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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 7: ONDAS MECÁNICAS –CINEMÁTICA DE ONDAS VIAJERAS-

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Fundamentos

Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo

Cinemática de la onda armónica plana: elongación y definiciones básicas

Ecuación de oro: Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación

Velocidad de fase

Cinemática de la onda armónica plana: velocidad y aceleración

Sobre la velocidad de propagación de las ondas mecánicas

Taller

Introducción

El modelo ondulatorio ocupa un lugar fundamental en la

estructura conceptual de la física. La mayoría de las

personas ha tenido experiencia con las ondas, por

ejemplo, al arrojar una piedra en un tanque de agua: aquí

se forman ondas como círculos que se abren desde el

centro donde cayó la piedra. Estas ondas acuáticas

constituyen un ejemplo de una amplia variedad de

fenómenos físicos que presentan características

análogas. El mundo está lleno de ondas: ondas sonoras,

ondas que se propagan en una cuerda de una guitarra,

ondas sísmicas que pueden transformarse en terremotos,

ondas de choque que se producen cuando por ejemplo un avión supera la velocidad del sonido. También hay

otras ondas que su comportamiento ondulatorio no es percibido directamente con nuestros sentidos: la luz

visible, las ondas de radio, las señales de TV, los rayos X entre otras del denominado espectro

electromagnético.

Recordando, este curso se divide en tres partes: Oscilaciones Mecánicas (aunque en el módulo # 6 se hizo

un primer acercamiento a las oscilaciones electromagnéticas a través de una analogía mecánica), Ondas

Mecánicas y Óptica. Es decir estamos comenzado la segunda parte del curso en la cual se analizará las

generalidades del movimiento ondulatorio a través de un análisis mecánico; las ondas electromagnéticas se

abordan al final de la parte 3.

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Para el estudio de las ondas mecánicas se dedican los módulos 7 al 11. En éste módulo (módulo # 7) se

comienza con la cinemática de las denominadas ondas viajeras. En el módulo # 8 se analiza la cinemática de

las denominadas ondas estacionarias y se profundiza en el fenómeno de RESONANCIA pero ya aplicado a

medios continuos (hay muchos grados de libertad por lo que habrán infinitas frecuencias propias) y no a

partículas como se hizo en oscilaciones (con un grado de libertad y por lo tanto una frecuencia propia). En

el módulo # 9 se estudia la dinámica de las ondas mecánicas a través de la generalización de la ley de

Hooke y se aplica a casos típicos como ondas en cuerda, ondas en barra, ondas en slinky, ondas en fluidos y

ondas sonoras. En el módulo # 10 se hace el estudio energético en las ondas mecánicas nuevamente a

través de la generalización de la ley de Hooke. Por último el módulo # 11 se dedica al estudio del sonido:

aquí se analizan las cualidades del sonido y se hace énfasis en el denominado efecto Doppler.

Fundamentos

En el caso de una partícula oscilante un agente externo le cede energía sacándola de la posición de

equilibrio estable, y al quedar bajo la acción de una fuerza recuperadora hace continuamente cambios entre

su energía cinética y su energía potencial.

En esta lección se considerará un medio material continuo a través del cual se propaga una perturbación.

Este puede ser considerado como un conjunto de elementos materiales diferenciales ("partículas")

conectados a través de fuerzas internas electromagnéticas (fuerzas moleculares). Un modelo de un

sistema así podría ser un conjunto de "partículas" acopladas con resortes, Figura 1. Estos últimos hacen el

papel de las fuerzas moleculares. En principio cada una de las "partículas" se encuentra en su propia

posición de equilibrio estable, si no hay fuerza neta actuando sobre ellas ( F = 0 , para cada "partícula").

Si una de ellas (un elemento diferencial del medio continuo) se pone a oscilar mediante una fuerza externa,

las "partículas" contiguas reciben de ésta "idéntica orden" (por estar "comunicadas" o acopladas por medio

de fuerzas moleculares).

Figura 1

Obviamente las partículas contiguas comienzan a oscilar con algún desfase con respecto a la "partícula" que

"ordena" o que ha sufrido la acción de la fuerza externa, ya que el mensaje se demora un intervalo de

tiempo en viajar de una a otra. A su vez estas "partículas" contiguas envían el mensaje a sus próximas

vecinas y así sucesivamente todo el "sistema de partículas" (el medio continuo) entra a oscilar. En este

modo de propagación cada "partícula" solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufre un

desplazamiento neto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posición de equilibrio). Sin embargo

se propaga energía de un oscilador a otro: en definitiva hay propagación de energía y no de materia. A este

modo de propagación se le denomina movimiento ondulatorio (onda).

