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Universidad del Azuay
Facultad de Ciencia y Tecnología
Escuela de Ingeniería Civil y Gerencia de
Construcciones
ELABORACIÓN DE GUÍAS
METODOLÓGICAS PARA ENSAYOS DE
LABORATORIO DE LA ASIGNATURA DE
RESISTENCIA DE MATERIALES DE LA
UNIVERSIDAD DEL AZUAY
Trabajo de graduación previo a la obtención del título de:
INGENIERO CIVIL CON ÉNFASIS EN GERENCIA DE
CONSTRUCCIONES
Autores:
DAVID FERNANDO JERVES CÓRDOVA
JONNATHAN ADRIAN GUACHÚN SUCO
Director:
ESTEBAN CABRERA VÉLEZ
Cuenca-Ecuador
2020
Jerves Córdova, Guachún Suco. i
DEDICATORIA
El presente trabajo final de grado está dedicado a principalmente a mis padres José y Gloria,
todo su cariño y esfuerzo incondicional me han sabido guiar por el camino del bien,
inculcándome valores y principios que me han ayudado para poder llegar a cumplir todos mis
sueños y metas propuestos en esta vida.
De igual manera agradezco a mis hermanos Carlos y Diego que son pilares importantes en
mi vida, estuvieron siempre conmigo, brindándome su apoyo y amistad en todo momento.
David Fernando Jerves Córdova.
Jerves Córdova, Guachún Suco. ii
DEDICATORIA
Dedico este trabajo final de grado a toda mi familia en especial a mis padres que me han
apoyado infinitas veces en cada etapa de mi vida tanto académica como personal, dándome
todo su amor y confianza en cada uno de mis anhelos de vida.
Jonnathan Adrian Guachún Suco.
Jerves Córdova, Guachún Suco. iii
AGRADECIMIENTO
El desarrollo de este trabajo involucró un esfuerzo arduo en cada una de sus etapas, por tal
motivo estamos muy agradecidos con nuestro tutor de tesis de grado, Ing. Esteban Cabrera, que
estuvo en cada instante brindándonos su tiempo y sabiduría para la culminación de este
proyecto.
De la misma un agradecimiento a los miembros de tribunal asignados, Ing. Vladimir
Carrasco e Ing. Rolando Armas, que supieron ayudarnos y guiarnos de la mejor manera para
el éxito de este trabajo.
Por último y no menos importante agradecemos a la prestigiosa Universidad del Azuay, ya
que nos dio la posibilidad de crecer y realizar nuestro sueño de una vida profesional prospera,
con ayuda de cada uno de los catedráticos, que con sus enseñanzas y perseverancia logramos
salir adelante; y así mismo, nos dio la oportunidad de conocer en las aulas a grandes
compañeros y amigos, que de alguna manera u otra llegaron a formar parte de nuestra vida
tanto universitaria como personal.
Jerves Córdova, Guachún Suco. iv
ÍNDICE DE CONTENIDOS
DEDICATORIA ......................................................................................................................... i
DEDICATORIA ........................................................................................................................ ii
AGRADECIMIENTO ............................................................................................................. iii
RESUMEN ............................................................................................................................. xvi
ABSTRACT ........................................................................................................................... xvii
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................. 1
1. GENERALIDADES ........................................................................................................... 1
Justificación ................................................................................................................. 1
Objetivos ..................................................................................................................... 2
1.2.1 Objetivo general ................................................................................................... 2
1.2.2 Objetivos específicos ........................................................................................... 2
Estado del arte ............................................................................................................. 2
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................. 5
2. MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 5
Mecánica de materiales ............................................................................................... 5
2.1.1 Teoría de Elasticidad............................................................................................ 5
Concepto de sólido ...................................................................................................... 6
Equilibrio de un cuerpo deformable ............................................................................ 8
2.3.1 Cargas externas .................................................................................................... 8
2.3.2 Reacciones en los apoyos o soportes ................................................................... 9
2.3.3 Cargas internas resultantes ................................................................................. 10
Esfuerzo ..................................................................................................................... 12
2.4.1 Esfuerzo normal ................................................................................................. 12
2.4.2 Esfuerzo Cortante............................................................................................... 13
2.4.3 Esfuerzo de Contacto o Aplastamiento .............................................................. 13
Deformación .............................................................................................................. 15
2.5.1 Deformación unitaria ......................................................................................... 16
Propiedades mecánicas de los materiales .................................................................. 16
2.6.1 Diagrama esfuerzo – deformación unitaria ........................................................ 17
2.6.2 Características de la curva esfuerzo-deformación del acero .............................. 19
2.6.3 Comportamiento de los materiales dúctiles y frágiles según sus características
esfuerzo-deformación ....................................................................................................... 22
2.6.4 Ley de Hooke ..................................................................................................... 27
2.6.5 Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales ............................................. 28
Jerves Córdova, Guachún Suco. v
Vigas.......................................................................................................................... 30
2.7.1 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes ...................................................... 31
2.7.2 Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante ............... 33
2.7.3 Esfuerzos en vigas.............................................................................................. 36
2.7.4 Deflexiones de vigas .......................................................................................... 45
Columnas ................................................................................................................... 48
2.8.1 Pandeo ................................................................................................................ 48
2.8.2 Estabilidad.......................................................................................................... 49
2.8.3 Carga crítica ....................................................................................................... 50
2.8.4 Fórmula de Euler................................................................................................ 51
2.8.5 Longitud efectiva ............................................................................................... 54
2.8.6 Limitaciones ....................................................................................................... 55
CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................... 57
3. GUÍAS METODOLÓGICAS PARA LOS ENSAYOS DE LABORATORIO DE
RESISTENCIA DE MATERIALES ....................................................................................... 57
Ensayo de la resistencia a tracción del acero ............................................................ 57
3.1.1 Objetivos ............................................................................................................ 57
3.1.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 58
3.1.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 59
3.1.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 59
3.1.5 Evaluación.......................................................................................................... 60
Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera ................................... 61
3.2.1 Objetivos ............................................................................................................ 61
3.2.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 61
3.2.3 Procedimiento básico ......................................................................................... 64
3.2.4 Evaluación.......................................................................................................... 65
Ensayo de la resistencia a compresión en la madera ................................................. 66
3.3.1 Objetivos ............................................................................................................ 66
3.3.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 67
3.3.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 68
3.3.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 69
3.3.5 Evaluación.......................................................................................................... 69
Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset ......................... 71
3.4.1 Objetivos ............................................................................................................ 71
3.4.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 71
Jerves Córdova, Guachún Suco. vi
3.4.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 73
3.4.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 73
3.4.5 Evaluación.......................................................................................................... 74
Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero ...................................................... 75
3.5.1 Objetivos ............................................................................................................ 75
3.5.2 Fundamentos teóricos ........................................................................................ 75
3.5.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 76
3.5.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 76
3.5.5 Evaluación.......................................................................................................... 76
Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera ............................... 77
3.6.1 Objetivos ............................................................................................................ 77
3.6.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 77
3.6.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 79
3.6.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 79
3.6.5 Evaluación.......................................................................................................... 80
Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) ............................ 81
3.7.1 Objetivos ............................................................................................................ 82
3.7.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 82
3.7.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 86
3.7.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 87
3.7.5 Evaluación.......................................................................................................... 87
Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) ................................................. 88
3.8.1 Objetivos ............................................................................................................ 88
3.8.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 88
3.8.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 91
3.8.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 91
3.8.5 Evaluación.......................................................................................................... 91
Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas ........................................ 92
3.9.1 Objetivos ............................................................................................................ 92
3.9.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 92
3.9.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 94
3.9.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 95
3.9.5 Evaluación.......................................................................................................... 95
Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas ................................................. 96
3.10.1 Objetivos ............................................................................................................ 96
Jerves Córdova, Guachún Suco. vii
3.10.2 Fundamento teórico ........................................................................................... 96
3.10.3 Materiales y equipos .......................................................................................... 97
3.10.4 Procedimiento básico ......................................................................................... 97
3.10.5 Evaluación.......................................................................................................... 98
CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................... 99
4. ENSAYOS DE LABORATORIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES .................. 99
Ensayo de la resistencia a tracción del acero ............................................................ 99
4.1.1 Procedimiento realizado..................................................................................... 99
4.1.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 101
4.1.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 104
4.1.4 Conclusiones .................................................................................................... 106
4.1.5 Recomendaciones ............................................................................................ 106
Ensayo de la resistencia a compresión de la madera ............................................... 107
4.2.1 Procedimiento realizado................................................................................... 107
4.2.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 110
4.2.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 118
4.2.4 Conclusiones .................................................................................................... 121
4.2.5 Recomendaciones ............................................................................................ 123
Ensayo de contacto o aplastamiento en placas Gusset ............................................ 124
4.3.1 Procedimiento realizado................................................................................... 124
4.3.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 126
4.3.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 127
4.3.4 Conclusiones .................................................................................................... 129
4.3.5 Recomendaciones ............................................................................................ 129
Ensayo del esfuerzo cortante en pernos .................................................................. 130
4.4.1 Procedimiento realizado................................................................................... 130
4.4.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 131
4.4.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 132
4.4.4 Conclusiones .................................................................................................... 133
4.4.5 Recomendaciones ............................................................................................ 133
Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera ............................. 134
4.5.1 Procedimiento realizado................................................................................... 134
4.5.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 135
4.5.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 137
4.5.4 Conclusiones .................................................................................................... 138
Jerves Córdova, Guachún Suco. viii
4.5.5 Recomendaciones ............................................................................................ 139
Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) .......................... 140
4.6.1 Procedimiento realizado................................................................................... 140
4.6.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 142
4.6.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 144
4.6.4 Conclusiones .................................................................................................... 145
4.6.5 Recomendaciones ............................................................................................ 146
Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) ............................................... 147
4.7.1 Procedimiento realizado................................................................................... 147
4.7.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 149
4.7.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 152
4.7.4 Conclusiones .................................................................................................... 153
4.7.5 Recomendaciones ............................................................................................ 154
Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas ...................................... 155
4.8.1 Procedimiento realizado................................................................................... 155
4.8.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 157
4.8.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 158
4.8.4 Conclusiones .................................................................................................... 159
4.8.5 Recomendaciones ............................................................................................ 159
Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas ................................................... 160
4.9.1 Procedimiento realizado................................................................................... 160
4.9.2 Resultados obtenidos ....................................................................................... 161
4.9.3 Memoria fotográfica ........................................................................................ 162
4.9.4 Conclusiones .................................................................................................... 163
4.9.5 Recomendaciones ............................................................................................ 163
5. CONCLUSIONES .......................................................................................................... 165
6. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 167
7. ANEXOS ........................................................................................................................ 170
Jerves Córdova, Guachún Suco. ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1: Sección de exploración a-a de un sólido sometido a un sistema de fuerzas
externas. ................................................................................................................................... 10
Figura 2.2: Componentes internos: Normal, Cortante y Momento en la sección de exploración
a-a. ............................................................................................................................................ 11
Figura 2.3: Componentes internas en la sección de exploración. ............................................ 12
Figura 2.4: Diagrama de cuerpo libre entre placa y perno. ...................................................... 14
Figura 2.5: Deformación longitudinal y transversal de una membrana de goma. ................... 15
Figura 2.6: Segmento de barra prismática en tensión. ............................................................. 16
Figura 2.7: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un acero estructural en tensión (sin
escala) ...................................................................................................................................... 19
Figura 2.8: Estricción de una barra de acero dulce en tensión................................................. 21
Figura 2.9: Ejemplo de la construcción de una gráfica (línea continua) para determinar la
resistencia a la cedencia de una aleación de aluminio. ............................................................ 23
Figura 2.10: Etapas de formación de una fractura dúctil de copa y cono. ............................... 24
Figura 2.11: Fractura dúctil (copa y cono)............................................................................... 24
Figura 2.12: Diagrama esfuerzo-deformación para el hierro fundido gris. ............................. 25
Figura 2.13: Falla frágil a tracción y compresión de una probeta. .......................................... 26
Figura 2.14: Fractura frágil de una aleación metálica que muestra surcos radiales que emanan
del centro del espécimen. ......................................................................................................... 27
Figura 2.15: Tipos de comportamiento idealizado del material. ............................................. 29
Figura 2.16: Vigas sometidas a cargas laterales y la deflexión producida. ............................. 31
Figura 2.17: Diagrama de cuerpo libre para una viga seccionada. .......................................... 32
Figura 2.18: Viga con carga uniforme y elemento infinitesimal. ............................................ 34
Figura 2.19: Cargas concentradas en el elemento infinitesimal dx. ........................................ 35
Figura 2.20: Flexión de una viga en voladizo. ......................................................................... 37
Figura 2.21: Esfuerzo y deformación unitaria en la sección de corte - vista de perfil............. 38
Jerves Córdova, Guachún Suco. x
Figura 2.22: Esfuerzos cortantes en un elemento infinitesimal de una viga. ........................... 41
Figura 2.23: Viga conformada por elementos menores. .......................................................... 42
Figura 2.24: Distribución de esfuerzos en elemento seccionado de una viga cargada. ........... 42
Figura 2.25: Columna cargada axialmente. ............................................................................. 49
Figura 2.26: Columna idealizada. ............................................................................................ 50
Figura 2.27: Columna con extremos articulados. .................................................................... 51
Figura 2.28: Efecto de n en el valor de la carga crítica. ........................................................... 53
Figura 2.29: Curvas de deflexión que muestran la longitud efectiva Le. ................................ 54
Figura 3.1: Dimensionamiento de la probeta de ensayo a tracción. ........................................ 58
Figura 3.2: Probetas de madera de pino dimensionadas de acuerdo a la norma ASTM D143-
94.............................................................................................................................................. 67
Figura 3.3: Dimensiones de la placa de acero.......................................................................... 71
Figura 3.4: Espécimen de prueba de corte paralelo a la fibra. ................................................. 78
Figura 3.5: Falla sobre la superficie de soporte – vista frontal, perfil, lateral e isométrico. .... 79
Figura 3.6: Tipos de vigas. ....................................................................................................... 81
Figura 3.7: Esquema del ensayo a esfuerzo normal - cuatro puntos. ....................................... 82
Figura 3.8: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a cuatro puntos.
.................................................................................................................................................. 84
Figura 3.9:Esquema del ensayo a esfuerzo cortante - tres puntos. .......................................... 88
Figura 3.10: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a tres puntos. 89
Figura 3.11:Esquema del ensayo de flexión en viga semi - empotrada. .................................. 92
Figura 3.12: Diagrama de la fuerza cortante y momento flector en una viga semi - empotrada.
.................................................................................................................................................. 93
Figura 3.13:Dimensionamiento de las probetas de ensayo de pandeo de columnas. .............. 97
Figura 4.1: Equipo universal de tracción-compresión. .......................................................... 104
Figura 4.2: Elementos de sujeción para el ensayo a tracción de acero. ................................. 104
Figura 4.3: Mordazas de acero templado. .............................................................................. 104
Jerves Córdova, Guachún Suco. xi
Figura 4.4: Deformímetro colocado de forma lateral. Medición del desplazamiento del pistón.
................................................................................................................................................ 104
Figura 4.5: Panel de configuración del computador del equipo de tracción-compresión para
ensayo a tracción del acero. ................................................................................................... 105
Figura 4.6: Indicador de la velocidad que ejerce el pistón del equipo universal de compresión.
................................................................................................................................................ 105
Figura 4.7: Probeta de acero. ................................................................................................. 105
Figura 4.8: Carga aplicada a la cual la probeta de ensayo falla. ............................................ 105
Figura 4.9: Probeta ensayada hasta la rotura. ........................................................................ 105
Figura 4.10: Falla dúctil en el material. ................................................................................. 105
Figura 4.11: Equipo universal de compresión. ...................................................................... 118
Figura 4.12: Medición de la longitud de la probeta de madera con ayuda del calibrador o
vernier. ................................................................................................................................... 118
Figura 4.13: Medición del largo y ancho de la probeta de madera con ayuda del calibrador o
vernier. ................................................................................................................................... 118
Figura 4.14: Accesorios de sujeción de acero para el ensayo de compresión paralela a la fibra.
................................................................................................................................................ 118
Figura 4.15: Acoplamiento del elemento con el pistón del equipo........................................ 119
Figura 4.16: Colocación adecuada del deformímetro. ........................................................... 119
Figura 4.17: Falla producida en la probeta. ........................................................................... 119
Figura 4.18: Probeta pesada antes y después del secado para calcular el Contenido de
humedad. ................................................................................................................................ 119
Figura 4.19: Ensayo a compresión perpendicular a la fibra................................................... 120
Figura 4.20: Falla producida en el material. .......................................................................... 120
Figura 4.21: Probeta pesada antes y después del secado para calcular el Contenido de
humedad. ................................................................................................................................ 120
Figura 4.22: Secado al horno de las probetas ensayadas. ...................................................... 120
Figura 4.23: Accesorios para el ensayo de aplastamiento en placas...................................... 127
Jerves Córdova, Guachún Suco. xii
Figura 4.24: Medición del espesor de la placa de ensayo. ..................................................... 127
Figura 4.25: Medición del diámetro del agujero de la placa a ensayar.................................. 127
Figura 4.26: Medición de la longitud de la probeta de la placa de ensayo. ........................... 127
Figura 4.27: Medición del ancho de la placa de ensayo. ....................................................... 127
Figura 4.28: Instalación de accesorios para el ensayo de placas por aplastamiento. ............. 128
Figura 4.29: Placa de ensayo fija con los accesorios correspondientes. ................................ 128
Figura 4.30: Panel de configuración del equipo de tracción para el ensayo de aplastamiento
en placas. ................................................................................................................................ 128
Figura 4.31: Esquema de falla de la placa Gusset. ................................................................ 128
Figura 4.32: Modo de armado de los elementos de ensayo. .................................................. 132
Figura 4.33: Armado final del elemento para el ensayo a corte. ........................................... 132
Figura 4.34: Elemento de ensayo fijo y alineado con el pistón del equipo universal de
compresión. ............................................................................................................................ 132
Figura 4.35: Falla del perno por corte. ................................................................................... 132
Figura 4.36: Carga última registrada al momento del fallo del perno. .................................. 133
Figura 4.37: Esquematización de la falla en el perno de ensayo. .......................................... 133
Figura 4.38: Probetas de madera con sección reducida. ........................................................ 137
Figura 4.39: Accesorio de corte para el equipo de compresión. ............................................ 137
Figura 4.40: Accesorio montado y probeta colocada para el ensayo a cortante. ................... 137
Figura 4.41: Accesorio instalado en el equipo de laboratorio. .............................................. 137
Figura 4.42: Probeta ensayada, falla en la sección de corte designada. ................................. 137
Figura 4.43: Pieza menor obtenida de sección cortada de la probeta, utilizada para el ensayo
del Contenido de humedad..................................................................................................... 137
Figura 4.44: Ensayo de viga de madera a cuatro puntos. ....................................................... 144
Figura 4.45: Panel de programación del equipo para el ensayo. ........................................... 144
Figura 4.46: Colocación del deformímetro en el centro de la luz de la viga. ........................ 144
Figura 4.47: Falla producida en la viga. ................................................................................ 145
Jerves Córdova, Guachún Suco. xiii
Figura 4.48: Viga simplemente apoyada - tres puntos. .......................................................... 152
Figura 4.49: Punto de aplicación de la carga en el centro de la luz. ...................................... 152
Figura 4.50: Falla por cortante en la sección del Eje neutro de la viga. ................................ 152
Figura 4.51: Esquema de falla por cortante en la región media de la viga, vista perfil –
Desplazamiento horizontal de la sección superior sobre la sección inferior al eje neutro. ... 153
Figura 4.52: Mordaza sujeta a uno de los extremos de la viga. ............................................. 158
Figura 4.53: Punto de aplicación de la carga puntual. ........................................................... 158
Figura 4.54: Obtención de la dimensión del espesor de la probeta a ensayar. ...................... 162
Figura 4.55: Obtención de la dimensión de la base de la probeta a ensayar. ......................... 162
Figura 4.56: Medición de los elementos de carga en la balanza electrónica. ........................ 162
Figura 4.57: Equipo de ensayo de pandeo de columnas y sus diferentes tipos de sujeción. . 162
Jerves Córdova, Guachún Suco. xiv
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 .................................................................................................................................... 9
Tabla 2.2 .................................................................................................................................. 47
Tabla 2.3 .................................................................................................................................. 55
Tabla 3.1 .................................................................................................................................. 68
Tabla 3.2 .................................................................................................................................. 86
Tabla 7.1 ................................................................................................................................ 176
Tabla 7.2 ................................................................................................................................ 177
Tabla 7.3 ................................................................................................................................ 178
Jerves Córdova, Guachún Suco. xv
ÍNDICE DE ANEXOS
Anexo 1: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a tracción del acero ....................... 170
Anexo 2: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a la compresión paralelo y
perpendicular a la fibra de la madera ..................................................................................... 172
Anexo 3: Ficha técnica para el Ensayo de contacto o aplastamiento de placas de acero ...... 174
Anexo 4: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero ................. 175
Anexo 5: Tablas para especificaciones de pernos de acero ................................................... 176
Anexo 6: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera
................................................................................................................................................ 179
Anexo 7: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas – cuatro
puntos ..................................................................................................................................... 181
Anexo 8: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos ............. 183
Anexo 9: Ficha técnica para el Ensayo a flexión en vigas de madera semi - empotradas. .... 186
Anexo 10: Ficha técnica para el Ensayo de la carga crítica y pandeo de columnas .............. 188
Anexo 11: Programación en Matlab ...................................................................................... 189
Jerves Córdova, Guachún Suco. xvi
ELABORACIÓN DE GUÍAS METODOLÓGICAS PARA ENSAYOS DE
LABORATORIO DE LA ASIGNATURA DE RESISTENCIA DE MATERIALES DE
LA UNIVERSIDAD DEL AZUAY
RESUMEN
En el presente trabajo de titulación, se desarrollaron guías metodológicas para ensayos de
laboratorio de la cátedra de Resistencia de Materiales, que pueden ser realizados en el
laboratorio de Ingeniería Civil de la Universidad del Azuay; las cuales brindan tanto a
catedráticos como a estudiantes la facilidad de realizar cada uno de los diferentes ensayos, esto
con ayuda del equipo disponible en el laboratorio. Cada ensayo está documentado
fotográficamente y empleando las normativas que puedan aplicarse a los mismos, como lo son
la ASTM, SAE, CTE y NEC. Así también, se proporciona fichas de laboratorio adecuados para
cada uno de los ensayos.
Palabras clave: Resistencia de Materiales, guía metodológica, normativa, ensayos, fichas.
__________________________________ _______________________________
Ing. Esteban Cabrera Vélez Ing. José Fernando Vázquez Calero
Director del Trabajo de titulación Director de Escuela
______________________________ __________________________
David Jerves Córdova. Jonnathan Guachún Suco.
Autores
.
Jerves Córdova, Guachún Suco. xvii
ELABORATION OF METHODOLOGICAL GUIDES FOR THE STRENTH OF
MATERIALS LABORATORY TESTS AT UNIVERSIDAD DEL AZUAY
ABSTRACT
In the present research, methodological guides for laboratory tests regarding the Chair of
Strength of Materials were developed. The guides were carried out at the Civil Engineering
laboratory of the University of Azuay to facilitate both professors and students the performance
of different tests with the help of the equipment available in the laboratory. Each trial was
photographically documented and smeared the regulations that should be applied, such as
ASTM, SAE, CTE and NEC. This investigation also used laboratory cards, which were
provided for each of the tests.
Keywords: Materials Resistance, methodological guide, regulations, tests, cards.
__________________________________ _______________________________
Ing. Esteban Cabrera Vélez. Ing. José Fernando Vázquez Calero.
Thesis Director Faculty Director
______________________________ __________________________
David Jerves Córdova. Jonnathan Guachún Suco.
Authors
Translated by
David Jerves and Jonnathan Guachún.
Jerves Córdova, Guachún Suco. xviii
Jerves Córdova, Guachún Suco. 1
CAPÍTULO 1
1. GENERALIDADES
Justificación
La Resistencia de Materiales es una asignatura que se imparte en la Facultad de Ciencia y
Tecnología, obligatoria para las carreras de Ingeniería Civil y Gerencia de Construcciones, e
Ingeniería de Producción y Operaciones. La asignatura es fundamental para establecer las bases
de conceptos usados para el análisis y diseño de elementos y estructuras, ya que en esta se
estudian los conceptos de esfuerzo axial, esfuerzo cortante, momento flector y deformación en
vigas, esfuerzos combinados, pandeo de columnas, etc.
Si bien los conocimientos desarrollados son importantes, la enseñanza actual de dicha
asignatura en la carrera de Ingeniería Civil y Gerencia de Construcciones, se limita a
consideraciones teóricas. Actualmente, no se cuenta con una parte experimental en donde el
estudiante pueda reforzar los conceptos adquiridos en clase, además, poder comparar resultados
analíticos aprendidos con resultados experimentales realizados en laboratorio, y así, comprobar
efectivamente las técnicas aprendidas.
Con el fin de reforzar los conceptos teóricos de la asignatura de Resistencia de Materiales,
es necesario que los alumnos realicen prácticas de laboratorio de algunos temas que se imparten
en la asignatura, ellos podrían realizar la práctica, pero esto no garantiza que la misma culmine
con un buen resultado, ya que muchas veces el estudiante omite ciertos procedimientos que
son claves a la hora de obtener resultados confiables, los cuales permitan conocer las
características mecánicas del material y compararlos con resultados analíticos. Todo esto
debido a que no existen guías y fichas metodológicas en las que se explique con detalle la
correcta ejecución de cada una de las prácticas que abordan el estudio de la Resistencia de
Materiales. Por tal motivo, este trabajo se basa en el desarrollo de guías metodológicas y fichas
Jerves Córdova, Guachún Suco. 2
técnicas, que facilitan a los estudiantes y catedráticos de la asignatura de Resistencia de
Materiales a poder aplicar de los conceptos teóricos impartidos en las aulas de clase.
Objetivos
1.2.1 Objetivo general
Elaborar una guía metodológica para cada uno de los diferentes ensayos de laboratorio
concernientes a la asignatura de Resistencia de Materiales.
1.2.2 Objetivos específicos
• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a tracción del acero.
• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a compresión de la madera.
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset.
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en pernos.
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en la madera - paralelo a la fibra.
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos.
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos.
• Describir y realizar el ensayo de deflexión en vigas de madera semi - empotradas.
• Describir y realizar el ensayo de carga crítica y pandeo en columnas.
Estado del arte
A lo largo de la historia, desde los inicios de la humanidad las personas han buscado la
comodidad para la ejecución de tareas y la de salvaguardar su vida. Por lo que el hombre se ha
visto en la necesidad de elaborar máquinas que faciliten su vida diaria y la construcción de
viviendas que le protejan ante los peligros de la naturaleza. Las máquinas simples como: plano
inclinado, poleas, tornillos y cuñas fueron unas de las primeras en ser creadas y las cuales
sirvieron para la construcción de estructuras antiguas que aún en estos días están de pie.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 3
Muchos matemáticos, físicos y científicos en la historia, han realizado estudios y
descubrimientos sobre la mecánica de materiales.
Galileo Galilei (1564-1642) ha aportado de manera significativa a la resistencia de
materiales con su teoría del cálculo del momento último de resistencia de un elemento de
cualquier material a flexión, donde consideraba que la rotura a tracción longitudinal dependía
de la sección y no de la longitud del elemento (Heyman, 2004).
Robert Hooke (1635-1703), en su libro “De potentia restitutiva” de 1679, estableció la ley
que relaciona las fuerzas y deformaciones; para ello utilizó un dispositivo muy sencillo en el
que a un plato se le agrega peso y medía las deformaciones producidas en un resorte. A partir
de este ensayo se puede graficar la variación de la fuerza vs la deformación en el resorte
(Eduardo, Trujillo, & De, 2007).
Jakob Bernoulli (1654-1705) en el año de 1691 realizó de manera analítica el problema de
flexión elástica en vigas, el cual nos dice: el radio de curvatura, en cualquier punto de una viga
inicialmente es recta es inversamente proporcional al valor del momento flector en ese punto.
De igual manera Jakob fue el primero en dar una solución al problema de la forma de una banda
elástica flectada de sección transversal uniforme, el sobrino de Jakob, Daniel Bernoulli (1700-
1782) complementó los estudios realizados por su tío el cual dio una solución más sencilla
obteniendo una ecuación para la forma flectada, el valor de la flecha en el extremo de una viga,
bajo una carga aplicada (Heyman, 2004).
Leonhard Euler (1707-1783) fue uno de los científicos más influyentes en la historia y
contribuyó de manera importante en lo que es Ingeniería Civil, específicamente en la
Resistencia de Materiales, presentando una fórmula para el cálculo de la inestabilidad por
pandeo en piezas prismáticas (Poblet, Ribera, & Ballester, 2009).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 4
Charles Coulomb (1736-1806) aportó de manera significativa al estudio de la Resistencia
de Materiales con el análisis de las tensiones en las fibras de una viga sometida a flexión. De
igual manera determinó la posición de la fibra neutra, estableciendo el equilibrio de fuerzas en
la sección sometida a flexión. Además, introdujo las tensiones cortantes, partiendo del
equilibrio en secciones (Álvarez Sánchez, 2016).
Thomas Young (1773-1829) introdujo la notación del módulo de elasticidad dándole una
definición exacta el cual es la relación entre la tensión aplicada y la deformación unitaria de un
elemento al ser comprimido o traccionado (Álvarez Sánchez, 2016).
Henri Navier (1785-1836) contribuyó a la Resistencia de Materiales con su libro publicado
en 1826, en el que se expone estructuras trabajando en el límite en la que se comportan de
forma perfectamente elástica. La ley de Navier es uno de los resultados de gran importancia ya
que este permite relacionar los esfuerzos de un problema a flexión con las tensiones a la que
está sujeto un sólido (García, 2002).
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CAPÍTULO 2
2. MARCO TEÓRICO
Mecánica de materiales
La Mecánica de Materiales es una rama de la Mecánica aplicada que estudia el
comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diferentes tipos de cargas aplicadas. Su
objetivo es la de determinar los esfuerzos, deformaciones, desplazamientos de las estructuras
y las componentes que surgen debido a las cargas que actúan sobre ellas (Gere & Goodno,
2009, p. 5).
“El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar al futuro
ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras
portadoras de carga” (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek, 2014, p. 2).
La Resistencia de Materiales y la Teoría de Elasticidad son parte fundamental de la
Mecánica de Materiales, ambas son las encargadas del estudio de la Resistencia (Estado de los
esfuerzos) y la Rigidez (Estado de deformaciones) a los cuales puede estar sometido un cuerpo,
por ende, los conceptos de Esfuerzos y Deformación son fundamentales para su desarrollo
(Ruiz & Blanco Díaz, 2015, p. 1).
