como sistemas con un
número infinito de grados de libertad. Las peculiaridades de los campos hacen que sus
ecuaciones de movimiento sean dadas por ecuaciones en derivadas parciales en lugar de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Comúnmente el término “teoría clásica de campos” es
tomado en cuenta para describir las teorías físicas como electromagnetismo y gravitación, dos
de las fuerzas fundamentales de la naturaleza.
Las descripciones de campos físicos fueron conocidas antes de la teoría de la relatividad y
luego fueron retomados a la luz de esta teoría. Debido a esto, las teorías clásicas de los campos
pueden ser consideras como no-relativista y relativista.
En la Escuela Profesional de Física se dicta la asignatura Teoría Clásica de Campos como
parte de la formación profesional de los estudiantes, por ser una disciplina básica
imprescindible en la formación de un físico dedicado al área de la física de partículas
elementales, teoría cuántica de campos, gravitación y materia condensada.
En el estudio de los campos clásicos existen textos que desarrollan de manera muy extensa
los conceptos y leyes, lo que hace difícil su uso en una signatura a nivel introductorio con
pocas horas asignadas para su dictado.
La mayoría de textos en Teoría Clásica de Campos se encuentran escritos en otros
idiomas, principalmente el idioma inglés, lo que dificulta su entendimiento por parte del
estudiantado que desconoce otros idiomas.
5
Por otro lado, los libros editados en Teoría Clásica de Campos presentan muchos
ejercicios, cuyas resoluciones en la mayoría de ellos lo hacen muy superficial, siendo esto una
dificultad para nuestros estudiantes que recién se inician en estos tópicos de la física
contemporánea.
En este sentido, el problema de la investigación consistió en elaborar un texto en
castellano, de naturaleza teórico-práctico, que oriente adecuadamente el desarrollo sistemático
y concreto de la asignatura “TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS”, que además de permitir la
comprensión de los fundamentos y leyes, incluya demostraciones detalladas, con la finalidad
que se entienda la metodología usada y de esta manera puedan ser usadas en la resolución de
problemas relacionados con el curso.
Los principales objetivos planteados para la investigación consideran introducir en
forma clara y precisa los conceptos teóricos fundamentales para la comprensión de la Teoría
Clásica de Campos mostrando su aplicación al estudio de los campos electromagnético y
gravitacional, iniciando de esta manera, a los estudiantes en el método científico de
comprobación de hipótesis, y ofrecer a los alumnos la mejor preparación actualizada en éstos
tópicos a fin de que se encuentren capacitados para emprender con éxito estudios en física de
partículas elementales, teoría cuántica de campos y de otras áreas como física nuclear, física
estadística y materia condensada y otros cursos similares de post-grado.
La importancia del presente trabajo radica en el hecho que este texto: “TEORÍA
CLÁSICA DE CAMPOS” constituye un instrumento para facilitar el proceso de enseñanza-
aprendizaje, de acuerdo con los objetivos y contenidos del programa oficial, de la asignatura
del mismo nombre que se dicta en la Escuela Profesional de Física de la Facultad de Ciencias
Naturales y Matemática de la Universidad del Callao.
6
MARCO TEÓRICO
La Teoría Clásica de Campos estudia el comportamiento y características de los campos
clásicos, como los campos electromagnético y gravitacional.
Mas específicamente, la Teoría Clásica de Campos estudia la simetría que presentan los
campos frente algún tipo de transformaciones, como pueden ser de espacio-tiempo o internas
(sobre el propio campo); las cuales llevan a leyes de conservación y en consecuencia a
cantidades conservadas, algunas de ellas análogas con la Mecánica clásica, como son la
conservación del momento, de la energía y del momento angular; y otra como la conservación
del carga.
Muchos autores; Soper (1975), Barut (1965), Ryder (1988), Doughty (1996) entre
otros, han escrito textos relacionados teoría clásica de campos cuyos contenidos son demasiado
extensos en la presentación de los conceptos y limitan la exposición de ejercicios de aplicación.
Las diferentes secuencias en la introducción de los conceptos, la nomenclatura y
notación diversa que usan los diferentes autores citados y lo limitado del tiempo para el dictado
de la signatura a nivel introductorio en un semestre académico hacen que su exposición sea un
problema didáctico difícil; en este contexto, para la elaboración del texto “TEORÍA CLÁSICA
DE CAMPOS” se ha considerado enfatizar las demostraciones en forma detallada con la
finalidad de facilitar el manejo de la herramienta matemática que se usa en estos tópicos de la
física actual.
7
MATERIALES Y MÉTODOS
El presente trabajo se ha desarrollado sobre la base de textos mencionados en los
referenciales y experiencias propias, adecuándolos a nuestras necesidades.
Toda la información ha sido procesada en un computador personal usando Microsoft
Microsoft Word for Windows 2003, en concordancia con las directivas vigentes, mediante el
cual se han escrito todos los textos, editado todo el formulismo matemático relacionados a los
diversos temas desarrollados.
La metodología que se ha empleado es la de la deducción lógica o enfoque inductivo,
así como el deductivo por ser este último más conciso y lógico y que permite desarrollar el
estudio de la Teoría Clásica de Campos en forma concreta y ordenada.
El método inductivo-deductivo ha hecho posible mostrar el desarrollo del formulismo
que describen los conceptos descritos, así como también, el análisis de las demostraciones
desarrolladas.
8
RESULTADOS
El resultado del presente trabajo de investigación es el texto: “TEORÍA CLÁSICA DE
CAMPOS”, cuyo contenido se expone en trece capítulos, distribuidos en el orden señalado en
el índice y que se presenta en las páginas siguientes.
En cada capítulo se exponen de manera clara, directa y concisa, a manera de repaso, los
principales conceptos, leyes y fórmulas asociados a los temas tratados, a fin de que el
estudiante pueda tener una buena referencia para comprender las demostraciones presentadas.
El uso del texto: “TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS”, permite unificar los conceptos
teóricos y favorece el proceso enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Teoría Clásica de
Campos, de acuerdo a la propuesta silábica para su dictado. Además, permite afianzar en el
estudiante los conceptos relacionados con las propiedades de los campos clásicos, para su
posterior uso en el estudio de los campos cuánticos con su aplicación en Física de Partículas
Elementales.
9
CAPÍTULO 1
GENERALIDADES
1.1. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS
La Teoría Clásica de Campos es una teoría física que trata sobre el estudio de la interacciónde uno o más campos clásicos con la materia. Las ramas de la física donde están presentes loscampos clásicos son, por ejemplo: Relatividad General; Electromagnetismo; teoría de Yang-Mills y materia condensada; en consecuencia la teoría clásica de campos considera los casos norelativístico, así como también el relativístico. La dinámica de los fenómenos físicos, asociadoscon campos clásicos, es descrita por un campo físico.
1.2. CAMPO FÍSICO
La idea de un campo físico es asignarle a una cantidad física una función en cada punto delespacio-tiempo (generalmente de una manera continua). Es decir, además de evolucionartemporalmente en el tiempo, presentan variación en el espacio. Esas características hacen quelos campos físicos sean considerados como sistemas con un número infinito de grados delibertad. Las peculiaridades que presentan estos campos hacen que sus ecuaciones demovimiento sean dadas en términos de derivadas parciales en lugar de las ecuacionesdiferenciales ordinarias. El término “teoría clásica de campos” es comúnmente reservado paradescribir las teorías físicas como electromagnetismo y gravitación, dos de las fuerzasfundamentales de la naturaleza.
Los ejemplos más notables de los campos clásicos son los campos de fuerzas de las teoríasde los fenómenos gravitacional y electromagnético. Estos campos son causados por lapresencia de masa y carga eléctrica, respectivamente.
1.3. RELACIÓN DE LA TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS CON OTRAS RAMAS DELA FÍSICA
En la actualidad, en la física moderna es impresionante el gran número de diferentes tiposde partículas fundamentales, observadas e identificadas. Es decir, además de los electrones,protones, neutrones y fotones, existen muchas otras partículas.
Dos características muy peculiares presentan las partículas, a saber, en algunos aspectos,ellas se comportan como partículas en el sentido clásico, y es como si estuvieran asociadas conalguna forma de movimiento ondulatorio. Al respecto, es conocido, históricamente, que losaspectos corpusculares de la materia ordinaria fueron estudiadas en primer lugar; y laspropiedades de onda, descrita por la teoría cuántica, fueron consideradas mucho más tarde.
Sin embargo, para el caso de los fotones el desarrollo fue en orden inverso. Cuando lateoría del campo electromagnético estaba desarrollada se comprendió que ciertas propiedadesde las ondas electromagnéticas pueden ser explicadas postulando la existencia de ciertasentidades discretas, “tipo partículas”, llamadas fotones. Es decir, esta dualidad onda-partícula,inicialmente aceptada para los fotones, es actualmente aceptada como una característicageneral del comportamiento de todos los tipos de partículas fundamentales.
10
Por otro lado, el estudio teórico es generalmente más adecuado desarrollar en primer lugarla descripción ondulatoria y luego examinar el comportamiento como partícula. La descripciónondulatoria exige el desarrollo de una teoría de campos, en términos clásicos. Luego sonincorporadas las reglas cuánticas en la descripción y entonces es posible interpretar algunas delas deducciones en términos de los conceptos de partículas.
El estudio de la teoría de campos fue desarrollado como una extensión lógica de la teoría delos sistemas materiales continuos. El ejemplo más conocido, es el campo electromagnético.Este campo puede ser descrito en términos de los campos eléctricos y magnéticos o entérminos de las funciones de potencial escalar y vectorial. En los dos casos las cantidades queintervienen son funciones de variables continuas del espacio-tiempo. Esta forma de descripciónestá basada sobre observaciones de los movimientos de partículas materiales ordinarias quepostulamos transportan cargas eléctricas.
La idea de un campo continuo es introducida con el fin de evitar el concepto de “Acción aDistancia” entre las partículas. Las fuentes de los campos son las cargas que tienen laspartículas. La idea es extrapolada hasta el punto de considerar que el campo existe sobre algunaforma, mismo en ausencia de partículas.
Las propiedades del campo electromagnético son resumidas en el sistema de ecuacionesdiferenciales conocidas como las ecuaciones de Maxwell. Son normalmente llamadas deecuaciones de campos.
Suponemos que los campos están asociados a otros tipos de partículas fundamentales, de lamisma manera que el campo electromagnético está asociado a los fotones. Estos campos notienen necesariamente el mismo grado de complejidad que el campo electromagnético; algunosson mucho más simples. La hipótesis fundamental es que el comportamiento ondulatorio decualquier tipo de partícula puede ser resumido en un sistema de ecuaciones de campos, con unao más variable de campo. Suponemos también que las ecuaciones deben ser invariantes en lastransformaciones de Lorentz, obedeciendo de esta manera el requisito relativista de que todaslas leyes de la naturaleza presentan la misma forma en todos los sistemas de referencia.
Las variables de campo no son accesibles a la observación directa, pero sus valores, comoen el caso electromagnético, pueden ser deducidos de observaciones sobre sistemas materiales.La comprensión de este hecho debe evitar dudas respecto de la naturaleza de estas variables.Ellas presentan mucha o poca realidad, como sucede, respectivamente, en los casos de losvectores de campo eléctrico y magnético o en el caso de las funciones de potencial de lamecánica clásica. Es mejor considerarlas como entes matemáticos, cuyo significado seencuentra en la posibilidad de ellas ser empleadas para describir y predecir modificacionesobservables en el comportamiento de los sistemas materiales.
Ejemplos de campos clásicos son los campos que encontramos en la teoría gravitacional yelectromagnética. Son causadas por la presencia de masa y carga, respectivamente.
1.4. FORMULACIÓN LAGRANGIANA
Para desarrollar la teoría de campos, la formulación lagrangiana, es considerada. En estaformulación la dinámica del sistema es descrito por una función, la lagrangiana. Luego usandoel principio variacional de la lagrangiana se obtienen las ecuaciones de movimiento, el cualgobierna la evolución del sistema.
11
El uso del principio variacional para obtener las ecuaciones de movimiento en el caso de lafísica clásica es muy conocido. Tenemos, como ejemplos, el principio de Fermat en óptica(1657) y el principio de Maupertuis en mecánica (1744).
Por otro lado, existen dos razones importantes para considerar la formulación lagrangianaen teoría clásica de campos:
1. La lagrangiana o la integral de la densidad lagrangiana sobre el espacio-tiempo, debe serinvariante frente a todas las simetrías de la teoría en estudio. Este aspecto de la formulaciónlagrangiana es más aceptado por las teorías relativistas, debido a que permite tratar elespacio y el tiempo de la misma manera, en contraste a otras aproximaciones donde ladescripción es para una evolución temporal.
2. Mencionada por Dirac y elaborada por Feynman; permite la formulación de integrales decamino de la mecánica cuántica. De tal forma que el operador de evolución para unafunción de onda de la mecánica cuántica pueda ser expresado como una suma sobre todoslos caminos.
Para introducir los conceptos básicos de la formulación lagrangiana, es conveniente considerarla mecánica clásica. Para esto, vamos a suponer que se tiene un sistema formado por npartículas todas con la misma masa. Su movimiento clásico es descrito en términos de lascoordenadas )(tqi ni ,...,3,2,1 . Estas 3 n coordenadas describen una trayectoria en el
espacio-tiempo. De acuerdo a la ley de Newton, tenemos
)()( tFtqm ii .
En el caso de fuerzas conservativas, se tiene que
ii dq
dVF ,
con V representando el potencial donde se encuentran las partículas.
Como es conocido, si el valor de las coordenadas )(tqi y las velocidades )(tqi en un
tiempo inicial son establecidos, las leyes de Newton permiten construir la trayectoria completaen términos de las funciones de coordenadas )(tqi . Alternativamente, se puede determinar una
trayectoria especificando el valor de las coordenadas )(tqi en dos tiempos diferentes, es decir
)( 11 tqq ii y )( 22 tqq ii . De esta manera, de la infinita variedad de maneras en la cual el
sistema físico puede evolucionar desde 1iq hasta 2iq , la ecuación de Newton considera
únicamente una trayectoria particular.
Ahora suponga que asignamos un número real a cada posible trayectoria entre 1iq y 2iq .
Un objeto que asigna un número a una función es llamado: una Funcional y se denota por )(tqS i .
12
Es posible definir una funcional, llamada la ACCIÓN, tal que el número asignado alcamino físico entre 1iq y 2iq es predicho por la ley de Newton correspondiente a un valor
estacionario de esta funcional.
De esta manera, existen dos aproximaciones alternativas al problema, el cual tienenresultados equivalentes, es decir:
1. Solucionar las ecuaciones de Newton, o
2. Encontrar la trayectoria para el cual la funcional acción tiene un mínimo.
Con la finalidad de desarrollar la segunda alternativa, vamos a definir la funcional acción )(tqS i , como la integral temporal de la lagrangiana ),( ii qqL , es decir
2
1
))(),(()(t
t
iii tqtqLdttqS . (1.1)
Observe que (1.1) es una funcional, debido a que asigna un número a cada trayectoria dada,descrito por )(tqi . Asimismo, el principio variacional dice que la evolución (trayectoria)
seguida por un sistema físico es aquella para el cual la acción )(tqS i tiene un extremo,
0)( tqS i , (1.2)
para todas las trayectorias )(tqi que tienen los puntos extremos en 1tt y 2tt . Este
principio variacional es conocido como PRINCIPIO DE HAMILTON.
Independientemente de la forma precisa de la lagrangiana, se puede mostrar que lassoluciones del principio de Hamilton satisface la llamada ecuación de Euler-Lagrange, tambiénconocida como ecuación de movimiento, dada por
0
ii q
L
q
L
dt
d
. (1.3)
Para demostrar (1.3), vamos a considerar cambios infinitesimales sobre una trayectoriadada y estudiar la variación de la acción. De esta manera, para transformaciones infinitesimalesarbitraria de la trayectoria, es decir
)()()( tqtqtq iii ,
)()()( tqtqtq iii ,
tal que, 0)( 1 tqi y 0)( 2 tqi , se tiene
)()()()( tqStqtqStqS iiii ,
2
1
)()(
)()(
)(t
t
ii
ii
i tqdt
d
tq
Ltq
tq
LdttqS
. (1.4)
13
Sin embargo, como
)(tqq
L
dt
dq
dt
d
q
Lq
q
L
dt
di
ii
ii
i
,
entonces
)(tqq
L
dt
dq
q
L
dt
dq
dt
d
q
Li
ii
ii
i
,
así (1.4) es dado por
2
1
2
1)(
)()(
)()(
)(t
t
ii
t
t
ii
ii
i qtq
L
dt
ddttq
tq
L
dt
dtq
tq
LdttqS
,
2
1
2
1)(
)()()(
)(t
tii
t
t
iii
i qtq
Ltq
tq
L
dt
d
tq
LdttqS
,
y como 0)( 1 tqi , 0)( 2 tqi y )(tqi es arbitrario, se obtiene, considerando (1.2):
0
ii q
L
q
L
dt
d
.
Por tanto, el movimiento clásico de un sistema de partículas se obtiene del principio deHamilton e inversamente cualquier solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondea un punto estacionario de la funcional acción.
Una vez que la lagrangiana es conocida, el siguiente paso es construir constantes demovimiento, es decir, cantidades que permanecen invariantes en el tiempo. Por ejemplo,
cuando L no depende explícitamente de iq , caso en el cual se tiene que 0
iq
L , el momento
generalizado ip , definido comoi
i q
Lp
, es una constante. Este resultado es inmediato de
(1.3). Estas constantes son llamadas las integrales de momento de las ecuaciones demovimiento.
La ventaja de la formulación lagrangiana, está basada sobre una función escalar, “lalagrangiana”, la cual puede ser definida para cualquier conjunto de coordenadas generalizadas
)(tqi . Si la teoría en estudio tiene simetría, entonces la acción debe ser invariante sobre esa
simetría. En ese caso, se puede demostrar que las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes, en el sentido que las transformaciones de simetría aplicada a unasolución dada de estas ecuaciones llevaran a otras soluciones. La propiedad de invariancia esalgunas veces todo lo que se necesita de manera de deducir la acción ara un sistema dado.
14
1.5 LA LAGRANGIANA PARA SISTEMAS CONTINUOS
Hasta aquí hemos tratado con un sistema finito de grados de libertad. Sin embargo, esnecesario la transición a un número infinito de grados de libertad, debido al tratamiento desistemas continuos, tal como un sólido vibrando, desde que su movimiento es descritoespecificando las coordenadas de posición de todos los puntos. El caso continuo puede seraproximado considerando el límite apropiado de un sistema con un número finito decoordenadas discretas. Para ilustrar este procedimiento vamos a considerar una barra elásticade longitud , que sufre pequeñas vibraciones longitudinales. La barra continua puede seraproximada por un conjunto de coordenadas discretas representando una cadena de npartículas de igual masa, separadas una distancia a y unidas por resortes (sin masa) deconstante k . De esta manera la longitud total del sistema es an )1( .