3

En la Figura 1 se ilustra un conjunto partículas acopladas mediante débiles resortes. Un agente externo

(mano) mantiene la primera partícula en oscilación. La vibración de ésta se comunica a las siguientes a

través de los resortes. Las partículas no se mueven en conjunto según la dirección en que se propaga el

"mensaje". Ellas solo oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se concluye que la energía que

suministra el agente externo al sistema se propaga a través de éste sin desplazamiento neto de la materia.

En un movimiento ondulatorio hay vibración de partículas (en el caso de ondas mecánicas) y hay propagación

de energía.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma

onda viajera longitudinal. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 2.

Se despliega la simulación de la Figura 3. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar

detenidamente los resultados.

Figura 2

Figura 3

4

Clasificación de las ondas

Las ondas se clasifican según el medio de propagación, según la forma de vibración y según la forma

geométrica del frente de onda.

Según el medio de propagación:

En este caso se clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las primeras se propagan por medio de las

vibraciones de la materia (medio continuo). Las segundas se propagan por medio de las vibraciones de los

campos eléctrico y magnético.

Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para poderse propagar. La energía se propaga

produciendo la vibración de la materia, aprovechando la elasticidad de esta. En ella se propaga energía

mecánica (cinética y potencial). Un medio material continuo es un medio elástico y una deformación en él

produce tensiones elásticas que afectan a las regiones contiguas y también en ellas provoca perturbaciones.

Como consecuencia de la inercia del medio material, esta perturbación viaja con una velocidad finita tanto

más lenta cuanto mayor es la densidad del medio. Por otra parte, la velocidad de propagación es tanto

mayor cuanto más grande es la tensión que produce una determinada deformación, es decir cuanto mayor

sea el módulo de elasticidad del medio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la

vibración de un edificio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y un ejemplo por

excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido corresponde a variaciones locales de la presión que

viaja de un lugar a otro por lo que no se puede propagar en el vacío.

Las ondas electromagnéticas en cambio no

necesitan de un medio material para propagarse

(pueden propagarse en el vacío). En estas la

vibración de los campos eléctrico y magnético

permite su propagación debido a los fenómenos de

inducción: la conversión “instantánea” de energía

eléctrica en magnética y viceversa debido a la

inducción mutua entre ambos campos, da como

resultado la propagación de la energía

electromagnética. La velocidad con que se propaga

la onda electromagnética dependerá de las

propiedades eléctricas y magnéticas del medio. Son

ejemplos, las ondas de radio y televisión, las

microondas, los rayos X, y por supuesto, la luz o

radiación visible. La luz es vibración de campos

eléctricos y magnéticos por lo que se puede

propagar en el vacío. En la Figura 4 se ilustra el

denominado espectro electromagnético (el

conjunto de ondas electromagnéticas conocidas

hasta ahora y clasificadas con base en su

frecuencia).

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Según la forma de vibración

En este caso se clasifican en transversales y longitudinales. En las ondas transversales la dirección de

vibración de las partículas o de los campos, es perpendicular a la dirección de propagación de la energía,

Figura 5. Ejemplos de estas ondas son: las ondas en el agua , las ondas transversales en una cuerda y todas

las ondas electromagnéticas.

Figura 5

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma

onda viajera transversal. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 6.

Se despliega la simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar

detenidamente los resultados.

Figura 6

6

Figura 7

En las ondas longitudinales la dirección de vibración de las partículas es la misma dirección de la

propagación de la energía, Figura 1. Las ondas sonoras pertenecen a este grupo. Una cuestión interesante

es que las ondas transversales no se pueden propagar al interior de los fluidos ya que éstos no soportan

fuerzas de cizalladura o tangenciales (los fluidos son medios continuos que se caracterizan por no tener

"algún grado" de rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elásticas transversales, sólo transmiten

longitudinales). En esta afirmación no se tienen en cuenta las ondas que se pueden propagar a través de la

superficie de los líquidos, como es el caso de las ondas que se observan cuando se deja caer una piedra en

un lago cuya superficie inicialmente se encuentra en reposo; estas se deben a la elasticidad de la superficie

de los líquidos (tensión superficial), pero no a la elasticidad de líquido en su forma volumétrica.

Analizar de nuevo la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma >

Cronograma onda viajera longitudinal.

Según la forma geométrica del frente de onda Los casos más importantes son las de forma plana, circular, cilíndrica, esférica. Por ejemplo cuando las

ondas son generadas por fuentes puntuales, son de forma esférica en el caso tridimensional y circulares en

el caso bidimensional. Estas a su vez se van aplanando cuando están lejos de la fuente. Las ondas luminosas

emitidas por el Sol son fundamentalmente esféricas y cuando llegan a nuestro planeta se pueden considerar

aproximadamente planas.

