UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

JEFFERSON DE LA CRUZ

QUINTO ELECTRÓNICA

02/05/15

CAPITULO 2: TECNICAS DE CONTEO

NOTACIÓN FACTORIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES

2.38. Encuentre: a) 10!, 11!, 12!

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800

11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 39916800

12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 479001600

b) 60!

60! = 𝑛! ≈ √2𝜋𝑛𝑛𝑛𝑒−𝑛

log(60!) = √2𝜋(60)(6060)𝑒−60

log(60!) =1

2𝑙𝑜𝑔120 +

1

2log(𝜋) + 60𝑙𝑜𝑔60 − 60 log(𝑒)

log(60!) ≈ 81.92

𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔(81.92) = 8.31 × 1081

2.39. Calcule

a) 16!

14! = 16x15x14!

14! = 240

b) 14!

11! =

14x13x12x11!

11! = 2184

c) 8!

10! =

8!

10x9x8! = 0,011

d) 10!

13! =

10!

13x12x11x10! = 5,82 x 10-4

2.40. Simplifique:

a) (𝑛+1)!

𝑛!

(𝑛 + 1)!

𝑛!=(𝑛 + 1)𝑛!

𝑛!= 𝑛 + 1

b) 𝑛!

(𝑛−2)!

𝑛!

(𝑛 − 2)!=𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!

(𝑛 − 2)!= 𝑛(𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛

c) (𝑛−1)!

(𝑛+2)!

𝑛!

(𝑛 − 2)!=𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!

(𝑛 − 2)!= 𝑛(𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛

d) (𝑛−𝑟+1)!

(𝑛−𝑟−1)!

(𝑛 − 𝑟 + 1)!

(𝑛 − 𝑟 − 1)!=(𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1)!

(𝑛 − 𝑟 − 1)!= (𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)

2.41. Calcule

a) (52) = (

53) =

5x4x3

3x2x1 = 10

b) (73) = (

74) =

7x6x5x4

4x3x2x1 = 35

c) (142) = (

1412

) = 14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3

12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 91

d) (64) = (

62) =

6x5

2x1 = 15

e) (2017

) = (203) =

20x19x18

3x2x1 = 1140

f) (1815

) = (183) =

18x17x16

3x2x1 = 816

2.42. Demuestre que:

a) (n0) + (n

1) + (n

2) + (n

3) + ⋯+ (n

n) = 2n

b) (n0) − (n

1) + (n

2) − (n

3) + ⋯± (n

n) = 0

Teorema del Binomio:

(a + b)n = ∑(n

k)an−kbk

n

k=0

a) (n0) + (n

1) + (n

2) + (n

3) + ⋯+ (n

n) = 2n

2n = (1 + 1)n

(1 + 1)n = (n

0) 1n10 + (

n

1)1n−111 + (

n

2)1n−212 + (

n

3)1n−313 +⋯+ (

n

n) 1n−n1n

n = 0

(1 + 1)n = (n

0) 1010 + (

n

1)10−111 + (

n

2)10−212 + (

n

3)10−313 +⋯+ (

n

n)101n

(1 + 1)n = (n

0) + (

n

1) + (

n

2) + (

n

3) +⋯+ (

n

n)

∴ (2)n = (n

0) + (

n

1) + (

n

2) + (

n

3) +⋯+ (

n

n)

b) (n0) − (n

1) + (n

2) − (n

3) + ⋯± (n

n) = 0

(1 − 1)n = 0

(1 − 1)n = (n

0) 1n(−1)0 + (

n

1)1n−1(−1)1 + (

n

2)1n−2(−1)2 + (

n

3)1n−3(−1)3 +⋯

+ (n

n) 1n−n(−1)n

n = 0

(1 − 1)n = (n

0) 10(−1)0 + (

n

1)10−1(−1)1 + (

n

2) 10−2(−1)2 + (

n

3)10−3(−1)3 +⋯

+ (n

n) 10−n(−1)n

(1 − 1)n = (n

0) − (

n

1) + (

n

2) − (

n

3) +⋯± (

n

n)

∴ 0 = (n0) − (n

1) + (n

2) − (n

3) + ⋯± (n

n)

2.43. Evalué los siguientes coeficientes multinomiales

a) (6

2,3,1) =

6x5x4x3x2x1

2x1x3x2x1x1= 60

b) (7

3,2,2,0) =

7x6x5x4x3x2x1

3x2x1x2x1x2x1x1= 210

c) (9

3,5,1) =

9x8x7x6x5x4x3x2x1

3x2x1x5x4x3x2x1x1 = 504

d) (8

4,3,2) =

8x7x6x5x4x3x2x1

4x3x2x1x3x2x1x2x1 = 𝑁𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟

2.44. Encuentre en la filas (a) novena y (b) décima del triángulo de Pascal, suponiendo que la

siguiente es la fila octava.

