Universidad de Guanajuato Divisi on de Ciencias e Ingenier as

Universidad de Guanajuato

Division de Ciencias eIngenierıas

Cosmologıa CuanticaNo-Conmutativa con Campo Escalar

Tesis presentada por:

Lic. Luis Rey Dıaz Barron

para obtener el grado de

Maestro en Fısica

Asesor:

Oscar Miguel Sabido Moreno

Leon, Gto. , Julio 2010

Indice general

1. Introduccion 7

2. Relatividad General y Cosmologıa 11

2.1. Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Ecuaciones de Campo en la Relatividad General . . . . 12

2.1.2. Tensor de energıa-momento . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Cosmologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Ecuaciones Cosmologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2. Formulacion Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3. Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Formalismo de Bohm y No-Conmutatividad 27

3.1. Formalismo de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1. Ecuacion de Schrodinger en el Formalismo de Bohm . . 27

3.1.2. Gravedad Cuantica en el Formalismo de Bohm . . . . . 30

3

4 INDICE GENERAL

3.2. No-Conmutatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Producto Moyal-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2. Ecuacion de Schrodinger No-Conmutativa . . . . . . . 35

3.2.3. Formalismo de Bohm para un Minisuperespacio No-conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Cosmologıa No-Conmutativa 39

4.1. Cosmologıa de Kantowski-Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1. Modelo Conmutativo Clasico del Universo de K-S . . . 40

4.1.2. Modelo No-Conmutativo Clasico del Universo de K-S . 42

4.1.3. Modelo Conmutativo Cuantico del Universo de K-S . . 44

4.1.4. Modelos No-Conmutativo Cuantico del Universo de K-S 49

4.2. Cosmologıa de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Modelo Clasico Conmutativo del Universo de FRW . . 57

4.2.2. Modelo Clasico No-Conmutativo del Universo de FRW 61

4.2.3. Modelo Cuantico Conmutativo del Universo de FRW . 64

4.2.4. Modelo Cuantico No-Conmutativo del Universo de FRW 71

5. Conclusiones 81

A. Formalismo 3+1 85

A.1. Formalismo Arnowitt-Deser-Misner (ADM) . . . . . . . . . . 85

A.2. Cuantizacion Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.3. Minisuperespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Agradecimientos

Primero que nada, agradezco a mis padres y hermanos por el apoyo in-condicional que me han otorgado a lo largo de estos 5 anos, ademas de susconsejos y ensenanzas y por la ser tan tolerantes conmigo cuando se necesita-ba. A mi novia por el apoyo y carino que me brindo a lo largo del desarrollode mi tesis.

A mi asesor Miguel por la ayuda y asesorıa que me brindo en el transcursode la elaboracion de la tesis y a mis sinodales Carlos Yee, Jose Socoorro yJulio Lopez por las correcion.

A mis amigos por acompanarme en los momentos dıficiles y en los alegres,sobre todo en las pedas o convivios sanos.

Y por ultimo y no menos importante a CONACYT por haberme apoyadoeconomicamente para realizar mi maestrıa en fısica (beca con numero deregistro 253021), ademas del apoyo otorgado por el proyecto de CONACYTcon numero de referencia CB-2005/51306 para la realizacion de la tesis.

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

Desde el principio el hombre a querido explicar el mundo que lo rodea,tratando de entender el porque de las situaciones fısicas, una de ellas es el¿como surge el universo?, esta pregunta es tratada por la cosmologıa, masespecıficamente es abordada por la cosmologıa cuantica, debido a que en eluniverso temprano el universo era regido por una teorıa cuantica. Muchostrabajos han sido enfocados hacıa esta area [1], pero la interpretacion fısicaha sido dıficil.

Otra manera de tratar de entender el universo temprano ha sido abordadopor la inclusion de la no-conmutatividad [2, 3, 4], debido a que se cree queen el universo temprano la no-conmutatividad juega un rol importante enla evolucion del universo. Una particular forma de entender este dilema espresentada en [5], es introducir el formalismo de Bohm [6], que desarrollauna vison mas clara del universo temprano.

El objetivo de este trabajo es ver el comportamiento cuantico no-conmutativode un universo homogeneo e isotropico con campo escalar. Daremos una vi-sion mas clara de la no-conmutatividad en los modelos cosmologicos. Esto sellevara a cabo en los escenarios clasicos y cuanticos.

Para llevar a cabo esta labor elaboramos una teorıa cuantica no-conmutativade la cosmologıa, tomando como punto de partida el elemento de lınea deFriedmann-Robertson-Walker (FRW) debido a que este elemento de lınea

7

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

tiene las caracterısticas de ser homogeneo e isotropico.

ds2 = gµνdxµdxν = −N2(t)dt2 + a2(t)

(dr2

1−Kr2+ r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

),

(1.1)

La parte del campo escalar es incluida en la aportacion correspondiente ala materia, esto lo podemos entender mas facilmente desde el punto de vistade la accion de Hilbert. Ahı tendrıamos una densidad Lagrangianda divididaen dos partes, una densidad debida a la geometrıa del espacio (FRW) y otradebida a la materia, en esta ultima se encuentra definido el campo escalar.

Dado que trabajamos el modelo cuantico no-conmutativo debemos teneruna interpretacion de lo que esto representa fısicamente. Para esto nos valdre-mos de una valiosa herramienta que nos ha dado el formalismo de Bohm [6].Queremos una formalismo que nos permita una figura clara de la evoluciondel universo, como la que tenemos en la cosmologıa cuantica conmutativa.

En este formalismo es posible describir partıculas con momento y posicionbien definidos en cualquier instante de tiempo, esto nos llevara a una nue-va interpretacion donde olvidaremos la parte probabilıstica de la mecanicacuantica y nos llevara a poder describir la evolucion del sistema conociendosolo las condiciones iniciales, es decir nos regresara a una teorıa determinista.Obtenemos una ecuacion de Hamilton-Jacobi mas un “potencial cuantico”,en este potencial esta metida toda la informacion cuantica del sistema.

En el capıtulo 2 daremos una vista rapida sobre la teorıa de la Relativi-dad General y daremos conceptos sobre el estudio cosmologico de un universohomogeneo e isotropico , esto motivado por el principio cosmologico el cual,nos asegura que el universo, cuando se observa a escalas de 4 Gigaparces, esisotropico y homogeneo. La isotropıa significa que sin importar en que di-reccion se este observando, veremos las mismas propiedades en el Universo.La homogeneidad quiere decir que cualquier punto del Universo luce igual ytiene las mismas propiedades que cualquier otro punto dado.

En el capıtulo 3 introduciremos la teorıa no-conmutativa y analizaremoslos efectos en formalismos conocidos como: la ecuacion de Schrodinger, lacosmologıa cuantica y finalmente al formalismo de Bohm.

Conociendo como actua la no-conmutatividad en los diferentes modelos en

9

el capıtulo 4 se mostrara la interaccion de la no-conmutatividad en modeloscosmologicos que describen la evolucion del universo. Primero analizaremoslas consecuencias en el modelo de Kantowski-Sach [5], el cual es un modelohomogeneo y anisotropico.

Analizaremos la evolucion del universo en los escenarios clasicos y cuanti-cos, ademas de ver como son afectados por la no-conmutatividad que se aplicaen las variables del minisuperespacio. Y aplicaremos la nueva interpretacionde la cosmologıa cuantica no-conmutativa mediante el formalismo de Bohm.

De ahı veremos como es afectado nuestro mdelo (FRW con campo esca-lar) y al igual que en el modelo de K-S, mostraremos como es afectada laevolucion del universo, debido a la no-conmutatividad en las variables del mi-nisuperespacio. Analizaremos los resultados arrojados mediante analisis delvolumen del universo y compararemos los distintos escenarios. Finalmente elcapıtulo 5 mostraremos las conclusiones de la tesis.

10 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Capıtulo 2

Relatividad General yCosmologıa

En este capıtulo se desarrollaran las bases teoricas, ademas de los con-ceptos basicos que se requiran para el desarrollo central del tema de Tesis.Abordaremos las bases de la teorıa de la Relatividad General, ası como losprincipios de la cosmologıa.

2.1. Relatividad General

La teorıa general de la relatividad o relatividad general (RG) [8] es unateorıa del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publi-cada por Albert Einstein en 1915 y 1916. De acuerdo con la teorıa general dela relatividad la fuerza de la gravedad es una manifestacion de la geometrıalocal del espacio-tiempo.

El nombre de la teorıa se debe a que generaliza la llamada teorıa especialde la relatividad introducida tambien por Einstein. Los principios fundamen-tales introducidos en esta generalizacion son:

El principio de equivalencia el cual proviene de considerar que la masagravitacional es igual a la masa inercial, describe la aceleracion y la gravedad

11

12 CAPITULO 2. RELATIVIDAD GENERAL Y COSMOLOGIA

como aspectos distintos de la misma realidad, la nocion de la curvatura delespacio-tiempo.

El principio de covariancia generalizado donde se busca que las leyes dela naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia, locual equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles o noexistan sistemas privilegiados.

El principio de acoplamiento mınimo es una prescripcion que indica comohacer que una ley o formula fısica sea invariante bajo una transformacion,sea esta una transformacion general de coordenadas o una transformacion denorma.

2.1.1. Ecuaciones de Campo en la Relatividad General

En la RG, los conceptos de espacio y tiempo se mezclan, por esa razonse necesita una definicion diferente de movimiento inercial. En la relatividadespecial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski, parame-trizado por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemati-camente mediante la ecuacion geodesica:

∂2xα

∂τ 2+ Γαβσ

∂xβ

∂τ

∂xσ

∂τ= 0, (2.1)

donde Γαβσ son los sımbolos de Christoffel, los cuales estan definidos como:

Γαβσ =1

2gαη(∂βgση + ∂σgηβ − ∂ηgβσ), (2.2)

donde gαβ representa la metrica del espacio (dicho tensor es usado para definirla forma de medir en el espacio).

Como xα es un tensor contravariante de rango uno, estas ecuaciones soncuatro (α = 0, 1, 2, 3) y cada una esta describiendo la segunda derivada deuna coordenada con respecto al tiempo propio.

Einstein modelo sus ecuaciones de campo que establecen que la curvaturade la variedad en un punto esta relacionada directamente con el tensor deenergıa-momento en dicho punto; dicho tensor es una medida de la densidad

2.1. RELATIVIDAD GENERAL 13

de materia y energıa. La curvatura le dice a la materia como debe moverse yde forma recıproca la materia le dice al espacio como curvarse. Las ecuacionesde campo de Einstein se expresan de la siguiente forma:

Gµν = κTµν , (2.3)

donde

κ =8πG

c4, (2.4)

y G es la constante gravitacional de Newton, ademas

Gµν = Rµν −1

2gµνR, (2.5)

es el tensor de Einstein, y

Rµν =∂Γλµν∂xλ

−∂Γλµλ∂xν

+ ΓiλµνΓηλη − ΓηµλΓ

λνη, (2.6)

es el tensor de Ricci y

R = gµνRµν , (2.7)

es el escalar de Ricci.

Para hallar las ecuaciones que determinan el campo gravitacional es ne-cesario, en primer lugar, determinar la accion Sg de dicho campo.

S =

∫LGd4x, (2.8)

donde la densidad lagrangiana esta dada por

LG =√−gR, (2.9)

y g es el determinante del tensor metrico.

La accion S es una funcional del tensor metrico, S = S(gµν) , por loque el tensor metrico aceptable debe ser aquel para el cual la accion sea unextremal.


2.1.2. Tensor de energıa-momento

Para calcular el tensor de energıa-momento de un sistema fısico cualquierausamos la accion como la integral de la forma S = 1

c

∫Σd4x, extendida al

espacio de cuatro dimensiones. En coordenadas curvilıneas esta integral tomala forma

S =1

c

∫Σ√−gd4x, (2.10)

(en coordenadas Euclideas g = −1 y S se reduce a∫

ΣdV dt). La integra-cion se extiende a todo el espacio (tridimensional) y al intervalo de tiempodeterminado por los instantes dados, es decir, a la region infinita del espacio4-dimensional limitada por dos hipersuperficies las cuales estan dada paraun t constante.

En (2.10) pasemos de las coordenadas xα a las coordenadas x′α = xα +

ξα(xα), donde las ξα(xα) son cantidades pequenas. En esta transformacion,las gαβ cambian de acuerdo a las formulas:

g′αβ(x

′σ) = gση(xσ)∂x′α

∂xσ∂x′β

∂xη

= gση(δασ + ∂ξα

∂xσ

)(δβη + ∂ξβ

∂xη)

≈ gαβ(xσ) + gαη ∂ξβ

∂xη+ gβσ ∂ξ

α

∂xσ.

(2.11)

El tensor g′αβ es funcion de las x

′σ, mientras que el tensor gαβ es funcionde las xσ. Para expresar todos los terminos como funciones de las mismasvariables, desarrollamos g

′αβ(xσ + ξσ) en series de Taylor alrededor del puntoξσ. Ademas si prescindimos de los terminos de orden superior en ξσ, podemossubstituir g

′αβ por gαβ en todos los terminos que contienen ξσ. Se encuentraası:

g′αβ(xσ) = gαβ(xσ)− ξσ ∂g

αβ

∂xσ+ gασ

∂ξβ

∂xσ+ gβσ

∂ξα

∂xσ. (2.12)

Los tres ultimos terminos del segundo miembro se pueden escribir comola suma de las derivadas covariantes de las componentes ξσ, ξα;β + ξβ;α .Obtenemos de esta manera la transformacion de las gαβ en la forma final:

g′αβ = gαβ + δgαβ, δgαβ = ξα;β + ξβ;α. (2.13)


Para las componentes covariantes se tiene:

g′αβ = gαβ + δgαβ δgαβ = −ξα;β − ξα;β (2.14)

(de manera que, salvo los terminos de orden superior al lineal, queda satis-fecha la condicion g

′αβg′αβ=1).

Dado que la accion S es un escalar, S no cambia en una transformacion decoordenadas. Por otra parte, el cambio δS en la accion como consecuencia deuna transformacion de coordenadas se puede escribir de la siguiente manera:

δS = 1c

∫ [∂√−gΣ∂gαβ

δgαβ + ∂√−gΣ

∂ ∂gαβ

∂xσ

δ ∂gαβ

∂σ

]d4x

= 1c

∫ [∂√−gΣ∂gαβ

− ∂∂xσ

∂√−gΣ

∂ ∂gαβ

∂xσ

]δgαβd4x.

(2.15)

Introduzcamos ahora la notacion

1

2

√−gTαβ =

∂

∂xσ∂√−gΣ

∂ ∂gαβ

∂xσ

− ∂√−gΣ

∂gαβ. (2.16)

δS toma la forma

δS =1

2c

∫Tαβδg

αβ√−gd4x = − 1

2c

∫Tαβδgαβ

√−gd4x. (2.17)

Sustituyendo en vez de δgαβ la expresion (2.13) tenemos,

δS =1

2c

∫Tαβ(ξα;β + ξβ;α)

√−gd4x =

1

c

∫Tαβξ

α;β√−gd4x. (2.18)

Transformemos esta expresion de la siguiente manera:

δS =1

c

∫(T βα ξ

α);β

√−gd4x− 1

c

∫T βα;βξ

α√−gd4x. (2.19)

Recordando que Aα;α = 1√−g

∂(√−gAα)∂xα

, la primera integral se puede escribiren la forma:

1

c

∫∂

∂xβ(√−gT βα ξα)d4x, (2.20)


y transformarla luego en un integral extendida a una hipersuperficie. Dadoque ξα se anula en los lımites de integracion, debido a que la funcion evaluadaen los extremos ξ(a) = 0 y ξ(b) = 0 (donde a y b son los puntos extremos dela funcion), esta integral es cero. Ası, igualando δS a cero, se encuentra

δS = −1

c

∫T βα;βξ

α√−gd4x = 0. (2.21)

Debido a la arbitrariedad de las ξα, se sigue entonces que

T βα;β = 0. (2.22)

Comparando este resultado con ∂Tαβ/∂xβ = 0, valida en coordenadas

Euclideas, vemos que el tensor Tαβ, definido en (2.16), debe identificarse conel tensor de energıa-impulso salvo un factor constante. Ademas la ecuacionanterior no impone la conservacion del tensor de energıa-impulso.

Es facil comprobar, por ejemplo efectuando el calculo a partir de la formu-la (2.16) del campo electromagnetico

(Σ = − 1

16πFαβF

αβ), que este factor es

igual a la unidad, esto es, que Tαβ, dado por (2.16), es exactamente el tensorenergıa-momento.

La formula (2.16) nos permite ası calcular el tensor energıa-momentoderivando la funcion Σ respecto a las componentes del tensor metrico (y desus derivadas). El tensor Tαβ obtenido de esta manera es simetrico. La formula(2.16) resulta conveniente para el calculo del tensor de energıa-momento, nosolo en el caso en que existe campo gravitacional, si no tambien cuandono existe, cuando el tensor metrico no posee un significado independientey el paso a coordenadas curvilıneas se efectua formalmente como un pasointermedio en el calculo de Tαβ.

De esta manera el tensor energıa-momento del campo electromagneticose debe escribir, en coordenadas curvilıneas, en la forma

Tαβ =1

4π

(−FασF σ

β +1

4FσηF

σηgαβ

). (2.23)

Analogamente, las componentes covariantes del tensor energıa-momento deun fluido perfecto son iguales a

Tαβ = (p+ ρ)uαuβ − pgαβ, (2.24)


donde p es la presion de los cuerpos macroscopicos, ρ es la densidad y uα esla 4-velocidad.

2.1.3. Ecuaciones de Einstein

Pasemos ahora a deducir las ecuaciones del campo gravitacional, estasecuaciones se obtienen a partir del principio de mınima accion δ(Sg+Sm) = 0,sonde Sm y Sg son las acciones del campo gravitacional y de la materia, res-pectivamente. La variacion afecta ahora a los campos, esto es, a las cantidadesgµν y otros campos.

Calculemos la variacion δSg. Se tiene

δ∫R√−gd4x = δ

∫gµνRµν

√−gd4x

=∫

[Rµν

√−gδgµν +Rµνg

µνδ√−g + gµν

√−gδRµν ] d

4x.(2.25)

A partir de que δg = −ggµνδgµν podemos deducir:

δ√−g = − 1

2√−g

δg = −1

2

√−ggµνδgµν ; (2.26)

y sustituyendo en la ecuacion anterior encontramos:

δ

∫R√−gd4x =

∫ (Rµν −

1

2gµνR

)δgµν√−gd4x+

∫gµνδRµν

√−gd4x.

(2.27)

Para calcular δRµν observemos que si bien las cantidades Γλµν no consti-tuye un tensor, sus variaciones δΓµνλ sı lo forman. En efecto ΓνµλAνdx

λ es elcambio que experimenta un vector debido a las translaciones desde un puntoP a un punto infinitesimalmente proximo P ′. Por consiguiente , δΓνµλAνdx

λ

es la diferencia entre dos vectores que resulta de dos corrimientos paralelos(uno con las Γµνλ no variadas y otro con las Γλµν variadas) desde el punto Pal punto P ′. Pero la diferencia entre dos vectores aplicados al mismo puntoes un vector; por consiguiente δΓµνλ es un tensor.

Adoptemos un sistema de coordenadas localmente geodesico. Entonces eneste punto todos los Γµνλ = 0. Mediante la expresion (2.41) de Rµν se tiene


(recordando que las derivadas primeras de las gµν son ahora iguales a cero)

gµνδRµν = gµν[∂∂xσ

δΓσµν − ∂∂xν

δΓσµσ]

= gµν ∂∂xσ

δΓσµν − gµσ ∂∂xσ

δΓνµν = ∂wσ

∂xσ,

(2.28)

dondewσ = gµνδΓσµν − gµσδΓνµν . (2.29)

Dado que wλ es un vector, podemos escribir la relacion obtenida, en unsistema arbitrario de coordenadas,

gµνδRµν =1√−g

∂

∂xσ(√−gwσ). (2.30)

En consecuencia, la segunda integral del segundo miembro de (2.27) esigual a ∫

gµνδRµν

√−gd4x =

∫∂(√−gwσ)

∂xσd4x, (2.31)

y segun el teorema de Gauss se puede transformar en la integral de wλ ex-tendida a una hipersuperficie que rodee al volumen de cuatro dimensiones.Dado que las variaciones del campo son nulas en los lımites de integracion,este termino es igual a cero, ası la variacion δSg es igual a

δSg = − c3

16πG

∫ (Rµν −

1

2gµνR

)δgµν√−gd4x. (2.32)

Para la variacion del termino de la accion correspondiente a la materia po-demos escribir como:

δSm =1

2c

∫Tµνδg

µν√−gd4x, (2.33)

donde Tµν es el tensor de energıa-momento. La interaccion gravitacional jue-ga un papel tan solo en el caso de cuerpos con una masa suficientemen-te grande (debido a la pequenez de la constante de la gravitacion G =6,67 × 10−11N · m2/Kg2). En el estudio del campo gravitacional se tratapor lo general, de cuerpos macroscopicos. De acuerdo con esto, es necesarioadoptar generalmente para Tµν la expresion (2.24)

2.2. COSMOLOGIA 19

El principio de mınima accion δSm + δSg = 0 nos conduce, a las ecua-ciones de movimiento. Teniendo en cuenta las relaciones (2.32) y (2.33), a laigualdad:

c3

16πG

∫ (Rµν −

1

2gµνR−

8πκ

c4Tµν

)δgµν√−gd4x = 0, (2.34)

de donde, dada la arbitrariedad de las δgµν :

Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν . (2.35)

Para completar las ecuaciones de campo nos hace falta anadir la ecuacionde conservacion del tensor de energıa-impulso, la cual viene dada por laecuacion (2.22). Estas son las ecuaciones del campo gravitacional buscadas,las ecuaciones fundamentales de la teorıa de la RG, y se les conoce como lasecuaciones de Einstein.

2.2. Cosmologıa

Al igual que en la Relatividad General la cosmologıa se basa en un prin-cipio fundamental, el cual nos da el contexto en el que debemos de trabajarpara analizar el universo.

El principio cosmologico asegura que el universo, cuando se observa a es-calas de 4 gigaparsecs, es isotropico y homogeneo. La isotropıa significa quesin importar en que direccion se este observando, veremos las mismas propie-dades en el Universo. La homogeneidad quiere decir que cualquier punto delUniverso luce igual y tiene las mismas propiedades que cualquier otro puntodado.

2.2.1. Ecuaciones Cosmologicas

Debido a que el principio cosmologico exige un universo homogeneo e is-totropico, nuestro elemento de longitud a considerar esta dado por la metrica


de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

ds2 = gµνdxµdxν = −dt2 + a2(t)

(dr2

1−Kr2+ r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

), (2.36)

donde, a(t) es el llamado factor de escala del universo, K es una constanteque toma los valores de cero para un espacio plano, uno para un espaciocerrado y menos uno para un espacio abierto.

Para calcular la dinamica de nuestro sistema en la relatividad generalusaremos las ecuaciones de campo de Einstein

Rµν −1

2gµνR = − 1

M2Pl

Tµν , (2.37)

donde hemos definido la masa de Planck como 1/M2Pl = 8πG/c4 (G es la

constante universal de Newton). Reescribiendo la ecuacion anterior como

Rµν = − 1

M2Pl

(Tµν −1

2gµνT ), (2.38)

podemos darnos cuenta que el tensor de energıa-momento que describe elcontenido de materia en el universo debe tener las mismas simetrıas queel tensor metrico. De esta consideracion se puede mostrar que Tµν para ununiverso FRW necesariamente es el correspondiente a un fluido perfecto, esdecir

Tµν = pgµν + (p+ ρ)UµUν , (2.39)

con p la presion del fluido y ρ la densidad de energıa del mismo, Uµ es la4-velocidad del fluido con componentes U0 = 1 y U i = 0. Debido a queestamos trabajando con un universo homogeneo y por tanto con un fluidocon la misma caracterıstica, tendremos solo dependencia en la variable en t.

Sustituyendo el elemento de lınea (2.36) en las ecuaciones de Einstein(2.37) obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales, las cuales ahoradescriben a nuestro sistema

a = − 1

6M2Pl

(ρ+ 3p)a, (2.40)

aa+ 2a2 + 2K =1

2M2Pl

a2(ρ− p), (2.41)

2.2. COSMOLOGIA 21

combinandolas obtenemos una ecuacion diferencial de primer orden para a(t)(a

a

)2

+K

a2=

1

3M2Pl

ρ, (2.42)

conocida como ecuacion de Friedmann, la cual es esencial para la teorıacosmologica.

Por otra parte, de la ecuacion de conservacion para el tensor de energıa-momento ∂µT

µν = 0 (viene dada por la ecuacion (2.22), tomando que es unespacio plano) se llega a la ecuacion para la conservacion de la energıa

ρ+ 3a

a(p+ ρ) = 0. (2.43)

Podemos reescribir esta ecuacion de la siguiente forma d(ρa3) = −pd(a3),reconociendo a la densidad de energıa del sistema ρ multiplicada por el ‘vo-lumen a3 como la energıa total del sistema E. De manera que la ecuacionanterior es de la forma dE = −pdV , lo cual en termodinamica representa unproceso adiabatico.

2.2.2. Formulacion Lagrangiana

Para esta formulacion empezamos por retomar la accion de Hilbert-Einstein

S = d4x√−g(Lgeo + Lmat), (2.44)

Lmat se va a tratar con materia modelada por un campo escalar, por lo que

Lmat = −1

2gµν∂µφ∂νφ− V (φ). (2.45)

El teorema de Noether proporciona el tensor de energıa-momento correspon-diente a (2.45)

Tµν = ∂µφ∂νφ− gµν(

1

2gαβ∂αφ∂βφ− V (φ)

). (2.46)

El campo escalar sera homogeneo, esto debido a que en los inicios del universose piensa que se cumple el principio cosmologico. Ası la dependencia del


campo escalar solo sera en el tiempo cosmico. Denotemos al campo escalarφ como campo inflaton.

Dado que queremos que la materia que modelada el campo escalar seadel tipo de fluido perfecto, encontramos la presion y la densidad de energıaen terminos del campo inflaton

ρφ =1

2φ2 + V (φ), (2.47)

pφ =1

2φ2 − V (φ), (2.48)

Con esto y la densidad Lagrangiana para el campo inflaton dada en (2.45)es posible formar la accion de Hilbert-Einstein (2.44). Despues integrar sobrelas variables espaciales se llega a la accion cosmologica

SFRW =

∫dt

−3aa2

κ2N+

3KNa

κ2+ a3

(φ2

2N−NV (φ)

), (2.49)

en donde la unica dependencia temporal queda en los campos a(t), φ(t) y lafuncion lapso N(t). De la ecuacion anterior obtenemos que la Lagrangianade nuestro sistema esta dado por

LFRW = −3aa2

κ2N+

3KNa

κ2+ a3

(φ2

2N−NV (φ)

), (2.50)

en la cual hemos definido κ = 1/M2pl. La variacion de la accion (2.49) con

respecto a cada uno de los campos proporciona el conjunto de ecuaciones demovimiento equivalentes a las ecuaciones de campo de Einstein y la ecuacionde continuidad que se muestran en (2.40-2.43). Ahora si consideramos lavariacion respecto a la funcion lapso N obtenemos

H2 +K

a2=κ2

3

(φ2

2+ V

), (2.51)

esta es equivalente a la ecuacion de Friedmann (2.42) tomando en cuentala densidad para un campo escalar (2.47-2.48), y se ha fijado N = 1. De lavariacion respecto al campo escalar se tiene

φ+ 3Hφ = − d

dφV (φ), (2.52)

2.2. COSMOLOGIA 23

la cual equivale a la ecuacion de la conservacion de la energıa (2.43) conside-rando las expresiones para la densidad y la presion de un campo escalar, estaecuacion es llamada ecuacion de Klein-Gordon. Por ultimo consideramos lavariacion respecto al factor de escala a

aa+1

2a2 +

K

2= −κ

2

2a2

(φ2

2− V (φ)

),

si utilizamos (2.51) podemos reescribir esta ecuacion como

aa+ 2a2 + 2K =κ2

22V (φ), (2.53)

que es equivalente a (2.41) tomando ρ − p = 2V (φ). La ecuacion restante(2.40) se puede obtener por medio de esta ultima y la ecuacion de Friedmann,completando ası las ecuaciones de campo de Einstein para un universo FRW.A continuacion analizaremos un ejemplo de potencial V (φ):

Potencial Exponencial. [19] Aquı presentamos las soluciones para el po-tencial de tipo e−λφ/Mpl . Las ecuaciones de movimiento en este caso son

H2 =1

3M2pl

[V (φ) +

1

2φ2

],

φ + 3Hφ = λV (φ),

con

V (φ) = V0e−λ φ

Mpl . (2.54)

La solucion a este sistema es bien conocida

φ(t) =2

λMpl ln

∣∣∣∣∣λ2

√V0

2(6− λ2)

t

Mpl

∣∣∣∣∣ , (2.55)

a(t) ∝ t2/λ2

, (2.56)

y el parametro de Hubble en esta ocasion se comporta como

H(t) =2

λ2t−1. (2.57)

Como veremos en los capıtulos siguientes una forma conveniente de repa-rametrizar el factor de escala es por medio de la transformacion a(t) = eα(t).


Por otra parte si se tratara con la etapa inflacionaria del universo tempranoen la cual se supone que el factor de curvatura (K

a2 ) en las ecuaciones de cam-po es despreciable, por tanto de ahora en adelante tomaremos K = 0, ademasvamos a trabajar en unidades tales que M2

pl = 1. Con estas consideracionesla Lagrangiana (2.50) toma la siguiente forma

LFRW = e3α

[−3

α2

N+

1

2

φ2

N−NV (φ)

]. (2.58)

Las ecuaciones de movimiento para esta funcion de Lagrange se pueden ob-tener de las ecuaciones (2.51)-(2.53) sustituyendo la nueva expresion parael factor de escala, o bien directamente de las ecuaciones de Euler-Lagrangecorrespondientes. De este modo, la ecuacion de movimiento para N(t) llevaa la ecuacion de Friedmann (2.51), con K = 0, en terminos de α

3α2 =1

2φ2 + V (φ). (2.59)

La ecuacion de K-G una vez mas se obtiene de la variacion con respecto a φ

φ+ 3αφ =dV

dφ, (2.60)

esta misma se obtiene sustituyendo α en (2.52). Por ultimo la ecuacion (2.53)se puede obtener de la variacion de (2.58) con respecto a α o bien sustituyendoα(t) en (2.58) con lo cual se llega a

α + 3α2 = V (φ). (2.61)

2.2.3. Formalismo Hamiltoniano

Consideremos el espacio de configuracion formado por α, φ,N ; α, φ, N ydada esta configuracion podemos obtener los momentos canonicos asociados

Pα =∂LFRW∂α

= 6e3α α

N, α =

N

6e−3αPα (2.62)

Pφ =∂LFRW

∂φ= −e3α φ

N, φ = −Ne−3αPφ (2.63)

PN =∂LFRW

∂N= 0. (2.64)

2.2. COSMOLOGIA 25

Es claro que se trata de un sistema degenerado debido a la constriccionprimaria que genera el momento canonico a la funcion lapso, ademas esta esde primera clase. Como se ve en el apendice A.1 las constricciones de primeraclase en este tipo de sistemas es debido a la descomposicion ADM, la cualesta implıcita al introducir N en (2.49). El Hamiltoniano canonico esta dadopor

Hc = Pαα + Pφφ− LFRW =N

12e−3α

[P 2α − 6P 2

φ − 12e6αV (φ)], (2.65)

y por tanto el Hamiltoniano total tiene la siguiente forma

Htotal =N

12e−3α

[P 2α − 6P 2

φ − 12e6αV (φ)]

+ λPN , (2.66)

en donde λ es un multiplicador de Lagrage y PN es la constriccion primaria delsistema. La condicion sobre la evolucion temporal de la constriccion primaria(evolucion temporal nula) genera la constriccion de primera clase

Hc =1

12e−3α

[P 2α − 6P 2

φ − 12e6αV (φ)]≈ 0, (2.67)

el sımbolo ≈ nos dice que esta relacion solo es valida en la superficie deconstricciones, en este caso generada por PN = 0. Ası, en el sistema se tienendos constricciones de primera clase, PN(t) yHc, lo cual lleva a que la evolucionde cualquier variable dinamica del espacio fase estara gobernada por

A = A,Htotal = NA,Hc+ λA,PN, (2.68)

en donde tanto λ como N son multiplicadores indeterminados de Lagrange.La evolucion dinamica se dara sobre la superficie de constricciones, espaciofase reducido formado por α, φ; pα, pφ, en donde se cumple la siguientealgebra de Poisson

α, φ = Pα, Pφ = 0, (2.69)

α, Pα = 1, φ, Pφ = 1, (2.70)

α, Pφ = φ, Pα = 0 (2.71)

a este espacio se le conoce como mini-super-espacio.


Las ecuaciones de movimiento estan dadas por (2.60), de modo que paraα y Pα se tiene que

α = Nα,H =N

6e−3αPα, (2.72)

Pα = NPα,H = −6Ne3αV (φ). (2.73)

Es facil ver que la combinacion de estas dos ecuaciones llevan a la ecuacion(2.61), para lo cual se debe fijar la norma N = 1. Para φ y Pφ las ecuacionesde movimiento son

φ = Nφ,H = −Ne−3αPφ, (2.74)

Pφ = NPφ,H = Ne3αdV (φ)

dφ, (2.75)

de las cuales se obtiene la ecuacion de K-G (2.60), o bien (2.43) para materiaescalar1, una vez mas en la norma N = 1.

Ademas de las ecuaciones (2.72 - 2.75), se tiene la constriccion de primeraclase (2.67) que deben de respetar las variables del mini-super-espacio

Hc ≈ 0, (2.76)

la cual junto con las ecuaciones (2.72) y (2.74) llevan a la ecuacion de Fried-mann (2.59). Todas estas ecuaciones se calculan fijando la funcion lapso auno, sin embargo esto no siempre debe ser ası. En algunos casos la normapuede cambiar a conveniencia y debido a la invarianza de la teorıa ante estaeleccion la fısica que se describe en una u otra es la misma. Sin embargohay que tener cuidado pues la escala de tiempo es diferente dependiendode la norma tomada y las soluciones a las ecuaciones de movimiento no secomportan igual para cada norma.

En este capıtulo revisamos las teorıas de Relatividad General y Cosmo-logıa, centrandonos en las formulaciones Lagrangianas y Hamiltonianas decada una de ellas, ademas de encontrar las ecuaciones de movimiento quenos dan la evolucion de los sistema. En los capıtulos siguientes analizaremoslas soluciones a las ecuaciones de movimiento encontradas, especıficamentetomaremos la metrica de FRW, la cual es una solucion a las ecuaciones deEinstein.

1Las ecuaciones (2.74) y (2.75) pueden calcularse a travez de (2.43), porque el tensorde energıa-impulso del campo escalar debe de comportarse como el de un fluido perfectopara poder cumplir el principio cosmologico. Esto se hace vıa la ecuacion (2.47)

Capıtulo 3

Formalismo de Bohm yNo-Conmutatividad

3.1. Formalismo de Bohm

La interpretacion usual de la teorıa cuantica es basada en una suposi-cion que tienen grandes consecuencias, que el estado fısico de un sistemaes completamente especificado por una funcion de onda que solo determinalas probabilidades de los resultados reales que pueden ser obtenidos por unensamble estadıstico de un experimento similar.

En este capıtulo se desarrollara una interpretacion alternativa a la teoriacuantica [6]. En contraste con la usual interpretacion, la interpretacion al-ternativa que vamos a presentar nos permite concebir de cada sistema conestados bien definidos, las ecuaciones clasicas de movimiento.

3.1.1. Ecuacion de Schrodinger en el Formalismo deBohm

Daremos una descripcion general del formalismo de Bohm [6] aplicadaa la teoria cuantica. Empezaremos con la ecuacion de Schrodinder de una

27

28CAPITULO 3. FORMALISMO DE BOHM Y NO-CONMUTATIVIDAD

partıcula, despues generalizaremos a un arbitrario numero de partıculas. Laecuacion de onda es

i∂Ψ

∂t= − 1

2m∇2Ψ + V (x)Ψ. (3.1)

Proponemos una forma para Ψ(x, t)

Ψ(x, t) = R(x, t)eiS(x,t), (3.2)

donde R(x, t) y S(x, t) son reales. Sustituyendo esta forma de la funcion deonda en la ecuacion de Schrodinger (3.1) obtenemos

i

[∂R

∂t+ iR

∂S

∂t

]= − 1

2m

[∇2R + 2i∇R · ∇S + iR∇2S −R(∇S)2

]+ V (x)R.

(3.3)Tomando la parte imaginaria y real obtenemos las ecuaciones

∂R

∂t= − 1

2m

[R∇2S + 2∇R · ∇S

](3.4)

∂S

∂t= −

[(∇S)2

2m+ V (x)− 1

2m

∇2R

R

]. (3.5)

Es conveniente para un mejor analisis escribir P (x) = R2(x), o R = P 1/2

donde P (x) es la densidad de probabilidad. Entonces obtenemos

∂P

∂t+∇ ·

(P∇Sm

)= 0, (3.6)

∂S

∂t+

(∇S)2

2m+ V (x)− h2

4m

[∇2P

P− 1

2

(∇P )2

P 2

]= 0. (3.7)

Ahora, el el lımite clasico (h→ 0) las ecuaciones estan sujetas a una muy sim-ple interpretacion. La funcion S(x) es una solucion a la ecuacion de Hamilton-Jacobi.

Si consideramos un ensamble de trayectorias de las partıculas, las cualesson solucion a las ecuaciones de movimiento, entonces esto es un bien conoci-do teorema de la mecanica clasica el cual dice que si todas estas trayectoriasson normales a cualquier superficie dada S, entonces ellas son normales a

3.1. FORMALISMO DE BOHM 29

todas las superficies de constante S y ∇S/m sera igual al vector de veloci-dad, v(x), para cualquier partıcula que pase por el punto x. Por lo tanto laecuacion (3.6) podemos reescribirla como

∂P

∂t+∇ · (Pv) = 0. (3.8)

Esta ecuacion que es consistente mirar a P (x) como la densidad de proba-bilidad para las partıculas en nuestro ensamble. Para este caso podemos ver aPv como la corriente de partıculas y a la ecuacion (3.8) como la conservacionde la probabilidad.

Esta interpretacion la podemos extender para h 6= 0. Para hacer estovamos a asumir que en cada partıcula esta actuando, no solo un potencialclasico V (x), si no tambien un potencial cuantico

U(x) = − h2

4m

[∇2P

P− 1

2

(∇P )2

P 2

]= − h2

2m

∇2R

R. (3.9)

Entonces la ecuacion (3.7) aun puede ser vista como la ecuacion de Hamilton-Jacobi para nuestro ensamble de partıculas, ∇S/m seguira siendo la veloci-dad de las partıculas, y la ecuacion (3.6) como la que describe la ecuacion deprobabilidad de nuestro ensamble. Por lo tanto tenemos una interpretacionalternativa.

El primer paso en desarrollar esta interpretacion en un camino mas explıci-to, es asociar con cada electron una partıcula teniendo valores definidos ycontinuos de posicion y momento. La solucion de la modificada ecuacion deHamilton-Jacobi (3.5) define un ensamble de trayectorias posibles para estapartıcula, la cual puede ser obtenida desde la funcion de Hamilton-Jacobi,S(x), integrando la velocidad v = ∇S(x)/m.

Esta ecuacion para S implica, que las partıculas se mueven bajo la accionde una fuerza, la cual no es enteramente derivable desde el potencial clasico,V (x), sino tambien de la contribucion del potencial de la mecanica cuantica,U(x) = (h2/2m)∇2R/R.

La funcion R(x) no es completamente arbitraria, pero es parcialmentedeterminada en terminos de S(x) por la diferencial (3.4). Entonces R(x)


y S(x) pueden ser codeterminados uno del otro. El camino mas convenientepara obtener R y S es resolver la ecuacion (3.1) y entonces usar las relaciones

Ψ = U + iW = R[cos(S/h) + i sin(S/h)], (3.10)

R2 = U2 + V 2; S = h tan−1(W/U), (3.11)

donde U y W son la parte real e imaginaria de la funcion de onda Ψ respec-tivamente.

3.1.2. Gravedad Cuantica en el Formalismo de Bohm

En esta seccion analizaremos como el formalismo de Bohm afecta la inter-pretacion cuantica usual de la cosmologıa. En la seccion anterior, el efecto delformalismo de Bohm sobre la interpretacion de la funcion de onda, cambia deser probabilıstica a ser determinista. Esto mismo se haran para la cosmologıacuantica.

Empezaremos con el Hamiltoniano de la relatividad general, el cual esexpresado en la formulacion de Arnowiit-Deser-Misner (Apendice A.1). Eneste formalismo, el elemento de lınea es escrito como:

ds2 = (N iNi −N2)dt2 + 2Nidxidt+ hijdx

idxj, (3.12)

donde N representa la funcion lapse. N i es el vector shift y hij es la tresmetrica de la tres-superficie. La dinamica del espacio-tiempo es descrito enterminos de la evolucion de hij en el super espacio.

El Hamiltoniano de la relatividad general sin materia es

H =

∫dx3(NH +NjH

j), (3.13)

donde

H = GijklΠijΠkl − h1/2R(3), Hj = 2DiΠ

ij. (3.14)

Las unidades escogidas para esto son h = c = 16π = 1G. La cantidad R(3)

es la curvatura intrınseca de las hipersuperficies de spacelike,Di es la derivada

3.1. FORMALISMO DE BOHM 31

covariante con respecto a hij y h es el determinante de hij. El momento Πij

canonicamente conjugado a hij y la metrica de DeWitt son

Πij = −h1/2(Kij − hijK), (3.15)

Gijkl =1

2h−1/2(hikhjl + hilhjk − hijhkl), (3.16)

donde Kij = −(∂thij−DiNj−DjNi)/(2N) es la segunda forma fundamental.

Mientras uno siga el procedimiento de la cuantizacion de Dirac, las cons-tricciones de la teorıa se convierten en condiciones impuestas sobre los esta-dos posibles de la funcion de onda del universo. La constriccion del super-Hamiltoniano H = 0 produce la ecuacion de Wheeler-DeWitt(

Gijkl δ

δhijδ

δhkl+ h1/2R(3)

)Ψ[hij] = 0, (3.17)

la cual determina la evolucion de la funcion de onda. Hasta ahora, las impli-caciones de esta ecuacion cuantica cosmologica estan aun bajo discusion.

Al aplicar el formalismo de Bohm en el estudio de la evolucion geometricadel tres-espacio en la cosmologıa cuantica, esperamos que la nocion de espacioy tiempo deben tener un significado objetivo, de manera similar que la nocionde trayectorias que se tiene en la mecanica cuantica Bohmiana no-relativista.De hecho, este es exactamente el caso de la gravedad cuantica Bohmiana, parala cual tiene como ley de evolucion para la metrica tres-espacial hij

Πij = −h1/2(Kij − hijK) = Re

1

Ψ∗Ψ

[Ψ∗(−i δ

δhij

)Ψ

]=

δS

δhij, (3.18)

donde S viene dada por la funcion de onda escrita en coordenadas polaresΨ = R exp(iS). Una imagen intuitiva de la desviacion del comportamientoclasico puede ser construido por la sustitucion de Ψ = R exp(iS) en (3.17)y separando la parte real e imaginaria como en el caso no-relativista de laseccion anterior.

Al hacer esto obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones.

Gijkl δS

δhijδS

δhkl− h1/2R(3) +Q = 0, (3.19)


Gijkl δS

δhij

(R2 δS

δhkl

)= 0, (3.20)

donde

Q = − 1

RGijkl δ2R

δhijδhkl. (3.21)

La expresion (3.19) debido a su forma puede ser interpretada como unaecuacion de Hamilton-Jacobi cuantica, la cual a diferencia de la ecuacionde Hamilton-Jacobi clasica contiene la cantidad Q la cual tienen la infor-macion cuantica del sistema, y de ahı el nombre de potencial cuantico. Estepotencial es el responsable de que los efectos cuanticos esten presentes en laevolucion geometrica del tres-espacio.

El lımite clasico de la teoria es en el regimen en el que Q es despreciable encomparacion con los demas terminos presentes en la ecuacion (3.19). Cuandoeste es el caso, la teoria es claramente reducida a la relatividad general clasicaen la formulacion de Hamilton-Jacobi.

3.2. No-Conmutatividad

La idea de una teorıa no conmutativa puede ser introducida de muchasmaneras. Un ejemplo muy claro es la mecanica cuantica donde los operado-res de posicion y de momento obedecen una muy bien conocidad regla deconmutacion, la regla de conmutacion de Heisenberg.

[xi, pj] = iδij. (3.22)

Estas reglas de conmutacion dan como resultado un espacio fase discretodebido al principio de incertidumbre. Ahora si aplicamos la no conmutativi-dad a las cooerdenadas de espacio-tiempo, deberıamos de obtener analoga-mente un espacio-tiempo discretizado.

Este nuevo espacio discretizado deberıa de satisfacer una relacion de con-mutacion del mismo tipo

[xi, xj] = iθij, (3.23)

donde θij es una matriz antisimetrica. Dado esto podemos formular unamecanica cuantica no-conmutativa imponiendo a nuestro espacio las rela-ciones anteriores.

3.2. NO-CONMUTATIVIDAD 33

3.2.1. Producto Moyal-Weyl

Dado que tenemos una nueva regla de conmutacion en las coordenadasdel espacio-tiempo debemos de obtener nuestra nueva algebra. Tomemos co-mo punto de partida la relacion de conmutacion entre las coordenadas delespacio-tiempo

[xi, xj] = iθij, (3.24)

donde las coordenadas son operadores. Para poder contruir una mecanicacuantica bien definida necesitamos poder asociar una funcion de operadoresf(x1, . . . , xn) como una funcion clasica de variables canonicas f(x1, . . . , xn).

Usando la transformada de Fourier de la funcion f(x1, . . . , xn) ≡ f(x)

f(k) =1

(2π)n/2

∫dnxe−ikjx

j

f(x), (3.25)

y definiendo

W (f) =1

(2π)n/2

∫dnkeikj x

j

f(k), (3.26)

esta es una receta unica, el operador x reemplaza las variables x en f dela manera simetrica. Si los operadores x tienen propiedades de hermicidadW (f) heredara estas propiedades para f real. Por el momento solo estamosinteresados en las propiedades del operador W (f).

Los operadores obtenidos mediante (3.26) pueden ser multiplicados paradar nuevos operadores. Lo que tenemos que analizar ahora es si estos nuevosoperadores, pueden ser asociados con funciones clasicas.

Si tal funcion asociada al producto de 2 operadores existe, la llamaremosf g

W (f)W (g) = W (f g), (3.27)

o de manera explıcita

W (f)W (g) =1

(2π)n

∫ ∫dnkdnp exp(ikix

i) exp(ipjxj)f(k)g(p). (3.28)

Si el producto de las exponenciales puede ser calculado para dar unacombinacion lineal de las xi’s, la funcion f g existira, este es el caso de la


estructura canonica. Usando la formula de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)[22]. Entonces la multiplicacion de las exponenciales en (3.28) es

exp(ikixi) exp(ikjx

j) = exp

(i(ki + pj)x

j − 1

2θijkipj

). (3.29)

Haciendo una comparacion con (3.26) muestra que (f g)(x) puede sercalculado de (3.28) y (3.29) remplazando x→ x.

f g = f ? g =1

(2π)n

∫ ∫dnkdnp exp

(i(kj + pj)x

j − 1

2θijkipj

)f(k)g(p)

= exp

(i

2

∂

∂xiθij

∂

∂yj

)f(x)g(y)

y←x

(3.30)

y ası obtenemos el producto Moyal

f ? g = exp

(i

2

∂

∂xiθij

∂

∂yj

)f(x)g(y) = fg +

i

2θij∂if∂jg + O(θ2). (3.31)

Esto sugiere que para realizar una teorıa en un espacio no conmutativodefinido por (3.23) basta con reemplazar el producto de dos funciones por elproducto ?, manteniendo el espacio conmutativo.

El conmutador de Moyal-Weyl de dos coordenadas xi y xj da exactamentelas relaciones de conmutacion (3.23)

[xi, xj] = xi ? xj − xj ? xi = iθij. (3.32)

Algunas propiedades del producto Moyal son:

Asociatividad:[(f ? g) ? h] = [f ? (g ? h)](x) (3.33)

Ciclicidad del producto ? bajo el signo de integral:∫(f ? g)(x)dx =

∫(f · g)(x)dx =

∫(g ? f)(x)dx. (3.34)∫

(f ? g ? h)(x)dx =

∫(h ? f ? g)(x)dx =

∫(g ? h ? f)(x)dx. (3.35)

Conjugacion compleja

(f ? g)∗(x) = g∗(x) ? f ∗(x). (3.36)


3.2.2. Ecuacion de Schrodinger No-Conmutativa

En la mecanica cuantica tenemos las relaciones de conmutacion de Hei-senberg

[xi, pj] = iδij

Las nuevas relaciones de conmutacion entre las coordenas es inspirada porlas relaciones de conmutacion de Heisenberg, de tal manera que introduciendola no conmutatividad entre las coordenadas tenemos las nuevas relaciones deconmutacion

[xi, pj] = iδij, [xi, xj] = iθij,

[pi, pj] = 0. (3.37)

donde θij es una matriz antisimetrica constante, real y de dimension [L]2.Veamos a θij como el tensor relacionado en como las direcciones de posicionson distintas una de la otra. Ahora tenemos una nueva mecanica cuantica,dado que las reglas de conmutacion has sido modificadas.

Ahora reescribimos estas relaciones en funcion de unas nuevas variablespor medio de la transformacion canonica (Boop Shift):

xic = xi +i

2θij pj, (3.38)

de tal manera que ahora satisfacen las reglase de conmutacion

[xi, pj] = iδij,

[xi, xj] = [pi, pj] = 0. (3.39)

La ecuacion de Schrodinger formulada en coordenadas no conmutativas,puede ser escrita reemplazando el producto ordinario de funciones por elproducto ?. [

~p2

2m+ V (~x)

]?Ψ(~x, t) = i

∂Ψ(~x, t)

∂t. (3.40)

El unico producto de funciones se encuentra en la expresion:

V (~x) ?Ψ(~x, t) = exp

(i

2θij∂

(1)i ∂

(2)j

)V (~x(1))Ψ(~x(2), t)

~x1=~x2=~x

(3.41)


Desarrollando la exponencial y agrupando las derivadas tenemos

V (~x) ?Ψ(~x, t) =n=0∑∞

1

n!

(i

2

)n[∂i1 · · · ∂inV (x)]θi1j1 · · · θinjn [∂j1 · · · ∂jnΨ(x, t)].

(3.42)Renombrando los operadores ∂jn = ipjn y pik = θikjkpjk obtenemos

V (~x)Ψ(~x, t) =∞∑n=0

(−1)n

n!

(1

2

)n[∂i1 · · · ∂inV (x)]

[pi1 · · · pinΨ(x, t)

], (3.43)

ahora si tomamos en cuenta la transformada de Fourier inversa de la funcionV (x) y aplicamos los operadores de derivada obtenemos

∂i1 · · · ∂inV (x) = ∂i1 · · · ∂in[∫

dnk exp(ikixi)V (k)

](3.44)

=1

(2π)n/2

∫dnk(i)n(ki1 · · · kin) exp(ikix

i)V (k)

Sustituyendo en la ecuacion (3.43) y sumando sobre todas las n’s obte-nemos

V (~x) ?Ψ(~x, t) =1

(2π)n/2

∫dnk exp(ikix

i) exp(ikipi/2)V (k)Ψ(x, t), (3.45)

usadando expA expB = exp(A+B + 1

2[A,B] + 1

12([A, [A,B]] + [B, [B,A]]) + . . .

)llegamos a

V (~x)?Ψ(~x, t) =1

(2π)n/2

∫dnk exp

[iki(x

i − pi/2)− i

4ki[x

i, pi] + . . .

]V (k)Ψ(x, t).

(3.46)

El segundo termino de la exponencial nos da

[xi, pi] = [xi, θijpj] = θij[xi, pj] = iθijδij = 0, (3.47)

entonces la ecuacion (3.46) queda simplemente como

V (~x) ?Ψ(~x, t) =1

(2π)n/2

∫dnk exp

[iki(x

i − pi/2)]V (k)Ψ(x, t). (3.48)


por lo tanto llegamos al resultado

V (~x) ?Ψ(~x, t) = V

(~x− p

2

)Ψ(~x, t). (3.49)

Este resultado nos dice que el producto Moyal entre la funcion potencialy la funcion de onda es equivalente a multiplicar las dos funciones pero conun corrimiento en la fase del potencial dada por −p/2.

Entonces podemos escribir la version no conmutativa de la ecuacion deSchrodinger

~p2

2mΨ(~x, t) + V (~x) ?Ψ(~x, t) =

~p2

2mΨ(~x, t) + V (~x− p

2)Ψ(~x, t) = i

∂Ψ(~x, t)

∂t.

(3.50)

3.2.3. Formalismo de Bohm para un MinisuperespacioNo-conmutativo

Para poder hacer un estudio no-conmutativo de los modelos cosmologicosen el formalismo de Bohm, analizaremos las consecuencias de la formulacionde Bohm para la cosmologıa cuantica no-conmutativa. Debemos de ver co-mo afecta este el formalismo del minisuperespacio (Apendice A.3) dado queesta es la herramienta que usamos para el estudio de los modelos cosmologicoscuanticos en el que trabajamos.

En la mecanica cuantica conmutativa de Bohm es posible describir partıcu-las con posicion y momento bien definidos a cualquier instante de tiempo,aunque los operadores de posicion y momento satisfagan la relacion

[xi, pj] = ihδij. (3.51)

La idea fundamental en nuestro formalismo Bohmiano es la funcion de ondala cual contiene la informacion de la evolucion del universo y las variables delminisuperespacio 1(x, y). Podemos encontrar la funcion de onda resolviendo

1Las variables (x, y) no son variables del espacio-tiempo, son coordenadas en el forma-lismo del minisuperespacio, el cual viene descrito de el Apendice A.3.


la ecuacion de Wheeler-Dewitt no-conmutativa, pero para las variables delminisuperespacio [7] (x, y) no tenemos una ecuacion que nos de la evolucion.

Un camino directo y simle para encontrar la ley de evolucion es usar laaproximacion del minisuperespacio dada por (3.18)

Πij = −h1/2(Kij − hijK) = Re

1

Ψ∗Ψ

[Ψ∗(−i δ

δhij

)Ψ

],

=δS

δhij, (3.52)

dado que conocemos las respectivas ecuaciones de los momento canonicosasociados a las variables del minisuperespacio x y y (las cuales dependen delmodelo cosmologico), ademas desarrollando un mapeo que nos permita vera los operadores como funciones. Esto lo podemos ver tomando el operadorhermıtico A(xc, yc, Pxc , Pyc) al cual le asociamos una funcion A(xc, yc), dondedependen de las variables del minisuperespacio que si conmutan (xc, yc). Laregla que sigue este procedimiento es

B[A] =Re[Ψ∗(xc, yc)A(xc, yc,−i∂xc ,−i∂yc)Ψ(xc, yc)]

Ψ∗(xc, yc)Ψ(xc, yc),

= A(xc, yc), (3.53)

donde el valor real se tomo en cuenta para preservar la hermicidad del opera-dor A. La operacion (3.53) se denomina mapeo beable. El mapeo lo podemosinterpretar como si estuvieramos tomando el valor de espectacion local deloperador A.

Ya definido el mapeo podemos asociar a cada operador A el correspon-diente beable, el cual es el elemento que toma el puesto de A en el formalismode Bohm.

En este capıtulo se introdujo el formalismo de Bohm, que nos da una in-terpretacion distinta de la idea probabilıstica de la mecanica cuantica. Esteformalismo nos deja tener una interpretacion determinista de la mecanicacuantica, con el objeto de tener una mejor idea de las contribuciones fısi-cas de la cosmologıa cuantica. Ademas introducimos el concepto de la no-conmutatividad y vimos como afecta al formalismo de Bohm. En el capıtulosiguiente lo aplicaremos a modelos en particular (FRW y K-S) y analizaremoslas consecuencias que conlleva.

