Polinomios

Prof. Glorymill Santiago Labrador

Adaptado por:

Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Departamento de Matemáticas

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica

que cumple con las siguientes condiciones:

Ningún término de la expresión tiene un

denominador que contiene variables

Ningún término de la expresión tiene un radical que

contiene variables

Todos los exponentes de las variables son enteros

no-negativos.

Los polinomios se pueden nombrar con una letra

mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene

la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

Polinomios

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐

Un polinomio tiene la siguiente forma general:

Donde:

𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐, …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales

y las potencias de las variables descienden en valor

Ejemplos de

Polinomios

P(x) = 3x2 – 5x + 1

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

G x =9 − 4x − 2x3

5

R(x,y) = 2xy – 7y + 6x

W(p,q) = pq2 +p2q – 5pq

143 2 xx

53

4 x

x

42

772

3 xxx

354 22

3

xx

3

2

3

174

x

xx

Ejemplos de No

- Polinomios

Clasificar Polinomios

Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad

de términos:

• monomio: un solo término

• binomio: dos términos

• trinomio: tres términos

• De ahí en adelante no reciben nombres particulares

y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli

significa plural, o muchos)

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma:

(i) Si el polinomio es en una variable, el grado será la potencia

mayor de la variable.

(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se

determina de la siguiente forma: para cada término se suman

las potencias de la(s) variable(s) y el grado será el total

mayor.

Ejemplo:Determinar el grado del polinomio

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

Ejemplo: Ejemplo:Determinar el grado principal del polinomio

P(x) = 3x2y– 5xy + x2 y2

Coeficiente principal

El coeficiente principal de un polinomio es la parte numérica del término con la potencia mayor de la variable.

Ejemplos: Determinar el coeficiente principal de cada

polinomio

P(x) = 3x2 – 5x + 1

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

G x =9 − 4x − 2x3

5

Polinomio Grado Coeficiente Principal

P(x) = -5

P(x) = 8 – 7x

Q(z) = 2+ 7z – 4z2

Q(y) = 2y – 51y2 – 12y6 – 7

F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45

F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2

R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4

R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado de Polinomios – Práctica

Evaluación de Polinomios:

Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.)

Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2).

Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”

P(2) = hay que tomar en cuenta el

orden operaciones para

simplificar

Evaluación de Polinomios

Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3)

Notas:

• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.

En este caso p=2 y q= -3

• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay

una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el

valor de p por el valor de q

R(2, -3) =

Operaciones entre polinomios

I. Suma y resta de polinomios:

a) Unir los términos semejantes de los polinomios . Luego,

ordena los términos según el grado de los términos.

b) La resta de dos polinomios requiere aplicar la

propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el

signo de TODOS los términos en éste polinomio.

Luego, se trata como una suma.

c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el

polinomio nuevo se compone de los términos de cada

polinomio, en orden de grado de los términos

Suma y resta de polinomios - ejemplos

13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22

10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22

Simplifique los siguientes ejemplos:

4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22

Multiplicación de polinomios

Propiedad de exponentes

• Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.

• Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:

• 1era ley: bn * bm = bn+m

•

• 25 ∙ 24 =

Multiplicación de dos

monomios La multiplicación de monomios se realiza de

la siguiente manera:

Se multiplican los coeficientes numéricos

Si la parte variable de los términos tiene la misma

variable, su producto va a tener la misma

variable con un exponente nuevo formado con la

suma de los exponentes de los términos

Si la parte variable de los términos tiene variables

diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,

sin cambiar.

Ejemplos- Multiplique los

monomios

a) 4x2(2x4y)

b) -2y3(3y4z5)

c) 5x6y6 (-4x4y)

Multiplicación de un monomio por un

polinomio.

Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos

la ley distributiva de la multiplicación y la ley de exponentes:

Ejemplos:

(a) x(2x3 + 45)

(b) 2a2 (-3b3 – 12)

bn * bm = bn+m a(b+c) = ab + ac

a(b - c) = ab - ac

Multiplicación de

binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos

veces:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

= ac + ad + bc + bd

Esto equivale a multiplicar cada término de un

binomio por cada término del otro binomio.

Al final, si existen términos semejantes, éstos se

reducen.

Ejemplos: Simplifique • (x – 5)(2 – x)

• (2x + 3)(4x2 – 5)

Diferencia de cuadrados

Cuando se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos, el resultado es un binomio

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2

= a2 – b2

A este resultado se le conoce como diferencia de cuadrados.