La principal consecuencia de la forma de la onda es su distribución energética. Como se verá en el módulo #

10, las ondas planas mantiene su intensidad constante al propagarse, mientras que las ondas esféricas

cumplen la denominada ley del inverso cuadrado: su intensidad decrece con el cuadrado de la distancia a la

fuente puntual de emisión.

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Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo

Partícula

Por definición partícula es un punto material. La partícula no tiene dimensiones espaciales (largo, ancho y

alto) pero posee masa. Por lo tanto, cuando a un cuerpo se le aplica el modelo de partícula, para el análisis

de su comportamiento físico "pierde" sus dimensiones espaciales.

Medio Continuo

Todos los cuerpos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante. Sin

embargo, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, interesa más conocer el comportamiento

global o promedio (es decir, macroscópico) de las numerosas moléculas que forman el cuerpo. Cuando no se

está interesado en el comportamiento de las moléculas individuales se puede considerar que los cuerpos (en

estado de agregación sólido, líquido o gaseoso) están compuestos de una sustancia infinitamente divisible,

es decir, que son continuos. Este es el concepto de medio continuo.

Una de las consecuencias de la hipótesis del continuo es que cada una de las propiedades de los cuerpos

tiene un valor definido en cada punto del espacio. De esta manera propiedades como la densidad,

temperatura, velocidad, etc., pueden considerarse como funciones continuas de la posición y del tiempo. En

estas notas de clase los medios continuos se considerarán homogéneos e isotrópicos.

¿Cada porción del medio de propagación de una onda, de longitud dx y sección transversal de área A,

se podrá considerar como una partícula?

Cuando la onda viaja a través de medio material, cada elemento diferencial dx de éste se deforma en una

cantidad igual a dy . La variable y representa la separación del centroide de la cara izquierda

(considerando la dirección positiva de x hacia la derecha) de este elemento diferencial respecto a su

posición de equilibrio que está ubicada en x , y recibe el nombre de elongación. Para efectos cinemáticos el

elemento diferencial se puede considerar como un "punto material" (partícula que se denominará oscilador)

ubicado en el centroide del elemento y en este caso la elongación y será la posición de esta partícula

(oscilador) respecto a su posición de equilibrio que está ubicada en x . Así se considerará para el análisis de

la cinemática. Sin embargo esta última idea se abandonará para hacer el análisis energético del movimiento

ondulatorio, ya que en este caso lleva a grandes errores esta interpretación.

Resumiendo

En el análisis cinemático se considerará que el medio continuo a través del cual se propaga la onda se

comporta como una colección de partículas oscilantes acopladas mediante interacciones eléctricas (en

cierta forma, es abandonar el modelo de medio continuo). Es decir, si la onda es armónica, se analizará

como una colección de osciladores armónicos. La elongación será la correspondiente a cada uno de ellos.

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Cinemática de la onda armónica plana: elongación y definiciones básicas

Vibración y propagación

Para poder describir el movimiento ondulatorio unidimensional, se requiere de tres variables: dos

independientes, x y t , y una dependiente, y . Por ejemplo, para describir las ondas transversales en una

cuerda, Figura 8, se necesita la variable y que corresponde a la elongación de cada oscilador (elemento

diferencial dx , con masa dm ) la cual variará con el tiempo t ; pero además es necesario dar la posición x de los osciladores sobre la cuerda. Por tanto la elongación es función tanto del tiempo como de la posición,

es decir, y = y x, t . En el movimiento ondulatorio se dan simultáneamente un movimiento de propagación

(no de las partículas, si no de la energía que transmite la onda) a velocidad constante V y un movimiento

oscilatorio con velocidad y

dyv =

dt y aceleración

2

y 2

d ya =

dt de las partículas del medio.

Figura 8

Onda plana armónica

Sí la elongación y de cualquier elemento diferencial dx de la cuerda cumple que es una función sinusoidal o

cosinusoidal tanto de la posición x del elemento y del tiempo t , se dice que la perturbación se propaga

como una onda viajera armónica:

oy x,t = Asen kx ωt + φ [1]

Como se verá más adelante el signo – corresponde a una onda viajando hacia valores crecientes de x y el

signo + corresponde a una onda viajando hacia valores decrecientes de x : para el sistema de coordenadas

dado en la Figura 8, el signo – es onda viajando hacia la derecha y el signo + es una onda viajando hacia la

izquierda.

9

En esta ecuación, A es la máxima elongación, es decir, la amplitud (en el SI se mide en m), k es el

denominado número de onda (en el SI se mide en rad/m), ω es la frecuencia angular (en el SI se mide en

rad/s), oφ es la fase inicial (en el SI se mide en rad) y oφ x,t = kx ± ωt + φ es la fase de la onda (en el

SI se mide en RAD). Si la amplitud A es constante se dice que la onda es plana.

