Universidad de los Andes-CODENSA

Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en

Economía.

Serie Temporal de Precios en

Activos A y B Precio del Activo A •Periodo(día, mes, año)

Precio del Activo B •Periodo(día, mes, año)

Nt

3t

2t

1t

0t

,

3,

2,

1,

0,

NA

A

A

A

A

P

P

P

P

P

Nt

3t

2t

1t

0t

,

3,

2,

1,

0,

NB

B

B

B

B

P

P

P

P

P

Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de

Activos A y B

1,

,,

2,

3,3,

1,

2,2,

0,

1,1,

ln

ln

ln

ln

NA

NANA

A

AA

A

AA

A

AA

P

Pr

P

Pr

P

Pr

P

Pr

1,

,,

2,

3,3,

1,

2,2,

0,

1,1,

ln

ln

ln

ln

NB

NBNB

B

BB

B

BB

B

BB

P

Pr

P

Pr

P

Pr

P

Pr

Activo A

Activo B

Retorno con Dividendos y Retorno Discreto

Retorno con Dividendos

donde DivA,t es la serie temporal de dividendos del Activo A

Retorno Discreto

1,

,,, ln

tA

tAtAtA P

DivPr

11,

,,

tA

tAtA P

P

Retorno Continuo Compuesto

Supone un crecimiento exponencial en el precio del activo en cada periodo

Tasa de crecimiento del precio del activo en el periodo t

t

t

rrt

rtt

ePP

ePP

...

0

1

1

1

lnt

tt P

Pr

Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un

Activo Lista periódica de precios de un Activo

Lista periódica de retornos de un Activo

Retorno esperado del Activo

Varianza del retorno del Activo

Desviación Estándar del Activo

N,1,2,3,....t , tAP

N

ttAA r

Nr

1,

1

N,1,2,3,....t , tAr

N

tAtAArr

N 1

2, )(

12

2AA

Comparación entre Activos y Criterio de Selección

Comparación entre Activos, Retorno vs Riesgo

Criterio de Selección de Activos

Manejo de Datos para Dos Activos

Serie de Precios de los Activos A y B

Serie de Retornos de los Activos A y B

Retornos Esperados

Covarianza de los Retornos de los Activos A y B

N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA PP

N

ttBB

N

ttAA r

Nrr

Nr

1,

1,

1 ;

1

N,1,2,3,....t ; N,1,2,3,....t ,, tBtA rr

BABABA

N

tBtBAtABABA

rrrrE

rrrrN

rrCOV

.].[

))((1

),(

,

1,,,

Coeficiente de Correlación para los Retornos de los Activos A y B

Varianza de un solo Activo

Coeficiente de Correlación

Medida de la relación lineal entre dos muestras.

Instrumento para cuantificar la dependencia lineal entre el retorno de dos activos.

AAA ,2

BA

BABA

,

,

Análisis de Portafolios Composición del Portafolio

Retorno esperado del Portafolio

Riesgo en el Portafolio

1

, 0

A B

A B

A B

A B

, , ,p t A A t B B t

p A A B B

r r r

r r r

2 2 2 2 2,2p A A B B A B A B

Justificación La esperanza es una operación lineal

La varianza no es una operación lineal

A A B B A A B BE r r E r E r

22

2 22 2 2 2 2 2

2 2

( )

( )

2 . 2

( ) ( ) 2 ( , )

A A B B

A A B B A A B B

A A B B A B A B A A B B A B A B

A A B B A B A B

Var r r

E r r E r r

E r E r E r r E r E r E r E r

Var r Var r Corr r r

Portafolios Factibles Es el conjunto de los posibles portafolios que se pueden

obtener eligiendo diferentes proporciones entre los activos A y B

Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles A BA B

Comparación entre Portafolios Factibles.

Criterio de Selección de portafolios.

Portafolios Envolventes y Eficientes

Frontera Eficiente

Manejo de Datos para Varios Activos

Grupo de Activos

Precios para cada Activo

Retornos para cada Activo

Retorno Esperado para cada Activo

, 1,...,kA k m

, ; 0,...,k tP t N

, ; 1,...,k tr t N

, ,,

, 1

ln k t k tk t

k t

P Divr

P

,1

1 N

k k tt

r rN

Matriz de Covarianza

Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y Aj

Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de Datos

, , 1,..,i j i j mS

, , ,1

1( )

N

i j i t i j t jt

r r r rN

Diseño de Portafolios Composición del Portafolio

Retorno esperado del portafolio (Lineal)

Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

1 1 2 2

1 2

...

... 1

0

m m

m

i

A A A

1 21 2 ...mp A A m Ar r r r

2,

1 1

m m

p i j i ji j

Riesgo en el Portafolio Composición del Portafolio

Retorno esperado del portafolio (Lineal)

1

m

p i ii

r r

22 2

22

1 1 1

22

1 1 1

2

1 1 1 1

2

1 1

p p p

m m m

p i j i j i ii j i

m m m

p i j i j i ii j i

m m m m

p i j i j i j i ji j i j

m m

p i j i j i ji j

E r E r

E rr E r

E rr r

E rr r r

E rr r r

Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

2,

1 1

m m

p i j i ji j

Optimización de Portafolios

Portafolios Envolventes: Minimizar el Riesgo para un Retorno Fijo.

Problema de Optimización: Problema Cuadrático.2

,1 1

1 2

1 1 2 2

min

. . ... 1

r r ... r

0

m m

p i j i ji j

m

m m

i

S a

Análisis de Factibilidad Conjunto Factible no vacío.

Combinación Convexa.

1

1 2

1 1 2 2

,..., 0

... 0

...

min max

m

m

m m

i i i i

r r r

r r

Convexidad Programa Convexo

Conjunto Factible Convexo. Función Objetivo Convexa

2,

1 1

2

1 1

2

1 1 1 1

22

1 1 1

2 2

1 1

( )

)

m m

p i j i ji j

m m

p i j i j i ji j

m m m m

p i j i j i j i ji j i j

m m m

p i j i j i ii j i

m m

p i j i ji j

E rr r r

E rr r r

E rr r

E rr

Matriz de Correlación Semidefinida Positiva

, , 1,...,

, , ,1

,1 1 1 1

2

1

( )

1

0

i j i j m

N

i j i j i t j tt

m m m mt

i j i j i j i ji j i j

mt

i ii

C c

c E rr r rN

xCx x x c E x x rr

xCx E x r

Cálculo de la Frontera Eficiente

Programa Matemático bajo Restricciones en Forma de Igualdad

Función Lagrangiana

Condiciones de Primer Orden

,1 1

1

1

1min

2

. . 1

m m

i j i ji j

m

ii

m

i ii

x x

S a x

x r

1 2 , 1 21 1 1 1

1( , , ) 1

2

m m m m

i j i j i i ii j i i

f x x x x x r

, 1 21

1 1

0; 1,..,

1

m

i i k ki

m m

i i ii i

x r k m

x x r

Forma Vectorial Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la Matriz de

Covarianza S.

Inversa de la Matriz de Covarianza

1 2

1,...,

1 1 1,...,

i i m

Sx v r

r r

v

1, , 1,...,

1 11 2

1 , 2 ,1 1

; 1,...,

i j i j m

m m

i i j i j jj j

S

x S v S r

x r i m

Multiplicadores de Lagrange

1 , 2 ,1 1

1

1 , 2 ,1 1 1 1

1

1 , 2 ,1 1 1 1

1

1

m m

i i j i j jj j

m

ii

m m m m

i j i j ji j i j

m

i ii

m m m m

i j i i j i ji j i j

x r

x

r

x r

r r r

Ecuaciones1 2

1 2

,1 1

,1 1

,1 1

1

m m

i ji j

m m

ji ji j

m m

i j i ji j

A B

B C

A

B r

C r r

Solución1 2

1 2

1 2

21 2

1 2

21 2

1 2

2 2

2

1

0 (deducción)

A B

B C

AC BC C

B BC B

C B C B

AC B D

AB B B

AB AC A

A B A B

AC B D

D AC B

Frontera Eficiente

, 1 21

, 1 21 1 1 1

21 2

2

22

2

( ) ( )

2

2

m

i i k ki

m m m m

i j i j j j ji j j j

p

p

p

p

x r

x x x x r

C B A B

D

A B C

D

A B C

D

Forma de la Frontera Eficiente

2

12 2

2

1 2 2( )

2

1 ( )

p

p

p

p

A B C

D

d A B C A B

d D D

d A B

d D

Estrictamente Convexa

Retorno con Riesgo Mínimo

2

2 3

10p

p

d

d D

1 ( )0

*

p

p

d A B

d D

B

A

Teoría de Portafolios

Caracterización de Portafolios Eficientes

Teorema de Black

Teorema del Fondo Mutuo (Merton)

Correlación entre Portafolios Eficientes

Caracterización de Portafolios Eficientes

Solución al sistema de ecuaciones lineales dado por S (la matriz de Covarianza)

Justificación: Condiciones de primer orden en la función Lagrangiana

1,...,

1

( )

/

i i m

m

ii

Sz r c

r c r c

x z z

1 2

1,...,

1 11 ( ,..., )

i i m

Sx v r

r r

v

Representación Geométrica

Programa Matemático: Un portafolio eficiente, siempre maximiza la pendiente en el punto de tangencia.

max2maxr c

m

Teorema de Black Una combinación convexa de dos portafolios eficientes

produce otro portafolio eficiente.

Demostración: Las soluciones normalizadas al sistema lineal son cerradas bajo combinaciones convexas.

1 2

1

1

1m

ii

m

i ii

Sx v r

x

x r

1 2

1

1

( (1 ) )

(1 ) 1

( (1 ) )

m

i ii

m

i i ii

S x y v r

x y

x y r

Teorema del Fondo Mutuo Un portafolio eficiente puede expresarse como

combinación convexa de dos portafolios eficientes.

Justificación: Sistema de ecuaciones lineales basado en la matriz de

covarianza S

Inversa de la matriz de covarianza1

, , 1,...,

1 11 2

1 , 2 ,1 1

( )

; 1,...,

i j i j m

m m

i i j i j jj j

S

x S v S r

x r i m

1 2

1,...,

1 11 ( ,..., )

i i m

Sx v r

r r

v

Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado

1

2

1

m

i ii

C B

DA B

D

x r

1 , 2 ,1 1

, ,1 1

, , , ,1 1 1 1

( ) ( )

1

m m

i i j i j jj j

m m

i i j i j jj j

m m m m

i i j j i j i j i j jj j j j

i i i

x r

C B A Bx r

D D

x A r B C B rD D

x g h

, ,1 1

, ,1 1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

m m

i i j j i jj j

m m

i i j i j jj j

m

ii

m

ii

m

i ii

m

i ii

g A r BD

h C B rD

g

h

g r

h r

Definición de Nuevos Portafolios Eficientes

1

ii i

ii i

ga b

gb h

a

b

( )

(1 )

i i i

i i i

i i i i

i i i

x g h

x g h

x a b b

x a b

Parámetros, Retornos y Riesgo.

1

a b

b

a b

b

a b

2

2

2

2

2 22

1 12

2

2

a

b

a b

A B C

D

A B C

DA A B

D

Condiciones2 2

*

implica

Luego

>

a b a b

Bb

A

A

C

Elipse de correlación nula.Espacio de Portafolios

Eficientes

Conclusiones

No hay dos portafolios eficientes completamente in-correlacionados.

Todos los portafolios eficientes están correlacionados positivamente.

2, 0a b b

2 2, 2 0a b A C B A B

Activos sin Riesgo Implicaciones de la Correlación

Correlación para dos Activos2 2 2 2 2

,

2 2 2 2 2,

,

,

2

2

1

1

p A A B B A B A B

p A A B B A B A B A B

p A A B B

A B

p A A B B

A B

Activos sin Riesgo

Activo sin riesgo + Activos Riesgosos

2 2 2

(1 )

(1 )

(1 )

(1 )

0

p A B

p B

P B

A

P A B

r r r

Línea de Mercado de Capital

Pendiente de la Línea de Mercado Capital

P es un portafolio eficiente y A es cualquier portafolio factible.

2,

( )

p

p

p

p a p

a p

r cm

r rm

Formula General para la Línea de Mercado de Capital

Para cualquier portafolio A factible y P eficiente.

Portafolio con Activos sin Riesgo.

,2

,2

a pa p

p

a a p

a pa

p

r P r P

r P r P

Portafolios con Activos sin Riesgo – Endeudamiento

Teorema de Separación: Activo sin Riesgo + Portafolio Eficiente.

Curvas de Indiferencia

Problema

Minimizar

Sujeto a

El Lagrangiano es:

Condiciones de Primer Orden

1

( )m

i ii

x r

,1 1

1

2

m m

i j i ji j

x x

,1 1 1

1( , ) ( )

2

m m m

i j i j i ii j i

f x x x x r

,1

( ) 0; 1,...,m

i i k ki

x r k m

1, , 1,...

1

,1

( )

( )

( )

( ); 1,...

i j i j m

m

i i j jj

Sx r

s

x S r

x r i m

Riesgo-Retorno

Conjunto Envolvente

1

,1 1

2

2

,21

( )

( )( )

( 2 )

2

( ); 1,...,2

m

i ii

m m

i j j ii j

m

i i j jj

x r

r r

A B C

A B C

x r i mA B C

2,

1 1

22

1

22

2

( )

( )2

( )

2

m mt t

p i j i j pi j

m

p i ii

p

x x x Sx x r

x rA B C

A B C

2 2p A B C

Frontera Eficiente2 2A B C

• Teorema de Separación

Un portafolio eficiente con activos sin riesgo es la elección con aversión al riesgo entre un activo sin riesgo y un portafolio eficiente compuesto solamente de activos con riesgo: Portafolio de Mercado.

Portafolio Eficiente• Condiciones de Primer Orden

• Nuevos Portafolios

,21

,21

21

1

( ); 1,...,2

1( )

2

2

( ) 1

m

k i k ii

m

k i k ii

m

ii

m

i ii

x r k mA B C

y rA B C

B Ay

A B C

y r

,1

1 2

2

1

1 1( ); 1,...,

11 0

2

2

0; 1,..., ; 1

m

k k i k ii

m

k m

P y r k mB A

B AP

A B C

B A

A B C

b k m b

Propiedades

Línea de Mercado del Activo

1

21 1

1

1

1 1

2

1 11 1

2

1; (1 )

( ) ( ) ( )

( )( )( )

2

m m

i ii i

m

i k k ki

m m

i i i ii i

B AP y

A B C

b x P b

x r y r

B A

A B C

,1

,2

1( ); 1,...,

P es Eficiente

,

( )

m

k i k ii

p Qt t

Q PQ P

P

P r k mB A

rSp

B A

r rp Sp q Sp

B A B A

r r

Índice Beta,2

,2

( )

( )

Q PQ P

P

Q Q P

Q PQ

P

r r

r r

Bibliografía

“Portfolio Selection”, Harry Markowitz, 1959. “An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”,

Robert Merton, J. of Financial and Quantitative Analysis, 1972. “Portfolio Theory and Capital Markets”, William Sharpe, 1970. “Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital

Markets”, Harry Markowitz, 1987. “Continuous Time Finance”, Robert Merton, 1990. “Investments”, W. Sharpe and G. Alexander, 1990. “Active Portfolio Management”, Grinold and Kahn, 2000. “Financial Modeling”, Simon Benninga, 2000. “Mathematics for Finance”, Capinski and Zastawniak “Modern Portfolio Theory and Investment”, Elton, et. al.