2.1.1 Teoría de Elasticidad
Estudia la mecánica de los cuerpos sólidos, también considerados como Medios Continuos;
considera que un sólido se puede deformar bajo la acción de cargas aplicadas, es decir, cambian
de forma y volumen, en pequeña o gran medida; lo que depende de la magnitud de la carga
aplicada (Landau & Lifshitz, 1982, p. 1).
“Todos los materiales estructurales presentan un grado de elasticidad, por lo que si las
fuerzas exteriores o cargas que deforman la estructura no rebasan cierto límite, las
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deformaciones desaparecen cuando se eliminan las fuerzas” (Timoshenko & Goodier, 1975, p.
21).
Concepto de sólido
Berrocal (2007), menciona que la Mecánica Teórica considera como indeformables los
cuerpos, ya que se encuentren en estado de reposo o de movimiento. Esta propiedad no es más
que una abstracción, pues no se asemeja a la realidad de cualquier material, sin embargo, es de
mucha utilidad por la comodidad y simplificación que introduce al análisis de los cuerpos o
sólidos (p.3).
Siguiendo este criterio del sólido, se obtiene las tres siguientes consideraciones de los
mismos:
• Sólido rígido: Es aquel cuerpo que, ante cualquier esfuerzo (sin importar su magnitud)
al que esté sometido, la distancia entre dos moléculas cualquiera permanece invariable,
es decir, es indeformable.
• Sólido elástico: Se define como aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma, y
recupera su forma original al eliminar el esfuerzo. A los sólidos elásticos se les supone
tres características como son las de isotropía1, homogeneidad2 y continuidad3.
• Sólido verdadero: Es aquel sólido que resulta de considerarlo como deformable ante
los esfuerzos a los que está sometido, y al mismo tiempo carece de alguna de las
características como isotropía, homogeneidad o continuidad.
1 Se dice que un cuerpo es isótropo cuando sus propiedades físicas no dependen de la dirección
en que se han medido en dicho cuerpo, es decir, sus propiedades son las misma en cualquiera de los ejes del cuerpo
(Berrocal, 2007, p. 4). 2 Se dice que un cuerpo es homogéneo cuando equivale a considerar que una parte arbitraria del mismo posee
idéntica composición y características que otra parte cualesquiera (Berrocal, 2007, p. 4). 3 Un cuerpo tiene continuidad cuando supone que no existen huecos entre partículas ni, por consiguiente,
distancias intersticiales (Berrocal, 2007, p. 4).
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Berrocal (2007), menciona que, la suposición de un sólido rígido no es completamente
cierta, pues a una viga simplemente apoyada y afectada por una carga, jamás sería posible
llegar a la rotura de la misma, porque estaría en contra de lo que realmente sucedería, ya que,
al ir aumentando la carga aplicada, siempre existirá un valor máximo que provocara la rotura
de la viga, a pesar de que las reacciones en los apoyos fuesen lo suficientes para equilibrar la
carga (p.4).
Suponer que un sólido es elástico, representa que algunas de las propiedades como: isotropía
y homogeneidad, suelen estar íntimamente unidas, pues si un cuerpo es elástico en cualquier
dirección, también es de suponer que sea homogéneo, e inversamente. Sin embargo, estas
propiedades no concurren en la mayoría de los materiales, ya sea natural o elaborado. No es
posible que se dé un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones, debido a
la distribución de sus átomos o moléculas (Berrocal, 2007, p. 4).
Tampoco existe la homogeneidad perfecta, puesto que en la materia existen espacios entre
las moléculas y entre los átomos que la componen, no obstante, la consideración de sólido
continuo es bastante útil, pues permite que cuando existe una deformación debida a una fuerza
aplicada a las moléculas del sólido, el esfuerzo sea absorbido en parte por las moléculas
próximas y de esta forma queda repartido de forma continua y apta para el cálculo (Berrocal,
2007, p. 4).
Finalmente Berrocal (2007), asegura que la mayoría de los cuerpos son sólidos verdaderos,
ya que son deformables ante los esfuerzos y carecen de las características que poseen los
sólidos elásticos. Pero para efectos de cálculo, se los considerarán como sólidos elásticos, es
decir que, si microscópicamente no se cumplen las hipótesis de elasticidad, se está cumpliendo
macroscópicamente, pues los resultados que se obtienen quedan demostrados por la
experimentación y experiencia. Es así que, cuando falte la homogeneidad en un sólido, se
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considere la existencia de varios sólidos elásticos dentro del mismo, cada uno de los cuales
estará compuesto por zonas que posean perfecta homogeneidad, y así aplicarles las
consideraciones teóricas que hagamos para los sólidos elásticos en general (p. 5).
Equilibrio de un cuerpo deformable
2.3.1 Cargas externas
Un cuerpo puede estar sometido a dos tipos de cargas o fuerzas, como son: las fuerzas de
superficie y/o las fuerzas de cuerpo.
Fuerzas de superficie
Las Fuerzas de superficie son causadas por el contacto directo en la superficie de un cuerpo
con otro, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos en contacto.
Hibbeler (2011) en su libro dice, si el área de contacto es pequeña a comparación de la
superficie del cuerpo, entonces esta fuerza se puede idealizarse como una sola fuerza
concentrada. En otro caso, si la carga de la superficie se aplica a lo largo de una sección
estrecha, la carga se puede idealizar como una carga distribuida.
Fuerzas de cuerpo
Una fuerza de cuerpo se produce cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, sin
que exista contacto físico directo entre ambos, por ejemplo: el efecto causado por la gravitación
del planeta o por su campo electromagnético.
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2.3.2 Reacciones en los apoyos o soportes
Hibbeler (2011) menciona que, las fuerzas de superficie que se desarrollan en los apoyos o
puntos de contacto entre los cuerpos, se llaman reacciones. En la Tabla 2.1 se puede apreciar
los soportes más comunes para problemas bidimensionales, como lo son los cuerpos sometidos
a sistemas de fuerzas coplanares (p. 5).
Tabla 2.1
Reacciones para diferentes tipos de apoyos.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Y como regla general, Hibbeler (2011) asegura, “Si el soporte impide la traslación en una
dirección dada, entonces debe desarrollarse una fuerza sobre el elemento en esa dirección. Del
mismo modo, si se impide la rotación, debe ejercerse un momento sobre el elemento” (p. 5).
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2.3.3 Cargas internas resultantes
Para el análisis de cargas internas, se considera el sólido con un sistema de fuerzas externas
como se muestra en la Figura 2.1a. Se determina la resultante de las fuerzas aplicadas para
conocer si el sólido se encuentra o no en equilibrio, si la resultante es nula entonces existe
equilibrio estático, si la resultante es diferente de cero e introduciendo en el sistema las fuerzas
de inercia correspondiente, se obtiene un sistema en equilibrio dinámico (Pytel & Singer, 2008,
p. 3).
Figura 2.1: Sección de exploración a-a de un sólido sometido a un sistema de fuerzas externas.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Para el análisis de las cargas internas resultantes es necesario hacer un corte ideal imaginario
en el cuerpo por una sección de exploración a-a (Figura 2.1b), buscando que las fuerzas
internas actúen sobre esta sección. Así se busca mantener el equilibrio del cuerpo en cada una
de las dos partes en las que se ha dividido el sólido, Figura 2.1c. Esas fuerzas representan los
efectos internos de las fuerzas de la parte exterior del cuerpo que actúan sobre el material (Pytel
& Singer, 2008, p. 2).
Aunque, la distribución exacta de las cargas internas puede ser desconocida, puede usarse
las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas con las fuerzas internas. En
general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultante, las cuales se
denominan como: FR y MRO, Figura 2.1c (Hibbeler, 2011, p. 8).
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Figura 2.2: Componentes internos: Normal, Cortante y Momento en la sección de exploración a-a.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide de la sección.
Si el eje x es normal a la sección de corte (comúnmente denominado Sección Transversal), se
denomina superficie x o cara x. La orientación de los ejes z e y en el plano de la sección se
suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma Figura 2.2.
Según el plano en el que actúa la carga (con respecto a la sección a-a), se puede analizar y
calcular su efecto sobre el material. Dependiendo del plano en el que se encuentran la cargas,
se puede obtener las siguientes fuerzas (Pytel & Singer, 2008, p. 3).
• Fuerza normal (N): Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Se desarrolla siempre
que las cargas externas tienden a empujar o jalar sobre los dos segmentos del cuerpo,
Figura 2.2.
• Fuerza cortante, (V): La fuerza cortante se encuentra tangente al plano del área y se
desarrolla cuando las cargas externas tiendan a ocasionar que los dos segmentos del
cuerpo se deslicen uno sobre el otro, Figura 2.2.
• Momento flector, (M): El momento flector es causado por las cargas externas que
tienden a flexionar o deformar el cuerpo perpendicularmente a un eje que se encuentra
dentro de la sección transversal, Figura 2.2.
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Como se puede observar en la Figura 2.3, el sistema se analiza en dos dimensiones usando
como referencia la sección de corte a-a, de esta manera también se puede analizar las fuerzas
internas como un sistema bidimensional Figura 2.3b. Es importante recalcar que el centroide
de la sección transversal, es considerado como el eje de la figura y se denotado por la letra O,
lo que facilita el trabajo para el análisis del sistema (Hibbeler, 2011, p. 8).
Figura 2.3: Componentes internas en la sección de exploración.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Esfuerzo
El esfuerzo es una fuerza por unidad de área, es decir, es la intensidad de las fuerzas internas
distribuidas a través de la sección de un sólido (Beer et al., 2014, p. 5).
2.4.1 Esfuerzo normal
Hibbeler (2011), describe el esfuerzo normal como la intensidad de la fuerza normal N que
actúa en forma perpendicular al área transversal A de un elemento sometido a una carga axial
(Figura 2.3b). Se denota por la letra griega sigma (𝜎), y se obtiene al dividir la magnitud de la
carga N (aplicada en el centroide de la sección) entre el área A de la sección transversal del
elemento (p. 23), Ecuación 2.1.
𝜎 =𝑁
𝐴
Ecuación 2.1
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Donde:
𝜎 = Esfuerzo normal o fuerza por unidad de área.
𝑁 = Carga o fuerza normal aplicada en el centroide de la sección A.
𝐴 = Área de sección transversal.
Cuando el elemento o sólido es estirado por la carga N, el esfuerzo es un esfuerzo de
tracción; si se invierte la dirección de la carga, la barra se comprime y obtenemos un esfuerzo
de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie
de corte, se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de
tensión o de compresión (Gere & Goodno, 2009, p. 8).
2.4.2 Esfuerzo Cortante
El esfuerzo cortante (Ecuación 2.2) es la intensidad de la fuerza V que actúa en forma
tangente a la sección transversal A del elemento (Figura 2.3b), se denota por la letra griega tau
(𝜏) y se obtiene al dividir la magnitud V de la carga tangencial aplicada y el área A de la sección
del elemento (Hibbeler, 2011, p. 23).
𝜏 =𝑉
𝐴
Ecuación 2.2
Donde:
𝜏 = Esfuerzo normal o fuerza por unidad de área.
V = Carga aplicada tangente a la sección transversal.
𝐴 = Área de sección transversal.
2.4.3 Esfuerzo de Contacto o Aplastamiento
Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de
contacto de los elementos que conectan. El perno ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y
opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el perno Figura 2.4a (Beer et al., 2014, p. 11).
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Figura 2.4: Diagrama de cuerpo libre entre placa y perno.
Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).
La presión del perno contra las paredes del orificio no es constante, pues varía desde cero
en los puntos que no existe contacto (laterales), hasta un máximo en el centro de la pared
apoyada (Pytel & Singer, 2008, p. 16).
La fuerza Pb representa la resultante de las fuerzas distribuidas en la superficie interior de
un medio cilindro de diámetro d y espesor t (Figura 2.4b). Como la distribución de estas fuerzas
y de los esfuerzos son muy complicados de obtener, entonces se utiliza un valor nominal
promedio 𝜎𝑏 para el esfuerzo, llamado esfuerzo de contacto, (Ecuación 2.3) (Beer et al., 2014,
p. 11).
𝜎𝑏 = 𝑃𝑏
𝐴𝑏=
𝑃𝑏
𝑡 ∗ 𝑑
Ecuación 2.3
Donde:
𝜎𝑏= Esfuerzo de contacto o aplastamiento.
𝑃𝑏= Carga de aplastamiento.
𝐴𝑏= Área de contacto.
t= Espesor de la placa.
d= Diámetro del orificio del perno o remache.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 15
Deformación
Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, esta tiende a cambiar el tamaño y la forma del
mismo. Por ejemplo, una barra recta cambiará su longitud al cargarla axialmente, haciéndose
más larga en tensión y más corta en compresión. Estos cambios se conocen como deformación,
la cual puede ser visible a simple vista o casi imperceptible (Hibbeler, 2011, p. 65).
En general la deformación de un cuerpo no será uniforme en todo su volumen, por lo que el
cambio de geometría de cualquier segmento de línea del cuerpo puede variar de forma
considerable a lo largo de su longitud Figura 2.5. Por tanto para estudiar los cambios por
deformación se considera que el cuerpo mantiene una deformación homogénea a lo largo de
toda la línea del cuerpo (Hibbeler, 2011, p. 65).
Figura 2.5: Deformación longitudinal y transversal de una membrana de goma.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 16
2.5.1 Deformación unitaria
El alargamiento o cambio de longitud de una barra debido a una carga P (Figura 2.6a) se
denotada por la letra griega delta (𝛿) y es el resultado acumulativo del alargamiento de todos
los elementos del material en todo el volumen de la barra.
Figura 2.6: Segmento de barra prismática en tensión.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
Se denomina alargamiento por unidad de longitud o deformación unitaria al cambio de
longitud delta (𝛿) divido para la longitud original o inicial, se denota con la letra griega épsilon
(휀), (Ecuación 2.4) (Gere & Goodno, 2009, p. 10).
휀 =𝛿
𝐿
Ecuación 2.4
Donde:
휀 = Deformación unitaria.
𝛿 = Alargamiento o desplazamiento.
𝐿 = Longitud total.
Propiedades mecánicas de los materiales
La resistencia de un material depende de su capacidad para resistir grandes magnitudes de
cargas, sin presentar deformación o falla. Esta propiedad es inherente al propio material y debe
Jerves Córdova, Guachún Suco. 17
determinarse mediante la experimentación. Las pruebas más importantes respecto a este son
los ensayos de tracción y compresión, a partir de estos ensayos se podrá determinar
principalmente la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria (Hibbeler, 2011, p. 81).
2.6.1 Diagrama esfuerzo – deformación unitaria
Los resultados de los ensayos de laboratorio, por lo general dependen de las dimensiones de
las muestras que se ensayan. Como es poco probable diseñar una estructura que tenga partes
con el mismo tamaño que las muestras para ensayo, es necesario expresar los resultados en una
forma general para cualquier tamaño. Para lograr este objetivo se transforma los resultados de
los ensayos en esfuerzos y deformaciones unitarias (Gere & Goodno, 2009, p. 16).
Para lograr el ensayo de un material, en este caso un material metálico, se debe obtener los
datos de la carga y la deformación correspondiente, los mismos que se utilizan para calcular
distintos valores del esfuerzo y las correspondientes deformaciones en la muestra. La
representación gráfica de los resultados produce una curva llamada diagrama esfuerzo-
deformación (Hibbeler, 2011, p. 83).
El esfuerzo axial (sigma) en una muestra ensayada a tracción se calcula dividiendo la carga
axial entre el área de la sección transversal (Ecuación 2.1). Cuando se utiliza el área inicial de
la muestra en todo el proceso de cálculo del ensayo, el esfuerzo se denomina esfuerzo nominal4.
En otro caso, para obtener un valor más exacto del esfuerzo axial, se utiliza el área real de la
muestra a ensayar en la sección transversal donde ocurre la falla, este esfuerzo es denominado
esfuerzo real5. Como el área real en un ensayo de tracción siempre es menor que el área inicial
4 Esfuerzo nominal: También conocido como esfuerzo convencional o esfuerzo ingenieril, se obtiene al aplicar
una carga sobre una sección que se considera constante. 5 Esfuerzo real: Se obtiene al aplicar una carga sobre una sección que se considera variable conforme se aplica la
carga.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 18
(Figura 2.5), el esfuerzo real es mayor que el esfuerzo nominal. Es por eso que existen dos
maneras de describir los diagramas esfuerzo-deformación (Gere & Goodno, 2009, p. 16).
Diagrama esfuerzo-deformación convencional
Se puede determinar el esfuerzo nominal (Ecuación 2.5), al dividir la carga aplicada P entre
el área 𝐴0 de la sección transversal original de la probeta. En este cálculo se supone que el
esfuerzo es constante en la sección trasversal y en toda la longitud calibrada6 (Hibbeler, 2011,
p. 83).
𝜎 =𝑃
𝐴0
Ecuación 2.5
Del mismo modo, la deformación nominal se determina al dividir el cambio de delta (δ)
entre la longitud calibrada original L. Así se supone que la deformación es constante a lo largo
de la región (Hibbeler, 2011, p. 83).
Diagrama esfuerzo-deformación verdadero o real
En lugar de emplear el área original de la sección trasversal de la probeta para calcular el
esfuerzo, se podría utilizar el área real de la probeta en la sección transversal donde ocurre la
falla. Los valores de esfuerzo y deformación encontrados en estas mediciones, se denominan
esfuerzo verdadero y deformación verdadera y una gráfica de sus valores se llama diagrama
de esfuerzo-deformación verdadero o real (Hibbeler, 2011, p. 85).
6 Calibrar: En un ensayo es el proceso de comparar los valores obtenidos por un instrumento de medición con la
medida correspondiente de un patrón de referencia (o estándar) de la muestra.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 19
2.6.2 Características de la curva esfuerzo-deformación del acero
Para describir el diagrama de un material obtenido en un ensayo a tracción, se utilizará el
acero como ejemplo, un material que se usa frecuentemente para fabricar elementos
estructurales y mecánicos. A partir de esta curva (Figura 2.7) se pueden identificar cuatro
diferentes formas de comportamiento del material, aquellos están en función de la deformación
inducida.
Figura 2.7: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un acero estructural en tensión (sin escala)
Fuente: Adaptado de (Gere & Goodno, 2009).
Comportamiento elástico
El comportamiento elástico se produce cuando el esfuerzo es proporcional a la deformación
Figura 2.7, va del punto de origen O hasta el punto A, aquí la curva es en general una línea
recta en la mayor parte de la región (Hibbeler, 2011, p. 84).
El esfuerzo en el punto A se le conoce como límite de proporcionalidad. Si el esfuerzo
excede ligeramente el límite de proporcionalidad, la curva tiende a doblarse y aplanarse, esto
sucede hasta que el esfuerzo alcanza el límite elástico, denotado en el punto B en la Figura 2.7.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 20
En este punto si se retira la carga, la probeta puede recuperar su estado inicial. La pendiente de
la recta (del punto O al A) se denomina Módulo de Elasticidad (Hibbeler, 2011, p. 84).
Cedencia o fluencia
Un ligero aumento en el esfuerzo por encima del límite elástico como se observa en la Figura
2.7 en el punto B, generará un rompimiento del material a nivel molecular, es decir, la estructura
interna del material pierde estabilidad, lo que ocasionará que este se deforme de manera
permanente. Este comportamiento se denomina cedencia o fluencia y está indicado por la
región adyacente a la región elástica de la curva (del punto B al C). El esfuerzo que causa la
cedencia se llama esfuerzo de fluencia o punto de cedencia (punto B), y la deformación que se
produce se denomina deformación plástica. En esta región de B a C el material se vuelve
perfectamente plástico, es decir, presenta deformaciones permanentes (Hibbeler, 2011, p. 84).
Endurecimiento por deformación
Hibbeler, (2011) asegura que, cuando termina la cedencia, la probeta puede soportar un
aumento de la carga, lo que resulta en una curva que asciende continuamente pero que se vuelve
más plana hasta llegar a un esfuerzo máximo conocido como esfuerzo límite. Este incremento
en la curva se llama endurecimiento por deformación y se identifica en la Figura 2.7, entre los
puntos C al D. al final llega a su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (punto D) se
denomina esfuerzo último (p. 85).
Estricción
Mientras la probeta se alarga hasta llegar al esfuerzo último, el área de su sección transversal
sufre una contracción lateral. Esta reducción es bastante uniforme en toda la longitud de la
probeta. En consecuencia, suele formarse una constricción o cuello en dicha región a medida
que la probeta se alarga más allá del punto de esfuerzo último (Figura 2.8), lo que ocasiona una
alteración en la forma de la curva. En esta región, si se emplea el área original de la probeta, el
diagrama esfuerzo-deformación tiende a curvarse hacia abajo (del punto D al E), hasta que la
Jerves Córdova, Guachún Suco. 21
probeta se rompe en el esfuerzo de fractura (punto E), como se muestra en la Figura 2.7
(Hibbeler, 2011, p. 85).
Figura 2.8: Estricción de una barra de acero dulce en tensión.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
Si se emplea el área real de la sección transversal en la parte angosta de la estricción para
calcular el esfuerzo, se obtiene la curva verdadera esfuerzo-deformación (línea discontinua
CE´ en la Figura 2.7). La carga total que la barra puede soportar disminuye después de que se
alcanza el esfuerzo último (como lo muestra la curva DE), pero esta reducción se debe a la
disminución del área de la barra y no a una pérdida de resistencia del material. En realidad, el
material soporta un aumento en el esfuerzo verdadero hasta la falla (punto E´).
Gere & Goodno, (2009) menciona lo siguiente, cómo se espera que la mayoría de las
estructuras trabajen a esfuerzos menores que el límite de proporcionalidad, la curva
convencional esfuerzo-deformación unitaria OABCDE (Figura 2.7), que se basa en el área
original de la sección transversal de la muestra, es de gran utilidad pues es fácil de determinar
y proporciona la información adecuada para utilizarla en el diseño de ingeniería (p. 20).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 22
2.6.3 Comportamiento de los materiales dúctiles y frágiles según sus características
esfuerzo-deformación
Materiales dúctiles
Cualquier material que pueda someterse a grandes deformaciones antes de fracturarse se
denomina material dúctil. Por ejemplo, el acero de bajo carbono es un material dúctil, pues son
capaces de absorber la energía de los impactos, y si se sobrecargan, presentan grandes
deformaciones antes de su fractura (Hibbeler, 2011, p. 97).
Hibbeler (2011), menciona que, una manera de especificar la ductilidad de un material es
registrar su porcentaje de elongación o porcentaje de reducción en el área de la sección al
momento de la fractura, estos valores se obtienen en pruebas de laboratorio, específicamente
en los ensayos de tracción aplicados a probetas estandarizadas.
El porcentaje de elongación es la deformación a la fractura expresada en porcentaje como
se puede apreciar.
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝐿𝑓 − 𝐿0
𝐿0∗ 100
Ecuación 2.6
Donde:
𝐿0= Longitud calibrada original de la probeta.
𝐿𝑓 = Longitud de fractura.
Otra manera de especificar la ductilidad es el porcentaje de reducción de área. Está definida
dentro de la región de estricción como:
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 =𝐴𝑓 − 𝐴0
𝐴0∗ 100
Ecuación 2.7
Donde:
𝐴0= Área original de la sección transversal de la probeta.
𝐴𝑓 = Área del cuello de la probeta en el momento de la rotura.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 23
Además del acero, existen diferentes metales que presentan características dúctiles
similares. Sin embargo, en la mayoría de los metales la cedencia constante no se producirá más
allá del rango elástico. Para poder definir una resistencia a la cedencia de un material metálico,
existe un procedimiento gráfico denominado Método de corrimiento. Este método por lo
general elige una deformación de 0.2 por ciento y desde este punto sobre el eje 휀 (deformación
unitaria) se dibuja una línea paralela a la porción inicial recta del diagrama esfuerzo-
deformación del material. El punto donde esta línea interseca a la curva, define la resistencia a
la cedencia. En la Figura 2.9 se observa un ejemplo para determinar la resistencia a la cedencia
de una aleación (Hibbeler, 2011, p. 87).
Figura 2.9: Ejemplo de la construcción de una gráfica (línea continua) para determinar la resistencia a la
cedencia de una aleación de aluminio.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Hibbeler (2011), asegura que, la resistencia a la cedencia no es una propiedad física del
material, ya que se trata de un esfuerzo que causa una deformación permanente en dicho
material. Sin embargo, para fines de aprendizaje se asume que la resistencia a la cedencia, el
punto de cedencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad coinciden en la curva
esfuerzo deformación (p. 87).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 24
Fractura dúctil en los metales
Smith & Hashemi (2006) asegura que, la fractura dúctil de un metal tiene lugar después de
una intensa deformación plástica. Este resultado se lo obtiene en ensayos donde se prueba la
fractura dúctil de una probeta cilíndrica. Si se aplica una fuerza a la probeta tal que exceda su
resistencia máxima a la tracción, y si se mantiene suficiente tiempo la fuerza, la probeta se
fracturará. En este ensayo se puede reconocerse tres etapas en el fenómeno de fractura dúctil:
1) La muestra presenta una estricción y se forman cavidades en la zona de estricción (Figura
2.10a y Figura 2.10b).
2) Las cavidades formadas se juntan generando una fisura en el centro de la probeta que se
propaga hacia la superficie de la misma y en dirección perpendicular al esfuerzo aplicado
(Figura 2.10c).
3) Cuando la fisura se aproxima a la superficie, la dirección de la misma cambia a 45°
respecto al eje de la tracción (Figura 2.10d y Figura 2.10e) y se genera una fractura del
tipo cono y copa (Figura 2.11).
Figura 2.10: Etapas de formación de una fractura dúctil
de copa y cono.
Figura 2.11: Fractura dúctil (copa y cono).
Fuente: (Smith & Hashemi, 2006). Fuente: (Smith & Hashemi, 2006).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 25
En la práctica, las fracturas dúctiles son menos frecuentes que las frágiles, y su principal
causa es el exceso de carga aplicado al componente. Estas podrían ocurrir como resultado de:
un diseño inadecuado, lo que incluye a la selección de materiales; fabricación inadecuada y
abuso del material, es decir, el material se emplea a niveles de carga que exceden lo permitido
por el diseñador (Smith & Hashemi, 2006, p. 322).
Materiales frágiles
Los materiales que no presentan cedencia o ductilidad, o que presentan una muy pequeña
antes de la fractura se conocen como materiales frágiles. Por ejemplo, el hierro fundido gris
tiene un diagrama de esfuerzo-deformación en tracción como el mostrado en la porción AB de
la Figura 2.12. Aquí, la fractura en 𝜎𝑓 tuvo lugar inicialmente en una imperfección o grieta para
luego propagarse a través de la probeta, Figura 2.14. Como la aparición de grietas en materiales
sometidos a fuerzas externas es bastante aleatoria, no se puede obtener un esfuerzo de fractura
a la tracción bien definido. Pero generalmente se puede reportar el esfuerzo de fractura a la
tracción promedio de un conjunto de ensayos para un material en concreto (Hibbeler, 2011, p.
89).
Figura 2.12: Diagrama esfuerzo-deformación para el hierro fundido gris.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
En comparación con su comportamiento en tensión, los materiales frágiles como el hierro
fundido gris presentan una resistencia mucho mayor a la compresión axial, como se puede
Jerves Córdova, Guachún Suco. 26
observar en la porción AC de la curva, Figura 2.12. Para este caso, cualquier grieta o
imperfección en la probeta tiende a cerrarse y, a medida que la carga aumenta, el material suele
expandirse o tomar forma de barril mientras las deformaciones se vuelven mayores, Figura
2.13.
Figura 2.13: Falla frágil a tracción y compresión de una probeta.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Fractura frágil en los metales
Gran variedad de metales y aleaciones se fracturan de forma frágil con muy poca
deformación plástica. En la Figura 2.14 se muestra una probeta que falló en forma frágil ante
un esfuerzo a tracción. Al compararla con la Figura 2.11, se observa marcadas diferencias entre
las fracturas dúctil y frágil.
La fractura frágil suele avanzar a lo largo de los planos cristalográficos llamados planos de
exfoliación7 bajo un esfuerzo normal al plano de exfoliación. Se cree que la fractura frágil en
los metales, tiene lugar en tres etapas (Smith & Hashemi, 2006, p. 328):
• La deformación plástica concentra las dislocaciones8 a lo largo de los planos de
deslizamiento en los obstáculos.
7 Exfoliación: Es un tipo de daño debido a la difusión de hidrógeno atómico dentro de los poros internos en
un metal, lo que crea una alta presión interna que produce rotura (Smith & Hashemi, 2006). 8 Dislocación: es una imperfección en la red cristalina del material (forma y geometría), cuyo defecto es de línea
o de una dimensión (Smith & Hashemi, 2006, p. 117).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 27
• El esfuerzo cortante se acumula en los lugares donde las dislocaciones están bloqueadas
y como resultado se nuclean micro fisuras.
• Un esfuerzo posterior propaga las micro fisuras y la energía de deformación elástica
almacenada puede contribuir a la propagación de las mismas.
En muchos casos, las fracturas frágiles ocurren debido a la existencia de defectos en el metal,
los mismos que se forman durante la etapa de fabricación o aparecen durante el desempeño.
Pueden formarse defectos indeseables durante las operaciones de manufactura como el forjado,
laminado, extrusión y colado. Con frecuencia las fisuras por fatiga, la fragilidad del material
debido al hidrógeno atómico y el daño causado por la corrosión dan por resultado una fractura
frágil (Smith & Hashemi, 2006, p. 329).
Figura 2.14: Fractura frágil de una aleación metálica que muestra surcos radiales que emanan del centro del
espécimen.
Fuente: (Smith & Hashemi, 2006).
2.6.4 Ley de Hooke
Gere (2009), señala que, la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una
barra en tensión o compresión se expresa por:
𝜎 = 𝐸 ∗ 휀 Ecuación 2.8
Donde:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 28
σ = Esfuerzo axial.
E = Constante de proporcionalidad o Módulo de elasticidad del material.
휀 = Deformación unitaria axial.
El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación unitaria en la
región triangular linealmente elástica (Figura 2.7). Como la deformación unitaria es
adimensional, las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo (Gere & Goodno, 2009,
p. 27).
La Ecuación 2.8 se conoce como Ley de Hooke, nombrada en honor del famoso científico
inglés Robert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona que investigó científicamente
las propiedades elásticas de los materiales y probó varios de ellos como: metal, madera, piedra,
hueso y tendones. Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y
observó que los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí, de acuerdo
con los pesos que los causaron”. Así, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas
aplicadas y los alargamientos resultantes (Gere & Goodno, 2009, p. 27).
2.6.5 Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales
Los puntos más importantes en una curva esfuerzo-deformación unitaria típica para el acero
son: el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo último
y el esfuerzo de fractura, (Figura 2.7). Muchos materiales y sus respectivas curvas no exhiben
estos valores de forma apreciable, por ejemplo; muchos metales como aceros de alta
resistencia, aluminio y titanio no presentan un punto de cedencia bien definido. No obstante,
estos materiales en realidad si ceden, es decir, presentan una cantidad de deformación
apreciable antes de que se fracture. Debido a esto, con frecuencia se representa la curva
esfuerzo-deformación unitaria real de un material mediante una curva idealizada esfuerzo-
Jerves Córdova, Guachún Suco. 29
deformación unitaria que se puede expresar como una función matemática y permita identificar
los puntos más significativos.
Algunos ejemplos de idealización de curvas esfuerzo – deformación unitaria para diferentes
materiales se muestra en la Figura 2.15, los cuales pueden ser obtenidos por el Método de
corrimiento descrito en la sección 2.6.3 (Materiales dúctiles).
Figura 2.15: Tipos de comportamiento idealizado del material.
Fuente: Adaptado de (Gere & Goodno, 2009).
El primer diagrama (Figura 2.15a) consiste en dos partes, una primera región linealmente
elástica definida por una recta, seguida de una región no lineal definida por una expresión
matemática (Figura 2.15a) (Gere & Goodno, 2009, p. 170).
En la segunda gráfica (Figura 2.15b), se utiliza una función matemática para toda la curva
esfuerzo-deformación unitaria. Este tipo de expresión es conocido como la ley esfuerzo-
deformación unitaria de Ramberg - Osgood (consultar el texto citado) (Gere & Goodno, 2009,
p. 173).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 30
En la Figura 2.15c representa el diagrama idealizado esfuerzo-deformación unitaria para el
acero estructural. El acero tiene una región linealmente elástica seguida de una región de
fluencia (Figura 2.7), por lo cual su comportamiento se puede representar mediante dos líneas
rectas. La región triangular sigue la ley de Hooke hasta el esfuerzo de fluencia 𝜎𝑦. Seguido a
la región triangular está la región rectangular donde el acero fluye ante un esfuerzo constante,
este último comportamiento se conoce como plasticidad perfecta. Un material que tiene un
diagrama esfuerzo- deformación unitaria de este tipo se denomina material elastoplástico o
elástico-plástico (Gere & Goodno, 2009, p. 170).
En la Figura 2.15d se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria formado por dos
rectas con pendientes diferentes, se denomina diagrama bilineal esfuerzo-deformación unitaria.
Este diagrama idealizado se puede utilizar para representar materiales con endurecimiento por
deformación o para obtener una aproximación a diagramas con las formas no lineales generales
que se muestran en las Figura 2.15a y Figura 2.15b. Observe que la primera parte del diagrama
la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria es lineal, por lo que el esfuerzo es
proporcional a la deformación unitaria (ley de Hooke) (Gere & Goodno, 2009, p. 170).
Vigas
Los elementos estructurales suelen clasificarse según los tipos de cargas que soportan. Una
barra cargada axialmente soporta fuerzas con sus vectores dirigidos a lo largo del eje
longitudinal y una barra en torsión soporta pares del mismo, que tienen sus vectores momentos
dirigidos a lo largo del eje. Otro tipo de elementos estructurales son las vigas (Figura 2.16),
que son elementos estructurales sometidos a cargas laterales, es decir, fuerzas o momentos que
tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra (Gere & Goodno, 2009, p. 306).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 31
Figura 2.16: Vigas sometidas a cargas laterales y la deflexión producida.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
Las vigas que se muestran en la Figura 2.16 se clasifican como estructuras planares, debido
a que se encuentran en un solo plano. Al referirnos a estructuras planares también hacemos
referencia al plano en el que actúan estas fuerzas. Si todas las cargas actúan en ese mismo plano
y, si todas las deflexiones (deformaciones indicadas por las líneas discontinuas Figura 2.16)
también ocurren en ese plano, este se denomina plano de flexión, (Gere & Goodno, 2009, p.
306).
2.7.1 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes
Cuando una viga se carga con fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y deformaciones en
todo su interior. Para determinarlos, primero debemos encontrar las fuerzas internas y los pares
internos que actúan sobre las secciones transversales de la viga. Para determinar estos valores,
consideraremos una viga en voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre Figura
2.17a. Cortamos a través de la viga en una sección transversal mn ubicada a una distancia x del
extremo libre y aislamos la parte izquierda como un diagrama de cuerpo libre (Figura 2.17b).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 32
Figura 2.17: Diagrama de cuerpo libre para una viga seccionada.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
El diagrama de cuerpo libre se mantiene en equilibrio por la fuerza P y por las fuerzas que
actúan sobre la sección transversal cortada. Estas fuerzas representan la acción de la parte
derecha de la viga sobre la parte izquierda. En este punto no conocemos la distribución de los
esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; solo se conoce que la resultante de dichos
esfuerzos debe mantener el equilibrio del cuerpo libre.
La resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal se puede reducir a una
fuerza cortante V y a un momento flexionante M. Como la carga P es transversal al eje de la
viga, no existe fuerza axial en la sección transversal. La fuerza V como el momento M actúan
en el plano de la viga, es decir que el vector para la fuerza cortante se encuentra en el plano de
la Figura 2.17b y el vector para el momento es perpendicular al plano de la Figura 2.17b (Gere
& Goodno, 2009, p. 313).
Las resultantes del esfuerzo en vigas estáticamente indeterminadas se pueden calcular con
ecuaciones de equilibrio. En el caso de la viga en voladizo de la Figura 2.17a, utilizamos el
diagrama de cuerpo libre de la Figura 2.17b y obtenemos las siguientes ecuaciones:
∑𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = 0; 𝑃 − 𝑉 = 0 ó 𝑉 = 𝑃 Ecuación 2.9
Jerves Córdova, Guachún Suco. 33
∑𝑀 = 0; 𝑀 − 𝑃 ∗ 𝑥 = 0 ó 𝑀 = 𝑃 ∗ 𝑥 Ecuación 2.10
Donde:
x = distancia desde el extremo libre de la viga hasta la sección transversal donde se van a
determinar V y M.
Así, utilizando el diagrama de cuerpo libre y dos ecuaciones de equilibrio, se puede calcular
la fuerza cortante y el momento flexionante producidos a lo largo del eje longitudinal de la
viga.
2.7.2 Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante
Carga distribuida
El primer tipo de carga a analizar, es una carga distribuida con intensidad w(x). Considere
la porción infinitesimal de longitud dx, de una viga que está sometido a una carga distribuida
w (Figura 2.18a). Las convenciones de signos para estas cargas son las siguientes: las cargas
distribuidas y las concentradas son positivas cuando actúan hacia abajo y negativas cuando
actúan hacia arriba. Un par que actúa como una carga sobre una viga es positivo cuando lo hace
en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del
reloj (Gere & Goodno, 2009, p. 321).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 34
Figura 2.18: Viga con carga uniforme y elemento infinitesimal.
Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).
Para la sección infinitesimal se realiza el diagrama de cuerpo libre. Se tiene en cuenta que,
para la fuerza cortante y el momento resultante interno, que actúan en la cara derecha de
segmento infinitesimal, debe afectarse por una cantidad pequeña para mantener al segmento en
equilibrio (Figura 2.18b). La carga distribuida se sustituye por una fuerza resultante w(x)*dx
que actúa a una distancia fraccional k*dx desde el lado derecho, donde 0 < k < 1 (por ejemplo,
si w(x) es uniforme, k=1/2). Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para el segmento
infinitesimal, se obtiene las siguientes ecuaciones.
+↑ ∑𝐹𝑦 = 0; 𝑉 − 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0
𝑑𝑉 = 𝑤(𝑥)𝑑𝑥
Ecuación 2.11
+↺ ∑𝑀𝑜 = 0; −𝑉 𝑑𝑥 − 𝑀 − 𝑤(𝑥)𝑑𝑥(𝑘𝑑𝑥) − (𝑀 + 𝑑𝑀) = 0
𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 + 𝑤(𝑥)𝑘(𝑑𝑥)2
Ecuación 2.12
Al dividir por dx y tomar el límite cuando dx tiende a 0, las dos ecuaciones anteriores se
convierten en las Ecuación 2.13 y Ecuación 2.14.
𝑑𝑉
𝑑𝑥= 𝑤
Ecuación 2.13
Jerves Córdova, Guachún Suco. 35
𝑑𝑀
𝑑𝑥= 𝑉
Ecuación 2.14
Estas dos ecuaciones proporcionan un medio rápido y sencillo para obtener los diagramas
de fuerza cortante y momento flexionante para una viga. La Ecuación 2.13 establece que en un
punto la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga
distribuida. De manera similar, la Ecuación 2.14 establece que en un punto la pendiente del
diagrama de momento es igual a la fuerza cortante (Hibbeler, 2011, p. 264).
La Ecuación 2.13 y la Ecuación 2.14 también se pueden expresar como la Ecuación 2.15 y
la Ecuación 2.16. Si se tiene en cuenta que w(x)dx y Vdx representan áreas diferenciales bajo
la carga distribuida y del diagrama de fuerza cortante y momento respectivamente.
𝑑𝑉 = ∫𝑤(𝑥)𝑑𝑥 Ecuación 2.15
𝑑𝑀 = ∫𝑉(𝑥)𝑑𝑥 Ecuación 2.16
Carga concentrada y momento concentrado
Figura 2.19: Cargas concentradas en el elemento infinitesimal dx.
Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).
Ahora se considera una carga puntual P que actúa sobre el elemento infinitesimal de la
Figura 2.19a. Aplicando el diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de las fuerzas
obtenemos la Ecuación 2.17. Del mismo modo aplicando el equilibrio de momentos en el
Jerves Córdova, Guachún Suco. 36
elemento infinitesimal con momento concentrado de la Figura 2.19b, obtenemos la Ecuación
2.18.
+↑ ∑𝐹𝑦 = 0 𝑉 − 𝑃 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0
𝑑𝑉 = 𝑃
Ecuación 2.17
+↺ ∑𝑀𝑜 = 0 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀𝑂 − 𝑉𝑑𝑥 − 𝑀 = 0
si 𝑑𝑥 → 0 entonces 𝑑𝑀 = 𝑀𝑜
Ecuación 2.18
El resultado para la Ecuación 2.17, significa que ocurre un cambio abrupto en la fuerza
cortante en cualquier punto donde actúa una carga concentrada. Conforme pasamos de
izquierda a derecha por el punto de aplicación de la carga, la fuerza cortante disminuye o
aumenta en una cantidad igual a la magnitud de la carga P dirigida, y en relación al sentido de
la misma (Gere & Goodno, 2009, p. 324).
Para el caso del segmento de viga que con un momento concentrado Mo de la Figura 2.19b
con la Ecuación 2.18, se obtiene los siguientes resultados. Si Mo se aplica en sentido horario,
dM es positivo por lo que el diagrama de momento sufrirá un salto, es decir aumentara. Del
mismo modo, cuando Mo actúa en sentido anti horario, el salto dM será contrario, es decir,
disminuirá, según la convención de signos adoptada (Hibbeler, 2011, p. 264).
2.7.3 Esfuerzos en vigas
Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que ésta se curve, y debido a esto deforman
su eje en una curva. Las vigas consideradas en esta parte se suponen simétricas con respecto al
plano xy, lo que significa que el eje y es de simetría de la sección transversal. Además, todas
las cargas deben actuar en el plano xy. En consecuencia, las deflexiones por flexión ocurren en
este mismo plano, conocido como plano de flexión (Gere & Goodno, 2009, p. 353).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 37
Figura 2.20: Flexión de una viga en voladizo.
Fuente: Adaptado de (Gere & Goodno, 2009).
La curva de deflexión que se muestra en la Figura 2.20b correspondiente a la barra cargada
de la Figura 2.20a, es una curva plana que se encuentra en el plano de flexión. La deflexión de
la viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su
posición original, medido en la dirección y. Denotamos la deflexión con la letra griega delta
(𝛿) (Gere & Goodno, 2009, p. 353).
Flexión pura y flexión no uniforme
Gere & Goodno (2009) se refiere a la flexión pura, como la flexión de una viga ante un
momento flexionante constante. Por tanto, la flexión pura ocurre sólo en regiones de una viga
donde la fuerza cortante es cero (Ecuación 2.14). En contraste, la flexión no uniforme hace
referencia a la flexión donde existe presencia de fuerzas cortantes, lo cual significa que el
momento flexionante cambia conforme nos movemos a lo largo del eje de la viga (p. 353).
Hipótesis
Pytel & Singer (2008) plantea que, para obtener las relaciones entre los esfuerzos normales
por flexión, la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes, se hacen las siguientes
hipótesis (p. 122):
1) Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas.
2) El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 38
3) El módulo elástico es igual a tensión y a compresión.
4) La viga es inicialmente recta y de sección constante.
5) El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección
recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella.
Esfuerzo de flexión
Para conocer la ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el
momento flexionante interno, se supone que el material se comporta de forma elástica lineal y
por tanto, se produce una variación lineal de la deformación normal (Figura 2.21a), resultado
de una variación lineal en el esfuerzo normal (Figura 2.21b), por consiguiente, al igual que la
variación de la deformación, el esfuerzo normal 𝜎𝑥 (con resecto al eje x) variará desde cero en
el eje neutro del elemento hasta un valor de 𝜎𝑚𝑎𝑥, a una distancia y (con respecto al eje y) más
alejada del eje neutro. Debido a la proporcionalidad de triángulos o mediante el uso de la ley
de Hooke (Hibbeler, 2011, p. 285).
Figura 2.21: Esfuerzo y deformación unitaria en la sección de corte - vista de perfil.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 39
Una vez que se ha identificado el eje neutro y deducido la relación entre el momento-
curvatura9, podemos determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante, al sustituir
la expresión para la curvatura en la expresión para el esfuerzo 𝜎𝑥, que relaciona esfuerzo-
deformación unitaria para un material linealmente elástico (referirse al texto citado, p. 362 y
363), por lo cual obtenemos la siguiente ecuación (Gere & Goodno, 2009, p. 364).
𝜎𝑥 =𝑀 ∗ 𝑦
𝐼 Ecuación 2.19
Donde:
𝜎𝑥= Esfuerzo de flexión o esfuerzos flexionantes (según el eje seleccionado, Figura 2.21b).
y = Distancia del eje neutro a la fibra más alejada (según el eje seleccionado, Figura 2.21b).
M = Momento flexionante.
I = Momento de inercia de la sección transversal.
Esta ecuación, también llamada fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son
directamente proporcionales al momento flexionante M, e inversamente proporcionales al
momento de inercia I de la sección transversal. También los esfuerzos varían linealmente con
la distancia (y) desde el eje neutro (Gere & Goodno, 2009, p. 364).
Módulo de rotura
Pytel & Singer (2008) asegura que, se puede emplear la Ecuación 2.19 para determinar el
esfuerzo de flexión de una viga hasta llegar a su ruptura en una máquina de ensayo. Puesto que
en este caso se excede el límite de proporcionalidad, el esfuerzo determinado de esta forma, no
es el esfuerzo real en el material cuando se produce la ruptura. Sin embargo, el esfuerzo ficticio
obtenido se denomina módulo de ruptura del material y se utiliza para comparar la resistencia
última de vigas de distintos tamaños y materiales (p. 128).
9 Relación Momento-Curvatura: Es la ecuación que demuestra que la curvatura que puede presentar un
elemento viga sometido a flexión, es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente
proporcional a la cantidad E*I, que se denomina rigidez a la flexión de la viga (Gere & Goodno, 2009, p. 364).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 40
Limitaciones
Gere & Goodno (2009) menciona que, el análisis presentado es de uso único para flexión
pura de vigas prismáticas, compuestas de materiales homogéneos linealmente elásticos. Si una
viga se somete a flexión no uniforme, las fuerzas cortantes producirán alabeo (distorsión fuera
del plano) de las secciones transversales. Es decir, una sección transversal que era plana antes
de la flexión ya no lo es después de experimentarla.
El alabeo debido a deformaciones por cortante complica el comportamiento de la viga. Sin
embargo, Gere & Goodno (2009), asegura que, investigaciones detalladas demuestran que los
esfuerzos normales calculados con la fórmula de la flexión no sufre grandes cambios por la
presencia de esfuerzos cortantes y del alabeo asociado. Por lo que, se puede justificar el uso de
la teoría de la flexión pura para calcular los esfuerzos normales en vigas sometidas a flexión
no uniforme (Gere & Goodno, 2009, p. 366).
También Gere & Goodno (2009), asegura que, la fórmula de la flexión da resultados que
sólo son exactos en regiones de la viga donde la distribución de esfuerzo no se interrumpe por
cambios en la forma de la viga o por discontinuidades en la carga.
“El análisis no es aplicable cerca de los apoyos de una viga o cerca de una carga concentrada,
puesto que se producen esfuerzos localizados, o concentraciones de esfuerzos, que son mucho
mayores que los obtenidos con la fórmula de la flexión” (Gere & Goodno, 2009, p. 366).
Esfuerzo cortante transversal
El método de análisis a utilizar se limitará a casos especiales de la geometría de la sección
transversal de una viga. A pesar de esto, el método tiene muchas aplicaciones dentro del análisis
y el diseño en ingeniería.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 41
Fuerza cortante longitudinal
En general, una viga soportara tanto una fuerza cortante como un momento. La fuerza
cortante V es el resultado de una distribución del esfuerzo cortante transversal que actúa sobre
la sección transversal de la viga. Por otra parte, debido a la propiedad complementaria de la
fuerza cortante, este esfuerzo creara los esfuerzos cortantes longitudinales correspondientes
que actuaran a lo largo de los planos longitudinales de la viga, Figura 2.22 (Hibbeler, 2011, p.
359).
Figura 2.22: Esfuerzos cortantes en un elemento infinitesimal de una viga.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Para ilustrar el efecto, se considera una viga elaborada con tres tablas (Figura 2.23a), si la
superficie inferior y superior son lisas, y las tablas no están unidas entre sí, al aplicar la carga
P hará que cada tabla se deslice con respecto a las otras cuando la viga se someta a flexión. Sin
embargo, si las tablas están unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales que
actúan unidos entre las tablas impedirán su deslizamiento, y por lo tanto actuara como una sola
unidad. Como resultado del esfuerzo cortante, se desarrollaran deformaciones angulares y estas
tenderán a distorsionar la sección transversal (Figura 2.23b) (Hibbeler, 2011, p. 360).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 42
Figura 2.23: Viga conformada por elementos menores.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
Hibbeler (2011) asegura que, una viga al estar sometida tanto a flexión como a cortante, la
sección transversal no permanecerá plana como se supone en el desarrollo de la fórmula a
flexión, pero por lo general se puede suponer que el alabeo de la sección transversal debido a
la fuerza cortante es lo suficientemente pequeño como para poderlo despreciar (p.360).
La fórmula del esfuerzo cortante longitudinal
Para obtener la fórmula del esfuerzo cortante longitudinal de manera directa, Hibbeler
(2011) considera un equilibrio de fuerzas horizontales en una porción de la viga que se muestra
en la Figura 2.24a. En la Figura 2.24c se puede apreciar el diagrama de cuerpo libre de la
porción seleccionada, esta distribución se debe a los momentos flexionantes que actúan.
También se han excluido los efectos de V, V + dV y w(x) en el diagrama de cuerpo libre, porque
estas cargas son verticales y por tanto no participan en la sumatorias de fuerzas horizontales.
Figura 2.24: Distribución de esfuerzos en elemento seccionado de una viga cargada.
Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).
También se considera la porción superior sombreada del elemento que se ha seccionado en
y´ desde el eje neutro (Figura 2.24b). El segmento tiene una anchura t en la sección y los dos
Jerves Córdova, Guachún Suco. 43
lados de la sección transversal tienen un área A´ cada uno. Debido a que los momentos
resultantes en cada lado del elemento difieren en dM, como se observa en la Figura 2.24c la
sumatoria de fuerzas en el eje x igual a cero, no se cumplirá a menos que un esfuerzo cortante
longitudinal tao (𝜏), actué sobre la cara inferior del segmento. Entonces se supondrá que este
esfuerzo cortante es constante en toda la anchura t de la cara inferior (actúa sobre el área t*dx).
Al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales y la fórmula de la flexión (Ecuación
2.19) se obtiene una única ecuación integral, la misma que la resolver no da la siguiente
ecuación (Hibbeler, 2011, p. 362).
𝜏 =𝑉 ∗ 𝑄
𝐼 ∗ 𝑡 Ecuación 2.20
Donde:
𝜏 = Esfuerzo cortante, en el punto situado a una distancia y’ desde el eje neutro. Se supone que
este esfuerzo es constante y, por lo tanto, se promedia en toda la anchura t del elemento.
V = La fuerza cortante resultante interna, determinada en base al método de las secciones y las
ecuaciones de equilibrio.
I = El momento de inercia de toda la sección transversal calculada respecto al eje neutro.
t = la anchura del área de la sección transversal del elemento, medida en el punto donde se
determinará 𝜏.
Q = Producto de �̅� por A´, donde A´ es la parte superior (o inferior) del área de la sección
transversal del elemento, por encima (o debajo) del plano de sección donde se mide la anchura
t. �̅� es la distancia desde el eje neutro hasta el centroide de A´.
Aunque solo se consideró los esfuerzos cortantes longitudinales (esfuerzos horizontales) de
la viga para la obtención de la fórmula del esfuerzo cortante, la misma también se puede aplicar
para encontrar el esfuerzo cortante transversal (esfuerzos verticales) en la sección transversal,
pues estos esfuerzos son complementarios y numéricamente iguales. También al igual que la
Jerves Córdova, Guachún Suco. 44
fórmula de la flexión, se requiere que el material tenga un comportamiento elástico lineal y el
mismo módulo de elasticidad tanto en tracción como en compresión (Hibbeler, 2011, p. 363).
Limitaciones
La fórmula para los esfuerzos cortantes está sometida a las mismas restricciones que las
fórmulas de las que se dedujeron, por lo que son válidas sólo para vigas de materiales
linealmente elásticos con deflexiones pequeñas. Para el caso de vigas rectangulares, la
exactitud de la fórmula del cortante depende de la proporción entre altura y ancho de la sección
transversal. La Ecuación 2.20 se puede considerar exacta para vigas muy angostas (h > t). Sin
embargo, es menos precisa conforme t aumenta con respecto a h. (Para un análisis más
completo de las limitaciones de la fórmula del cortante, consultar el texto citado, la referencia
5.9) (Gere & Goodno, 2009, p. 393).
Un error común es aplicar la Ecuación 2.20 a secciones transversales para las cuales no es
aplicable. Como lo son las secciones con forma triangular o semicircular. Por lo cual se puede
tener en cuenta las siguientes suposiciones:
• Los bordes de la sección transversal deben ser paralelos al eje y (de manera que los
esfuerzos cortantes actúen paralelos a dicho eje).
• Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes a través del ancho de la sección transversal.
Estas suposiciones se cumplen sólo en ciertos casos y, por último, la fórmula del cortante se
aplica sólo a barras prismáticas (Gere & Goodno, 2009, p. 393).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 45
2.7.4 Deflexiones de vigas
Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión
La mayoría de los procedimientos para determinar las deflexiones se basan en ecuaciones
diferenciales de la curva de deflexión10 y sus relaciones asociadas. Para fines de análisis se
considera como ejemplo la viga en voladizo con una carga concentrada que actúa en el extremo
libre hacia arriba (Figura 2.20a). Debido a la fuerza vertical, el eje de la viga se deforma
siguiendo la forma de una curva (Figura 2.20b).
Para el análisis de la viga en voladizo, se considerará que los ejes de referencia tienen su
origen en el empotramiento de la viga, con el eje x dirigido hacia la derecha y el eje y dirigido
hacia arriba, el eje z está dirigido hacia el observador. La deflexión en cualquier punto se
denotará por la letra griega delta (𝛿) y será el desplazamiento de la viga en dirección del eje y
(Gere & Goodno, 2009, p. 679).
La ecuación de la curva de deflexión de la viga puede expresarse matemáticamente como
𝛿 = 𝑓(𝑥). Para obtener esta ecuación, primero es necesario representar la ecuación de la
curvatura de la viga en términos de 𝛿 y x. Como segundo punto se deduce la relación que existe
entre la curvatura y el momento (referirse al texto citado, p. 571). Una vez realizado estos pasos
y sustituyendo términos, obtenemos la siguiente ecuación (Hibbeler, 2011, p. 573).
𝑑2𝛿/𝑑𝑥2
[1 + (𝑑𝛿/𝑑𝑥)2]3/2=
𝑀
𝐸 ∗ 𝐼 Ecuación 2.21
La Ecuación 2.21 representa una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Su
solución, se denomina elástica, y da la forma exacta de la curva elástica, suponiendo que las
deflexiones de la viga se producen debido a la flexión (Hibbeler, 2011, p. 573).
10 Curva de deflexión: Es la curva del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área de sección transversal
de una viga, también se la conoce como curva elástica.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 46
La Ecuación 2.21 puede modificarse con el fin de generalizar la solución de un gran número
de problemas de deflexión de vigas. La mayoría de deflexiones elásticas para vigas y ejes,
forman curvas poco pronunciadas, en consecuencia, la pendiente de la curva elástica,
determinada a partir de 𝑑𝛿/𝑑𝑥 será muy pequeña y su cuadrado será insignificante comparado
con la unidad. Por tanto, la relación de curvatura definida anteriormente para deducir la
Ecuación 2.21, puede aproximarse mediante 1/𝜌 = 𝑑2𝛿/𝑑𝑥2 (referirse al texto citado). Con
esta simplificación, la Ecuación 2.21 puede escribirse como la Ecuación 2.22 (Hibbeler, 2011,
p. 573).
𝑑2𝛿
𝑑𝑥2=
𝑀
𝐸𝐼
Ecuación 2.22
Por otro parte, también se puede escribir la Ecuación 2.22 otras formas alternativas. Al
diferenciar cada lado con respecto a x y sustituir por la Ecuación 2.13 y Ecuación 2.14. Se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
𝐸𝐼𝑑4𝛿
𝑑𝑥4= 𝑤(𝑥)
Ecuación 2.23
𝐸𝐼𝑑3𝛿
𝑑𝑥3= 𝑉(𝑥)
Ecuación 2.24
𝐸𝐼𝑑2𝛿
𝑑𝑥2= 𝑀(𝑥)
Ecuación 2.25
La solución de cualquiera de estas ecuaciones requiere integraciones sucesivas para obtener
la deflexión 𝛿 de la curva elástica. También es necesario introducir una constante de integración
y luego despejar todas las constantes para obtener una solución única para un problema en
concreto (Hibbeler, 2011, p. 274).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 47
Condiciones
Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, surgen constantes producto de resolver las
integrales generadas. Las constantes de integración se pueden determinar mediante la
evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente o el
desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce el valor de la función.
Estos valores se denominan condiciones de frontera, se presentan varias condiciones de
frontera en la Tabla 2.2, que suelen utilizarse para resolver problemas de deflexión en vigas
(Hibbeler, 2011, p. 576).
Tabla 2.2
Condiciones de frontera y continuidad.
Fuente: Adaptado de (Hibbeler, 2011).
Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración
confluyen. Por otra parte, las condiciones de simetría también pueden estar presentes, si el
sistema de cargas es simétrico, así como la geometría y la composición del elemento (Gere &
Goodno, 2009, p. 686).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 48
Columnas
Son elementos sometidos a una carga de compresión, estos pueden fallar de diversas formas,
dependiendo de las condiciones de soporte, de los tipos de cargas y de los materiales utilizados.
Estas fallas se pueden evitar diseñando estructuras de tal forma que los esfuerzos máximos y
los desplazamientos máximos permanezcan dentro de límites tolerables. Por tanto, la
resistencia y rigidez11 son factores importantes en el diseño, además de la falla que existe por
pandeo (Gere & Goodno, 2009, p. 819).
2.8.1 Pandeo
Se presenta generalmente en elementos estructurales largos y esbeltos12, cargados
axialmente en compresión (Figura 2.25a). Si un elemento en compresión es relativamente
esbelto, se puede flexionar lateralmente y fallar por flexión (Figura 2.25b) en vez de fallar por
compresión. Cuando se tiene flexión lateral, decimos que la columna se ha pandeado (Gere &
Goodno, 2009, p. 819).
11 Rigidez: Se refiere a la capacidad de la estructura para resistir cambios de forma (por ejemplo, para resistir
alargamiento, flexión o torsión) y estabilidad se refiere a la habilidad de la estructura para resistir pandeo ante
esfuerzos de compresión. 12 Esbeltez de una columna: Se dice que una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son
pequeñas en comparación con su longitud L/r, donde r es el radio de giro más pequeño de la sección transversal
y L es la longitud de la longitud de la columna. El pandeo se producirá alrededor del eje donde esta relación tenga
el valor más grande.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 49
Figura 2.25: Columna cargada axialmente.
Fuente: (Hibbeler, 2011).
2.8.2 Estabilidad
A continuación, se considera el sistema cargado con una fuerza P y con un resorte rotacional
en el punto B, como se muestra en la Figura 2.26. Si la carga axial P es relativamente pequeña,
la acción de un momento restablecedor (producido por el resorte rotacional, Figura 2.26b)
prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura regresará a su posición inicial
vertical (Figura 2.26a), en estas condiciones se dice que la estructura es estable. Sin embargo,
si la carga axial P es grande con respecto al momento restablecedor, el desplazamiento lateral
del punto B aumentará y las barras girarán a ángulos cada vez mayores hasta que la estructura
se colapsa. Ante estas condiciones, se dice que la estructura es inestable y falla por pandeo
lateral (Gere & Goodno, 2009, p. 820).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 50
Figura 2.26: Columna idealizada.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
2.8.3 Carga crítica
Gere & Goodno (2009), asegura que, la transición entre las condiciones estable e inestable
ocurre para un valor especial máximo de la fuerza axial P, cuando está al borde del pandeo,
este valor es conocido como carga crítica (𝑃𝑐𝑟), Figura 2.25. Es decir, la carga crítica de una
barra larga, esbelta y sometida a compresión axial, es el valor de la fuerza suficiente para que
la columna pase de un estado sin flexión a un estado donde adopte una forma flexionada (p.
821).
Columna ideal con extremos articulados
Consideremos una columna cargada por una fuerza P aplicado en el centroide de la sección
transversal, Figura 2.27. La columna es perfectamente recta y está hecha de material
linealmente elástico. Es decir, se supone que la columna no tiene imperfecciones, a esto se le
llama columna ideal y su comportamiento ante una carga axial, se puede resumir de la siguiente
manera:
• Si P < Pcr, la columna está en equilibrio estable en la posición vertical.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 51
• Si P = Pcr, la columna está en equilibrio neutro en posición recta o en una posición
ligeramente flexionada.