De la trigonometría se concluye que la onda armónica plana es periódica temporal ( t ) y espacialmente ( x ).

Al período temporal se le denomina simplemente período ( P ) y al período espacial se le denomina longitud

de onda ( λ ), Figura 9.

Figura 9

De las propiedades de las funciones trigonométricas se concluye además que,

2πP = [2]

ω

2πλ = [3]

k

A los máximos espaciales de una onda viajera se les denomina CRESTAS y a sus mínimos VALLES, Figura 9

izquierda.

Analizar de nuevo las simulaciones de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma >

Cronograma onda viajera longitudinal y Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma onda viajera

transversal.

10

Definiciones e interpretación física de conceptos

Elongación ( y )

Cada oscilador ocupa una posición de equilibrio dentro del medio de propagación y ubicada en x . Cuando la

onda se propaga, ellos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se llamará elongación y a la

posición del oscilador respecto a su propia posición de equilibrio. La elongación se mide en metros (m).

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras

transversales en cuerdas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 10.

Se despliega la simulación de la Figura 11. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar

detenidamente los resultados.

Figura 10

Figura 11

11

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras

longitudinales en slinky. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 12.

Se despliega la simulación de la Figura 12. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar

detenidamente los resultados.

Figura 12

Figura 13

Amplitud ( A )

Para una onda, la amplitud corresponde al valor máximo de la magnitud física que se propaga. Se mide en las

mismas unidades de esta. Por ejemplo, en las ondas de elongación la amplitud se mide en unidades de

longitud; en las ondas de presión la amplitud se mide en unidades de presión (amplitud de presión); en las

ondas de fuerza la amplitud se mide en unidades de fuerza (amplitud de fuerza).

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Periodo ( P )

El período de una onda corresponde al tiempo necesario para que la magnitud física que se propaga haga una

oscilación completa. En el caso de una onda de elongación, corresponde al tiempo para que un oscilador

complete una oscilación. El período se mide en segundos.

Analizar de nuevo las simulaciones de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma >

Cronograma onda viajera longitudinal y Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma onda viajera

transversal.

Frecuencia ( f )

La frecuencia de una onda corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo, realizadas por la

magnitud física que se propaga. En el caso de una onda de elongación que se propaga en un medio material,

corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo, de cada uno de los osciladores del medio y es

la misma para todos ellos. La frecuencia se mide en Hertz (Hz). Esta es impuesta por el agente externo

que genera la onda.

El periodo y la frecuencia se relacionan como sigue,

f P = 1 [4]

La frecuencia angular ( ω ) de la onda se mide en rad/s. Se relaciona con la frecuencia f así,

ω = 2π f [5]

Fase ( φ x,t )

El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores, solo que en este caso la

fase de la onda cambia tanto temporal como espacialmente. La fase se mide en radianes,

oφ x,t = kx ± ωt + φ [6]

Por ejemplo en una onda de elongación que se propaga por un material, todos los osciladores contenidos en

una longitud de onda ( λ ) tienen diferencias de fases que están entre 0 y radianes 2π . Cada que

transcurre un intervalo de tiempo igual a un período, un oscilador se desfasa en 2π radianes. Además dos

osciladores que estén separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2π

radianes Figura 14.

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Figura 14

Ecuación de oro: Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación

Velocidad de propagación ( V )

La velocidad con que se propaga la energía a través del medio (no confundir con la velocidad de vibración de

los elementos del medio) corresponde a la velocidad de propagación de la onda.

Longitud de Onda ( λ )

Las siguientes simulaciones facilitan la comprensión del significado físico de la longitud de onda. La

distancia que viaja la perturbación (y por ende la energía) cada que el agente externo (mano) realiza una

oscilación completa, corresponde a la longitud de onda ( λ ). Puede observarse que los osciladores cuya

diferencia de fase es igual a un número entero de veces 2π están separados por números enteros de

longitudes de onda λ . Por ejemplo, si un oscilador le lleva dos oscilaciones enteras a otro (es decir su

diferencia de fase es igual a dos veces 2π ), la distancia que los separará será equivalente a dos longitudes

de onda (2 λ ).

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Longitud de onda

(onda transversal). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 15. Se

despliega la simulación de la Figura 16. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente

los resultados.

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Figura 15

Figura 16

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Longitud de onda

(onda longitudinal). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 17. Se

despliega la simulación de la Figura 18. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente

los resultados.

15

Figura 17

Figura 18

Por tanto la longitud de onda, es la distancia que viaja la energía en un tiempo equivalente a un período.