Si el desplazamiento de la i-ésima partícula desde su posición de equilibrio es medida porla cantidad i entonces la energía cinética de esta red unidimensional es
n
iimT
1
2
2
1 . (1.5)
La energía potencial es la suma de las )1( n energías potenciales de cada resorte, comorespuesta de estar siendo estirado o comprimido de su longitud de equilibrio, es decir
n
iiikV
0
212
1 . (1.6)
Además, la fuerza sobre la i-ésima partícula, se obtiene dei
i
VF
, entonces
iiiiiiii kkkF 21111 .
De esta manera, de (1.5) y (1.6) podemos obtener la lagrangiana, es decir
n
i
n
iiii kmVTL
1 0
21
2
2
1
2
1 . (1.7)
Usando la ecuación de Euler-Lagrange (1.3), obtenemos la ecuación de movimiento, dadapor
ii Fm .
A continuación, con la finalidad de pasar al límite continuo, vamos a incrementar elnúmero de partículas al infinito n con las condiciones de mantener la longitud total,
an )1( , y la masa por unidad de longitud am fijos. Por tanto, kaY debe también
ser mantenido fijo.
Recordando la ley de Hooke, el estiramiento de una barra por unidad de longitud esdirectamente proporcional a la fuerza ejercida sobre la barra, donde el modulo de Young es unaconstante de proporcionalidad. Tenemos, para nuestro caso discreto, que la fuerza entre dos
15
partículas es iikF 1 , y además como el espacio entre dos partículas por unidad de
longitud es aii /1 , se tiene que kaY es el modulo de Young, el cual debe permanecer
constante en el límite continuo. De esta manera, escribimos (1.7) como
n
i
n
i
iii a
kaaa
maL
1 0
2
12 )(2
1
2
1 .
Considerando el límite 0a y n con an )1( , am y kaY fijos, se tiene,
en este caso, que la coordenada de posición continua x reemplaza al índice i y i es una
función de x , es decir )(xi . De esta manera, la lagrangiana es dada por una integral
sobre la longitud de la barra:
0
22 )(2
1 xYdxL . (1.8)
Como existe una coordenada generalizada i para cada i , existe una coordenada
generalizada )(x para cada x , es decir, el número finito de coordenadas i ha sido
reemplazado por una función de x . De hecho )(x también depende del tiempo, así tenemos
una función de dos variables, ),( tx llamada el campo desplazado, y t y x son sus
derivadas parciales con respecto a t y x , respectivamente.
La lagrangiana (1.8) es una integral sobre x de
22 )(2
1 xYl , (1.9)
llamada la densidad lagrangiana. En este caso es una función de ),( tx y sus derivadas
parciales ),( txt y ),( txx , pero puede ser fácilmente generalizada. Una relación
importante es la acción, la cual puede ser escrita como:
2
1 0
),(),,(),,(),(t
t
x txtxtxldxdttxS
.
Las ecuaciones de Hamilton para ),( tx se obtienen del principio de Hamilton. Para lastransformaciones infinitesimales:
),(),(),( txtxtx ,
),(),(),( txt
txtx tt
,
),(),(),( txx
txtx xx
,
se tiene ),(),(),(),( txStxtxStxS ,
16
2
1 0
)),(()),((
)),(()),((
),(),(
),(t
t xt
txxtx
ltx
ttx
ltx
tx
ldxdttxS
,
pero como
2
1
2
1
2
1 )()()(
t
t
t
t t
t
ttt
l
tdt
l
t
ldt ,
0 00 )()()( xxv
l
xdx
l
x
ldx ,
entonces
0)),(()),((),(
),(2
1 0
t
t xt tx
l
xtx
l
ttx
ldxdttxS
,
así, de la igualdad a cero, debida a (1.2), de esta expresión se obtiene:
0)),(()),((),(
tx
l
xtx
l
ttx
l
xt ,
que es la ecuación de Euler-Lagrange para un sistema continuo.
La generalización para sistemas continuos en más dimensiones es ahora obvio, y se puedeextender simplemente las definiciones de la densidad lagrangiana y las ecuaciones de Euler-lagrange.
17
CAPÍTULO 2
FORMALISMO LAGRANGIANO DE LA TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS
2.1 FORMULACIÓN LAGRANGIANA PARA CAMPOS
En este capítulo, introducimos los campos para medir los desplazamientos desde unaposición de equilibrio. Para esto, vamos a considerar campos arbitrarios, sin especificar losgrados de libertad que ellos describen. Estos campos serán funciones del 4-vector del espacio-tiempo zyxctxxxxx ,,,,,, 3210 o zyxctxxxxx ,,,,,, 3210 .
Por ejemplo, una densidad lagrangiana puede depender de los campos y sus primerasderivadas, es decir ),( . También se puede considerar que el campo interactúa con
una fuente externa, es decir, describe un sistema no cerrado. Así, cuando se quiere estudiar loscampos eléctricos y magnéticos producidos por una distribución de corriente eléctrica, esposible describir este caso, considerando una fuente externa, cuya dependencia en la densidadlagrangiana es ),,(
x .
Por otro lado, vamos a definir la funcional acción, para un campo que interactúa con una
fuente externa y de ahí su dependencia en x , como
xdxS 4,, , (2.1)
donde, consideramos que el campo se encuentra en una región R del espacio-tiempo, confrontera R .
Si a continuación hacemos las variaciones en las coordenadas x y en el campo ,
variaciones estas que se anulan en la frontera R , es decir 0 y 0x ,
xxxx , (2.2)
)()()()( xxxx , (2.3)
y definimos la variación total como
)()()( xxx ,
donde )(x en primera orden de x es
xxx )()()( ,
la variación de la acción es dada por
xdxxdxS 44 ,,,,
,
donde xdxxJxd 44 ),( y ),( xxJ es el Jacobiano de la transformación xx .
18
De (2.2) se tiene
)(1det),(
xx
xxxJ
.
Considerando sólo términos hasta segunda orden, tenemos
xdxxdxxS 44 ,,)(1,,
,
xdxS 4)( , (2.4)
donde
xx
)()(
. (2.5)
Además, de la ecuación (2.3), se tiene)()( . (2.6)
Sustituyendo las relaciones (2.5), (2.6) en (2.4) y colocando
)()(
xx
xx
,
obtenemos la siguiente expresión:
R
xdxS 4)()()(
. (2.7)
Observe que el tercer término es una divergencia total. El segundo término puede serescrito como
)()()(
)(
,
donde el primer término también es una divergencia total.
Podemos escribir las divergencias totales como las integrales sobre la frontera R(Teorema de Gauss). De esta manera (2.7) se escribe como
RR
dxxdS
)()(4 . (2.8)
Como por hipótesis consideramos que 0 , y 0x sobre R , entonces el segundotérmino en (2.8) se anula y la condición que la acción sea estacionaria, 0S implica lasecuaciones de Euler-Lagrange:
0)(
.
19
CAPÍTULO 3
TEOREMA DE NOETHER
En este capítulo, vamos a estudiar otras consecuencias del uso del principio variacional. Esdecir, usando las simetrías de la acción se llegarán a principios de conservación. Por ejemplo,recordando que en mecánica clásica, si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entoncesla energía es conservada. De la misma manera, si el hamiltoniano es invariante frente atransformaciones de traslación entonces el momento es conservado.
Independencia Temporal implica conservación de la energía.
Independencia de traslación implica conservación del momento.
Independencia rotacional implica conservación del momento angular orbital.
En teoría de campos y en física de partículas un teorema importante es el Teorema deNoether, el cual dice: si la acción es invariante por una reparametrizacón de unatransformación en x y , en otras palabras, si la acción es invariante sobre algún grupo de
transformación en x y , entonces existe una o más cantidades conservadas, es decir,combinaciones de campos y sus derivadas son invariantes sobre las transformaciones.
El Teorema de Noether considera las conservaciones de energía, momento, momentoangular y otros números cuánticos, como carga isospín, color, etc. que posee la partícula.
Para encontrar las cantidades conservadas, partimos considerando la expresión (2.8), esdecir
RR
dxlxdS
)()(4
RR
dxxxlxd
)(
)()(
)()()(4
R
xdS 4
)(
R
dxxx
)()(
))(()(
. (3.1)
Además, como
xxxx ,
)()()()( xxxx ,
20
podemos definir una variación total en , , por
)()()( xxx ,
)()()()()( xxxxx
)()()()( xxxx
)()()( xxx .
De esta manera, se tiene
xxxxxx )()()()( ,
xxx )()( .
Por lo tanto,
xxx )()()( .
Así, reemplazando en (3.1), obtenemos
RR
dxdS
)()(4
, (3.2)
donde
)()(
. (3.3)
A continuación, vamos a considerar que la acción S es invariante sobre un grupo detransformaciones infinitesimales en x y , dadas por
x , (3.4)
, (3.5)
donde es un parámetro infinitesimal. De esta manera, del segundo termino de (3.2),tenemos
R
d 0)(
,
y como es arbitrario, entonces se obtiene
21
R
dJ 0 ,
donde
)(
J .
Por otro lado, usando el Teorema de Green para pasar la integral de superficie a unaintegral de volumen, se tiene
R R
xdJdJ 04
,
por lo tanto,
0 J . (3.6)
Es decir, tenemos una corriente J conservada. La existencia de esta corriente se obtuvo de la
invariancia de la acción sobre las transformaciones (3.4) y (3.5). Además de (3.6), se tiene paraun instante de tiempo que
03300 xdJxdJ i
i
VV
,
y usando el Teorema de Gauss en el segundo termino de la expresión anterior, tenemos
03 V
iii
i
V
dJxdJ ,
sobre la consideración que los campos se anulan en la superficie. De esta manera, (3.6) sereduce a
030 xdJdt
d
V
.
Si ahora definimos, para t constante
xdJQV
30 ,
entonces se tiene
0Qdt
d,
es decir, se tiene una carga conservada.
Resumiendo, la simetría de la acción implica la conservación de una corriente, el cual llevaa un principio de conservación.
22
CAPÍTULO 4
TENSOR ENERGÍA-MOMENTO Y MOMENTO ANGULAR
En este capítulo, continuando con el estudio realizado referente al Tensor de energía-momento
, es necesario estudiar sus componentes, así de
LL
)()(
, (4.1)
se tiene: 0 y 0
LL 000
0
00 )(
)(
,
LL
.
.00
,
además, como
L
n
iii qpH
0
.
y
.
i
i
qp
L
,
entonces 00 es una densidad de energía y para
0 y 0
LL 0
0
0 )()(
,
LL 0.
0 )(
.
Por otro lado, para el caso de una translación infinitesimal respecto del origen del espacio-tiempo, es decir,
x , (4.2)
0 , (4.3)así,
x , (4.4)
entonces
.
De la misma manera, de
23
0 , (4.5)
tenemos que0 .
y como la corriente es dada por,
)(
LJ ,
entonces
J ,
así, para el caso 0 y 0 , se tiene que 00 J y como
030 xdJdt
d
V
,
obtenemos que
030 xddt
d
V
.
De esta manera, 0 es una cantidad que se conserva, y en analogía con la mecánica
clásica, será el 4-momento o energía-momento del campo )(x . Por lo tanto, (4.1) puede serllamado un tensor de energía–momento. Por ejemplo, si consideramos la siguiente densidadlagrangiana:
22
22
1
mL , (4.6)
se tiene que
g2
1L,
gg2
1L,
2
1L,
así, en (4.1) tenemosL
))(( ,
L
ggg ))(( ,
L g ))(( .
Por tanto, este tensor es simétrico en y . De esta manera, para el campo escalar, eltensor energía-momento es simétrico. Sin embargo, en general no es claro que (4.1) sea
24
simétrico. Además, no es único, es decir, es posible adicionar un término de la forma f
donde ff , entonces
ffff ,
luego, si hacemos , se tiene
0 f . (4.7)
De esta manera, definimos un nuevo tensor de la forma:
fT , (4.8)
tal que, usando (4.7) se obtiene
T ,
y como
J y 0
J , entonces 0 , así
0 T ,
es decir, este nuevo tensor de energía-momento es conservado como el anterior, la adición deun tensor extra al tensor energía-momento no afecta la energía y el momento, los cuales soncantidades medibles. Este tensor T es llamado tensor de energía-momento canónico.
Existe otra razón para que T sea simétrico, el cual surge cuando consideramos elmomento angular. En este caso, se exige que la acción sea invariante frente a rotacionesespaciales, es decir
jjii xx , (4.9)
ijji , (4.10)
donde 3,2,1, ji y ji es una matriz antisimétrcia que describe las rotaciones.
Como el grupo de rotación es un subgrupo del grupo de Lorentz, es posible generalizar(4.9):
xx , (4.11)
con . De esta manera, (4.11) puede ser escrito como:
x , (4.12)
donde
x . Además, de se tiene que
es antisimétrico en , es
decir
. En este caso, para encontrar la corriente de Noether conservada usamos
)(
LJ ,
el cual para 0 y sustituyendo T por se tiene que
25
TJ .
Sin embargo, en este caso no es de dos índices, si no de tres, es decir
TJ .
Por otro lado, como es antisimétrico en y , solamente la parte de antisimétricaen sus índices inferiores contribuyen en (4.12), así podemos tener de:
x
haciendo
x ,
luego sumando estas expresiones, se obtiene:
2
1x ,
de esta manera, si definimos
2
1
entonces
TTJ2
1,
y si usamos
x , tenemos que
xTxTJ 2
1,
xTxTJ 2
1. (4.13)
Es posible demostrar que la componente 0 , de esta corriente es (a menos de un factornumérico) la densidad del momento angular del campo, es decir, para 0 en (4.13) se tieneque:
xTxTJ 000
2
1 .
Además, anteriormente encontramos que 0T es el 4-momento del campo entoncespodemos definir la densidad de momento angular del campo , como:
xTxT 000 M ,y el momento angular es dado por
xdxTxTM 300 ,
o podemos escribirlo de la forma:
xdM 30 M .
Asimismo, para estudiar si es una cantidad conservada, hacemos
26
xTxT M ,
xTxTxTxT M ,
TT M ,
TT M ,
es decir, para que la densidad del momento angular del campo )(x se conserve se debe tenerque
TT .
Por tanto, la conservación del momento angular exige que el tensor de energía-momentosea simétrico. Además, se tiene para un instante del tiempo que
03300
3 xdxdxdV
ii
VV
MMM ,
0300
i
V
i
V
dxd MM ,
y como en las fronteras el campo es nulo, entonces el segundo término del lado izquierdo esnulo, así tenemos que
030 xddt
d
V
M .
Si definimos, para t constante
xdQV
30 M ,
entonces se tiene
0Qdt
d,
El cual indica que encontramos una carga conservada.
Por tanto, existen tres componentes del momento angular del campo que son
componentes espaciales de M , es decir 12M , 23M y 31M . Tres componentes tipo espacio-tiempo 01M , 02M y 03M que están relacionados con el centro de masa del sistema y sonconservadas en virtud de la invariancia puramente de las transformaciones de Lorentz.
27
CAPÍTULO 5
SIMETRÍAS INTERNAS
En el capítulo anterior, completamos el estudio sobre el origen de las leyes de conservaciónpara la energía, momento y momento angular, todos ellos obtenidas de la simetrías del espacio-tiempo, vía el Teorema de Noether.
Sin embargo, en la naturaleza existe otra cantidad conservada, la carga eléctrica. Lacuestión es, si esto es debido a una simetría de la acción, cuál es esa simetría?. Lógicamente nopuede involucrar
, desde que estas simetrías ya fueron estudiadas. Es decir, la simetría
máxima que podemos tener en el espacio de Minkowski es simetría sobre traslaciones,desplazamientos temporales y transformaciones de Lorentz, los cuales ya fueron consideradastodos ellos. Por lo tanto, cualquier simetría adicional debe provenir de )(x , en otras
palabras, el campo escalar debe tener más de una componente. En nuestro estudio no vamos aconsiderar el caso de espinores o campos vectioriales; en estos casos las diferentescomponentes están relacionadas por transformaciones de espacio-tiempo, con la consecuenciaque el tensor de momento angular conservado contiene un término adicional, interpretadocomo el espín intrínseco, el cual no tiene relación con la carga (el campo de Dirac esconsiderado en este caso). La posibilidad más simple es que tenga dos componentes; y uncampo de dos componentes reales es matemáticamente equivalente a un campo complejo, elcual vamos a considerar.
5.1 CAMPO ESCALAR COMPLEJO
Si el campo escalar tiene dos componentes reales )(1 x y )(2 x , podemos escribirlo como:
)()(2
1)( 21 xixx ,
)()(2
1)( 21
* xixx ,
donde los campos )(x y )(* x son independientes.
De esta manera, la densidad lagrangiana
)()()()()(,();(),( *2**)
*xxmxxxxxx
L , (5.1)
es real, lo cual puede ser verificado si hacemos
)()(2
1)()(
2
1)()( 2121
* xixxixxx
,
)()()()(2
1)()( 2111
* xxixxxx
28
)()()()( 2212 xxxxi
,
)()(2
1)()(
2
1)()( 2211
* xxxxxx
,
asimismo,
)()()()(2
)()( 2121
2*2 xixxix
mxxm ,
)()()()()()(2
)()( 221221
21
2*2 xxxixxix
mxxm ,
)(2
)(2
)()( 22
22
1
2*2 x
mx
mxxm ,
así, tenemos que
2
)()(2
1)(
2)()(
2
1)(,();(),(
2
222
1
2
112)
211
mxxx
mxxxxxx
L ,
es decir, la densidad lagrangiana es una suma de densidades lagrangianas de los camposescalares reales.
Para determinar la ecuación de movimiento del campo y * , usamos Euler-Lagrange. Por
ejemplo, para * consideramos
0))(()( **
xx LL
,
y de (5.1), tenemos
)()(
2*
xmx
L
,
)())(( *
xx
L
,
y la ecuación de movimiento para será:
0)(2 xm . (5.2)
De la misma manera se puede obtener la ecuación de movimiento para el campo * , dadapor:
0)(*2 xm . (5.3)
29
Reconocemos que estas son las ecuaciones de movimiento tipo Klein-Gordon, para loscampos independientes )(x y )(* x .
Por otro lado, es posible demostrar que la densidad lagrangiana L , es invariante sobre lastransformación de gauge, dada por
)()()( xxex i , (5.4)
)()()( *** xxex i , (5.5)donde es una constante real. Las relaciones (5.4) y (5.5) son llamadas “Transformación deGauge Global” o de “primer tipo”. Es posible demostrar que (5.1) es invariante sobre estastransformaciones, para esto hacemos:
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L ,
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xexemxexexxxx iiii
L ,
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L ,
)(),();(),((,();(),(**
)*
)*
xxxxxxxx
LL ,
es decir, la densidad lagrangiana (5.1) es invariante sobre las transformaciones de gauge global.