• Si P > Pcr, la columna está en equilibrio inestable en la posición recta y se pandeará
ante la más pequeña perturbación.
Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada debido a que
siempre tiene imperfecciones y la carga no siempre está exactamente en el centroide (Gere &
Goodno, 2009, p. 824).
Figura 2.27: Columna con extremos articulados.
Fuente:(Gere & Goodno, 2009).
2.8.4 Fórmula de Euler
Para la deducción de la fórmula de Euler, se considera la columna ideal articulada de la
Figura 2.27. Se busca hallar el valor Pcr de la carga P para el cual la posición de la Figura
2.27a deja de ser estable. El propósito será determinar las condiciones para que la configuración
de la Figura 2.27b sea posible. Como una columna puede considerarse como una viga en
posición vertical bajo una carga axial (con el eje x vertical, y el eje y horizontal). Se puede
proceder con un análisis similar al realizado para la deducción de las fórmulas de la flexión en
vigas, usando la ecuación diferencial del momento flexionante (Ecuación 2.25) utilizada en la
curva de deflexión (Beer et al., 2014, p. 611).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 52
Resolviendo las ecuaciones diferenciales y utilizando las condiciones de frontera (referirse
al texto citado) se obtiene la siguiente ecuación:
𝑃 =𝑛2 𝜋2 𝐸 𝐼
𝐿2
Ecuación 2.26
Donde:
P = Carga axial.
𝑛2= Factor que representa el número formas modales pandeadas de la columna.
E = Módulo de elasticidad del material
I = Momento de inercia de la sección transversal
L = Longitud de la columna.
Para el factor n, los valores que puede tomar va desde n = 1, 2, 3, …, y depende de la forma
modal que puede tomar la columna al momento del pandeo. El valor de n = 0 no tiene sentido,
ya que la carga P resultaría cero, para los demás valores de n la columna se pandea en las
formas indicadas en la Figura 2.28. La más importante de estas soluciones es la Figura 2.28a.
Las otras soluciones solo son posibles físicamente si la columna tiene sujeciones laterales en
el punto medio o en los tercios de la altura respectivamente, que obliguen a tomar esa forma
respectivamente (Pytel & Singer, 2008, p. 361).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 53
Figura 2.28: Efecto de n en el valor de la carga crítica.
Fuente: Adaptado de (Pytel & Singer, 2008).
Como los valores de P están definidos por la Ecuación 2.26, entonces el menor de los valores
corresponde a n=1. Es decir, reemplazando el valor de n, la carga crítica es igual a:
𝑃𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝜋2 𝐸 𝐼
𝐿2
Ecuación 2.27
Ésta ecuación es la fórmula de Euler, llamada así en honor del matemático suizo Leonhard
Euler (1707-1783) (Beer et al., 2014, p. 611).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 54
2.8.5 Longitud efectiva
La longitud efectiva (Le) para cualquier columna, es la longitud equivalente a una columna
con extremos articulados y con una curva de deflexión que concuerda exactamente con toda o
parte de la curva de deflexión de la columna original. Nos permite relacionar las cargas críticas
para columnas con varias condiciones de soporte con la carga crítica de una columna con
extremos articulados, Figura 2.29 (Gere & Goodno, 2009, p. 838).
Figura 2.29: Curvas de deflexión que muestran la longitud efectiva Le.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
A menudo la longitud efectiva se expresa en términos de un factor de longitud (K).
𝐿𝑒 = 𝐾 ∗ 𝐿 Ecuación 2.28
Donde:
L = Longitud de la columna.
K = Factor de longitud efectiva. En la Tabla 2.3 se proporciona valores específicos de K, para
los diferentes tipos de soporte de columnas.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 55
Tabla 2.3
Cargas críticas, longitudinales y factores de longitud efectiva para columnas ideales.
Fuente: (Gere & Goodno, 2009).
Con base en esta generalización se puede escribir la fórmula de Euler al sustituir la Ecuación
2.28 en la Ecuación 2.26, y obtenemos así la ecuación general de la carga crítica para columnas
con diferentes tipos de soporte (Hibbeler, 2011, p. 667).
𝑃𝑐𝑟 =𝑛2 𝜋2 𝐸 𝐼
(𝐾𝐿)2
Ecuación 2.29
2.8.6 Limitaciones
Gere & Goodno (2009) asegura que, además del requisito de deflexiones pequeñas, la teoría
del pandeo de Euler empleada es válida sólo si la columna es perfectamente recta antes de la
aplicación de la carga, sí la columna y sus soportes no tienen imperfecciones y sí la columna
está hecha de un material linealmente elástico que sigue la ley de Hooke (p. 842).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 56
Jerves Córdova, Guachún Suco. 57
CAPÍTULO 3
3. GUÍAS METODOLÓGICAS PARA LOS ENSAYOS DE LABORATORIO DE
RESISTENCIA DE MATERIALES
Ensayo de la resistencia a tracción del acero
Los ensayos a tracción proporcionan información sobre la resistencia y ductilidad de los
materiales metálicos bajo cargas axiales. Esta información es de gran utilidad para el desarrollo
de aleaciones, control de calidad y diseño de materiales metálicos (ASTM E8/E8M, 2016).
Para efectuar un ensayo a tracción del acero, se debe ejercer cargas de tracción a probetas
de acero, para ello se utilizará las normativas que permitan efectuar el ensayo de forma
adecuada, específicamente la normativa ASTM E8 (Standard Test Methods for Tension
Testing of Metallic Materials), que nos habla sobre los métodos de prueba a tensión en
materiales metálicos, la forma de evaluarlos y también las consideraciones que se deben tener
antes, durante y después de los ensayos.
3.1.1 Objetivos
Objetivo General
• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a tracción del acero.
Objetivos Específicos
• Apreciar los efectos producidos por una carga a tracción sobre un elemento de acero.
• Obtener la curva esfuerzo – deformación unitaria.
• Identificar los puntos singulares sobre la curva esfuerzo – deformación unitaria.
• Identificar el tipo de falla que se produce en un elemento sometido a tracción.
• Determinar el módulo de elasticidad.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 58
3.1.2 Fundamentos teóricos
Tamaño de las muestras: Para el dimensionamiento adecuado de las probetas de ensayo se
partió de acuerdo a la norma ASTM E8 y ASTM A370, que habla del dimensionamiento de
probetas de acero de sección circular:
La longitud de agarre (B) debe ser el adecuado para las mordazas de sujeción del equipo de
ensayo, la cual se recomienda que sea de 2/3 o más de la longitud de las mordazas, de igual
manera, el diámetro (C) debe ser adecuado de tal modo que las mordazas se ajusten
perfectamente al equipo de ensayo, se recomienda un diámetro aproximado de 2 cm, Figura
3.1 (ASTM A370, 2004).
Para la longitud del área reducida (A) la normativa menciona una longitud mínima de 6cm
y una longitud calibrada (G) de 5cm ± 0.1cm; y la longitud total (L) de la probeta dependerá
de las dimensiones asignadas al resto de segmentos de la misma, Figura 3.1. Se debe procurar
que el diámetro (D) asignado en toda la longitud calibrada (G) sea como mínimo un 30%
menor que el diámetro (C), pues es en esta zona donde se producirá la falla del material (ASTM
A370, 2004).
Figura 3.1: Dimensionamiento de la probeta de ensayo a tracción.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 59
Esfuerzo de tracción y deformación unitaria: El esfuerzo de tracción (𝜎𝑇) se presenta
axialmente en la sección transversal de la muestra cuando se somete a una carga y viene dado
por la Ecuación 2.1. La deformación unitaria correspondiente es el resultado de la variación
del desplazamiento producido por unidad de longitud, en este caso sería el incremento de la
longitud de la probeta de ensayo, viene dado por la Ecuación 2.4.
3.1.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos a tracción.
• Accesorios para el ensayo a tracción.
• Calibrador o pie de rey.
• Deformímetro.
• Probetas normalizadas según norma ASTM A370 y/o ASTM E8.
3.1.4 Procedimiento básico
1) Tomar las dimensiones de probeta a ensayar.
2) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción en el equipo de
laboratorio tracción-compresión.
3) Colocar la probeta de ensayo de forma fija.
4) Colocar el deformímetro.
5) Programar el equipo para el tipo de ensayo a realizar.
6) Aplicar carga a una velocidad constante que permita visualizar el fenómeno de falla de
la probeta.
7) Tomar datos de la carga aplicada y la deformación que se producen, ya sea de forma
manual o por medio del computador del equipo de ensayo. Los datos obtenidos deben
ser tomados hasta la rotura de la probeta de ensayo.
8) Detener el equipo de ensayo y evaluar los datos obtenidos.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 60
3.1.5 Evaluación
• Registrar los datos del ensayo a tracción en la ficha técnica correspondiente, Anexo 1.
• Calcular los esfuerzos producidos.
• Determinar las deformaciones unitarias.
• Graficar la curva esfuerzo-deformación unitaria convencional de la probeta ensayada.
• Identificar la región lineal en la curva esfuerzo-deformación (Comportamiento elástico).
• Determinar el límite elástico del material.
• Determinar el módulo de elasticidad.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 61
Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera
El contenido de humedad de la madera se puede expresar como porcentaje de masa secada
al horno (base seca al horno) o como porcentaje de masa inicial (base húmeda). El contenido
de humedad en materiales de madera puede ser engañoso, ya que la madera no tratada con
frecuencia contiene cantidades variables de compuestos volátiles (extractos que son
evaporados), por lo cual, los valores de contenido de humedad pueden exceder el 100%
(ASTM D4442, 2007).
Para la metodología del ensayo se tomó en cuenta las normativas vigentes que regulan los
ensayos a la madera, específicamente la normativa ASTM D4442 (Métodos de prueba estándar
para medición directa del contenido de humedad de madera y materiales a base de madera), la
ASTM D4933 (Guía estándar para acondicionamiento de humedad de madera y materiales a
base de madera) y la Norma Ecuatoriana de la Construcción NEC 2014 (Estructuras de
madera).
3.2.1 Objetivos
Objetivo general
• Describir y realizar el ensayo del contenido de humedad para muestras de madera.
Objetivos específicos
• Obtener el contenido de humedad en la madera.
3.2.2 Fundamentos teóricos
Cuando se determina el comportamiento mecánico de la madera, es imprescindible conocer
sus propiedades físicas, ya que las mismas influyen directamente en sus propiedades
mecánicas. Se debe tener en cuenta que las características físicas de la madera varían según las
diferentes especies, el desarrollo del árbol y de las secciones donde se obtuvieron las muestras.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 62
Variedad: Se estima que en mundo existen más de 16000 especies de árboles y en el país se
encuentra una gran variedad, los cuales su principal uso es en la construcción y otra parte en la
elaboración de mobiliario.
Heterogeneidad: hace referencia a estructura interna de la madera y depende del punto de
donde se obtiene la muestra, esta puede ser:
• Axial o longitudinal: Obtenido en el corazón de un tronco.
• Radial: La muestra se obtiene del centro del tronco hacia la parte externa.
• Tangencial: Estas muestras son tangenciales a los anillos que conforman el tronco,
usualmente se denominan planchas o tablas.
Anisotropía: Quiere decir que sus propiedades varían según la dirección en que son
examinadas. Para el caso de la madera sus propiedades no son las mismas si se ensaya una
muestra en un plano en dirección de sus fibras o grano, que en un plano perpendicular al plano
de sus fibras. Según el tipo de anisotropía, la madera posee una anisotropía axial, por lo que se
le considera como un material ortotrópico13.
Densidad de la madera: Es la relación que existe entre la masa y el volumen de una pieza
de madera a un determinado contenido de humedad. En el Sistema Internacional se expresa en
gr/cm3 o kg/m3. La Norma Ecuatoriana de la Construcción en su capítulo Estructuras de
Madera menciona que, según las condiciones de humedad de la madera, se conocen algunos
tipos de densidad (NEC, 2014).
• Densidad básica: Es la relación entre el peso de la madera en estado anhidro y su volumen
en estado verde o saturado (CH mínimo del 30 %). Es un indicativo de las propiedades
13 Material ortotrópico: Es aquel material cuyas propiedades mecánicas y térmicas son únicas e independientes
en sus tres dimensiones o ejes perpendiculares.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 63
mecánicas que tiene una madera. Está en función de la edad, a mayor edad del árbol de donde
procede la madera, su densidad aumenta.
• Densidad verde o saturada: Es la relación que existe entre la masa y el volumen de la
madera en estado verde o saturado, con un contenido de humedad mayor al 30 %.
• Densidad seca al aire: Relación que existe entre el peso y el volumen de la madera en
estado seco al aire, con un contenido de humedad de alrededor al 12 %.
• Densidad seca al horno o anhidra: Relación que existe entre el peso y el volumen de la
madera en estado anhidro, es decir con un contenido de humedad del 0 %.
Influencia de factores propios:
a. Contenido de humedad
b. Duración de la carga
c. Tamaño de la pieza
d. Calidad de la madera
Contenido de humedad: Es la cantidad de agua contenida en la madera, generalmente
expresado como un porcentaje de la masa de la madera secada en horno. El siguiente método
de prueba describe el procedimiento primario (Método A: método de secado a horno) para
medir el contenido de humedad. Se debe aclarar que existen otros métodos de obtención del
contenido de humedad, descritos en la ASTM D4442 como Métodos secundarios, los cuales
no nos referiremos, pero que queda a elección del lector su utilización.
Horno: Un horno de convección forzada que se puede mantener a una temperatura de 105
±2°C durante todo el secado por el tiempo requerido. Se debe ventilar los hornos para permitir
la evaporación y el escape de la humedad (ASTM D4442, 2007).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 64
Fórmula del contenido de Humedad
W =𝑃𝑤 − 𝑃𝑠
𝑃𝑠∗ 100
Ecuación 3.1
Donde:
W = Contenido de humedad en porcentaje.
Pw = Peso original o húmedo.
Ps = Peso secado al horno.
Es necesario aclarar que la fórmula descrita es únicamente de uso para muestras de madera
convencional, es decir, no se aplica para madera tratada con productos químicos o materiales
a base de madera. En tal caso, se debe referir a la norma ASTM D4442 y D4933 que especifica
los métodos y fórmulas para la obtención del contenido de humedad.
3.2.3 Procedimiento básico
1) Tomar una o varias muestras de madera que vayan a ser ensayadas. Las dimensiones
de la muestra dependerán del tipo de ensayo mecánico a realizarse en la madera y
que está especificado más adelante para cada tipo de ensayo.
2) Pesar la muestra tomada de madera ensayada.
3) Secar las muestras, para ello se debe colocar las muestras en el horno y procurar
que este tenga una correcta ventilación de la humedad.
4) Según la ASTM la duración del secado está en función de la pérdida de masa de la
muestra y la precisión de la medida. Pero al tratarse de ensayos que complementan
el aprendizaje de los estudiantes, se recomienda que las muestras se sequen al horno
por un tiempo mínimo de 24 horas. Si los ensayos están encaminados a proyectos
de investigación se recomienda referirse a la norma ASTM D4442 y D4933 para el
correcto procedimiento se secado.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 65
5) Pesar la muestra seca una vez haya transcurrido el periodo de secado al horno.
3.2.4 Evaluación
• Registrar los datos requeridos de peso húmedo y peso seco.
• Calcular el contenido de humedad.
• Registrar en cada ficha que requiera el contenido de humedad para ensayos de
muestras de madera.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 66
Ensayo de la resistencia a compresión en la madera
Al diseñar un elemento estructural, la resistencia a la compresión es uno de los factores
relevantes para determinar la capacidad portante de un elemento. Los ensayos a compresión
nos permiten comprender el comportamiento de los materiales sometidos a este tipo de
exigencias. Este ensayo da a conocer los procesos para evaluar las diferentes propiedades
mecánicas y físicas, controlando factores tales como: tamaño de la muestra, contenido de
humedad, y velocidad de carga (ASTM D143, 2014).
Para efectuar el ensayo, se debe ejercer cargas de compresión a probetas de madera
debidamente normalizados, específicamente la normativa ASTM D143, nos habla sobre los
ensayos mecánicos de la madera, forma de evaluarlos y también las consideraciones que se
deben tener antes, durante y después de los ensayos.
3.3.1 Objetivos
Objetivo General
• Describir y realizar el ensayo de la resistencia a compresión de la madera.
Objetivos Específicos
• Obtener la curva fuerza-desplazamiento.
• Identificar el tipo de falla que se produce en un elemento de madera sometido a
compresión.
• Obtener la curva esfuerzo – deformación unitaria
• Identificar los puntos singulares sobre la curva esfuerzo – deformación unitaria.
• Determinación del módulo de elasticidad.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 67
3.3.2 Fundamentos teóricos
Tamaño de las muestras: Para el ensayo a cortante paralelo y perpendicular a la fibra, se
debe obtener muestras de madera estándar (Figura 3.2), cuya particularidad es que las fibras de
la estructura interna de la misma estén dispuestas en sentido paralelo y perpendicular a la carga
a aplicar al momento del ensayo. Las dimensiones de las muestras sobre su sección transversal
serán de 30x30 mm para un método de ensayo primario y de 50x50 mm para un método
secundario. Su longitud (altura) será de entre 2 a 4 veces a las dimensiones transversales. Las
probetas para el ensayo no deben poseer fisuras previas o imperfecciones tales como nudos
lagrimales o huecos (ASTM D143, 2014).
Figura 3.2: Probetas de madera de pino dimensionadas de acuerdo a la norma ASTM D143-94.
Fuente: Propiedad del autor.
Esfuerzo de compresión: El esfuerzo de compresión (𝜎𝑐) se presenta axialmente en la
sección transversal de la muestra cuando se somete a una carga paralela a la fibra y a una carga
perpendicular a la fibra. El esfuerzo viene dado por la Ecuación 2.1, y la deformación unitaria
correspondiente que es el resultado de la variación del desplazamiento producido por unidad
de longitud, viene dado por la Ecuación 2.4 (ASTM D143, 2014).
Contenido de humedad: Una vez realizado el ensayo hasta producir la rotura de la probeta,
se procede a obtener su contenido de humedad siguiendo los puntos expuestos en numeral 3.2
Jerves Córdova, Guachún Suco. 68
(Ensayo del contenido de humedad para muestras de madera). El contenido de humedad se
evaluará mediante la Ecuación 3.1 (ASTM D4442, 2007).
Descripciones de fallas a compresión: Las fallas de compresión se clasificarán de acuerdo
con la apariencia de la superficie fracturada, según se puede apreciar en la Tabla 3.1. En el caso
de dos o más tipos de fallas, todo se describirá en el orden de su aparición. Las especificaciones
de la ASTM también recomienda la eliminación de las muestras en caso de la aparición de un
tipo específico de fractura descrita en la Tabla 3.1 (Falla por división y Falla por compresión y
corte paralelo al grano) (ASTM D143, 2014).
Tabla 3.1
Tipos de falla que se producen al realizar ensayos a compresión de la madera.
Fuente: Adaptado y traducido de (ASTM D143, 2014).
3.3.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos a compresión.
• Accesorios para la sujeción de la probeta de ensayo.
• Calibrador o pie de rey.
• Deformímetro.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 69
• Horno de secado de muestras.
• Probetas de madera normalizadas según norma ASTM D143-94 (Figura 3.2).
3.3.4 Procedimiento básico
Ensayo a compresión paralela a la fibra de la madera
1) Tomar las dimensiones de las probetas.
2) Colocar la probeta de ensayo con los accesorios correspondientes en el equipo de
compresión, de tal forma que las fibras de la madera queden paralelas al pistón.
3) Colocar el deformímetro.
4) Programar y encerar el equipo de compresión.
5) Aplicar carga a velocidad constante.
6) Tomar datos de la carga aplicada y el desplazamiento producido hasta la falla del
material.
7) Determinar el contenido de humedad de la probeta.
Ensayo a la compresión perpendicular a la fibra de la madera
Para la realización del ensayo a compresión perpendicular a la fibra, se realiza el mismo
procedimiento que el realizado en el ensayo de compresión paralelo a la fibra de la madera,
salvo que en esta ocasión se cambia la posición de las probetas en sentido que la carga aplicada
quede perpendicular a las fibras de madera.
3.3.5 Evaluación
• Registrar los datos del ensayo a tracción en la ficha técnica correspondiente, Anexo 2.
• Esquematizar el tipo de fractura o fracturas que se produjeron en la probeta.
• Calcular los esfuerzos producidos.
• Determinar las deformaciones unitarias.
• Graficar la curva fuerza-desplazamiento.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 70
• Graficar la curva esfuerzo-deformación unitaria.
• Graficar la curva esfuerzo-contenido de humedad.
• Identificar la región lineal en la curva esfuerzo-deformación (Comportamiento elástico).
• Determinar el límite elástico del material.
• Determinar el módulo de elasticidad.
• Determinar el esfuerzo de fractura de la probeta.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 71
Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset
3.4.1 Objetivos
Objetivo General
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset.
Objetivos Específicos
• Esquematizar el efecto producido por el ensayo realizado.
• Obtener el esfuerzo de contacto con el cual falla la placa Gusset.
3.4.2 Fundamentos teóricos
Al tener elementos que están sujetos entre sí, ya sea por pernos, remaches o pasadores, se
pueden producir fenómenos en los materiales tales como el aplastamiento del material, el corte
de los elementos de sujeción o también, se puede originar la combinación de ambos efectos.
Tamaño de las muestras: Para asegurar que los elementos a ensayar fallen por
aplastamiento, debemos diseñar las placas de manera que la fuerza aplicada sea mayor a la
resistencia por aplastamiento, y que no sobrepase la resistencia al corte del elemento de
sujeción.
Para obtener las dimensiones idóneas de la placa, se utilizarán las siguientes ecuaciones
usadas para el diseño de conexiones estructurales de acero, Ecuación 3.2 y Ecuación 3.3.
Figura 3.3: Dimensiones de la placa de acero.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 72
Para la resistencia al cortante del perno del ensayo, se utilizara la siguiente expresión,
Ecuación 3.2 (McCormac & Csernak, 2012).
𝐹𝑣, 𝑅𝑑 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛
ϒ𝑚2
Ecuación 3.2
Donde:
αv = Coeficiente seguridad del perno = 0.5
fub = Resistencia a tracción del perno.
As= Área transversal del perno.
n= Número de pernos.
ϒm2= Coeficiente de seguridad.
La resistencia al aplastamiento de placas atornilladas se calcula mediante la Ecuación 3.3
(McCormac & Csernak, 2012).
𝐹𝑏, 𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡
ϒ𝑚2
Ecuación 3.3
Donde:
αb = El menor valor de Ecuación 3.4, Ecuación 3.5, Ecuación 3.6 y Ecuación 3.7
(McCormac & Csernak, 2012).
𝛼𝑏 =𝑒1
3 ∗ 𝑑𝑜
Ecuación 3.4
𝛼𝑏 =𝑝1
3 ∗ 𝑑𝑜−
1
4
Ecuación 3.5
𝛼𝑏 =𝑓𝑢𝑏
𝑓𝑢
Ecuación 3.6
Jerves Córdova, Guachún Suco. 73
𝛼𝑏 = 1 Ecuación 3.7
d= Diámetro del tornillo.
k1=coeficiente =2.5
t= Espesor de la placa.
e1= Distancia al extremo frontal.
d0= Diámetro del agujero.
p1= Separación entre tornillos.
fu= Resistencia última del acero de la placa.
3.4.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos de tracción.
• Accesorios para el ensayo de aplastamiento de placas.
• Calibrador o pie de rey.
• Placas de acero previamente dimensionadas.
3.4.4 Procedimiento básico
1) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de contacto o aplastamiento en
el equipo de laboratorio para ensayos de tracción.
2) Tomar las dimensiones de la placa a ensayar, así como las perforaciones en la misma.
3) Colocar de manera fija la placa de ensayo.
4) Programar el equipo.
5) Aplicar carga a velocidad constante.
6) Tomar datos de la carga máxima aplicada.
7) Retirar la placa de ensayo y observar el efecto producido en la misma.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 74
3.4.5 Evaluación
• Registrar la información en la ficha técnica correspondiente al ensayo, Anexo 3.
• Determinar el esfuerzo al que la placa falló por aplastamiento.
• Determinar y esquematizar la falla producida.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 75
Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero
El propósito de los pernos, remaches y pasadores consiste en sujetar dos o más elementos,
es decir, generar una conexión entre elementos, por lo que su uso está presente en la mayoría
de estructuras y mecanismos. El ensayo a cortante en pernos permite ver el efecto que se genera
en el conector debido a las cargas provenientes de los elementos que conectan y producen una
fuerza perpendicular a la longitud del conector (Ugalde, Magali, & Medina-Mendoza, 2016).
3.5.1 Objetivos
Objetivo General
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en pernos.
Objetivos Específicos
• Obtener el esfuerzo de corte con el cual falla el perno.
3.5.2 Fundamentos teóricos
Para la realización del ensayo se debe utilizar pernos de acero normados ya sea por
especificaciones SAE, ASTM o Clases Métricas. Para poder identificar las especificaciones del
perno a ensayar lo podemos hacer con ayuda de las Tabla 7.1, Tabla 7.2 y Tabla 7.3. En ellas
se puede observar la marca que poseen los pernos (cabeza hexagonal) y verificar sus
características.
Limitaciones: Esta práctica está limitada para pernos únicos de 1 cm de diámetro y una
longitud mínima de la parte no roscada de 4.2 cm, esto debido a los accesorios predispuestos
para este ensayo.
Tamaño de las muestras: Teniendo en cuenta las limitaciones del ensayo y para asegurar
que los pernos a ensayar fallen por cortante, se debe garantizar que la fuerza aplicada sea menor
a la resistencia por aplastamiento de las placas y mayor resistencia al corte del perno.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 76
Para calcular la resistencia al cortante del perno utiliza la Ecuación 3.2, y la resistencia al
aplastamiento de las placas atornilladas mediante las Ecuación 3.3, Ecuación 3.4, Ecuación 3.5,
Ecuación 3.6 y Ecuación 3.7.
3.5.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos a compresión.
• 3 placas de acero de 10 x 10 cm con un espesor de 1.4 cm con un agujero de 1cm de
diámetro cada una.
• Calibrador o pie de rey.
• Pernos de acero normados, así como tuercas y arandelas para el mismo.
3.5.4 Procedimiento básico
1) Tomar las dimensiones del perno a ensayar.
2) Tomar las medidas de las placas de acero, así como las perforaciones sobre ellas.
3) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de corte de pernos en el equipo
de laboratorio para ensayos de compresión.
4) Programar el equipo de acuerdo al ensayo.
5) Aplicar la carga a velocidad constante.
6) Tomar el valor de la carga máxima aplicada.
3.5.5 Evaluación
• Registrar los datos e información en la ficha técnica correspondiente al ensayo, Anexo
4.
• Determinar y esquematizar la falla producida por el ensayo.
• Determinar el esfuerzo al cual el perno falla por corte.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 77
Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera
En el caso de ensayos de laboratorio que permitan conocer y clasificar especies de madera,
existen métodos normados por la ASTM, específicamente la D-143 (Métodos de prueba
estándar para muestras pequeñas y claras de madera) sección 14 (Cizallamiento paralelo al
grano), a la cual nos referiremos en el caso de obtener las propiedades mecánicas de la madera.
3.6.1 Objetivos
Objetivo general
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en la madera.
Objetivos específicos
• Determinar la resistencia al corte paralelo a la fibra de la madera.
• Obtener la curva esfuerzo cortante - contenido de humedad.
3.6.2 Fundamento teórico
Cuando se determina el comportamiento de una muestra de madera sometida a una carga
cortante, la densidad de ésta no es un factor de importancia como lo es en la resistencia a la
compresión, tracción y flexión. Al contrario de la densidad, un factor de importancia es la
estructura interna de las fibras de la especie de madera a analizar (Gómez, Cobo, Díez, & López
Zaldívar, 2017).
Tamaño de las muestras: Para el ensayo a cortante paralelo a la fibra, se debe obtener una
muestra de madera estándar, cuya particularidad es que las fibras de la estructura de la madera
estén dispuestas en el sentido paralelo a la carga aplicada al momento de realizar el ensayo. El
tamaño de las muestras serán de 50x50x63 mm, para producir fallas en una superficie de 50x50
mm (Figura 3.4) (ASTM D143, 2014).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 78
Figura 3.4: Espécimen de prueba de corte paralelo a la fibra.
Fuente: Adaptado de (ASTM D143, 2014)
Esfuerzo cortante: El esfuerzo a cortante (𝜏) se presenta tangencialmente en la sección
transversal designada en la muestra cuando se somete a una carga paralela a la fibra o grano,
viene dado por la Ecuación 2.2.
Contenido de humedad: Una vez realizado el ensayo hasta producir la rotura de la probeta,
se procede a obtener su contenido de humedad con la porción de la pieza de prueba que se
desprende. Se puede evaluar el contenido de humedad mediante la Ecuación 3.1 (ASTM
D4442, 2007).
Velocidad de prueba: La carga se aplicará continuamente durante toda la prueba a una
velocidad de movimiento del pistón de 0,6 mm/min (ASTM D143, 2014).
Fallas de prueba: En todos los casos donde la falla en la base de la muestra se extienda
hacia atrás sobre la superficie de soporte, la prueba debe ser eliminada (Figura 3.5) (ASTM
D143, 2014).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 79
Figura 3.5: Falla sobre la superficie de soporte – vista frontal, perfil, lateral e isométrico.
Fuente: Propiedad del autor.
3.6.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos a compresión.
• Accesorios para ensayos de laboratorio para corte en muestras de madera.
• Probetas de madera estándar.
3.6.4 Procedimiento básico
1) Colocar el accesorio para ensayo de corte en la madera dentro del equipo de compresión
del laboratorio.
2) Tomar las dimensiones de la sección de corte de la muestra.
3) Colocar la muestra en el accesorio y ajustarlo para que la carga genere una fuerza
cortante sobre la sección asignada en la muestra de madera.
4) Alinear el pistón del equipo de laboratorio con el brazo del accesorio de corte.
5) Programar el equipo de laboratorio.
6) Evaluar el contenido de humedad.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 80
3.6.5 Evaluación
• Registrar en la ficha correspondiente Anexo 6, los datos pertinentes de las muestras y
los resultados obtenidos.
• Esquematizar la falla producida.
• Determinar el esfuerzo a cortante para cada uno de las probetas ensayadas.
• Evaluar el contenido de humedad de cada muestra ensayada.
• Trazar la curva esfuerzo cortante - contenido de humedad del grupo de muestras
ensayadas de una determinada especie de madera.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 81
Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos)
Las vigas son elementos estructurales utilizados para soportar cargas perpendiculares a su
eje neutro, para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares aplicadas a lo largo
de su longitud y el comportamiento que presenten ante estas cargas. Según el tipo de apoyo
que se aplique a la viga se pueden clasificar en cuatro tipos, como se muestra en la Figura 3.6
(Chang & Pérez, 2017, p. 26).