Esta última idea se puede plasmar en forma de ecuación así,

λ = VP

o como f P = 1,

λ f = V [7]

QUE ES LA ECUACIÓN DE ORO DE LAS ONDAS. La longitud de onda se mide en unidades de longitud

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Ejemplo 1:

La ecografía permite obtener imágenes del

feto dentro del claustro materno sin causarle

ningún daño. Los pulsos ultrasónicos don

frecuencias de hasta 5,00 MHz rebotan en la

superficie del feto y emiten por reflexión su

eco correspondiente, Figura 19. Mediante

sistemas electrónicos se transforman los

tiempos de ida y vuelta en distancias y éstas en

imágenes. Si la velocidad de la onda sonora en

el tejido blando es prácticamente su velocidad

en el agua (1 500 m/s) ¿cuál será la longitud de

onda utilizada a la frecuencia de 5,00 Mhz?

Solución:

Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

λ f = V

Vλ =

f

-1

6 -1

1 500 m.sλ =

5,00 ×10 s

λ = 0,300 mm

La longitud de onda da una idea de la resolución del

instrumento. Esto se debe a que para obtener

información de un objeto la onda debe interactuar

con él; en este caso se necesita que la onda se

refleje en el objeto, y por ende su longitud de onda

debe ser algo menor que su tamaño. Por lo tanto se

concluye que con esta onda ultrasónica se pueden

detectar detalles del feto del orden de milímetros.

Detalles más pequeños pasan inadvertidos para ella

(al menos en registros por reflexión). Los

ultrasonidos no los podemos oír; sin embargo los

murciélagos son capaces de emitirlos y captar su

reflexión obteniendo una valiosa información de los

obstáculos y de sus presas. El mismo principio es

utilizado por el sonar de los barcos o el radar

aéreo, Figura 20.

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Ejemplo 2:

Los fundamentos y la imagen de este ejemplo fueron tomados del sitio Web el Cajón de Ciencias

(http://cajondecienciasblog.blogspot.com/2012_05_01_archive.html). Los cálculos los hicieron los autores de éste módulo de

enseñanza-aprendizaje.

El sistema de radar, también llamado en

zoología ecolocalización, es uno de los

sentidos más eficaces y asombrosos que

pueden encontrarse en la naturaleza, por

ejemplo, como se dijo en el ejemplo

anterior, los murciélagos. Los animales

nocturnos no poseen buena vista pero

poseen unas orejas bastante grandes en

relación con su tamaño y narices anchas y

con formas curiosas. Esto los hace aptos

para la ecolocalización.

En el caso de los murciélagos pueden emitir chillidos ultrasónicos cuya frecuencia está alrededor de

150 000 Hz que son inaudibles para nosotros (solo percibimos sonidos en el rango de 16 Hz a 20 000 Hz).

Esto lo hacen a través de la boca, pero también de la nariz, y la forma de ésta ayuda a focalizar el "chorro"

del sonido. Los ultrasonidos se propagan frente al animal, chocan contra cualquier cosa que haya y vuelven

como eco a las orejas del murciélago (los pliegues de éstas ayudan a recoger mejor el sonido). El cerebro

del murciélago es capaz de formarse una idea de los obstáculos, su tamaño y la distancia basándose en

estos ecos, Figura 21.

Pregunta: Estimar el tamaño de los insectos que es capaz de detectar el murciélago. Tomar como velocidad

del sonido en el aire el valor de 340 m/s.

Solución:

Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

λ f = V

Vλ =

f

-1

3 -1

340 m.sλ =

150 ×10 s

λ = 2,27 mm

Es decir un murciélago es capaz de detectar insectos de algunos milímetros.

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Ejemplo 3:

El distanciómetro ultrasónico.

El distanciómetro de la Figura 21 se usa para medir objetos

que se encuentren entre 3,00 cm y 6,00 m. En nuestro

laboratorio de física tendrán la oportunidad de trabajar con

este tipo de sensores. El precio de estos es del orden de 10

dólares y son de fácil adquisición.

¿Cómo funciona?

Por uno de los tubos emite un ultrasonido de 40 kHz el cual

cual rebota en el objeto y al reflejarse regresa es captado

por el otro tubo. Conocida la velocidad del sonido en el aire y

el tiempo de ida y regreso de la onda se calcula la distancia a

la cual se encuentra el obstáculo.

Pregunta: Estimar el tamaño de los obstáculos que es capaz de detectar este sensor. Tomar como velocidad

del sonido en el aire el valor de 340 m/s.

Solución:

Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

λ f = V

Vλ =

f

-1

3 -1

340 m.sλ =

40 ×10 s

λ = 8,50 mm

Es decir este sensor es capaz de detectar obstáculos de mínimo unos 10 cm.

Ejemplo 4:

Nosotros percibimos sonido con frecuencias que estén en el rango de 20 Hz a 20 000 Hz, siendo más

sensibles a frecuencias del orden de los 4 000 Hz. Calcular para cada uno de estos valores la respectiva

longitud de onda.

Solución:

Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

19

λ f = V

Vλ =

f

El medio de propagación de la onda sonora es en este caso el aire y por lo tanto se toma V=340 m/s.

Reemplazando para f=20 Hz,

-1

-1

340 m.sλ =

20 s

λ = 17 m

Reemplazando para f= 4 000 Hz,

-1

-1

340 m.sλ =

4 000 s

λ = 0,0850 m = 8,50 cm

Reemplazando para f= 20 000 Hz,

-1

-1

340 m.sλ =

20 000 s

λ = 0,0170 m = 1,70 cm

Los siguientes dos ejemplos corresponden a ondas electromagnéticas las cuales también cumplen la

ecuación [7] pero donde V corresponde a la velocidad de la luz en el medio en donde se está propagando.

Esta velocidad en el vacío es igual a 300 000 km/s. También se tomará ese valor aproximadamente para la

propagación en el aire.

Ejemplo 5:

Por convenios internacionales la franja del espectro electromagnético comprendido entre 2,4 Ghz y 2,5 GH

es usada para aplicaciones de uso no comercial en áreas industrial, científica y médica; se le denomina

banda ISM (Industrial, Scientific and Medical): por ejemplo los hornos microondas funcionan a 2,4 GHz.

En la actualidad esa banda también es usada para comunicaciones inalámbricas como por ejemplo, en

Bluetooth, WiFi y ZibBee que usan la frecuencia 2,4 GHz.

Pregunta: ¿Calcular la longitud de onda correspondiente a la frecuencia 2,4 GHz del espectro

electromagnético (esta frecuencia corresponde a la región de las microondas, Figura 4)?

Solución:

20

Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

λ f = V

Vλ =

f

8 -1

9 -1

3,00 10 m.sλ =

2,40 ×10 s

λ = 0,125 m = 12,5 cm

Algo interesante de anotar es que el tamaño de las antenas resonantes que se utilizan en las

telecomunicaciones debe ser del orden de la longitud de onda. Esto se analizará en el próximo módulo. Por

ejemplo, en este caso se puede utilizar una antena llamada de un cuarto de longitud de onda, es decir, la

longitud de esta antena es aproximadamente igual a 3,1 cm.

Una nota interesante: el nombre Bluetooth de este protocolo de comunicaciones procede del nombre del

rey danés y noruego Harald Blatand cuya traducción al inglés es Harald Bluetooth, conocido por buen

comunicador y por unificar las tribus noruegas, suecas y danesas. La traducción textual al idioma español es

“diente azul, aunque el término en danés era utilizado para denotar que Blatand era de “tez oscura” y no de

“diente azul (párrafo tomado textualmente de, http://es.wikipedia.org/wiki/Bluetooth).

Ejemplo 6:

En el laboratorio de este curso se empleará un láser de emisión de luz roja cuya longitud de onda es 650

nm (este dato es referenciado respecto al aire). Calcular: (a) la frecuencia de ésta luz en al aire, (b) la

frecuencia de esta luz en el agua, (c) la longitud de onda de ésta luz en el agua. Téngase en cuenta que la

velocidad de la lu en el agua es igual a 225 000 km/s.

Solución:

(a) Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión [7],

λ f = V

Vf =

λ

8 -1

9

3,00 10 m.sf =

650×10 m

12f = 462×10 Hz

f = 462 THz

21

(b) La frecuencia de ésta luz en el agua es la misma que en el aire. Cuando una onda cambia de medio de

propagación no le cambia su frecuencia, sino que cambia su longitud de onda y su velocidad de propagación.

La frecuencia depende expresamente de la fuente generadora. Por lo tanto su frecuencia en el agua es

también

f = 462 THz

(c) Para calcular la longitud de onda en el agua se vuelve a emplear la ecuación [7],

λ f = V

Vλ =

f

8 -1

12 -1

2,25 10 m.sλ =

462×10 s

λ = 487 nm

Es decir la luz al pasar del aire al agua disminuye su longitud de onda, Figura 22.

Figura 22

Velocidad de fase

Cada partícula del medio posee una fase en cada instante. Cuando la onda viaja, cualquier punto de fase

constante (es decir, el frente de onda) viajara a la velocidad de ella. Este punto no es un ente físico, sólo

es un ente matemático. Para calcular la velocidad a la que viaja se debe tener en cuenta que dφ = 0y como

φ = φ x,t ,

φ φdφ = dx + dt

x t

22

x

φ

t

φ

x t

φt

x

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto con fase constante. Si se

escoge un punto cualquiera del perfil de una onda armónica, por ejemplo la cresta de la onda: mientras la

onda se desplaza en el espacio, la elongación y de la cresta permanece constante. Ya que la única que

puede variar en la función de onda armónica es la fase, ella también debe ser constante para ese punto en

movimiento. El punto se mueve junto con el perfil con velocidad V Según la ecuación [6],

oφ x,t = kx ± ωt + φ [6]

aplicando la ecuación anterior,

φ

x ± ω V [8]

t k

El signo + en V, que es el signo – en ω , implica que la onda viaja hacia valores crecientes de x; el signo – en

V, que es el signo + ω , implica que la onda viaja hacia valores decrecientes de x.

Resumen:

Dada una onda monocromática, la velocidad de propagación de la onda y su velocidad de fase son

iguales. Esto es lo que expresa la ecuación [8].

Cinemática de la onda armónica plana: velocidad y aceleración

Cuando la onda armónica viajera se propaga a través de un medio continuo cada uno de sus elementos

("partículas") vibra con movimiento armónico simple con su elongación, velocidad y aceleración expresadas

por las siguientes ecuaciones,

oy = A sen kx ± ωt + φ [1]

y oV = ωA cos kx ± ωt + φ [9]

2 2

y oa = - ω A sen kx ± ωt + φ = - ω y [10]

23

La velocidad con que se propaga la onda (y por ende la energía) es,

x x

φ y

t t

φ y

x xt tV =

φ yt t

x x

yvV= - [11]

m

siendo yv la velocidad de vibración de un elemento del medio (centro de masa del mismo: "partícula") y m la

pendiente del perfil de la onda, y vs x , en la posición x del elemento (del centro de masa del mismo:

"partícula"). Es decir, según la ecuación [11], la velocidad de propagación de la onda, V , es igual a la relación

con signo cambiado, entre la rapidez de vibración de un elemento y la pendiente m del perfil de onda en la

posición del elemento. En el caso de la cuerda esto es muy claro, Figura 23: en el primer tramo de la Figura

23A, la velocidad de vibración yv es negativa (las partículas se mueven hacia abajo) y la pendiente m del

perfil en ese tramo es positiva, por lo que el cociente de ambas será negativo; al cambiarle el signo a este

cociente quedará positivo, indicando que la velocidad de propagación V debe ser positiva, lo cual es

correcto ya que la onda se propaga hacia valores crecientes de . Similarmente se puede hacer el análisis a

cada tramo de la cuerda en esta figura y a todos los tramos de la cuerda de la Figura 23B.

Figura 23

Ejemplo 7:

La elongación de una cuerda sobre la que se está propagando una onda transversal armónica está dada en el

SI por la siguiente ecuación:

πy = 0,10 sen 3πx - 150πt +

3

24

Calcular los valores de: (a) la amplitud, (b) el número de onda, (c) la frecuencia angular, (d) la frecuencia en

Hz, (e) la longitud de onda, (f) la velocidad de propagación, (g) la fase inicial, (h) en qué sentido se propaga

la onda, (i) la rapidez de los puntos de la cuerda cuando pasan por la posición de equilibrio, (j) la

aceleración de los puntos de la cuerda cuando están en la posición de las crestas o de los valles, (k) la

velocidad del punto de la cuerda ubicado en x= 0,50 m en el instante t=2,50 s, (l) la aceleración del punto

de la cuerda ubicado en x= 0,50 m en el instante t=2,50 s.

Solución:

La solución a las preguntas se hace apoyándose en la comparación de la ecuación dada con la ecuación [1],

oy = A sen kx ± ωt + φ [1]

(a) La amplitud,

A = 0,10 m

(b) El número de onda,

radk = 3π

m

(c) La frecuencia angular,

radω = 150π

s

(d) La frecuencia en Hz,

ω = 2πf

ωf =

2π

rad150π

sf = 75,0 Hz2π rad

(e) La longitud de onda, ecuación [3],

2πλ =

k

2πλ = 0,67 m

rad3π

m

25

(f) Velocidad de propagación, ecuación [7],

λf = V

osc mV=0,67 m × 75,0 50,3

s s

(g) La fase inicial,

o

πφ =

3

(h) Tiene el signo menos en la fase, π

3πx - 150πt + 3

, por lo tanto la onda se propaga en el sentido

creciente de las x.

(i) Cuando los puntos de la cuerda cunado pasan por la posición de equilibrio llevan la rapide máxima,

y maxv = ωA

y max

rad mv = 150π × 0,10m = 15π

s s

(j) Cuando los puntos de la cuerda están en la posición de las crestas o de los valles tienen la máxima

aceleración; esta en magnitud es,

2

y maxa = ω A

2

2

y 2max

rad ma = 150π × 0,10m = 2250π

s s

Se deja al lector realizar los cálculos para los literales (k) y (l).

Sobre la velocidad de propagación de las ondas mecánicas

Como se ha venido insistiendo, las ondas mecánicas propagan la energía a través de la vibración de la

materia y por lo tanto no se pueden propagar en el vacío: necesitan de la materia. Son también conocidas

como ondas materiales u ondas elásticas.

En el módulo 9 se demsotrará que la velocidad de propagación de éstas ondas cumplen la siguiente

expresión general (se consideran que los medios son isotrópicos y homogenéos):

βV = [12]

ρ

26

En donde β es un parámetro de elasticidad que se mide en Pa (Pascales, Pa= 1 N/m2) y ρ la denisdad

volumétrica del medio que se mide en kg/m2. Como se verá en el módulo 9 esta expresión se reduce a las

expresiones dadas en la Tabla 1 para esas onadas específicas.

Tabla 1

Tipo de onda mecánica Velocidad de propagación

Ondas transversales en cuerdas:

La tensión en la cuerda y μ su densidad lineal que se mide en kg/m

FV = [13]

μ

Ondas longitudinales o transversales en slinky:

K es la constante de rigidez del slinky (a su longitud natural), Lo es la

longitud del slinky ya deformado pero en situación de equilibrio, m la

masa del slinky.

o

kV = L [14]

m

Ondas longitudinales en barras sólidas:

Y es el módulo de Young del material y se mide en Pa, ρ su densidad

volumétrica y se mide en kg/m3.

YV = [15]

ρ

Ondas trasnversales en barras sólidas:

G es el módulo de rigidez o cizalladura del material y se mide en Pa, ρ

su densidad volumétrica y se mide en kg/m3.

GV = [16]

ρ

Ondas longitudinales en fluidos:

B es el módulo de compresibilidad del fluido y se mide en Pa, oρ su

densidad volumétrica en equilibrio y se mide en kg/m3.

o

BV = [17]

ρ

Es importante tener claro:

La frecuencia de la onda depende es del agente perturbador del medio, es decir de la fuente

generadora de ondas (depende pues es del agente externo).

La velocidad de propagación en medios NO DISPERSIVOS depende es de las propiedades

mecánicas del medio: elasticidad (representada en un parámetro de elasticidad) e inercia

(representada en la densidad).

27

La longitud de onda dependerá tanto de la frecuencia como de la velocidad de propagación a través

de la GRAN FÓRMULA,

λ f = V

Taller

1. La elongación de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda se representa

en el sistema S.I con la ecuación

3π 1 πy = 0,10 sen x - πt +

2 4 3

Calcular: (a) la amplitud, (b) la frecuencia angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el número de onda, (e) la

longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) la velocidad de vibración de un punto de la cuerda ubicado en x =

0,30 m en t= 0,60 s, (h) la aceleración de un punto de la cuerda en el instante en el cual se encuentra

ubicado en la cresta.

2. ¿Cuánto avanza una onda armónica en un período? ¿Cuánto tarda para viajar una longitud de onda?

3. Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1.20 m.

También se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación

cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la onda.

4. Considérese una onda luminosa monocromática plana en el vacío, de frecuencia 3,00x1014 Hz. ¿Cuál es la

distancia más corta a lo largo de la dirección de propagación de la onda entre dos puntos que tienen una

diferencia de fase de 30º entre sí. ¿Qué cambio de fase tiene lugar en un punto cuando transcurren 10-

6 s.? ¿Cuántos máximos han pasado por ese punto en dicho tiempo? Rp: 83,2 nm. (b) 6.00 x108 rad (c)

3,00x108 máximos

5. El período de una onda longitudinal que se propaga en un slinky es igual a 3,00x10-3 s. La distancia entre

dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π

2 vale 30,0 cm. Calcular: (a) La longitud de onda,

(b) la velocidad de propagación.

Rp. 400 m/s

6. Escribir elongación en el SI de una onda armónica que se mueve hacia valores crecientes de x a lo largo

de una cuerda con velocidad de 10,0 m/s, frecuencia de 60,0 Hz y amplitud 0,20 m.

Rp y = 0,20 sen 37,7 x - 377 t

7. Una onda armónica transversal se propaga hacia valores decrecientes de x. Si tiene una longitud de

onda de 20,0 m, una amplitud de 4,00 m y una velocidad de propagación de 200 m/s, hallar: (a) la

ecuación de la elongación en el SI, (b) la rapidez máxima de un punto alcanzado por la vibración, (c) la

aceleración de vibración máxima de un punto del medio.

(b) 80 ms-1 (c) 16002 ms-2.

28

8. Calcular la longitud de onda de la radiación electromagnética que emite una emisora de radio cuya

frecuencia es igual a 0,500 MHz. Rp. 600 m

FIN