Además, para el caso de pequeño (parámetro de transformación infinitesimal), latransformación, es su forma infinitesimal, es dada por:
)(!3!2
1)()(32
xiixex i
,
)(!3!2
1)()( *32
** xiixex i
,
y como es pequeño, podemos despreciar términos del tipo 2 , 3 , … frente a , de estamanera las expresiones anteriores se reducen a la forma:
)()()(1)()( xixxixex i , (5.6)
)()()(1)()( ***** xixxixex i . (5.7)Además, como
)()()( xxx , (5.8)
)()()( *** xxx , (5.9)
entonces comparando (5.6) con (5.8) y (5.7) con (5.9), se obtiene que:
30
)()( xix , (5.10)
)()( ** xix . (5.11)
De la misma manera, tenemos:
)()()( xixx ,
)()()( *** xixx .
Debemos observar que como las transformaciones (5.6) y (5.7) no consideran el espacio-tiempo, tenemos que es solamente interno, es decir, transformaciones solo sobre el propio
)(x . Si ahora consideramos el grupo de transformaciones infinitesimales en x y )(x , elcual para transformaciones infinitesimales son de la forma, ver ecuaciones (3.4) y (3.5),
x , (5.12)
)()( xx , (5.13)
donde es un parámetro infinitesimal, se tiene que 0 y en consecuencia 0 x . Sin
embargo, para las transformaciones infinitesimales en )(x y )(* x , dadas por (5.10) y (5.11),
respectivamente, se tiene que al comparar con (5.12) y (5.13) el parámetro infinitesimal es y
)()( xix , (5.14)
)()( ** xix . (5.15)
Por otro lado, considerando el Teorema de Noether, se tiene que la corriente conservada, elcual es dada por:
)())((
xx
JL
,
y como 0 entonces
)())((
xx
J
L
.
Pero como en este caso los índices internos de )(x tiene que ser sumados, de esta manera se
tiene contribuciones de )(x y )(* x , es decir:
)())((
)())((
**
xx
xx
J
LL,
y usando (5.14) y (5.15), obtenemos
31
)())((
)())((
**
xix
xix
J
LL
, (5.16)
más aun de
)()()()()(,();(),( *2**)
*xxmxxxxxx
L ,
tenemos que
)())(( *
xx
L
,
)())((
* xx
L
,
así (5.16) se escribe como:
)()()()( ** xxxxiJ . (5.17)
Ahora para estudiar si de esta expresión podemos obtener cantidades conservadas hacemos:
)()()()( ** xxxxiJ
,
)()()()()()()()( **** xxxxxxxxiJ
,
y usando (5.2) y (5.3), tenemos que
0 J ,
es decir, la 4-divergencia de J es nula. En este caso la cantidad conservada para un instantedel tiempo viene dada por
03300 xdJxdJ i
i
VV
,
y usando el Teorema de Gauss en el segundo termino de la expresión anterior, es decir
03 V
iii
i
V
dJxdJ , (5.18)
además sobre la consideración que los campos se anulan en la superficie. De esta manera,(5.18) se reduce a:
030 xdJdt
d
V
.
Si ahora definimos, para t constante
xdJQV
30 ,
entonces se tiene
32
0Qdt
d,
donde
dVxxxxiQ )()()()( *00* ,
es la cantidad conservada y se identificara con la carga eléctrica.
Debemos mencionar que esta cantidad identificada con la carga eléctrica no contiene lacarga e del electrón. Es una expresión clásica debido a que no contiene . No está cuantizado,es decir, no se encuentra de acuerdo con el hecho que las cargas eléctricas real todas parecenser múltiplos de una cantidad básica. Además, observe que si el campo fuera real )()( * xx ,Q es nulo y no existe cantidad conservada.
Por tanto, identificamos una cantidad conservada Q , como resultado de la invariancia de la
acción sobre una transformación de gauge )()( xex i y )()( ** xex i . En este casocomo es una constante estas transformaciones deben ser las mismas en todos los puntos delespacio-tiempo, es una transformación global.
Sin embargo, este requerimiento no es posible, debido a que de acuerdo con la relatividad,debe existir un tiempo mínimo igual al tiempo de viaje de la luz, es decir, la transformación degauge global contradice la relatividad. Por esta razón, la consideración de que sea unaconstante debe ser modificada. En el siguiente capítulo veremos las consecuencias deconsiderar como una función del espacio-tiempo.
33
CAPÍTULO 6
LAGRANGIANO Y TENSOR ENERGÍA-MOMENTO DEL CAMPOELECTROMAGNÉTICO
Como mencionamos en el capítulo anterior, cuando hacemos una transformación de GaugeGlobal en el espacio interno de )(x , es necesario hacer la misma transformación (o rotación)en todos los otros puntos al mismo tiempo.
Sin embargo, esto es relativisticamente imposible, desde que contradice el Principio de laRelatividad: ninguna señal (o información) puede ser instantáneo. El tiempo mínimo entre unpunto y otro es el tiempo que la luz viaja entre ellos.
Una manera de evitar este problema es dejar de lado el requerimiento de que es unaconstante y escribimos como una función de las coordenadas del espacio-tiempo )(x .Estas transformaciones son conocidas como “Transformaciones de Gauge Local” o de“segundo tipo”. En este caso, se tiene:
)()()( )( xxex xi ,
)()()( **)(* xxex xi ,con lo cual
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L ,
)()()()((,();(),( *)()(2*)()()
*)
*xexemxexexxxx xixixixi
L ,
)()()((,();(),( *)()()()
*)
*xexexexxxx xixixi
L
)()()( *)()(2*)( xexemxe xixixi ,
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L
Jxxxxx )()()()()( * ,
donde J es la corriente del campo )(x dada por (5.17). Observe que en este caso ladensidad lagrangiana no es invariante sobre una Transformación de Gauge Local, es decir
)(),();(),((,();(),(**
)*
)*
xxxxxxxx
LL .
De esta manera, la siguiente tarea será determinar una densidad lagranagiana que seainvariante sobre una Transformación de Gauge Local. Para lo cual consideramos lastransformaciones infinitesimales 1 :
34
)()()()()(1)()( )( xxixxxixex xi , (6.1)
)()()()()(1)()( ****)(* xxixxxixex xi . (6.2)
Además, como
)()()( xxx ,
)()()( *** xxx ,
entonces comparando estas expresiones con (6.1) y (6.2), respectivamente, se obtiene que:
)()()( xxix , (6.3)
)()()( ** xxix . (6.4)De la misma manera, tenemos:
)()()()()()( xxixxixx , (6.5)
)()()()()()( **** xxixxixx . (6.6)
Comparando estas expresiones con el caso del capítulo anterior, observamos que tenemostérminos extras )()( xxi y )()( * xxi , respectivamente. Debido a estos términos
extras, por ejemplo, comparando (6.3) y (6.5) concluimos que )(x no se transforma
covariantemente, es decir, no se transforma como el propio campo )(x . Además, debido aeste término la Acción no es más invariante sobre transformaciones de gauges locales. Lo cualse demuestra a continuación.
La variación de la densidad lagrangiana es:
)()(
)()(
)()(
)()(
**
**
xx
xx
xx
xx
LLLLL . (6.7)
Si sustituimos las ecuaciones (6.3), (6.4), (6.5) y (6.6) en (6.7) obtenemos:
Jx)(L . (6.8)
De esta manera, comprobamos que la Acción no es invariante sobre transformaciones degauges locales. Para hacer que dicha Acción sea invariante, introducimos un nuevocuadrivector )(xA que se acopla directamente con la corriente J , el cual produce un
término extra a la densidad lagrangiana L :
)(xAeJ 1L . (6.9)
35
Más aun, imponemos que sobre las transformaciones de gauges locales el campo )(xA se
transforme como:
)()()(1
)()()( xAxAxe
xAxAxA . (6.10)
Ahora la variación de 1L es
)(
1)()()( x
eJxAJexAJxAJe
1L ,
)()( xJxAJe
1L . (6.11)
Por lo tanto el término )(xJ en (6.11) cancela L en (6.8), sin embargo, ahora
debemos cancelar el primer término de (6.11). Para esto consideramos la definición de lacorriente (5.17) y usando las transformaciones ((6.3) – (6.6)), tenemos que:
)()()()( ** xxxxiJ ,
))(()()()())(()()()( **** xxxxxxxxiJ ,
)()()())(()()()()( ** xxixxixixxxiiJ
)()()())(()()()()( *** xxixxixixxxii ,
)()()(2 * xxxJ . (6.12)De (6.11) y (6.12) tenemos que
)()()()(2 * xAxxxe 1LL . (6.13)
De esta manera, debemos adicionar un término para cancelar (6.13). Este término es dadopor:
)()()()( *2 xxxAxAe 2L .
Nuevamente aquí debemos calcular la variación de 2L , teniendo en cuenta la transformación
de )(xA , (6.10):
)()()()(2 * xAxxxe 2L . (6.14)
Observemos que este término es (6.13) pero con el signo cambiado, así de (6.13) y (6.14),tenemos que:
0 21 LLL .
Por lo tanto, la densidad lagrangiana total 21 LLL es ahora invariante sobre
transformaciones de gauges locales.
36
Como introducimos un campo )(xA que se acopla a la corriente J , necesitamos tener
una densidad lagrangiana que contenga solo al campo de gauge )(xA y que además sea
invariante de gauge, es decir, sin acoplamientos con los campos )(x y )(* x . Para lo cual
definimos el rotacional del campo )(xA como:
)()( xAxAF . (6.15)
Es inmediato verificar que esta expresión es invariante sobre (6.10), es decir
)()( xAxAF ,
)(
1)()(
1)( x
exAx
exAF ,
)()( xAxAF ,
FF .
De (6.15) definimos la densidad lagrangiana del campo )(xA como:
FF4
13L , (6.16)
donde el factor4
1 es necesario para obtener las ecuaciones de Maxwell no homogéneas a
partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange. De esta manera, sumando todas las densidadeslagrangianas obtenemos la densidad lagrangiana total, dada por:
FFxxxAxAexAeJxxmxx 41*2*2* )()()()()()()()()( TL ,
que se puede reescribir como:
FFxxmxxieAxxxieAx 41*2** )()()()()()()()( TL .
Por lo tanto, demostramos que el campo electromagnético es un campo de gauge, es decir,el aparece naturalmente por exigencia que la Acción sea invariante sobre transformaciones degauges locales. El campo )(xA es denominado potencial de gauge e se acopla linealmente
con la corriente J con una constante de acoplamiento e , que es la carga del campo )(x .
De esta manera, encontramos que la densidad lagrangiana del campo electromagnético esdada por:
FF4
13L ,
y usando la definición del tensor energía-momento del campo electromagnético, se tiene que:
33 LL
))(())((
xAxA
T .
37
CAPÍTULO 7
TRANSFORMACIÓN DE GAUGE LOCAL
En el capítulo anterior, para determinar el Tensor energía-momento del campoelectromagnético, se considero la transformación de gauge local en lugar de la transformaciónde gauge global, debido a que esta última no cumple con el principio de la relatividad. En elpresente capítulo, vamos a considerar la transformación de gauge local, con la finalidad deestudiar que sucede con la densidad lagrangiana. Así iniciamos nuestro estudio considerandoun campo escalar complejo, dados por )(x y )(* x , y además tomando en cuenta que latransformación de gauge local, es
)()()( )( xxex xi , (7.1)
)()()( **)(* xxex xi , (7.2)
donde )(x es una función de las coordenadas del espacio-tiempo. Las relaciones (7.1) y (7.2)son llamadas “Transformación de Gauge Local” o de “segundo tipo”. Sobre estatransformación la densidad lagrangiana
)()()()()(,();(),( *2**)
*xxmxxxxxx
L ,
se transforma de la siguiente manera:
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L ,
)()()()((,();(),( *)()(2*)()()
*)
*xexemxexexxxx xixixixi
L
,
))(()())(((,();(),( )()()
*)
*xexxeixxxx xixi
L
)()())(()())(( *)()(2*)(*)( xxeemxexxei xixixixi ,
)()()()((,();(),( *2*)
*)
*xxmxxxxxx
L
)()()()()()()()()()( *** xxxixxxixxxx
,
)(),();(),((,();(),(**
)*
)*
xxxxxxxx
LL
)()()()()()()()()()( *** xxxgigxxxixxxx
,
y como
gg y luego haciendo se tiene:
38
)(),();(),((,();(),(**
)*
)*
xxxxxxxx
LL
)()()()()()()()()( *** xxxxxixxxx
,
Jxxxxxxxxx )()(),();(),((,();(),(
**)
*)
* LL ,
donde J es la corriente del campo )(x .
Observe que en este caso la densidad lagrangiana no es invariante sobre lastransformaciones de gauge local. De esta manera, la siguiente tarea es obtener una densidadlagrangiana que sea invariante frente a transformación de gauge local. Con este propósito, parael caso de )(x pequeño (parámetro de transformación infinitesimal), consideramos latransformación, es su forma infinitesimal, dada por:
)(!3
)(
!2
)()(1)()(
32)( x
xi
xxixex xi
,
)(!3
)(
!2
)()(1)()( *
32*)(* x
xi
xxixex xi
,
y como )(x es pequeño, podemos despreciar términos del tipo )(2 x , )(3 x , … frente a)(x , de esta manera las expresiones anteriores se reducen a la forma:
)()()()()(1)()( )( xxixxxixex xi , (7.3)
)()()()()(1)()( ****)(* xxixxxixex xi . (7.4)
Además, como
)()()( xxx , (7.5)
)()()( *** xxx , (7.6)
entonces comparando (7.3) con (7.5) y (7.4) con (7.6), se obtiene que:
)()()( xxix , (7.7)
)()()( ** xxix , (7.8)y además de (7.5) y (7.7) se obtiene,
)()()()()()()()()( xxixxixxxixx , (7.9)
asimismo, de (7.5) tenemos
39
)()()()()( xxxxx , (7.10)
y usando (7.9) así como el hecho que permuta con la variación , la expresión anterior es
escrita de la siguiente forma:
)()()()()( xxixxix . (7.11)
Similarmente, considerando (7.6) y (7.8) se tiene:
)()()()()( *** xxixxix . (7.12)
Observamos que las expresiones (7.11) y (7.12) tienen términos extras )()( xxi y
)()( * xxi , respectivamente. Estos términos extras hacen que la Acción no sea invariantesobre transformaciones de gauge local, como mostramos a continuación.
La variación de la densidad lagrangiana es
)()(
)()(
)()(
)()(
**
**
xx
xx
xx
xx
LLLLL ,
ahora usando las ecuaciones de Euler-Lagrange para los campos )(x y )(* x , es decir
0))(()(
xx
LL,
0))(()( **
xx LL
,
en el primer y tercer término del lado derecho de la expresión anterior, respectivamente, setiene
)()(
)())((
)()(
)())((
**
**
xx
xx
xx
xx
LLLLL .
Luego, considerando los términos de variaciones para )(x y )(* x dadas por (7.7), (7.8),así como sus derivadas respectivas (7.11) y (7.12), se obtiene
)()()()()(
)()())((
xxixxix
xxix
LLL
)(*)()(*)()(
)()())(( *
**
xxixxix
xxix
LL,
40
)()()(
)()())((
xxx
ixixx
LLL
)(*)()(
)()())(( *
**
xxx
ixixx
LL,
los términos
)())((
xx
Ly
)())((
**
xx
Lson divergencias totales y para la
variación de la acción no contribuyen, es decir estos términos pueden ser ignorados. Además,como
)())(( *
xx
L
,
)())((
* xx
L
,
entonces
)()()()()()( ** xxxixxxi
L ,
)()()()()()( ** xxgxgixxxi
L ,
)()()()()()( ** xxxixxxi
L ,
)()()()()( ** xxxxxi L
Jx)(L , (7.13)
donde )()()()( ** xxxxiJ es la corriente del campo escalar complejo,definida en el Capítulo 5.
De esta manera, la acción no es invariante sobre transformación de gauge local. Para hacerque dicha Acción sea invariante, vamos a introducimos un nuevo cuadrivector )(xA que se
acoplará con la corriente J , así la densidad lagrangiana L tendrá un término extra, dado por:
)(xAeJ 1L . (7.14)
Más aún, vamos a imponer que sobre la transformación de gauge local, el campo )(xA se
transforme como:
)()()(1
)()()( xAxAxe
xAxAxA , (7.15)
llamada transformación de gauge.
41
Ahora la variación de 1L es
)(
1)()()( x
eJxAJexAJxAJe
1L ,
)()( xJxAJe
1L . (7.16)
De esta expresión observamos que el término )(xJ permite que L en (7.13) sea
nula, sin embargo, ahora tenemos un nuevo término extra, dado por )(xAJe
, el cual se
debe anular. Con este propósito, y considerando la corriente )()()()( ** xxxxiJ así como las transformaciones (7.7), (7.8), (7.11) y (7.12),
obtenemos
)()()()( ** xxxxiJ ,
))(()()()())(()()()( **** xxxxxxxxiJ ,
)()()())(()()()()( ** xxixxixixxxiiJ
)()()())(()()()()( *** xxixxixixxxii ,
)()()(2 * xxxJ . (7.17)
De esta manera, considerando (7.13), (7.16) y (7.17) tenemos que
)()()()(2 * xAxxxe 1LL . (7.18)
Como ocurrió anteriormente, observamos que existe un término extra en la variación de ladensidad lagrangiana 1LL , así con el objetivo de que (7.18) sea nula, vamos adicionar un
término que permita cancelar (7.18). Este término es dado por:
)()()()( *2 xxxAxAe 2L .
Nuevamente aquí debemos calcular la variación de 2L , teniendo en cuenta la
transformación de gauge para )(xA dada por (7.15), así como (7.7) y (7.8), se tiene que
)()()()()()()()( *2*2 xxxAxAexxxAxAe
2L
)()()()()()()()( *2*2 xxxAxAexxxAxAe
,
)()()(
1)()()()()(
1 *2*2 xxxe
xAexxxAxe
e
2L
42
)()()()()()()()()()( *2*2 xxixxAxAexxxixAxAe
,
)()()()()()()()( ** xxxxeAxxxAxe
2L ,
)()()()()()()()( ** xxxxeAxxxAgxeg
2L ,
)()()()()()()()( ** xxxxeAxxxAxe
2L ,
)()()()(2 * xAxxxe 2L . (7.19)
Observemos que este término es igual a (7.18) pero con el signo cambiado, así de (7.18) y(7.19), tenemos que:
0 21 LLL .