Figura 3.6: Tipos de vigas.
Fuente: (Chang & Pérez, 2017).
Un ensayo a flexión de una viga se utiliza para determinar los siguientes puntos:
• La flecha elástica bajo una carga dada.
• La carga correspondiente a una determinada flecha.
• La flecha correspondiente a la carga máxima aplicada.
En el caso de ensayos de laboratorio que permitan clasificar especies de madera y determinar
sus propiedades mecánicas, existen métodos normados por la ASTM, específicamente la D-
143 (Métodos de prueba estándar para muestras pequeñas y claras de madera) y D-198
(Métodos de prueba estándar de pruebas estáticas de madera en tamaños estructurales) sección
4 (Flexión). A las cuales el lector debe referirse para el caso de obtener las propiedades físicas
y mecánicas de diferentes especies de madera.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 82
3.7.1 Objetivos
Objetivo general
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos.
Objetivos específicos
• Determinar el máximo esfuerzo normal en el rango elástico que puede soportar una viga
cuando está sometida a cargas que le producen flexión.
• Determinar la distribución de esfuerzos normales en el rango elástico sobre la sección
de la viga.
• Evaluar la localización del eje neutro en la sección de la viga.
• Obtener la curva carga – deflexión.
3.7.2 Fundamento teórico
El ensayo del esfuerzo normal en vigas se lo realizará en una viga simplemente apoyada
sometida a flexión por dos cargas puntuales, ubicadas a la misma distancia medida desde el
centro de la viga respectivamente (Figura 3.7), mientras se toma registro de la magnitud de las
cargas aplicadas y la deflexión provocada.
Figura 3.7: Esquema del ensayo a esfuerzo normal - cuatro puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 83
Probetas: Las probetas deben tener las dimensiones adecuadas que permitan la correcta
realización del ensayo usando el equipo de laboratorio existente u optar por un pre -
dimensionamiento de las mismas utilizando las siguientes relaciones para vigas de sección
rectangular Ecuación 3.8 y Ecuación 3.9:
ℎ =𝐿
10
Ecuación 3.8
𝑏 =ℎ
2
Ecuación 3.9
Donde:
ℎ = Altura de la viga.
b = Base de la viga.
L = Distancia entre apoyos.
r = Distancia entre el borde y el punto de apoyo (mínimo 7mm).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 84
Diagrama fuerza cortante y momento flexionante: El diagrama de la fuerza cortante y
momento flexionante producido en la viga se pueden obtener mediante el método expuesto en
la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante) por la
Ecuación 2.9 y Ecuación 2.10 aplicadas sobre la longitud de la viga.
Figura 3.8: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a cuatro puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
El diagrama de la fuerza cortante se puede apreciar en la Figura 3.8a. La distribución de la
fuerza cortante en la viga se restringe únicamente a los segmentos internos de viga, adyacentes
a los apoyos, esto es debido a que la configuración de las cargas aplicadas genera fuerzas
cortantes en longitud entre la carga y las reacciones en los apoyos, y a su vez la inexistencia de
cortante en la porción media de la longitud entre las cargas aplicadas.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 85
El punto de análisis de la viga se encuentra en el punto medio de la distancia entre apoyos.
El momento flector producido en este punto no es afectado por fuerzas cortantes, por lo cual
en esta porción de viga se producirá únicamente flexión pura.
Esfuerzo normal o de flexión: El esfuerzo normal que se presenta en la sección transversal
se presenta debido al Momento flector producido por la carga inducida en la viga, y viene dada
por la por la Ecuación 2.19.
Flecha: Es la distancia máxima que existe entre el eje neutro en estado de reposo (sin carga)
y el estado solicitado (bajo una carga aplicada). Al realizar la prueba para la condición de carga
dada, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 dados por el equipo (deformímetro), en
el centro de la luz de la viga con la flecha máxima en el centro de la viga dada por la solución
analítica Ecuación 3.10.
𝑓 =𝑃 ∗ 𝑎
24 ∗ 𝐸𝐼∗ (3𝐿2 − 4𝑎2)
Ecuación 3.10
Donde:
𝑓 = Flecha.
P = Carga aplicada.
L = Distancia entre apoyos.
E = Módulo de elasticidad.
I = Momento de inercia.
a = Distancia entre el apoyo y la carga.
La Ecuación 3.10 solo se aplica cuando el material llega a su límite elástico, y para un
sistema de dos cargas puntuales simétricas al centro de la luz de la viga.
Velocidad de prueba para vigas de madera: La carga se aplicará continuamente durante
toda la prueba a una velocidad de movimiento del pistón de 2,5 mm/min (ASTM D143, 2014).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 86
Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión estática
se clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se
desarrolla la falla (Tabla 3.2). Las superficies fracturadas pueden dividirse en "impetuosa" y
"fibroso", el término "impetuosa" indica una falla abrupta y "fibroso" indica una fractura que
muestra astillas (ASTM D143, 2014).
Tabla 3.2
Tipos de fallas de madera clara en la flexión con tramo paralelo a la fibra.
Fuente: Adaptada y traducida de (ASTM D143, 2014).
Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba se cortará una sección
de la viga de aproximadamente 25 mm de longitud cerca del punto de falla. La muestra se
utilizará para calcular el contenido de humedad existente utilizando la Ecuación 3.1 (ASTM
D143, 2014).
3.7.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos de flexión en vigas.
• Apoyos para las probetas.
• Deformímetro.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 87
• Probetas (madera, metálicas, concreto u otros).
3.7.4 Procedimiento básico
1) Tomar las dimensiones (luz, base, altura) de la probeta en la sección de aplicación de
las cargas.
2) Señalar en la viga los puntos de apoyo, los puntos de aplicación de las cargas y el eje
longitudinal.
3) Situar el dispositivo de carga o pistón en los puntos de aplicación de las cargas.
4) Ajustar el deformímetro en el centro de la luz.
5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que se deforme de forma plástica
o hasta que la probeta presente una falla o rotura.
6) Tomar nota de los datos obtenidos de carga y deflexión.
3.7.5 Evaluación
• Registrar en la ficha de ensayo correspondiente Anexo 7, los datos medidos de acuerdo
con el procedimiento.
• Trazar la curva carga - deflexión para cada probeta.
• Calcular la flecha producida y comparar con la deflexión producida en el ensayo.
• Esquematizar el comportamiento del material si es llevado hasta su falla o rotura.
• Calcular el esfuerzo normal de flexión en la sección transversal ubicado en el punto
medio de la viga.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 88
Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos)
3.8.1 Objetivos
Objetivo general
• Describir y realizar el ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos.
Objetivos específicos
• Determinar la distribución de esfuerzos cortantes en el rango elástico sobre la sección de
la viga.
• Evaluar la localización del eje neutro en la sección de la viga.
• Obtener la curva carga – deflexión.
3.8.2 Fundamento teórico
Para el ensayo del esfuerzo cortante en vigas, se utilizará una viga simplemente apoyada en
ambos extremos. Sometida a una carga puntual aplicada en el centro de la distancia entre
apoyos (Figura 3.9), mientras se toma registro de la magnitud de la carga aplicada y la deflexión
provocada por la misma. Esta carga debe aplicarse en forma continua, lenta y gradualmente.
Figura 3.9:Esquema del ensayo a esfuerzo cortante - tres puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 89
Probetas: Las dimensiones de las probetas serán iguales a las dimensiones utilizadas en el
ensayo a cuatro puntos para vigas sometidas a flexión, sección 3.7.2 (Probetas).
Diagrama fuerza cortante y momento flexionante: El diagrama de la fuerza cortante y
momento flexionante producido en la viga se pueden obtener mediante el método expuesto en
la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante), para la
condición de apoyo y la configuración de carga aplicada. El diagrama del cortante y momento
en la viga se puede apreciar en la siguiente figura (Figura 3.10).
Figura 3.10: Diagrama fuerza cortante y momento flexionante para el ensayo a tres puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 90
Flecha: Para vigas sometidas a flexión producida por una carga puntual ubicada en el centro
de la luz, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 obtenidos por el ensayo, con los
valores obtenidos con la solución analítica dada por la teoría de elasticidad, Ecuación 3.11.
𝑓 =1
48∗𝑃 ∗ 𝐿3
𝐸𝐼
Ecuación 3.11
Donde:
𝑓 = Flecha.
P = Carga aplicada.
L = Distancia entre apoyos.
E= Módulo de elasticidad.
I= Momento de inercia.
La Ecuación 3.11 solo se aplica cuando el material se comporta de manera lineal o llega a
su límite elástico.
Esfuerzo cortante longitudinal: El esfuerzo a cortante que se presenta es perpendicular a la
sección transversal de la viga y se expresa mediante la Ecuación 2.20.
Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba para vigas de cuyo
material es la madera se procede a obtener el contenido de humedad mediante la Ecuación 3.1,
como se especifica en la sección 3.6.2.
Velocidad de prueba para vigas de madera: La carga se aplicará continuamente durante
toda la prueba a una velocidad de movimiento del pistón de 2,5 mm/min (ASTM D143, 2014).
Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión se
clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se
desarrolla la falla, como se muestran en la Tabla 3.2 (ASTM D143, 2014).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 91
3.8.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos de flexión en vigas.
• Apoyos para probeta.
• Deformímetro.
• Probetas (madera, metálicas, concreto u otros).
3.8.4 Procedimiento básico
1) Tomar las dimensiones (Luz, base y alto) de la probeta en la sección de aplicación de la
carga.
2) Señalar en la viga los puntos de apoyo, el punto de aplicación de la carga y el eje
longitudinal.
3) Situar el dispositivo de carga o pistón en el punto de aplicación de la carga.
4) Ajustar el deformímetro en el centro de la luz.
5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que la viga se deforme de forma
plástica o presente una falla o rotura.
6) Tomar nota en las tablas de los datos obtenidos de carga y deflexión.
3.8.5 Evaluación
• Registrar en la ficha correspondiente Anexo 8, los datos medidos de acuerdo con el
procedimiento.
• Trazar la curva carga - deflexión para cada probeta.
• Calcular la flecha producida y comparar con la deflexión producida en el ensayo.
• Calcular el esfuerzo cortante transversal por flexión en la sección transversal ubicado
en el punto medio de la viga.
• Esquematizar el comportamiento del material si es llevado hasta su falla o rotura.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 92
Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas
3.9.1 Objetivos
Objetivo general
• Describir y realizar el ensayo de deflexión en vigas de madera semi - empotradas.
Objetivo especifico
• Obtener la curva carga – deflexión.
3.9.2 Fundamento teórico
El ensayo trata de simular las condiciones típicas de un elemento tipo viga en una estructura,
pues las condiciones de apoyo que presenta una viga generalmente son de empotramiento en
ambos extremos. Para este ensayo se utilizará vigas de madera, sujetos en ambos extremos y
sometidos a una carga puntual en el centro de la longitud entre apoyos. Debido a limitaciones
del equipo de laboratorio, se puede restringir el desplazamiento vertical y la rotación en los
apoyos de la viga, pero por el momento no se puede restringir el desplazamiento horizontal,
por lo que se puede considerar que el elemento está sometido a un semi - empotramiento en los
apoyos, lo que no influye en gran medida al ensayo, pues el elemento no estará sometido a
cargas horizontales (Figura 3.11), todo esto mientras se toma registro de la magnitud de la
carga aplicada y la deflexión provocada por la misma.
Figura 3.11:Esquema del ensayo de flexión en viga semi - empotrada.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 93
Probetas: Se utilizarán probetas de madera prismáticas cuyas dimensiones serán iguales a
las dimensiones utilizadas en el ensayo a cuatro puntos para vigas sometidas a flexión, sección
3.7.2 (Probetas).
Diagrama fuerza cortante y momento flexionante: El diagrama de la fuerza cortante y
momento flexionante producido en la viga se pueden obtener mediante el método expuesto en
la sección 2.7.2 (Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante), para las
condiciones de apoyo y la configuración de carga aplicada en la viga (Figura 3.12).
Figura 3.12: Diagrama de la fuerza cortante y momento flector en una viga semi - empotrada.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 94
Flechas: Para el ensayo de vigas sometidas a flexión por una carga puntual y condición de
apoyo de semi - empotrado, se puede comparar los valores de la deflexión 𝛿 obtenidos por el
ensayo, con los valores obtenidos con la solución analítica, Ecuación 3.11. Esta ecuación solo
se aplica cuando el material llega a su límite elástico.
𝑓 =𝑃 ∗ 𝐿3
192 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
Ecuación 3.12
Donde:
𝑓 = Flecha.
P = Carga aplicada.
L = Distancia entre apoyos.
E= Módulo de elasticidad.
I= Momento de inercia.
Contenido de humedad para vigas de madera: Después de la prueba se procede a obtener
el contenido de humedad como se especifica en la sección 3.6.2 y la Ecuación 3.1.
Velocidad de prueba para vigas de madera: La carga se aplicará continuamente durante
toda la prueba a una velocidad de movimiento del pistón de 2,5 mm/min (ASTM D143, 2014).
Descripción de las fallas por flexión para vigas de madera: Las fallas de flexión se
clasificarán de acuerdo con la apariencia de la superficie fracturada y la forma en que se
desarrolla la falla, como se muestran en la Tabla 3.2 (ASTM D143, 2014).
3.9.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos de flexión en vigas.
• Apoyos para la probeta.
• Deformímetro.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 95
• Probetas de madera.
3.9.4 Procedimiento básico
1) Tomar las dimensiones (Luz, base, alto) de la probeta en la sección de aplicación de la
carga.
2) Situar el dispositivo de carga o pistón en el punto de aplicación de la carga.
3) Ajustar el deformímetro en el centro de la luz.
4) Ajustar los apoyos de la viga de manera que se impida la rotación y el desplazamiento
vertical de la viga.
5) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada hasta que la probeta se deforme de forma
plástica o se produzca una falla o rotura en el material.
6) Tomar nota en las tablas de los datos obtenidos de carga y deflexión.
3.9.5 Evaluación
• Registre en la ficha correspondiente (Anexo 9), los datos medidos de acuerdo con el
procedimiento.
• Trazar la curva carga – deflexión para cada probeta.
• Calcular la flecha producida y comparar con la deflexión producida en el ensayo.
• Esquematizar el comportamiento del material si es llevado hasta su falla o rotura.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 96
Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas
Las columnas están presentes en toda estructura portante, entender su comportamiento ante
cargas y momentos a las cuales pueden estar sometidas permite diseñar elementos estructurales
capaces de resistir y trabajar ante cualquier solicitación. El ensayo pretende relacionar la carga
aplicada a una columna con el posible pandeo que esta puede presentar, todo esto en función
del tipo de sujeción en sus extremos y de la rigidez que presente el material.
3.10.1 Objetivos
Objetivo General
• Describir y realizar el ensayo de carga crítica y pandeo en columnas.
Objetivos Específicos
• Apreciar los efectos producidos por una carga a compresión sobre un elemento
columna.
• Esquematizar el pandeo producido por los diferentes tipos de sujeción en las columnas.
• Obtener la carga crítica en columnas con diferentes tipos de sujeción.
3.10.2 Fundamento teórico
Este ensayo es didáctico, no posee ninguna normativa a seguir, se basa en conocimientos
adquiridos en clase. Se trata de diseñar un ensayo a escala que permita recrear el fenómeno de
pandeo de las columnas que están sometidos a cargas axiales a compresión. En la Tabla 2.3 se
puede observar los casos comunes de pandeo que presenta una columna, las condiciones de
apoyo que presenta y la relación que existe con la longitud efectiva.
Tamaño de las muestras: Las mismas deben poseer una altura (h) no mayor a 54.5cm y un
largo (a) máximo de 2cm, esto para poder realizar correctamente el ensayo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 97
Figura 3.13:Dimensionamiento de las probetas de ensayo de pandeo de columnas.
Fuente: Propiedad del autor.
Carga crítica y longitud efectiva: La carga crítica puede ser calcula mediante la fórmula
de Euler (Ecuación 2.29), la longitud efectiva varía dependiendo del tipo de sujeción que posee
en los extremos y puede ser calculada mediante las fórmulas mostradas en la Tabla 2.3.
3.10.3 Materiales y equipos
• Equipo de laboratorio para ensayos de pandeo en columnas.
• Probetas.
• Calibrador o pie de rey.
3.10.4 Procedimiento básico
1) Colocar los accesorios correspondientes para el ensayo de pandeo en columnas.
2) Tomar las dimensiones de las probetas de ensayo.
3) Colocar una probeta en cada uno de los diferentes compartimentos del equipo de ensayo.
4) Aplicar carga con pesas de diferente magnitud hasta que se logre producir el efecto de
pandeo debido al tipo de sujeción.
5) Tomar el valor de la carga máxima aplicada en cada probeta.
6) Tomar el valor de la longitud efectiva de las probetas de ensayo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 98
3.10.5 Evaluación
• Registre en la ficha correspondiente (Anexo 10), los datos medidos de acuerdo con el
procedimiento.
• Determinar el tipo de pandeo que se produce según los diferentes tipos de sujeción.
• Determinar la carga crítica de cada una de las probetas de ensayo.
• Determinar la longitud efectiva de las probetas de ensayo.
• Comparar los resultados obtenidos por el ensayo con los datos calculados.
• Esquematizar los efectos producidos por los tipos de sujeción sobre las probetas de
ensayo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 99
CAPÍTULO 4
4. ENSAYOS DE LABORATORIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
Ensayo de la resistencia a tracción del acero
4.1.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Se colocaron los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción, teniendo en
cuenta que estos deben estar correctamente colocados y fijados, para evitar que se
desprendan al momento de aplicación de la carga. Eso incluye, ajustar con los pernos
necesarios los accesorios al equipo, verificar que los mismos estén correctamente
sujetos y asegurarse que el equipo este colocado y fijado para realizar ensayos a
tracción.
3) Se tomó los datos correspondientes de la probeta a ensayar y se registró en la sección
de la ficha técnica asignada a la Longitud, diámetro y material de la probeta.
4) Para fijar las probetas se debe hacer el uso de mordazas de acero templado, estas deben
estar sujetas a los extremos de la probeta y dispuestas fijamente en los accesorios del
equipo para el ensayo a tracción, Figura 4.3.
5) Se debe agregar que se puede hacer uso de cinta adhesiva o de cintas elásticas para
sujetar las mordazas a los extremos de la probeta, esto puede facilitar la colocación de
la probeta sobre el equipo.
6) Colocar el deformímetro firmemente y que sea visible para la toma de datos, Figura
4.4. El deformímetro debe estar dispuesto de tal manera que pueda medir el
desplazamiento vertical entre dos puntos calibrados, ya sea la longitud calibrada de la
probeta o por lo contrario el desplazamiento del pistón.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 100
7) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo, diámetro de la probeta y
demás datos que requiera el software del equipo Figura 4.5. Si el equipo mide de manera
independiente la carga aplicada y el desplazamiento, se recomienda tomar los datos
coordinadamente mediante un temporizador o uso de video cámaras, también se
recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de
precisión del ensayo depende de la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad,
mayor será la precisión de los resultados.
8) Para iniciar el ensayo, se puede aplicar una carga inicial con el fin de que la probeta se
encuentre sujeta al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar
los datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.
9) Aplicar la carga a tracción de forma continua hasta el momento de falla del material.
Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda proveer el equipo
de laboratorio existente, para este caso se configuró la perilla del equipo en el “número
3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor configuración del
equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su vez la toma de
datos requeridos para el análisis del material, Figura 4.6.
10) Se tomaron los datos arrojados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada hasta
el momento de rotura de la probeta Figura 4.8. Este paso se lo ha realizado de forma
manual e independiente, pero se espera que este paso sea eliminado una vez el equipo
sea actualizado para tomar los datos de forma automática y digital, permitiendo al
usuario simplemente exportar la información en un formato de archivo.
11) Los cálculos realizados para el ensayo fueron hechos en hojas de cálculo, además se
utilizó el software de cálculo Matlab R16a, los detalles del procedimiento se encuentran
en el Anexo 11.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 101
4.1.2 Resultados obtenidos
Los datos presentados a continuación pertenecen a un ensayo de laboratorio similar al
mencionado en este documento, debido a que el equipo no está actualizado para obtener los
datos necesarios de Carga y alargamiento, se utilizaron datos de un ensayo similar que da como
resultado el comportamiento del material que se espera obtener en el ensayo de laboratorio
descrito en este texto.
Ficha técnica del Ensayo
Longitud de la
probeta Lt (mm)200
Diámetro mayor
(mm)15 Material
Longitud
calibrada de la
probeta Lc (mm)
70Diámetro menor
(mm)10 Falla
P δ δ A ɛ σ E
(kg) (pulg) (mm) (mm2) (u) (Mpa) (Mpa)
0.0 0.0 0.0 78,54 0,0000 0.0 0,000
443.8 0.1 1.3 78,54 0,0184 55.4 2.828,550
471.0 0.1 1.4 78,54 0,0196 58.8 3.014,597
1069.6 0.1 3.1 78,54 0,0444 133.6 3.011,579
1590.4 0.2 4.6 78,54 0,0660 198.6 3.006,388
1903.2 0.2 5.5 78,54 0,0790 237.7 3.006,406
2100.6 0.2 6.1 78,54 0,0872 262.4 2.979,580
2241.4 0.3 6.5 78,54 0,0931 280.0 3.005,845
2857.4 0.3 8.3 78,54 0,1187 356.9 3.013,769
3342.4 0.4 9.7 78,54 0,1388 417.5 3.005,427
3580.6 0.4 10.4 78,54 0,1487 447.2 3.018,715
3940.7 0.5 11.5 78,54 0,1636 492.2 3.004,828
4513.3 0.5 13.1 78,54 0,1874 563.7 3.001,860
4801.7 0.5 14.0 78,54 0,1994 599.8 3.001,685
5070.8 0.6 14.7 78,54 0,2106 633.4 2.998,338
5164.5 0.6 15.0 78,54 0,2145 645.1 3.092,112
5226.4 0.6 15.2 78,54 0,2170 652.8 1.975,688
5294.4 0.6 15.5 78,54 0,2213 661.3 177,806
5299.0 0.6 15.7 78,54 0,2245 661.9 -900,212
5262.2 0.6 16.1 78,54 0,2296 657.3 2.002,394
5289.4 0.6 16.2 78,54 0,2313 660.7 3.973,050
5295.8 0.6 16.2 78,54 0,2315 661.5 96,735
5334.8 0.8 19.7 78,54 0,2818 666.3 784,800
5643.2 0.9 23.2 78,54 0,3309 704.9 911,244
Dúctil
Acero
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
PROBETA #1FECHA:
ENSAYO DE LA RESISTENCIA A TRACCIÓN DEL ACERO
NOMBRES: JONNATHAN GUACHUN - DAVID JERVES
Jerves Córdova, Guachún Suco. 102
5999.3 1.0 26.6 78,54 0,3797 749.3 739,489
6263.3 1.2 29.7 78,54 0,4243 782.3 463,541
6798.1 1.6 39.8 78,54 0,5684 849.1 244,527
6891.1 1.7 43.1 78,54 0,6159 860.7 171,773
6959.6 1.8 46.6 78,54 0,6657 869.3 147,263
7010.8 2.0 49.6 78,54 0,7092 875.7 100,119
7049.9 2.1 53.0 78,54 0,7578 880.6 165,544
7062.6 2.1 53.7 78,54 0,7674 882.1 37,175
7073.9 2.2 56.4 78,54 0,8054 883.6 19,454
7077.5 2.3 58.0 78,54 0,8291 884.0 19,927
7081.6 2.4 59.8 78,54 0,8547 884.5 -4,459
7081.1 2.4 60.8 78,54 0,8679 884.5 -146,333
7067.1 2.4 61.6 78,54 0,8799 882.7 -366,432
7027.2 2.5 62.5 78,54 0,8935 877.7 -264,182
7003.1 2.5 63.3 78,54 0,9049 874.7 -2.822,721
6743.2 2.5 64.1 78,54 0,9164 842.3 -4.898,048
6245.2 2.6 65.0 78,54 0,9291 780.1 -6.065,736
5550.7 2.6 66.0 78,54 0,9434 693.3 734,908
3,015.41
Observaciones: El ensayo no presento problemas, además debido a que el equipo no cuenta con los sensores que midan la carga a tracción
y el alargamiento, se tuvo que utilizar datos de carga a tracción de un ensayo similar y ajustarlos a los datos recolectados de alargamiento
tomados con un deformímetro digital. El material presento el fenómeno de estricción antes de presentar una falla dúctil cerca al centro de la
longitud calibrada. La duración del ensayo desde el momento de aplicación de la carga hasta el momento de la falla fue de 2 min y 23 seg.
Mòdulo de elasticidad promedio E
Jerves Córdova, Guachún Suco. 103
Gráficas resultantes
Jerves Córdova, Guachún Suco. 104
4.1.3 Memoria fotográfica
Figura 4.1: Equipo universal de tracción-compresión.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.2: Elementos de sujeción para el
ensayo a tracción de acero.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.3: Mordazas de acero templado.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.4: Deformímetro colocado de
forma lateral. Medición del
desplazamiento del pistón.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 105
Figura 4.5: Panel de configuración del computador del
equipo de tracción-compresión para ensayo a tracción
del acero.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.6: Indicador de la velocidad que ejerce el
pistón del equipo universal de compresión.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.7: Probeta de acero.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.8: Carga aplicada a la cual la probeta de
ensayo falla.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.9: Probeta ensayada hasta la rotura.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.10: Falla dúctil en el material.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 106
4.1.4 Conclusiones
• Se obtuvieron las gráficas carga vs alargamiento y esfuerzo de tracción vs
deformación unitaria del material.
• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica
y cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. El límite
elástico del material fue de 654 Mpa.
• El Esfuerzo máximo del material fue de 884 Mpa y su Esfuerzo último, es decir, el
esfuerzo con el cual el material falló fue de 696 Mpa.
• El Módulo de elasticidad del material fue obtenido del promedio de pendientes de
la zona elástica del material y cuyo valor fue de 3008 Mpa.
4.1.5 Recomendaciones
Aunque la Guía Metodológica y su Ficha correspondiente sirven para realizar el ensayo de
tracción en el acero, no está restringido al mismo, pudiendo utilizarse otros materiales
metálicos siempre que se respete las limitaciones del equipo del laboratorio.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 107
Ensayo de la resistencia a compresión de la madera
4.2.1 Procedimiento realizado
Compresión paralela a la fibra
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Se tomó los datos correspondientes de las probetas a ensayar y se registró en la sección
de la ficha técnica asignada a la Longitud, ancho, altura y material de la probeta con
ayuda de un calibrador o vernier, Figura 4.12 y Figura 4.13.
3) Se colocaron los accesorios correspondientes en los extremos de la probeta y esta se
colocó dentro del equipo de compresión. Las probetas deben estar dispuesta de tal forma
que las fibras internas estén paralelas a la carga a ser aplicada. Se procura que la probeta
este centrado dentro del pistón, es decir, que la carga que va a ser aplicad va a estar
centrado a la sección de la probeta (Figura 4.15).
4) Se colocó el deformímetro de forma que se pueda medir el desplazamiento vertical del
pistón.
5) Una vez acoplada la probeta de madera e instalado el deformímetro, se encera el equipo
de ensayo.
6) Programar el equipo: las unidades de medida y demás datos que requiera el software del
equipo. El equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el desplazamiento,
se recomienda tomar los datos coordinadamente mediante un temporizador o uso de
video cámaras, también se recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy
amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de la cantidad de datos
recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los resultados.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 108
7) Para iniciar el ensayo, se puede aplicar una carga inicial con el fin de que la probeta se
encuentre fijo al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar los
datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.
8) Al empezar el ensayo se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que
pueda proveer el equipo de laboratorio existente, para este caso se configuró la perilla
del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la
mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material
y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.
9) Tomar los datos aportados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada a la
probeta de ensayo.
10) Se tomaron los datos arrojados por el equipo y el deformímetro hasta el momento de
falla del material, este paso es manual ya que el equipo del laboratorio no toma los datos
de forma automática, Figura 4.18.
11) Una vez terminado el ensayo, tomar la o las probetas ensayadas y determinar el
contenido de humedad, para ello se tomó los datos correspondientes al peso actual de la
probeta y luego el peso seco de la misma una vez haya sido secado al horno por un
periodo de 24 horas. Los datos son registrados en la sección de la ficha correspondiente
del ensayo.
12) Los cálculos realizados para el ensayo fueron hechos en hojas de cálculo, además se
utilizó el software de cálculo Matlab R16a, los detalles del procedimiento se encuentran
en el Anexo 11.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 109
Compresión perpendicular a la fibra
Para el ensayo a compresión perpendicular a la fibra de la madera, se realizó el
procedimiento anteriormente mencionado, salvo que en esta ocasión se cambió la posición de
las probetas al momento de ensayarlas, y las colocamos en sentido que la carga aplicada quede
perpendicular a las fibras, es decir, colocamos la probeta horizontalmente en el equipo de
laboratorio, Figura 4.19.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 110
4.2.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
Compresión paralela a la fibra
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Jerves Córdova, Guachún Suco. 112
Gráficas resultantes
Gráfica de un ensayo único - Probeta #1
Jerves Córdova, Guachún Suco. 113
Jerves Córdova, Guachún Suco. 114
Gráficas de un conjunto de ensayos - Probeta #1, #2, #3 y #4
Jerves Córdova, Guachún Suco. 115
Ficha técnica del Ensayo
Compresión perpendicular a la fibra
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Jerves Córdova, Guachún Suco. 116
Altura h (mm) 151.2Área de sección
transversal A (mm2)2347.40 Peso Inicial Pw (g) 170.11
Largo a (mm) 48.5Superficie de Corte
de la muestraRADIAL Peso Seco Ps (g) 147.85
Ancho b (mm) 48.4Contenido de
humedad %15.06
P (kg) δ (pulg) δ (mm) Deformación unitaria ɛ σ (Mpa) E (Mpa)
0 0 0.000 0 0.0000 0.0
269 0.005 0.127 0.000840 1.1242 1338.389
506 0.010 0.254 0.001680 2.1146 1179.175
691 0.015 0.381 0.002520 2.8878 920.453
850 0.020 0.508 0.003360 3.5522 791.092
973 0.025 0.635 0.004200 4.0663 611.977
1114 0.030 0.762 0.005040 4.6555 701.535
1210 0.035 0.889 0.005880 5.0567 477.641
1312 0.040 1.016 0.006720 5.4830 507.493
1391 0.045 1.143 0.007560 5.8131 393.058
1475 0.050 1.270 0.008399 6.1642 417.936
1545 0.055 1.397 0.009239 6.4567 348.280
1601 0.060 1.524 0.010079 6.6907 278.624
1655 0.065 1.651 0.010919 6.9164 268.673
1715 0.070 1.778 0.011759 7.1671 298.525
1762 0.075 1.905 0.012599 7.3636 233.845
1806 0.080 2.032 0.013439 7.5474 218.919
1849 0.085 2.159 0.014279 7.7271 213.943
1892 0.090 2.286 0.015119 7.9068 213.943
1941 0.095 2.413 0.015959 8.1116 243.796
1977 0.1000 2.540 0.016799 8.2621 179.115
2006 0.1050 2.667 0.017639 8.3833 144.287
2037 0.1100 2.794 0.018479 8.5128 154.238
2067 0.1150 2.921 0.019319 8.6382 149.263
2097 0.1200 3.048 0.020159 8.7636 149.263
2119 0.1250 3.175 0.020999 8.8555 109.459
2133 0.13 3.302 0.021839 8.9140 69.656
2150 0.135 3.429 0.022679 8.9850 84.582
2174 0.14 3.556 0.023519 9.0853 119.410
2190 0.145 3.683 0.024358 9.1522 79.607
2205 0.15 3.810 0.025198 9.2149 74.631
733.875
FECHA: 16/09/2019 CARGA: PERPENDICULAR A LA FIBRA
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DE LA RESISTENCIA A COMPRESIÓN DE LA MADERA
NOMBRES: DAVID JERVES - JONNATHAN GUACHÚN
Probeta # 3
Mòdulo de elasticidad promedio E
Observaciones: Probeta #3. Duración de la prueba desde el inicio de aplicación de la carga
hasta la falla del material 3 min 02 seg. La probeta no presentó una falla o rotura, pero si
grandes deformaciones, disminuyendo la altura y aumentando en gran medida su ancho.
