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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

CAMPUS LOS ÁNGELES

ESCUELA DE EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE ERRORES FRECUENTES EN POTENCIAS Y RAÍCES EN

ESTUDIANTES DE SEGUNDO AÑO MEDIO DE LOS ÁNGELES

Seminario de Título para optar al Grado Académico de Licenciado en Educación y al Título

Profesional de Profesor de Matemática y Educación Tecnológica

Seminaristas: César Alejandro Tapia Gatica

Lindsay Geraldinne Ulsen Barra

Profesor Guía: Dr. Cristian Gamaliel Pérez Toledo

Los Ángeles, Marzo 2017

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

CAMPUS LOS ÁNGELES

ESCUELA DE EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE ERRORES FRECUENTES EN POTENCIAS Y RAÍCES EN

ESTUDIANTES DE SEGUNDO AÑO MEDIO DE LOS ÁNGELES

Seminario de Título para optar al Grado Académico de Licenciado en Educación y al Título

Profesional de Profesor de Matemática y Educación Tecnológica

Seminaristas: César Alejandro Tapia Gatica


Comisión Evaluadora:

Sr. Cristian Gamaliel Pérez Toledo, Dr. en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería

Matemática, Universidad de Concepción.

Sr. Victor Jara Sánchez, Mag. en Estadística, Universidad de Concepción.

Sr. Sixto Martínez Hernández, Mag. en Estadística, Universidad de Concepción.

Los Ángeles, Marzo 2017

Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de segundo año medio de Los Ángeles 2017

Resumen

La presente investigación tiene como propósito identificar y analizar los errores más

frecuentes en el contenido de potencias y raíces, que cometen los estudiantes de segundo

año medio de colegios municipales de la ciudad de Los Ángeles, Chile. Para esto, se

considera una muestra compuesta por 168 estudiantes de dos colegios con distinta

modalidad escolar, un colegio con modalidad científico – humanista y un colegio con

modalidad técnico – profesional.

Durante el segundo semestre del año 2016, a la muestra se le aplica un instrumento

para la recolección de datos, diseñado por los autores de esta investigación, donde se hace

una recopilación de ejercicios obtenidos de la PSU de Matemática de años anteriores y

validado por un docente experto de la Universidad de Concepción. Tras el análisis

estadístico de los resultados, se puede observar que existe una gran cantidad de errores en

el contenido de potencias como también en el contenido de raíces. Al mismo tiempo,

tomando en cuenta las modalidades de los colegios se puede inferir que, si bien se cometen

aproximadamente la misma cantidad de errores en los dos establecimientos, el colegio

científico– humanista presenta más respuestas correctas, en comparación con el colegio

técnico– profesional que tiene más respuestas omitidas.

Después del análisis, se aprecia la gran cantidad de errores que cometen los estudiantes

en el contenido de potencias y raíces, y que se deben a la carencia de conocimientos

previos que han trasladado a este contenido.

Palabras Claves: Errores en Matemática, Potencias, Raíces, Obstáculos, Dificultades,

Modalidad, Investigación Educativa.

Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de segundo año medio de Los Ángeles 2017

Abstract

The present research aims to identify and analyze the most frequent errors in the

content of powers and roots, committed by high school students of second grade in the city

of Los Angeles, Chile. For this, it is considered a sample composed by 168 students of two

high schools with different school modality, a college with scientific – humanistic modality

and a college with technical – professional modality.

To the sample is applied an instrument during the second half of 2016, the instrument

used for data collection is a test designed by the authors of this research, where made is a

compilation of exercises obtained from the PSU of Mathematics for years and validated by

an expert professor at the University of Concepcion. After the statistical analysis, it is

possible to observe that there is a great amount of errors in the content of powers as well

as in the content of roots. At the same time, taking into account the modalities of the

schools can be inferred that although the same amount of errors are committed in both

establishments, the scientific – humanist college presents more correct answers, compared

to the professional technical college that has more answers omitted.

After the analysis, it is reflected the great number of mistakes made by students that

are part of the process of the teaching – learning process of the content of powers and

roots and that are due to the lack of previous knowledge that have been transferred to

these contents.

Key words: Mistakes in Mathematics, Powers, Roots, Obstacles, Difficulties, Modality,

Educational Research.

Índice General

Dedicatoria ...................................................................................................................... 1

Agradecimientos ............................................................................................................. 2

Introducción .................................................................................................................... 4

CAPÍTULO 1 .................................................................................................................. 6

Planteamiento del problema .................................................................................... 6

1.1 Definición del tema ............................................................................................ 6

1.2 Planteamiento del problema .............................................................................. 7

1.3 Justificación de la investigación .......................................................................... 8

1.4 Viabilidad de la investigación ............................................................................. 8

CAPÍTULO 2 .................................................................................................................. 9

Propuesta de Investigación ....................................................................................... 9

2.1 Objetivo General ................................................................................................ 9

2.2 Objetivos Específicos .......................................................................................... 9

2.3 Preguntas de Investigación ............................................................................... 10

2.4 Hipótesis de Investigación ................................................................................ 11

CAPÍTULO 3 ................................................................................................................ 12

Marco Teórico............................................................................................................ 12

3.1 Antecedentes previos ...................................................................................... 12

3.2 Investigación educativa .................................................................................... 14

3.3 Origen del concepto de error............................................................................ 15

3.4 ¿Por qué estudiar el error en matemática? ....................................................... 16

3.5 Definición de error ........................................................................................... 16

3.6 Dificultades, obstáculos y su relación con el error ............................................. 18

3.6.1 Relación entre dificultad, obstáculo y error ..................................................... 18

3.6.2 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas .......................................... 18

3.6.3 Obstáculos en la educación matemática .......................................................... 20

3.7 Causas y características de los errores en matemática ...................................... 22

3.8 Los errores en el aprendizaje de potencias y raíces ........................................... 24

3.9 Situaciones generadoras de errores .................................................................. 26

3.10 Errores frecuentes encontrados en potencias y raíces según los planes y

programas del Ministerio de Educación ......................................................................... 27

3.10.1 Errores frecuentes en potencias ....................................................................... 27

3.10.2 Errores frecuentes en raíces ............................................................................. 28

CAPÍTULO 4 ................................................................................................................ 30

Marco Metodológico ................................................................................................ 30

4.1 Tipo de investigación ....................................................................................... 30

4.2 Diseño de investigación .................................................................................... 30

4.3 Población y muestra......................................................................................... 31

4.4 Variables de la investigación ............................................................................ 31

4.5 Descripción de las variables.............................................................................. 32

4.6 Descripción y características del instrumento ................................................... 33

4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba ............................................................... 34

4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio ........................ 34

4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a

cada ejercicio ................................................................................................................... 36

4.8 Limitaciones de la investigación ....................................................................... 37

CAPÍTULO 5 ................................................................................................................ 38

Análisis de datos y verificación de hipótesis ........................................................ 38

5.1 Análisis de los datos ......................................................................................... 38

5.2 Plan de análisis estadístico ............................................................................... 42

5.3 Análisis de las hipótesis de investigación .......................................................... 43

CAPÍTULO 6 ................................................................................................................ 54

Resultados, discusiones y conclusiones ................................................................ 54

6.1 Resultado de los alumnos ................................................................................ 54

6.2 Discusión de resultados .................................................................................... 60

6.3 Conclusiones .................................................................................................... 62

6.4 Sugerencias ...................................................................................................... 66

REFERENCIAS ............................................................................................................. 67

ANEXOS....................................................................................................................... 70

Anexo 1: Ejemplar del instrumento utilizado en esa investigación .................................. 71

Anexo 2: Planes y programas del Ministerio de Educación en el contenido de Potencias y

Raíces.............................................................................................................................. 77

Anexo 2.1: Potencias ....................................................................................................... 77

Anexo 2.2: Raíces ............................................................................................................. 80

Anexo 3: Tabulaciones ................................................................................................... 83

Anexo 3.1: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del

Establecimiento A (CH) ............................................................................................ 84

Anexo 3.2: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del

Establecimiento B (TP) ............................................................................................. 86

Anexo 4: Pruebas de normalidad y pruebas de hipótesis ................................................ 88

Anexo 4.1: Hipótesis 1 ............................................................................................. 88

Anexo 4.2: Hipótesis 2 ............................................................................................. 90

Anexo 4.3: Hipótesis 3 ............................................................................................. 92

Anexo 4.4: Hipótesis 4 ............................................................................................. 94

Anexo 4.5: Hipótesis 5 ............................................................................................. 95

Identificación y análisis de errores frecuentes en potencias y raíces en estudiantes de enseñanza de segundo año medio de Los Ángeles 2017

1

Dedicatoria

Seminario de título dedicado a todas las personas que nunca dejaron de creer en mí y me

brindaron su apoyo hasta el final de mi carrera.

Dedicado a mis padres y hermano, por el amor y dedicación hacia mí y así de esta forma

lograr mi sueño de ser profesor.

¡Gracias por todo!

César Alejandro Tapia Gatica

Seminario de título dedicado a cada una de las personas que mantuvieron su confianza en

mí y creyeron que llegaría a este momento final de mi carrera.

Se lo dedico a mis hijas Antonia y Javiera, que fueron la razón por la que nunca me rendí y

me motivaron a seguir adelante cada día.

Gracias a todos.



2

Agradecimientos

“La educación es el arma más poderosa que puedes usar para cambiar el mundo”.

(Nelson Mandela)

En primer lugar quiero agradecer a mi familia que durante todos los años de estudio

fueron mi gran apoyo y un pilar fundamental en mi vida, a mis padres que gracias a su

esfuerzo y perseverancia me formaron como la persona que soy hoy en día, por la paciencia

que han tenido conmigo y que nunca dejaron de creer en mí, los amos.

Agradecer también a mi hermano Luis Cristóbal, por estar en conmigo en todas las

situaciones, jamás me dijo que no y siempre que pudo me ayudo en todo ámbito, más que un

hermano eres el amigo de toda mi vida, te quiero mucho.

A mis amigos y compañeros que hice durante este proceso, gracias por darme siempre las

mejores vibras, apoyo y el optimismo para nunca darme por vencido, sin importar la

adversidad que existiera, sin lugar a duda son los mejores.

Al profesor Sr. Cristian Pérez, por sus innumerables consejos, apoyo, paciencia y

dedicación que tuvo en esta presente investigación. Estaré siempre agradecido de todo

aquello que nos enseño, por su disposición y dedicación para guiar el desarrollo de este

seminario.

También a todas las personas que conocí durante mi última etapa como estudiante y a mi

compañera de seminario Lindsay Ulsen por sus consejos, dedicación y apoyo en la realización

de esta investigación.

¡MUCHAS GRACIAS!