Por lo tanto, la nueva densidad lagrangiana total, dada por 21 LLL , es ahora
invariante sobre transformación de gauge local. Ahora, como introducimos un campo extra)(xA el cual se acopla a la corriente J , necesitamos tener en la densidad lagrangiana total
una que contenga sólo al campo de gauge )(xA y que además sea invariante de gauge, es
decir, sin acoplamientos con los campos )(x y )(* x . De esta manera, definimos el
rotacional del campo )(xA como:
)()( xAxAF . (7.20)
Es inmediato verificar que esta expresión es invariante sobre (7.15), es decir
)()( xAxAF ,
)(
1)()(
1)( x
exAx
exAF ,
)()( xAxAF ,
FF .
Considerando la definición (7.20) construimos la densidad lagrangiana asociada al campo)(xA como:
FF4
13L , (7.21)
donde el factor4
1 es necesario porque permite obtener las ecuaciones de Maxwell no
homogéneas a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange.
43
De esta manera, sumando todas las densidades lagrangianas, obtenemos la densidadlagrangiana total, dada por:
FFxxxAxAexAeJxxmxx 41*2*2* )()()()()()()()()( TL ,
que se puede reescribir como
)()()()()()()()()( ***2* xAxxxxeixxmxx
TL
FFxxxAxAe 41*2 )()()()( ,
)()()()()()()()()()( ***2* xAxxiexAgxgxeixxmxx
TL
FFxxxAxAe 41*2 )()()()( ,
)()()()()()()()()()( ***2* xAxxiexAxxeixxmxx
TL
FFxxxAxAe 41*2 )()()()( ,
FFxxmxxieAxxxieAx 41*2** )()()()()()()()( TL .
Para que la densidad lagrangiana sea más general posible, vamos a considerar fuentes externasj y j acopladas a los campos )(* x y )(x , respectivamente, y el campo de gauge )(xA
acoplado a j , por lo tanto se tiene
FFxxmxxieAxxxieAx 41*2** )()()()()()()()(TL
)()()(* xAjxjxj . (7.22)
Por otro lado, si consideramos la densidad lagrangiana original, es decir
)()()()()(,();(),( *2**)
*xxmxxxxxx
L ,
con (7.22) observamos que )(x es reemplazado por )()()( xxieAx , así podemos
definir: )()()()()()( xxieAxxieAxxD ,
y de la misma manera,
)()()()()()( **** xxieAxxieAxxD .
Estas expresiones son conocidas como el Acoplamiento mínimo o Derivada covariante delos campos )(x y )(* x , respectivamente. Debemos mencionar que diferente de )(x y
)(* x , )(xD y )(* xD se transforman en forma covariante sobre una transformación de
gauge local, es decir
44
)()()( xDxixD ,
)()()( ** xDxixD .
De esta manera, la densidad lagrangiana total e invariante frente a transformación de gaugelocal, es dada por:
)()()()()()()( *41*2* xAjxjxjFFxxmxDxD
TL .
45
CAPÍTULO 8
EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE EINSTEIN
En este capítulo estudiamos el origen del Principio de Equivalencia en la RelatividadGeneral.
Como es conocido, para describir el movimiento de un cuerpo se requiere necesariamentede un sistema de coordenadas espaciales que permitan identificar unívocamente cada punto delespacio físico de interés, y una coordenada temporal que permita determinar el ordencronológico de eventos en cualquier punto del espacio. A este conjunto de coordenadasespacio-tiempo se lo denomina sistema de referencia. El número de coordenadas espacialesnecesarias dependerá de los vínculos del sistema físico.
Hasta la aparición de la Teoría de Relatividad Especial, la comunidad científica aceptó quela coordenada temporal era la misma para todos los sistemas de referencia posibles, es decir,era independiente de la posición y del estado de movimiento relativo entre diferentes sistemasde referencia. Asimismo, para describir los fenómenos y obtener los valores de las magnitudesinvolucradas estas resultaban diferentes dependiendo del sistema de referencia elegido, lo cualgeneraba problemas.
Sin embargo, Galileo estableció un grupo particular de sistemas de referencia, llamadosinerciales o galileanos, en los que los fenómenos mecánicos ocurren de la misma manera y lasleyes son expresadas en forma matemática simple. Posteriormente Isaac Newton, a través del“Principio de Inercia”, postula la equivalencia entre sistemas inerciales. Dos definiciones desistemas inerciales son aceptadas. La primera de ellas indica que cualquier sistema dereferencia que esté en reposo respecto de las estrellas fijas es un sistema inercial. La segundapostula que un sistema inercial es aquel en el cual las leyes de la física adoptan la forma mássimple posible.
La definición que es más específica dice: sistema de referencia inercial es todo sistema queesté en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme respecto de un objeto material sobre elcual no actúa fuerza alguna, cualquiera sea su posición en el espacio.
Actualmente el Principio de Inercia tiene una significación más general. En primer lugarEinstein lo extendió a todos los fenómenos, es decir que todas las leyes de la física tienen lamisma forma en los sistemas inerciales. Además, con la consideración de la acción a través decampos, debida a Maxwell, y el hecho que la velocidad de la luz en el vacío sea constante paratodos los sistemas inerciales, se modificó la relación entre estos sistemas y ahora se encuentranrelacionadas por las Transformaciones de Lorentz.
En 1905 Albert Einstein, publicó en una revista científica alemana el trabajo denominado“Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”. En este artículo él plantea lainconsistencia de resultados obtenidos con las ecuaciones de Maxwell en la resolución deconocidos problemas electromagnéticos para cuerpos en movimiento. Para llegar a la soluciónpropuesta se realiza una revisión completa y la modificación profunda de los conceptos másbásicos del conocimiento, el espacio y el tiempo, del cual resultó la formulación inicial de laTeoría de Relatividad Especial.
46
Estos cambios conceptuales son consecuencia del desarrollo de la Teoría, considerado parasistemas inerciales, a partir de dos Postulados basados en hechos experimentales. El primero deellos indica que cualquier fenómeno natural responde a la misma ley en todos los sistemasinerciales, y el segundo postula que la velocidad de la luz en el vacío es constante para todoslos observadores.
El primer postulado establece la imposibilidad de distinguir entre el reposo y elmovimiento rectilíneo uniforme, en el sentido que son estados de movimiento naturalesequivalentes, haciendo inconsistente la existencia de un sistema de referencia absoluto, yademás proporciona la herramienta fundamental para encontrar y validar todas las leyesrelativistas.
El segundo postulado se encuentra relacionado con la Teoría de Relatividad de Galileo,publicada en 1637 la cual era aceptada como una formulación de validez universal, conconsecuencias directas en la mecánica de Newton.
Por otro lado, si la Teoría formulada en ese trabajo científico, Relatividad Especial,permiten una descripción completa de los fenómenos físicos, debe naturalmente considera elcampo gravitacional. Recordando que la gravitación Newtoniana fue el “espíritu” de laRelatividad Especial en dos aspectos básicos:
Invariantes por las transformaciones de Galileo. Velocidad de propagación infinita.
En 1907, escribiendo un artículo de revisión sobre Relatividad Especial y pensando sobre elproblema de la gravitación, Einstein tuvo lo que llamo el pensamiento más feliz de su vida.
“Si una persona cae libremente no siente su propio peso”
Este simple pensamiento lo llevo a la Teoría de la Relatividad General, es decir la teoría dela gravitación. Para esto, él observo que el campo gravitacional tiene una existencia relativa, dealgún modo semejante al campo eléctrico generado por inducción magneto-eléctrico. Para unobservador que cae libremente no existe campo gravitacional (por lo menos en su entornoinmediato). Si el observador deja caer algunos cuerpos estos permanecen en estado de reposo ode movimiento relativo rectilíneo y uniforme en relación a él. Este hecho experimental seencuentra directamente relacionado con la igualdad de la masa inercial ( im ), que es una
medida de la inercia del cuerpo, y la masa gravitacional ( gm ).
La segunda ley de Newton establece que
amF i
,
donde im es medida dinámicamente por varazón inversa entre las aceleraciones, para una
fuerza dada. La ley de la gravitación exige que
gmF gg
,
con g
un campo que depende de la posición y de las otras masas. De esta manera, laaceleración en un punto dado es
47
gm
ma
i
g
,
y deben ser diferentes para cuerpos con valores diferentes de para la razón
i
g
m
m. Es decir los
cuerpos que tienen diferentes razones caen de forma diferente en un campo gravitacional.Newton estaba consciente de esta dificultad e hizo experiencias con péndulos de igualeslongitudes para diferentes composiciones. Un resultado nulo fue obtenido en talesexperimentos, es decir ninguna diferencia entre los periodos fue observada. Esas experienciasfueron repetidas por Friedrich Wilhelm Bessel (1830) y confirmadas a través de un métododiferente por Roland Von Eötvös en 1890. Se estableció que no existía diferencia para la razón
i
g
m
m. Era independiente de los cuerpos, es decir la razón es la misma, sin interesar el cuerpo.
Por lo tanto ig mm , para cualquier cuerpo, se sigue de la ley de la caída libre de los cuerpos.
Todos los cuerpos caen con ga
.
Debemos indicar que la igualdad de la masa inercial y la masa gravitacional no tieneexplicación en el dominio de la mecánica. El hecho que ig mm es si y solo si g
es un campo
ficticio.
El hecho de que un campo gravitacional homogéneo tenga una existencia relativa, en el
sentido de que 0
g en el referencial en caída libre puede ser probado para un sistema de Npartículas moviéndose con velocidades no relativisticas sobre la influencia de un campo
homogéneo g
y de una fuerza no gravitacional F
, función de la separación entre laspartículas, es decir,
)( MN xxFF
,
entonces
M
MNNN
N xxFgmdt
xdm )(
2
2
. (8.1)
Suponga que hacemos una transformación de coordenadas no galileana:
2
2
1tgxx
,
tt ,así
2
2
1tgxx NN
,2
2
1tgxx MM
,
48
22
2
1
2
1tgtgxxxx MNMN
,
MNMN xxxx
,
de esta manera, se tiene que (8.1) es
MMNNN
NN
NN
NN xxFgmgm
dt
xdmg
dt
xdm
dt
xdm )(
2
2
2
2
2
2
,
MMN
NN xxF
dt
xdm )(
2
2
.
Por lo tanto, observamos que tx,
y tx ,
no detectan diferencias en las leyes de lamecánica excepto que el observador en caída libre dirá que no siente la presencia del campogravitacional. Se concluye que la fuerza gravitacional es una “fuerza ficticia”, en el sentido delas fuerzas no inerciales que sólo existen cuando estamos en un referencial acelerado. Es decir,existe una equivalencia física entre efectos gravitacionales y acelerados. De esta manera, elproblema de la gravitación está de cierta forma relacionado con aceleraciones. Comoconsecuencia de este hecho surge la pregunta, ¿será posible que el principio de la relatividadsea válido par sistemas acelerados, una en relación con otras?
Al respecto, en la conferencia de Quioto en 1921, Eisntein manifestó: “en 1907 comprendíque todos los fenómenos naturales podrían ser discutidos en términos de la RelatividadEspecial excepto la gravitación. Sería muy desagradable que a pesar de la relación entre inerciay energía deducible de la Relatividad Especial, no exista una relación entre la inercia y el peso.Sospeche que esta relación era inexplicable por la Relatividad Especial”
Dos años después de la creación de la Relatividad Especial y del concepto de invarianciapor las transformaciones de Lorentz, la gravitación exigía una revisión de la RelatividadEspecial en su núcleo, es decir, en su herramienta más importante.
Se llama de Principio de Equivalencia a la identidad física entre los efectos gravitacionalesy acelerados, el cual está evidentemente relacionado con el principio de igualdad de las masasinerciales y gravitacionales ( ig mm ).
Tal principio permite comprender la unidad de la naturaleza entre inercia y gravitación y decierta forma explica la igualdad numérica entre las dos masas, por la identidad de susnaturalezas. Posibilidad no considerada en el contexto de la Mecánica Clásica, la cual parecerechazar el privilegio concedido a los sistemas inerciales.
El Principio de Equivalencia dice:
“En todo punto del espacio en la presencia de un campo gravitacional arbitrario es siempreposible escoger un sistema de coordenadas localmente inercial (caída libre) tal que dentro deuna vecindad suficientemente pequeño del punto en cuestión, las leyes de la naturaleza tomanla misma forma que en sistemas inerciales en la ausencia de gravitación”
49
Por lo tanto, en este caso el elemento de línea es
ddds 2 , (8.2)
donde son las coordenadas locales y zyx ,,,0 .
50
CAPÍTULO 9
EL ESPACIO-TIEMPO DE LA RELATIVIDAD GENERAL
En el capítulo anterior se estudio la equivalencia física entre los efectos gravitacionales yacelerados. En este capítulo vamos a estudiar, el espacio-tiempo relacionado en la presencia delcampo gravitacional.
Con este propósito, imaginemos dos sistemas de referencias en el cual se encuentran dosdiscos en cada uno de ellos en el plano xy , y que uno de los disco está girando con unavelocidad angular w y el otro se encuentra en reposo. Sobre estas condiciones, se encuentra
que en el primer caso D
c, donde c es la longitud del disco y D su diámetro respectivo.
Para el segundo caso se tiene que D
c. De los resultados obtenidos se concluye que la
longitud de una curva plana, todos los puntos del cual son equidistantes del punto central (deldisco), no es dado por la fórmula conocida para el círculo. Es decir, la geometría Euclideana noes válida, en el sistema del disco rotando, para medidas de longitud hecha en una formanatural.
Además, si por ejemplo se colocan dos relojes, uno en la periferia y el otro en el centro deldisco rotante, estas van a estar fuera de fase respecto al sistema del disco no rotante. El reloj dela periferia parecerá más lento.
Por lo tanto, el espacio-tiempo del sistema de referencias donde se encuentra el discorotante no puede ser definido tal como era definido en la Relatividad Especial.
Conclusión: El campo gravitacional ejerce una influencia sobre las leyes de las métricas delcontinuo espacio-tiempo. El espacio y el tiempo no son absolutos como suponía Newton y ni elcontinuo espacio-tiempo es absoluto como suponía Minkowski.
En al presencia de un campo gravitacional las medidas de longitud son modificadas deforma tal que la geometría del espacio es no Euclideana. El porcentaje de avance tambiéndepende de a posición, entonces el espacio-tiempo se convierte en un “medio material” curvo.
Sobre estos resultados, estudiamos a continuación el elemento de línea en un referencialrotante. Con este objetivo iniciamos considerando el elemento de línea de un sistema inercial:
222222 dzdydxdtcds , (9.1)o también
dxdxds 2 ,
donde zyx ,,,0 .
Una transformación de coordenadas para un referencial rotando en torno al eje z , es decir tzyxtzyx ,,,,,, , es
)()cos( tsenytxx ,
51
)cos()( tytsenxy ,
zz ,donde es la velocidad angular dirigida a lo largo del eje zz , . Calculando los diferenciales yreemplazando en (9.1), tenemos
dttytsenyddttsenxtxddx )cos()()()cos( ,
dttsenytyddttxtsenxddy )()cos()cos()( ,
zddz ,
dtxdydtydxdtydtxzdydxddtcds 22222222222222 ,
dtxdydtydxzdydxddtc
c
yxds
221 22222
2
2222 .
Por lo tanto, en un sistema de referencia no inercial, el cuadrado del intervalo 2ds aparececomo una forma cuadrática que no se reduce a una suma de cuadrados de las diferenciales. Elintervalo es ahora representado por una expresión más general del tipo:
dxdxgds 2 ,
donde los g son en general funciones de las coordenadas y del tiempo, es decir
)( xgg . Por el Principio de Equivalencia, las cantidades g deben representar la
métrica del espacio-tiempo en la presencia de un campo gravitacional arbitrario.
Tal como en el caso de la Relatividad Especial con , el tensor métrico g es simétrico,
es decir
gg ,
además, en general las 10 componentes independientes no son reductibles a los valores de laRelatividad Especial, 1,1,1,1 33221100 gggg .
De esta manera, podemos concluir que el campo gravitacional modifica la métrica delespacio-tiempo. Así, las propiedades geométricas del espacio-tiempo son determinadas por losfenómenos físicos y no fijadas a priori como en el caso de la Relatividad Especial.
En el ejemplo del referencial rotante la métrica fue obtenida a partir de la RelatividadEspecial, así por la transformación inversa se puede nuevamente reducirla para los valores dela Relatividad Especial para todo el espacio. Al respecto debemos indicar que tales formas de
g no son muy especiales. En este caso, la naturaleza del espacio-tiempo es minskoniana y no
es determinado por el referencial acelerado. En general los campos gravitacionales reales,como veremos, no pueden ser eliminados por transformaciones de coordenadas. El espacio-tiempo se dice que es curvo y la reducción g sólo es posible localmente.
52
CAPÍTULO 10
GEOMETRÍA RIEMANNIANA. GEODÉSICAS
En el capítulo anterior se estudio la influencia del campo gravitacional sobre las leyes delas métricas del continuo espacio-tiempo. Se llego a la conclusión que el espacio y el tiempo noson absolutos como suponía Newton y ni el continuo espacio-tiempo es absoluto como suponíaMinkowski. De esta manera, se tiene que el campo gravitacional modifica la métrica delespacio-tiempo. Así, las propiedades geométricas del espacio-tiempo son determinadas por losfenómenos físicos y no fijadas a priori como en el caso de la Relatividad Especial.
En este capítulo vamos a estudiar, la geometría del espacio-tiempo en la presencia delcampo gravitacional, conocida como la geometría Riemanniana. Presentaremos los conceptosprincipales de estas ideas, como son: variedades diferenciables, aplicaciones diferenciablesentre variedades diferenciables y los espacios tangentes a estas variedades, tambiéndefiniremos métrica riemanniana, geodésica, curvatura y gradiente.
Basándose en las ideas y resultados de Riemann, Einstein hacia 1920 considera en suTeoría de la Relatividad General la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ellamuestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que seobserva bajo la acción del campo gravitacional, los cuerpos siguen las líneas más rectasposibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.
Además, la Ecuación de Einstein indica que para cada observador, la curvatura media delespacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, lo cual está de acuerdovisión de Gauss: la geometría desarrollada por los griegos es la estructura infinitesimal delespacio; al generalizar dicha estructura geométrica, tiene curvatura.
Las nociones de geometría riemanniana fueron introducidas por Bernhard Riemann un 10de Junio de 1854 a través de una conferencia en la Universidad de Gotinga titulada: Sobre lashipótesis que están en los fundamentos de la geometría. La conferencia, pasa por ser una de lasmás celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros científicos de lahumanidad. De entre los presentes se dice que sólo Gauss fue capaz de comprender sucontenido, y hay que decir que le entusiasmó.
En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué problema hay en aumentarel número de dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacerdemostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización delconcepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. Dehecho, el nombre variedad hace referencia a las diferentes coordenadas que cambian para irobteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de dimensión 2,mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y los puntos las de dimensión 0.De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clavede la definición formal de una variedad diferenciable (definición no expuesta correctamentehasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de lavariedad tiene algún entorno homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo nR , de manera quecuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estoshomeomorfismo se obtiene una función diferenciable de un abierto de nR en otro abierto de nR .Pero como indicamos hicieron falta casi 60 años para que la definición terminara de serconcluida. No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de
53
espacios de dimensión superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en variasocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar suexistencia) o metafísico. Es Cayley quien en 1843 trata explícitamente el tema por primera vez,y volverá a él nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirán Sylvester, Clifford, Grassmanny Schläfli entre otros, aunque hay que decir que la visión de todos ellos es mucho másalgebraica que geométrica.
Para incluir la interacción gravitacional, las teorías de la física deben ser covariantes sobretransformaciones de coordenadas, por ejemplo )( xxxx . Para desarrollar losconceptos principales de la geometría riemanniana, vamos a considerar un sistema dereferencia no inercial, donde el cuadrado del intervalo 2ds aparece en una forma cuadráticaque no se reduce a una suma de cuadrados de las diferenciales. El intervalo es ahorarepresentado por una expresión más general del tipo:
dxdxgds 2 ,
donde los g son las componentes covariantes del tensor métrico g , funciones de las
coordenadas y del tiempo, es decir xgg , y diferenciables. Además, por el Principio
de Equivalencia, las cantidades xg deben representar la métrica del espacio-tiempo en la
presencia de un campo gravitacional arbitrario.
Tal como en el caso de la Relatividad Especial con , el tensor métrico xg es
simétrico, es decir
xgxg ,
asimismo, en general las 10 componentes independientes no son reductibles a los valores de laRelatividad Especial, es decir 1,1,1,1 33221100 gggg .
Por otro lado, los tensores, al igual que otros objetos matemáticos, también pueden serdiferenciados con las herramientas del cálculo infinitesimal. Sin embargo, hay que tomar aquíciertas precauciones. Si consideramos las componentes xg de un tensor covariante, la
derivada para que este bien definido, no basta con que se aplique las reglas del cálculoinfinitesimal conocidas para obtener algo que podríamos llamar “la derivada de un tensor”. Esnecesario que el resultado obtenido también se comporte como un tensor, es decir tambiéndebe transformarse de acuerdo con la definición del tensor sobre un cambio de coordenadas. Siesto no ocurre, la operación no es adecuada, porque al no poderse transformar “la derivada deltensor” como un tensor sobre un cambio de coordenadas, entonces una ecuación tensorial queinvolucre derivadas de los mismos no será independiente de un cambio de coordenadas,contraviniendo la principal razón para recurrir al uso de tensores que es para poder escribirrelaciones matemáticas como las que ocurren en la Relatividad General, independientes delsistema de coordenadas utilizado. Y resulta que la diferenciación ordinaria de un tensor noproduce un tensor.
Estudiemos primero la transformación de la conexión , definida por
xx
x
2
,
54
donde )( xx o )( xx .
La conexión es transformada como
x
x
xx
x
x
x
xx
x 2
,
xx
x
xx
x
xx
x
x
x 2
,
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x 2
,
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x 22
,
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
22
,
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
22
,
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x 2
.
Por el resultado obtenido se observa que no es un tensor.
Por otro lado, de la identidad
x
x
x
xse tiene que
0
xx
x
x
x
x,
022
xx
x
x
x
x
x
xx
x,
022
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
x,
xx
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
22
,
así tenemos que
55
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
.
De esta manera concluimos que es un tensor sólo para transformaciones lineales, caso en
el cual el segundo término del lado derecho, de la expresión anterior, se anula.
Ahora consideremos un campo tensorial en una región del espacio-tiempo (por ejemplo xV ) descrito por coordenadas curvilíneas x . La cuestión es dado un tensor, es posible
obtener un nuevo tensor por diferenciación? Para responder esta interrogante, estudiemos lossiguientes casos:
Campo Escalar
En este caso se tiene que xx . Así su derivada es dada por
,
x
el cual es un vector covariante porque
dxx
d
es un escalar y dx un vector contravariante arbitrario. El mismo resultado se obtiene porderivación elemental:
xx
x
x
x
xx
,
que es la ley de transformación de un vector covariante.
Vector Contravariante
Sea xV un vector contravariante, cuya ley de transformación es
V
x
xV
.
Su derivada es obtenida de la siguiente manera:
x
V
x
xV
xx
xV
x
x
xx
V
2
,
Vxx
x
x
V
x
x
x
x
x
V
2
, (10.1)
56
donde el segundo término del lado derecho es no homogéneo. Por lo tanto, genera un tensor siy sólo si las transformaciones son lineales.
Por otro lado, como
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
,
Vxx
x
x
x
x
xV
x
x
x
x
x
xV
2
,
Vx
x
xx
xV
x
x
x
xV
2
,
Vxx
xV
x
x
x
xV
2
, (10.2)
así sumando (10.1) y (10.2), tenemos
Vx
x
x
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
,
Vx
V
x
x
x
xV
x
V,
definiendo
V
x
VV
,, , (10.3)
entonces
,,,, Vx
x
x
xV
, (10.4)
el cual representa la derivada covariante de un vector contravariante. La definición (10.4)también puede ser escrito como
VVV ,; .
OBSERVACIONES:
Para un escalar
x
,,, , debido a que la derivada de un escalar es un
vector. Si 0
la derivada covariante se reduce a la derivada parcial.
Vector Covariante
57
En este caso sea xV un vector covariante, cuya ley de transformación es
Vx
xV
.
Su derivada es obtenida de la siguiente manera:
x
V
x
xV
xx
xV
x
x
xx
V
2
,
V
xx
x
x
V
x
x
x
x
x
V
2
, (10.5)
y usando la relación
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
,
Vxx
x
x
xV
x
x
x
x
x
xV
2
Vxx
xV
x
x
x
xV
2
, (10.6)
así haciendo en (10.6) y restando con (10.5) obtenemos
V
x
x
x
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
,
V
x
V
x
x
x
xV
x
V,
definiendo
Vx
VV
,,, (10.7)
entonces
,,,, Vx
x
x
xV
, (10.8)
el cual representa la derivada covariante de un vector covariante. Como en el caso anterior ladefinición (10.7) también puede ser escrito como
VVV ,; .
58
Tensores de Segundo Orden
En este caso sea T un tensor contravariante de segundo orden, cuya ley detransformación es
T
x
x
x
xT
.
Siguiendo la misma metodología de los casos anteriores, se tiene que la derivada covariantees dada por
TTTT ,,, .
En el caso de un tensor covariante de segundo orden T , cuya ley de transformación es
Tx
x
x
xT
.
Aquí su derivada covariante es
TTTT ,,,
.
De esta manera se pueden tener las siguientes propiedades importantes en la geometríariemanniana:
1. ,,,,,, BABABA ,
2.
,,,,
,, AgAA ,
3.
,,,,
AgA ,
4. 0,, g , decir, la derivada covariante del tensor métrico es nulo.
5.
,,;; BABA .
Por otro lado, el rotacional es dada por
,,;; VVVV ,
mientras que la divergencia covariante es
,;
1Vg
gV .
10.1 GEODÉSICAS
Una geodésica puede ser definida como la curva mínima. La menor distancia entre dospuntos en un espacio-tiempo curvo.
59
Para demostrar esto consideremos una partícula que va desde un punto A a uno en B eseespacio curvo. Además, las coordenadas dependen de un parámetro arbitrario p , es decir
)( pxx . Sea una distancia infinitesimal dada por
dxdxgds ,
entonces la distancia es
B
A
B
A
dxdxgdsL . (10.9)
Como en el caso de la mecánica clásica para hallar la menor distancia entre A y B , se tieneque 0L y que las variaciones en los puntos A y B son nulos, 0)( Ax y 0)( Bx .Así se tiene que
0 B
A
B
A dp
dx
dp
dxgdxdxgL
,
B
A dp
dx
dp
dx
dp
dx
gdp
dx
dp
dxx
x
g
dp
dx
dp
dxgL
2
1
2
1
0
dpdp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
,
B
A
dpdp
dx
dp
dx
dp
dxg
dp
dx
dp
dxx
x
g
dp
dx
dp
dxgL 0
2
1 21
,
y como
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
dp
dx
2 ,
entonces
022
1 21
dpdp
dx
dp
dxg
dp
dx
dp
dxx
x
g
dp
dx
dp
dxgL
B
A
. (10.10)
Además, como
60
dpdp
dx
dp
dxgds
, (10.11)
dsdp
dx
dp
dxgdp
21
,
y
dp
ds
dp
ds
ds
dx
ds
dx
dp
ds
ds
dx
dp
ds
ds
dx
dp
dx
dp
dx
,
usando (10.11) tenemos
ds
dx
ds
dx
dp
dx
dp
dxg
dp
dx
dp
dx
,
así (1010.) puede ser rescrito como:
B
A ds
dx
ds
dx
dp
dx
dp
dxgx
x
g
dp
dx
dp
dxgL
2
1
2
1
02
dp
dp
dx
dp
dxgx
ds
d
ds
dxg
,
022
1
dp
dp
dx
dp
dxgx
ds
d
ds
dxg
ds
dx
ds
dxx
x
gL
B
A
,
02
1
dsx
ds
d
ds
dxg
ds
dx
ds
dxx
x
gL
B
A
. (10.12)
Integrando por partes: para el segundo término,
ds
ds
xdgds
ds
dx
ds
dx
x
gxx
ds
dxgdsx
ds
d
ds
dxgL
B
A
B
A
B
A2
2
,
así (10.12) es rescrito como
02
12
2
dsx
ds
xdg
ds
dx
ds
dx
x
g
ds
dx
ds
dxx
x
gL
B
A
,
61
02
12
2
dsx
ds
xdg
ds
dx
ds
dx
x
g
ds
dx
ds
dxx
x
gL
B
A
,
02
12
2
dsx
ds
xdg
ds
dx
ds
dx
x
g
ds
dx
ds
dx
x
gL
B
A
,
02
12
2
dsx
ds
xdg
ds
dx
ds
dx
x
g
ds
dx
ds
dx
x
gL
B
A
,
02
12
2
dsx
ds
dx
ds
dx
x
g
x
g
ds
dx
ds
dxg
ds
xdL
B
A
,
02
12
2
dsx
x
g
x
g
ds
dx
ds
dxg
ds
xdL
B
A
,
pero como
uds
dx , entonces
02
12
2
dsx
x
g
x
guug
ds
xdL
B
A
,
además observando que
x
g
x
guu
x
guu
2y usando la notación
/gx
g
se tiene que
02 ///2
2
dsxggguu
gds
xdL
B
A
,
y considerando que
gg
02 ///2
2
dsxgggguu
ggds
xdL
B
A
,
02 ///2
2
dsxuugggg
ds
xdL
B
A
,
finalmente como
///2ggg
g , entonces
62
02
2
dsxuuds
xdL
B
A
y para valores arbitrarios de la variación x , obtenemos
02
2
ds
dx
ds
dx
ds
xd
,
relación conocida como la ecuación de la geodésica.
Por lo tanto, la trayectoria en el espacio-tiempo seguida por una partícula en la presencia deun campo gravitacional es la curva que extrema la “longitud d” (el intervalo).
63
CAPÍTULO 11
EL PRINCIPIO DE COVARIANCIA GENERAL
En este capítulo presentamos el Principio de la covariancia general en la RelatividadGeneral.
El principio de covariancia es una de las motivaciones principales que llevaron a Einstein ageneralizar la teoría de la relatividad especial. Dicho principio afirma que, las leyesfundamentales de la física deben tener la misma forma para cualquier observador sea cual seael estado de movimiento de este. Puesto que las medidas hechas por diversos observadorespueden encontrarse relacionadas mediante leyes de transformación fijas.
Matemáticamente el principio de covariancia implicaba que las leyes de la física deben serleyes tensoriales en el que las magnitudes medidas por diferentes observadores se encuentrenrelacionadas de acuerdo a la transformación de coordenadas de cada observador. Físicamenteel principio de covariancia depende de la observación que para diferentes sistemas decoordenadas de referencia no existe procedimiento físico para distinguir entre ellos. Influidopor el principio de equivalencia y otras observaciones Einstein y otros llegaron a teorizar queera posible construir una teoría donde todas las ecuaciones pudieran ser escritas en una formasuficientemente general como para tener la misma forma en cualquier sistema de coordenadas.Un ejemplo de esto era el equivalente relativista de la segunda ley de Newton que se escribepara cualquier sistema de coordenadas, en términos del tiempo propio, los símbolos deChristoffel del sistema de coordenadas y las componentes de la cuadrifuerza.Así la diferencia aparente entre sistemas inerciales y no inerciales de la mecánica newtonianaera ilusoria, ya que estos no son más que sistemas en los que los símbolos de Christoffel queaparecen en la expresiones se anulan, y por tanto, los sistemas inerciales son sólo un casoparticular de sistema de referencia, pero no un tipo privilegiado o de ningún modo destacado desistema de referencia, un vez que las leyes se formulen en la forma covariante adecuada.
El principio general de covariancia las leyes de la física deben tomar la misma forma entodos los sistemas de coordenadas. El movimiento inercial se realiza a través de trayectoriasgeodésicas.
El principio de invariancia local de Lorentz, las leyes de la relatividad especial se aplicanlocalmente para todos los observadores inerciales. Curvatura del espacio-tiempo permiteexplicar los efectos gravitacionales como movimientos inerciales en un espacio-tiempocurvado. La curvatura del espacio-tiempo está creada por la tensión que la masa y la energíaejercen sobre el mismo. El sistema de referencia escogido es definido por elección particular.Por lo tanto, todo movimiento es definido y cuantificado relativamente a otro cuerpo. En lateoría especial de la relatividad se asume que los sistemas de referencia pueden ser extendidosindefinidamente en todas las direcciones en el espacio-tiempo. Pero en la teoría general sereconoce que sólo es posible la definición de sistemas aproximados de forma local y durante untiempo finito para regiones finitas del espacio. En relatividad general, las leyes de Newton sonasumidas sólo en relación a sistemas de referencia locales. Las partículas libres viajan trazandolíneas rectas en sistemas inerciales locales (Lorentz). Cuando esas líneas se extienden, noaparecen como rectas, siendo llamadas geodésicas. Entonces, la primera ley de Newton se vereemplazada por la ley del movimiento geodésico. Distinguimos sistemas inerciales dereferencia, en los que los cuerpos mantienen un movimiento uniforme sin la actuación de osobre otros cuerpos, de los sistemas de referencia no inerciales en los que los cuerpos que se
64
mueven libremente sufriendo una aceleración derivada del propio sistema de referencia. Ensistemas de referencia no inerciales se percibe una fuerza derivada del sistema de referencia, nopor la influencia directa de otra materia. Nosotros sentimos fuerzas "gravitatorias" cuandovamos en un coche y giramos en una curva como la base física de nuestro sistema dereferencia. De forma similar actúan el efecto Coriolis y la fuerza centrífuga cuando definimossistemas de referencia basados en un cuerpo rotando (tal cual la Tierra o un niño dandovueltas). El principio de equivalencia en relatividad general establece que no hay experimentoslocales que sean capaces de distinguir una caída no-rotacional en un campo gravitacional apartir del movimiento uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. Es decir, no haygravedad en un sistema de referencia en caída libre. Desde esta perspectiva la gravedadobservada en la superficie de la Tierra es la fuerza observada en un sistema de referenciadefinido por la materia en la superficie que es no libre (es ligada) pero es atraída hacia abajopor la materia terrestre, y es análoga a la fuerza "gravitatoria" sentida en un coche dando unacurva.
Una ecuación física es válida en la presencia de un campo gravitacional arbitrario si: Está de acuerdo con las leyes de la relatividad especial, es decir cuando g
caso en el cual 0 .
La ecuación es covariante sobre las transformaciones de coordenadas generales)( xxxx .
Las derivadas parciales deben ser sustituidas por las derivadas covariantes.
65
CAPÍTULO 12
DERIVADAS COVARIANTES. TENSOR DE CURVATURA
En el capítulo anterior se estudio el principio general de covariancia, es decir, las leyes dela física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Asimismo,estudiamos la geometría del espacio-tiempo en la presencia del campo gravitacional, conocidacomo la geometría Riemanniana. En este capítulo presentaremos las derivadas covariantesdefinidas en la geometría riemanniana. Además, como el espacio-tiempo en este caso es curvo,queremos saber como obtener una medida para la desviación del espacio desde el espacio deMinkowski. Esta desviación es conocida como “curvatura”. Frecuentemente pensamos en unasuperficie bidimensional en un espacio tridimensional, es decir, describimos las propiedades deun espacio bidimensional (superficie) desde un punto de vista de un espacio plano dedimensión mayor. Esta manera de tratamiento también es matemáticamente posible para unespacio de Riemann cuadridimensional (podemos considerarlo como una hipersuperficie en unespacio de 10 dimensiones).
Para presentar las derivadas covariantes, recordamos que los tensores, al igual que otrosobjetos matemáticos, también pueden ser diferenciados con las herramientas del cálculoinfinitesimal. Sin embargo, hay que tomar aquí ciertas precauciones. Si consideramos lascomponentes xg de un tensor covariante, la derivada para que este bien definido, no es
suficiente con que se aplique las reglas del cálculo infinitesimal conocidas para obtener unaexpresión llamada “la derivada de un tensor”. Es necesario que el resultado obtenido tambiénse comporte como un tensor, es decir también debe transformarse de acuerdo con la definicióndel tensor sobre un cambio de coordenadas. Si esto no ocurre, la operación no es adecuada,porque al no poderse transformar “la derivada del tensor” como un tensor sobre un cambio decoordenadas, entonces una ecuación tensorial que involucre derivadas de los mismos no seráindependiente de un cambio de coordenadas, lo cual contradice la razón del uso de tensores, esdecir escribir las relaciones matemáticas como las que ocurren en la Relatividad General,independientes del sistema de coordenadas utilizado. Y resulta que la diferenciación ordinariade un tensor no produce un tensor.
De esta manera, sobre las mismas consideraciones del capítulo de Geometría Riemanniana,es decir, teniendo en cuenta un campo tensorial en una región del espacio-tiempo (porejemplo xV ) descrito por coordenadas curvilíneas x , se determina un nuevo tensor pordiferenciación.
Campo Escalar
En este caso se tiene que xx y, su derivada es dada por
,
x
el cual es un vector covariante debido a que
dxx
d
66
es un escalar y dx un vector contravariante arbitrario. El mismo resultado se obtiene porderivación elemental:
xx
x
x
x
xx
,
que es la ley de transformación de un vector covariante.
Vector Contravariante
En este caso, sea xV un vector contravariante, cuya ley de transformación es
V
x
xV
.
Su derivada es obtenida de la siguiente manera:
x
V
x
xV
xx
xV
x
x
xx
V
2
,
Vxx
x
x
V
x
x
x
x
x
V
2
, (12.1)
donde el segundo término del lado derecho es no homogéneo. Por lo tanto, genera un tensor siy sólo si las transformaciones son lineales.
Por otro lado, en el capítulo de Geometría Riemanniana se demostró que
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
,
así, para nuestro caso tenemos que
V
xx
x
x
x
x
xV
x
x
x
x
x
xV
2
,
V
xx
x
x
xV
x
x
x
xV
2
,
V
xx
xV
x
x
x
xV
2
. (12.2)
De esta manera, sumando (12.1) y (12.2), se tiene
Vxx
xV
x
x
x
xV
xx
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
22
,
67
Vx
x
x
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
,
de aquí, como los índices toman los mismos valores, hacemos en el segundo término del ladoderecho de la expresión anterior, los siguientes cambios de índices, primero y luego
, obteniéndose
Vx
x
x
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
,
Vx
V
x
x
x
xV
x
V, (12.3)
se observa que esta expresión tiene la estructura de una transformación de un tensor de ordendos, para esto definimos
V
x
VV
,, , (12.4)
con lo cual (12.3) puede ser escrito como
,,,, Vx
x
x
xV
,
que representa la transformación de un tensor de orden dos.
La definición, dada por (12.4), es llamada la Derivada covariante de un vector contravariante,que también puede representarse, desde que el primer término del lado derecho es una derivadaparcial, como
VVV ,,, ,o también
VVV ,; .
Observe que si 0 , entonces la derivada covariante se reduce a la derivada parcial.
Vector Covariante
En este caso sea xV un vector covariante, cuya ley de transformación es
Vx
xV
.
Su derivada es obtenida de la siguiente manera:
x
V
x
xV
xx
xV
x
x
xx
V
2
,
68
V
xx
x
x
V
x
x
x
x
x
V
2
, (12.5)
y usando la relación
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
,
se tiene
V
xx
x
x
xV
x
x
x
x
x
xV
2
V
xx
xV
x
x
x
xV
2
, (12.6)
así, como los índices toman los mismos valores, en (12.6) hacemos y , y luegosi la expresión resultante restamos con (12.5), obtenemos
V
x
x
x
x
x
V
x
x
x
xV
x
V
,
V
x
V
x
x
x
xV
x
V.
Ahora, definiendo
Vx
VV
,,, (12.7)
tenemos que
,,,, Vx
x
x
xV
, (12.8)
el cual representa la derivada covariante de un vector covariante. Como en el caso anterior ladefinición (12.7) también puede ser escrito como
VVV ,; .
Tensores de Segundo Orden
En este caso sea T un tensor contravariante de segundo orden, cuya ley detransformación es
T
x
x
x
xT
.
Siguiendo la misma metodología de los casos anteriores, se tiene que la derivada covariantees dada por
69
TTTT ,,, .
En el caso de un tensor covariante de segundo orden T , cuya ley de transformación es
Tx
x
x
xT
.
Aquí su derivada covariante es
TTTT ,,,
.
De esta manera se pueden tener las siguientes propiedades importantes en la geometríariemanniana:
6. ,,,,,, BABABA ,
7.
,,,,
,, AgAA ,
8.
,,,,
AgA ,
9. 0,, g , es decir, la derivada covariante del tensor métrico es nulo.
10.
,,;; BABA .
Por otro lado, como
VVV ,; ,
y
VVV ,; ,
se tiene que el rotacional es dado por
,,;; VVVV ,
mientras que la divergencia covariante es
,;
1Vg
gV .
12.1 TENSOR DE CURVATURA
Con el fin de, posteriormente, obtener las ecuaciones de campo, debemos determinar eltensor de curvatura. Para esto, vamos a considerar el siguiente principio: en la ausencia total demateria y campos de cualquier especie la métrica de Minkowski debe ser válida globalmente.Es decir, las ecuaciones de campo deben tener a la métrica de Minkowski como una soluciónparticular.
En la Teoría General de la Relatividad, existen tres tensores importantes para estudiar yespecificar la curvatura de un espacio-tiempo, a saber: el tensor de Einstein, el tensor de Ricciy el tensor de Riemann. Para obtener estos tensores, se debe conocer primero el tensor de
70
Riemann, ya que a partir de el se obtiene el tensor de Ricci y asimismo, el tensor de Einstein esobtenido a partir de este. De esta manera, es de nuestro interés determinar el tensor deRiemann, ya que todo lo relacionado con la curvatura en un espacio-tiempo se deriva de dichotensor.
Para una curvatura arbitraria en el espacio de Riemann, parametrizado por s , se puedeconstruir un campo vectorial A paralelo a lo largo de esta curva. De esta manera, transportar
A a lo largo de la curva sin cambiar su longitud o dirección, el resultado es un campo paralelode vectores, generado por transporte paralelo. Como no existe cambio en la longitud odirección de A , se tiene que
0ds
dA
,
y de aquí la derivada covariante a lo largo de una curva, dada por
Ads
dx
sd
dA
Ds
DA ,
es
Ads
dx
Ds
DA .
Supóngase que queremos transportar A en un espacio curvo, desde el punto 1p a p y de 1pa p . Para el primer caso, se tiene que
xdAA 11 ,
y el segundo,
xdAA 22 .
De esta manera, ir de 1p a p y de ahí a 2p , produce
AxdAAxdA 1211, ,
xdAxdxdAxdxdAAxdxdA 1,2121,12 ,
y del mismo modo para ir de 1p a p y de ahí a 2p , se tiene
xdAxdxdAxdxdAAxdxdA 1,2121,12 ,
así restando las expresiones anteriores obtenemos
xdxdAAA 21,, .
Por lo tanto, si el transporte paralelo es independiente del camino para todos los camposvectoriales A entonces el tensor de curvatura de Riemann definido como
,,R ,
71
es nulo.
La independencia del transporte paralelo es una interpretación de la conmutación de la segundaderivada covariante A . Para mostrar esto, recordamos el principio antes mencionado, es decir,la métrica de Minkowski debe ser una solución global particular en la ausencia de materia. Así,en un sistema donde 0
en todo el espacio, se tiene
,; VV ,
,,;; VV ,es decir, para un espacio plano la orden de diferenciación covariante es irrelevante:
0;;;;
VV .
Además, como esta es una ecuación tensorial, es válido para todo sistema de coordenadas en elespacio plano.
Por otro lado, si definimos
SVVV ,; ,
entonces
SSSSV ,;;; ,
;;,;;; VVVV ,
VVVVVVV ,,,
,;; ,
VVVVVVVV ,,,,
,,;; .
De la misma manera, se tiene
VVVVVVVV ,,,,
,,;; .
Por lo tanto,
VRVV ;;;; ,
y como V es arbitrario, tenemos que
0;;;;
VV ,
si y sólo si0
R .
De esta manera, el tensor de curvatura es nulo si y sólo si, el espacio es plano, es decir,cuando un sistema de coordenadas cartesiano puede ser introducido en todo el espacio total. Encoordenadas cartesianas los símbolos de Christoffel son nulos, así como el tensor de curvatura.
72
Inversamente, si el tensor de curvatura es nulo, entonces se puede tener un sistema decoordenadas cartesiana a través del espacio por un transporte paralelo de A .
73
CAPÍTULO 13
ECUACIONES DE EINSTEIN Y APLICACIONES
En este capítulo presentamos las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General.
Las ecuaciones de Einstein constituyen la base de la teoría de la Relatividad General. Porejemplo, de ellas se puede obtener cual es el efecto de la materia sobre la geometría delespacio, y viceversa. La relatividad general se basa en la matemática de la geometríadiferencial de las variedades métricas.
La Relatividad General, de 1916, considera como caso local a la Teoría de la RelatividadEspecial de 1905, pero en este enfoque se estudia los efectos de la gravedad. La Teoría de laRelatividad General de Einstein fue necesaria para explicar los sistemas acelerados y lasincoherencias que presentaba la Teoría de la Relatividad Especial por ejemplo, la conocidaparadoja de los gemelos.
Se fundamenta en el Principio de Equivalencia de Einstein (ver capítulo 8), publicado en1911, que permite relacionar con la relatividad inicial del tiempo de la Teoría de la RelatividadEspecial. A los efectos temporales de la velocidad relativa en sistemas de referencia inercialesse le adiciona, por el Principio de Equivalencia, efectos temporales a la gravedad. Así, lossistemas de referencia acelerados o con gravedad se configuran como sistemas de referencia noinerciales. En otras palabras, cambios en la velocidad o aceleración serán equivalentes acambios en la intensidad del campo de gravedad. De esta manera, se establece un sistema dereferencia privilegiado, el campo de gravedad.
Por otro lado, sabemos del Principio de Equivalencia que la gravedad es una manifestaciónde la curvatura del espacio, es decir, de una propiedad geométrica del espacio-tiempo.Asimismo, la fuente de esta curvatura es la materia de la cual tenemos una descripcióntensorial, el tensor de energía-momento. Pero todavía no sabemos exactamente cómo la materiainteracciona con el espacio-tiempo. Esta interacción viene dada por las ecuaciones de Einstein.
La cuestión es saber la forma analítica de las ecuaciones de Einstein, o lo que es lo mismo,cómo podemos describir de manera cualitativa la interacción entre el espacio-tiempo y lamateria. El Principio de Covariancia nos dice que la ecuación debe ser válida en todos lossistemas de referencia, y que por lo tanto debe tener una forma tensorial. Concretamente, laecuación de Einstein tiene que ser de la forma
TG .
donde G es un tensor que describe la curvatura del espacio, T el tensor de energía-
momento y una constante de proporcionalidad (introducimos el signo menos para futuraconveniencia).
La pregunta por lo tanto se reduce a la identificación del tensor G . Resulta que hay
diversas restricciones matemáticas y físicas que G tiene que cumplir:
1. G tiene que ser simétrico en los dos índices, ya que T también lo es.
74
2. G tiene que ser un objeto puramente geométrico. Por lo tanto, tiene que ser una
función solamente de la métrica g y sus derivadas.
3. Para el espacio plano, tenemos que 0G .
4. La ley de conservación de energía 0 T implica que 0
G .
5. Se puede identificar la componente 00g de la métrica con el potencial gravitacional
newtoniano. Para tener una teoría dinámica y para recuperar la ecuación de Poisson,
G debe contener segundas derivadas de la métrica. La manera más natural, por lo
tanto es a través de las contracciones del tensor de Riemann R .
6. Para obtener una ecuación diferencial de segundo orden en los potenciales gravitatorios,
G tiene que ser lineal en el tensor de Riemann. Contracciones del tipo RR o
RR darían lugar a ecuaciones diferenciales de orden más alto que 2.
Los posibles candidatos obvios para G podrían ser la misma métrica g , su
d’Alambertiano
g o el tensor de Ricci R , sin embargo, un análisis detallado indica
que ninguna de estas posibilidades cumple todas las condiciones mencionadas arriba. Aunquela métrica tiene el rango y las simetrías adecuadas y satisface la condición 0
g , tiene la
desventaja de que la ecuación debe ser Tg no es una ecuación dinámica, ni mucho
menos recupera la ecuación de Poisson. El d’Alambertiano
g sufre del problema
opuesto, ya que satisface (casi) todas las condiciones, pero es idénticamente cero, por el hechode que la conexión de Levi-Civita es compatible con la métrica. Finalmente, R no satisface
la condición RR
2
1. Por lo tanto, la ley de conservación de energía impondría que las
únicas métricas permitidas serían las que tienen 0 R , lo que no es una realista de esperar.
En realidad las condiciones (1 – 6) determinan el tensor G unívocamente: se puede
demostrar que la expresión más general para un tensor simétrico de rango 2, construido de lamétrica y sus derivadas y lineal en R es, salvo una constante común, de la forma
)(xggRG ,
donde es una constante )(x una función escalar. Además, exigir que 0 G implica
que2
1 y que es una constante, mientras que exigir que 0G para el espacio plano
implica que 0 . Por lo tanto el único tensor que satisface todas las condiciones necesarioses el tensor de Einstein, introducido en
RgRG 2
1 .
Una comparación con las fórmulas newtonianas fija la constante de proporcionalidadGN 8 , donde GN es la constante de Newton, de modo que las ecuaciones de Einstein
vienen dadas por
75
GTRgR 82
1 . (13.1)
Las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales nolineales acopladas de segundo orden, lo que hace que sean muy difíciles de resolveranalíticamente. No hay técnicas conocidas para obtener una solución general. Todas lassoluciones conocidas son casos con mucha simetría u obtenidas a través de técnicasespecíficas. Las ecuaciones de Einstein tiene 10 componentes, pero en realidad la condición
0 G impone 4 ligaduras, de modo que sólo 6 ecuaciones son realmente independientes.
Esto implica que de las 10 componentes de la métrica sólo 6 están determinadas por lasecuaciones de Einstein y corresponden a grados de libertad físicos. Las otras 4 componentesson componentes no-físicas que expresan la libertad de elección del sistema de coordenadas. Si
g es una solución de las ecuaciones de Einstein expresada en coordenadas x , la misma
métrica g expresada en coordenadas y también debería ser una solución. Esto sólo es
posible si la métrica contiene 4 grados de libertad que no están determinados por lasecuaciones de Einstein y que representan la libertad de aplicar un cambio de coordenadas
xyyx .
La diferencia conceptual entre las ecuaciones de Einstein y la teoría newtoniana de lagravedad es que las primeras describen la gravedad como una teoría de campos, cuyo conceptofue introducido por Michael Faraday (1791 - 1869) y asimismo, utilizado por Maxwell en elcontexto del electromagnetismo, para resolver el problema de acción a distancia. A diferenciaque en la ley de Newton o de Coulomb las partículas tienen interacciones (gravitacionales oelectromagnéticas) a distancia, en una teoría de campos las partículas interaccionanindirectamente, a través de un campo que se extiende por el espacio y que sirve deintermediario para la interacción entre las partículas. Una perturbación se transmite a través delcampo a velocidad finita (la velocidad de la luz en el caso del electromagnetismo y lagravedad). De este modo la relatividad general resuelve el problema de acción inmediata y adistancia de la gravedad newtoniana.
A veces es útil rescribir las ecuaciones de Einstein sin la traza. Para esto, tomamos la trazade (13.1), es decir contrayendo con g , encontramos
TR ,donde
TgT y además utilizamos el hecho que 4 gg . Sustituyendo esto en (13.1)
vemos que las ecuaciones de Einstein sin traza son de la forma
TgTR
2
1. (13.2)
Esta ecuación es completamente equivalente a (13.1), hace falta calcular el escalar de Ricci.Para conocimiento, históricamente, esta es la forma original en que Einstein escribió lasecuaciones, aunque su forma más famosa es sin duda (13.1). Una de las ventajas de (13.2) esque en el vacío, donde 0T , las ecuaciones se reducen a
0R . (13.3)
Una solución de esta expresión es el espacio de Minkowski, aunque es complicado para admitirsoluciones no-triviales, como la solución de Schwarzschild, o de ondas gravitacionales. Lassoluciones de (13.3) son en cierto modo el análogo de las ondas electromagnéticas en la teoría
76
de Maxwell, que también son soluciones de las ecuaciones en el vacío. Las métricas que tienenla propiedad (13.3) se llaman Ricci-planas.
13.1 APLICACIÓN: La Métrica de Schwarzschild
Es conocido que las ecuaciones de Einstein para el espacio vacío son no lineales y enconsecuencia muy complicadas para obtener soluciones. Sin embargo, un caso especial el cualpuede ser solucionado sin mucha dificultad; es el campo estático con simetría esférica,producido por un cuerpo simétricamente esférico en reposo.
La condición estática significa que, con un sistema de coordenadas estático, lascomponentes del tensor métrico g son independientes del tiempo, es decir de 0x o t y
también se tiene que 0tig . En nuestros cálculos vamos a considerar, por simplicidad, que
1c .
La primera solución exacta para las ecuaciones de Einstein fue obtenida por K.Schwarzschild (1916). Para realizar esto él considero las siguientes hipótesis:
1) El campo gravitacional es estático.2) El campo tiene simetría esférica.3) En el exterior del cuerpo, el espacio-tiempo es vacío.4) El espacio-tiempo es asintóticamente plano.
Schwarzschild considero que el espacio-tiempo podría ser representado por lascoordenadas polares ( ,,,rt ), donde t es una coordenada tipo-tiempo, y son los ángulospolares y r es la coordenada radial.
Vamos a determinar la métrica que Schwarzschild. Comenzamos considerando que
dxdxgds 2 , sea el elemento de línea ente dos puntos, el cual define el espacio-tiempo.
Entonces, si consideramos el caso de una esfera, podemos apropiadamente considerar unamétrica que dependa de y para un radio fijo, entonces tenemos:
2222 dsendd . (13.4)
Sin embargo, desde que estamos interesados en un espacio-tiempo de 4-dimensiones,necesitamos adicionar dos coordenadas, las cuales vamos a llamar a y b . Esto tambiénasegura que las ecuaciones serán escritas en forma covariante con la finalidad de mantener lainvariancia de las ecuaciones. De esta manera, la métrica para un espacio-tiemposimétricamente esférica puede ser escrita en la forma:
22222 ),(),(),(),( dbardbdadadbbagdbbagdabagds abbbaa , (13.5)
donde bar , es una función arbitraria que será determinada. Además, observe que como r esfunción de a y b entonces un cambio de coordenadas puede ser realizada, a saber raba ,, , por la inversión de bar , . En consecuencia, la expresión de la métrica (13.5)puede ser escrita como:
22222 ,, drdrdadadrgdrragdaragds arrraa . (13.6)
77
Debemos observar que la métrica (13.6) tiene 4 componentes, es decir ,,, ar , sinembargo, la coordenada temporal “ t ” no aparece, entonces la siguiente tarea será encontrar unafunción rat , , tal que, en el sistema de coordenadas rt, los términos cruzados drdtdtdr no aparezcan en la métrica. Entonces, como estamos buscando una función rat , , podemosescribir que:
drr
tda
a
tdt
,
a partir de la cual obtenemos:
22
22
2 drr
tdrdadadr
r
t
a
tda
a
tdt
. (13.7)
Por otro lado, si la métrica (13.7) puede ser escrito de la siguiente forma:
222'2 drdsds , (13.8)donde el elemento de línea 2'ds es definida por
222' ndrmdtds , (13.9)y las funciones m y n son arbitrarias. Ahora sustituyendo (13.8) en (13.9), obtendremos:
22
22
2' drr
tmndrdadadr
r
t
a
tmda
a
tmds
. (13.10)
Luego, reemplazando (13.9) en (13.8) y comparando la expresión resultantes con (13.6), lassiguientes expresiones son obtenidas:
2
a
tmgaa ,
r
t
a
tmgar ,
2
r
tmngrr .
De esta manera, tenemos tres ecuaciones que nos permitirá determinar las tres funcionesdesconocidas, es decir rat , , ram , y ran , en forma exacta, para ciertas condicionesiniciales de t . Naturalmente ellos son determinados en términos de las funciones desconocidas
aag , arg y rrg , en este sentido ellos aún son indeterminados. Por lo tanto, vamos a escribir la
métrica en la siguiente forma:22222 drndrmdtds . (13.11)
78
En este punto la única diferencia entre las dos coordenadas t y r es que elegimos que rsea la coordenada la cual multiplica la métrica en la bi-esfera. Esta elección es motivada por elconocimiento que tenemos de la métrica para el espacio plano de Minkowski, el cual puede serescrito como 22222 drdrdtds . Sabemos que el espacio-tiempo que estamosconsiderando es Lorentziana, de esta manera, m o n serán negativos. Vamos a elegir que m ,el coeficiente de 2dt , sea negativo. Respecto a esta elección arbitraria, debemos mencionar quepuede llevar a errores, pero por ahora vamos simplemente aceptarlo. Esta suposición no escompletamente irracional, desde que sabemos que el espacio de Minkowski es simétricamenteesférico, y por lo tanto puede ser descrito por la métrica (13.11). Con esta elección podemoscambiar las funciones m y n por nuevas funciones arbitrarias y , es decir:
2em y 2en ,donde y dependen de t y r .
De esta manera, (13.11) puede ser escrita como:
222,22,22 drdredteds rtrt . (13.12)
Que representa una métrica general para un espacio-tiempo simétricamente esférico. Elsiguiente paso será solucionar las ecuaciones de Einstein, el cual nos permitirá determinarexplícitamente las funciones ),( rt y ),( rt . Para la obtención de las referidas funciones,debemos primero calcular los símbolos de Christoffel para la métrica (13.12), a partir del cualse pude obtener el tensor de Ricci.
Por otro lado, el tensor de curvatura de Riemann es dado explícitamente por:
ijk
ikjj
ik
k
iji
jk xxR
, (13.13)
donde los son los ya mencionados símbolos de Christoffel, cuya forma es:
x
g
x
g
x
gg
2
1. (13.14)
Símbolos de Christoffel
Aquí vamos a determinar los símbolos de Christoffel diferente de cero para la métricaobtenida en (13.12). Para realizar estos cálculos, primero vamos a identificar las coordenadas ,,, rt con los números (0,1,2,3). Luego, obtenemos de (13.12) el siguiente tensor métrico
g :
22
2
2
2
000
000
000
000
senr
r
e
e
g,
y a partir de este tensor métrico g , se obtiene su correspondiente inversa, g , es decir:
79
22
2
2
2
/1000
0/100
000
000
senr
r
e
e
g . (13.15)
De esta manera, usando (13.14) los símbolos de Christoffel pueden ser determinados.
A continuación presentamos, usando (13.14) y (13.15), los cálculos realizados quegeneralmente no son encontrados en la literatura, para la determinación de los referidossímbolos. Calculamos todos los términos de los símbolos de Christoffel no nulos y, losresultados están dados por el siguiente conjunto de relaciones:
x
g
x
g
x
gg 01
01
1000
01 2
1 21
2
1
0000 22
1
2
1ee
x
gg
,
1001 . (13.16)
x
g
x
g
x
gg 11
11
1111
11 2
1 1
22
1
1111 22
1
2
1
eex
gg ,
1111 . (13.17)
x
g
x
g
x
gg 21
21
1222
21 2
1 1
21
2222 21
2
1
2
1
rrrx
gg ,
1221
r . (13.18)
x
g
x
g
x
gg 31
31
1333
31 2
1 r
rsensenrx
gg
12
1
2
1
2
1 2
221
3333
,
r
1331 . (13.19)
x
g
x
g
x
gg 10
10
0311
10 2
1 0
20
2
0
1111 .22
1
2
1
eex
gg ,
0110 . (13.20)
x
g
x
g
x
gg 32
32
2333
32 2
1 r
senrsenrx
gg
1cos2
1
2
1
2
1 2
222
3333
,
80
sen
cos332 . (13.21)
x
g
x
g
x
gg 00
00
0000
00 2
1 0
20
2
0
0000 .22
1
2
1
eex
gg ,
0000 . (13.22)
x
g
x
g
x
gg 00
00
0011
00 2
1 21
2
1
0011 .22
1
2
1ee
x
gg
,
1
2100 e . (13.23)
x
g
x
g
x
gg 33
33
3311
33 2
1 22
1
3311 22
1
2
1rsene
x
gg
,
22133 senre . (13.24)
x
g
x
g
x
gg 22
22
2211
22 2
1 rex
gg 2
2
1
2
1 2
1
2211
,
2122
re . (13.25)
x
g
x
g
x
gg 33
33
3322
33 2
1
cos21
2
1
2
1 2
2
3322 senrrx
gg
,
cos233 sen . (13.26)
x
g
x
g
x
gg 11
11
1100
11 2
1 20
2
0
1100 .22
1
2
1ee
x
gg
,
20
011 .e . (13.27)
Ahora que determinamos los símbolos de Christoffel, podemos calcular las componentes,no nulas, del tensor de curvatura de Riemann. Para esto, usamos los resultados encontrados en((13.16), … , (13.27)) y obtenemos:
81
0011
01100
011
1
0100
101
xx
R , (13.28)
donde, los términos 0110
y 0011
, es decir, el producto de los símbolos de Christoffel son
dados por:031
310
021
210
011
110
001
010
0110
,
030
311
020
211
010
111
000
011
0011
.
Para calcular estos productos, vamos a usar los resultados obtenidos anteriormente para lostérminos no nulos de los símbolos de Christoffel y de esta manera encontramos:
200
21
0110 .e ,
11
200
0011 . e . (13.29)
Luego, sustituyendo éstas expresiones así como (13.17) y (13.29) en (13.28), se obtiene lacomponente 0
101R del tensor de curvatura de Riemann, es decir:
,.
...2.
112
00
200
21
200
220
220
21
0101
e
eeeeR
21
211100
20
20
20101 eR . (13.30)
En forma similar podemos obtener las otras componentes del tensor de curvatura deRiemann. A continuación, presentamos los resultados obtenidos, para las diferentescomponentes:
0022
02200
022
2
0200
202
xx
R ,
21
0202 . erR . (13.31)
0033
03300
033
3
0300
303
xx
R ,
1
220303 . senreR . (13.22)
0122
02211
021
2
0210
212
xx
R ,
20
0212 . erR . (13.33)
82
0133
03311
031
3
0310
313
xx
R ,
0
220313 . ersenR . (13.34)
1122
12211
122
2
1211
212
xx
R ,
21
1212 . erR . (13.35)
1133
13311
133
3
1311
313
xx
R ,
221
1313 . senerR . (13.36)
2233
23322
233
3
2322
323
xx
R ,
222323 1 seneR . (13.37)
Ahora para conseguir el tensor de Ricci vamos realizar la contracción para cada una de lascomponentes del tensor de Riemann, obtenida anteriormente. De este modo, las componentesdel tensor de Ricci, son dados por:
3300
0303
2200
0202
1100
010100 ...... ggRggRggRR
2221
2111
200
20
20 2
11ee
re ,
1112
121
200
20
2000
2
reR . (13.38)
Análogamente podemos obtener las expresiones para las otras componentes del tensor deRicci, es decir:
3311
1313
2211
1212
010111 .... ggRggRRR .
00
20
20
2111
21
2111
2
e
rR . (13.39)
3300
0313
2200
021201 .... ggRggRR .
rR
001
2 . (13.40)
83
3322
2323
1212
020222 .. ggRRRR .
11112
22 reR . (13.41)
2323
1313
030333 RRRR ,
111122
33 resenR ,
22233 senRR . (13.42)
Ahora Consideremos la ecuación de Einstein, la cual permite relacionar la geometría delespacio-tiempo con la masa de la estrella en consideración, así tenemos que:
GSR 8 , (13.43)
donde TgTS
2
1 . (13.44)
También vamos a considerar que el tensor de Energía – Momento T , es dado por:
UUPPgT .
Calculando las componentes del tensor energía-momento T de interés para nuestros
cálculos, obtenemos: 22
000000 PPeUUPPgT , (13.45)
112
111111 UUPPeUUPPgT , (13.46)
222
222222 UUPPrUUPPgT , (13.47)
3322
333333 . UUPPsenrUUPPgT . (13.48)
Por otro lado, como la traza del tensor de energía–momento T , es dado por la expresión
UUPPgT , donde la 4-velocidad U satisface la relación 1
UU ,
entonces tenemos que PT 3 .
Una vez determinadas las componentes del tensor energía-momento T , y su respectiva
traza T , podemos obtener las diferentes componentes del tensor S dado por (13.44). Por lo
tanto, usando los resultados obtenidos para las diferentes componentes de T , dados por las
relaciones ((13.45) ... (13.48)), y de la traza PT 3 , en las componentes de S , dada
por la ecuación (13.44), obtendremos los siguientes términos:
84
PePPeTgTS gg 3
2
1
2
1 2220000 ,
Pe
PS2
22
00 . (13.49)
PeUUPPeTgTS 3
2
1
2
1 211
2111111 ,
Pe
UPS
2
22
111 . (13.50)
Pr
UUPPgUUPPgS 32
Pr32
1 2
222
22222222 ,
Pr
UPS 2
22222 . (13.51)
Psen
rUUPPsenrTgTS 3
2.
2
1 22
3322
333333 ,
Psenr
UPS 2
222222 . (13.52)
Ahora vamos a determinar las componentes del tensor de Einstein. Para esto,reemplazamos las diferentes componentes anteriormente determinadas en las componentes deltensor de Einstein y obtendremos:
Pe
PGR2
82
200 , (13.53)
P
eUPGR
28
22
111 , (13.54)
P
rUPGR
28
22222 , (13.55)
P
senrUPGR
28
222333 (13.56)
Con la finalidad de reducir las expresiones anteriores, hacemos la siguiente hipótesis:vamos a considerar el sistema de coordenadas comóvil, es decir, el sistema que se trasladaconjuntamente con el fluido perfecto, con esto, tendremos que las componentes de la 4-velocidad 1U , 2U y 3U se anulen, es decir, 0321 UUU y además también obtenemos
que el factor de Lorentz sea igual a uno, 12 . De esta manera, las componentes del tensor deEinstein, usando el sistema comóvil, son dados por:
85
Pe
PGR2
82
00 , (13.57)
PeGR 211 .4 , (13.58)
PGrR 222 4 , (13.59)
PsenGrR 2233 4 . (13.60)
Debemos mencionar que en nuestra restricción de trabajar en el sistema de coordenadascomóvil, se tiene que todas las otras componentes de S son nulas, en particular, el caso
001 S . Por otro lado, de la ecuación de Einstein se tiene que 0101 8 GSR y, en el caso que
001 S entonces 001 R . También de (13.40) sabemos que 01R es dado porr
02, de esta
manera obtenemos que 00 . La interpretación de este resultado es inmediata, la función
es independiente del tiempo, sin embargo, depende de la coordenada r . De aquí es claroque podemos buscar soluciones para las funciones ),( rt y ),( rt , usando el método deseparación de variables, esto quiere decir, que dichas funciones pueden ser escrita como:
rStRtr ., 2 , (13.61)
rtr , . (13.62)
En particular vamos a imponer que la siguiente relación sea satisfecha,
..
, (13.63)
con la finalidad que las funciones r y r se encuentren normalizadas y sean univocas.Entonces, reemplazando las expresiones para y , dado por las definiciones (13.61) y(13.62), en la relación anterior, obtenemos:
0..2
2
.
rStR
rStRtR,
en consecuencia, es rápido observar de esta expresión que 0.
tR , es decir, de acuerdo con(13.61), tenemos que , no depende de t y por lo tanto, encontramos que las funciones
),( rt y ),( rt , son dadas por:
rtr , , (13.64)
rtr , . (13.65)
Si los resultados (13.64) y (13.65), son reemplazados en la expresión para el elemento delínea 2ds , dado por (13.6), entonces se obtiene la siguiente expresión:
86
2222222 drdredteds rr . (13.66)
Es fácil observar de esta expresión que todas las componentes de la métrica sonindependientes de la coordenada t . Por lo tanto, obtuvimos un resultado importante de larelatividad general, el cual dice: Cualquier métrica simétricamente esférico en el vacío tiene unvector de Killing tipo tiempo. Además una métrica que posee un vector de este tipo es llamadaestacionaria. Existe una propiedad más restrictiva: una métrica es llamada estática si posee unvector de Killing tipo tiempo el cual es ortogonal a una familia de hipersuperficies. En nuestrocaso, la métrica (13.66) no es solo estacionaria, si no también estática, debido a que el campovectorial de Killing 0 es ortogonal a la superficie t constante, desde que no existen términos
del tipo dtdr . Debemos mencionar que una métrica estática es aquella en la cual nada semueve, mientras que una métrica estacionaria permite movimiento pero en forma simétrica.Por ejemplo, la métrica simétricamente esférico estática (13.66), permite describir estrellas oagujeros negros que no rotan, mientras que sistemas que rotan serán descritos por métricasestacionarias.
Para continuar con nuestros cálculos, vamos a determinar las funciones )( r y )(r . Con
la finalidad de obtener dichas funciones, y recordando que ttRR 00 y rrRR 11 , los siguientes
pasos serán realizados. Primero, obtenemos una relación para la expresión 1100
2 RRe .
Para esto multiplicamos (13.57) por 2e y el resultado lo sumamos con (13.58),obteniéndose:
P
eGP
ePGeRRe
28
28
222
11002 .
Segundo, usando (13.38) y (13.39) podemos obtener otra expresión para 1100
2 RRe , la
cual, comparamos con el resultado anterior, es decir:
28
28
22
22
2
1112
121111
21
21
PGeP
ePGe
rr
A partir del cual se puede obtener:
PeGr
211 8
2,
PeeGr
2211 .4
1,
PereG 2211 ..4 . (13.67)
De la misma manera, considerando que RR 22 , los siguientes resultados pueden ser
obtenidos:
87
PGrre 211
2 411 ,
141 211
2 PGrre ,
22211 .41 ePeGrr .
rr
ePGre
14
22
11
. (13.68)
Luego, sumando los resultados obtenidos en (13.67) y (13.68), una relación para la función)(r es conseguida, la cual es dada por:
rr
ePGrePreGe
1442
2222
1
,
rr
ePGrePeGre
2
1
222
2222
1
,
222
1 2
1
2
122
rerPGrPGree .
Por otro lado, recordando que como anteriormente encontramos que la función dependede la coordenada r , entonces podemos considerar, para el caso asintótico r , que los
términos22
1
rey
r2
1decaen más rápidamente que los otros. De esta manera, la ecuación
anterior se reduce a la siguiente forma: PGrPGree 22 22
1 . (13.69)
Para continuar con nuestro cálculo, una suposición arbitraria sobre la naturaleza física delfluido, el cual compone el sistema, será considerada, esto es, vamos a usar la relación queexiste entre la densidad de energía )(r y la presión )(rP , la cual es conocida como la
ecuación de estado del fluido PP . Esta relación proporciona las propiedades en unestado de equilibrio determinado, pero no proporciona información alguna de la manera comoestas propiedades cambian durante un proceso. Aquí, vamos a considerar el modelo de unfluido perfecto simétricamente esférico estático que compone el sistema obedeciendo laecuación de estado Politrópica de la forma kP , donde k es la constante Politrópica y es el índice politrópico. Esta ecuación de estado presenta diferentes casos de interés físicos, porejemplo, para corresponde a un fluido incompresible, para 2 describe fermionesdegenerados no relativisticos y para 1 y en el caso de
21k corresponde a la radiación y
con 1k a la materia. Por lo tanto, con esta consideración de un fluido perfecto satisfaciendouna ecuación del tipo Politrópica, la ecuación anterior es escrita como:
kGrkGree 22 221 ,
kGrkGree 22. 221 ,
88
kGrkGree
r
22. 22 .
Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos:
drreGdrreGkde 222 22 drrGkdrrG 22 . (13.70)
Para poder determinar una solución de esta ecuación integral, debemos conocerfunciones apropiadas para y , de tal manera que se pueda integrar, las funciones escogidasson de la siguiente forma:
r
rLn 0 , (13.71)
r
r00 . (13.72)
Lógicamente, la elección de estas funciones son las adecuadas para obtener unasolución de la ecuación integral (13.70). Por ejemplo, la forma asumida para es la apropiadapara realizar la integración y la elección de la función , tiene un origen físico, ella expresa eldecaimiento de la densidad de energía con el aumento del radio de la esfera que contiene elfluido perfecto, tal y como sucede en el caso de la densidad de energía del universo. Ahora,reemplazando las funciones definidas para y , es decir, (13.71) y (13.72) en (13.70), seobtiene:
,2
2222
1
00
0000200221
00
drr
rrG
drr
rrGkdr
r
rreGdr
r
rreGkeK r
rLnrrLn
donde 1K es una constante de integración. Continuando con los cálculos, la expresión anteriorpuede ser educida a:
,2
2222
1
00
0000
2
000
2
021
drrG
drr
rrGkdr
r
r
r
rrGdr
r
r
r
rrGkeK
,2
12
12
12
2
1001002
3001
200
21 drrGdr
rrGkdr
rrGdr
rrGkeK
,21
2
12
12
112
2
100200
300
200
21 rrG
rrGk
rrG
rrGkeK
rrGr
rGk
r
rG
r
rGke 002
003
002
002 42
444
,
89
en donde consideramos, para simplificar los cálculos, el caso que la constante de integraciónsea nula, es decir, 01 K . Esta ecuación integral tiene algunas propiedades importantes, entrelas cuales esta el hecho que si 1 y 1k , nos encontramos en el caso del vacío. En estetrabajo, será considerado únicamente el caso en que el fluido perfecto del sistema sea el vacío.El caso para arbitrarios, aunque más interesante, lleva a cálculos más difíciles y creemosque un estudio numérico es la única manera de obtener las soluciones de la referida ecuación.Con esta consideración, la ecuación diferencial quedará escrita de la siguiente manera:
rrGe 002 8 .
De esta manera, obtenemos una forma para la función )(r , dada por:
rrGe
00
2
8
1
. (13.73)
Por otro lado, de (13.71) podemos obtener, la siguiente expresión:
20
22
r
re . (13.74)
Usando estos resultados, es decir, (813.7) y (13.74) en (13.66), determinamos lasiguiente métrica:
222222
00
22
0
22
8
1
dsenrdrdrrrG
dtr
rds . (13.75)
Es importante observar que la métrica obtenida (13.75) presenta dos singularidades, asaber, en los radios próximos al origen ( 0r ) y para radios grandes ( r ). Sin embargo,debemos recordar que ésta métrica obtenida es para el caso particular donde los términos
22
1
re
yr2
1 son nulos en r y, con lo cual se obtiene (13.69). Este resultado es muy interesante,
debido a que la singularidad para el caso asintótico, r , es un comportamiento contrario alque se obtiene en el estudio de la solución exterior de Schwarzschild, donde se presenta unasingularidad próximo al origen y cuya interpretación es la formación de un Agujero Negro. nopara radios grandes para el cual se determina un agujero negro, , es decir, r , entoncespodríamos decir que nuestra hipótesis es correcta.
90
DISCUSION
Muchos autores; Soper (1975), Barut (1965), Ryder (1988), Doughty (1996) entre
otros, han escrito textos relacionados a la asignatura de Teoría Clásica de Campos, cuyos
contenidos son demasiado extensos en la presentación de los conceptos y limitan la exposición
de ejercicios. Otros, De Wit (1975), Greiner (1996), Stephani (1990), Hacyan (1996), presentan
una teoría muy simple, además de que los ejemplos que consideran no presentan una solución
detallada.
En la actualidad, el estudio de los campos clásicos es muy importante en las líneas de
investigación, relacionados, por ejemplo, con Teoría Cuántica de Campos y sus extensiones
(electrodinámica cuántica, cromodinámica cuántica, etc.), Materia Condensada y Mecánica
Estadística, sin embargo, el aspecto matemático de las mencionadas líneas de investigación
presentan ciertas dificultades. Asimismo, los textos no explican en forma detallada las
resoluciones de los ejercicios que presentan.
El texto “TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS”, a diferencia de otros textos, presenta en
forma detallada, clara y precisa las pautas que se siguen para las demostraciones de las
expresiones o fórmulas que se obtienen, que ayudan a interpretar el comportamiento del
fenómeno estudiado y, que servirán para que el estudiante tenga una metodología que le
permita enfrentar problemas relacionados con campos, ya sean clásicos o cuánticos. El detalle
en las demostraciones, también marca una sustancial diferencia con el enfoque propuesto en
otros textos.
Por lo expuesto, se puede concluir que mediante el uso del texto “TEORÍA CLÁSICA
DE CAMPOS” es posible:
1. Conseguir una introducción adecuada de los conceptos relacionados con las propiedades de
los campos clásicos.
91
2. Desarrollar habilidades, destrezas y análisis crítico de los estudiantes y, asimismo, su
capacidad de trabajar en equipo.
3. Realizar investigaciones que permiten entender el comportamiento de los campos clásicos
y sus propiedades.
4. Proporcionar a los estudiantes de física una base teórica sólida para el trabajo posterior en
sus estudios de otras asignaturas relacionadas con este tema, así como de posgrado.
5. Iniciar a los estudiantes de física en el método científico de comprobación de hipótesis a
través de las demostraciones presentadas.
6. Iniciar a los estudiantes de física en la investigación, relacionado con campos clásicos, a
través de la aplicación de la métrica de Schwarzschild considerando un fluido perfecto
simétricamente esférico estático que obedece una ecuación de estado Politrópica.
7. En contraste con los textos elaborados por otros autores, hacer más dinámico y fácil el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Teoría Clásica de Campos.
92
REFERENCIALES
1. Davisson E. Soper; Classical Field Theory, Editorial John Wiley & Sons, New York,1975.
2. Barut A. O., Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, EditorialEdiciones Científicas Universitarias de la Universidad Nacional Autónoma de México,Segunda Edición, México, 1965.
3. Lewis H. Ryder, “Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambrigde,1988.
4. De Wit B., Smith J., Field Theory and Particle Physics, North-Holland, Amsterdam,1986.
5. Noel A. Doughty, Lagrangian Interaction, Addison-Wesley Publishing Company,Massachusetts, 1996.
6. Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1975.
7. Greiner W., Reinhardt J., Field quantization, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996.
8. Shanen Hacyan; Relatividad Especial para Estudiantes de Física, UniversidadAutonoma de México, 1996.
9. Hans Stephani; General Relativity: An Introduction to the Theory of the GravitationalField, Cambridge University Press, 1990.
93
APÉNDICE
Contiene Cuadro y Sílabo de la asignatura que han sido elaborados por el autor del proyecto,
según se indica:
Cuadro: Resultado de la Investigación
Sílabo de la asignatura Teoría Clásica de Campos.
94
Cuadro: Resultado de la Investigación
Métrica de
Schwarzschild
considerando un fluido
perfecto simétricamente
esférico estático que
obedece una ecuación de
estado Politrópica
Puede caracterizar el comportamiento de una estrella Politrópica.
Permite realizar nuevas investigaciones en cosmología.
Expresión analítica para la Métrica de Schwarzschildconsiderando un fluido perfecto Politrópico.
Solución no conocida en la literatura.
Elaboración propia del autor.
95
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA
ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA
SILABO
I. DATOS GENERALES:
1.1 Nombre de la asignatura : TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS1.2 Código y grupo horario : FI 411 y 01F1.3 Ciclo de estudios : VII1.4 Créditos : 031.5 Total de horas semestrales : 851.6 Horas por semanas : Teoría : 02
Práctica : 031.7 Duración : 17 semanas1.8 Pre – requisito : FI 3081.9 Profesor responsable : Dr. Jorge Abel Espichán Carrillo
II. FUNDAMENTACIÓN:
2.1 Aporte de la asignatura al perfil profesional
Desarrollar en el estudiante de la carrera profesional de Física la competencianecesaria que le permita analizar y resolver con éxito los problemas relacionados a suentorno, relacionando los conceptos, leyes, principios y aplicaciones fundamentalesde la Teoría Clásica de Campos en la física de partículas elementales, así como enotras áreas como física nuclear, física estadística y materia condensada.
2.2 Sumilla
La asignatura de Teoría Clásica de Campos es un curso especializado denaturaleza teórico-práctica y desarrolla las ideas fundamentales de los Generadoresde Grupos y las transformaciones de Lorentz. El formalismo Lagrangiano de la Teoríade Campos. Teorema de Noether y sus aplicaciones. Tensor energía-momento ymomento angular y su interpretación. El Campo Electromagnético. El Campogravitacional y las ecuaciones de Einstein.
III. COMPETENCIAS GENERALES
Aplica e interpreta los conceptos y principios que le permite realizar cálculos básicosen Teoría Clásica de Campos.
Entiende los conceptos y simetrías en los que se fundamentan los modelos básicosde partículas elementales que le permite iniciar investigaciones en el área.
Participa y colabora en actividades académicas mediante el uso, análisis einterpretación de información científica.
96
IV. PROGRAMACIÓN DE CONTENIDOS:
PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA: Teoría de Grupos.
1. DURACIÓN EN SEMANAS: 02
2. COMPETENCIAS DE UNIDAD: Conoce la definición de grupos. Conoce y maneja la representación de grupos. Comprende la transformación de Lorentz y sus aplicaciones. Conoce los generadores de grupos.
SEMANACONTENIDOS
CONCEPTUALESCONTENIDOS
PROCEDIMENTALESCONTENIDOS
ACTITUDINALES
PRIMERA:del 26 de
Marzo al 30de Marzo
Sesión 1 Introducción. Definición de
grupos. Grupos depermutación.
Sesión 2 Generadores de grupos. Representación de grupos. Práctica dirigida.
Exposición de los contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
SEGUNDA:del 02 deAbril al 06de Abril
Sesión 3 Transformación de
Lorentz. Grupos de Lie. Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA: Formalismo de la teoría de campos.
1. DURACIÓN EN SEMANAS: 08
2. COMPETENCIAS DE UNIDAD Conoce los campos escalares, vectoriales y tensoriales. Comprende la lagrangiana de medios continuos. Conoce y aplica el principio de mínima acción en teoría clásica de campos. Conoce y resuelve problemas con tensores de energía-momento.
SEMANA CONTENIDOSCONCEPTUALES
CONTENIDOSPROCEDIMENTALES
CONTENIDOSACTITUDINALES
TERCERAdel 09 deAbril al 13de Abril
Sesión 4 Campos escalares,
vectoriales y tensoriales.Sesión 5 La Lagrangiana y el
Principio de Hamilton. La.Lagrangiana parasistemas continuos.
Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
CUARTAdel 16 deAbril al 20de Abril
Sesión 6 Primera práctica calificada.
Sesión 7
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por los
97
Teorías de CamposRelativisticos Clásicos.
Práctica dirigida.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
temas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
Realiza la práctica calificadacon responsabilidad.
QUINTAdel 23 deAbril al 27de Abril
Sesión 8 Principio de Mínima
Acción en Teoría decampos. Ecuaciones deEuler-Lagrange
Sesión 9 Simetría y El Teorema
de Noether.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
SEXTAdel 30 deAbril al 04de Mayo
Sesión 9 Tensor energía-momento
canónico. Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
SÉTIMAdel 07 de
Mayo al 11de Mayo
Sesión 10 Segunda práctica
calificada.Sesión 11 Aplicaciones del
Teorema de Noether:Campo escalar real.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
Realiza la práctica calificadacon responsabilidad.
OCTAVAdel 14 de
Mayo al 18de Mayo
Sesión 12 Primer Examen parcial.
Evaluación escrita. Realiza el examen conresponsabilidad.
NOVENAdel 21 de
Mayo al 25de Mayo
Sesión 13 Campo escalar complejo.
Invariancia de Translación.Sesión 14 La invariancia de Lorentz
y el Momento Angular. Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
DECIMAdel 28 de
Mayo al 01de Junio
Sesión 15 Interpretación física del
tensor momento angular.Sesión 16 Simetrización del tensor
momento-energía. Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación delos estudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de losresultados obtenidos.
Participación eintervenciones en lassesiones de aprendizajes.
Muestra interés por lostemas desarrollados yparticipa en la solución delos problemas.
TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA: Ecuaciones de Maxwell covariante.
1. DURACIÓN EN SEMANAS: 03
2. COMPETENCIAS DE UNIDAD Comprende la ecuación de Maxwell covariante. Conoce la lagrangiana y el tensor de energía-momento del campo
electromagnético. Conoce y aplica el campo electromagnético como un campo de gauge.
98
SEMANA CONTENIDOSCONCEPTUALES
CONTENIDOSPROCEDIMENTALES
CONTENIDOSACTITUDINALES
DECIMOPRIMERAdel 04 de
Junio al 08de Junio
Sesión 17 Forma covariante de las
ecuaciones deMaxwell..
Sesión 18 Lagrangiana y
Hamiltoniana delcampoelectromagnético.
Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación de losestudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de los resultadosobtenidos.
Participación e intervencionesen las sesiones deaprendizajes.
Muestra interés por los temasdesarrollados y participa en lasolución de los problemas.
DECIMOSEGUNDAdel 11 de
Junio al 15de Junio
Sesión 19 Tercera práctica
calificada.Sesión 20 Tensor energía-
momento del campoelectromagnético.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación de losestudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de los resultadosobtenidos.
Participación e intervencionesen las sesiones deaprendizajes.
Muestra interés por los temasdesarrollados y participa en lasolución de los problemas.
Realiza la práctica calificadacon responsabilidad.
DECIMOTERCERAdel 18 de
Junio al 22de Junio
Sesión 21 Propiedades de la
transformación deLorentz de los camposelectromagnéticos.
Sesión 22 Transformación de
Gauge local. Elcampoelectromagnético comoun campo de Gauge
Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación de losestudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de los resultadosobtenidos.
Participación e intervencionesen las sesiones deaprendizajes.
Muestra interés por los temasdesarrollados y participa en lasolución de los problemas.
CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA: El campo gravitacional
1. DURACIÓN EN SEMANAS: 04
2. COMPETENCIAS DE UNIDADConoce y maneja la teoría del campo gravitacional.
Conoce el principio de covariancia general. Aplica las ecuaciones de Einstein.
SEMANA CONTENIDOSCONCEPTUALES
CONTENIDOSPROCEDIMENTALES
CONTENIDOSACTITUDINALES
DECIMOCUARTAdel 25 de
Junio al 29de Junio
Sesión 23 El Campo Gravitacional
y geometríaRiemanniana.
Sesión 24 El Principio de
Covariancia General. Práctica dirigida.
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Propiciar la participación de losestudiantes.
Resolución de problemas o einterpretación de los resultadosobtenidos.
Participación e intervencionesen las sesiones deaprendizajes.
Muestra interés por los temasdesarrollados y participa en lasolución de los problemas.
DECIMOQUINTA
Sesión 25 Cuarta práctica
Exposición de contenidosconceptuales propuestos.
Participación e intervencionesen las sesiones de
99
del 02 deJulio al 06
de Julio
calificada.Sesión 26 Ecuaciones de Campo
de Einstein.Aplicaciones.
Propiciar la participación de losestudiantes.
Resolución de problemas einterpretación de los resultadosobtenidos.
aprendizajes. Muestra interés por los temas
desarrollados y participa en lasolución de los problemas.
Realiza la práctica calificadacon responsabilidad.
DECIMOSEXTA
del 09 deJulio al 13
de Julio
Sesión 27 Segundo Examen
parcial.
Evaluación escrita. Realiza el examen conresponsabilidad.
DECIMOSÉTIMAdel 16 de
Julio al 20de Julio
Sesión 28 Examen sustitutorio. Entrega de notas.
Evaluación escrita. Realiza el examen conresponsabilidad.
V. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
A fin de lograr un mejor desarrollo del aprendizaje, se emplearán permanentemente lassiguientes estrategias metodológicas:
a. Clases magistrales: Son sesiones teórico-prácticas en las cuales se brindan losconceptos fundamentales del curso sobre los cuales se basa el trabajo semanal. Elprofesor a cargo discutirá los principales conceptos, sus relaciones y aplicacionesutilizando el lenguaje matemático para expresar los diferentes modelos explicativos delos fenómenos naturales y las teorías correspondientes.
b. Prácticas dirigidas (seminarios de problemas): Los estudiantes desarrollarán,discutirán y analizarán, con la guía y orientación del profesor, casos relacionados a lostemas tratados en las clases magistrales, permitiendo así la integración de los conceptosfísicos y la aplicación de los mismos en situaciones concretas mediante la resolución deproblemas.
c. Asesorías: Son sesiones de consulta relacionadas a la asignatura, fuera de clase y enhorario coordinado con los estudiantes, donde podrán acercarse para dilucidar cualquierduda que surja respecto a los temas desarrollados.
VI. MATERIALES EDUCATIVOS Y OTROS RECURSOS DIDÁCTICOS
En las clases teóricas y prácticas de aula, se usarán tizas, plumones, pizarra,calculadora, libros y apuntes de clase. En algunos tópicos, según sea el caso, seempleará también cañón multimedia, retroproyectores, así como la utilización de páginasweb vía internet.
VII. INDICADORES, TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
1. Evaluación de resultados:
Sistema de calificación: escala vigesimal (0 – 20) Examen parcial (EP): Evaluación escrita, de carácter teórico-práctico, de los
contenidos tratados en las clases magistrales y prácticas dirigidas (seminarios deproblemas) correspondientes a cada unidad desarrollada. Se aplicará en la octavasemana, según la programación establecida.
Examen final (EP): Evaluación escrita, de carácter teórico-práctico, de los contenidostratados en las clases magistrales y prácticas dirigidas (seminarios de problemas)
100
correspondientes a cada unidad desarrollada después del examen parcial. Seaplicará en el décimo sexta semana, según la programación establecida.
Examen sustitutorio (ES): Evaluación escrita, de carácter teórico-práctico, de loscontenidos tratados en las clases magistrales y prácticas dirigidas (seminarios deproblemas) correspondientes a las unidades desarrolladas en toda la asignatura, cuyanota reemplazará a la calificación más baja obtenida en el examen parcial o final, o ala de aquel examen no rendido Se aplicará en la décimo séptima semana, según laprogramación establecida.
Prácticas calificadas: Son evaluaciones escritas de carácter práctico,correspondientes a los temas tratados en las prácticas dirigidas (seminarios deproblemas). Se aplicarán cuatro (04) prácticas calificadas, según la programaciónestablecida, y cuyo promedio (PP) se obtendrá de la media aritmética de los 03mejores calificativos.
2. Evaluación:
Para aprobar la asignatura, el estudiante deberá alcanzar el promedio mínimo deonce (11) en la nota final del curso y acreditar el 75% de asistencia a clases. Lafracción igual o mayor que 0.5 en el promedio final se considera a favor del estudiante.
La nota final del curso (NF) se obtendrá de acuerdo a la siguiente fórmula:
NFEP EF PP
3
VIII. BIBLIOGRAFÍA
8.1. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
1. DAVISON E. SOPER, 1975, “Classical Field Theory”, Editorial John Wiley &Sons, New York.
2. BARUT A. O., 1965, “Electrodynamics and Classical Theory of Fields andParticles”, Editorial Ediciones Científicas Universitarias de la UniversidadNacional Autónoma de México, Segunda Edición, México.
3. LANDAU L.D., LIFSHITZ E.M., 1987, “Teoría Clásica de los Campos”, EditorialReverte, México.
4. Lewis H. Ryder, 1988, “Quantum Field Theory” , Cambridge University Press,Cambrigde.
5. De Wit B., Smith J. 1986, “Field Theory and Particle Physics”, North-Holland,Amsterdam.
6. Noel A. Doughty, 1996, “Lagrangian Interaction”, Addison-Wesley PublishingCompany, Massachusetts.
8.2. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
1. J. D. Jackson, “Classical Electrodynamics”, 2nd Edition (Wiley,New York,1975)
101
2. Shanen Hacyan. “Relatividad Especial para Estudiantes de Física”,Universidad Autonoma de México (1996).
3. Hans Stephani. “General Relativity: An Introduction to the Theory of theGravitational Field”, Cambridge University Press (1990).
4. Mark S. Swanson, 1992, “Path Integrals and Quantum Processes” , AcademicPress, INC, San Diego.
5. Hagen Kleinert, “Particles and Quantum Fields” (Internet).
Bellavista, marzo del 2012.
Dr. Jorge Abel Espichán Carrillo
![TCE-CLASE 03-2009 [Modo de compatibilidad]...TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS PROFESOR: ING. JORGE MONTAÑO PISFIL. TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS TEMA: EL CAMPO ELECTROSTÁTICO](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/613f5e04a7a58608c268e0f6/tce-clase-03-2009-modo-de-compatibilidad-teora-de-campos-electromagnticos.jpg)