Bosquejo:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 117
Gráficas resultantes
Gráficas de un conjunto de ensayos – Probeta #1 #2 y #3
Jerves Córdova, Guachún Suco. 118
4.2.3 Memoria fotográfica
Compresión paralela a la fibra
Figura 4.11: Equipo universal de compresión.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.12: Medición de la longitud de la probeta de
madera con ayuda del calibrador o vernier.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.13: Medición del largo y ancho de la
probeta de madera con ayuda del calibrador o
vernier.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.14: Accesorios de sujeción de acero para el
ensayo de compresión paralela a la fibra.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 119
Figura 4.15: Acoplamiento del elemento con el pistón
del equipo.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.16: Colocación adecuada del
deformímetro.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.17: Falla producida en la probeta.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.18: Probeta pesada antes y después del
secado para calcular el Contenido de humedad.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 120
Compresión perpendicular a la fibra
Figura 4.19: Ensayo a compresión
perpendicular a la fibra.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.20: Falla producida en el material.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.21: Probeta pesada antes y después
del secado para calcular el Contenido de
humedad.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.22: Secado al horno de las probetas ensayadas.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 121
4.2.4 Conclusiones
Compresión paralela a la fibra.
Se realizaron cuatro ensayos de laboratorio con probetas de madera de la misma especie y
de dimensiones estandarizadas. De las cuatro probetas ensayadas, la Probeta #3 fue descartada
conociendo la causa, es decir, presentó una falla provocada por el personal que realizó el
ensayo. Esto se lo efectuó para ejemplarizar ensayos que presentan defectos en su realización
y que de acuerdo a la teoría expuesta en la guía metodológica deben ser rechazadas en el
análisis.
• Se obtuvieron las curvas carga vs desplazamiento y esfuerzo de compresión vs
deformación unitaria.
• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica y
cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. Los limites
para cada probeta y el Contenido de humedad fueron los siguientes:
- Limite elástico de la Probeta #1 es igual a 28.9 Mpa con un Contenido de humedad
de 16.7%.
- Limite elástico de la Probeta #2 es igual a 29.5 Mpa con un Contenido de humedad
de 16.8%.
- Limite elástico de la Probeta #4 es igual a 40.1 Mpa con un Contenido de humedad
de 13.9%.
• Se obtuvo una Línea de tendencia cuya pendiente es el valor promedio de las pendientes
de los diferentes ensayos, está pendiente es el Módulo de elasticidad del material
ensayado y cuyo valor fue de 4233 Mpa.
• Se identificó y se esquematizo en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,
siendo la más común la Falla por cizallamiento o corte, según lo especificado en la
teoría y por las normas utilizadas.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 122
Compresión perpendicular a la fibra.
Se realizaron los ensayos a tres probetas de madera de la misma especie, de las tres probetas
una de ellas fue una muestra tomado de una sección Longitudinal del árbol, esta muestra
perteneciente a la probeta #1 de madera obtuvo resultados diferentes a las dos muestras de
madera tomadas de una sección Radia del árbol.
• Se obtuvieron las curvas carga vs desplazamiento y esfuerzo de compresión vs
deformación unitaria.
• Se identificó el Limite elástico del material con una recta paralela a la zona elástica y
cuyo punto inicial se ubica en 0.002 unidades de la deformación unitaria. Los limites
para cada probeta y el Contenido de humedad fueron los siguientes:
- Limite elástico de la Probeta #1 es igual a 11.7 Mpa con un Contenido de humedad
de 9.33%.
- Limite elástico de la Probeta #2 es igual a 6.87 Mpa con un Contenido de humedad
de 16.8%.
- Limite elástico de la Probeta #4 es igual a 5.96 Mpa con un Contenido de humedad
de 15.1%.
• Se obtuvo una Línea de tendencia cuya pendiente es el valor promedio de las pendientes
de los diferentes ensayos, está pendiente es el Módulo de elasticidad del material
ensayado y cuyo valor para la probeta obtenido de una sección longitudinal fue de 1325
Mpa. Para las probetas obtenidas de una sección Radial el valor promedio de su
pendiente o Módulo de elasticidad fue de 779 Mpa.
• Se identificó y se esquematizó en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,
siendo la más común la Falla por aplastamiento, con la aparición de agrietamientos
horizontales a medida que aumentaba la deformación. Todo esto basado según lo
especificado en la teoría y por las normas utilizadas.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 123
4.2.5 Recomendaciones
Compresión paralela a la fibra.
Los ensayos que buscan obtener las propiedades mecánicas de la madera están sujetas a
muchas variables como se expuso en la teoría sobre el ensayo a compresión de la madera. Se
recomienda recurrir a las normativas y la ASTM para la caracterización de los diferentes tipos
de madera.
Compresión perpendicular a la fibra.
No hay comentarios adicionales al ensayo debido a que el procedimiento es similar al
presentado en el Ensayo de la resistencia a compresión paralela a la fibra de la madera.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 124
Ensayo de contacto o aplastamiento en placas Gusset
4.3.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Se colocaron los accesorios correspondientes para el ensayo a tracción, teniendo en
cuenta que estos deben estar correctamente colocados y fijados, para evitar que se
desprendan al momento de aplicación de la carga. Eso incluye, ajustar con los pernos
necesarios los accesorios al equipo, verificar que los mismos estén correctamente sujetos
y asegurarse que el equipo este colocado y fijado para realizar ensayos a tracción.
3) Tomar las dimensiones de la placa a ensayar y de los pernos de sujeción con ayuda de
un calibrador o vernier (Figura 4.24, Figura 4.25, Figura 4.26 y Figura 4.27). Se
registraron estos datos en la ficha correspondiente para realizar un cálculo previo para
verificar que la probeta a ensayar efectivamente fallará por contacto en la sección
analizada.
4) Instalar la probeta en el equipo de laboratorio y verificar que esté debidamente fijo y
sujeto al equipo con ayuda de los pernos de sujeción (Figura 4.29).
5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo, dimensiones de la probeta
y demás datos que requiera el software del equipo Figura 4.30. Si el equipo mide de
manera independiente la carga aplicada y el desplazamiento, se recomienda tomar los
datos coordinadamente mediante un temporizador o uso de video cámaras, también se
recomienda tomar los datos del ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de
precisión del ensayo depende de la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad,
mayor será la precisión de los resultados.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 125
6) Para iniciar el ensayo, se puede aplicar una carga inicial con el fin de que la probeta se
encuentre sujeta al equipo, esta carga inicial no se considera al momento de recolectar
los datos y el ensayo inicia después de que el equipo se encuentre calibrado en cero.
7) Aplicar la carga a tracción de forma continua hasta el momento que se produzca el
fenómeno de aplastamiento o contacto. Se recomienda usar una velocidad de aplicación
de carga que pueda proveer el equipo de laboratorio existente, para este caso se
configuró la perilla del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered
advance”, esta es la mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno
de falla del material y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material,
Figura 4.8.
8) El ensayo finaliza hasta conseguir un alargamiento del material que permita apreciar el
segmento donde se produjo el fenómeno del aplastamiento, también se puede realizar el
ensayo hasta que falle el material en la región designada a fallar por aplastamiento o
contacto.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 126
4.3.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
PROBETA # 1
Resistencia a tracción del
perno fub (kg/mm2)84.36
Resistencia última del
acero de la placa fu
(kg/mm2)
45.89
Coeficiente seguridad del
perno αv 0.5
Coeficiente mínimo de
seguridad del perno αb 0.9
Área transversal del perno
As (mm2)314.159
Diámetro agujero do
(mm)20
Número de pernos 2 Coeficiente k1 2.5
Coeficiente de seguridad
ϒm2 1.25
Espesor de la placa t
(mm)2
Resistencia al cortante
Fv,Rb (kg)21201.96
Coeficiente de seguridad
ϒm2 0.25
Resistencia al
aplastamiento Fb,Rb
(kg)
3304.08
Carga de falla aplicada P
(kg)
Resistencia máxima de
aplastamiento (kg)
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO EN
PLACAS GUSSET
NOMBRES: DAVID JERVES - JONNATHAN GUACHÚN
FECHA: 22/10/2019
Dimensiones de la probeta o placa de acero
CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTECÁLCULO DE RESISTENCIA AL
APLASTAMIENTO
Observaciones: El ensayo se realizó aplicando una
velocidad de carga a tracción constante. El tiempo de
duración del ensayo, entre momento de aplicación de la
carga y el momento de la falla fue de 1 min 12 seg. Como
se puede apreciar en el bosquejo, la placa de ensayo falla
por aplastamiento en una de sus perforaciones, y de forma
menos perceptible se produjo una deformación en la otra
perforación. Debido a las limitaciones que posee el equipo
para la realización del ensayo no se pudo obtener la carga
de falla, ni su resistencia máxima aplicada.
Bosquejo:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 127
4.3.3 Memoria fotográfica
Figura 4.23: Accesorios para el ensayo de aplastamiento en placas.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.24: Medición del espesor de la placa de
ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.25: Medición del diámetro del agujero de
la placa a ensayar.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.26: Medición de la longitud de la probeta de
la placa de ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.27: Medición del ancho de la placa de
ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 128
Figura 4.28: Instalación de accesorios para el ensayo de
placas por aplastamiento.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.29: Placa de ensayo fija con los
accesorios correspondientes.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.30: Panel de configuración del equipo de tracción para el ensayo de aplastamiento en placas.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.31: Esquema de falla de la placa Gusset.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 129
4.3.4 Conclusiones
Debido a que el equipo por el momento no da lectura de la carga a tracción aplicada a la
placa, no fue posible obtener el registro de la carga de falla y la resistencia máxima de
aplastamiento.
• La placa falló por aplastamiento en la sección de agarre de la probeta, como se puede
ver en el esquema anterior (Figura 4.31), produciendo un desgarre del material en la
región adyacente al diámetro ubicado en la zona inferior y produciendo una
deformación mínima en el agujero ubicado en la zona superior de la probeta.
• Resiste al cortante igual a 21201. 96 kg.
• Resistencia al aplastamiento igual a 3304.08 kg.
4.3.5 Recomendaciones
El ensayo no es exclusivo para esta configuración de carga y placa con sujeción apernada,
puede ser modificado para observar el comportamiento de las conexiones siempre que se tenga
en cuenta las limitaciones del equipo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 130
Ensayo del esfuerzo cortante en pernos
4.4.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Previo a iniciar el ensayo se tomó las dimensiones tanto del perno a ensayar y de las
placas de anclaje y para registrarlos en la ficha correspondiente al ensayo.
3) Sujetar las tres placas de acero con el tornillo de ensayo de manera que la placa del
medio sobresalga de entre las dos placas exteriores, esto para generar un desplazamiento
al momento de aplicar la carga, Figura 4.32. Se tuvo en cuenta el uso de arandelas al
momento de sujetar las placas con el perno de ensayo.
4) Introducir en el equipo de compresión el elemento armado de ensayo, y colocar una
placa de acero en medio del pistón y el elemento armado, esto para asegurar el elemento
para el ensayo, Figura 4.34.
5) Encerar el equipo de ensayo (Figura 4.17) y empezamos a aplicar carga de forma
continua hasta el momento que el perno falle por corte. Se recomienda aplicar la carga
a una velocidad media, configurando la perilla del equipo en “número 3” y el avance del
pistón en “full advance”, Figura 4.6.
6) El ensayo termina cuando el perno falle por cortante, y el perno se divida en tres partes,
es decir, dos secciones de corte (Figura 4.35). El equipo visualizara la última carga
aplicada al elemento, Figura 4.37.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 131
4.4.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
PROBETA # 1
Resistencia a tracción del perno
fub (kg/mm2)84,63
Resistencia última del acero de la
placa fu (kg/mm2)45,89
Coeficiente seguridad del perno
αv 0,5
Coeficiente mínimo de seguridad
del perno αb 1
Área transversal del perno As
(mm2)78,54 Diámetro del perno d (mm) 10
Número de pernos 1 Coeficiente k1 2,5
Coeficiente de seguridad ϒm2 1,25 Espesor de la placa t (mm) 15
Resistencia al cortante Fv,Rb (kg) 2658,74 Coeficiente de seguridad ϒm2 1,25
Carga de falla aplicada P (kg) 10022Resistencia al aplastamiento
Fb,Rb (kg)13767
Resistencia máxima de
cortante (kg/mm2)127,60
CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTECÁLCULO DE RESISTENCIA AL
APLASTAMIENTO
Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad
aplicando cargas a compresión a una velocidad constante.
El tiempo de duración del ensayo, entre momento que se
aplicó la carga y el y en el que se produjo la falla fue de
0min 42seg. En el bosquejo se puede apreciar el efecto
producido por el ensayo, el perno falló por cortante doble,
es decir el elemento se dividió en 3 elementos.
Dimensiones de la placa de acero
Bosquejo:
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DE ESFUERZO CORTANTE EN PERNOS DE ACERO
NOMBRES: David Jerves, Jonnathan Guachún
FECHA: 22/10/2019
Jerves Córdova, Guachún Suco. 132
4.4.3 Memoria fotográfica
Figura 4.32: Modo de armado de los elementos de
ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.33: Armado final del elemento para el
ensayo a corte.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.34: Elemento de ensayo fijo y alineado con el
pistón del equipo universal de compresión.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.35: Falla del perno por corte.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 133
Figura 4.36: Carga última registrada al
momento del fallo del perno.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.37: Esquematización de la falla en el perno de ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
4.4.4 Conclusiones
Se produjo la falla por cortante en el perno, dividiéndolo el mismo en tres partes como se
puede observar en el esquema anterior (Figura 4.37). La carga cortante con el cual el perno
sufrió la rotura fue de 10022 kg y el último esfuerzo cortante que soporto el mismo fue de
127.6 kg/mm2.
4.4.5 Recomendaciones
Para la realización de ensayos a cortante que involucren otro tipo de materiales con
diferentes secciones, se recomienda diseñar y modificar los accesorios existentes en el
laboratorio, pues los mismos sirven únicamente para los materiales con las dimensiones ya
mencionados anteriormente en la respectiva Guía metodológica.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 134
Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera
4.5.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de los laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Se tomaron las dimensiones de la sección donde se producirá el corte con ayuda de un
calibrador o vernier y se registraron en la ficha correspondiente, Figura 4.38.
3) Colocar la probeta de ensayo en el accesorio de corte y esta a su vez se coloca dentro
del equipo de compresión, procurar que la barra transversal del accesorio esté ajustada
sobre la superficie de contacto de la probeta y que el extremo descanse uniformemente
sobre la base del equipo, Figura 4.40.
4) Se aseguró que el pistón del equipo de compresión ocupe toda el área de contacto del
brazo del accesorio de corte, este debe quedar completamente fijo y centrado, Figura
4.41.
5) Empezar a aplicar carga de forma continua hasta el momento que la probeta falle por
corte. Se recomienda usar la velocidad proporcionada por el equipo de laboratorio,
configurando la perilla en el “número 3”, hasta que el material presente una rotura. Una
vez sucedido esto se tomó nota de la carga con la cual la probeta presentó la falla a
cortante, Figura 4.42.
6) Evaluar el contenido de humedad utilizando la sección cortada de la probeta, para ello
pesamos la muestra cortada de la probeta, colocamos en el horno de secado durante un
periodo de 24 horas y se vuelve a obtener el peso, con estos datos se calcula el contenido
de humedad presente en la muestra de madera, Figura 4.43.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 135
4.5.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
1 Radial 2513 1994 7.784 39.4 25.18 56.5
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
2 Radial 2500 1952 7.660 42.06 25.03 68.0
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
3 Radial 2504 1976 7.741 41.7 26.09 59.8
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
4 Radial 2493 1527 6.009 41.83 27.43 52.5
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
5 Radial 2498 1974 7.752 41.3 26.05 58.5
Bosquejo
Observaciones: La probeta presentó una menor carga resistente al momento de rotura,
además, el corte se presenta por detrás de la sección se corte, por lo que la muestra debe
ser desechada, según lo indicado en ASTM D143.
Observaciones: La probeta presente nudos en su estructura, que son indicadores de que la
muestra de madera fue tomada en una parte donde existía la presencia de ramificacionese.
Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento de rotura fue
de 1 min 46 seg.
Muestra #
Bosquejo
Bosquejo
Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad. Velocidad de aplicación de la carga
fue constante. Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento
de rotura fue de 2 min 03 seg.
Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad. Velocidad de aplicación de la carga
fue constante. Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento
de rotura fue de 2 min 16 seg.
Muestra #
Muestra #
Bosquejo
Muestra #
Muestra #
Observaciones: El ensayo se realizó con normalidad. Velocidad de aplicación de la carga
fue constante. Duración del ensayo, entre momento de aplicación de la carga y el momento
de rotura fue de 1 min 24 seg.
Bosquejo
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE PARALELO A LAS FIBRAS DE LA MADERA
FECHA: 22/10/2019
NOMBRES: Jonnathan Guachun - David Jerves
Obtención de la
muestra
Obtención de la
muestra
Obtención de la
muestra
Obtención de la
muestra
Obtención de la
muestra
Jerves Córdova, Guachún Suco. 136
Gráficas resultantes
Jerves Córdova, Guachún Suco. 137
4.5.3 Memoria fotográfica
Figura 4.38: Probetas de madera con sección
reducida.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.39: Accesorio de corte para el equipo de
compresión.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.40: Accesorio montado y probeta colocada
para el ensayo a cortante.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.41: Accesorio instalado en el equipo de
laboratorio.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.42: Probeta ensayada, falla en la sección
de corte designada.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.43: Pieza menor obtenida de sección cortada
de la probeta, utilizada para el ensayo del Contenido
de humedad.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 138
4.5.4 Conclusiones
Se realizaron cinco ensayos de laboratorio con probetas de madera de la misma especie y
de dimensiones estandarizadas. De las cinco probetas ensayadas, la Probeta #4 fue descartada
conociendo la causa, es decir, presentó una falla provocada por el personal que realizó el
ensayo. Esto se lo hizo para ejemplarizar ensayos que presentan defectos en su realización y
que de acuerdo a la teoría expuesta en la guía metodológica deben ser rechazadas en el análisis.
• Se obtuvo la Curva Esfuerzo cortante vs Contenido de humedad.
• Se obtuvieron los esfuerzos cortantes a los cuales falló cada probeta:
- Probeta #1, muestra radial (R) de madera: Esfuerzo cortante de rotura igual a 7.78
Mpa con un Contenido de humedad de 56.5%.
- Probeta #2, muestra radial (R) de madera: Esfuerzo cortante de rotura igual a 7.76
Mpa con un Contenido de humedad de 68%.
- Probeta #3, muestra radial (R) de madera: Esfuerzo cortante de rotura igual a 7.74
Mpa con un Contenido de humedad de 59.8%.
- Probeta #4, muestra radial (R) de madera: Esfuerzo cortante de rotura igual a 7.75
Mpa con un Contenido de humedad de 58.5%.
• Se identificó y se esquematizó en cada ficha el tipo de falla presentado por la probeta,
siendo la más común la Falla por cizallamiento o corte, según lo especificado en la
teoría y por las normas utilizadas.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 139
4.5.5 Recomendaciones
La Guía Metodológica describe el ensayo y la utilización del equipo de laboratorio para
muestras pequeñas de madera, su uso puede también ampliarse para muestras de madera con
sus fibras perpendiculares a la carga aplicada, así también se podría ampliar el ensayo a otro
tipo de materiales. En estos casos se sugiere a la persona que realice el ensayo referirse a la
bibliografía existente, además debe de tenerse en cuenta las limitaciones propias del equipo de
laboratorio.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 140
Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos)
4.6.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Se tomó las dimensiones de longitud de la viga, Luz (distancia entre apoyos), base y alto
de la sección transversal de la viga en el punto medio de la Luz donde se va analizar los
resultados del ensayo.
3) Señalar en la viga los puntos de apoyo, los puntos de aplicación de las cargas y el eje
longitudinal. Además, se puede dibujar una malla o grilla en la zona media de la viga
que ayude a visualizar la deformación producida en la viga.
4) Colocar el accesorio de aplicación de las cargas en los puntos previamente marcados en
la viga. Se instaló el deformímetro de forma fija en el centro de la luz de la viga, de
forma que permita el registro de los datos.
5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo y demás datos que requiera
el software. Si el equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el
desplazamiento, se recomienda tomar los datos coordinadamente mediante un
temporizador o uso de video cámaras, también se recomienda tomar los datos del ensayo
en rangos no muy amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de la
cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los
resultados.
6) Iniciar el ensayo aplicada la carga de manera constante hasta que la viga sufra una
deflexión elástica. Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda
proveer el equipo de laboratorio existente. Para este caso se configuró la perilla del
equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor
Jerves Córdova, Guachún Suco. 141
configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su
vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.
7) En caso de ensayar hasta la rotura de la viga, se recomienda tener precaución con los
instrumentos de medición, pues estos pueden sufrir daños por los fragmentos producidos
al momento de falla del material. Por este motivo se realizaron los ensayos hasta el punto
que se considera que la viga tuvo una deflexión en el rango elástico, una vez producido
este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento y se
continuó con el ensayo hasta producir una falla del material.
8) Los ensayos realizados para vigas de material homogéneo y sección simétrica al centro
de gravedad; en este caso vigas de sección rectangular, no requieren la evaluación de su
eje neutro, él mismo puede ser consultado en tablas o formularios.
9) Para ensayos que involucren vigas de madera, se tiene en cuenta que se debe encontrar
el contenido de humedad en el mismo, en este caso al ser vigas de madera se extrajo
pequeñas muestras cubicas adyacentes a la zona de rotura, que luego se utilizaron para
la obtención del contenido de humedad.
10) Los cálculos realizados para el ensayo fueron hechos en hojas de cálculo, además se
utilizó el software de cálculo Matlab R16a, los detalles del procedimiento se encuentran
en el Anexo 11.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 142
4.6.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
Longitud a (mm) 235 7500
Base b (mm) 50 69.34
Altura h (mm) 150 58.75
Luz L (mm) 1000 18%
Inercia I (mm4) 14062500
P (kg) δ (pulg) δ (mm) Mo (kg*mm) S (mm4/mm) σ (Mpa) Ef (Mpa) Y (mm) σ (Mpa)
0 0.0000 0.00 0 187500 0.00000 0.000 75 41.80
1000 0.0815 2.07 235000 187500 12.29520 936.492 65 36.23
1200 0.0945 2.40 282000 187500 14.75424 969.269 55 30.66
1400 0.1098 2.79 329000 187500 17.21328 972.743 45 25.08
1600 0.1303 3.31 376000 187500 19.67232 937.057 35 19.51
1800 0.1469 3.73 423000 187500 22.13136 935.487 25 13.93
2000 0.1610 4.09 470000 187500 24.59040 947.940 15 8.36
2200 0.1740 4.42 517000 187500 27.04944 964.883 5 2.79
2400 0.1929 4.90 564000 187500 29.50848 949.488 -5 -2.79
2600 0.2126 5.40 611000 187500 31.96752 933.370 -15 -8.36
2800 0.2287 5.81 658000 187500 34.42656 934.235 -25 -13.93
3000 0.2421 6.15 705000 187500 36.88560 945.628 -35 -19.51
3200 0.2646 6.72 752000 187500 39.34464 923.113 -45 -25.08
3400 0.2764 7.02 799000 187500 41.80368 938.893 -55 -30.66
3550 0.2957 7.51 834250 187500 43.64796 916.353 -65 -36.23
3650 0.3122 7.93 857750 187500 44.87748 892.265 -75 -41.80
3700 0.3280 8.33 869500 187500 45.49224 861.055
3750 0.3441 8.74 881250 187500 46.10700 831.752
3800 0.3602 9.15 893000 187500 46.72176 805.076
3850 0.3764 9.56 904750 187500 47.33652 780.687
3900 0.3929 9.98 916500 187500 47.95128 757.545
945.277
FECHA: 22/10/2019 PROBETA #1
Área (mm2)
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO NORMAL Y DEFLEXIÓN EN VIGAS - CUATRO PUNTOS
NOMBRES: Jonnathan Guachun - David Jerves
Módulo de flexión promedio Ef
Observaciones: El ensayo se realizó hasta la falla del material, pero se aclara que la medición del desplazamiento se lo realizo hasta el punto en el cual se
consideró que la viga sufrió una deflexión en el rango elástico, luego de esto se retiró el deformímetro para evitar daños del mismo y se continuo el ensayo
hasta la falla del material. Duración del ensayo, desde el inicio de aplicación de la carga hasta el momento que se retiró el deformímetro 2 min 12 seg. La
última carga registrada al momento de falla de la viga fue de aproximadamente 4050 Kgf. Y la viga presento una rotura inclinada, que inicio desde su punto
inferior en el centro de la luz y se extendió en un Angulo aproximado de 45 grados hasta su parte superior. También se debe aclarar que la columna de carga P
es el valor de carga mostrado por el equipo dividido para 2, debido a la división de la carga en dos cargas puntuales, esto se lo realizó para facilitar los cálculos
en la ficha.
Bosquejo:
ESFUERZO NORMAL, MÓDULO DE SECCIÓN Y MÓDULO DE FLEXIÓNESFUERZO NORMAL EN
LA SECCIÓN
TRANSVERSAL
Peso Inicial Pw (g)
Peso Seco Ps (g)
Contenido de humedad %
Jerves Córdova, Guachún Suco. 143
Graficas resultantes
Jerves Córdova, Guachún Suco. 144
4.6.3 Memoria fotográfica
Figura 4.44: Ensayo de viga de madera a cuatro puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.45: Panel de programación del equipo para el ensayo.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.46: Colocación del deformímetro en el centro de la luz de la viga.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 145
Figura 4.47: Falla producida en la viga.
Fuente: Propiedad del autor.
4.6.4 Conclusiones
Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera simplemente apoyada de sección
rectangular, sometida a dos cargas puntuales simétricas al centro de la luz. En el ensayo de la
viga se tomó registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que, a criterio del
personal a cargo del ensayo, se consideraron dentro del rango elástico. Para poder identificar
que el material se comporte dentro del rango elástico, se verificó que los valores de carga y
deflexión tuvieran una variación constante, esto queda a criterio del personal que esté
realizando el ensayo. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se detuvo
el equipo de compresión y se retiró el deformímetro para luego proseguir con el ensayo hasta
producir la falla del material.
• Se obtuvo la curva carga vs deflexión de la viga de madera.
• Se obtuvo el valor que represente el límite del comportamiento elástico del material,
con una fuerza aplicada igual a 3400 kg y una deflexión igual a 7 mm.
• Se determinó el Momento máximo en el centro de la luz de la viga. este fue de 799000
Kg por mm.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 146
• Se obtuvo la distribución de esfuerzos normales con los valores del límite del
comportamiento elástico y el momento máximo en la sección de la viga ubicada en el
centro de la luz. El esfuerzo normal máximo en esta sección fue de 41.8 Mpa a tracción
en la parte inferior de la viga y de 41.8 Mpa a compresión en la parte superior de la
viga.
• Se determinó el Módulo a flexión del material, despejando el Módulo E de la fórmula
de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del Módulo a flexión para la
viga ensayada fue de 945 Mpa.
4.6.5 Recomendaciones
Para los casos de vigas prismáticas que son simétricas a sus ejes ortogonales, la ubicación
del eje neutro se encuentra en el centroide de la sección, por lo que no se requiere de la
evaluación del mismos, como es el caso de este ensayo realizado con vigas cuya sección es
rectangular. Esto no aplica para secciones de vigas que no sean simétricas a sus ejes
ortogonales, como algunos perfiles de acero o para vigas de materiales compuestos como vigas
de concreto armado, en estos casos el ensayo debe incluirse la evaluación y localización de sus
ejes ortogonales.
La fórmula del esfuerzo normal no es aplicable cuando el elemento que se ensaya deja de
comportarse de forma elástica, pero se puede utilizar la formulación para obtener la resistencia
última del material cuando este es llevado a la rotura.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 147
Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos)
4.7.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) Tomar las dimensiones de longitud de la viga, Luz (distancia entre apoyos), base y alto
de la sección transversal de la viga en el punto medio de la Luz donde se va analizar los
resultados del ensayo.
3) Señalar en la viga los puntos de apoyo, el punto de aplicación de la carga y el eje
longitudinal. Además, se puede dibujar una malla o grilla en la zona media de la viga
que ayude a visualizar la deformación producida en la viga.
4) Colocar el accesorio para aplicación de la carga en el punto previamente marcado en la
viga. Se instaló el deformímetro en el centro de la luz de la viga de forma que permita
la visualización y el registro de los datos.
5) Programar el equipo: las unidades de medida, tipo de ensayo y demás datos que requiera
el software. Si el equipo mide de manera independiente la carga aplicada y el
desplazamiento, se recomienda tomar la información coordinadamente mediante un
temporizador o el uso de video cámaras, también se recomienda tomar los datos del
ensayo en rangos no muy amplios de carga. El nivel de precisión del ensayo depende de
la cantidad de datos recolectados, a mayor cantidad, mayor será la precisión de los
resultados.
6) Iniciar el ensayo aplicada la carga de manera constante hasta que la viga sufra una
deflexión elástica. Se recomienda usar una velocidad de aplicación de carga que pueda
proveer el equipo de laboratorio existente. Para este caso se configuró la perilla del
equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta es la mejor
Jerves Córdova, Guachún Suco. 148
configuración del equipo que permite observar el fenómeno de falla del material y a su
vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.
7) En caso de ensayar hasta la rotura de la viga, se recomienda tener precaución con los
instrumentos de medición, pues estos pueden sufrir daños por los fragmentos producidos
al momento de falla del material. Por este motivo se realizaron los ensayos hasta el punto
que se considera que la viga tuvo una deflexión en el rango elástico, una vez producido
este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento y se
continuó con el ensayo hasta producir una falla del material.
8) Los ensayos realizados para vigas de material homogéneo y sección simétrica al centro
de gravedad; en este caso vigas de sección rectangular, no requieren la evaluación de su
eje neutro, él mismo puede ser consultado en tablas o formularios.
9) Para este ensayo se usaron vigas compuestas por cuatro láminas de madera unidas con
un adhesivo o cola. El objetivo de esto es el de provocar la falla del material en las
secciones longitudinales donde se encuentre el adhesivo. Es decir, se buscó que la falla
sea longitudinal para evaluar el efecto del esfuerzo cortante en vigas sometidas a flexión.
10) Los cálculos realizados para el ensayo fueron hechos en hojas de cálculo, además se
utilizó el software de cálculo Matlab R16a, los detalles del procedimiento se encuentran
en el Anexo 11.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 149
4.7.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
Base (mm) 50 Área (mm2) 7500
Altura (mm) 150 Peso humedo (g) 63.1
Luz (mm) 1000 Peso seco (g) 55.4
Inercia (mm4) 14062500Contenido de
humedad (%)14%
P (kg) Vo (kg) Q (mm*mm2) Ef (Mpa)
0 0 0 0 0.00 0.00 0
80 0.05 1.22 40 140625.00 0.08 953.01
120 0.07 1.82 60 140625.00 0.12 958.24
160 0.10 2.47 80 140625.00 0.16 941.43
220 0.13 3.31 110 140625.00 0.22 965.96
260 0.15 3.91 130 140625.00 0.26 966.41
300 0.18 4.62 150 140625.00 0.29 943.72
340 0.21 5.21 170 140625.00 0.33 948.43
380 0.23 5.80 190 140625.00 0.37 952.18
420 0.25 6.33 210 140625.00 0.41 964.30
460 0.27 6.92 230 140625.00 0.45 966.09
500 0.30 7.56 250 140625.00 0.49 961.20
540 0.32 8.10 270 140625.00 0.53 968.89
580 0.34 8.75 290 140625.00 0.57 963.35
620 0.37 9.40 310 140625.00 0.61 958.58
660 0.39 9.90 330 140625.00 0.65 968.89
700 0.42 10.72 350 140625.00 0.69 949.00
720 0.45 11.50 360 140625.00 0.71 909.91
740 0.50 12.78 370 140625.00 0.73 841.52
750 0.54 13.81 375 140625.00 0.74 789.28
770 0.62 15.77 385 140625.00 0.76 709.62
957.99
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS - TRES PUNTOS
NOMBRES: Jonnathan Guachun - David Jerves
FECHA: 22/10/2019 PROBETA # 1
Bosquejo:
Módulo de flexión promedio Ef
PRÁCTICA DE LABORATORIO
ESFUERZO CORTANTE Y FLECHA
𝛿 ( ) 𝜏 (Mpa)𝛿 ( )
Jerves Córdova, Guachún Suco. 150
y (mm) a´ (mm²) A´ (mm²) Q (mm*mm2)
75 3750 0 75 -
65 3250 500 70 35,000
55 2750 1000 65 65,000
45 2250 1500 60 90,000
35 1750 2000 55 110,000
25 1250 2500 50 125,000
15 750 3000 45 135,000
5 250 3500 40 140,000
0 0 3750 37.5 140,625
-5 -250 -3500 -40 140,000
-15 -750 -3000 -45 135,000
-25 -1250 -2500 -50 125,000
-35 -1750 -2000 -55 110,000
-45 -2250 -1500 -60 90,000
-55 -2750 -1000 -65 65,000
-65 -3250 -500 -70 35,000
-75 -3750 0 -75 -
0.61
0.66
0.68
0.69
0.68
0.66
Observaciones: Duración del ensayo desde el inicio de aplicación de la carga hasta su falla 2 min 57 seg. El
deformímetro fue retirado en el instante que se consideró que la viga no actuaba en su rango elástico. La falla
producida en la viga fue longitudinal, por la sección longitudinal central, donde presentaba una unión con un
adhesivo común a lo largo de su eje neutro.
0.54
0.44
0.32
0.17
-
ESFUERZO CORTANTE EN LA SECCIÓN
-
0.17
0.32
0.44
0.54
0.61
( ) 𝜏 (Mpa)
Jerves Córdova, Guachún Suco. 151
Graficas resultantes
Jerves Córdova, Guachún Suco. 152
4.7.3 Memoria fotográfica
Figura 4.48: Viga simplemente apoyada - tres puntos.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.49: Punto de aplicación de la carga en el
centro de la luz.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.50: Falla por cortante en la sección del Eje
neutro de la viga.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 153
Figura 4.51: Esquema de falla por cortante en la región media de la viga, vista perfil – Desplazamiento
horizontal de la sección superior sobre la sección inferior al eje neutro.
Fuente: Propiedad del autor.
4.7.4 Conclusiones
Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera laminada simplemente apoyada de
sección rectangular, sometida a una carga puntual en el centro de la luz. En el ensayo de la viga
se tomó registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que, a criterio del personal a
cargo del ensayo, se consideraron dentro del rango elástico. Para poder identificar que el
material se comporte dentro del rango elástico, se verificó que los valores de carga y deflexión
tuvieran una variación constante, esto queda a criterio del personal que esté realizando el
ensayo. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se detuvo el equipo de
compresión y se retiró el deformímetro para luego proseguir con el ensayo hasta producir la
falla del material.
• Se obtuvo la curva carga vs deflexión de la viga de madera.
• Se obtuvo el valor que represente el límite del comportamiento elástico del material,
con una fuerza aplicada igual a 700 kg y una deflexión igual a 10.7 mm.
• Se determinó el Cortante absoluto máximo según el diagrama de cortante a lo largo de
la longitud de la viga, es igual a 350 Kg.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 154
• Se obtuvo la distribución de esfuerzos cortantes con los valores del límite del
comportamiento elástico y el cortante máximo absoluto en la sección de la viga ubicada
en el centro de la luz. El esfuerzo cortante máximo en esta sección fue de 0.69 Mpa.
• Se determinó el Módulo a flexión del material, despejando el Módulo E de la fórmula
de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del Módulo a flexión para la
viga ensayada fue de 958 Mpa.
4.7.5 Recomendaciones
Los valores obtenidos presentan un inconveniente, pues la cantidad de datos registrados al
momento de realizar el ensayo, ocasiona que el análisis no tenga una gran precisión. Como se
puede apreciar en la columna Ef de la ficha técnica correspondiente a este ensayo, los valores
presentan variación entre punto y punto, por lo cual, se dificulta obtener el punto exacto sobre
una curva de tendencia donde el material deja de comportarse de manera elástica.
Al igual que en el Ensayo del Esfuerzo normal, no se requiere de la evaluación del eje neutro,
pues se trata de una viga prismática simétrica a los ejes ortogonales, esto no aplica si se realiza
el ensayo con vigas no prismáticas o de materiales compuestos.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 155
Ensayo de flexión en vigas de madera semi - empotradas
4.8.1 Procedimiento realizado
1) Utilizar el equipo e indumentaria de seguridad de acuerdo a lo especificado en las
Normas de Seguridad e Higiene establecidas para el uso de laboratorios de la
Universidad del Azuay.
2) El ensayo es similar a los dos ensayos anteriores de flexión, por lo que su realización es
similar con la única diferencia que debido al equipo de laboratorio actual solo se puede
ensayar con materiales a base de madera.
3) Para realizar el ensayo, se requiere generar una sujeción que simule el empotramiento,
por lo cual es necesario sujetar la viga en los extremos de tal forma que se impida el
desplazamiento vertical, horizontal y el giro. Esto se logra con el uso de los accesorios
del laboratorio tipo mordazas, los cuales constan de ocho varillas enroscadas con las que
sujetaremos los extremos de la viga, procurando que esta quede nivelada en ambos
extremos. De ser necesario se utilizará bases o bloques de acero para levantar el apoyo
como se muestra en la Figura 4.52.
4) Ajustar el pistón de carga sobre la viga, esté debe alinearse al centro de la luz de la viga
de ensayo.
5) Instalar el deformímetro en el centro de la luz de la viga de manera fija que permita el
registro de los datos.
6) Iniciar el ensayo aumentando la fuerza aplicada de manera constante hasta el momento
que viga se deforme de manera elástica. Se recomienda usar una velocidad configurando
la perilla del equipo en el “número 3” y el avance del pistón en “metered advance”, esta
es la mejor configuración del equipo que permite observar el fenómeno de deflexión del
material y a su vez la toma de datos requeridos para el análisis del material.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 156
7) Registrar los datos aportados tanto del deformímetro como de la fuerza aplicada a la
probeta de ensayo.
8) En caso de ensayar hasta la rotura de la viga, se recomienda tener precaución con los
instrumentos de medición, pues estos pueden sufrir daños por los fragmentos producidos
al momento de falla del material. Por este motivo se realizaron los ensayos hasta el punto
que se considera que la viga tuvo una deflexión en el rango elástico, una vez producido
este desplazamiento, se retiró la instrumentación que mide el desplazamiento.
9) El criterio de semi - empotramiento hace referencia a que en laboratorio por el momento
solo se puede simular condiciones de sujeción que impiden el desplazamiento vertical y
el giro, los accesorios que se posee actualmente no restringen el desplazamiento
horizontal. Esto no afecta en gran medida el desarrollo del ensayo o los resultados
obtenidos, pero debe tener en cuenta al momento de la realización de ensayos para vigas
empotradas.
10) Para este ensayo se quiere comparar la deflexión producida en laboratorio con la
obtenida teóricamente, no es necesario de obtener el contenido de humedad de la probeta
de madera, así que queda a criterio de él o las personas que realicen el ensayo.
11) Los cálculos realizados para el ensayo fueron realizados en hojas de cálculo, además se
utilizó el software de cálculo Matlab R16a para el análisis de los mismos, se detalla el
procedimiento en el Anexo 11.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 157
4.8.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
PROBETA # 1
Base t (mm) 50 Área A (mm2) 7500
Altura h (mm) 150 Peso Inicial Pw (g) 63.1
Luz L (mm) 1000 Peso Seco Ps (g) 53.98
Inercia I (mm4) 140262500 Contenido de humedad % 16.90%
P (kg) δ (pulg) δ (mm) Ef (Mpa)
0 0.000 0.00 0
150 0.003 0.08 683.011
300 0.004 0.10 1092.817
370 0.006 0.16 842.380
580 0.009 0.23 918.600
750 0.010 0.25 1092.817
960 0.014 0.36 971.393
1200 0.017 0.43 1016.574
1400 0.020 0.52 980.733
1650 0.026 0.65 924.691
1900 0.029 0.73 948.106
2200 0.033 0.85 942.823
2400 0.037 0.94 930.057
2700 0.042 1.07 919.192
2850 0.044 1.12 926.943
3000 0.046 1.18 926.116
3400 0.053 1.35 917.427
3700 0.057 1.46 923.156
4000 0.061 1.56 934.032
4200 0.064 1.62 944.410
4600 0.072 1.83 915.657
5000 0.078 1.97 924.549
5200 0.082 2.09 906.324
937.55
Bosquejo:
DESPLAZAMIENTO Y FLECHA GENERADA
Observaciones: La viga para este caso en particular, no fue llevada hasta su falla. El
deformímetro fue retirado en el momento que se consideró que la viga ya no se
comportaba en el rango elástico. Duración del ensayo hasta el momento de retirar el
deformímetro 1 min 47 seg. Este ensayo fue representativo, su objetivo es el de comprar
los valores obtenidos con los obtenidos con los cálculos teóricos.
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DE FLEXIÓN EN VIGAS DE MADERA SEMI-EMPOTRADAS
NOMBRES: DAVID JERVES - JONNATHAN GUACHÚN
Módulo de flexión promedio Ef
FECHA: 10/12/2019 CARGA: PUNTUAL
Jerves Córdova, Guachún Suco. 158
Gráficas resultantes
4.8.3 Memoria fotográfica
Figura 4.52: Mordaza sujeta a uno de los extremos de
la viga.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.53: Punto de aplicación de la carga
puntual.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 159
4.8.4 Conclusiones
Se realizó el ensayo a flexión para una viga de madera semi - empotrada y sección
rectangular, sometida una carga puntal en el centro de la viga. En el ensayo de la viga se tomó
registro de los datos pertinentes a la carga y la deflexión que se consideraron dentro del rango
elástico. Una vez se considera que la viga se desplazó de forma elástica, se terminó con el
ensayo y no se continuó con el mismo hasta la falla del material.
• Se obtuvo la curva carga vs deflexión de la viga de madera.
• Se obtuvo el valor que represente el límite del comportamiento elástico del material,
con una fuerza aplicada igual a 5200 kg y una deflexión igual a 2.09 mm.
• Se determinó el Módulo a flexión del material, despejando el Módulo E de la fórmula
de la flecha dada por la teoría de la elasticidad. El valor del módulo para la viga
ensayada fue de 937 Mpa.
4.8.5 Recomendaciones
El ensayo busca visualizar los efectos de una viga en condición de empotramiento, debido
a que el laboratorio aún no cuenta con la instrumentación adecuada para simular esta condición,
se optó por variantes que se asemejen las condiciones de empotramiento. Los resultados
obtenidos presentan un ligero error que no es de gran influencia, puesto que los Módulos a
flexión obtenidos en los tres ensayos de vigas, presentan una similitud, y esto es porque todos
los ensayos se realizaron con vigas de madera de la especie.
Como recomendación al momento de realizar el ensayo, se debe tener especial cuidado con
los accesorios del equipo, ya que presentaron algunos defectos que a futuro podrían representar
el desprendimiento del material o de los equipos que podrían producir accidentes o lesiones
para las personas que realicen el ensayo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 160
Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas
4.9.1 Procedimiento realizado
1) Se elaboraron cuatro probetas metálicas de zinc galvanizado e iguales dimensiones, cada
una adecuada para que sea ensayada según el tipo de sujeción.
2) Tomar las dimensiones (longitud, base y espesor) de la probeta de ensayo con ayuda del
calibrador o Venier (Figura 4.54 y Figura 4.55).
3) Tomar el peso que posee cada uno de los elementos de carga o pesas que se utilizan
para el ensayo, así como también las partes superiores que sujetan las probetas, ya que
estas también ejercen una carga inicial, Figura 4.56.
4) Colocar las probetas en cada uno de sus compartimentos, las cuales poseen diferentes
tipos de sujeción, estos deben quedar fijos para que al momento de cargar no presenten
desplazamientos horizontales o verticales que afecten los resultados del ensayo, Figura
4.57. Para el caso de las sujeciones tipo empotramiento, no se debe olvidar que para que
la probeta actúe como si su sujeción fuera empotrada, debe estar sujeta firmemente con
los tornillos pertenecientes al equipo, para facilitar su colocación es recomendable que
las probetas presenten perforaciones o agujeros que faciliten la sujeción al equipo.
5) Poner progresivamente los elementos de carga sobre las probetas hasta que se observe
un desplazamiento o pandeo por parte de los mismos. El valor del peso que produzca
este efecto sobre la probeta se considerara como la carga critica.
6) Cargamos un poco más allá de su carga crítica a cada probeta, esto para provocar un
efecto visible del tipo de pandeo que se produce en cada uno de los tipos de sujeción. Se
esquematiza el pandeo producido y se procede a realizar los cálculos en las fichas
técnicas correspondiente al ensayo.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 161
4.9.2 Resultados obtenidos
Ficha técnica del Ensayo
Bas
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la p
robet
a a
(cm
)2
Bas
e de
la p
robet
a a
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Bas
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de
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Módulo
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l E
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m2)
8.3
6E
+08
Módulo
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8.3
6E
+08
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cm)
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h (
cm)
43.5
Longi
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43.5
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2C
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cad
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g)
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2C
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g)
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a c
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ca t
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g)
498.6
4
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Pro
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Pro
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Jerves Córdova, Guachún Suco. 162
4.9.3 Memoria fotográfica
Figura 4.54: Obtención de la dimensión del espesor
de la probeta a ensayar.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.55: Obtención de la dimensión de la base de
la probeta a ensayar.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.56: Medición de los elementos de carga en
la balanza electrónica.
Fuente: Propiedad del autor.
Figura 4.57: Equipo de ensayo de pandeo de columnas
y sus diferentes tipos de sujeción.
Fuente: Propiedad del autor.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 163
4.9.4 Conclusiones
Se elaboraron cuatro probetas metálicas de zinc galvanizado con módulo de elasticidad de
82 Gpa para la realización de los ensayos, cada uno de ellas presentaban las mismas
dimensione, una altura de 43.5 cm y un área de la sección transversal de 0.28 cm2. Cada ensayo
presentó los siguientes resultados:
• Para la probeta con el tipo de sujeción articulado – articulado se obtuvo una carga
critica en laboratorio igual a 2003 g. y una carga critica teórica calculada de 1994 g.
• Para la probeta con el tipo de sujeción articulado – empotrado se obtuvo una carga
critica en laboratorio igual a 4103 g. y una carga critica teórica calculada de 4082 g.
• Para la probeta con el tipo de sujeción empotrado – empotrado se obtuvo una carga
critica en laboratorio igual a 8003 g. y una carga critica teórica calculada de 7978 g.
• Para la probeta con el tipo de sujeción libre – empotrado se obtuvo una carga critica
en laboratorio igual a 503 g. y una carga critica teórica calculada de 498 g.
4.9.5 Recomendaciones
El equipo de laboratorio y el material con el que se elaboren las probetas, no permiten que
el ensayo cuente con la exactitud correcta obtenida en los cálculos realizados. Por tal motivo,
el ensayo cuenta con un error de realización, debido a que las cargas criticas teóricas, no son
valores que puedan ser aplicados exactamente con el equipo de laboratorio. Este error no impide
que se pueda aplicar cargas aproximadas a las probetas y apreciar el fenómeno del pandeo
producido en una columna con diferentes tipos de sujeción.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 164
Jerves Córdova, Guachún Suco. 165
5. CONCLUSIONES
Mediante este trabajo de titulación, se elaboraron las Guías metodológicas para los ensayos
de laboratorio de la asignatura de Resistencia de Materiales, usando las normativas ASTM,
SAE, CTE, NEC y la bibliografía indicada. Estas fueron adaptadas acorde a las condiciones y
equipos existentes en el laboratorio perteneciente a la escuela de Ingeniería Civil de la
Universidad del Azuay. Las Guías metodológicas obtenidas son:
Guía metodológica Nº 1 - Ensayo de la resistencia a la tracción del acero y su ficha
correspondiente (Anexo 1).
Guía metodológica Nº 2 - Ensayo de la resistencia a la compresión en la madera y su ficha
correspondiente (Anexo 2).
Guía metodológica Nº 3 - Ensayo del esfuerzo de contacto o aplastamiento en placas Gusset y
su ficha correspondiente (Anexo 3).
Guía metodológica Nº 4 - Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero y su ficha
correspondiente (Anexo 4).
Guía metodológica Nº 5 - Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la madera y su
ficha correspondiente (Anexo 6).
Guía metodológica Nº 6 - Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas (cuatro puntos) y
su ficha correspondiente (Anexo 7).
Guía metodológica Nº 7 - Ensayo del esfuerzo cortante en vigas (tres puntos) y su ficha
correspondiente (Anexo 8).
Guía metodológica Nº 8 – Ensayo de flexión en vigas de madera semi – empotradas y su ficha
correspondiente (Anexo 9).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 166
Guía metodológica Nº 9 - Ensayo de la carga crítica y pandeo en columnas y su ficha
correspondiente (Anexo 10).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 167
6. BIBLIOGRAFÍA
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Wood and Wood. ASTM International, 04.10(Reapproved), 1–6.
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La+Teoría+de+la+Elasticidad+&ots=aE-
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Ingenieria Análisis de falla de pernos de acero AISI 12L14 Revista de Aplicaciones de la
Ingenieria. 3(6), 1–7.
Jerves Córdova, Guachún Suco. 170
7. ANEXOS
Anexo 1: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a tracción del acero
Longitud de la
probeta Lt (mm)Longitud total
Diámetro mayor
(mm)
Sección roscada de la
probetaMaterial
Longitud calibrada
de la probeta Lc
(mm)
Longitud donde se
medirá el
alargamiento
Diámetro menor
(mm)
Sección reducida
donde se producira la
falla
Falla
P δ δ A ɛ σ E
(kg) (pulg) (mm) (mm2) (u) (Mpa) (Mpa)
Carga aplicadaDesplazamiento
producido
Desplazamiento
producido
Área de sección
transversal
Esfuerzo de
tracción
Dato medido en
laboratorio
Dato medido en
laboratorio
Dato medido en
laboratorio
A= (Pi*diámetro
menor ^2)/4
σ= 9.81*(P/A)
Deformación
unitaria
ɛ= δ/Lc
Módulo de
elasticidad obtenido
por la ecuación de la
flecha dada por la
teoria de elasticidad.
E=σ/ɛ
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DE LA RESISTENCIA A TRACCIÓN DEL ACERO
NOMBRES:
FECHA: PROBETA
Valores que se mantienen significativamente
invariables en la región elasticaMòdulo de elasticidad promedio E
Observaciones:
Tipo de metal
Dúctil - Frágil
Jerves Córdova, Guachún Suco. 171
Gráfico Fuerza - Desplazamiento
Gráfico Esfuerzo de tracción - Deformación unitaria
Jerves Córdova, Guachún Suco. 172
Anexo 2: Ficha técnica para el Ensayo de la resistencia a la compresión paralelo y
perpendicular a la fibra de la madera
Alt
ura
h (
mm
)A
(mm
2)
Áre
a de
la s
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Mp
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a de
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.
E=
σ/ɛ
Bosq
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Obse
rvacio
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Bo
squejo
:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 173
Gráfico Fuerza – Desplazamiento
Gráfico Esfuerzo de compresión - Deformación unitaria
Jerves Córdova, Guachún Suco. 174
Anexo 3: Ficha técnica para el Ensayo de contacto o aplastamiento de placas de acero
PROBETA
Resistencia a tracción del
perno fub (kg/mm2)
Dato obtenido de las
especificaciones del perno
Resistencia última del
acero de la placa fu
(kg/mm2)
Dato obtenido de las especificaciones
del acero
Coeficiente seguridad del
perno αv
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
0.5
Coeficiente mínimo de
seguridad del perno αb
Dato de diseño obtenido (McCormac
y Csernak, 2012) = 0.9
Área transversal del perno
As (mm2)Dato medido en laboratorio
Diámetro agujero do
(mm)Dato medido en laboratorio
Número de pernos Coeficiente k1Dato de diseño obtenido (McCormac
y Csernak, 2012) = 2.5
Coeficiente de seguridad
ϒm2
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
2
Espesor de la placa t
(mm)Dato medido en laboratorio
Resistencia al cortante
Fv,Rb (kg)
Coeficiente de seguridad
ϒm2
Dato de diseño obtenido (McCormac
y Csernak, 2012) = 1.25
Resistencia al
aplastamiento Fb,Rb (kg)
Carga de falla aplicada
P (kg)Resultado del ensayo
Resistencia máxima de
aplastamiento (kg)P/As
Observaciones:
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO EN PLACAS GUSSET
NOMBRES:
Dimensiones de la probeta o placa de acero Gusset
CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTE CÁLCULO DE RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO
Bosquejo:
FECHA:
𝐹𝑣 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛
𝑚2
𝐹𝑏,𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡
𝑚2
Jerves Córdova, Guachún Suco. 175
Anexo 4: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en pernos de acero
PROBETA #
Resistencia a tracción del perno fub
(kg/mm2)
Dato obtenido de las
especificaciones del perno
Resistencia última del acero de
la placa fu (kg/mm2)
Dato obtenido de las
especificaciones del acero
Coeficiente seguridad del perno αv
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
0.5
Coeficiente mínimo de
seguridad del perno αb
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
1
Área transversal del perno As
(mm2)Dato medido en laboratorio Diámetro del perno d (mm) Dato medido en laboratorio
Número de pernos 1 Coeficiente k1
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
2.5
Coeficiente de seguridad ϒm2
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
1.25
Espesor de la placa t (mm) Dato medido en laboratorio
Resistencia al cortante Fv,Rb (kg) Coeficiente de seguridad ϒm2
Dato de diseño obtenido
(McCormac y Csernak, 2012) =
1.25
Resistencia al aplastamiento
Fb,Rb (kg)
Carga de falla aplicada P (kg) Resultado del ensayoResistencia máxima de
cortante (kg/mm2)Resultado del ensayo
Dimensiones de la placa de acero
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DE ESFUERZO CORTANTE EN PERNOS DE ACERO
NOMBRES:
FECHA:
CÁLCULO DE RESISTENCIA A CORTANTE CÁLCULO DE RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO
Observaciones: Bosquejo:
𝐹𝑣 =𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑢𝑏 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑛
𝑚2
𝐹𝑏,𝑅𝑑 =𝛼𝑏 ∗ 𝑘1 ∗ 𝑓𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡
𝑚2
Jerves Córdova, Guachún Suco. 176
Anexo 5: Tablas para especificaciones de pernos de acero
Tabla 7.1
Especificaciones SAE para pernos de acero.
Fuente: (Budynas & Nisbett, 2012, p. 415).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 177
Tabla 7.2
Especificaciones ASTM para pernos de acero.
Fuente: (Budynas & Nisbett, 2012, p. 415).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 178
Tabla 7.3
Especificaciones métricas para pernos de acero.
Fuente: (Budynas & Nisbett, 2012, p. 416).
Jerves Córdova, Guachún Suco. 179
Anexo 6: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante paralelo a las fibras de la
madera
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
Número de
la probeta
Zona de obtencion de
la muestra:
Tangencial, Radial o
Longitudinal (T-R-
LT)
Sección donde se
producira el
corte = b*a
Carga con la
cual la madera
se fractura
τ= 9.81*(P/A)
Peso obtenido de
la muestra de la
probeta
Peso obtenido
despues del
secado
Cálculo del
contenido de
humedad
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
Área de Corte
ACarga Max. P Esf. Cortante τ Peso Inicial Pw Peso Seco Ps
Contenido de
Humedad
(mm2) (kg) (Mpa) (g) (g) %
Obtención de la
muestra Muestra #
Observaciones:
Bosquejo: Esquema de fractura de la probeta
Observaciones: Bosquejo:
Muestra #
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE PARALELO A LAS FIBRAS DE LA MADERA
NOMBRES:
FECHA:
Obtención de la
muestra
Obtención de la
muestra Muestra #
Observaciones:
Bosquejo:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 180
Gráfico del Esfuerzo cortante – Contenido de humedad
Jerves Córdova, Guachún Suco. 181
Anexo 7: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas – cuatro
puntos
Longitud - a
(mm)
Distancia entre
el apoyo y la
carga
Área de la sección
transversal
Base b (mm)Sección
transversal
Peso obtenido de la
muestra de la probeta
Altura h (mm)Sección
transversal
Peso obtenido despues
del secado
Luz L (mm)Distancia entre
apoyos
Cálculo del contenido
de humedad
Inercia I (mm4)
P δ δ Mo S σ Ef Y σ
(kg) (pulg) (mm) (kg*mm) (mm4/mm) (Mpa) (Mpa) (mm) (Mpa)
Carga aplicadaDeflexión
producidad
Deflexión
producidad
Momento en el
punto centro de
la Luz = P*a
Módulo de sección de
área = I/C Esfuerzo Normal
Módulo de flexión
obtenido por la
ecuación de la flecha
dada por la teoria de
elasticidad
Altura de la
viga
Esfuerzo
normal en la
sección de la
viga
C = h/2
Bosquejo: Esquema de la fractura producida, para el caso de ensayar el
material hasta su fractura
Observaciones:
ESFUERZO NORMAL EN
LA SECCIÓN
TRANSVERSAL
ESFUERZO NORMAL, MÓDULO DE SECCIÓN Y MÓDULO DE FLEXIÓN
Valores que se mantienen significativamente
invariables en la región elasticaMódulo de flexión promedio Ef
RESISTENCIA DE MATERIALES
Área (mm2)
Peso Seco Ps (g)
Peso Inicial Pw (g)
Contenido de humedad %
PRÁCTICA DE LABORATORIO
PROBETA #:FECHA
NOMBRES:
ENSAYO DEL ESFUERZO NORMAL Y DEFLEXIÓN EN VIGAS - CUATRO PUNTOS
I = 𝑏∗
2
σ= 𝑜
∗ 9,81
Jerves Córdova, Guachún Suco. 182
Gráfico de la Carga aplicada – Deflexión
Gráfico de la distribución del Esfuerzo normal en la sección transversal
GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Conclusiones:
GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Conclusiones:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 183
Anexo 8: Ficha técnica para el Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos
Base t (mm)Sección
transversalÁrea A (mm2)
Área de la
sección
transversal
Altura h (mm)Sección
transversal
Peso Inicial Pw
(g)
Peso obtenido
de la muestra
de la probeta
Luz L (mm)Distancia entre
apoyosPeso Seco Ps (g)
Peso obtenido
despues del
secado
Inercia I
(mm4)
Contenido de
humedad %
Cálculo del
contenido de
humedad
P δ δ Vo Q τ Ef
(kg) (pulg) (mm) (kg) (mm*mm2) (Mpa) (Mpa)
Carga aplicada
Esfuerzo cortante
máximo producido
en la fibra del eje
neutro.
Deflexión
producida
Módulo de flexión
calculada con la
ecuación de la
flecha dada por la
teoria de
elasticidad.
Deflexión
producida
Bosquejo: Esquema de la fractura producida en caso de
ensayar el material hasta su fractura.
NOMBRES:
PROBETA #:
PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESISTENCIA DE MATERIALES
FECHA:
ENSAYO DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS - TRES PUNTOS
τ * 9.81
Momento Estático
Cortante
producido en el
punto de
analisis de la
viga = P/2
Valores que se mantienen significativamente invariables en
la región elasticaMódulo de flexión promedio Ef
ESFUERZO CORTANTE Y MÓDULO DE FLEXIÓN
𝑄 = ∗ 𝐴
I= 𝑏∗
2
Jerves Córdova, Guachún Suco. 184
Gráfico de la Carga aplicada – Deflexión
y a´ A´ Q
(mm) (mm²) (mm²) (mm) (mm*mm2)
τ
(Mpa)
Centroide del
A´
ESFUERZO CORTANTE EN LA SECCIÓN DE LA VIGA
Esfuerzo cortante en la sección
transversal.
τ * 9.81
Observaciones:
Eje coordenado
(y), con origen
en el eje neutro
de la sección
transversal.
Área bajo la
fibra de la
sección
analizada
Área sobre la fibra
de la sección
analizada
∗ 𝐴
GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Conclusiones:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 185
Gráfico de la distribución del Esfuerzo cortante en la sección transversal
GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Conclusiones:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 186
Anexo 9: Ficha técnica para el Ensayo a flexión en vigas de madera semi - empotradas
Base t (mm)Sección
transversalÁrea A (mm2)
Área de la sección
transversal
Altura h (mm)Sección
transversalPeso Inicial Pw (g)
Peso obtenido de la
muestra de la probeta
Luz L (mm)Distancia entre
apoyosPeso Seco Ps (g)
Peso obtenido despues del
secado
Inercia I (mm4)Contenido de humedad
%
Cálculo del contenido de
humedad
P δ δ Ef
(kg) (pulg) (mm) (Mpa)
Carga aplicada Deflexión producidad Deflexión producidad
DESPLAZAMIENTO Y FLECHA GENERADA
Bosquejo: Esquema de la fractura
producida en caso de ensayar el
material hasta su fractura
Observaciones:
ENSAYO DE FLEXIÓN EN VIGAS DE MADERA SEMI-EMPOTRADAS
RESISTENCIA DE MATERIALES
PRÁCTICA DE LABORATORIO
NOMBRES:
FECHA: PROBETA #
Módulo de flexión promedio Ef Valores que se mantienen significativamente
invariables en la región elastica
Módulo de
elasticidad
calculada con la
ecuación de la
flecha dada por la
teoria de
elasticidad
I = 𝑏∗
2
Jerves Córdova, Guachún Suco. 187
Gráfico de la Carga aplicada – Deflexión
GRÁFICO ESFUERZO-DEFORMACIÓN
Conclusiones:
Jerves Córdova, Guachún Suco. 188
Anexo 10: Ficha técnica para el Ensayo de la carga crítica y pandeo de columnas
Bas
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Jerves Córdova, Guachún Suco. 189
Anexo 11: Programación en Matlab
Funciones elaboradas para realizar el análisis de los datos obtenidos de los Ensayos de
laboratorio
SmoothCurve function[B]=SmoothCurve(A)
% DEVUELVE UNA MATRIZ DE NX2 EN LA CUAL LOS VALORES DE CADA FILA ESTAN
SEPARADOS POR UNA MAGNITUD CONSTANTE, SE PUEDE USAR PARA TRANSFORMAR
CANTIDADES DISPERSAS, EN CANTIDADES LINEALES
% [B]=smoothcurve(A)
% A= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]
% B= [ MATRIZ DE NX2 DEVUELTA ]
D=smooth(A(:,1));
S=smooth(A(:,2));
B=[D S];
figure
plot(B(:,1),B(:,2),'Xb')
grid on
hold on
plot(B(:,1),B(:,2),'b')
end
CurvePoint
function[Du_St]=CurvePoint(D_S)
% DEVUELVE UNA MATRIZ DE NX2 EN LA CUAL SE INTERPOLA LOS VALORES ENTRE FILAS DE
LA MATRIZ INGRESADA PARA OBTENER UNA MATRIZ CON VALORES CONSECUTIVOS
% [Du_St]= curvepoint(D_S)
% D_S= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]
% D_S(:,1) COLUMNAS DE DEFORMACIONES UNITARIAS
% D_S(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS
% Du_St= [ MATRIZ DE MX2 DEVUELTA ]
Du=[0:0.0001:D_S(end,1)];
St=interp1(D_S(:,1),D_S(:,2),Du,'spline');
Du_St=[Du' St'];
figure
plot(Du_St(:,1),Du_St(:,2),'b')
hold on
end
ElasticMod
function[Eprome]=ElasticMod(D_S,Rango)
% DEVUELVE EL VALOR PROMEDIO DE UNA MATRIZ DE PENDIENTES O MOD. ELAST
GENERADA A PARTIR DE LA MATRIZ D_S [DEFORMACION ESFUERZO]
EL PROMEDIO OBTENIDO E HACE REFERENCIA A LA ZONA LINEAL DE LA CURVA
DEFORMACION ESFUERZO
% [Eprome]=elasticmod(S_D)
% S_D= [MATRIZ DE NX2 INGRESADA]
% S_D(:,1)=COLUMNA DE ESFUERZOS
% S_D(:,2)=COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS
% Rango= [RANGO VISUAL DONDE SE APRECIA LA ZONA LINEAL DE LA
% CURVA ESF-DEF]
% Rango(1,1)= INICIO
% Rango(1,2)= FIN
% Eprome= MEDIA DE LA PARTE LINEAL DE LA GRAFICA ESFUERZO-DEFORMACION
% NOTA: PARA DEFINIR LA PARTE LINEAL DE LA GRAFICA, SE OBTIENE EL PORCENTAJE ENTRE
100*E(i)/E(i+1) Y LOS VALORES CONSECUTIVOS QUE ESTEN EN UN RANGO DE 101% A 99% SE
CONSIDERAN COMO VALORES QUE SIGUEN UNA TENDENCIA O LINEALIDAD
Jerves Córdova, Guachún Suco. 190
R=find(D_S(:,1)>=Rango(1,1) & D_S(:,1)<=Rango(1,2));
cnt1=1;
for i=R(2):R(end);% DEVUELVE UNA MATRIZ E DE VALORES DE PENDIENTE O MODULO ELASTICO
OBTENIDOS ENTRE DOS PUNTOS
E(cnt1)=(D_S(i,2)-D_S(i-1,2))/(D_S(i,1)-D_S(i-1,1));
cnt1=cnt1+1;
end
cnt2=1;
for i=1:length(E)-1; % DEVUELVE UNA MATRIZ DE PORCENTAJES OBTENIDOS ENTRE DOS
VALORES DE LA MATRIZ E
PorcE(cnt2)=(E(i))/(E(i+1))*100;
cnt2=cnt2+1;
end
format short g
Eprome=mean(E); % DEVUELVE LA MEDIA DE LA MATRIZ DE VALORES QUE SE CONSIDERAN
COMO LINEALES O ELASTICOS
ElastLine
function[Xe_Ye]=ElastLine(D_S,M)
% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE E
% [Xe_Ye]= Elastline(D_S,M,DELTA)
% D_S= [ MATRIZ DE NX2 INGRESADA ]
% D_S(:,1) COLUMNAS DE DEFORMACIONES UNITARIAS
% D_S(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS
% M= PENDIENTE PARA FORMAR LA RECTA
% Xe_Ye= [ MATRIZ DE NX2 DEVUELTA ]
Xelas=[0.002:D_S(2,1)-D_S(1,1):D_S(end,1)*1.3];
Yelas=[M*(Xelas-0.002)];
Xe_Ye=[Xelas' Yelas'];
figure
plot(D_S(:,1),D_S(:,2),'b');
hold on
plot(Xelas,Yelas,'r')
axis([0 max(D_S(:,1)) 0 max(D_S(:,2))])
end
ElastLimt
function[Limt]=ElastLimt(Rect,Curve)
% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA
% Curve= [MATRIZ DE NX2 INGRESADA]
% Curve(:,1) COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS
% Curve(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS
% Rect= [ MATRIZ DE MX2 INGRESADA ]
% Rect(:,1) COLUMNA DE DEFORMACIONES UNITARIAS
% Rect(:,2) COLUMNA DE ESFUERZOS
% Limt= VALOR DEL LIMITE ELASTICO [DEFORMACION ESFUERZO]
for i=1:length(Curve);
for j=1:length(Rect);
if round(Rect(j,1),5)==round(Curve(i,1),5);
if round(Rect(j,2)/Curve(i,2),4)>=0.99 & round(Rect(j,2)/Curve(i,2),4)<=1;
CntDS=i;
CntXY=j;
end
end
end
end
Limt=[Curve(CntDS,1) Curve(CntDS,2)];
figure
plot(Curve(:,1),Curve(:,2),'b')
grid on
Jerves Córdova, Guachún Suco. 191
hold on
plot(Limt(1,1),Limt(1,2),'hk')
plot(Rect(:,1),Rect(:,2),'r')
plot([Limt(1,1) Limt(1,1)],[0 Limt(1,2)],'g')
plot([0 Limt(1,1)],[Limt(1,2) Limt(1,2)],'g')
axis([0 Curve(CntDS,1)*1.1 0 Curve(CntDS,2)*1.1])
end
Jerves Córdova, Guachún Suco. 192
Análisis de los resultados obtenidos de los Ensayos de laboratorio
Ensayo a tracción en el acero
% INGRESO DE LA MATRIZ CON LOS DATOS OBTENIDOS DEL ENSAYO
MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA (KGF)]
A=[0 0
1.2901 443.8301212
1.36906 470.9945475
3.10896 1069.568323
4.6228 1590.371199
… …]
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA
[B]=smoothcurve(A);
% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES INGRESADOS EN LA MATRIZ A
[C]=curvepoint(B);
% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS. DA CONTINUIDAD A LA CURVA
DESCRITA POR LOS VALORES DE LA MATRIZ [C]
-----------------------------------------------------------------
% GRÁFICA CARGA VS DESPLAZAMIENTO
figure
plot(A(:,1),A(:,2),'b')
hold on
grid on
plot(C(:,1),C(:,2),'r')
ylabel('CARGA (Kgf)')
xlabel('DESPLAZAMIENTO O ALARGAMIENTO (mm)')
legend('CARGA VS DESPLAZAMIENTO (ENSAYO)','CARGA VS DESPLAZAMIENTO (SUAVIZADA)')
plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')
-----------------------------------------------------------------
% INGRESO DE LA MATRIZ CON LOS DATOS OBTENIDOS DEL ENSAYO
% MATRIZ=[DEFORMACION (U) ESFUERZO (MPA)]
A1=[0.0000 0.000
0.0184 55.436
0.0196 58.831
0.0444 133.593
… …]
-----------------------------------------------------------------
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO
[B1]=smoothcurve(A1);
% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES INGRESADOS EN LA MATRIZ A
[C1]=curvepoint(B1);
% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS.
% DA CONTINUIDAD A LA CURVA DESCRITA POR LOS VALORES DE LA MATRIZ [C1]
Rng=[0 0.2];
% VISUALMENTE EN LA GRAFICA OBTENIDA CON LA FUNCION CURVEPOINT, SE SELECCIONA
UN RANGO [LIM.INICIAL LIM.FINAL] DE VALORES DONDE SE VISUALICE EL RANGO ELASTICO
DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACION
Eprome=elasticmod(C1,Rng);
% OBTIENE LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL RANGO ELASTICO SELECCIONADO
Recta=Elastline(C1,Eprome);
% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE Eprome
Limt=Elastlimt(Recta,C1);
% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA DE LA CURVA
ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA
% GRAFICA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA
figure(1)
plot(A1(:,1),A1(:,2),'b')
hold on
grid on
Jerves Córdova, Guachún Suco. 193
plot(C1(:,1),C1(:,2),'r')
ylabel('ESFUERZO (MPA)')
xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)')
legend('ESFUERZO VS DEFORMACIÓN UNITARIA (ENSAYO)','ESFUERZO VS DEFORMACIÓN
UNITARIA (SUAVIZADA)')
plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')
figure(2)
plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')
axis([0 1 0 max(C1(:,2))*1.1])
ylabel('ESFUERZO (MPA)')
xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)')
hold on
grid on
-----------------------------------------------------------------
% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E
plot(Recta(:,1),Recta(:,2),'r')
hold on
-----------------------------------------------------------------
% GRAFICA DE LOS PUNTOS DONDE SE UBICAN LOS ESFUERZOS: LIMITES-MAXIMOS-ULTIMOS
plot([Limt(1,1) Limt(1,1)],[0 Limt(1,2)],'g')
plot([0 Limt(1,1)],[Limt(1,2) Limt(1,2)],'g')
plot(Limt(1,1),Limt(1,2),'hk')
legend('CURVA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN UNITARIA','RECTA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN
UNITARIA')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO')
text(0,0,'(0.22 u, 653.04 MPA)')
k=find(C1(:,2)==max(C1(:,2)))
plot(C1(k,1),max(C1(:,2)),'hk')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','ESFUERZO MÁXIMO')
text(0,0,'(0.84 u, 884.04 MPA)')
plot(C1(end,1),C1(end,2),'hk')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','ESFUERZO ÚLTIMO')
text(0,0,'(0.94 u, 696.42 MPA)')
text(0,0,'E= 3008 MPA')
Ensayo a compresión de la madera paralelo a la fibra
% INGRESO DE LAS MATRICES CON LOS DATOS OBTENIDOS DE LOS ENSAYOS
% MATRIZ{#ENSAYO} = [DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA(KGF) DEFORMACION(U)
ESFUERZO(MPA)]
A{1}=[0.0000 0.0 0.00000 0.0000
0.1245 200.0 0.00083 0.7959
0.2794 600.0 0.00186 2.3877
… … … …];
A{2}=[0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.1626 500.0000 0.0011 2.0895
0.3175 1000.0000 0.0021 4.1791
0.4394 1500.0000 0.0029 6.2686
… … … …];
A{3}=[0.0000 0.0 0.00000 0.0000
0.1270 500.0 0.00085 2.0422
0.2235 1000.0 0.00149 4.0844
0.2921 1500.0 0.00194 6.1266
… … … …];
A{4}=[0.000 0.000 0.0000 0.000
Jerves Córdova, Guachún Suco. 194
0.076 500.000 0.0005 2.090
0.152 1000.000 0.0010 4.179
… … … …];
-----------------------------------------------------------------
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #1
B1=smoothcurve(A{1}(:,1:2));
% FUNCION PARA SUAVIZAR LOS VALORES OBTENIDOS
C1=curvepoint(B1);
% FUNCION DE INTERPOLACION ENTRE VALORES INGRESADOS. DA CONTINUIDAD A LA CURVA
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #2
B2=smoothcurve(A{2}(:,1:2));
C2=curvepoint(B2);
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #3
B3=smoothcurve(A{3}(:,1:2));
C3=curvepoint(B3);
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #4
B4=smoothcurve(A{4}(:,1:2));
C4=curvepoint(B4);
% GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO
figure
plot(A{1}(:,1),A{1}(:,2),'Xb')
hold on
plot(A{2}(:,1),A{2}(:,2),'Xg')
hold on
plot(A{3}(:,1),A{3}(:,2),'Xr')
hold on
plot(A{4}(:,1),A{4}(:,2),'Xm')
hold on
plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')
plot(C2(:,1),C2(:,2),'g')
plot(C3(:,1),C3(:,2),'r')
plot(C4(:,1),C4(:,2),'m')
grid on
ylabel('CARGA (KGF)')
xlabel('DESPLAZAMIENTO O ALARGAMIENTO (mm)')
legend('PROBETA #1 - C.H=16.7% ','PROBETA #2 - C.H=16.8% ','PROBETA #3 - C.H=16.1% ','PROBETA
#4 - C.H=13.9% ')
title({'GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO';'COMPRESIÓN PARALELO A LA FIBRA'})
-----------------------------------------------------------------
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #1
b1=smoothcurve(A{1}(:,3:4));
% SUAVIZA LOS VALORES INGRESADOS
c1=curvepoint(b1);
% INTERPOLA ENTRE LOS VALORES PARA DAR CONTINUIDAD A LA CURVA
r1=[0.005 0.009]
% VISUALMENTE EN LA GRAFICA OBTENIDA CON LA FUNCION CURVEPOINT SE SELECCIONA
UN RANGO [LIM.INICIAL LIM.FINAL] DE VALORES DONDE SE VISUALICE EL RANGO ELASTICO
DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACION
E1=elasticmod(c1,r1)
% OBTIENE LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL RANGO SELECCIONADO
rect1=Elastline(c1,E1)
% CREA UNA RECTA PARALELA A LA CURVA, CON INICIO EN 0.002 Y PENDIENTE E
Limt1=Elastlimt(rect1,c1)
% DEVUELVE EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE LA CURVA Y LA RECTA DE LA CURVA
ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #2
b2=smoothcurve(A{2}(:,3:4));
c2=curvepoint(b2);
Jerves Córdova, Guachún Suco. 195
r2=[0.0055 0.0085]
E2=elasticmod(c2,r2)
rect2=Elastline(c2,E2)
Limt2=Elastlimt(rect2,c2)
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA - PROBETA #3 PROBETA DESCARTADA POR
PRESENTAR UNA FALLA DE ESCOBA O RODAMIENTO FINAL, COMO LOS ESPECIFICA EN LA
TABLA 3.1 TIPOS DE FALLA QUE SE PRODUCEN AL REALIZAR ENSAYOS A COMPRESION
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #4
b4=smoothcurve(A{4}(:,3:4));
c4=curvepoint(b4);
r4=[0.003 0.006]
E4=elasticmod(c4,r4);
rect4=Elastline(c4,E4);
Limt4=Elastlimt(rect4,c4);
-----------------------------------------------------------------
% GRAFICAS ESFUERZO VS DEFORMACION
figure
plot(A{1}(:,3),A{1}(:,4),'Xb');
hold on
plot(A{2}(:,3),A{2}(:,4),'Xg');
hold on
plot(A{4}(:,3),A{4}(:,4),'Xm');
hold on
plot(c1(:,1),c1(:,2),'b');
plot(c2(:,1),c2(:,2),'g');
plot(c4(:,1),c4(:,2),'m');
grid on
title({'GRÁFICAS ESFUERZO VS DEFORMACIÓN';'COMPRESIÓN PARALELO A LA FIBRA'});
ylabel('ESFUERZO (MPA)');
xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)');
legend('PROBETA #1- C.H= 16.7% - E= 4017.3MPA','PROBETA #2- C.H=16.8% -E= 4091.3MPA','PROBETA
#4- C.H=13.9% - E= 4592.6MPA')
hold on
% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E PROMEDIO, QUE ES EL PROMEDIO DE LOS
MODULOS DE ELASTICIDAD DE LAS CURVAS OBTENIDAS DE LOS ENSAYO
EX=0.015;
EM=(E1+E2+E4)/3;
EY=[EM*(EX-0.002)];
plot([0.002 EX],[0 EY],'r');
text(0,0,'(LÍNEA DE TENDENCIA)');
text(0,0,'(E= 4233.7MPA)');
hold on
% GRAFICA DE LOS PUNTOS DONDE SE UBICAN LOS ESFUERZOS: LIMITES-MAXIMOS-ULTIMOS
text(0,0,'(0.0092 u, 28.95 MPA)');
text(0,0,'(0.0092 u, 29.57 MPA)');
text(0,0,'(0.0107 u, 40.10 MPA)');
plot(Limt1(1,1),Limt1(1,2),'hk');
plot(Limt2(1,1),Limt2(1,2),'hk');
plot(Limt4(1,1),Limt4(1,2),'hk');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
Jerves Córdova, Guachún Suco. 196
Ensayo a compresión de la madera perpendicular a la fibra
% INGRESO DE LAS MATRICES CON LOS DATOS OBTENIDOS DE LOS ENSAYOS
% MATRIZ{#ENSAYO}=[DESPLAZAMIENTO(MM) CARGA(KGF) DEFORMACION(U)
ESFUERZO(MPA)]
A{1}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000
0.1270 210.0 0.0008 0.8357
0.2540 482.0 0.0017 1.9181
… … … …];
A{2}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000
0.1270 221.0 0.0008 0.8830
0.2540 446.0 0.0017 1.7820
0.3810 631.0 0.0025 2.5212
… … … …];
A{3}=[0.0000 0.0 0.0000 0.0000
0.1270 269.0 0.0008 1.1242
0.2540 506.0 0.0017 2.1146
0.3810 691.0 0.0025 2.8878
… … … …];
-----------------------------------------------------------------
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #1
B1=smoothcurve(A{1}(:,1:2));
C1=curvepoint(B1);
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #2
B2=smoothcurve(A{2}(:,1:2));
C2=curvepoint(B2);
% CURVA CARGA VS ALARGAMIENTO-PROBETA #3
B3=smoothcurve(A{3}(:,1:2));
C3=curvepoint(B3);
-----------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO
figure(1)
plot(A{1}(:,1),A{1}(:,2),'Xb')
hold on
plot(A{2}(:,1),A{2}(:,2),'Xg')
hold on
plot(A{3}(:,1),A{3}(:,2),'Xr')
hold on
plot(C1(:,1),C1(:,2),'b')
plot(C2(:,1),C2(:,2),'g')
plot(C3(:,1),C3(:,2),'r')
grid on
ylabel('CARGA (KGF)')
xlabel('DESPLAZAMIENTO O ALARGAMIENTO (mm)')
legend('PROBETA #1 - C.H=9.33% ','PROBETA #2 - C.H=15.0% ','PROBETA #3 - C.H=15.1% ')
title({'GRÁFICAS CARGA VS DESPLAZAMIENTO';'COMPRESIÓN PERPENDICULAR A LA FIBRA'})
-----------------------------------------------------------------
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA%
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #1
b1=smoothcurve(A{1}(:,3:4));
c1=curvepoint(b1);
r1=[0.002 0.006];
E1=elasticmod(c1,r1);
rect1=Elastline(c1,E1);
Limt1=Elastlimt(rect1,c1);
% DE LA CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #2
b2=smoothcurve(A{2}(:,3:4));
Jerves Córdova, Guachún Suco. 197
c2=curvepoint(b2);
r2=[0.0015 0.0035];
E2=elasticmod(c2,r2);
rect2=Elastline(c2,E2);
Limt2=Elastlimt(rect2,c2);
% CURVA ESFUERZO VS DEFORMACION UNITARIA-PROBETA #3
b3=smoothcurve(A{3}(:,3:4));
c3=curvepoint(b3);
r3=[0.0015 0.0035];
E3=elasticmod(c2,r2);
rect3=Elastline(c3,E3);
Limt3=Elastlimt(rect3,c3);
-----------------------------------------------------------------
% GRAFICAS ESFUERZO VS DEFORMACION
figure(2)
plot(A{1}(:,3),A{1}(:,4),'Xb');
hold on
plot(A{2}(:,3),A{2}(:,4),'Xg');
hold on
plot(A{3}(:,3),A{3}(:,4),'Xc');
hold on
plot(c1(:,1),c1(:,2),'b');
plot(c2(:,1),c2(:,2),'g');
plot(c3(:,1),c3(:,2),'c');
grid on
title({'GRÁFICAS ESFUERZO VS DEFORMACIÓN';'COMPRESIÓN PERPENDICULAR A LA FIBRA'});
ylabel('ESFUERZO (MPA)');
xlabel('DEFORMACIÓN UNITARIA (u)');
legend('PROBETA #1 - C.H=9.33% ','PROBETA #2 - C.H=15.0% ','PROBETA #3 - C.H=15.1% ')
hold on
% LINEA DE TENCENCIA O RECTA CON PENDIENTE E PROMEDIO, QUE ES EL PROMEDIO DE LOS
MODULOS DE ELASTICIDAD DE LAS CURVAS OBTENIDAS DE LOS ENSAYO
EX1=0.015;
EM1=(E2+E3)/2;
EY1=[EM1*(EX1-0.002)];
EX2=0.015;
EM2=E1;
EY2=[EM2*(EX2-0.002)];
plot([0.002 EX1],[0 EY1],'r');
plot([0.002 EX2],[0 EY2],'r');
text(0,0,'(LÍNEA DE TENDENCIA)');
text(0,0,'(E1= 1325 MPA)');
text(0,0,'(E2= 779 MPA)');
hold on
% GRAFICA DE LOS PUNTOS DONDE SE UBICAN LOS ESFUERZOS: LIMITES-MAXIMOS-ULTIMOS
text(0,0,'(0.0108 u, 11.70 MPA)');
text(0,0,'(0.0096 u, 5.96 MPA)');
text(0,0,'(0.0108 u, 6.87 MPA)');
plot(Limt1(1,1),Limt1(1,2),'hk');
plot(Limt2(1,1),Limt2(1,2),'hk');
plot(Limt3(1,1),Limt3(1,2),'hk');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','LÍMITE ELASTICO');
Jerves Córdova, Guachún Suco. 198
Ensayo del esfuerzo normal y deflexión en vigas - cuatro puntos
% MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]
A=[0.00 0
2.07 1000
2.40 1200
… …];
% CURVA CARGA VS DESPLAZAMIENTO
B=smoothcurve(A);
C=curvepoint(B);
% GRÁFICA CARGA VS DESPLAZAMIENTO
figure(1)
plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')
hold on
grid on
plot(C(:,1),C(:,2),'r')
ylabel('CARGA (Kgf)')
xlabel('DEFLEXIÓN (mm)')
title({'FLEXIÓN - ENSAYO A CUATRO PUNTOS'})
legend('CARGA VS DEFLEXIÓN (ENSAYO)','CARGA VS DEFLEXIÓN (SUAVIZADA)')
plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','COMPORTAMIENTO ELASTICO')
plot(7,3400,'or')
text(0,0,'Ef= 487 MPA')
text(0,0,'(7.02 mm; 3400 Kgf)')
text(7,3400,'Mom.max (Centro de la Luz)= 799000 kg*mm')
-----------------------------------------------------------------
% MATRIZ= [ESFUERZO NORMAL (MPA) ALTURA DE LA VIGA (MM)]
A1= [41.80368 75
36.22986 65
30.65603 55
… …];
% GRAFICA ESFUERZO NORMAL(MPA) VS ALTURA DE LA VIGA (MM)
figure (2)
plot(A1(:,1),A1(:,2),'b')
hold on
plot([0 max(A1(:,1))],[max(A1(:,2)) max(A1(:,2))],'b')
plot([0 min(A1(:,1))],[min(A1(:,2)) min(A1(:,2))],'b')
hold on
xlabel('ESFUERZO NORMAL (MPA)')
ylabel('ALTURA (mm)')
title({'DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL';'SECCIÓN TRANSVERSAL - VIGA
RECTANGULAR'})
hold on
grid on
for i=1:length(A1)
linea=line([0 A1(i,1)],[A1(i,2) A1(i,2)],'color','b') % [xi xf] [yi yf]
end
a=[-100 0 0 -100];
h=[75 75 -75 -75];
plot([-100 100],[0 0],'r')
axis([min(A1(:,1))*1.1 max(A1(:,1))*1.1 min(A1(:,2))*1.1 max(A1(:,2))*1.1])
plot(a,h,'k','LineWidth',2)
legend('ESF.NORMAL VS ALTURA')
text(0,0,'(DEFLEXIÓN: 7mm; CARGA: 3400kg)')
text(-1.8,2.5,'Esf.max a compresiòn= 41.8 Mpa')
text(-1.8,2.5,'Esf.max a tracciòn= 41.8 Mpa')
text(-1.8,2.5,'COMPRESIÒN')
text(-1.8,2.5,'TRACCIÒN')
text(-1.8,2.5,'EJE NEUTRO')
Jerves Córdova, Guachún Suco. 199
text(-1.8,2.5,'CONTENIDO DE HUMEDAD = 18% ')
Ensayo del esfuerzo cortante en vigas - tres puntos
% MATRIZ_1= [DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]
% MATRIZ_2= [ESF. CORTANTE (MPA) ALTURA (MM)]
A1=[0.00 0.00
1.22 80.00
1.82 120.00
2.47 160.00
3.31 220.00
… …];
A2=[0.00 75
402.86 65
748.18 55
… …];
-----------------------------------------------------------------
% CURVA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO
B1=smoothcurve(A1);
C1=curvepoint(B1);
-----------------------------------------------------------------
% GRÁFICA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO
figure(1)
plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')
hold on
grid on
plot(C1(:,1),C1(:,2),'r')
ylabel('CARGA (Kgf)')
xlabel('DEFLEXIÓN (mm)')
title({'FLEXIÓN - ENSAYO A TRES PUNTOS'})
legend('CARGA VS DEFLEXIÓN (ENSAYO)','CARGA VS DEFLEXIÓN (SUAVIZADA)')
plot(A1(:,1),A1(:,2),'Xb')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','COMPORTAMIENTO ELASTICO')
plot(10.72,700,'or')
text(0,0,'Ef= 958 MPA')
text(0,0,'(10.72 mm; 700 Kgf)')
text(0,0,'Cort.max absoluto= 350 kg')
-----------------------------------------------------------------
% GRÁFICA ESFUERZO CORTANTE VS ALTURA DE LA VIGA(MM)
figure(2)
plot(A2(:,1),A2(:,2),'b')
hold on
xlabel('ESFUERZO CORTANTE (MPA)')
ylabel('ALTURA (mm)')
title({'DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE';'SECCIÓN TRANSVERSAL - VIGA
RECTANGULAR'})
hold on
grid on
for i=1:length(A2)
linea=line([0 A2(i,1)],[A2(i,2) A2(i,2)],'color','b')% [xi xf] [yi yf]
end
a=[-500 0 0 -500];
h=[75 75 -75 -75];
plot([-500 2000],[0 0],'r')
axis([-200 max(A2(:,1))*1.1 min(A2(:,2))*1.1 max(A2(:,2))*1.1])
plot(a,h,'k','LineWidth',2)
legend('ESF.NORMAL VS ALTURA')
text(0,0,'(DEFLEXIÓN: 10.72mm; CARGA: 700kg)')
text(-1.8,2.5,'Esf. Cortante max= 1716 Mpa')
Jerves Córdova, Guachún Suco. 200
text(-1.8,2.5,'EJE NEUTRO')
text(-1.8,2.5,'CONTENIDO DE HUMEDAD = 14% ')
Ensayo a flexión, viga semi - empotrada
% MATRIZ=[DESPLAZAMIENTO (MM) CARGA (KGF)]
A=[0.00 0.00
0.08 150.00
0.10 300.00
0.16 370.00
… …];
% CURVA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO
B=smoothcurve(A);
C=curvepoint(B);
% GRÁFICA CARGA (MPA) VS DESPLAZAMIENTO
figure(1)
plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')
hold on
grid on
plot(C(:,1),C(:,2),'r')
ylabel('CARGA (Kgf)')
xlabel('DEFLEXIÓN (mm)')
title({'FLEXIÓN - ENSAYO A TRES PUNTOS';'SEMI-EMPOTRADO'})
legend('CARGA VS DEFLEXIÓN (ENSAYO)','CARGA VS DEFLEXIÓN (SUAVIZADA)')
plot(A(:,1),A(:,2),'Xb')
annotation('textarrow',[0.3 0.5],[0.6 0.5],'string','COMPORTAMIENTO ELASTICO')
plot(2.09,5200,'or')
text(0,0,'Ef= 937 MPA')
text(0,0,'(2.09 mm; 5200 Kgf)')