Capıtulo 4

Cosmologıa No-Conmutativa

En este capıtulo analizaremos consecuencias de la no-conmutatividadaplicada a modelos cosmologicos homogeneos introduciendo una deformacionen las relacion de conmutacion entre las variables del minisuperespacio.

El analisis se aplicara al Modelo de Kantowski-Sachs y al Modelo deFriedmann-Robertson-Walker. Esto lo desarrollaremos en cuatro distintos es-cenarios: el clasico conmutativo, el clasico no-conmutativo, el cuantico con-mutativo y el cuantico no-conmutativo.

Aplicaremos el formalismo de Bohmian a los escenarios cuanticos parahacer una comparasion de la evolucion del universo.

4.1. Cosmologıa de Kantowski-Sachs

Empezaremos analizando el universo de Kantowski-Sachs (K-S), el cuales un universo homogeneo y anisotropico. Uno de los intereses de analizareste Modelo es que tiene un gran gama de soluciones analiticas, incluso si lamateria esta acoplada a la gravedad. Este analisis fue hecho anteriormentepor los brasilenos D. Barsosa y N. Pinto-Neto [5].

El elemento de lınea [14] en donde se desenvuelve este univero viene dado

39

40 CAPITULO 4. COSMOLOGIA NO-CONMUTATIVA

pords2 = −N2dt2 +X2(t)dr2 + Y 2(t)(dθ2 + sin2 θdψ2). (4.1)

En la paramentrizacion de Misner, podemos reescribir la metrica anteriorcomo [14]

ds2 = −N2dt2 + e2√

3βdr2 + e−2√

3βe2√

3Ω(dθ2 + sin2 θdψ2

). (4.2)

El hamiltoniano de relatividad general para esta metrica en el formalismode ADM (apendıce (A.1)) esta dado por

H = NH (4.3)

= N exp(√

3β + 2√

3Ω)

[−P

2Ω

24+P 2β

24− 2 exp(−2

√3Ω)

]. (4.4)

Una buena caracterizacion de la evolucion de la metrica (4.2) es mostradapor el estudio del volumen de expansion l3(t) = X(t)Y 2(t). En el gaugeN = 24 exp(−

√3β − 2

√3Ω) podemos ver el volumen caracterıstico de la

metrica de Kantowski-Sachs como

l3(t) = X(t)Y 2(t) = exp[−√

3β(t)− 2√

3Ω(t)]. (4.5)

4.1.1. Modelo Conmutativo Clasico del Universo de K-S

Con el Hamiltoniano en mente podemos iniciar el analisis clasico del mo-delo de K-S. Aplicaremos los corchetes de Poisson para encontrar las ecua-ciones de movimiento clasicas de nuestro sistema.

Los corchetes de Poisson para las variables del espacio fase clasico son

Ω, PΩ = 1, β, Pβ = 1,

PΩ, Pβ = 0, Ω, β = 0. (4.6)

Como vimos en el capıtulo 2 el Hamiltoniano de Relatividad General tieneuna primera constriccion H ≈ 0 y la podemos reducir para el caso de K-S a

H = ξh ≈ 0 (4.7)

4.1. COSMOLOGIA DE KANTOWSKI-SACHS 41

donde

ξ =1

24exp(√

3β + 2√

3Ω),

h = −P 2Ω + P 2

β − 48 exp(−2√

3Ω). (4.8)

Como sabemos de la mecanica clasica las ecuaciones de movimiento en elformalismo de Poisson vienen dadas por:

A = A,H+∂A

∂t, (4.9)

donde H representa el Hamiltoniano de nuetro sistema y viene dado porla ecuacion (4.4), entonces las ecuaciones clasicas de movimiento para lasvariables del espacio fase Ω, PΩ, β y Pβ son

Ω = Ω, H = −2PΩ,

PΩ = PΩ, H = −96√

3e−2√

3Ω, (4.10)

β = β,H = 2Pβ, Pβ = Pβ, H = 0,

donde hemos usado la constriccion h ≈ 0 y fijado la norma N = ξ−1 = 24l3 =24 exp(−

√3β − 2

√3Ω).

Para poder fijar la norma hicimos uso de la invarianza ante la eleccion denorma que posee la teorıa y por lo tanto los resultados que se obtengan enuna norma en particular seran equivalentes a los encontrados en cualquierotra. Desde ahora nos restringiremos a esta norma para el analisis de losdemas escenarios de la cosmologıa de K-S.

Esta eleccion ademas de simplicar las ecuaciones de movimiento nos faci-litara la formulacion no-conmutativa del modelo. La eleccion de N nos defimela forma en que mediremos el tiempo.

Las soluciones a las ecuaciones de movimiento vienen dadas por

Ω(t) =

√3

6ln

48

P 2β

cosh2[2√

3Pβ0(t− t0)]

,

β(t) = 2Pβ0(t− t0) + β0. (4.11)


Calculamos el volumen de caracterıstico para el sistema clasico mediante(4.5) y (4.11) y obtenemos

l3(t) =P 2β0

48sech2[2

√3Pβ0(t− t0)] exp−

√3[2Pβ0(t− t0 + β0)]. (4.12)

El volumen caracterıstico comienza desde cero para t = −∞, y comienza aincrementarse hasta 3

√3P 2

β0exp[−

√3β0]/4 a t = t0−

√3 ln(3)/12Pβ0 , donde

toma su valor maximo, y entonces comienza a decrecer hasta cero a t = +∞.

4.1.2. Modelo No-Conmutativo Clasico del Universode K-S

Ya que hemos visto las soluciones clasicas del sistema, vamos analizar co-mo se deforma el espacio cuando introducimos no conmutatividad en nuestrasvariables clasicas. Para hacer este analisis introduciremos la no-conmutatividadentre las variables del minisuperespacio (Ω, β), donde la relacion de los cor-chetes de Poisson entre las variables del minisuperespacio quedan como

Ω, β = θ, PΩ, Pβ = 0, (4.13)

Ω, PΩ = 1, β, Pβ = 1. (4.14)

Aplicamos la ecuacion (4.9) para el hamiltoniano (4.4), tomando en cuenta lasnuevas relaciones de los corchetes de Poisson dadas por (4.13) y calculamoslas ecuaciones de movimiento para el sistema no-conmutativo:

Ω = −2PΩ, PΩ = −96√

3e−2√

3Ω

β = 2Pβ − 96√

3θe−2√

3Ω, Pβ = 0. (4.15)

Las soluciones para Ω(t) y β(t) en el sistema no-conmutativo son

Ω(t) =

√3

6ln

48

P 2β0

cosh2[2√

3Pβ0(t− t0)]

,

β(t) = 2Pβ0(t− t0) + β0 − θPβ0 tanh[2√

3Pβ0(t− t0)]. (4.16)

Un metodo paralelo para hacer este calculo que se usa en el caso cuantico,el cual fue visto en el capıtulo anterior para la ecuacion de Schrodinger, es la


introducion de variables auxiliares canonicas (Boop Shifht) definidas como

Ωc = Ω +θ

2Pβ βc = β − θ

2PΩ,

PΩc = PΩ, Pβc = Pβ. (4.17)

Ahora esta nuevas variables cumplen con las siguientes relaciones

Ωc, βc = 0, PΩc , Pβc = 0, (4.18)

Ωc, PΩc = 1, βc, Pβc = 1. (4.19)

Las ecuaciones de movimiento en el formalismo canonico , tomando en cuentade nuevo que el gauge viene dado por N = 24 exp(−

√3β − 2

√3Ω), vienen

dadas por

Ωc = −2PΩc , PΩc = −96√

3e−2√

3Ω,

βc = 2Pβ − 48√

3θe−2√

3Ω, Pβc = 0, (4.20)

entonces las soluciones quedan como

Ωc(t) =

√3

6In

48

P 2β0

cosh2[2√

3Pβ0(t− t0)]

+θ

2Pβ0 ,

βc(t) = 2Pβ0(t− t0) + β0 −θ

2Pβ0 tanh

[2√

3Pβ0(t− t0)],

PΩc(t) = −Pβ0 tanh[2√

3Pβ0(t− t0)], Pβc = Pβ0 . (4.21)

Finalmente, apartir de (4.17) y (4.21) nosotros podemos recobrar la solucion(4.16). Teniendo las soluciones no-conmutativas de Ω(t) y β(t), podemos, aligual que el caso conmutativo, la expresion para l3(t) como

l3(t) =P 2β0

48sech2[2

√3Pβ0(t− t0)] exp

√3(2Pβ0t+ β0) (4.22)

− θPβ0 tanh[2√

3Pβ0(t− t0)].

Para ver los efectos de la no-conmutatividad haremos una comparacionentre los dos modelos. Para hacer una comparacion fısica analizaremos elvolumen caracterıstico de cada escenario. Podemos ver des de la expresion


-4 -3 -2 -1 0 1 2

0

2.0 ´ 106

4.0 ´ 106

6.0 ´ 106

8.0 ´ 106

1.0 ´ 107

1.2 ´ 107

l3 HtL

Figura 4.1: Compartamiento del volumen caracterıstico l3(t) en las versionesconmutativas y no-conmutativas del universo clasico de Kantowski-Sachs.Las condiciones iniciales usadas son β0 = −11, Pβ0 = 2/5, y t0 = 0. Dondeθ = 0 (lınea solida), θ = 5(lınea punteada) y θ = −5 (lınea semipunteada).

para el volumen l3(t) en la ecuacion (4.22), el singular comportamiento deluniverso no-conmutativo clasico de K-S a t = ±∞ es el mismo que el modeloconmutativo. La contribucion del parametro no-conmutativo θ es el desfasa-miento del volumen ademas de restringir el valor de la amplitud del mismo.En la Figura 4.1 se muestran los desfases del volumen y la restriccion de laamplitud. Si tomamos valores de −θ el desfasamiento es hacıa la izquierda delvolumen conmutativo y la amplitud crece. Si tomamos +θ el desfasamientoes hacia la derecha y la mplitud crece pero en menor medida (Figura 4.1).

4.1.3. Modelo Conmutativo Cuantico del Universo deK-S

Ahora vamos a considerar el modelo cuantico de Kantowski-Sachs, endonde la representacion que usaremos sera

Ωi → Ωi, PΩ → −i∂

∂Ω, (4.23)


en donde el algebra que cumplen esto operadores viene dada por

[Ω, β] = 0, [PΩ, Pβ] = 0, (4.24)

[Ω, PΩ] = i, [β, Pβ] = i. (4.25)

La ecuacion de Wheeler-DeWiit dada en (3.17) toma la siguiente forma[−P 2

Ω + P 2β − 48exp(−2

√3Ω)]

Ψ(Ω, β) = 0, (4.26)

donde PΩ = −i∂/∂Ω y Pβ = −i∂/∂β. Una solucion [3] a la ecuacion (4.26)es

Ψν(Ω, β) = eiν√

3βKiν(4e−√

3Ω), (4.27)

donde Kiν es la funcion modificada de Bessel y ν es una constante real. Unavez que tenemos un estado cuantico del universo podemos conocer el sistemacuantico completo, mediante una superposicion de los estados Ψ y ası formarel paquete de onda correspondiente [15]. Entonces la funcion de onda deluniverso de Kantowski-Sachs queda como

Ψ(Ω, β) =

∫Cνe

iν√

3βKiν(4e−√

3Ω)dν. (4.28)

Con esta solucion nuestro sistema tiene una interpretacion probabilıstica denuestro modelo. En esta interpretacion hay problemas de renormalizacion enla funcion de onda por lo cual introduciremos un formalismo diferente parasolucionar este problema. Para hacer esta haremos uso de del formalismo deBohm visto en el capıtulo anterior. Comenzaremos proponiendo una forma ala solucion de la funcion de onda

Ψ(Ω, β) =

∫Cνe

iν√

3βKiν(4e−√

3Ω)dν = ReiS, (4.29)

la evolucion del universo puede ser determinada mediante la integracion dela ecuacion (3.18). En la aproximacion del minisuperespacio, el analogo deesta ecuacion viene dada por

PΩ = −1

2Ω = Re

Ψ∗(−ih∂Ω)Ψ

Ψ∗Ψ

=∂S

∂Ω,

Pβ =1

2β = Re

Ψ∗(−ih∂β)Ψ

Ψ∗Ψ

=∂S

∂β. (4.30)


Como vimos anterioremente, hemos fijado el gaugeN = 24l3 = 24 exp(−√

3β−2√

3Ω), este gauge nos fija la manera en que medimos el tiempo. Por lo tantola manera de ver el tiempo sera igual que el caso clasico.

La ecuacion analoga en el minisuperespacio de la ecuacion de Hamilton-Jacobi (3.19) es

− 1

24

(∂S

∂Ω

)2

+1

24

(∂S

∂β

)2

− 2e−2√

3Ω +1

24R

(∂2R

∂Ω2− ∂2R

∂β2

)= 0. (4.31)

El siguiente paso es considerar algunos estados de la funcion de onda y aplicarel formalismo de Bohm para investigar las propiedades del universo repre-sentadas por las trayectorias cuanticas.

Caso 1

El primer caso que analizaremos es cuando la funcion de onda es del tipo(4.27). Desde que la funcion de Bessel Kiν es real para ν y x > 0, la fasepuede ser vista directamente desde la exponencial en (4.29): S = ν

√3β. Por

lo tanto las ecuaciones de movimiento quedan de la siguiente manera

Ω = 0, β = 2√

3ν, (4.32)

cuyas soluciones son

Ω = Ω0, β = 2√

3ν(t− t0) + β0. (4.33)

Sustituyendo la ecuacion (4.33) en (4.5), encontramos los valores de las can-tidades fısicas Θ(t), σ(t) y l3(t)

Θ(t) = −ν4

exp[6ν(t− t0) + 2√

3Ω0 +√

3β0],

σ(t) =

√3ν

6exp[6ν(t− t0) + 2

√3Ω0 +

√3β0], (4.34)

l3(t) = exp[−6ν(t− t0)− 2√

3Ω0 −√

3β0].

Desde las ecuaciones anteriores podemos ver que dependiendo del signo deν , existen dos posibilidades para la evolucion del universo (como se muestra


en la Figura 4.2). La primera (ν > 0) corresponde a un universo que em-pieza con un volumen infinitamente largo e isotropico en el pasado remotoy desarrolla una contraccion a una configuracion de un volumen pequenoy distorcionado. La segunda (ν < 0) es un universo cuyo volumen es in-finitamente pequeno y distorcionado en el remoto pasado y desarrolla unaexpansion a una configuracion larga e isotropica en el futuro infinito. Este

-4 -3 -2 -1 0 1 20

1 ´ 1016

2 ´ 1016

3 ´ 1016

4 ´ 1016

l3 HtL

Figura 4.2: Compartamiento del volumen caracterıstico l3(t) en la versionconmutativa del universo cuantico de Kantowski-Sachs. Las condiciones ini-ciales usadas son β0 = −11, Ω0 = −5 y t0 = 0. Donde ν = ,2 (lınea negra) yν = −,2(lınea roja).

diverso comportamiento cualitativo de las contrapartes clasicas puede serentendido intuitivamente por la evaluacion del potencial cuantico. Desde lasecuaciones (3.21) y (4.27) podemos calcular

Q =1

24R

(∂2R

∂Ω2− ∂2R

∂β2

)= 2e−2

√3Ω − ν2

8. (4.35)

Desde que Q no depende de β, esperamos que esta variable tenga un compor-tamiento clasico, mientras que Ω contenga todos los efectos cuanticos. Esta esla razon principal de la solucion para β en (4.33) donde es exactamente iguala su contraparte clasica (4.11) si identificamos Pβ0 =

√3ν, mientras que

Ω = Ωo es radicalmente diferente.


Caso 2

El siguente caso a analizar es tomar una solucion que consista en la super-posicion de dos soluciones del tipo (4.27),

Ψ(Ω, β) = A1ei√

3µβKiµ(4e−√

3Ω) + A2ei√

3νβKiν(4e−√

3Ω). (4.36)

La correspondiente fase esta dada por

S(Ω, β)=arctan

[A1Kiµ(4e−

√3Ω) sin(

√3µβ) +A2Kiν(4e−

√3Ω) sin(

√3νβ)

A1Kiµ(4e−√

3Ω) cos(√

3µβ) +A2Kiν(4e−√

3Ω) cos(√

3νβ)

], (4.37)

donde A1 y A2 son coeficientes reales. Las ecuaciones de movimiento (4.30)para estos estados son:

dΩ

dt= 8√

3A1A2

[K′iµKiν −KiµK

′iν

]exp

[−√

3Ω]sin[√

3(µ− ν)β]

(A1Kiµ)2 + (A2Kiν)2 + 2A1A2KiµKiνcos[√

3(µ− ν)β],

dβ

dt= 2√

3µA2

1K2iµ + νA2

2K2iν + (µ+ ν)A1A2KiµKiνcos[

√3(µ− ν)β]


3(µ− ν)β], (4.38)

en donde hemos denotado la prima (′) como la derivada con respecto alargumento.

El sistema de ecuaciones (4.38) constituye un autonomo conjunto de ecua-ciones diferenciales no-lineales acopladas. Por lo tanto para poder tener unavision cualitativa graficaremos un campo de velocidades con las soluciones(4.38). Una primera inspeccion de las ecuaciones nos revela que el campode velocidades tiene direcciones invertidas bajo el remplazo de µ → −µ,ν → −ν. Por simplicidad fijaremos A1 = A2 = 1/

√2 y analizaremos el ca-

so cuando ν < 0, el cual viene representado en la Figura 4.3. Analizando laecuacion (4.38) vemos que deben existir puntos de estabilidad que apareceranperiodicamente con periodo 2π/

√3(µ− ν) a lo largo de la direccion β. Esto

lo podemos ver desde la Figura 4.3 donde se observan puntos de estabili-dad a lo largo de β. Si variamos las condiciones iniciales de µ y ν, podemosencontrar una gran variedad de soluciones de (4.38), lo cual nos darıa unagran variedad de universos. Pero aquı nos enfocaremos al analisis del campovectorial (Figura 4.3).

Desde la Figura 4.3 podemos obtener informacion sobre el comportamien-to cualitativo de las soluciones para el volumen l3(t). De aquı podemos ver


0 10 20 30 40

-30

-20

-10

0 W

Β

Figura 4.3: Campo de velocidades correspondiente a las ecuaciones diferencia-les para el universo cuantico conmutativo de K-S con µ = 1/10 y ν = −1/5.

que desde el flujo que emerge alrededor de Ω = 7 o Ω = 27, existe una solu-cion monotonicamente aumentando en β y oscilatoriamente en Ω.Dado quetenemos un universo periodico, esperamos encontrar soluciones del universoque se contraen y expanden con l3(t) pasando por una secuencia de rebotes.

Resolviendo las ecuaciones (4.38) numericamente con condiciones inicialesΩ(0) = 2 y β(0) = −24 y calculando ln(l3(t)) verificamos el comportamientoperiodico (Figura 4.4).

4.1.4. Modelos No-Conmutativo Cuantico del Univer-so de K-S

Conociendo como los efectos cuanticos actuan en el modelo de K-S, pode-mos analizar la no-conmutatividad aplicada al modelo cuantico. Para cons-truir este modelo, plantearemos la deformacion del algebra de los operadoresdel minisuperespacio, de manera similar que la propuesta en [3]. Tal comolo hicimos para la parte clasica tomaremos el parametro no-conmutativo θ


200 400 600 800 1000t

15

20

25

30

35

lnIl3 HtLM

Figura 4.4: Evolucion del volumen caracterıstico del universo cuantico con-mutativo de Kantowski-Sachs con µ = 1/10 y ν = −1/5, con las condiconesiniciales Ω(0) = 2 y β(0)=-24.

como constante. La relacion queda

[Ω, β] = iθ. (4.39)

La realizacion de la relacion de conmutacion (4.39) entre los observables Ωy β en terminos de funciones que conmutan es dada por el producto Moyal(3.31). En terminos de nuestras variables queda:

f(Ωc, βc) ? g(Ωc, βc) =

= f(Ωc, βc)ei(θ/2)(∂←Ωc

~∂βc−∂←βc~∂Ωc )g(Ωc, βc). (4.40)

Las coordenadas conmutativas Ωc y βc son llamados los sımbolos de Weyl delos operadores Ω y β, respectivamente.

Para poder usar la misma relacion de tiempo y ası poder comparar losdistintos escenarios, fijaremos el gauge otra vez como N = 24 exp(−

√3β −

2√

3Ω). La ecuacion de Wheeler-DeWitt para el modelo no-conmutativo deK-S es

[−P 2Ωc + P 2

βc − 48 exp(−2√

3Ωc)] ?Ψ(Ωc, βc) = 0, (4.41)


la cual es la deformacion Moyal de la version (4.26). Usando la propiedades elproducto Moyal, es posible escribir el potencial en terminos de las variablesque conmutan como

V (Ωc) ?Ψ(Ωc, βc) = V (Ωc + iθ

2∂βc)Ψ(Ωc, βc)

= V (Ω)Ψ(Ωc, βc), (4.42)

donde

Ω = Ωc −θ

2Pβc , β = βc +

θ

2PΩc . (4.43)

La ecuacion (4.43) es simplemente la version operacional de la ecuacion(4.17). Entonces la ecuacion de Wheeler-DeWitt nos resulta como

[−P 2Ωc + P 2

βc − 48 exp(−2√

3Ωc +√

3θPβc)]Ψ(Ωc, βc) = 0. (4.44)

Como vimos en el capıtulo anterior los operadores del minisuperespacio enel formalismo de Bohm sufren un beable, el cual viene dado por

B[A] =Re[Ψ∗(Ωc, βc)A(Ωc, βc,−i∂Ωc ,−i∂βc)Ψ(Ωc, βc)]

Ψ∗(Ωc, βc)Ψ(Ωcβc)

= A(Ωc, βc). (4.45)

Aplicando (4.45) nuestros operadores quedan como:

Ω(Ωc, βc) = B[Ω]

=Re[Ψ∗(Ωc, βc)Ω(Ωc,−i∂βc)Ψ(Ωc, βc)]


= Ωc −θ

2∂βcS, (4.46)

y

β(Ωc, βc) = B[β]

=Re[Ψ∗(Ωc, βc)β(βc,−i∂Ωc)Ψ(Ωc, βc)]


= βc +θ

2∂ΩcS. (4.47)

Las ecuaciones de movimiento para Ωc(t) y βc(t) pueden ser encontradasidentificando Ωc y βc con los beable asociados con su evolucion temporal. En


el gauge que se uso N = 24 exp(−√

3β − 2√

3Ω), el Hamiltoniano H = Nξh,con ξ y h definidos en (4.8), se reduce simplemente a h. Podemos usar h paraobtener las ecuaciones de movimiento para Ωc(t) y βc(t) como

Ωc(t) = B(

1

i[Ωc, h]

)Ωc=Ωc(t)βc=βc(t)

= −2∂S

∂Ωc

Ωc=Ωc(t)βc=βc(t)

(4.48)

y

βc(t) = B(

1

i[βc, h]

)Ωc=Ωc(t)βc=βc(t)

= −2∂S

∂βc− 48√

3θ

×Re

exp(−2

√3Ωc − iθ

√3∂βc)(Re

iS)

ReiS

Ωc=Ωc(t)βc=βc(t)

. (4.49)

Las trayectorias en el minisuperespacio estan dadas por

Ω(t) = Ωc −θ

2∂βcS[Ωc(t), βc(t)], (4.50)

β(t) = βc +θ

2∂ΩcS[Ωc(t), βc(t)]. (4.51)

Ahora que conocemos la forma de las ecuaciones de movimiento para Ωc

y βc debemos de encontrar una solucion para Ψ(Ωc, βc). Una solucion para(4.41) es

Ψ(Ωc, βc) = eiν√

3βcKiν

4 exp

[−√

3

(Ωc −

√3

2νθ

)]. (4.52)

Una vez que un estado del universo esta dado, podemos hacer una superpo-sicion de estados y obtener la funcion de onda completa

Ψ(Ωc, βc) =

∫Cνe

iν√

3βcKiν

4 exp

[−√

3

(Ωc −

√3

2νθ

)]dν

= ReiS, (4.53)

entonces la evolucion del universo puede ser determinada por la resoluciondel sistema de ecuaciones constituido por (4.48) y (4.49) y sustituyendo lasolucion en (4.50) y (4.51).


Antes de aplicar el formalismo para hacer los calculos, es interesanteentender el significado de todos los terminos en (4.49). Esto lo podemosver mas facilmente desde la ecuacion de Hamilton-Jacobi. La generaliza-cion de la ecuacion de Hamilton-Jacobi para una cosmologıa cuantica no-conmutativa es obtenida por la proposicion de que la solucion tenga la formaΨ(Ω, β) = ReiS en (4.41) y tomando la parte real. Como resultado encontra-mos

− 1

24

(∂S

∂Ωc

)2

+1

24

(∂S

∂βc

)2

+ V + Vnc +QK +QI = 0, (4.54)

donde

V = −2e−2√

3Ωc ,

Vnc = 2e−2√

3Ωc − 2e−2√

3Ωc+√

3θ∂βcS,

QK =1

24R

(∂2R

∂Ω2c

− ∂2R

∂β2c

), (4.55)

QI = −2Re

exp(−2

√3Ωc − iθ

√3∂βc)(Re

iS)

ReiS

+ 2e−2

√3Ωc+

√3θ∂βcS.

El termino Vnc es la parte no conmutativa del potencial clasico, mientrasque QK y QI son denotados como los potenciales cuanticos cineticos y deinteraccion respectivamente. Podemos reescribir la ecuacion (4.49) como

βc(t) =

[−2

∂S

∂βc− 48√

3θe−2√

3Ωc + 24√

3θ(Vnc +QI)

]Ωc=Ωc(t)βc=βc(t)

. (4.56)

Entonces los efectos no-conmutativos no son solo manifestados por S, la cuales diferente a la dada en el escenario cuantico Lo primero que analizamos esel lımite clasico, el cual ahora contiene dos terminos QK y QI que tenderana ser muy pequenos en comparacion a los demas terminos en (4.54) y (4.56).La presencia de Vnc y QI en (4.56) nos dice que la no-conmutatividad puedeinducir dinamica, en donde vimos que esto es imposible en el caso conmu-tativo. Si tuvieramos una funcion de onda real (S = 0), la cual representaun universo que necesariamente es estatico en la formulacion conmutativa,en la cosmologıa cuantica no-conmutativa podemos producir dinamica. Acontinuacion veremos dos casos donde aplicaremos el formalismo propuesto.

Caso 1


El primer caso que analizaremos es una funcion de onda del tipo (4.52). Eneste caso tenemos S = ν

√3β. Las ecuaciones de movimiento son por lo tanto

Ωc = 0 , βc = 2√

3ν − 48√

3θ exp(−2√

3Ωc + 3θν),

cuyas soluciones son

Ωc = Ωc0 , βc = 2√

3αν(t− t0) + β0, (4.57)

dondeαν = [ν − 24θ exp(−2

√3Ωc0 + 3θν)]. (4.58)

Desde (4.50) y (4.51) encontramos la solucion completa para nuestro sistema

Ω(t) = Ωc0 −θ√

3

2ν, (4.59)

β(t) = βc(t) = 2√

3αν(t− t0) + β0. (4.60)

Si comparamos esta solucion con la obtenida en el el caso uno de la cosmologıacuantica conmutativa (4.33), la unica diferencia en la contribucion de θ quelo podemos ver como un desfase en la solucion. Entonces el comportamientocualitativo del universo en este caso es el mismo que el discutido en el modeloconmutativo.

Caso 2

El segundo caso que analizaremos es considerar que la funcion de onda esuna combinacion lineal de dos soluciones tipo (4.52),

Ψ(Ωc, βc) = A1Kiµ(4e−√

3Ωc+3θµ/2)ei√

3µβc + A2Kiν(4e−√

3Ωc+3θν/2)ei√

3νβc .(4.61)

Escribiendo en coordenadas polares podemos encontrar la fase de Ψ(Ωc, βc)como

S(Ω, β)=arctan

"A1Kiµ(4e−

√3Ω+3θµ/2) sin(

√3µβ) +A2Kiν(4e−

√3Ω+3θν/2) sin(

√3νβ)

A1Kiµ(4e−√

3Ω+3θµ/2) cos(√

3µβ) +A2Kiν(4e−√

3Ω+3θν/2) cos(√

3νβ)

#, (4.62)

donde A1 y A2 son escogidos coeficientes reales. Las ecuaciones (4.48) y (4.49)para los estados son

dΩcdt

= 8√

3A1A2

[e3θµ/2K

′

iµKiν − e3θν/2KiµK′

iν

]e−√

3Ωcsin[√

3(µ− ν)βc]


3(µ− ν)βc], (4.63)


0 10 20 30 40

-30

-20

-10

0 Wc

Βc

Figura 4.5: Campo de velocidades correspondiente a las ecuaciones diferencia-les para el universo cuantico no-conmutativo de K-S con µ = 1/10, ν = −1/5y θ = 4.

para βc

dβcdt

= 2√

3µA2

1K2iµ + νA2

2K2iν + (µ+ ν)A1A2KiµKiνcos[

√3(µ− ν)βc]


3(µ− ν)βc]

−48√

3θe−2√

3Ωce3µθA2

1K2iµ + e3νθA2

2K2iν + (e3µθ + e3νθ)A1A2KiµKiνcos[

√3(µ− ν)βc]


3(µ− ν)βc], (4.64)

donde la ′ representa la derivada con respecto al argumento. Para hacer unacomparacion con el modelo conmutativos fijamos A1 = A2 = 1/

√2 y conside-

ramos el caso donde µ = 1/10 y ν = −1/5. La Figura 4.5 presenta la graficaasociada al campo de velocidades para θ = 4. El campo de velocidad sugie-re que las soluciones sean similares a la contraparte conmutativa. Cuandocomparamos la solucion conmutativa con su analogo no-conmutativo espera-mos encontrar correcciones cuantitativas, esto lo veremos con el estudio dela evolucion de l3(t).

La Figura 4.6 presenta un grafica de ln[l3(t)] para un universo cıclico don-de θ = 4 y la condicion inicial identicas a la Figura 4.4. Como podemos ver,los principales efectos de la no-conmutatividad en este caso son periodos mascortos de los ciclos, ademas de tener un creciemiento en la amplitud maxima,


200 400 600 800 1000t

15

20

25

30

35

40

lnIl3 HtLM

Figura 4.6: Evolucion del volumen caracterıstico del universo cuantico con-mutativo de Kantowski-Sachs con µ = 1/10 y ν = −1/5, con las condiconesiniciales Ω(0) = 2, β(0)=-24 y θ = 4.

que dependen de los valores que tome el parametro θ. Esto concuerda conlos efecto no-conmutativos aplicados al escenario clasico.

4.2. Cosmologıa de Friedmann-Robertson-Walker

En esta seccion analizaremos el modelo de Friedmann-Robertson-Walker(FRW), el cual es un modelo de un universo homogeneo e isotropico interac-cionando con un campo escalar que esta relacionado en la materia. Al igualque en la seccion anterior desarrollaremos este analisis en cuatro distintosescenarios, el conmutativo clasico, conmutativo cuantico, el no-conmutativoclasico y el no-conmutativo cuantico, ademas de ver como afecta en ellos elformalismo de Bohm y ası darnos una idea mas clara del papel que juega lano-conmutatividad en la cosmologıa.

La metrica viene dada en el capıtulo 2 en la seccion de cosmologia, peropara este caso en especıfico trabajaremos con un espacio plano los cual quieredecir que nuestro parametro K = 0, por lo tanto la metrica de FRW viene

4.2. COSMOLOGIA DE FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER 57

dada pords2 = −dt2 + e2α(t)

(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

), (4.65)

y nuestro factor de escala a(t) queda como

a(t) = exp[α(t)] (4.66)

4.2.1. Modelo Clasico Conmutativo del Universo deFRW

Como vimos anteriormente las ecuaciones de Friedmann pueden descom-ponerse en un conjunto de ecuaciones de primer orden para α y φ y susmomentos conjugados por medio del formalismo de Hamilton. En esta sec-cion analizaremos las soluciones clasica de estas ecuaciones.

En la seccion anterior, fijamos un gauge, para el caso del universo deFRW vamos a simplificar las ecuaciones de movimiento (2.72)-(2.75) fijandola funcion lapso

N = 12e3α, (4.67)

esta eleccion ademas de simplificar las ecuaciones de movimiento nos faci-litara la formulacion no-conmutativa del modelo, lo cual se analizara en lasiguiente seccion.

Con N fija las ecuaciones de movimiento (2.72) y (2.73) se transformanen

α = 2Pα, Pα = 72e6αV (φ), (4.68)

las ecuaciones para φ y su momento conjugado, (2.74) y (2.75), podemosverlas como

φ = −12Pφ, Pφ = 12e6αdV (φ)

dφ. (4.69)

Las ecuaciones de Friedmann y K-G las podemos obtener en esta norma demanera similar a lo mencionado en la seccion 2.2.3, para la norma N = 1. Demodo que para la eleccion de en que trabajaremos la ecuacion de Friedmannes

α2 =1

3

(1

2φ2 + 122e6αV (φ)

), (4.70)


mientras que la ecuacion de K-G se lee como

φ = −122e6αdV (φ)

dφ. (4.71)

Uno de los potenciales mas usados y que permite una solucion exacta a lasecuaciones de Einstein es el potencial que ya analizamos

V (φ) = V0e−λφ, (4.72)

este potencial es la solucion a las ecuaciones cuanticas de cosmologıa, tam-bien permite la existencia del mecanismo de inflacion cosmologica para ciertoparametro λ, ventaja que se ve disminuida al no ofrecer forma alguna determinar con el proceso inflacionario[3, 18, 19]. Esto lo podemos solucionarproponiendo una forma adecuada para las variables del minisuperespacio.

Para hacer esto introduciremos una transformacion canonica, la cual usa-remos tanto para el caso clasico como el cuantico. La transormacion canonicatiene la forma (

xiPi

)=

(M 00 N

)(αiΠi

), (4.73)

donde las variables originales del espacio fase quedan contenidas en αi =(α, φ), Πi = (Pα, Pφ) y las nuevas variables quedan xi = (x, y) y Pi = (Px, Py).Las matrices M y N nos definen la transformacion canonica, son matrices de2× 2 y vienen dadas por:

M =

(−6 λ

−√

6λ√

6

), N =

1

λ2 − 6

(1 λ

−λ/√

6 −√

6

). (4.74)

Podemos ver que las matrices M y N no son validas para λ =√

6, este casolo analizaremos mas adelante. Ahora estas variables cumplen el algebra

x, y = 0, Px, Py = 0, (4.75)

x, Px = 1, y, Py = 1, (4.76)

la transformacion inversa viene dada por(αiΠi

)=

(NT 00 MT

)(xiPi

), (4.77)


Este nuevo sistema de coordenadas xi, Pi sera el sistema con el que tra-bajaremos de aquı en adelante. En dicho sistema la ecuacion (2.67) toma laforma

H = −σP 2x + σP 2

y − 12V0e−x, (4.78)

en donde σ ≡ 6(λ2−6) y la variable y es cıclica. Con este cambio de coordenasnuestras ecuaciones se simplifican de la siguiente manera

x = −2σPx, (4.79)

y = 2σPy, (4.80)

Px = −12V0e−x, (4.81)

Py = 0, (4.82)

donde es evidente que Py se conserva, es decir,

Py(t) = D,

con K una constante a determinar. La solucion (4.80) se puede simplificar sitomamos en cuenta su condicion cıclica, de tal forma que

y(t) = 2σDt+ y0, (4.83)

donde y0 es una constante de integracion. Para resolver las ecuaciones de xy Px combinamos (4.79) y (4.81) llegando a una ecuacion de segundo orden

x = 24σV0e−x

cuya solucion es

x(t) = ln∣∣∣cosh2

(√12σV0t

)∣∣∣ , (4.84)

conociendo la solucion de x(t) encontramos Px(t)

Px(t) = −√

12V0

σtanh

(√12βV0t

). (4.85)

Lo siguiente es encontrar los valores de las constantes, la constante derivadade la conservacion del momento Py la podemos determinar de la construccionHamiltoniana (H = 0), sustituyendo las soluciones encontradas x(t), Px(t) yPy(t) en (4.78) encontramos que

D =12V0

σ. (4.86)


Entonces las soluciones para y(t) y Py(t) estan dadas por

y(t) = 24V0t+ y0 (4.87)

Py(t) =12V0

σ. (4.88)

Si tomamos el conjunto de ecuaciones (4.84)-(4.87) y la transformacion (4.77)podemos encontrar el comportamiento de las variables (α, φ)

φ(t) =λ

6− λ2ln∣∣∣cosh2

[√12V0σt

]∣∣∣− 3√

6µ2t, (4.89)

α(t) = − 1

6− λ2ln∣∣∣cosh2

[√12σV0t

]∣∣∣−√3

2λµ2t+ y′0, (4.90)

donde definimos µ = 2√

2V0

λ2−6y el tiempo esta definido por el gauge (4.67).

Como queremos saber como evoluciona el volumen, como en el caso del mo-delo de K-S, debemos de calcular es factor de escala a(t).El factor de escalaviene dado por

a(t) = a0

[cosh

(√12σV0t

)]−2/(6−λ2)

e−√

32λµ2t. (4.91)

Ahora analizaremos el caso en el que la transformacion canonica no esvalida (λ =

√6). Tenemos que las ecuaciones para los momentos con el

potencial (4.72) son

Pα = 72e6α−λφ, Pφ = −12λe6α−λφ. (4.92)

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos

d

dt(λPα + 6Pφ) = 0, (4.93)

la cual es simplemente la ecuacion para Py (4.82). Entonces

λPα + 6Pφ = K0. (4.94)

Ahora encontramos una relacion para las coordenadas

d

dt(λα− φ) = 2K0, (4.95)


de esta ecuacion vemos que recuperamos la ecuacion para y (4.79). De esta ulti-ma relacion llenamos a

λα− φ = 2K0t. (4.96)

Ahora aplicamos la constriccion Hamiltoniana (2.67) y llegamos a la siguienteecuacion diferencial

α

(1− λ2

6

)+

2

3λK0α−

2

3K2

0 − 48V0e(6−λ2)αe2K0λt = 0. (4.97)

Podemos ver que existe la solucion para λ =√

6. De modo que

α =K0√

6t+ 48V0e

2√

6K0t. (4.98)

Integrando y utilizando la ecuacion (4.96), ademas de las ecuaciones de mo-vimiento llegamos al conjunto de soluciones en el caso λ =

√6

α(t) =K0√

6t+ 4

√6V0e

2√

6K0t, φ(t) = −K0t+ 24V0e2√

6K0t,(4.99)

Pα(t) =K0

2√

6t+ 24V0e

2√

6K0t, Pφ(t) =K0

12+ 4√

6V0e2√

6K0t.(4.100)

Con estas soluciones completamos la solucion de las ecuaciones cosmologicas(4.68)-(4.69).

4.2.2. Modelo Clasico No-Conmutativo del Universode FRW

Ahora que ya hemos visto las soluciones clasicas del modelo de FRW,analizaremos como son afectadas al introducir la no-conmutatividad en lasvariables del minisuperespacio, tal como se hizo en el modelo de K-S. Deaquı en adelante trabajaremos con las variables xi y Pi que surgieron dela transformacion canonica que se vio en la seccion anterior. Con esto enmente la deformacion en el minisuperespacio viene dada por la relacion delos corchetos de Poisson entre las nuevas variables del minisuperespacio xi,Pi, y esta dada por

x, y = θ, Px, Py = 0 (4.101)

x, Px = 1 y, Py = 1. (4.102)


La ecuaciones de movimiento, para las coordenadas vienen dadas por

x = −2σPx, Px = −12V0e−x, (4.103)

y = 2σPy − 12θV0e−x, Py = 0, (4.104)

si comparamos estas ecuaciones con las del modelo conmutativo, podemosver que las ecuaciones para x(t) y Px(t) son las mismas, de modo que sussoluciones vienen dadas por (4.84) y (4.85) respectivamente, y la ecuacion dePy es igual a un valor constante D. El valor de la constante D viene dadade la misma forma que en el caso conmutativo, debido a que la constriccionHamiltoniana y las ecuaciones de movimiento para los momentos no se afec-taron por la deformacion. El cambio debido a la no-conmutatividad esta dada

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5a

Figura 4.7: Comportamiento del factor de escala caracterıstico a(t) en laversion conmutativa y no-conmutativa del universo clasico de FRW. Lascondiciones iniciales usadas son Py0 = 1, σ = 18, λ = 3 y t0 = 0. Don-de la lınea solida es la solucion conmutativa, lınea punteada es la solucionno-conmutativa con θ = 1 y lınea semipunteada θ = 2.

completamente en la ecuacion de movimiento para y(t), en la cual apareceun termino que contiene el parametro no-conmutativo θ. La solucion a estaecuacion viene dada por

y(t) = −µσt+1

2θµ tanh

[−µσ

2t]

+ y0. (4.105)


Ahora para dar un entendimiento del significado de esta solucion necesitamos

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Ρ

Figura 4.8: Comportamiento de la densidad caracterıstica ρ(t) en la versionconmutativa y no-conmutativa del universo clasico de FRW. Las condicionesiniciales usadas son Py0 = 1, σ = 18, λ = 3 y t0 = 0. Donde la lınea solidaes la solucion conmutativa, lınea punteada es la solucion no-conmutativa conθ = 1 y lınea semipunteada θ = 2.

el factor de escala anc(t) y ası poder comparar los dos modelos, entonces elfactor de escala no-conmutativo viene dado por la siguienete expresion

anc(t) = a(t) exp

[−√

3

2

λθµ

σtanh

(−µσ

2t)]

, (4.106)

en donde a(t) es la solucion conmutativa del factor de escala (4.91). El efectode la no-conmuattividad en el escenario clasico viene dado por la Figura 4.7,en donde vemos como la no-conmutatividad actua como una funcion de peso,la cual restringe el valor de la amplitud del factor de escala el cual lo podemosrelacionar con el volumen l3(t) mediante l3(t) = a3(t). Por lo tanto podemosdecir que el volumen es restringuido por nuestro parametro no-conmutativoθ.

Este mismo analisis lo podemos hacer para la densidad ρ (Figura 4.8), to-mando la ecuacion (2.47), y nos damos cuenta que el parametro no-conmutativo


se comporta de la misma manera que para el volumen l3(t).

4.2.3. Modelo Cuantico Conmutativo del Universo deFRW

Ahora vamos a considerar el modelo cuantico de Kantowski-Sachs, endonde la representacion que usaremos sera

xi → xi, Pxi → −i∂

∂xi, (4.107)

en donde el algebra que cumplen esto operadores viene dada por

[x, y] = 0, [Px, Py] = 0, (4.108)

[x, Px] = i, [y, Py] = i. (4.109)

Tomando la constriccion HamiltonianaH = 0, vemos que la ecuacion Wheeler-DeWiit dada por (3.17) toma la siguiente forma

∂2Ψ

∂x2− ∂2Ψ

∂y2+

2V0

6− λ2e−xΨ = 0. (4.110)

Claramente podemos ver que para el valor de λ2 = 6 la ecuacion no es valida.Para nuestro estudio tomaremos el intervalo donde la funcion es valida, esdecir excluiremos λ2 = 6. Con esto trabajaremos con los intervalos |λ| <

√6

y |λ| > 6.

Empezaremos con el intervalo |λ| >√

6, entonces la solucion para laecuacion de Wheeler-DeWitt (4.110) viene dada por

Ψn(x, y) = AneinyK2in(βe−

x2 ), (4.111)

donde β =√

8Voλ2−6

y donde K2in representan las funciones modificadas de

Bessel y n es una constante real. Para conocer el sistema cuantico completodebemos de tomar la superposicion de los n-estados de Ψ. Con esto la funcionde onda del universo de FRW queda como

Ψ(x, y) =

∫Ane

inyK2in(βe−x2 )dn, (4.112)


Al igual que en el caso de K-S con esta solucion tenemos una vision proba-bilıstica de nuestro sistema y otra vez nuestro modelo no es renormalizable,por lo cual introduciremos el formalismo de Bohm para solucionar este pro-blema. Comenzaremos proponiendo una solucion de la funcion de onda

Ψ(x, y) =

∫Ane

inyK2in(βe−x2 )dn = R(x, y)eiS(x,y), (4.113)

entonces la evolucion del universo puede ser encontrado de la misma maneraque en el modelo de K-S, por medio de la integracion de la ecuacion (3.18).El analogo de esta ecuacion para el modelo de FRW viene dado por

Px = − 1

2σx = Re

Ψ∗(−i∂x)Ψ

Ψ∗Ψ

=∂S

∂x,

Py =1

2σy = Re

Ψ∗(−i∂y)Ψ

Ψ∗Ψ

=∂S

∂y, (4.114)

donde sigma viene dado por σ ≡ 6√λ2 − 6. El analogo a la ecuacion de

Hamilton-Jacobi viene dado por:(∂S

∂y

)2

−(∂S

∂x

)2

+ γe−x +1

R

(∂2R

∂x2− ∂2R

∂y2

)= 0, (4.115)

donde γ ≡ 2V0

λ2−6. Ahora consideramos dos funciones de onda y aplicaremos el

formalismo de Bohm para investigar las propiedades del universo de FRW ylo que representan por el significado de sus trayectorias cuanticas.

Caso 1

Primero comenzaremos como una funcion de onda del tipo de (4.111), comovimos en el modelo anterior la funcion K2in es real para n > 0. Podemosidentificar la fase directamente desde el exponencial como S = ny. Por lotanto las ecuaciones de movimiento vienen dadas por

x = 0, y = 2σn, (4.116)

donde las soluciones estan dadas como

x = x0, y(t) = 2nσ(t− t0) + y0. (4.117)


Encontramos el factor de escala a(t) como

a(t) = exp[α(t)] = exp

(√6x(t)− λy(t)√

6(λ2 − 6)

), (4.118)

conociendo el factor de escala podemos calcular el volumen l3(t) de la si-guiente manera

l3(t) = a3(t) = exp

(√6x0 − λ[2nσ(t− t0) + y0]√

6(λ2 − 6)

)3

. (4.119)

Si analizamos el comportamiento del volumen l3(t) nos damos cuenta que te-nemos dos casos, el primero se da cuando |λ| >

√6 y el otro cuando |λ| <

√6.

Ahora si fijamos una λ arbitraria, tenemos dos diferentes comportamiento dela evolucion del universo para cada intervalo, las cuales dependen del signode n. El primero (λ > 0, n > 0 o λ < 0, n < 0) corresponde a un universoque en el remoto pasado es infinitamente pequeno y se empieza expandir ex-ponencialmente. El segundo caso (λ > 0, n < 0 o λ < 0, n > 0) correspondea un universo que empieza con un volumen infinitamente grande y empiezaa contraerse (Figura 4.7).

Al igual que en la seccion 4.1.3 el comportamiento cualitativo lo podemosentender mejor evaluando el potencial cuantico. Entonces tenemos

Q =1

R

(∂2R

∂x2− ∂2R

∂y2

)= n2 + γe−x. (4.120)

Desde esta ecuacion vemos que Q no tiene dependencia en y, por lo queesperamos que y tenga un comportamiento clasico, mientras que x debera decontener todos los efectos cuanticos. Esta es la principal razon para que lasolucion de y en (4.117) sea exactamente igual a su contraparte clasica (4.87)si identificamos 2nγ = 24V0 y tomamos t0 = 0, mientras que la parte de x estotalmente diferente.

Caso 2

Como segundo caso analizaremos a la funcion de onda como una superposi-cion de dos soluciones tipo (4.111),

Ψ(x, y) = AeinyK2in(βe−x2 ) +BeimyK2im(βe−

x2 ) = ReiS. (4.121)


-10 0 10 20 30 40 50

-20

-10

0

10

20

xHtL

yHtL

Figura 4.9: Campo de velocidades correspondiente a las ecuaciones diferen-ciales para el universo cuantico conmutativo de K-S con n = ,6 y m = 0.

Entonces podemos calcular la fase S como

S(x, y)=arctan[AK2in(βe−x/2) sin(ny) +BK2im(βe−x/2) sin(my)AK2in(βe−x/2) cos(ny) +BK2im(βe−x/2) cos(my)

], (4.122)

donde A y B son coeficientes escogidos reales. Las ecuaciones de movimientopara estos estados las podemos obtener de la ecuacion (4.114) y vienen dadasde la siguiente manera

dx

dt= βe−x/2

AB(K′

2inK2im −K2inK′

2im)sin [(n−m)y](AK2in)2 + (BK2im)2 + 2ABK2inK2imcos[(n−m)y]

, (4.123)

dy

dt= 2

nA2K22in +mB2K2

2im + (n+m)ABK2inK2imcos[(n−m)y](AK2in)2 + (BK2im)2 + 2ABK2inK2imcos[(n−m)y]

, (4.124)

donde la prima significa la derivada con respecto al argumento. De nuevoestas ecuaciones diferenciales son acopladas, no-lineales y sus soluciones noson analiticas, por lo que tendremos que tomar soluciones numericas de lasecuaciones (4.123) y (4.124). Por simplicidad fijaremos las constantes A =B = 1/

√2.

Podemos ver facilmente que el campo de velocidades que viene dado porlas ecuaciones (4.123) y (4.124) tiene la direccion invertida bajo el remplazo


de n→ −n, m→ −m. Tambien existen las posiblilidades de tener diferentes

-10 0 10 20 30 40

-20

-10

0

10

20

xHtL

yHtL

Figura 4.10: Campo de velocidades y tres tipos de soluciones para el universocuantico conmutativo de FRW con n = ,6 y m = 0. Lınea rojo x(0) = −2,8,y(0) = 5, lınea negra x(0) = 1, y(0) = 0, lınea azul x(0) = 2,5, y(0) = 0 .

tipos de universos, los cuales al igual que la periodicidad dependen de lascondiciones iniciales que tenga el universo, esto se puede ver desde la Figura4.10 en la cual si empezamos con condiciones x(0) = 1, y(0) = 0 (lıneanegra) tendremos universos periodicos en la solucion parametrica, los cualessolo existen en la region cercana a cero, en cambio si nos alejamos de lavecindad de x(0) = 0 nuestras soluciones siempre tienen trayectorias cerradascomo las soluciones con condiciones x(0) = −2,8, y(0) = 5 (lınea roja en laFigura 4.10) y , x(0) = 2,5, y(0) = 0 (lınea azul). En general estas solucionesestan dadas en terminos de nuestra transformacion canonica de las variablesdel minisuperespacio (x, y), por lo tanto para poder dar una interpretacionfısica de que es lo que pasa con nuestras soluciones debemos de tomar latransformacion inversa (4.77) y transformas nuestras soluciones en terminosde las variables (α, φ). Lo primero que analizaremos es la expresion para elfactor de escla a(t), el cual como vimos anteriormente esta relacionado conel volumen por la expresion

l3(t) = a3(t) = e3α(t), (4.125)


Con la expresion del volumen o el factor de escala y la transformacion inversa

a) 100 200 300 400 500t

0.5

1.0

1.5

2.0

aHtL

b) 20 40 60 80 100t

2

4

6

8

10

12

14

a HtL

Figura 4.11: Evolucion del parametro de escala a para el universo cuanticoconmutativo de FRW con condiciones iniciales: a) x(0) = −2,8, y(0) = 5 b)x(0) = 1, y(0) = 0 .

podemos dar una interpretacion fısica a nuestro sistema (Figura 4.12). Comovemos en la grafica en el inciso b) la evolucion temporal del factor de escalaa(t) tiene un caracter periodico, es decir, que nuestro modelo del universocuantico comienza a expandirse hasta un cierto tiempo t y despues de haycomienza a contraerse. Este rango de expansion y contraccion depende muchodel tipo de condiciones iniciales que tomemos, pero en general para cualquiertipo de solucion (a excepcion de el rango cercano a cero) tendra una formaperiodica.

Por otro lado analizamos la expansion de la presion p(t) y la densidadρ(t). En el capıtulo 2 vimos que las ecuaciones que rigen la evolucion de lapresion y temperatura vienen dadas por las ecuaciones

ρφ =1

2φ2 + V (φ), (4.126)

pφ =1

2φ2 − V (φ), (4.127)

donde la unica dependencia es el campo inflaton φ. Tomando las solucionescon condiciones iniciales x(0) = −2,8, y(0) = 5 y x(0) = 1, y(0) = 0 quecorresponden a la lınea roja y lınea negra respectivamente de la Figura 4.10y la transformacion canonica inversa (4.77) podemos obtener las solucionespara la densidad ρ(t) y la presion p(t) para cada caso. Esto se muestra enla Figura 4.12 en donde notamos que al igual que el volumen l3(t) tenemosuna caracter periodico tanto en la densida ρ(t) como en la presion p(t), por


lo que esperamos que cuando aumenta el volumen la densidad disminuye ycuando la en cuanto crezca el volumen la densidad aumente. Esto mismopasa con p(t) pero en su contraparte negativa debido a que ρ ≈ −p. Dadoque el comportamiento de la densidad respecto al volumen es ρ ≈ 1/V elparametro E, la energıa del sistema, es constante. Esto nos lleva a que laenergıa del universo cuantico conmutativo de FRW es constante y por lotanto a la conservacion de la energıa.

a)

20 40 60 80 100 120 140t

-10

-5

5

10

15

20Ρ

b)20 40 60 80 100

t

5

10

15Ρ

Figura 4.12: Evolucion de la presion y densidad caracterıstica del universocuantico conmutativo de FRW con n = ,6 y m = 0, con las condiconesiniciales a) x(0) = −2,8 y y(0)=5 y b)x(0) = 1 y y(0)=0. Lınea roja: volumenl3(t), lınea azul: densidad ρ(t) y lıneal amarilla: presion p(t).

Ahora si tomamos el rango |λ| <√

6 la solucion para la ecuacion de lafuncion de onda (4.110) viene dada en tertminos de las funciones de Bessel

Ψ(x, y) = AeinyJ2in(βe−x/2), (4.128)

donde β =√

8V0

6−λ2 . Nuevamente aplicamos el formalismo de Bohm a esta par-

te, para lo cual propones que una solucion de la ecuacion de onda sea unasuperposicion de dos soluciones del tipo de (4.128). La funcion de onda quedacomo

Ψ(x, y) = AeinyJ2in(βe−x2 ) +BeimyJ2im(βe−

x2 ) = ReiS, (4.129)

las ecuaciones de movimiento son dada por la ecuacion (4.114) .Con estocalculamos la fase S y encontramos

S = arctan

(A[cos(ny)Im(J2in) + sin(ny)Re(J2in)] + B[cos(my)Im(J2im) + sin(my)Re(J2im)]

A[cos(ny)Re(J2in)− sin(ny)Im(J2in)] + B[cos(my)Re(J2im)− sin(my)Im(J2im)]

)(4.130)


donde Re(J2in) es la parte real de J2in y Im(J2in) es la parte imaginaria. Parapoder reducir los calculos podemos redefinir variables, por lo tanto definimos

Re(J2in) =J2in + J−2in

2≡ L2in, Im(J2in) =

J2in − J−2in

2i≡ T2in, (4.131)

y

L′

2in ≡J′2in + J

′−2in

2, T

′

2in ≡J′2in − J

′−2in

2i. (4.132)

Calculamos las ecuaciones de movimiento para x y para y apartir de lasecuaciones (4.114). La ecuacion de movimiento para x queda de la forma

dx

dt=

1

2βe− x2

A2[T′2inL2in − L

′2inT2in] + B2[T

′2imL2im − L

′2imT2im]

A2 + B2 + 2AB[T2inT2im + L2inL2im] cos[(n−m)y] + [L2inT2im − T2inL2im] sin[(n−m)y](4.133)

+1

2βe− x2

AB[T′2inL2im − L

′2inT2im] + [T

′2imL2in − L

′2imT2in] cos[(n−m)y]


+1

2βe− x2

AB[T′2inT2im + L

′2inL2im]− [T

′2imT2in + L

′2imL2in] sin[(n−m)y]


y la ecuacion de movimiento para y

dy

dt=A2n + B2m + (n +m)AB[L2inT2im − T2inL2im] sin[(n−m)y] + [L2inL2im + T2inT2im] cos[(n−m)y]


De nuevo nos encontramos con ecuaciones no lineales, pero en este casoson mucho mas complicadas que para el caso λ >

√6. Nos limitaremos a solo

mostrar la forma de las ecuaciones debido a la complejidad de las ecuacionesde movimiento. Pero en principio se seguirıa el mismo procedimiento que seha seguido en las secciones anteriores.

4.2.4. Modelo Cuantico No-Conmutativo del Universode FRW

Ya que hemos analizado la parte cuantica conmutativo y hemos visto sucomportamiento, a continuacion veremos como es afectado la cuantica delmodelo al introducir la no-conmutatividad en las variables del minisuper-espacio x y y. La relacion de conmutacion que obedecen estas variables essimilar que para la parte clasica, con la diferencia de que ahora los corchetesde Poisson son cambiados por conmutadores. La relacion viene dada por

[x, y] = iθ (4.137)


Como queremos comparar el escenario cuantico conmutativo y el escena-rio cuantico no-conmutativo tomaremos el mismo gauge. La ecuacion deWheeler-DeWitt para el modelo no-conmutativo de FRW viene dada por[

−∂2x + ∂2

y −2V0

6− λ2e−x]?Ψ(xc, yc). (4.138)

Nuevamente aplicamos la propiedad del producto Moyal que nos deja relacio-nar las variables que no-conmutan con unas nuevas variables que conmutan

V (xc, yc) ?Ψ(xc, yc) = V (xc + iθ

2∂yc , yc − i

θ

2∂xc)Ψ(xc, yc)

= V (x, y)Ψ(xc, yc). (4.139)

Aplicando lo anterior obtenemos nuestra nueva ecuacion de Wheeler-DeWittno-conmutativa con variables que si conmutan y esta dada de la siguientemanera[

−∂2xc + ∂2

yc −2V0

6− λ2exp[−(xc −

iθ

2∂yc)]

]Ψ(xc, yc) = 0. (4.140)

Ahora aplicamos el formalismo de Bohm, el cual nos da nuevamente un beablesobre las variables del minisuperespacio

B[A] =Re[Ψ∗(xc, yc)A(xc, yc,−i∂xc ,−i∂yc)Ψ(xc, yc)]

Ψ∗(xc, yc)Ψ(xcyc)

= A(xc, yc). (4.141)

Los operadores con el beable quedan como

x(xc, yc) = xc −θ

2∂ycS, (4.142)

y(xc, yc) = yc +θ

2∂xcS. (4.143)

Pero este beable afecta igualmente a las ecuaciones de movimiento, por lotanto se aplicamos (4.141) a las ecuaciones de movimiento cuanticas y ası de-terminaremos las leyes de evolucion de nuestro modelo no-conmutativo. Lasecuaciones de movimiento no-conmutativas para el universo de FRW vienedadas por

xc(t) = B(

1

i[xc, H]

)xc=xc(t)yc=yc(t)

= −2σ∂S

∂xc

xc=xc(t)yc=yc(t)

(4.144)


y

yc(t) = B(

1

i[yc, H]

)xc=xc(t)yc=yc(t)

= 2σ∂S

∂yc− θσ

2γRe

exp

[−(xc − i θ2

)∂yc]

(ReiS)

ReiS

xc=xc(t)yc=yc(t)

(4.145)

donde γ = 2V0

6−λ2 y H = σ(−P 2x + P 2

y −γe−(xc−i/2θ∂y)). Conociendo las ecuacio-nes de movimiento no-conmutativas necesitamos conocer una solucion a laecuacion de onda (4.140). De nuevo tenemos que nuestra funcion no es validapara λ =

√6, por lo tanto existen dos regiones para analizar. Empezamos

solucionando la ecuacion de Wheeler-DeWitt para λ >√

6 y obtenemos

Ψn(xc, yc) = AneinyK2in

β exp

[−1

2

(xc −

θn

2

)], (4.146)

donde β =√

8V0

λ2−6. Si queremos conocer la solucion completa de la funcion

de onda para el universo de FRW, debemos de hacer una superposicion delos estados que tienen la forma (4.146)

Ψ(xc, yc) =

∫Ane

inyK2in

β exp

[−1

2

(xc −

θn

2

)]dn, (4.147)

con esta solucion y las ecuaciones de movimiento (4.144) y (4.145), podemosconocer la dinamica de la funcion de onda para una posicion y un momentodado para cualquier tiempo. Si analizamos esta solucion y la comparamoscon la cuantica conmutativa podemos ver que la contribuncion de la no-conmutatividad a la ecuacion de onda es un desfasamiento dado por − θn

2.

Esto lo podemos ver mas claro analizando las ecuaciones de movimiento.

Para tener una mejor idea de lo que significan los terminos de la ecuacion(4.145), tenemos que ver el analogo de la ecuacion de Hamilton-Jacobi paraeste modelo. Esta viene dada apartir de la introduccion de Ψ(x, y) = ReiS(x,y)

en (4.140) y tomando la parte real. Encontramos que

−(∂S

∂xc

)2

+

(∂S

∂yc

)2

+ V + Vnc +QK +QI = 0, (4.148)


donde

V =2V0

λ2 − 6e−xc ,

Vnc = − 2V0

λ2 − 6e−xc +

2V0

λ2 − 6e−(xc+ θ

2∂ycS),

QK =1

R

(∂2R

∂x2c

− ∂2R

∂y2c

), (4.149)

QI = − 2V0

λ2 − 6Re

exp

[−(xc − i θ2

)∂yc]

(ReiS)

ReiS

+

2V0

λ2 − 6e−(xc+ θ

2∂ycS).

El termino Vnc lo relacionamos con la parte no conmutativa del potencialclasico, mientras que QK y QI los denominamos de la misma manera quepara el caso de K-S como los potenciales cuanticos cineticos y de interaccion.Ahora podemos reescribir la ecuacion de movimiento (4.145) en termino deestas nuevas variables.

yc(t) =

[2σ∂S

∂yc− θσ

2γe−xc − θσ

2γ(Vnc +QI)

]xc=xc(t)yc=yc(t)

. (4.150)

Si comparamos con el caso conmutativo cuantico vemos que los efectos no-conmutativos se manifiestan no solo vıa S. Lo siguiente a analizar es la cues-tion de los lımites, dado que ahora tenemos nuevas variables que no aparecenen el modelo cuantico conmutativo. Lo primero es la condicion para el li-mite clasico, la cual es ahora que los terminos QK y QI sean despreciablesen (4.148) y (4.150). Ademas debemos de fijar la cosntante σ para que lasecuacion de movimiento sean las mismas en el lımite no-conmutativo, es decirque σ = 18, esto a su vez nos fija la constante lambda a λ = 3

La presencia de los terminos Vnc yQI en (4.150) indica que la no-conmutatividadtambien es capaz de producir dinamica lo cual en el caso conmutativo es im-posible. Una funcion de onda real (S = 0), la cual representa un universoque necesariamente es estatico en la formulacion conmutativa, en la cosmo-logıa cuantica no-conmutativa puede producir dinamica. Esto vemos que esindependiente del tipo de cosmologıa que se use, dado que para el caso deK-S obtenemos los mismos resultados.

Ahora presentaremos ejemplos de las aplicaciones del formalismo pro-puesto.


Caso 1

Al igual que en el modelo cuantico conmutativo el primer caso a analizares tomar simplementre una solucion del tipo (4.146). En este caso vemosfacilmente que la fase S viene dada por S = ny. Las ecuaciones de movimientopara este caso son

xc = 0 , yc = 2σn− θσ

2γ exp

[−(−xc +

θ

2n

)],

calculando las soluciones obtenemos

xc = xc0 , yc = 2αn(t− t0) + y0, (4.151)

donde

αn = nσ − θσ

4exp

[−(xc0 +

θ

2n

)]. (4.152)

Sustituyendo estos resultados en (4.142) y (4.143) encontramos la solucioncompleta para nuestro sistema

x(t) = xc0 −θ

2n, (4.153)

y(t) = yc(t) = 2αn(t− t0) + y0. (4.154)

Comparando estos resultados con los obtenidos en el el caso de la cosmologıacuantica conmutativa (4.117), la unica diferencia en la contribucion de θ quelo podemos ver como un desfase en la solucion. Entonces el comportamientocualitativo del universo en este caso es el mismo que el discutido en el modeloconmutativo.

Caso 2

Para el ultimo caso vamos a considerar que nuestra funcion de onda es lasuperposicion de dos soluciones tipo (4.146),

Ψ(xc, yc) = AeinyK2in

(β exp

[−1

2

(xc −

θn

2

)])+BeimyK2im

(β exp

[−1

2

(xc −

θm

2

)]).

(4.155)Escribiendo la funcion de onda en su forma polar podemos encontrar la fase


-10 -5 0 5 10 15 20

-20

-10

0

10

20

xc

yc

Figura 4.13: Campo de velocidades del universo cuantico no-conmutativo deFRW con n = ,6 y m = 0, con θ = −1/2.

como

S(xc, yc)=arctan

"AK2in(4e−

12 (x−θn/2)) sin(ny) +BK2im(4e−

12 (x−θm/2)) sin(my)

AK2in(4e−12 (x−θn/2)) cos(ny) +BK2im(4e−

12 (x−θm/2)), cos(my)

#(4.156)

donde nuevamente escogimos las constantes A y B como dos coeficientesreales. Las ecuaciones de movimiento (4.144) y (4.145) para los estados deluniverso cuantico no-conmutativo son

dxcdt

= βexc2

AB[eθn4 K

′

2inK2im − eθm4 K2inK

′

2im

]sin[(n−m)y]

(AK2in)2 + (BK2im)2 + 2ABK2inK2imcos[(n−m)yc], (4.157)

dycdt

= 2nA2K2

2in +mB2K22im + (n+m)ABK2inK2imcos[(n−m)yc]

(AK2in)2 + (BK2im)2 + 2ABK2inK2imcos[(n−m)yc]

−θ2γeθn2 A2K2

2in + eθm2 B2K2

2im + (eθn2 + e

θm2 )ABK2inK2im cos[(n−m)yc]

(AK2in)2 + (BK2im)2 + 2ABK2inK2imcos[(n−m)yc].

(4.158)Estas ecuaciones de movimiento para el caso cuantico no-conmutativo deluniverso de FRW tienen la misma forma que para el caso cuantico conmuta-tivo, por lo tanto procederemos de la misma manera que en el caso anterior.


Para esto fijaremos las constantes A = B = 1/√

2 para poder comparar losdos modelos. Como vimos anteriormente en la solucion de la ecuacion deonda, la diferencia entre la solucion conmutativa (4.111) y la no-conmutativa(4.146) es un desfase en el argumento de las funciones modificadas de Besseldado por el parametro no-conmutativo θ . Esto deberıamos de verlo reflejandoen las soluciones a las ecuaciones de movimiento de la parte no conmutativay mas claramente en la evolucion del volumen no-conmutativo. Si conside-ramos el campo de velocidades (Figura 4.13) producido por las ecuaciones(4.157) y (4.158) tendremos una idea mas clara de lo anterior.

Al igual que en los casos anteriores las ecuaciones tienen las direccionesinvertidas ante el cambio de los parametros n y m. De aquı en adelante fi-jaremos la constante λ = 3 y por lo tanto el valor de sigma viene dado porσ = 18, ademas de tomar a γ = 2/3 por simplicidad y como β se relacio-na directamente con γ, el valor de beta queda fijado a β =

√8/3. Ahora

podemos hacer una analisis numerico de las soluciones a las ecuaciones demovimiento (4.157) y (4.158). Analizando las soluciones numericas (Figura4.14) y comparandola con la parte conmutativa podemos ver que las solu-ciones cerradas de la parte conmutativa son afectadas de tal manera que susolucion parametrica comienza a tener un caracter oscilatorio. El efecto de lano-conmutatividad empieza a alargar las soluciones parametricas hasta lle-gar al punto de ser constante, esto sucedo cuando el valor del parametro θ esmuy grande. De nuevo si queremos dar una interpretacion fısica de los efectosde la variacion de θ debemos de hacer un analisis de volumen de expansionl3nc(t). Si tomamos valores pequenos de θ el volumen l3nc(t) con condicionesiniciales x(0) = 1 y y(0) = 0, podemos observar que la evolucion del volumensigue siendo periodica al igual que en el caso cuantico conmutativo, pero conla diferencia de que tenemos un desfasamiento, que viene dado por el valorde θ, ademas de acotar el valor de la amplitud como se muestra en la Figu-ra 4.15. Si tomamos valores mas grandes de θ notamos que l3nc(t) pierde elcaracter periodico y obtiene un crecimiento exponencial, el cual nuevamentedepende de que tan grande sea el valor de θ.

Este mismo efecto se hace presente en la densidad ρnc(t) y la presionpnc(t), los cuales presentan un desfase o corrimiento de las soluciones (Figura4.16), entonces el analisis es el mismo que en el caso conmutativo. Lo cualconcuerda con la solucion original no-conmutativa (4.146). Al igual que vimospara el volumen l3nc(t), la presion pnc(t) y la densidad ρnc(t) cambian su


a) -10 0 10 20 30 40

-20

-10

0

10

20

xHtL

yHtL

b) -10 -5 0 5 10 15 20

-20

-10

0

10

20

xc

yc

Figura 4.14: Soluciones correspondientes al universo cuantico conmutativoy no-conmutativo de FRW con n = ,6 y m = 0.Lınea rojo x(0) = −2,8,y(0) = 5, lınea negra x(0) = 1, y(0) = 0, lınea azul x(0) = 2,5, y(0) = 0.a) corresponde a soluciones conmutativas. b) corresponde a soluciones no-conmutativas con θ = −1/2.


20 40 60 80 100t

2

4

6

8

10

12

14

a HtL

Figura 4.15: Evolucion del factor de escala anc(t) del universo cuantico no-conmutativo de FRW, con n = 6, m = 0 y condiciones iniciales x(0) = 1 yy(0) = 0. Lınea solida: θ = 0, lınea punteada: θ = ,5 y lınea semipunteada:θ = 1.

comportamiento abruptamente cuando θ toma valores grandes. La densidadcrece exponencialmente al igual que el volumen y la presion sigue con unacaracter oscilatoria pero con la diferencia de que ahora es positiva y su periodoes mucho mas corto (Figura 4.16).

Ahora queda analizar el intervalo |λ| <√

6, por lo que la solucion a laecuacion de onda (4.140) viene dada por

Ψ(xc, yc) = AeinycJ2in(βe−12

(xc+θn4

)), (4.159)

donde β =√

8Vo6−λ2 . Si proponemos una superposicon de las soluciones ante-

riores nuestra funcion de onda para el intervalo |λ| <√

6 queda como

Ψ(xc, yc) = AeinyJ2in(βe−12

(xc+θn4

)) +BeimyJ2im(βe−12

(xc+θn4

)) = ReiS.(4.160)

Expresando en coordenadas polares Ψ(xc, yc) = ReiS, podemos obtener elvalor de la fase S y calcular las ecuaciones de movimiento correspondientes


a)20 40 60 80 100

t

5

10

15Ρ

b)50 100 150 200

t

2

4

6

8

Ρ

c) 50 100 150 200t

0.5

1.0

1.5

2.0

Ρ

Figura 4.16: Evolucion del factor de escala anc(t) (lınea roja), la presionpnc(t) ( lınea amarilla) y la densidad ρnc(t) (lınea azul) del universo cuanticono-conmutativo de FRW, con n = 6, m = 0 y condiciones iniciales x(0) = 1y y(0) = 0. a) θ = 0, b) θ = 0,5, c) θ = 1.

dadas por (4.144) y (4.145). La fase S esta dada por

S = arctan

(A[cos(ny)Im(J2in) + sin(ny)Re(J2in)] + B[cos(my)Im(J2im) + sin(my)Re(J2im)]

A[cos(ny)Re(J2in)− sin(ny)Im(J2in)] + B[cos(my)Re(J2im)− sin(my)Im(J2im)]

)(4.161)

Calculamos las ecuaciones de movimiento y para x tenemos

dx

dt=

1

2βe− x2

A2e−nθ

4 [T′2inL2in − L

′2inT2in] + B2e

−mθ4 [T

′2imL2im − L

′2imT2im]


+1

2βex2

ABe−nθ

4 [T′2inL2im − L

′2inT2im] + e

−mθ4 [T

′2imL2in − L

′2imT2in] cos[(n−m)y]


+1

2βe− x2

ABe−nθ

4 [T′2inT2im + L

′2inL2im]− e

−mθ4 [T

′2imT2in + L

′2imL2in] sin[(n−m)y]


y la ecuacion de movimiento para y

dy

dt=A2n + B2m + (n +m)AB[L2inT2im − T2inL2im] sin[(n−m)y] + [L2inL2im + T2inT2im] cos[(n−m)y]


El analisis de las ecuaciones de movimiento y de sus soluciones es muycomplicado, por lo que no se desarrollaran, simplemente dejamos la formade las soluciones. Cabe mencionar que el procedimiento a seguir es comple-tamente el mismo, que el hecho para el intrevalo de λ >

√6.

Capıtulo 5

Conclusiones

Hemos presentado una nueva interpretacion de la cosmologıa cuanticano-conmutativa, motivado por el hecho de tener una vision mas clara. Estanueva interpretacion nos da una nocion determinista de la teorıa. Para haceresto presentamos y desarrollamos el formalismo de Bohm [6], en el cual con-sideramos que los operadores en la mecanica cuantica son posibles cambiara funciones por medio de una transformacion que llamamos beable.

Este formalismo se aplico a dos modelos cosmologicos distintos. Uno deellos es el modelo de Kantowski-Sachs el cual representa un universo ho-mogeneo y anisotropico. Cabe mencionar que este modelo fue analizado an-teriormente por G.D Barbosa y N. Pinto-Nieto [5] y en las primeras seccionesdel capıtulo 4 mostramos sus resultados.

El otro modelo que se considero es el modelo cosmologico de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) con campo escalar , en donde se considera ununiverso homogeneo e isotropico y ademas plano. Se desarrollo un analisisdinamico en un fluido perfecto del modelo en cuatro distintos escenario:

Clasico conmutativo: en este escenario se implemento una transformacioncanonica (4.74) en el modelo clasico, con el objetivo de tener sistemas deecuaciones mas faciles de resolver, ademas de que con estas nuevas variables(x, y), las ecuaciones cuanticas (ecuacion de Wheeler-DeWitt ) tuvieran laforma deseada para aplicar el formalismo de Bohm.

81

82 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Clasico no-conmutativo: Analizamos el efecto de la no-conmutatividad alhacer una deformacion en las variables del minisuperespacio (x, y) (4.101).Para poder ver el efecto fısico de la no-conmutatividad en nuestro sistemaanalizamos la evolucion del factor de escala anc(t), el cual esta relacionado conla evolucion del volumen l3(t) y se encontro que los efectos no conmutativoslımitan la amplitud maxima del volumen, ademas de desfasar el volumenconmutativo. El parametro del cual dependen estos efectos viene dado porel parametro no-conmutativo θ, es decir, entre mas grande sea θ mas cambiala amplitud y el desfasamiento. Tambien se comprobo que cuando θ → 0 serecupera el modelo clasico.

Cuantico conmutativo : En este escenario aplicamos la cuantizacion canoni-ca, transformando nuestro Hamiltoniano clasico (3.17) a la ecuacion de Wheeler-DeWitt (4.110),de ahı obtuvimos las solucion [3]. En esta parte tenemos unainterpretacion probabilıstica de la teorıa. Al aplicar el formalismo de Bohmfuimos viendo el cambio de una interpretacion cuantica probabilıstica, que sebasa en la ecuacion de Wheeler-DeWitt, por una interpretacion mas clasica,que se basa en una ecuacion tipo Hamilton-Jacobi, la cual tiene la presenciade un potencial al que llamamos potencial cuantico. En este potencial vienedada toda la informacion cuantica del sistema, es decir, que podemos ver alsistema clasico siendo perturbado por este potencial.

Para este escenario analizamos dos caso; en el primer caso tomamos unasolucion tipo (4.111) y aplicamos el formalismo de Bohm con condiciones ini-ciales dadas. En el caso dos tomamos una combinacion lineal de las solucionestipo (4.111) y aplicamos el formalismo de Bohm con diferentes condicionesiniciales, con lo que obtuvimos trayectorias para las variables del minisuper-espacio, en donde confirmamos que la teorıa es determinista. Se analizo laevolucion del volumen, la densidad y la presion del universo, para despuescompararla con la parte no-conmutativa.

Cuantico no-conmutativo: Aplicamos una deformacion a las variables delminisuperespacio (x, y) dada por la relacion (4.137) para ver la modificacionde las trayectorias obtenidas en el caso cuantico conmutativo.

Los efectos no-conmutativos se pueden ver al comparar los distintos esce-narios. Para hacer esto analizamos el volumen de expansion, ası como la pre-sion y la densidad. En la parte clasica el volumen de expancion lo vemos comosi empezara desde un volumen finito y comienza a crecer infinitamente y des-

83

pues comienza a contraerce en un futuro. Los efectos de la no-conmutatividaden el volumen de expancion l3nc(t) restringue el crecimiento a un valor finito,dependiendo del valor de θ ,este crecimiento puede toamar distintos valoresfinitos.

Para el caso cuantico conmutativo en el formalismo de Bohm vemos queel volumen tiene un comportamiento periodico, al igual que la presion y ladensidad. Ademas que vemos que para el modelo tenemos conservacion de laenergıa. Al aplicar la no conmutatividad vemos que estos resultados sufrenun desfasamiento cuando consideramos θ’s pequenas lo cual concuerda conla literatura [3]. Esto no sucede cuando la θ tienes valores grandes por quela forma del volumen, la presion y la densidad cambia considerablemente, locual justifica el por que θ debe de ser pequeno.

84 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Apendice A

Formalismo 3+1

A.1. Formalismo Arnowitt-Deser-Misner (ADM)

En la Relatividad General proponemos unas coordenadas que sean inva-riantes ante las transformaciones de coordenadas, debido a que exigimos quelas leyes de la fısica sean validas para cualquier sistema de referencia. Conesto podemos analizar sistemas no inerciales que surgen naturalmente en losespacios con curvatura no plana. Pero al lograr esto perdemos una distincionentre las coordenadas que describen nuestro sistema, es decir perdemos ladistincion entre la parte temporal y la parte espacial en las coordenadas.

El formalismo de Arnowitt-Deser-Misner recupera esta nocion de espacio-tiempo mediante una descomposicion 3+1 de la variedad 4-dimensional M.La descomposicon de la variedad 3+1 es dada por una foliacion del espacio-tiempo, la cual esta formada por hipersuperficies de tres dimensiones tipo-espacio, las cuales estan parametrizadas por la coordenada t, de modo quecada superficie esta dada por t=constante y las denotaremos por Σt, y tienecoordenadas espaciales xi(i = 1, 2, 3). De manera que la metrica de espacio-tiempo esta dada por

ds2 = gµνdxµdxν = hij(dx

i +N i(t, xk)dt)(dxj +N j(t, xk)dt)−N2dt. (A.1)

Tal descomposicion es posible si la variedad es globalmente hiperbolica. Lacantidad N (llamada funcion lapse), mide la diferencia entre la coordenada

85

86 APENDICE A. FORMALISMO 3+1

temporal t y el tiempo propio τ , sobre curvas normales a las hipersuperficiesΣt, donde la normal es dada por ηµ = (−N, 0, 0, 0) en las coordenadas ante-riores, la funcion N i (llamada funcion shift) mide la diferencia entre un puntoespacial p, y el punto que uno obtendrıa si en lugar de seguir p de una hiper-superficie a otra, siguieramos una curva tangente a la normal ηµ. Dicho deotra maneras las coordenadas son comoviles si Ni = 0. Finalmente hij(t, x

k)es la metrica intrınseca inducida sobre las hipersuperficies espaciales por lametrica de espacio-tiempo gµν .

La descomposicion de la metrica 4-dimensional procede como sigue

gµν =

(−N2 +NkNk Nj

Ni hij

), (A.2)

con inversa

gµν =

(−N−2 N−2N j

N−2N i hij −N−2N iN j.

), (A.3)

Se puede construir un tensor de curvatura intrınseco 3Rijkl(h) unicamente a

partir de la metrica intrınseca. De la misma manera es posible definir unacurvatura extrınseca (o segunda forma fundamental), la cual describe comolas hipersuperficies espaciales se curvan con respecto a la variedad de espacio-tiempo dentro de la cual estan embebidas. Esta esa dada por

Kij = −∇ni = −Γ0ijn0 =

1

2N

(Ni|j +Nj|i −

∂hij∂t

), (A.4)

donde ∇ denota diferenciacion covariante respecto a gµν , y la barra verti-cal denota diferenciacion covariante respecto a la 3-metrica hij. Dada unafoliacion deM por hipersuperficies espaciales, siempre es posible elegir coor-denadas gaussianas normales en las cuales 1 en las cuales

ds2 = −dt2 + hijdxidxj. (A.5)

Estas son coordenadas comoviles (N i = 0) con la propiedad adiconal que t esel parametro del tiempo propio (N = 1). En estas coordenadas Kij = −hij.Sin embargo, solo estamos en libertad de hacer una eleccion especıfica de

1Coordenadas en las cuales se satisface g00 = 1 y ∂tg0i = 0 se denominan coordenadasgaussianas, si ademas se tiene que g0i = 0, las coordenadas se denominan gaussianasnormales

A.1. FORMALISMO ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM) 87

coordenadas despues de realizar la variacion de la accion si queremos estarseguros de obtener las ecuaciones de Einstein, debiendo mantener la funcionlapse y shift hasta el final.

Consideremos la accion de Hilber-Einstein con constante cosmologica ycomo materia un campo escalar, solo para ejemplificar el acoplamiento demateria

S =1

4κ2

[∫d4x√−g(4R− 2Λ) + 2

∫∂M

d3x√hK

]+ Smat, (A.6)

donde κ2 = 4πG = 4πM−2P y K = Ki

i es la traza de la curvatura extrınseca,las accion de materia esta definida mediante

Smat =

∫d4x√−g(−1

2gµν∇µφ∇νφ− V (φ)

). (A.7)

En terminos de las variables del formalismo 3+1 se tiene

S =1

4κ2

∫dtd3xN

√h(KijK

ij −K2 +3R− 2Λ) + Smat. (A.8)

Los momentos canonicos de la teoıa estan dados por

πij ≡ δL

δhij= −√h

4κ2(Kij − hijK), (A.9)

πφ ≡δL

δφ=

√h

N(φ−N i∂iφ), (A.10)

π0 ≡ δL

δN= 0, (A.11)

πi ≡ δL

δN i= 0. (A.12)

El hecho de que los momentos conjugados a N y N i se anulen, significa queel sistema posee constricciones primarias. Con la eleccion de las variables N ,Ni, hij, φ y sus momentos conjugados como las variables basicas se obtieneel hamiltoniano

H ≡∫d3x(π0N + πiNi + πijhij + πφφ)− L (A.13)

=

∫d3x(π0N + πiNi +NH +NiHi), (A.14)


donde

H =

√h

2κ2(G0

0 − 2κ2T 00 ) (A.15)

= 4κ2Gijklπijπkl −√h

4κ2(3R− 2Λ) +

1

2

√h

(π2φ

h+ hij∂iφ∂jφ+ 2V

)(A.16)

Hi =

√h

2κ2(G0i − 2κ2T 0i) = −2πij|j + hij∂jφπφ , (A.17)

y

Gijkl =1

2

√h(hikhjl + hilhjk − hijhkl), (A.18)

es la metrica de DeWitt. La accion entonces puede ser escrita como

S =

∫dtd3x(π0N + πiNi −NH−NiHi). (A.19)

Las funciones N y Ni actuan ahora como multiplicadores de Lagrange; lavariacion respecto a N lleva a la constriccion hamiltoniana

H = 0, (A.20)

mientras que la variacion respecto a Ni lleva a la constriccion de los momentos

Hi = 0. (A.21)

Estas constricciones no son mas que las componentes (00) y (0i) de las ecua-ciones de Einstein.

A.2. Cuantizacion Canonica

En esta seccion desarrollaremos los pasos para cuantizar un sistema clasi-co mediante el metodo llamado cuantizacion canonica. Antes de empezar coneste metodo introducirtemos el espacio de configuraciones sobre el cual ladinamica cuantica sera definida. Consideremos el espacio de todas las metri-cas Rimmannianas 2 y configuraciones de materia sobre las hipersuperficiesespaciales Σ,

Riem(Σ) ≡ hij(x),Φ(x)|x ∈ Σ. (A.22)

2Una metrica Riemanniana es una metrica definida positiva, es decir, que satisfacegµνξµξν > 0

A.2. CUANTIZACION CANONICA 89

Este es un espacio de dimension infinita debido a la dependencia en x, espe-cificando el punto sobre la hipersuperficie, pero solo existe un numero finitode grados de libertad en cada punto x ∈ Σ. Un punto importante aquı esque configuraciones que esten relacionadas mediante un difeomorfismo debenser consideradas equivalentes, dado que su geometrıa es la misma. Definimosentonces el superespacio como3

Riem(Σ)

Difm0(Σ), (A.23)

donde es subındice cero significa que consideramos unicamente difeomorfis-mos que estan conectados a la identidad. Este espacio de dimension infinitasera el espacio de configuraciones base de la cosmologıa cuantica. La metricade DeWitt es una metrica sobre el superespacio, la cual puede ser escritacomo

GAB(x) ≡ G(ij)(kl)(x), (A.24)

donde los ındices A, B corren sobre las componentes independientes de lametrica intrınseca hij

A,B ∈ h11, h12, h13, h22, h23, h33. (A.25)

La metrica de DeWitt tiene sugnatura (−+++++) en cada punto de x ∈ Σ,independientemente de la signatura de la metrica de espacio-tiempo gµν . Paraincorporar todos los grados de libertad es necesario extender el rango de losındices A, B de manera que se incluyan los campos de materia, definiendoapropiedamente Gφφ y otras componentes se existen mas campos presentes.Una inversa para la metrica de DeWitt GAB = G(ij)(kl) puede ser definidapidiendo

G(ij)(kl)G(kl)(mn) =1

2(δimδ

jn − δinδjm), (A.26)

de lo cual se sigue

G(ij)(kl) =1

2

√h(hikhjl + hilhjk − 2hijhkl). (A.27)

La cuantizacion canonica procede tomandola funcion de onda (del uni-verso, en el caso de cosmologıa cuantica) Psi[hij,Ψ] a ser una funcional en

3No hay que confundir con el superespacio relacionado con supersimetrıa, que no tinerelacion alguna con este.


el superespacio y las variables canonicas se transforman en operadores queactuan sobre la funcion de onda. En contraste con mecanica cuanica conven-cional, la funcion de onda aquı, no depende explıcitamente del tiempo. Eltiempo esta contenido implıcitamente en las variables dinamicas de la teorıa.La ecuacion de Wheeler-DeWitt luce como una ecuacion de Schr0dinger esta-cionaria con energıa cero. Dado que la presencia de un parametro de tiempoexterno es tan importante en la mecanica cuantica, no es claro como inter-pretar una ecuacion que no posee un parametro temporal, este es llamadoel problema del tiempo en cosmologıa cuantica, uno de los problemas masimportantes, aun no resuelto en esta area. [12, 15]. En la teorıa cuantica losmomentos son transformados en operadores funcionales

πij → −i δ

δhij, (A.28)

πφ → −i δδφ, (A.29)

π0 → −i δδN

, (A.30)

πi → −i δ

δNi

. (A.31)

Mientras que se impone, siguiendo a Dirac

π0Ψ = 0, (A.32)

πiΨ = 0, (A.33)

lo cual implica que Ψ es independiente de N y Ni. La constriccion de mo-mentos nos lleva a

HiΨ = 0⇒ i

(δΨ

δhij

)|j

= 2κ2T 0iΨ. (A.34)

Es posible mostrar que lo anterior implica que Ψ es la misma para confi-guraciones hij(x), φ(x) que estan relacionadas por una transformacion decoordenadas en la hipersuperficie espacial Σ. Finalmente la construccion ha-miltoniana

HΨ =

[−4κ2Gijkl

δ2

δhijδhkl+

√h

4κ2(−3R + 2Λ + 4κ2T 00)

]Ψ = 0, (A.35)

se transforma en lo que se conoce como la ecuacion de Wheeler-DeWitt.

A.3. MINISUPERESPACIO 91

A.3. Minisuperespacio

En la practica, trabajar con el numero infinito de grados de libertad delsuperespacio no es posible. Una aproximacion que es bastante util es trun-car el numero infinito de grados de libertad a un numero finito. obteniendoası lo que se denomina modelos de minisuperespacio [1]. Una manera de ha-cer esto es considerar metricas homogeneas, dado que pra cada punto x ∈ Σexiste solo un numero finito de grados de libertad en el superespacio. Con-sideremos cosmologıas homogeneas [10]. En lugar de tener una ecuacion deWheeler-DeWitt para cada punto de la hipersuperficie espacial, tendremossimplemente una sola ecuacion de Wheeler-DeWitt para toda Σ.

Los modelos Bianchi son las cosmologıas homogeneas mas generales conun grupo de isometras tridimensionales [10, 11]. Estos gripos estan en co-rrespondencia uno a uno con algebras de Lie en tres dimensiones; existen9 distintas algebrasde Lie en 3 dimensiones, en consecuencia existen 9 cos-mologıas tipo Bianchi. Las constantes de estructura del grupo pueden serdescompuestas como Cµ

αβ = εαβνηµν + δµβaβ − δµαaβ, donde ηνµ = ηµν y aα

son constantes. La identidad de Jacobi para las constantes de estructura lle-van a la condicion ηµνaν = 0, es decir, el vector aα es el vector cero o uneigenvector de la matriz ηµν correspondiente al eigenvector cero. Dada quela matriz es simetrica esta puede ser puesta en forma diagonal mediante unapropiado cambio de base, este cambio de base puede ser elegido de maneraque el vector aα toma la forma (a, 0, 0). Esta clasificacion la podemos ver enlas siguientes tablas

Clase ATipo a n1 n2 n3

I 0 0 0 0II 0 1 0 0

VII 0 1 1 0VI 0 1 -1 0IX 1 1 1 1

VIII 0 1 1 -1

Clase BTipo a n1 n2 n3

V 1 0 0 0IV 1 0 0 1VII a 0 1 1

III(a = 1) a 0 1 -1VI(a 6= 1) a 0 1 -1

La 3-metrica de estos modelos puede ser escrita en la forma

hijdxidxj = hij(t)w

i ⊗ wj, (A.36)


donde wi son 1-formas invariantes asociadas con el grupo de isometrıas. Elejemplo mas sencillo lo constituye el modelo Bianchi I. En este caso podemostomar w1 = dx, w2 = dy, w3 = dz, obteniendo

hijdxidxj = atdx2 + b2(t) + c2(t)dz2, (A.37)

siendo las coordenadas del minisuperespacio en este caso a, b, c,Ψ. En elcaso particular a(t) = b(t) = c(t) se obtiene el modelo FLRW plano (k = 0).Consideremos ahora el minisuperespacio correspondiente a una cosmologıahomogenea arbitraria. Asumiremos que el minisuperespacio es de dimensionn, y denotaremos las coordenadas del minisuperespacio por qµ. Dado queN i = 0 por suposicion, se sigue

Gijklhijhkl = 4√hN2(KijK

ij −K2), (A.38)

y consecuentemente la accion toma la forma

S =

∫dt

[1

2NGµν(q)qµqν −NU(q)

], (A.39)

donde

Gµνdqµdqν =

∫d3x

[1

8κ2Gijklδhijδhkl +

√hδΦδφ

], (A.40)

es la supermetrica en el minisuperespacio, el cual es un espacio de dimensionn, y

U(q) =

∫d3x√h

[1

4κ2(−3R + 2Λ) + V (ψ)

]. (A.41)

La accion es simplemente equivalente a la de una partıcula puntual moviendo-se en un potencial U(q). La variacion de la accion respecto a qµ nos lleva auna ecuacion deodesica con termino de fuerza

1

N

d

dt

(qµ

N

)+

1

N2Γµνρq

ν qρ = −Gµν ∂U∂qν

, (A.42)

donde Γµνρ son los sımbolos de Christoffel determinados por la minisupermetri-ca. La variacion de la accion respecto a N nos lleva a la constriccion hamil-toniana

1

2N2Gµν qµqν + U(q) = 0. (A.43)

A.3. MINISUPERESPACIO 93

El procedimiento de cuantizacion es grandemente simplificado, puesto queahora nuestro espacio de configuraciones es de dimension finita, lo que tene-mos ahora en las manos es un problema de mecanica cuantica de un sistemacon constricciones. Los momentos canonicos y el hamiltoniano estan dadospor

πµ =∂L

∂qµ=Gµν qν

N, (A.44)

H = πµqµ − L = N

[1

2Gµνπµπν + U(q)

]≡ NH. (A.45)

En terminos de las nuevas variables, la accion y las constriccion hamiltonianaqueda como

S =

∫dt(πµq

µ −NH), (A.46)

1

2Gµνπµπν + U(q) = 0. (A.47)

Bajo la cuantizacion canonica, la constriccion hamiltoniana nos lleva a laecuacion de Wheeler-DeWitt

HΨ =

[−1

2

1√−G

∂µ(√−GGµν∂ν) +

n− 2

8(n− 1)R + U(q)

]Ψ = 0, (A.48)

donde R es el escalar de curvatura obtenido de la minisupersimetria. Unproblema de las funciones de onda encontradas con este procedimiento es lano normalizabilidad de las mismas.

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