César Alejandro Tapia Gatica


3

“Considerar el error no como una falta o una insuficiencia sino como una parte coherente de

un proceso, ayuda al alumno a tomar conciencia de que puede aprender de sus errores y a

nosotros mismos, los docentes, a aprender mucho de los errores de nuestros alumnos”.

(Roland Charnay)

En primer lugar, agradezco a Dios por permitirme llegar a esta etapa de mi vida y por

ayudarme a superar todas las dificultades que tuve durante todo este proceso.

A mi querida madre, que me enseñó que para lograr un objetivo hay que ser perseverante

y que desde el cielo me dio las fuerzas para nunca bajar los brazos.

Agradezco a un gran hombre que me ha apoyado durante todos estos años, creyendo en

mis capacidades, brindándome palabras de aliento en mis momentos de debilidad y flaquezas

y por tenerme toda la paciencia del mundo. Gracias por tu amor y apoyo incondicional.

A mi querida hermana Nayareth, que en todo momento mantuvo la confianza en mí y

siempre estuvo presente en cada momento que necesité de alguien para seguir avanzando en

todo el transcurso de mi carrera. Siempre estaré agradecida por todo lo que hiciste por mí.

A toda mi familia y amigos que tuvieron fe en mí y en mis aptitudes para poder llegar a

este momento de mi carrera.

A mi compañero de tesis, César Tapia. Gracias por apoyarme, soportar mis retos y en

ocasiones mi mal humor.

A mi profesor Cristian Pérez, por toda su paciencia y dedicación que siempre tuvo, por su

apoyo, consejos y críticas que hicieron posible desarrollar y terminar este trabajo. Muchas

gracias por todo.



4

Introducción

La matemática está presente durante todo el proceso de educación escolar chileno, y es

necesario aprenderla de manera correcta, para poder ir superando las dificultades que se

presentan durante su aprendizaje y no convertirlas en trabas que luego se reproducen en

forma de errores.

En la actualidad, las deficiencias que presentan los estudiantes en matemática se pueden

ver reflejadas en todos los niveles de escolaridad, como por ejemplo en los resultados de la

prueba SIMCE, prueba PISA y en la PSU, que son deficientes. De esta manera, año tras año el

Ministerio de Educación de Chile se enfoca en modificar y renovar los planes y programas de

estudio para apoyar al profesor en la mejora de las estrategias de enseñanza, contribuyendo

así a un mayor aprendizaje de los estudiantes.

Muchos son los factores que influyen en la reproducción de los errores que los estudiantes

cometen en matemática, sin embargo, esta investigación se centra en la identificación y

análisis de los errores más frecuentes en el contenido de potencias y raíces que se derivan de

los obstáculos epistemológicos que enfrentan los estudiantes.

La investigación está organizada en seis capítulos. En el primero se presenta el

planteamiento del problema, donde se define, se plantea, se justifica y se estudia la

factibilidad del problema de manera específica. El segundo capítulo desarrolla la propuesta de

investigación, seguida del marco teórico, donde se concentran los antecedentes previos, el

origen del error y los errores que se presentan en el aprendizaje del contenido de potencias y

raíces, llegando a determinar las situaciones que generan estos errores. En el capítulo cuatro,

se describe el marco metodológico en el que se inserta la investigación y el instrumento

utilizado para la recolección de los datos. En el siguiente capítulo se analizan los datos y se

verifican las hipótesis. Por último, en el capítulo seis se presentan los resultados, discusiones y

conclusiones que se obtienen de la investigación y las sugerencias para posteriores estudios.


5

Se invita entonces al lector a conocer en detalle cuáles son los errores en los que incurren

los estudiantes y los obstáculos que los generan. Se espera que este estudio sea un aporte

para los colegios de la ciudad de Los Ángeles y los docentes, ayudándolos en el

perfeccionamiento de las estrategias de aprendizaje y así mejorar el aprendizaje de los

estudiantes en el contenido de potencias y raíces.


6

Capítulo 1

Planteamiento del problema

1.1 Definición del tema

En la presente investigación se identifican los errores más frecuentes, en ejercicios de los

contenidos de potencias y raíces, que cometen los estudiantes de segundo año medio de

colegios municipalizados de la ciudad de Los Ángeles. La importancia de poder detectar los

errores que cometen los alumnos en potencias y raíces, es de gran ayuda al profesor para

poder realizar clases que incorporen metodologías constructivistas en la enseñanza de estos

contenidos y diseñar estrategias para lograr mejores aprendizajes haciendo hincapié en los

aspectos que generan más dificultades.

Este trabajo se inserta en el área de la investigación educativa, es decir, su finalidad es

conocer las dificultades y obstáculos que se originan en el aprendizaje de las matemáticas,

para así poder tomar decisiones correctas con respecto a las metodologías de enseñanza que

se están utilizando.

Para recoger la información, este estudio rediseña una prueba que contiene ejercicios de

potencias y raíces, para luego relacionar sus resultados con la variable modalidad de

enseñanza secundaria.


7

1.2 Planteamiento del problema

En la actualidad la matemática se ha vuelto imprescindible para todas las personas, ya que

es la principal herramienta utilizada para el progreso de la ciencia y la tecnología, y además

consciente o inconscientemente es utilizada para resolver una gran variedad de problemas de

la vida diaria. Por esta razón es necesario conocer y aprender esta disciplina de manera

correcta, para en el futuro aplicarla adecuadamente.

El poder adquirir conocimientos matemáticos es parte de los objetivos de la educación en

Chile, sin embargo, es importante tener en cuenta las altas deficiencias en los resultados que

obtienen los alumnos en la asignatura de matemáticas. Por ejemplo, según el programa

internacional para la evaluación de estudiantes, en la prueba PISA el 52% de los estudiantes

de Chile tuvo un bajo rendimiento en matemáticas. Otro dato interesante entregado en dicho

informe indica que más de 130 mil estudiantes chilenos de 15 años tuvieron un bajo

rendimiento en matemáticas en Pisa 2012. (OCDE, 2012)

En este contexto, la gran mayoría de los estudiantes cometen errores reiteradamente en

el contenido de potencias y raíces, los cuales son síntomas de dificultades que han tenido

durante el transcurso de su aprendizaje. Estas complicaciones se deben a una falta de

comprensión de conceptos y a la manera de enfrentarse al álgebra, memorizando las reglas y

procedimientos de cálculos sin haberlos aprendido y luego los aplican, llevándolos a cometer

errores. Pero ¿qué errores son en los que más incurren los alumnos?, ¿qué factores son los

que llevan a cometer más errores?

Por todo lo anterior, es importante y necesario conocer cuáles son las dificultades y

errores que tienen los estudiantes en el tema de potencia y raíces. Resolver esta problemática

permitirá entregar a los profesores información útil para mejorar los aprendizajes de los

estudiantes.


8

1.3 Justificación de la investigación

Dada la problemática que motiva esta investigación, es decir, la falta de información

acerca de los errores que presentan los estudiantes en potencias y raíces, su resolución

permitirá conocer con mayor profundidad los errores que cometen los estudiantes en este

contenido.

Además, el análisis de los errores cometidos en potencias y raíces ha sido escasamente

abordado, a pesar de que es un contenido en el que los estudiantes presentan un alto grado

de dificultad. En consecuencia, este aporte a la identificación de los errores en potencias y

raíces, contribuirá a la mejora de los procesos de enseñanza – aprendizaje.

1.4 Viabilidad de la investigación

La investigación realizada es viable, ya que se puede disponer de todos los recursos

necesarios para poder llevarla a cabo. Se cuenta con la autorización y colaboración de los

colegios, los que facilitan los cursos necesarios para aplicar la prueba utilizada para detectar

los errores en el contenido de potencias y raíces.


9

Capítulo 2

Propuesta de Investigación

2.1 Objetivo General

Para la investigación, se plantea el siguiente objetivo general:

“Identificar y analizar los errores cometidos por los alumnos de segundo año medio en los

contenidos de potencias y raíces de colegios con modalidad científico – humanista y técnico –

profesional”

2.2 Objetivos Específicos

1. Identificar y analizar los errores más frecuentes en alumnos de segundo año medio en el

contenido de potencias y raíces.

2. Identificar y analizar los errores más frecuentes en alumnos de colegios con distinta

modalidad escolar.

3. Identificar las situaciones generadoras de error que producen los errores más frecuentes

en alumnos de segundo año medio.

4. Identificar las situaciones generadoras de error que producen los errores más frecuentes

en estudiantes de colegios con distinta modalidad escolar.


10

5. Comparar el promedio de errores cometidos en el contenido de potencias y raíces entre el

colegio CH y TP.

6. Conocer la relación entre los errores cometidos en los contenidos de potencias y raíces en

los alumnos de colegio CH y TP.

2.3 Preguntas de Investigación

Las preguntas que nos permitirán responder a los objetivos planteados en la investigación

propuesta son:

1. ¿Qué errores son los más frecuentes en potencias y raíces en los estudiantes de segundo

año medio?

2. ¿Qué errores son los más frecuentes en el contenido potencias y raíces en los estudiantes

de colegios con distinta modalidad escolar?

3. ¿Los errores identificados en el contenido de potencias y raíces, se dan por igual en

colegio CH y TP, o es más recurrente en alguno de ellos?

4. ¿Cuáles son las situaciones generadoras de error que originan los errores más recurrentes

en el contenido de potencias y raíces?

5. ¿Cuáles son las situaciones generadoras de error que originan los errores más frecuentes

en el contenido de potencias y raíces en los estudiantes de colegios con distinta modalidad

escolar?

6. ¿Existe relación entre los errores que se presentan en el contenido de potencias y los

errores que se presentan en el contenido de raíces en colegios con distinta modalidad

escolar?


11

2.4 Hipótesis de Investigación

Las siguientes hipótesis aluden a estudiantes de segundo año medio de un colegio con

modalidad científico – humanista y un colegio con modalidad técnico – profesional, ubicados

en la ciudad de Los Ángeles; considerando el contenido matemático ya aprendido de

potencias y raíces. Se usarán las siglas CH y TP para referirse a los establecimientos científico –

humanista y técnico – profesional, respectivamente.

Las mujeres cometen mayor cantidad promedio de errores que los hombres.

H1: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores que los alumnos

de colegio CH.

H2: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores en el contenido

de potencias que los alumnos de colegio CH.


de raíces que los alumnos de colegio CH.

H4: Existe relación entre los errores cometidos en el contenido potencias y los errores

cometidos en el contenido de raíces en el colegio CH.


cometidos en el contenido de raíces en el colegio TP.


12

Capítulo 3

Marco Teórico

En este capítulo se abordan algunos antecedentes previos y los conceptos relacionados con

las variables consideradas en el estudio, para poder fundamentar la investigación.

3.1 Antecedentes previos

Existen muchas investigaciones que han tenido como propósito determinar errores, ya sea

a nivel de enseñanza básica o media, en una asignatura en particular o en un contenido

específico de una asignatura y otras que han tenido como objetivo determinar una

clasificación de los errores.

A continuación, se hace referencia a estudios que se han realizado en el ámbito de los

errores en matemática.

Una de las investigaciones que ha sido realizada en nuestro país es “Determinación de

errores frecuentes en el estudio de la matemática en la enseñanza media”, que es un trabajo

investigativo de la Universidad de Santiago de Chile, Reyes (2006). Este trabajo buscó

determinar aquellos errores que muestran los estudiantes en Matemática, para lo cual se

trabajó con muestras de estudiantes de segundo y cuarto año medio de dos colegios

particulares subvencionados de la Región Metropolitana de Santiago, aplicándose una prueba

de ejercicios con respuestas de selección múltiple para cada nivel, y analizando si los errores

manifestados en los estudiantes de Segundo Año son también cometidos por los estudiantes

de Cuarto Año. Su investigación muestra la posibilidad de construir instrumentos evaluativos

que permitan medir la aparición de errores en el trabajo de los alumnos en Matemática y


13

sugiere algunas estrategias para ciertas situaciones concretas, basándose en los aportes de

Socas (1997) y Mancera (1998). La conclusión más destacable de su trabajo, junto con el

probar la existencia de errores en los estudiantes evaluados, es que hay reiteración en Tercer

y Cuarto Año de los errores que se cometen en Primer y Segundo Año.

Otro trabajo que cabe destacar es “Obstáculos, dificultades y errores en el aprendizaje de

los números irracionales”, Herrera (2010). Esta investigación tuvo como objetivo describir los

problemas y conflictos cognitivos que surgen en estudiantes de tercer año de educación

media durante el aprendizaje de los números irracionales, conflictos interrelacionados con la

teoría propuesta por Socas (1997) sobre dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de

las matemáticas en la Educación Secundaria. Para ello, se recolectaron los cuadernos y las

evaluaciones escritas de los estudiantes, las que se utilizaron para diseñar un cuestionario y

luego aplicarlo. La autora destaca entre sus conclusiones que los errores presentados por los

estudiantes no se deben percibir como simples descuidos o equivocaciones ingenuas, ya que

surgen producto de dificultades y obstáculos, en donde alguno de los resultados que obtuvo

son los siguientes:

• Aprendizaje deficiente de los prerrequisitos.

• Aplicaciones de reglas o estrategias irrelevantes.

Finalmente, se tiene la investigación “Obstáculos didácticos en el aprendizaje de la

matemática y la formación de docentes”, Andrade (2011). Este trabajo tuvo como objetivo

reflexionar sobre los obstáculos didácticos en el aprendizaje de la matemática y como se

pueden evitar con una adecuada formación de docentes. El análisis de los errores más

frecuentes de los estudiantes permitió concluir que estos provienen de errores didácticos en

tres aspectos: metodológicos, curriculares y conceptuales.


14

Lo expuesto anteriormente deja en evidencia la presencia de los errores en el estudio de

las matemáticas, lo que sustenta esta investigación, ya que no se han encontrado estudios

específicos que determinen los errores frecuentes en potencias y raíces.

3.2 Investigación educativa

Para el desarrollo de esta investigación, es fundamental conocer el área en la que se

enmarca y su finalidad. De este modo, el presente trabajo se sitúa en el área de la

Investigación Educativa, que tiene como propósito mejorar la práctica cotidiana de los

docentes, elevando la calidad de la educación.

Según el Ministerio de Educación y Ciencia de España, Martínez (2007), la investigación

educativa nos ayuda a incrementar el conocimiento y a obtener conclusiones sobre la

realidad, los fenómenos y los hechos que observamos; nos ayuda a analizar la relación que se

establece entre los elementos que configuran una determinada situación educativa y, muchas

veces también, a tomar decisiones sobre como intervenir en dicha situación para mejorarla.

Las acciones que facilitan realizar la investigación educativa referente a esta investigación

son:

1. Dar respuesta a la necesidad de conocer y mejorar una determinada realidad educativa.

2. Formular juicios de valor sobre la situación estudiada (evaluación), y establecer las causas

que inciden sobre ella (diagnóstico). Esto facilita poder intervenir para potenciar,

modificar y mejorar las situaciones educativas.

En relación a estos dos puntos, Lucchini (2006) menciona que la investigación educativa

que se realiza para apoyar a los docentes en el ámbito de los errores que cometen los

alumnos al resolver ejercicios o responder una prueba, es una fuente inagotable de

conocimiento de las fallas que se cometen al enseñar, así también de los pasos que se pueden

seguir para remediar las dificultades que enfrentan los estudiantes.


15

Según Martínez (2007), la investigación educativa puede seguir distintas líneas de

investigación, siendo la línea comparativa la utilizada en este trabajo, ya que se utilizan

procedimientos cuantitativos, numéricos y estadísticos para cuantificar las características de

la realidad educativa estudiada.

3.3 Origen del concepto de error

A lo largo del tiempo se ha hablado del error. Ya Sócrates afirmaba que todos podemos

errar en el camino de la búsqueda de la verdad, y que es a través de la crítica racional y la

autocrítica como podemos examinar y corregir esos errores, para recuperar el rumbo hacia el

conocimiento genuino.

El filósofo Bachelard (1988) citado por Del Puerto, Minnaard y Seminara (2004), introdujo

el concepto de obstáculo epistemológico para explicar la aparición de los errores en la

conformación del conocimiento. El autor señala que los entorpecimientos y confusiones, que

causan estancamientos y retrocesos en el proceso del conocimiento, provienen de una

tendencia a la inercia, a la que da el nombre de obstáculo, el cual define como un

conocimiento adquirido deficientemente, el cual ofrece resistencia porque ha resultado eficaz

hasta el momento, pero cuando se pretende utilizar en un contexto o una situación

inadecuada, se produce el error.

Brousseau toma las ideas de Bachelard y las desarrolla en el ámbito específico del

aprendizaje de la matemática. En su trabajo diferencia tres obstáculos dependiendo de su

origen, los de origen psicogenético, que tienen relación con el estadio de desarrollo del

estudiante, de origen didáctico, relacionado con la metodología que caracterizó al estudiante,

y de origen epistemológico, relacionado con la dificultad intrínseca del concepto que se

aprende y que puede ser rastreado a lo largo del tiempo. En todos los casos se destaca el

carácter de resistentes que presentan estos obstáculos, y es necesaria su identificación, para

luego alcanzar los nuevos conocimientos a partir de su superación (Del Puerto, Minnaard y

Seminara, 2004). En Francia, los trabajos de Brousseau sobre los errores y sus grandes aportes


16

a la Didáctica de la Matemática, como la Teoría de las Situaciones Didácticas, le permitieron

difundir el concepto de “obstáculo epistemológico”, Brousseau (2009), al cual nos referiremos

más adelante, y que guarda directa relación con la aparición de errores.

3.4 ¿Por qué estudiar el error en matemática?

Los errores son una gran preocupación del docente, ya que durante el proceso de

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas éstos aparecen constantemente, por lo que es

necesario poder diagnosticarlos, corregirlos y superarlos mediante actividades que

promuevan ejercitar las producciones de los errores. De forma general, la preocupación es la

permanencia y la masividad de los errores, ya que influyen en el aprendizaje de los diferentes

contenidos matemáticos y es necesario que los alumnos los puedan reconocer y superar para

lograr mejores aprendizajes.

En este sentido Piaget (1981) citado por Lucchini (2006), expresa que “es necesario

estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un medio de conocer su pensamiento

matemático; impulsar a la práctica del control personal y a la autocorrección”.

Por esta razón es necesario estudiar los errores en matemática, ya que su estudio está

directamente relacionado con la práctica docente, y por lo tanto resulta muy útil a los

profesores para diagnosticar y eliminar la presencia de ellos en los alumnos.

3.5 Definición de error

Un error es el resultado de algo equivocado o desacertado. Puede ser una acción, un

concepto o una cosa que no se realizó de manera correcta. En el proceso de aprendizaje de las

matemáticas, aparecen de manera permanente diferentes reproducciones de errores en los

alumnos que obstaculizan la enseñanza, manifestándose en forma de respuestas equivocadas.

Sin embargo, diversos autores han definido este concepto.


17

El didacta Guy Brousseau (2009), plantea que un error es una declaración en primer lugar

“contradictoria” con un determinado contexto aceptado de antemano. El contexto es el de

una cultura o más generalmente el de una acción en curso. Es también “el resultado de un

procedimiento sistemático imperfecto que el alumno utiliza de modo consistente y con

confianza” Brousseau, Davis y Werner (1986) citado en Del Puerto, Minnaard y Seminara,

(2004). El error, además de ser un efecto de la ignorancia, de la inseguridad, del azar, puede

surgir como resultado de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que

ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Brousseau (1997) citado en Franchi y Rincón

(2003).

Continuando con la idea de Brousseau, tenemos a Matz (1980), que indica que, los errores

son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva

situación, y Soccas (1997), afirma que el error debe ser considerado como la presencia en el

alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica

de conocimiento o una distracción.

Por otra parte, para Blanco (2003) y Mancera (1998), los errores forman parte del proceso

de construcción del conocimiento y pueden ser el motor que provoque un avance o un

cambio, transformándose así en un elemento constitutivo e innovador del proceso del

aprendizaje.

Por otro lado, Kilpatrick (1995) citado en Barquero y Segura (2004), afirma que, los errores

son datos objetivos que encontramos permanentemente en los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas; constituyen un elemento estable de dichos procesos”.

De acuerdo con la concepción de Brousseau (1983), el error no puede considerarse sólo

como la evidencia de la ignorancia, de la incertitud o del azar ya que éste puede ser producto

de un conocimiento anterior que en su momento le ayudó a resolver distintas situaciones

exitosamente pero ahora se revela falso o simplemente inadaptado; a estas concepciones el

autor las llama obstáculos.


18

3.6 Dificultades, obstáculos y su relación con el error

Esta investigación tiene su fundamentación en la teoría propuesta por Socas (1997), la

teoría de obstáculos de Brousseau (1983), y los errores que se mencionan en el artículo

“Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que

ingresan a la universidad”, Pochulu (2005), de la Revista Iberoamericana de Educación.

3.6.1 Relación entre dificultad, obstáculo y error

Para comprender de mejor manera los conceptos de dificultad, obstáculo y error es

importante mencionar la estrecha relación entre ellos propuesta por Socas (1997), en donde

él postula que “Las dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que se concretan

en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma de errores”.

Lo anterior da una idea de jerarquía entre dichos conceptos para no seguir utilizándolos

como sinónimos en los diferentes contextos y así poder diferenciarlos, caracterizarlos y

comprenderlos de una manera más clara. Por esto, de aquí en adelante, se hace referencia a

estos conceptos.

3.6.2 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas

Para poder hablar sobre las dificultades que están presentes en el aprendizaje de las

matemáticas, primero es necesario saber que se habla de dificultades de aprendizaje cuando

nos referimos a los problemas que cualquier persona puede tener al aprender algo. Las

dificultades son normales y esperables en todos los ámbitos educativos, ya sea de tipo formal

o no formal, y surgen cuando la persona encuentra problemas o complicaciones a la hora de

comprender aquello que se le enseña, así como también para asimilarlo como un

conocimiento nuevo y permanente.


19

Por otra parte, Soccas (1997) afirma que “Las dificultades en el aprendizaje de las

matemáticas son debidas a múltiples situaciones que se entrelazan entre sí y que van desde

una deficiente planificación curricular hasta la naturaleza propia de las matemáticas”, de

manera que éstas vienen a ser el resultado de una combinación de elementos

intramatemáticos (objetos, procesos, simbolismo, etc.) y extramatemáticos (cognición,

actitudes, etc.).

La clasificación que hace este autor sobre las dificultades en el aprendizaje de las

matemáticas obedece a la naturaleza de su origen, es decir, que considera que las dificultades

tienen diferentes naturalezas:

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas: Se relaciona con

el lenguaje en la comprensión y comunicación de los objetos matemáticos y el lenguaje

cotidiano como mediador en la interpretación de los signos.

2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático: Se relacionan con las

rupturas implícitas en los modos de pensamiento matemático; los ejemplos, los dibujos en

el pizarrón, las imágenes estandarizadas, pueden generar errores.

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de

las matemáticas: Los métodos de enseñanza deben ser acordes con la organización

institucional escolar y la secuencia curricular.

4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos: Al momento

de diseñar los recursos y estrategias en la enseñanza se deben considerar las etapas del

desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus características y capacidades.

5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas: En ésta

el dominio afectivo comprende las creencias, actitudes y emociones, que actúan como

fuerza impulsadora o de resistencia al cambio de la actividad matemática.


20

Como en esta investigación no se realiza una intervención pedagógica, las dificultades

consideras son las que están asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas y

las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

Además, es importante mencionar que Socas considera que es posible que los docentes

puedan propiciar una adecuada enseñanza y así poder facilitar un mejor aprendizaje de las

matemáticas, si conocen de manera general o especifica los obstáculos por los que se originan

los diferentes errores que cometen los estudiantes.

3.6.3 Obstáculos en la educación matemática

Se entiende como obstáculo a las dificultades propias de cada persona, que causan

estancamiento y retroceso en el proceso de enseñanza – aprendizaje. También es entendido

como un conocimiento que por diversos motivos se convierte en trabas y se refleja en forma

de error (Herrera, 2010).

El concepto de obstáculo fue introducido por primera vez por Bachelard (1988) y lo

denominó obstáculo epistemológico. Este autor afirma que el obstáculo aparece en el acto

mismo de conocer algo nuevo.

Bachelard y Brousseau están de acuerdo en que un obstáculo es un conocimiento y éste

solo es válido en un determinado contexto y puede durar mucho tiempo hasta que surja un

conflicto, que nos lleva a un error. Es entonces necesario reestructurar el conocimiento

anterior, adaptándolo a la nueva situación, ya que este conocimiento no ha podido satisfacer

los nuevos saberes, frente al nuevo escenario.

Brousseau (1983) citado por Escobar (2015), menciona tres tipos de obstáculos de acuerdo

a su origen. Basándose en los extremos del sistema didáctico “alumno, profesor y saber”.

1. Obstáculos de origen ontogenético: vinculados con el estadio de desarrollo del aprendiz;

surgen de las limitaciones propias de cada individuo.


21

2. Obstáculos de origen didáctico: vinculados con la metodología que caracterizó al

aprendizaje.

3. Obstáculos de origen epistemológico: relacionados con la dificultad intrínseca del

concepto que se aprende y que pueden ser rastreados a lo largo de la historia de la

matemática, en la génesis misma de los conceptos, por tanto, de la circunstancia social

económica de la época en que emergieron y en la que tomaron conciencia de él y de la

necesidad de superarlo.

Esta investigación considera los obstáculos de tipo epistemológico, que son los que están

relacionados con el saber. De esta manera cuando se hable de obstáculo, se hace referencia a

los obstáculos epistemológicos.

Refiriéndose al obstáculo epistemológico, Brousseau (1986) citado por Escobar (2015),

toma la idea de Bachelard, definiéndolo como un conocimiento que ha sido en determinado

momento eficiente para resolver algún tipo de problema, pero que falla cuando se aplica a

otro problema. Debido a su éxito previo en cierto tipo de problemas se resiste a ser

modificado o a ser rechazado y se convierte en una barrera para un aprendizaje posterior.

De esta manera Brousseau (1989) citado por Escobar (2015), considera al obstáculo como

una concepción que ha servido para resolver algún tipo de problema pero que falla cuando se

aplica a otro. También establece una serie de condiciones para poder calificar a una

concepción que produce errores en los alumnos bajo el concepto de obstáculo

epistemológico:

a) Ser un conocimiento, una concepción, no una dificultad ni una falta de conocimiento.

b) Producir respuestas ciertas en determinado contexto, pero falsas fuera de dicho contexto.

c) Resistir a las contradicciones con las que se confronta y al establecimiento de un

conocimiento mejor.

d) Aún después de tomar conciencia de su inexactitud, el obstáculo continúa

manifestándose.


22

Desde este punto de vista, el obstáculo se presenta a través de errores persistentes, que

no son producto del azar, pero que vuelven a surgir luego que el estudiante lo ha rechazado

de su sistema cognitivo, el que también se puede modificar siguiendo un proceso de

adaptación.

3.7 Causas y características de los errores en matemática

En el ámbito de la educación matemática, los errores surgen de manera permanente

durante el proceso de enseñanza – aprendizaje. Es decir, cuando el alumno no puede superar

sus dificultades, éstas se convierten en obstáculos porque le impiden avanzar en la

construcción de nuevos conocimientos y lo lleva a cometer errores.

Los obstáculos que presentan los estudiantes no se pueden ignorar, como tampoco los

errores que cometen. En este sentido Brousseau, Davis y Werner (1986) citado por Rico

(1998), señalan cuatro vías mediante las cuales el error puede presentarse:

1. Los errores son a menudo el resultado de grandes concepciones inadecuadas acerca de

aspectos fundamentales de las matemáticas.

2. Frecuentemente los errores se presentan como resultado de la aplicación correcta y

crédula de un procedimiento imperfecto sistematizado, que se puede identificar con

facilidad por el profesor.

3. También los errores pueden presentarse cuando el alumno utiliza procedimientos

imperfectos y posee concepciones inadecuadas que no son reconocidas por el profesor.

4. Los alumnos con frecuencia inventan sus propios métodos, no formales pero altamente

originales, para la realización de las tareas que se les proponen y la resolución de

problemas.

Tomando en cuenta lo anterior es que toma importancia estudiar y analizar los errores

que cometen los estudiantes en matemática, ya que constantemente se ven enfrentados a

estas situaciones durante todo su proceso de aprendizaje.


23

Por otra parte, Mulher (1989) citado por Rico (1998), considera como características de los

errores cometidos por los alumnos las siguientes:

• Los errores son sorprendentes. Con frecuencia los errores cometidos por los alumnos

surgen de manera sorprendente, ya que por lo general se han mantenido ocultos para el

profesor durante algún tiempo.

• Los errores son a menudo extremadamente persistentes, debido a que pueden reflejar el

conocimiento de los alumnos sobre un concepto o un uso particular de reglas

nemotécnicas. Son resistentes a cambiar por sí mismos ya que la corrección de errores

puede necesitar de una reorganización fundamental del conocimiento de los alumnos.

• Los errores pueden ser o bien sistemáticos o por azar. Los primeros son muchos más

frecuentes y, por lo general, más efectivos para revelar los procesos mentales

subyacentes; estos errores se toman como síntomas que señalan hacia un método o

comprensión equivocada subyacente, que el estudiante considera y utiliza como correcto.

Los errores por azar reflejan falta de cuidado y lapsus ocasionales, y tienen relativamente

poca importancia.

• Los errores ignoran el significado; de este modo, respuestas que son obviamente

incorrectas, no se ponen en cuestión. Los alumnos que cometen un error no consideran el

significado de los símbolos y conceptos con los que trabajan.

Estas características de los errores aluden a las definiciones del concepto de obstáculo y

error que se han mencionado anteriormente, de esta manera se verifica la relación que existe

entre un obstáculo que presenta un estudiante y la consecuencia de no poder superarlo,

llevándolo a cometer un error.


24

3.8 Los errores en el aprendizaje de potencias y raíces

Para el desarrollo de esta investigación no se consideran clasificaciones de errores que

han realizado autores a lo largo del tiempo, sino que se toman en cuenta algunos de los

errores que se mencionan en el artículo de la Revista Iberoamericana de Educación, “Análisis y

categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la

universidad”, cuyo autor es Marcel David Pochulu (2005), y los errores detectados por los

autores de la presente investigación.

Pochulu describe los errores que los profesores aducen a los estudiantes en el aprendizaje

de la matemática, donde aquí tomamos en cuenta solo los que se atribuyen al aprendizaje del

contenido de potencias y raíces. También se incorporan los errores detectados por los autores

de esta investigación en la muestra considerada en el estudio. Primero se presentan los

errores correspondientes al contenido de potencias y luego los correspondientes al contenido

de raíces.

Errores en el contenido de potencias:

1. Asumen que toda potencia de exponente nulo da por resultado cero, o es igual a la base

de la misma.

2. Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es una suma

algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos multiplicativos de los

sumandos.

3. Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de los

factores.

4. Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica.

5. Suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.

6. Multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base.


25

7. Asocian que el exponente de la potencia de un cociente afecta sólo al numerador.

8. Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma o resta

algebraica.

9. Estiman que una potencia con exponente negativo corresponde a una potencia con

exponente fraccionario.

10. Asocian que el exponente de una potencia se multiplica con la base.

11. Consideran que tienen un número negativo cuando el exponente es un número negativo.

Errores en el contenido de raíces:

12. Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta.

13. Multiplican las raíces de igual índice y radicando cuando se trata de suma o resta.

14. Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el campo

de los reales.

15. Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el número

es igual al radicando de la raíz.

16. Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión radical.

17. No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz.

18. En la potencia de una raíz, multiplican el índice de la raíz con el exponente.

19. Asocian que la raíz de un cociente afecta solo al numerador.

20. En expresiones con raíces y potencias distribuyen la potencia con respecto a la suma o

resta algebraica.


26

3.9 Situaciones generadoras de errores

Anteriormente se ha mostrado que una parte importante de los errores que cometen los

estudiantes se deben a obstáculos epistemológicos, es decir, que son los responsables de

generar errores. Por este motivo, a continuación, se describen las situaciones generadoras de

errores mencionadas en la investigación “Análisis y categorización de errores en el

aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad” (Pochulu, 2005), que

aluden al contenido de potencias y raíces, y también se incorporan las situaciones

generadoras de errores identificadas por los autores de la presente investigación. El orden en

que se presentan es por contenido, primero las correspondientes a potencias y luego las

correspondientes a raíces.

Situaciones generadoras de errores en potencias

A. Resolver productos de potencias de igual o distinta base.

B. Trabajar con ejercicios combinados que involucren potencias de sumas o restas con

exponentes negativos.

C. Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre números y

literales.

D. Resolver potencias con exponentes enteros negativos o positivos.

E. Resolver potencias con exponente nulo.

F. Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen una

suma o resta algebraica con distinto o igual literal.

G. Calcular la potencia negativa de una suma o algebraica.

H. Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o resta de

fracciones literales.


27

Situaciones generadoras de errores en raíces

I. Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.

J. Calcular sumas o restas de raíces.

K. Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.

L. Manipular expresiones con radicales.

M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos.

N. Dividir sumas o restas de raíces por un número natural.

O. Calcular la potencia de una suma o resta algebraica compuesta por una raíz como segundo

término.

3.10 Errores frecuentes encontrados en potencias y raíces

según los planes y programas del Ministerio de Educación

En los Planes y Programas de Estudio del Ministerio de Educación se hace referencia a

errores frecuentes que se pueden presentar durante el aprendizaje de los distintos

contenidos, dentro de los cuales los atingentes al contenido de potencias y raíces podemos

encontrar:

3.10.1 Errores frecuentes en potencias

En el libro de Planes y Programas del Ministerio de Educación de Matemática,

correspondiente al primer nivel de enseñanza media, se mencionan los errores frecuentes que

pueden llegar a cometer los estudiantes en el contenido de potencias. Los errores son los

siguientes:


28

Errores frecuentes:

• Algunos estudiantes tienden a tener una gran imaginación al momento de utilizar las

propiedades de las potencias, especialmente cuando se involucran adiciones y

sustracciones.

• Los errores más comunes que los estudiantes cometen se relacionan con el uso de

paréntesis. Uno de ellos se refiere a la necesidad del uso de paréntesis cuando la base

de la potencia es negativa. El segundo de los errores es el empleo de paréntesis

cuando la base es una fracción.

• Algunos estudiantes tienden a “crear” propiedades, por ejemplo al resolver2³ • 56

multiplican las bases y suman los exponentes o cualquier otra combinación. Otro error

común es aplicar las propiedades de la multiplicación de potencias cuando deben

resolver una suma de potencias.

3.10.2 Errores frecuentes en raíces

Del mismo modo que en el contenido de potencias, dentro del libro de Planes y Programas

del Ministerio de Educación de Matemática, correspondiente al segundo nivel de enseñanza

media, se mencionan los distintos tipos de errores frecuentes que puedan llegar a cometer los

estudiantes en el contenido de raíces. Los errores mencionados son los siguientes:

Errores frecuentes:

• Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen relación con el deseo de

los estudiantes de resolver los ejercicios rápidamente, y muchas veces en forma

mental. Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aquellos ejercicios

combinados que implican varias operaciones y cálculo de raíces. Existe una posibilidad

de confusión al utilizar la expresión “multiplicar por sí mismo”: si decimos que x³

corresponde a “x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x² corresponde a “x


29

multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x¹ necesariamente corresponde a “x multiplicado

por sí mismo una vez”, es decir x ∙ x.

• Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen propiedades específicas

que permiten una reducción de los términos involucrados y cuáles operaciones no las

tienen. En particular, es necesario mencionar que no existen propiedades para la suma

o resta de raíces ni de cantidades subradicales:

√5� + √7� ≠ √5 + 7�

√5 − 7� ≠ √5� − √7�

• En la racionalización, es común que los estudiantes se queden con el primer

procedimiento de racionalización y posteriormente empleen siempre raíces cuadradas,

sin importar el índice de la raíz presente en el denominador. Además, cuando deben

racionalizar expresiones con binomios en el denominador los estudiantes suelen

amplificar por la misma expresión que está en el denominador y no por la

“conjugada”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al numerador.

• Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada en una ecuación radical o

simplemente evitarla. En ocasiones, también, no realizan la verificación en la ecuación

original sino en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber eliminado

restricciones.


30

Capítulo 4

Marco Metodológico

4.1 Tipo de investigación

La presente investigación es de tipo cuantitativa-exploratoria, debido a que se obtienen

resultados cuantificables de las variables de estudio y porque pretende mostrar la ocurrencia

de una problemática de la cual no se tiene registro haber sido investigada; además es no

experimental, porque no se manipulan las variables.

4.2 Diseño de investigación

El diseño con el que se lleva a cabo esta investigación es el transversal, ya que se efectúa

sobre una situación y población concreta en un momento determinado y se recogen datos

una sola vez de cada sujeto en estudio, donde se pretende analizar cómo se comportan las

variables de estudio en esa situación. También tiene la finalidad de describir e identificar los

factores que inciden sobre la realidad estudiada, la frecuencia con que se presentan en ella los

errores en potencias y raíces y las relaciones que cabe establecer entre ellos. Además, se

cuenta con hipótesis que serán contrastadas y que sirven para sugerir acciones de mejora.


31

4.3 Población y muestra

La población corresponde a todos los alumnos de segundo año medio de colegios

municipales de la ciudad de Los Ángeles.

La muestra para este estudio está compuesta por 168 estudiantes de segundo año medio

de dos colegios con distinta modalidad escolar, un colegio con modalidad científico –

humanista y un colegio con modalidad técnico – profesional. Se usan las siglas CH y TP para

referirse a los establecimientos científico – humanista y técnico – profesional,

respectivamente.

Colegio

Curso Cantidad de

alumnos

Total de

alumnos

Establecimiento CH 2º E 43

87 2º F 44

Establecimiento TP 2º B 41

81 2º D 40

Total 168

4.4 Variables de la investigación

Las variables que corresponden a la investigación son las siguientes:

• Variable independiente:

- Modalidad del colegio.

o Científico – Humanista.

o Técnico – Profesional.


32

• Variable dependiente:

- Frecuencia de error, en que incurren los estudiantes de la muestra al responder la

prueba elaborada para esta investigación. (Anexo 1: Ejemplar del instrumento)

- Tipo de error. (pág. 24)

- Situación generadora de error. (pág. 26)

4.5 Descripción de las variables

• Modalidad del colegio: Se refiere a la modalidad escolar que entrega cada institución

escolar, es decir, puede ser:

- Modalidad científico – humanista: La formación diferenciada consiste en planes de

estudio que definen los establecimientos, en que alumnos y alumnas, aparte del

tiempo dedicado a la formación general dedican un tiempo adicional a expandir o

profundizar sus conocimientos y competencias en un número reducido de

sectores o subsectores, siguiendo sus intereses, aptitudes o expectativas de salida,

como, por ejemplo, plan matemático, plan humanista y plan biológico.

- Modalidad técnico – profesional: Alude a una formación especializada, definida en

términos de objetivos terminales agrupados en perfiles de salida que

corresponden a diferentes sectores ocupacionales, como, por ejemplo, atención

de enfermería, atención de párvulos, vestuario – confección textil, laboratorio

químico y servicio de alimentación colectiva.

• Frecuencia de error: Corresponde al total de errores que comete cada estudiante en el

contenido de potencias y en el contenido de raíces.


33

• Tipo de error: Corresponde al uno de los 20 errores que comete el estudiante en cada

ejercicio.

• Situación generadora de error: Corresponde a la situación en la que se genera el error

cometido.

4.6 Descripción y características del instrumento

Los datos para esta investigación se recopilan mediante un instrumento de evaluación que

se aplica a toda la muestra considerada, el que después de ser analizado permite dar

respuesta a las preguntas de investigación y comprobar las hipótesis planteadas.

El instrumento empleado es una prueba de desarrollo, compuesta por 12 ejercicios del

contenido matemático de Potencias y Raíces en Primero y Segundo Año Medio

respectivamente, de acuerdo a los planes y programas del MINEDUC (Anexo 2). Como el plan

y programa de matemática es el mismo para segundo año medio, independientemente de la

modalidad de los colegios, se considera que los contenidos vistos por todos los alumnos de la

muestra, al momento de la aplicación de la prueba sean los mismos.

Se utiliza como instrumento de recolección de datos una prueba diseñada por los autores

de esta investigación, donde se hace una recopilación de ejercicios obtenidos de la PSU de

Matemática de años anteriores y validado por un docente experto de la Universidad de

Concepción.

De los ejercicios se considera solo el enunciado, ya que los alumnos para poder resolverlos

deberán mostrar el desarrollo correspondiente, para así poder identificar los posibles errores

en sus desarrollos.


34

4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba

El análisis de los ejercicios se hace considerando los errores que describe Pochulu (2005),

tomando en cuenta los correspondientes al aprendizaje del contenido de potencias y raíces, y

los identificados por los autores de la presente investigación.

4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio

A continuación, se presenta una tabla con la clasificación de los errores que pueden llegar

a cometer los alumnos en cada ejercicio del instrumento. Según lo definido en la sección 3.8,

(pág. 24).

Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PREGUNTA POTENCIAS

1)(2�)� ∙ (3�)� =

X X X

2) ¿Cuál es el valor

de la expresión

3� ∙ (2� + 5�) +

(8� − 3�)?

X

X

3)4�� + 2�� −

2�� =

X X X

4) Si �� − �� = �

y � − � = �,

entonces el valor de

�� es

X

X

5)(2� · 3��)� =

X X X


35

6) Si = ��

+ �!

,

entonces �"

X

X

7) #$%#&

#&%#$ =

X

Clasificación de los errores correspondientes a cada ejercicio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

PREGUNTA RAÍCES

8) √−32& =

X X

9) '√50 + √512 −

242÷2=

X

X

X

X

10) Si *2 + √3 −

*2 + √3 = �,

entonces �� − 2

es:

X

X

11) √12 − √2 +

√8 − √3 =

X

X

X

12) (1 − √2)� =

X

X

X

X


36

4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de errores

correspondientes a cada ejercicio

Del mismo modo, se presenta una tabla correspondiente a las situaciones generadoras de

errores. La tabla se realiza a partir de la información extraída del trabajo de Pochulu (2005), y

por los autores de la presente investigación. De acuerdo a lo definido en la sección 3.9 (pág.

26).

Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a cada error

A B C D E F G H I J K L M N O

ERROR POTENCIAS

1. Asumen que toda potencia de exponente nulo da por resultado cero, o es igual a la base de la misma.

X

2. Asocian que si el exponente de una potencia es un entero negativo, y la base es una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos multiplicativos de los sumandos.

X

3. Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de los factores.

X

4. Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica.

X

X

5. Suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.

X

6. Multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base.

X

7. Asocian que el exponente de la potencia de un cociente afecta sólo al numerador.

X

8. Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma o resta algebraica.

X

9. Estiman que una potencia con exponente negativo corresponde a una potencia con exponente fraccionario.

X

X

10. Asocian que el exponente de una potencia se multiplica con la base.

X X


37

11. Consideran que tienen un número negativo cuando el exponente es un número negativo.

X

X

Clasificación de las situaciones generadoras de errores correspondientes a cada error

A B C D E F G H I J K L M N O

ERROR RAÍCES

12. Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta.

X

X

13. Multiplican las raíces de igual índice y radicando cuando se tratan de suma o resta.

X

14. Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el campo de los reales.

X

15. Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el número es igual al radicando de la raíz.

X

16. Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión radical.

X

17. No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz.

X X

18. En la potencia de una raíz, multiplican el índice de la raíz con el exponente.

X

19. Asocian que la raíz de un cociente afecta solo al numerador.

X

20. Corresponde a la situación en la que se genera el error cometido.

X

4.8 Limitaciones de la investigación

Las limitaciones a las que se vio enfrentada la investigación fueron la falta de cooperación

de una cantidad considerable de estudiantes para dar respuesta al instrumento utilizado y

también el hecho de que algunos cursos no habían estudiado los contenidos considerados

para la identificación de los errores.


38

Capítulo 5

Análisis de datos y verificación de hipótesis

5.1 Análisis de los datos

Anteriormente en el marco teórico se hizo mención a que se toman en cuenta los errores

y las situaciones generadoras de errores que se presenta Pochulu (2005) referidos al

contenido de potencias y raíces, y los identificados por los autores de la presente

investigación. Es por esta razón que se separaran los errores que corresponden a potencias y

raíces de los errores que corresponden a otro contenido.

En el Anexo 3 se presenta en detalle el tipo de error que comete cada estudiante en cada

ejercicio, en cada contenido; el error que cometió cada estudiante está representado

utilizando la misma numeración que se menciona en el marco teórico.

A continuación, se presenta un resumen del error más frecuente cometido por los

estudiantes en cada ejercicio a través de una tabla de frecuencia. La primera tabla muestra el

desempeño correspondiente al establecimiento CH y la segunda tabla corresponde al

establecimiento TP.

Establecimiento CH

Pregunta Error más frecuente

Frecuencia

Potencias

1 3 4

2 1 2

3 9 3

4 8 9

5 3 5

6 2 18


39

7 8 5

Raíces

8 14 4

9 0 0

10 20 2

11 12 1

12 20 10

Establecimiento TP

Pregunta Error más frecuente

Frecuencia

Potencias

1 3 18

2 1 9

3 11 6

4 8 4

5 3 15

6 2 10

7 8 7

Raíces

8 14 3

9 17 6

10 12 10

11 12 5

12 20 10


40

Ahora se presenta un ranking de los tres errores más frecuentes en el contenido de

potencias y en el contenido de raíces en cada establecimiento, donde se presenta el error más

frecuente y su respectiva frecuencia.

Establecimiento CH

Error más frecuente

Frecuencia

Potencias

2 18

8 14

3 9

Raíces

20 12

14 4

12, 14, 15 2

Establecimiento TP


Frecuencia

Potencias

3 33

8 11

2 10

Raíces

12 15

20 10

17 7

De aquí podemos observar que en el contenido de potencias en ambos establecimientos

podemos encontrar los errores 2, 3 y 8, aunque en distinto ranking, y en el contenido de

raíces encontramos en ambos establecimientos los errores 12 y 20, también en distinto

ranking.


41

Finalmente, se muestra un ranking de los tres errores más frecuentes cometidos por el

total de la muestra considerada.


Frecuencia

Potencias

3 42

2 28

8 25

Raíces

20 22

12 17

14, 16,17 7

Al observar los errores que presentan mayor frecuencia en los estudiantes de la muestra,

se pueden inferir los obstáculos que generan más errores en los estudiantes, los que

corresponden a las siguientes situaciones generadoras de errores:

C. Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre números

y literales.

H. Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o resta de

fracciones literales.

F. Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen una

suma o resta algebraica con igual literal.


L. Manipular expresiones con radicales.

M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que nos son cuadrados perfectos.

J. Calcular sumas o restas de raíces.

I. Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.


42

5.2 Plan de análisis estadístico

Para el análisis estadístico de los datos se desarrollan comparaciones entre las variables:

errores en colegio CH y errores en colegio TP, modalidad escolar y frecuencia de error en

potencias, modalidad escolar y frecuencia de error en raíces

� Errores en colegio CH y errores en colegio TP (Hipótesis 1).

� Modalidad escolar y frecuencia de error en potencias (Hipótesis 2).

� Modalidad escolar y frecuencia de error en raíces (Hipótesis 3).

� Correlaciones entre las modalidades por cada contenido (Hipótesis 4 y 5).


43

5.3 Análisis de las hipótesis de investigación

Primera hipótesis de trabajo

La primera hipótesis planteada para la investigación es:

H1: Los alumnos de colegio TP cometen mayor cantidad promedio de errores que los alumnos

de colegio CH.

Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los

establecimientos, se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”, que es un complemento de

Microsoft Excel. Primero se hace una prueba de normalidad utilizando Jarque – Bera.

Prueba de Jarque-Bera (CH):

JB (Valor observado) 4,806

JB (Valor crítico) 5,991

GL 2

valor-p (bilateral) 0,09

Alfa 0,05

Prueba de Jarque-Bera (TP):



GL 2


Alfa 0,05

Puesto que el valor-p calculado para el establecimiento CH y TP es mayor que el nivel de

significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo tanto los datos

presentan una distribución Normal y así se puede utilizar el estadístico t de Student.


44

Para este análisis se considera la siguiente hipótesis, nula (+�) y alternativa (+"):

+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH y

el promedio de error del colegio TP

+": El promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH es menor que el promedio

de error de TP.

Así entonces:

,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH.

,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP.

Así, las hipótesis a contrastar para las medias poblacionales con un nivel de significación

α=0.05 son las siguientes:

+�: ,"= ,�

+": ,"˂ ,�

Aplicando una prueba t de Student con la ayuda del software estadístico, se obtienen los

siguientes valores (ver anexo 4.1):

Estadísticos descriptivos:

Variable Observaciones Obs. con datos

perdidos

Obs. sin datos

perdidos

Mínimo Máximo Media Desv. típica

CH 32 0 32 0,000 8,000 2,563 1,795

TP 32 0 32 0,000 10,000 3,750 2,489

Diferencia -1,188

t (Valor observado)

-2,189

|t| (Valor crítico) 1,999

GL 62

valor-p (unilateral)

0,016

Alfa 0,05


45

Dado que el p-valor es menor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces existe

evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto la diferencia entre la cantidad

promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de potencias es

significativa.

Como resultado de la prueba de hipótesis se determina que hay diferencia entre las

medias del establecimiento CH y TP, es por esto que se puede afirmar que los estudiantes del

colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH.


46

Segunda hipótesis de trabajo

La segunda hipótesis planteada para la investigación es:


de potencias que los alumnos de colegio CH.

Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los establecimientos

en el contenido de potencias, se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”, que es un

complemento de Microsoft Excel. Primero se hace una prueba de normalidad utilizando

Jarque – Bera.




GL 2


Alfa 0,05




GL 2


Alfa 0,05





47


+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH el

promedio de error del colegio TP en el contenido de potencias.


de error de TP en el contenido de potencias.

Así entonces:

,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH en el contenido de potencias.

,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP en el contenido de potencias.



+�: ,"= ,�

+": ,"˂ ,�





perdidos

Obs. sin datos

perdidos


CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385

TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759

Diferencia -0,563

t (Valor observado)

-1,421

|t| (Valor crítico)

1,999

GL 62


0,08

Alfa 0,05


48

Dado que el p-valor es mayor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces no existe


promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de potencias no es

significativa.

Como resultado de la prueba de hipótesis se determina que no hay diferencia entre las

medias del establecimiento CH y TP, es por esto que no se puede afirmar que los estudiantes

del colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH en

el contenido de potencias.


49

Tercera hipótesis de trabajo

La tercera hipótesis planteada para el estudio es:


de raíces que los alumnos de colegio CH.

Para comparar los promedios de los totales de errores cometidos por los establecimientos

en el contenido de raíces, también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Primero se hace

una prueba de normalidad utilizando Jarque – Bera.




GL 2


Alfa 0,05




GL 2


Alfa 0,05





50


+�: No hay diferencia entre el promedio de error de los estudiantes del establecimiento CH el

promedio de error del colegio TP en el contenido de raíces.


de error de TP en el contenido de raíces.

Así entonces:

,": Cantidad promedio de errores en el establecimiento CH en el contenido de raíces.

,�: Cantidad promedio de errores en el establecimiento TP en el contenido de raíces.



+�: ,"= ,�

+": ,"˂ ,�





perdidos

Obs. sin datos

perdidos


CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693

TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424

Diferencia -0,625

t (Valor observado)

-2,232

|t| (Valor crítico)

1,999

GL 62


0,0145

Alfa 0,05


51

Dado que el p-valor es menor que el nivel de significación alfa=0,05 entonces existe


promedio de errores en el establecimiento CH y TP en el contenido de raíces es significativa.

Como resultado de la prueba de hipótesis se puede determinar que hay diferencia entre

las medias del establecimiento CH y TP, es por esto que se puede afirmar que los estudiantes

del colegio TP cometen mayor cantidad errores que los estudiantes del establecimiento CH en

el contenido de raíces.


52

Cuarta hipótesis de trabajo

La cuarta hipótesis propuesta para la investigación es:


cometidos en el contenido de raíces en el colegio CH.

Para relacionar los errores del contenido de potencias y raíces en el establecimiento CH,

también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Como anteriormente se ha hecho la prueba

de normalidad utilizando Jarque – Bera se procede a utilizar el estadístico Pearson (ver anexo

4.4):


+�: ρ = 0, No hay correlación.

+": ρ ≠ 0, Si hay correlación.

Región de rechazo de +�: R = {valor p ≤ α=0,05}

Matriz de correlaciones (Pearson):

Variables CH CH

CH 1 0,429

CH 0,429 1

Valores-p:

Variables CH CH

CH 0 0,014

CH 0,014 0

Los estudiantes del colegio CH presentan una correlación positiva entre los errores del

contenido de potencias y los errores del contenido de raíces, lo que es estadísticamente

significativo considerando el valor p = 0,014.


53

Quinta hipótesis de trabajo

La quinta hipótesis planteada para la investigación es:


cometidos en el contenido de raíces en el colegio TP.

Para relacionar los errores del contenido de potencias y raíces en el establecimiento TP,

también se utiliza la herramienta “XLSTAT 2015”. Como anteriormente se ha hecho la prueba

de normalidad utilizando Jarque – Bera se procede a utilizar el estadístico Pearson (ver anexo

4.5):


+�: ρ = 0, No hay correlación.

+": ρ ≠ 0, Si hay correlación.

Región de rechazo de +�: R = {valor p ≤ α=0,05}


Variables TP TP

TP 1 0,214

TP 0,214 1

Valores-p:

Variables TP TP

TP 0 0,239

TP 0,239 0

Los estudiantes del colegio TP presentan una correlación positiva entre los errores del

contenido de potencias y los errores del contenido de raíces, lo que resulta estadísticamente

no significativo al observar el valor p = 0,239.


54

Capítulo 6

Resultados, discusiones y conclusiones

6.1 Resultado de los alumnos

En el Anexo 3, se presentan dos tablas, una para cada establecimiento enumerando a los

estudiantes y mostrando el desempeño de cada uno de ellos. En dicho anexo sólo se muestra

el resultado de 32 alumnos por cada establecimiento, ya que el nivel de omisión en el

establecimiento TP fue alto y el objetivo de la investigación es determinar los errores que

cometen los estudiantes.

A continuación, se presenta una tabla resumen de los resultados obtenidos por los

estudiantes en cada establecimiento por cada pregunta. Se muestra la cantidad de respuestas

donde el error corresponde al contenido de potencias y raíces, las respuestas correctas,

omitidas y las respuestas con otro error correspondiente a otro contenido.

Establecimiento CH

Pregunta Errores Correctas Omitidas Otro error

Potencias

1 8 22 0 2

2 2 29 0 1

3 5 24 0 3

4 15 9 4 4

5 6 22 2 2

6 19 5 5 3

7 5 21 4 2

Total 60 132 15 17


55

Raíces

8 6 23 3 0

9 0 17 8 7

10 3 17 6 6

11 1 24 1 6

12 13 10 0 9

Total 23 91 18 28

Establecimiento TP

Pregunta Errores Correctas Omitidas Otro error

Potencias

1 19 13 0 0

2 10 22 0 0

3 10 11 2 9

4 5 0 15 12

5 16 3 6 7

6 11 0 15 6

7 7 4 15 6

Total 78 54 53 40

Raíces

8 3 8 10 11

9 12 3 12 5

10 10 1 17 4

11 7 3 11 11

12 10 1 12 9

Total 42 16 62 40

De aquí se puede observar que en el establecimiento CH el desempeño de los estudiantes

en el contenido de potencias es bueno, ya que la cantidad de respuestas correctas es alta y el

nivel de omisión es bajo; en el establecimiento TP el desempeño de los estudiantes es más

bajo que en el establecimiento CH, ya que el nivel de respuestas correctas es bajo y el nivel de

erradas y omitidas es alto; lo mismo ocurre con el desempeño en el contenido de raíces.


56

Es importante señalar también que en ambos establecimientos la cantidad de errores que

se encontraron en otro contenido distinto al de potencias y raíces no es menor, ya que las

frecuencias observadas no son bajas.

También se puede observar que en el establecimiento CH, el ejercicio con mayor

frecuencia de error en el contenido de potencias es el número 6 y en el contenido de raíces es

el ejercicio 12; en el establecimiento TP, en el contenido de potencias el ejercicio que tuvo

mayor frecuencia de error es el número 1 y en el contenido de raíces el ejercicio con mayor

frecuencia de error es el ejercicio 9.

A continuación, se analizan los ejercicios que tuvieron mayor tasa de error en ambos

establecimientos y en cada contenido.

• Establecimiento CH

− En el contenido de potencias el ejercicio corresponde al número 6, que es:

Si = ��

+ �!

, entonces �"

El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento

CH es el número 2, que es “Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero

negativo y la base es una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos

multiplicativos de los sumandos”, es decir, los alumnos no resuelven la suma algebraica antes

de aplicar la potencia negativa. El obstáculo que genera este error es la situación generadora

de error G, que es “Calcular la potencia negativa de una suma algebraica”.

− En el contenido de raíces el ejercicio corresponde al número 12, que es:

(1 − √2)� =

El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento CH es

el número 20, que es “En expresiones con raíces y potencias distribuyen la potencia con


57

respecto a la suma o resta algebraica”; este error se debe a que los alumnos

equivocadamente piensan que (1 − √2)� = 1� − √2 �

, que corresponde a un error que los

alumnos cometen en el contenido de potencias, pero se observa que también lo traspasan a

ejercicios que también involucran raíces; además este error también se explica porque los

alumnos siguen el siguiente procedimiento:

Donde se puede observar que los alumnos erróneamente simplifican la potencia con el

radical de la raíz, llevándolos a cometer un error.

El obstáculo que lleva a cometer estos errores corresponde a la situación generadora de

error es la O, que es “Calcular la potencia de una suma o resta algebraica compuesta por una

raíz como segundo término”.

• Establecimiento TP

− En el contenido de potencias el ejercicio corresponde al número 1, que es:

(2�)� ∙ (3�)� =

El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP

es el número 3, que es “Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a

algunos de los factores” como se muestra a continuación.


58

Se puede ver que los alumnos aplican correctamente la potencia al coeficiente numérico,

pero no la aplican al factor literal, que es donde se produce el error. En otros casos los

alumnos no aplican la potencia al coeficiente numérico, pero si al factor literal.

El obstáculo que lleva a cometer este error corresponde a la situación generadora de error

C, que es “Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre

números y literales”.

− En el contenido de raíces el ejercicio corresponde al número 9, que es:

'√50 + √512 − √242- ÷ 2 =

El error más frecuente que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP

es el número 17, que es “No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una

raíz”, como se muestra a continuación.


59

El otro error que presentan en este ejercicio los alumnos del establecimiento TP es el

número 16, que es “Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una

expresión radical”, como se muestra a continuación.

Los obstáculos que llevan a cometer estos errores son las siguientes situaciones

generadoras de error:


M. Calcular raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos.

A continuación, se muestran los resultados obtenidos por el total de la muestra

considerada en el estudio, que corresponde a 64 estudiantes.

Errores 0 OO EC

Total Correctas Omitidas Errores en

otro contenido

PREGUNTA POTENCIAS

1 27 35 0 2

2 12 51 0 1

3 15 35 2 12

4 25 9 19 16

5 22 25 8 9

6 30 5 20 9

7 12 25 19 8

Totales 143 185 68 57


60

PREGUNTA RAICES

8 9 30 13 11

9 12 19 20 12

10 13 18 23 10

11 8 27 12 17

12 23 11 12 18

Totales 65 105 80 68

De aquí se puede observar que el ejercicio que tuvo la mayor frecuencia de error en el

contenido de potencias es el número 6 y el ejercicio que tuvo mayor frecuencia de error en el

contenido de raíces es el número 12. Estos ejercicios ya fueron analizados por esta razón no

se repite el proceso.

6.2 Discusión de resultados

Al analizar los errores más frecuentes en el contenido de potencias y raíces, se verifica que

las vías mediante las cuales se presentan los errores, corresponden a las vías planteadas por

Brousseau, David y Werner (citados en Rico 1998). Así, los errores de los alumnos surgen

debido a:

1. Grandes concepciones inadecuadas acerca de aspectos fundamentales de las

matemáticas.

2. Resultados de la aplicación correcta y crédula de un procedimiento imperfecto

sistematizado, que se puede identificar con facilidad por el profesor.

3. Utilización de procedimientos imperfectos y poseer concepciones inadecuadas que no son

reconocidas por el profesor.

4. Invención de métodos propios, no formales, pero altamente originales, para la realización

de las tareas que se les proponen y la resolución de problemas.


61

Según el MINEDUC en su libro de Planes y Programas de primer año medio, uno de los

errores más frecuentes que cometen los alumnos en el contenido de potencias es imaginar

propiedades de las potencias en la adición y sustracción de ejercicios en donde existan éstas.

En la presente investigación también se pudo observar este error, como en el caso que

distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta. Otro error frecuente descrito por el

Ministerio de Educación es cuando los estudiantes “crean” propiedades. En este tipo de error

los estudiantes multiplican los exponentes en el producto de potencias de igual base y,

además, suman los exponentes de las potencias de otras potencias en un producto algebraico.

Según el Ministerio de Educación en el libro de Planes y Programa de segundo año medio,

dentro del contenido de raíces se menciona que uno de los errores frecuentes de los

estudiantes es que tienden a crear propiedades para la adición y sustracción de cantidades

subradicales. En la presente investigación se ve reflejado que muchos estudiantes aplican la

distributividad de la radicación con respecto a la suma o resta.

Los estudiantes considerados en la investigación cometen algún error, es decir, casi no

existen pruebas que no presenten alguna equivocación. Esto muestra que de cierta manera

los errores son parte de una gran cantidad de producciones de los estudiantes y que forman

un elemento constante de los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Además,

los errores que los estudiantes cometen en los contenidos de potencias y raíces, se deben a la

carencia de conocimientos previos que han trasladado a estos contenidos.


62

6.3 Conclusiones

En esta investigación se han analizado los errores que cometen los estudiantes de segundo

año medio, se comparan las modalidades de los colegios con la cantidad de errores que

cometen los estudiantes en el contenido de potencias y raíces, y la relación que existe entre

ellos, pudiéndose inferir las siguientes conclusiones:

1. Los tres errores más frecuentes en el contenido de potencias en los estudiantes de

segundo medio son:

- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta solo a algunos de

los factores. Donde el 30,4% de los alumnos incurrió en este error.

- Asocian que, si el exponente de una potencia es un entero negativo y la base es

una suma algebraica, se debe tomar en primera instancia los inversos

multiplicativos de los sumandos. Donde el 20,3% de los alumnos incurrió en este

error.

- Aplican la propiedad del producto o cociente de potencias de igual base a la suma

o resta algebraica. Donde el 18,11% de los alumnos incurrió en este error.

Los tres errores más frecuentes en el contenido de raíces en los estudiantes de segundo

medio son:

- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica. Donde el 33,8%

de los alumnos incurrió en este error.

- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta. Donde el

26,1% de los estudiantes incurrió en este error.

- Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar no posee solución en el

campo de los reales. Donde el 10,8% de los alumnos incurrió en este error.

- Olvidan quitar el símbolo de raíz o el exponente al simplificar una expresión

radical. Donde el 10,8% de los alumnos incurrió en este error.

- No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz. Donde el 10,8

de los alumnos incurrió en este error.


63

2. Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio CH

en el contenido de potencias son:



multiplicativos de los sumandos, con un 30%.


o resta algebraica, con un 23,3%.

- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de

los factores, con un 15%.

Los errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio CH en el

contenido de raíces son:

- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica, con un 52,2%.


campo de los reales, con un 17,4%.

- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta, con un 8,7%.


campo de los reales. Con un 8,7%.

- Consideran que un número y una raíz son simplificables en el producto cuando el

número es igual al radicando de la raíz. Con un 8,7%.

Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio TP

en el contenido de potencias son:

- Asocian que el exponente de la potencia de un producto, afecta sólo a algunos de

los factores, con un 42,3%.


o resta algebraica. Con un 14,1%.



multiplicativos de los sumandos. Con un 12,8%.


64

Los tres errores más frecuentes entre los alumnos de segundo año medio del colegio TP en

el contenido de raíces son:

- Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma o resta. Con un 35,7%.

- Distribuyen la potencia con respecto a la suma o resta algebraica. Con un 23,8%.

- No factorizan adecuadamente el radicando para simplificar una raíz. Con un

16,7%.

3. No hay diferencia significativa en el promedio de errores cometidos por el colegio CH y TP

en el contenido de potencias, en cambio si hay diferencia significativa en el promedio de

errores cometidos por el colegio CH y TP en el contenido de raíces.

4. Las situaciones generadoras de errores más recurrentes que se obtuvieron a partir de los

errores más frecuentes cometidos por los alumnos de segundo año medio en el contenido

de potencias son las siguientes:

- Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre

números y literales.

- Resolver una potencia negativa, donde la base está compuesta por una suma o

resta de fracciones literales.

- Resolver el cociente de potencias donde el numerador y denominador contienen

una suma o resta algebraica con igual literal.

Las situaciones generadoras de errores en la que más incurrieron los alumnos de segundo

año medio en el contenido de raíces son las siguientes:

- Factorizar el radicando de una raíz para simplificar.

- Manipular expresiones con radicales.

- Calcular raíces cuadradas de números enteros que nos son cuadrados perfectos.

- Calcular sumas o restas de raíces.

- Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.


65

5. Las situaciones generadoras de error en el contenido de potencias en el establecimiento

CH son las mismas que las situaciones generadoras de error que en el establecimiento TP y

además coinciden con las descritas en la conclusión anterior. Lo mismo ocurre en el caso

de las situaciones generadoras de error entre los establecimientos TP y CH en el contenido

de raíces.

6. Existe relación entre los errores que se presentan en el contenido de potencias y los

errores que se presentan en el contenido de raíces en el colegio CH. Sin embargo en el

colegio TP no existe dicha relación.


66

6.4 Sugerencias

Al finalizar esta investigación se pueden proponer las siguientes sugerencias:

• Ampliar la muestra a más colegios de tipo municipal, particular subvencionado y

particular, para poder considerar más variables que las utilizadas en esta investigación.

• Estudiar la relación que tiene la frecuencia de error con el rendimiento escolar en

matemática.

• Comparar la frecuencia de error de colegios municipales, particulares subvencionados

y particulares.

• Proponer en trabajos futuros ingenierías didácticas para el aprendizaje de los

contenidos correspondientes a potencias y raíces, haciendo hincapié en los obstáculos

que generan errores.


67

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enseñanza media. Tesis de Pregrado, Licenciatura en Educación Matemática y Computación.

Santiago, Universidad de Santiago de Chile.

Rico, L. (1998). Errores en el Aprendizaje de las Matemáticas. En Kilpatrick, J. Gómez, P y Rico,

L. (Eds.). Educación Matemática, 69-108 “una empresa docente”.

SOCAS, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en

la Educación Secundaria, cap. 5., pp. 125-154. Recuperado de:

https://laurabrichetti.files.wordpress.com/.../socas-robayna-dificutades-errores-y-obstc3a.


70

Anexos


71

Anexo 1: Ejemplar del instrumento utilizado en esa investigación

PRUEBA DE POTENCIAS Y RAÍCES

Investigación realizada por los seminaristas de Pedagogía en Matemática y

Educación Tecnológica, Sr. César Tapia G. - Srta. Lindsay Ulsen B. y dirigida por el

profesor Sr. Cristian Pérez T.

Universidad de Concepción, Campus Los Ángeles, Departamento de Ciencias

Básicas.

Nombre:_________________________________________________________ Edad:_________

Establecimiento:___________________________________ Curso:________ Fecha:________

Instrucciones:

1. Con esta presente prueba pretendemos investigar los errores que se repiten con

frecuencia al resolver ciertos ejercicios matemáticos específicamente en potencias y

raíces.

2. Los resultados que obtengamos de este estudio nos pueden resultar útiles para tomar

decisiones correctas con respecto a las metodologías de enseñanza que se están utilizando

para conocer las dificultades y obstáculos que se presentan en el estudio de estas áreas

temáticas. Por lo mismo, te rogamos que respondas esta prueba con el máximo interés.

3. La prueba que te proponemos realizar consta de 12 ejercicios que tendrás que leer

detenidamente cada uno de los enunciados y tratar de resolverlo de la mejor manera.

4. Desarrolla cada ejercicio, utilizando los conocimientos adquiridos en Matemática durante

tu paso por los primeros cursos de Enseñanza Media.


72

5. Responda con lápiz pasta o lápiz de mina, evitando borrones, de forma legible y con buena

redacción.

6. Utiliza sólo el espacio disponible en los recuadros para el desarrollo y/o la respuesta a

cada pregunta, este espacio es muy importante respetarlo ya que será base en nuestra

investigación.

7. Si no entiendes bien lo que se debe hacer o tienes alguna duda con respecto a algún

ejercicio, pregúntanos.

8. Tendrá un tiempo máximo de 50 minutos para responder la prueba.

9. Te garantizamos que la información obtenida en esta prueba será totalmente confidencial.

Tu nombre no aparecerá en ningún documento, y personas ajenas a esta investigación, no

podrán acceder a tus datos personales.

Se agradece tu colaboración.


73

Desarrollo:

Desarrollo:

Desarrollo:

Potencias

1. (2�)� ∙ (3�)� =

2. ¿ Cuál es el valor de la expresión 3� ∙ (2� + 5�) + (8� − 3�)?

3. 4�� + 2�� − 2�� =


74

Desarrollo:

Desarrollo:

Desarrollo:

4. Si �� − �� = � y � − � = �, entonces el valor de ��

es

5. (2� · 3��)� =

6. Si = �� + �

@, entonces �"


75

Desarrollo:

Desarrollo:

Desarrollo:

7. #$%#&

#&%#$ =

Raíces

8. El número √−32& es igual a:

9. '√50 + √512 − √242- ÷ 2 =


76

Desarrollo:

Desarrollo:

Desarrollo:

10. Si *2 + √3 − *2 + √3 = �, entonces �� − 2 es:

11. √12 − √2 + √8 − √3 =

12. La expresión (1 − √2)� es equivalente a


77

Anexo 2: Planes y programas del Ministerio de Educación en el contenido de Potencias y

Raíces

Basados en los Planes y Programas de Estudio del MINEDUC, se describirán los propósitos

en los contenidos de potencias y raíces.

Anexo 2.1: Potencias

Objetivo fundamental:

• Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y

exponente entero y utilizar sus propiedades.

Contenidos Mínimos Obligatorios:

• Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero

y aplicación de ellas en diferentes contextos.

• Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o

potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los

procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos

Aprendizaje Esperado: Comprender el significado de las potencias de base racional y

exponente entero.

• ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero?

• ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias?

Propósito del contenido:

− Identificar situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de

base racional y exponente entero.

− Conjeturar y verificar acerca de sus propiedades.


78

Habilidades: Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y

exponente entero.

Indicadores de evaluación:

− Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de


− Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de base racional y

exponente entero, utilizando sus propiedades.

− Resuelven problemas utilizando potencias de base racional y exponente entero.

Aprendizaje Esperado: Resolver problemas en contextos diversos que involucran números

racionales o potencias de base racional y exponente entero.

• ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números

racionales y potencias?

Propósito del contenido: Resolver problemas que involucren otras áreas del

conocimiento utilizando operaciones combinadas de números racionales y potencias.

Habilidades:

− Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales.

− Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y exponente

entero.

Indicadores de evaluación:

− Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que involucran

números racionales.

− Evalúan las soluciones de problemas con números racionales en función del

contexto.


79

− Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en la

resolución de problemas.

− Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de


Lecciones:

Lección 1: ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero?

Propósito:

• Comprender que las potencias de exponente entero y base en Q se utilizan para

representar diversas situaciones.

Palabras claves:

• Exponente, base, potencia.

Prerrequisitos:

• Potencias de base entera y exponente natural.

Lección 2: ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias?

Propósito:

• Simplificar los cálculos que involucran potencias utilizando sus propiedades.

Palabras claves:

• Multiplicación y división de potencias, potencia de una potencia.

Prerrequisitos:

• Propiedades de las potencias con base entera y exponente natural.

Lección 3: ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números

racionales y potencias?

Propósito:

• Resolver ejercicios y problemas utilizando operaciones combinadas y potencias.


80

Palabras claves:

• Operaciones combinadas de números racionales

Prerrequisitos:

• Operaciones con números enteros.

• Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

• Prioridad de las operaciones.

Anexo 2.2: Raíces

Objetivo Fundamental:

• Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los

números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de

problemas.

Contenido Mínimo Obligatorio de la Educación Media:

• Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su

relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus

propiedades.

Aprendizajes Esperados:

− Raíz enésima: Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales.

− Raíces y operaciones, potencias de exponente racional: Utilizar relaciones entre las

potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

− Racionalización y raíces enésimas, problemas y ecuaciones: Resolver problemas en

contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.


81

Lecciones:

Lección 1: Raíz enésima

Propósito:

• Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

Palabras claves:

• Raíz, potencia, exponente, base, subradical, racional.

Prerrequisitos:

• Operaciones con números racionales.

• Concepto de potencia en la notación de expresiones numéricas.

• Cálculo de potencias de base racional y exponente entero.

• Aplicación de propiedades de la operatoria de potencias.

Lección 2: Potencias de exponente racional

Propósito:

• Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de

ellas.

Palabras claves:

• Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente, racional, propiedades.

Prerrequisitos:

• Aplicación de propiedades de potencias.

• Cálculo de raíces enésimas por definición.

• Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.

Lección 3: Racionalización

Propósito:


82

• Racionalizar expresiones fraccionarias.

Palabras claves:

• Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar, exponente, racionalizar,

expresiones.

Prerrequisitos:

• Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas.

• Aplicación de propiedades de las potencias.

• Cálculo de raíces enésimas por definición.

• Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.

Lección 4: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

Propósito:

• Resolver problemas que involucran raíces.

Palabras claves:

• Ecuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, soluciones, verificar

Prerrequisitos:

• Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas.

• Aplicación de propiedades de las potencias.

• Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.

• