Universidad Nacional de La...

1

CCÁÁLCULO ESTADLCULO ESTADÍÍSTICO Y STICO Y

BIOMETRBIOMETRÍÍAA

Universidad Nacional de La PlataUniversidad Nacional de La PlataFacultad de Ciencias Agrarias y ForestalesFacultad de Ciencias Agrarias y Forestales

CONTENIDOSCONTENIDOS

UNIDAD 8: Análisis de la Varianza y Diseño de Experimentos. Modelos lineales con variables categóricas. Concepto de factor y de niveles de un factor. Modelo

de un solo factor. Partición de la suma de cuadrados total. Tabla Análisis de la Variancia. Prueba de la F global. Comparaciones particulares de las medias de los grupos. Criterios a posteriori: pruebas t, criterio de Bonferroni, Tukey, Duncan,

etc. Criterios a priori: método de los contrastes ortogonales. Verificación de los supuestos del modelo. Transformación de variables. Conceptos generales del diseño de experimentos. Diseño completamente aleatorizado (DCA). Modelos de

clasificación según dos o tres facto-res con una única observación por casilla. Diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA). Modelos de dos o más factores fijos con repeticiones en las casillas. Concepto de interacción entre

factores. Experimentos factoriales. Diferenciación del análisis de los efectos principales según exista o no interacción entre los factores. Efectos fijos y aleatorios.

2

� MONTGOMERY D. (1991). Diseño y Análisis de experimentos.

México: Grupo Ed.Iberoamérica.

� MONTGOMERY D.; RUNGER, G. (1996). Probabilidad y

estadística aplicadas a la ingeniería. México: Mc Graw Hill.

� KUEHL, R. (2001). Diseño de Experimentos. México: Ed.

Thomson Learning.

� PEÑA, D. (1989). Estadística: Modelos y Métodos -Tomo II: Modelos Lineales. Madrid: Alianza Universidad Textos.

Bibliografía de Referencia

Prueba t : comparación de 2 medias

H0: µµµµ1 = µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 = 0

H0: µµµµ1 ≠≠≠≠ µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 ≠≠≠≠ 0

2

22

1

21

2121 )()(

ns

ns

xxtobs

++++

−−−−−−−−−−−−====

µµµµµµµµ

ANANÁÁLISIS DE LA VARIANCIALISIS DE LA VARIANCIA

3

Si H0 : σσσσ12 = σσσσ2

2 tobs ∼∼∼∼ t(n1+n2 –2)

221

222

2112

−−−−++++

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

nnsnsn

s pond

ns

xxt

pondobs 2

21

.2

)( −−−−====

Si H0 : σσσσ12 ≠≠≠≠ σσσσ2

2 tobs ∼∼∼∼ t(νννν )

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

1/

1/

//

2

2

22

2

1

2

12

1

2

22

212

1

−−−−++++

−−−−

++++====

nns

nns

nsnsυυυυ

Contrastar 3 o más medias comparación de a pares

Inconvenientes:

Engorroso y poco práctico

Aumento de error tipo I

Ejemplo: comparación 5 medias = 10 pruebas

P(no rechazar H0/H0 es verdadero) = 0,9510 = 0,5987

ααααGlobal = 0,40

2

5

∼∼∼∼

4

Regla de Bonferroni:

Error Tipo I cada prueba:

donde:

Forma aproximada:

en nuestro caso: αααα = 0,05/10 = 0,005 (0,00511)

entonces ααααglobal = 1 - (1-αααα)10 = 1-0,995 10 = 0,0488

cglobalαααα

αααα ====

====

2

Nro.mediasc

cglobal )1(1 αααααααα −−−−−−−−====

≤≤≤≤ cglobal )1(1 αααα−−−−−−−−

MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR

OBJETIVO: Determinar si existen diferencias significativas entre

medias correspondientes a distintos niveles de un factor

Factor: variable controlada que clasifica los individuos, también llamada

‘tratamiento’ (fertilizante, temperatura, color, estado civil)

Nivel: diversas categorías o valores que puede tomar un factor

Variable de respuesta: variable objeto de estudio (cuantitativa)

Repeticiones: conjunto de individuos que reciben igual nivel del factor

5

SUPUESTOS:

Existen k poblaciones de medias µµµµ1 , µµµµ2 , ... , µµµµk asociadas a los

distintos niveles del factor, donde las observaciones o datos están

distribuidos de manera normal e independiente, con la misma

varianza para cada población.

µµµµ1 µµµµ2 µµµµi µµµµkYijµµµµ

i = 1, 2, ... , k

j = 1, 2, ... , nj

yij = µ µ µ µ + (µµµµi - µµµµ) + (yij - µµµµi)

EFECTO TRATAMIENTO

ERROR ALEATORIO

Modelo Poblacional

yij = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij con ττττi = 0 y ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2)∑∑∑∑====

k

i 1

Hipótesis

H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ

H1: al menos una µµµµi ≠≠≠≠

H0: ττττi = 0 ∀∀∀∀ i

H1: ττττi ≠≠≠≠ 0 para algún i

Modelo Muestral

)()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−++++====

6

Descomposición de la Variablidad

)()()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−====−−−−

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ======== ======== ====

−−−−++++−−−−====−−−−k

i

n

jiij

k

i

n

ji

k

ii

n

ijij yyyyyy

1 1

2

1 1

22 )()()(

SCTotal (SCY) SCTrat (SCEntre Grupos) SCError (SCDentro Grupos)

glTotal = n.k – 1 glTrat = k - 1 glError = nk - k

Fórmulas de Cálculo

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ========

==== ====

======== ====

−−−−====

−−−−====−−−−====k

i

n

jij

k

i

k

i

n

jijn

jij

k

i

n

jij kn

yy

kn

y

yyy1

2..

1

2

1

2

1 1

1

2

1 1

2Total ..

)(SC

FC)(SC 1

2.

1 1

2Trat −−−−====−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ====

==== ==== n

yyy

k

iik

i

n

ji

FC

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====

====

======== ====

−−−−====−−−−====k

i

k

iin

jij

k

i

n

jiij n

yyyy

1

1

2.

1

2

1 1

2Error )(SC Por diferencia

7

Cuadrados Medios

glSC

CM ====

2ERROR σ)E(CM ====

∑∑∑∑==== −−−−

++++====k

i

i

kn

1

22

TRAT 1.)E(CM

ττττσσσσ

ERROR

TRATOBS CM

CMF ====

Obtención Esperanzas Cuadrados Medios

Algunos conceptos previos:

Sea Y = {y1,y2, ... , yn} una variable aleatoria con media y varianza

poblacional µµµµ y σσσσ2 respectivamente y c una constante, entonces:

1) E(c) = c

2) E(yi) = µµµµ

3) E(c.yi) = c.E(yi) = c.µµµµ

4) E(yi - µµµµ)2 = σσσσ2

5) E(y1+ y2) = E(y1)+E(y2) = 2 µµµµ

6) E(y1 . y2) = E(y1).E(y2) = µµµµ2 (y1 e y2 son independientes)

7) E(y1 / y2) no necesariamente = a E(y1) / E(y2)

8

TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR

F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit

Trat. k-1 FC1

2.

−−−−∑∑∑∑

====

n

yk

ii

1SCTRAT

−−−−k ∑∑∑∑

==== −−−−++++

k

i

i

kn

1

22

1.

ττττσσσσ

ERROR

TRAT

CMCM

Fcrit 5%

Fcrit 1%

Error k(n-1) Diferencia )1(

SCError

−−−−nk 2σσσσ

Total nk-1 ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====

−−−−k

ii

n

ijijy FC2

Estructura Tabla de Datos

Ejemplo

TRAT Repeticiones Totales

1 2 . . . i . . k

y11 y12 ... y1j ... y1n y21 y22 ... y2j ... y2n ……....................... ……....................... ……....................... yi1 yi2 ... yij ... yin ……....................... ……....................... yk1 yk2 ... ykj ... ykn

y1. Y2. . . .

yi. . .

yk.

y..

TRAT Repeticiones Tot. Medias S2

T1

T2

T3

3 5 2 3 2 4 5 4 6 7 5 7 9 8 6

15 26 35

3 5,2 7

1,5 1,7 2,5

76

9

Comparaciones IndividualesComparaciones Individuales

1. Pruebas a Posteriori H0: µµµµi = µµµµj ∀∀∀∀ i ≠≠≠≠ j

1a. Prueba LSD

nt

gl

ERROR

)2

1;CM.(crit

CM.2.

ERRORαααα

−−−−====∆∆∆∆

Rechazo H0 si | µµµµi - µµµµj | > ∆∆∆∆crit

1b. Prueba de Tukey (1953): más conservador

nq

kgl

ERROR

)2

1;;CM.(crit

CM.

ERRORαααα

−−−−====∆∆∆∆

1c. Prueba de Dunnett (1964): sólo k-1 comparaciones con testigo

H0: µµµµ0 = µµµµi ∀∀∀∀ i

1d. Pruebas de Newman-Keuls (1952) y Duncan (1955):

El valor de diferencia crítica tiene en cuenta en número de

medias p que pertenecen al rango determinado por las dos

medias analizadas

10

2. Pruebas a Priori

2a. Contrastes ortogonales: se plantean comparaciones de dos

grupos de medias por algún interés experimental antes de conocer

los resultados de la prueba F. Descomposición de SC y gl de

Tratamiento.

Ejemplo: H0: µµµµ1 vs { µµµµ2 ; µµµµ3 } H0: 2µµµµ1 - µµµµ2 - µµµµ3 = 0

FC2

)(SC

2.3.2

2.1

c1 −−−−++++

++++====nyy

ny

glc1 = 1

OJO !!!!! con FC cuando no intervienen

todas las medias en un contraste

Expresión vectorial de un contraste:

c1 : [ 2 -1 -1 ]

c2 : [ 0 1 -1 ]

Fórmula general SC de un contraste:

k’ = niveles que intervienen en el contraste

c = coeficientes del contraste∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

==== '

1

2

2'

1.

c

.

.SC k

i

k

ii

cn

yc

11

2b. Polinomios ortogonales: cuando variable clasificatoria carácter

ordinal tendencia

Para 2 gl Tendencia lineal: [1 0 -1]

Tendencia cuadrática: [1 -2 1]

Para 3 gl Tendencia lineal: [-3 -1 1 3]

Tendencia cuadrática: [ 1 -1 -1 1]

Tendencia cúbica: [-1 3 -3 1]

VerificaciVerificacióón de supuestosn de supuestos

1. Aleatoriedad de residuales

2. Normalidad de residuales

3. Homocedasticidad Test de Levene

|eij| = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij



12

Conclusiones de un ANOVAConclusiones de un ANOVA

1. Agrupamiento niveles de tratamiento: uso de letras o líneas

2. Intervalos de confianza para medias

3. Intervalos de confianza para diferencias de medias

4. Representaciones gráficas

Current effect: F(2, 12)=10,561, p=,00226

Effective hypothesis decomposition

Vertical bars denote 0,95 confidence intervals

T1 T2 T3

Tratamiento

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

Concepto de efectos fijos y aleatoriosConcepto de efectos fijos y aleatorios::

Efectos Fijos:

H0: ττττi = 0 ∀∀∀∀ i

H1: ττττi ≠≠≠≠ 0 para algún i

∑∑∑∑==== −−−−

++++====k

i

i

kn

1

22

TRAT 1.)E(CM

ττττσσσσ

Efectos Aleatorios:

H0: σσσσττττ2 = 0

H1: σσσσττττ2 > 0

22TRAT )E(CM ττττσσσσσσσσ ⋅⋅⋅⋅++++==== n



13

DISEDISEÑÑO ASOCIADOO ASOCIADO

DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

DCA

T1

T1

T1

T1

T1 T2 T2

T2

T2 T2 T3

T3T3

T3T3

Modelo Poblacional

yij = µ µ µ µ + ααααi + ββββj + ξξξξij

Con: ααααi = 0 , ββββj = 0

ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2) σσσσ2 = cte ∀∀∀∀ i,j

ααααi y ββββj aditivos

∑∑∑∑====

a

i 1∑∑∑∑

====

b

j 1

iid

i = 1,2, ... , a

j = 1,2, ... , b

MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN DOS FACTORES SIN INTERACCIN DOS FACTORES SIN INTERACCIÓÓNN

14

Hipótesis

H01: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµa = µµµµαααα


H01: ααααi = 0 ∀∀∀∀ i

H11: ααααi ≠≠≠≠ 0 para algún i

Modelo Muestral

H02: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµj = ... = µµµµb = µµµµββββ

H12: al menos una µµµµj ≠≠≠≠

H02: ββββj = 0 ∀∀∀∀ j

H12: ββββj ≠≠≠≠ 0 para algún j

)()()( ............ yyyyyyyyyy jiijjiij ++++−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−++++====

Diseño asociado: DBCA (aleatorización restringuida)

C A

N A

L

R I E G O

BI BII BIII BIV BV

T1

T2 T1

T2 T1

T3

T2

T1

T2

T3 T1

T2

T3T3 T3

Técnicas en Fábricas

Nivel Social en Escuelas

15

B1 B2 ... Bj ... Bb

A1 A2 . . .

Ai . .

Aa

y11 y12 ... y1j ... y1b y21 y22 ... y2j ... y2b yi1 yi2 ... yij ... yib ya1 ya2 ... yaj ... yab

y1.

Y2. . . .

yi. . .

ya.

y.1 y.2 ... y.j ... y.b y..

Estructura Tabla de Datos

Factor B

Fac

tor

A

Sumas de Cuadrados y Grados de Libertad

bay

ba

ya

i

b

jij

..FC

2..

2

====

====

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑ −−−−====a

i

b

jijy FCSC 2

TOTAL

FCSC

2.

A −−−−====∑∑∑∑

b

ya

ii

FCSC

2.

B −−−−====

∑∑∑∑

a

yb

jj

gl = a.b - 1

gl = b - 1

gl = a - 1

16

Esperanzas Cuadrados Medios

1)E(CM 1

2

2A

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++====∑∑∑∑

====

a

ba

iiαααα

σσσσ

1)E(CM 1

2

2B

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++====

∑∑∑∑====

b

ab

jjββββ

σσσσ

2ERROR σ)E(CM ====

TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN DOS FACTORES ADITIVOSN DOS FACTORES ADITIVOS

F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit

Factor A a-1 FC

2.

−−−−∑∑∑∑

b

ya

ii

1

SCA

−−−−a

11

2

2

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++∑∑∑∑

====

a

ba

iiαααα

σσσσ ERROR

A

CM

CM====AF Fcrit 5%

Fcrit 1%

Factor B b-1 FC

2.

−−−−

∑∑∑∑

a

yb

jj

1

SC

−−−−bb

1

1

2

2

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

∑∑∑∑====

b

ab

jjββββ

σσσσ ERROR

B

CM

CM====BF

Fcrit 5%

Fcrit 1%

Error (a-1).(b-1) Diferencia )1).(1(

SCError

−−−−−−−− ba 2σσσσ

Total a.b-1 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ −−−−a

i

b

jijy FC2

17

Ejemplo

Ho1: No hay efecto factor A

Ho2: No hay efecto factor B

1

A

2

B

3

Y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A1 B1 6,00

A1 B2 2,00

A1 B3 9,00

A1 B4 3,00

A2 B1 8,00

A2 B2 9,00

A2 B3 11,00

A2 B4 12,00

A3 B1 4,00

A3 B2 4,00

A3 B3 10,00

A3 B4 6,00

B1 B2 B3 B4

A1

A2

A3

6 2 9 3

8 9 11 12

4 4 10 6

20

40

24

18 15 30 21 84

Univariate Results for Each DV (NLIN)

Sigma-restricted parameterization


GENERAL

EffectDegr. of

Freedom

Y

SS

Y

MS

Y

F

Y

p

Intercept

A

B

Error

Total

1 588,00 588,00 160,3636 0,000015

2 56,00 28,00 7,6364 0,022438

3 42,00 14,00 3,8182 0,076473

6 22,00 3,67

11 120,00

FC

Salidas Statistica

5,14 10,94,76 9,98

Tukey HSD test; variable Y (NLIN)

Probabilities for Post Hoc Tests

Error: Between MS = 3,6667, df = 6,0000

Cell No.A {1}

5,0000

{2}

10,000

{3}

6,0000

1

2

3

A1 0,0238 0,7512

A2 0,0238 0,0577

A3 0,7512 0,0577

18

A; LS Means




A1 A2 A3

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Y

B; LS Means




B1 B2 B3 B4

B

0

2

4

6

8

10

12

14

Y

A1 A3 A2

B1 B2 B3 B4

Eficiencia de un DBCA respecto a un DCA

SCERROR DBCA < SCERROR DCA SIEMPRE !!!!

CMERROR DBCA significativamente < CMERROR DCA cuando efecto bloque**

)()(

EfDBCACMDCACM

error

error====

Cómo obtener CMerror(DCA)

19

F.V. gl SC CM F P-value

A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224

B 3 42,00 14,00 3,81 0,0764

Error 6 22,00 3,67

Total 11 120,00

F.V. gl SC CM F P-value

A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224

Error 9 64,00 7,11

Total 11 120,00

94,167,311,7

Ef ======== DBCA 94% más eficiente

Si DBCA más eficiente y deseara trabajar con un DCA

necesitaría mayor número de repeticiones para neutralizar la

heterogeneidad del material experimental que no se tiene en

cuenta al no bloquear

Existen otras expresiones de eficiencia

con correcciones por gl

20

Diseño en Cuadrado Latino

Modelo de clasificación según tres factores aditivos

ijkkjiijky ξξξξγγγγββββααααµµµµ ++++++++++++++++==== con i = j = k = 1,2, ... ,n

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

RIEGO

FERTILIDAD

2

2...FC

ny

====

FCSC 2TOTAL −−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

n

i

n

j

n

kijky

FC....

SC2

c2

B2

ATRAT −−−−

++++++++++++====

nyyy

FC......

SC2

.32

.22

.1FILA −−−−

++++++++++++====

nyyy

FC......

SC2

3.2

2.2

1.COL −−−−

++++++++++++====

nyyy

gl = n2 - 1

gl = n - 1

gl = n - 1

gl = n - 1

21

Concepto de interacción

droga A

2

droga B

3

droga A droga B

5

Si y entonces interacción AxB = 0

EXPERIMENTOS FACTORIALES EXPERIMENTOS FACTORIALES

droga A droga B

6

solo efecto = 2A

con B efecto = 3

solo efecto = 3B

con A efecto = 4

Entonces interacción

AxB = 1

Definición de experiencias factoriales:

Una experiencia organizada de manera de

estudiar la acción de dos o más tratamientos

o factores en todas sus combinaciones

(Yates, 1933)

22

IMPORTANTE: no es un diseño, es una forma de concebir el

experimento o dicho en otras palabras de asignar los tratamientos, si

bien algunos autores los presentan con la denominación de diseños

factoriales.

La experiencia factorial puede ser llevada a cabo a través de un diseño

completamente aleatorizado, en bloques o cuadrado latino por

ejemplo.

Ventajas de los modelos factoriales

� Revelar las interacciones cuando existen y ensayar su significación

� Igual precisión con menos repeticiones (repetición oculta o hiddenreplication)

Cálculo de sumas de cuadrado

Ejemplo: Sea un experimento factorial 2x2 o 22 con los factores

nitrógeno (N) y fósforo (P), y los niveles ausencia y presencia (en una

dosis determinada).

Las combinaciones posibles de niveles de ambos factores serán:

No Po : ausencia de ambos nutrientes

No P1 : ausencia de N y presencia de P

N1 Po : presencia de N y ausencia de P

N1 P1 : presencia de ambos nutrientes

23

ijiijy εεεεττττµµµµ ++++++++====

(((( ))))875.20

815

4922

2====−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑

∑∑∑∑n

yySC ij

ijTotal

(((( ))))375.17

815

28511 2222222

. ====−−−−++++++++++++

====−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑

n

y

ry

SC ij

i

iTratam

N0 N1

P0 1-0 (1) 0-1 (1) 2

P1 2-3 (5) 3-5 (8) 13

6 9 15

F.V. gl SC CM Fobs

Tratam

Error

Total

3

4

7

17.375

3.5

20.875

5.791

0.875

6.618**

ijkijjiijk IPNy εεεεµµµµ ++++++++++++++++====

Ho(1): Ni = 0 ∀∀∀∀ i

Ho(2): Pj = 0 ∀∀∀∀ j

Ho(3): Iij = 0 ∀∀∀∀ i,j

Técnica clásica:

125.18

154

96 222

====−−−−++++

====NSC 125.158

154132 222

====−−−−++++

====PSC

125.1125.15125.1375.17 ====−−−−−−−−====−−−−−−−−==== PNTratamNxP SCSCSCSC

24

Fcrit(1;4)0.05 = 4,71

Fcrit(1;4)0.01 = 21,2

Técnica de los polinomios ortogonales

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

==== k

i

k

ii

cr

yc

1

2

2

1.

c

.

.

SC

F.V. gl SC CM Fobs

N

P

NxP

Error

Total

1

1

1

4

7

1,125

15,125

1,125

3,5

20,875

1,125

15,125

1,125

0,875

1,285NS

17,285*

1,285NS

TRATAMIENTO

N0P0 N1P0 N0P1 N1P1

E F E C T O

N

P

NxP

-1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1

+1 -1 -1 +1

Diseño asociado a un experimento factorialDCA

DBCA

ijkjkkjiijk IPNBy εεεεµµµµ ++++++++++++++++++++====

Fcrit(1;3)0.05 = 10.1

Fcrit(1;3)0.01 = 34.1

OJO !!!! Todos efectos fijos

N0P0 N1P0 N0P1 N1P1

Bloque 1 1 0 2 3 6

Bloque 2 0 1 3 5 9

1 1 5 8 15

F.V. gl SC CM Fobs

Bloque

N

P

NxP

Error

Total

1

1

1

1

3

7

1,125

1.,25

15,125

1,125

3,5

20,875

1,125

1,125

15,125

1,125

0,7916

1,00

1,42

19,10

1,42

25

InterpretaciInterpretacióón de resultados cuando n de resultados cuando

la interaccila interaccióón resulta no significativan resulta no significativa

La interpretación de las experiencias factoriales no es la misma cuando

la interacción es o no significativa. Hay que comenzar por probar la

significación de la interacción. En el ejemplo que la interacción no es

estadísticamente significativa quiere decir que el efecto (eventual) del N

es idéntico se aplique o no P, y que el efecto (en caso que resultara

significativo) del P es idéntico, se administre o no N. Esto equivale a

decir que los efectos (eventuales) de N y P son simplemente aditivos.

El resto del análisis es simple. Se podrán contrastar las hipótesis Ho(1) y

Ho(2) usando los F-cocientes CMN/CMe y CMP/CMe. En este punto

algunos estadísticos recomiendan agrupar las SC del error y de la

interacción, lo mismo con los grados de libertad y así encontrar un

nuevo CM del error como sustituto de denominador en los test F.

InterpretaciInterpretacióón de resultados n de resultados cuando la interaccicuando la interaccióón resulta significativan resulta significativa

FCrit(1,12,0.05) = 4.75

FCrit(1,12,0.01) = 9.33

N0 N1

P0

10.0 8.6

11.4 9.4

(39.4) {9.85}

20.0 21.0

18.6 20.6

(80.8) {20.2}

120.2

P1

19.6 15.0

14.6 15.8

(65.0) {16.25}

19.2 19.6

18.4 17.2

(74.4) {18.6}

139.4

104.4 155.2 259.6

F.V. gl SC CM Fobs

N

P

NxP

Error

Total

1

1

1

12

15

157.50

24.50

61.62

26.57

270.19

157.50

24.50

61.62

2.21

71.13

11.07

27.83

26

Interacción Efecto N y P no son independientes

NO SE PUEDEN ANALIZAR LOS EFECTOS PRINCIPALES POR SEPARADO

Po

P1

N

Re

nd

8

10

12

14

16

18

20

22

No N1

No

N1

P

Re

nd

8

10

12

14

16

18

20

22

Po P1

rCM

q errorkerrorglcrítico ⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ ⋅⋅⋅⋅ );;2/(αααα

26.5428.6

20.4%5 ====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆crítico

89.6428.6

50.5%1 ====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ crítico

|Y_

NoPo - Y_

N1Po| = 10.35**

|Y_

NoP1 - Y_

N1P1| = 2.35NS

|Y_

NoPo - Y_

NoP1| = 6.40*

|Y_

N1Po - Y_

N1P1| = 1.60NS

|Y_

NoPo - Y_

N1P1| = 8.75**

|Y_

NoP1 - Y_

N1Po| = 3.95NS

27

Se quiere estudiar la mejor forma de controlar las malezas en el cultivo de

frutillas. Para ello se realizó una experiencia donde junto con la aplicación de

cierto herbicida en distintas dosis se realizaron labores culturales tradicionales y

conservacionistas para control de malezas. El siguiente cuadro muestra los

rendimientos de las parcelas.

DOSIS 1 DOSIS 2 DOSIS 3 TOTAL

LABOR

TRADICIONAL

3 3

6 3

5 4

3 5

5 4

3 5 49

LABOR

CONSERVACIONISTA

2 3

3 4

7 9

8 8

8 10

8 7 77

TOTAL 27 49 50 126

1

LABOR

2

DOSIS

3

REND

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Trad D1 3

Trad D1 3

Trad D1 6

Trad D1 3

Trad D2 5

Trad D2 4

Trad D2 3

Trad D2 5

Trad D3 5

Trad D3 4

Trad D3 3

Trad D3 5

Cons D1 2

Cons D1 3

Cons D1 3

Cons D1 4

Cons D2 7

Cons D2 9

Cons D2 8

Cons D2 8

Cons D3 8

Cons D3 8

Cons D3 10

Cons D3 7

LABOR

Trad

LABOR

ConsD1 D2 D3

DOSIS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

RE

ND

DOSIS

D1

DOSIS

D2

DOSIS

D3Trad Cons

LABOR

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

RE

ND

Univariate Tests of Significance for REND (LABOR.sta)

Sigma-restricted parameterization


EffectSS Degr. of

Freedom

MS F p

Intercept

LABOR

DOSIS

LABOR*DOSIS

Error

661,5000 1 661,5000 567,0000 0,000000

32,6667 1 32,6667 28,0000 0,000050

42,2500 2 21,1250 18,1071 0,000049

28,5833 2 14,2917 12,2500 0,000438

21,0000 18 1,1667

Tukey HSD test; variable REND (LABOR.sta)

Homogenous Groups, alpha = ,05000

Error: Between MS = 1,1667, df = 18,000

Cell No.LABOR DOSIS REND

Mean

1 2

4

1

3

2

5

6

Cons D1 3,000000 ****

Trad D1 3,750000 ****

Trad D3 4,250000 ****

Trad D2 4,250000 ****

Cons D2 8,000000 ****

Cons D3 8,250000 ****

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