1828567056288 → octava fila

a) 𝑁𝑜𝑣𝑒𝑛𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎:193684126126843691

b) 𝐷é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎 ∶ 1104512021025221012045101

PRINCIPIOS DE CONTEO, REGLAS DE ADICIÓN Y DE MULTIPLICACIÓN

2.45. Una tienda vende ropa para hombre. Allí tienen 3 clases diferentes de chaquetas, 7

clases diferentes de camisas y 5 clases diferentes de pantalones. Encuentre el número de

formas en que una persona puede comprar

a) un artículo para un regalo

b) uno de cada uno de los artículos

a) 3 + 7 + 5 = 15

b) 3𝑥7𝑥5 = 105

2.46. Un restaurante tiene en su menú de postres 4 clases de ponqués, 2 clases de galletas y 3

clases de helado. Encuentre el número de formas en las que una persona puede seleccionar:

a) Uno de los dos postres.

b) uno de cada clase de postre.

a) n = 4 + 2 + 3 = 9selecciones

b) n = 4 ∗ 2 ∗ 3 = 24selecciones

2.47. Una clase está conformada por 8 estudiantes hombre y 6 estudiantes mujeres.

Encuentre el número de formas en que la clase puede elegir:

a) uno representante para la clase

b) dos representantes para la clase un hombre y una mujer

c) un presidente y un vicepresidente

a) 8 + 6 = 14

b) 8𝑥6 = 48

c) 14𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦13𝑝𝑎𝑟𝑎𝑣𝑖𝑐𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑃𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

𝑛 = 14𝑥13

𝑛 = 182

2.48. Suponga que una clave consiste en 4 caracteres donde el primer carácter debe ser una

letra del alfabeto, pero cada uno de los demás caracteres puede ser una letra o un dígito.

Encuentre el número de:

a) Palabras clave

b) palabras clave que empiezan con una de las 5 vocales.

a) n = 26 ∗ 36 ∗ 36 ∗ 36 = 1213056palabrasclaves

b) n = 5 ∗ 36 ∗ 36 ∗ 36 = 233280palabrasclave

2.49. Suponga que un código consiste en 2 letras seguida de 3 dígitos. Encuentre el número

de a) códigos, b) códigos con letras diferentes c) códigos con las mismas letras.

a) 𝑛 = 26 ∗ 26 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 676000

b) 𝑛 = 26 ∗ 25 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 650000

c) 𝑛 = 26 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 26000

2.50. Hay 6 caminos entre caminos A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el número n de

formas en las cuales una persona puede conducir:

a) desde A hasta C a través de B

b) viaje de ida y regreso desde A hasta C a través de B

c) viaje de ida y regreso desde A hasta C a través de B sin utilizar el mismo camino más de

una vez.

𝐷𝑒𝐴ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝐵 = 6𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝐷𝑒𝐵ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝐶 = 4𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

a) 𝑛 = 6 ∗ 4 = 24𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝐶

b) Con las 24 formas de ir hacia C, también existen 24 formas de

regresar 𝑛 = 24 ∗ 24 = 576𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑖𝑑𝑎𝑦𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜.

c) 𝐴6→𝐵

4→ 𝐶

𝐶3→𝐵

5→𝐴

𝑛 = 6 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 5 = 360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑙𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

PERMUTACIONES Y MUESTRAS ORDENADAS

2.51. Encuentre el número n de formas en que un juez puede otorgar el primero, segundo y

tercer lugar en un concurso con 18 participantes

Resolución

n = 18 x 17 x 16 = 4896

2.52. Encuentre el número de 𝑛 formas en que 6 personas pueden subirse a un tobogán

donde:

a) cualquiera puede manejar

b) uno de 3 debe manejar.

a) 𝑛 = 𝑃(6,6) = 6! = 720𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

b) 3,5,4,3,2,1 → 𝑛 = 3𝑥(5!) = 360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

2.53. Un grupo de debate está conformado por 3 muchachos y 3 niñas. Encuentre el número n

de formas en las cuales se puede sentar en una fila donde:

a) No hay restricciones

b) Los muchachos y las niñas se sientan juntos

c) Solamente las niñas se sientan juntas

a) (3 + 3)ǃ = 6ǃ

b) 2 ∗ 3ǃ ∗ 3ǃ = 72

c) 4 ∗ 3ǃ ∗ 3ǃ = 144

2.54. Encuentre el número n de permutaciones que se pueden formar de todas las letras de

cada combinación:

a) QUEUE

b) COMMITTEE

c) PROPOSITION

d) BASEBALL

a) QUEUE:

𝑃𝑛 =n!

𝑛1! × 𝑛2!=

5!

2! × 2!

𝑃5 = 30𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

b) COMMITTEE:

𝑃9 =9!

2! × 2! × 2!

𝑃9 = 45360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

c) PROPOSITION:

𝑃11 =11!

2! × 3! × 2!

𝑃11 = 1663200𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

d) BASEBALL:

𝑃8 =8!

2! × 2! × 2!

𝑃8 = 5040𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

2.55. Encuentre el número n de señales diferentes, si cada una consiste en 8 banderas

colgadas en una línea vertical, que se puede formar de 4 banderas rojas idénticas, 2 banderas

azules idénticas y 2 banderas verdes idénticas

# De formas

8!

4! 2ǃ2ǃ=

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4ǃ

4! 𝑥2ǃ𝑥2ǃ= 420

2.56. Encuentre el número 𝑛 de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros

pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo

tamaño estén juntos.

𝐺 = 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒, 𝑀 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜, 𝑃 = 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜.

𝑃𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺

n1 = 3! = 6

n2 = 4! = 24

n3 = 5! = 120

n = 6 ∗ 24 ∗ 120 ∗ 6

n = 103680formas

2.57. Una caja contiene 12 bombillos. Encuentre el número n de muestras ordenadas de

tamaño 3:

a) con reposición

b) sin reposición

a) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 123 = 1728

b) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 12!

9ǃ=

12𝑥11𝑥10𝑥9ǃ

9ǃ= 1320

2.58. A una clase asisten 10 estudiantes. Encuentre el número n de muestras ordenadas de

tamaño 4:

a) Con reposición

b) Sin reposición

a) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 104 = 10000

b) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 10!

6ǃ=

10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6ǃ

6ǃ= 5040

COMBINACIONES

2.59. Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el número de formas en las que un

cliente puede escoger 2 postres

∁26 =

6!

2ǃ(4!) =

6x5x4ǃ

2!x4ǃ = 15

2.60. Una tienda tiene 8 libros de misterio diferentes. Encuentre el número de formas en las

que un cliente puede comprar 3 de los libros.

𝑛 = 𝐶(8,3) = (8

3) =

8!

3! (8 − 3)!

𝑛 =8!

3! (5)!

𝑛 = 56

2.61. Una caja contiene 6 medias azules y cuatro medias blancas. Encuentre el número de

formas en que se puede sacarse de la caja cuando:

a) No hay restricciones

b) Hay colores diferentes

c) Las medias son del mismo color

a) ∁210 =

10!

2ǃ(8!) =

10x9x8ǃ

8ǃx2ǃ= 45

b) 6𝑥4 = 24

c) ∁26 =

6!

2ǃ(4!) =

6x5x4ǃ

2ǃx4ǃ =

30

2= 15

∁24 =

4!

2ǃ(2!) =

4x3x2ǃ

2ǃx2ǃ =

12

2= 6

#𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 15 + 6 = 21

𝒏 = 𝟓𝟔

2.62. Una clase está conformada por 9 niños y 3 niñas. Encuentre el número de formas en que

un profesor puede seleccionar un comité de 4.

𝑛 = 𝐶(12,4) = (12

4) =

𝑛!

𝑚! (𝑛 − 𝑚)!

𝑛 =12!

4! (12 − 4)!

𝑛 = 495

2.63. Repita el problema 2.62, pero cuando:

a) Debe haber 2 niños y 2 niñas

b) Hay una niña exactamente

c) Hay por lo menos una niña

a) ∁29 . ∁2

3 = 9ǃ

2ǃx(7)ǃ ∗

3ǃ

2ǃx(1)ǃ =

9x8x7ǃ

2ǃx(7)ǃ . 3x2ǃ

2ǃ = 36. 3 = 108

b) ∁39 . 3 =

9ǃ

3ǃx(6)ǃ ∗ 3 =

9x8x7x6ǃ

3ǃx6ǃ ∗ 3 = 252

c) c) ∁412 - ∁4

9 =12ǃ

4ǃx(8)ǃ−

92ǃ

4ǃx(5)ǃ

=12x11x10x9x8ǃ

4ǃx8ǃ −

9x8x7x6x5ǃ

4ǃx5ǃ

= 495– 126

= 369

2.64. Una mujer tiene 11 buenos amigos. Encuentre el número de formas en las que ella puede

invitar a 5 de ellos a comer.

𝑛 = 𝑐(11,5) = (11

5)

𝑛 =11!

5! (11 − 5)!

𝑛 = 462𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

2.65. Repita en problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están casados y no asistirán

separadamente

∁410 =

10!

4ǃ(6!) =

10x9x8x7x6ǃ

6ǃx6ǃ = 210

2.66. Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están disgustados y no se están

hablando y no asistirán juntos.

𝑃𝑒𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠𝑛𝑜𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 11 − 1 = 10

𝑛 = 𝐶(10,5) = (10

5)

𝑛 =10!

5! (10 − 5)!=

10!

(5!)(5!)

𝑛 = 252

2.67. Una persona recibe una mano de póker (5 cartas) de un naipe corriente con 52 cartas.

Encuentre el número de formas de manos que la persona puede recibir:

a) 4 de la misma clase

b) Una escalera flor

a) 13 ∗ 48 = 624

b) 4 ∗ C513 = 5148

2.68. Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas.

a) ¿Cuántas selecciones hay?

b) ¿Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas?

c) ¿Cuántas si el estudiante debe responder la primera o la segunda pero no ambas?

a) ¿Cuántas selecciones hay?

𝑛 = 𝐶(13,10) = (13

10)

𝑛 =13!

10! (13 − 10)!

𝑛 = 286

b) ¿Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas?

𝑛 = 𝐶(11,8) = 2 ∗ (11

8)

𝑛 = 2 ∗11!

8! (11 − 8)!

𝑛 = 2(165)

𝑛 = 330

c) ¿Cuántas si el estudiante debe responder la primera o la segunda pero no ambas?

𝑛 = 𝐶(11,9) = 2 ∗ (11

9)

𝑛 = 2 ×11!

9! (11 − 9)!

𝑛 = 2(55)

𝑛 = 110

PARTICIONES

2.69. Encuentre el número de formas en las que puede repartirse 6 juguetes en forma

equitativa entre 3 niños

C56 = 20

2.70. Encuentre el número de formas en las que 6 estudiantes pueden ser distribuidos en 3

equipos conformados por 2 estudiantes cada uno.

#𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 =6!

2! (6 − 2)!= 15

2.71. Encuentre el número de formas como se puede distribuir 6 estudiantes en 2 equipos,

donde cada equipo está conformado por 2 o más estudiantes.

𝐶26 + 𝐶3

6 =6!

(6 − 2)!+

6!

(6 − 3)!= 25

2.72. Encuentre el número de formas como se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños, si el

más pequeño debe recibir 3 juguetes y cada uno de los otros, 2 juguetes.

𝑛 =9!

3! × 2! × 2! × 2!

𝑛 =9!

48

𝑛 = 7560

2.73. Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las cuales los

estudiantes pueden presentar 3 exámenes, si tres estudiantes deben presentar cada uno cada

examen

𝑛 =9ǃ

3ǃx3ǃ × 3!= 1680

2.74 Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las que se puedan

distribuir los estudiantes en 3 equipos conformados por 3 estudiantes cada uno.

𝐶(9,3) =9!

3! (6!)= 84

𝐶(6,3) =6!

3! (3!)= 20

𝑛 = 84 × 20 = 1680

𝑛 =1680

3!= 𝟐𝟖𝟎

DIAGRAMAS DE ARBÓL

2.75. Los equipos A y B juegan en una serie mundial de béisbol, donde el equipo que primero

gane 4 juegos gana la serie. Suponga que A gana el primer juego y que el equipo que gana el

segundo juego también gana el 4 juego.

a) Encuentre el número de formas n como puede ocurrir la serie y enumere las n

formas como puede ocurrir la serie

b) En cuantas formas ganará B la serie

c) De cuantas formas podrá durar la serie 7 juegos.

a) 𝑛 = 15

𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴𝐵,

𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐵

b) De 6 formas

c) La serie puede durar de 8 formas

2.76. Suponga que A,B,…, F en la Fig. 2-7 representa islas y las líneas que las conectan, los

puentes. Una persona empieza en A y camina de una isla a otra. La persona para a almorzar

cuando él o ella continua caminando sin cruzar el mismo puente dos veces.

a) Construya el diagrama de árbol apropiado y encuentre el número de formas en que la

persona puede caminar antes de almorzar.

b) ¿En qué islas puede él o ella almorzar?

a)

Fig. 2-7

b) B, D, o E