Ejemplos usando (a + b)(a – b) = a2 – b2

Simplifique:

(7 + 3y)(7 – 3y)=

(2x + 1) (2x – 1)=

(5x – 4)(4 – 5x)

El cuadrado de un binomio

Simplificar: (10 – 2x3)2

(10 – 2x3)2 = (10 – 2x3)(10 – 2x3)

Nota: NO es una diferencia

de cuadrados, es el cuadrado

de un binomio

División de polinomios

Regla

Regla de cociente

, 0

mm n

n

bb b

b

Propiedades de Exponentes

Propiedades de Exponentes

Ejemplo: Simplifique la expresión:

Solución: Expresar 5-2 con exponente positivo

Regla

Regla para

exponentes

negativos

Si b es cualquier número real

diferente de 0 y n es natural, entonces

n

n

bb

1 1

.n

nb

by ,

b

1b 1

Nota: b-1 se lee el “el recíproco de b.”

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Ejemplos:

Escriba cada uno de los siguientes con

exponentes positivos.

a)

2

3

−3

𝑏) (2𝑥)−5

Interpretación: Tomar el recíproco de 2

3,

luego elevarlo al cubo.

Interpretación: Tomar el recíproco de 2x,

luego elevarlo a la quinta potencia.

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Ejemplo

Divida utilizando la regla de cocientes

a)

14 8

3 5

27

3

x y

x y

b) 3𝑤4

(5𝑤3)2

Propiedades de Exponentes

Regla

Regla del

exponente cero

Si b es cualquier número real

diferente de 0, entonces 𝑏0 = 1.

División de un

polinomio entre un monomio

Cuando dividimos un polinomio entre un

monomio, aplica la propiedad distributiva

también.

c)ba(

c

)ba(

c

b

c

a

División de un

polinomio entre un monomio En estos casos, lo que hacemos es dividir cada

término del polinomio entre el monomio.

x

xxx

2

)262( 234

=

División de un

polinomio entre un monomio

EJEMPLOS ADICIONALES

3y) 11xy – 6xy– y (4x– 7x) 5xy– y 4x 2(3xy d) 2222

Suma y resta de polinomios - ejemplos

3y)11xy 6xyy 4x14x 10xy– y 8x 6xy 2222

3y 14x )6xy(-10xy y)x4y(8x 11xy) (6xy 2222

y314x (-4)xy y4x 17xy 22

y314x4xyy4x 17xy 22

Multiplicación de un monomio por un

polinomio.

Ejemplos (cont):

5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)

= (5y2)(2y3) – (5y2)(5y2) + (5y2)(9) + (-2)(4y2) + (2)(3y)

= 10y5 – 25y4 +45y2 + (-8)y2 + 6y

= 10y5 – 25y4 + (45 + -8)y2 + 6y

= 10y5 – 25y4 + 37y2 + 6y

Multiplique • 5x(4x – 1)(3x + 1)

= 5x[4x(3x + 1)– 1(3x + 1)]

= 5x[12x2 + 4x – 3x – 1]

= 5x(12x2 + x – 1)

= 60x3 + 5x2 – 5x

• 3x2(1 – 2x)(2 – x)

= 3x2[1(2 – x) – 2x(2 – x)]

= 3x2[2 – x – 4x + 2x2 ]

= 3x2(2 – 5x + 2x2 )

= 6x2 – 15x3 + 6x4

Otras propiedades de exponentes

Para simplificar una expresión cuando un exponente se eleva a otro exponente

(𝑏𝑛)𝑚 = 𝑏𝑛∗𝑚

En general,

Esta propiedad es útil cuando tenemos que simplificar potencias de binomios.

32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32

Propiedades de Exponentes

Ejemplo: Simplifique la expresión:

Solución:

Regla

Regla del

exponente cero

Si b es cualquier número real

diferente de 0, entonces 𝑏0 = 1.

Binomio cuadrado usando fórmula (a + b)2 = a2 + 2a b + b2

(a – b)2 = a2 – 2a b + b2

Simplifique:

(2x – 3y)2

= (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2

= 4x2 – 12xy + 9y2

(5x3 + 4x5)2

= (5x3)2 + 2(5x3)(4x5) + (4x5)2

= 25x6 + 40x8 + 16x10

= 16x10 + 40x8+25x6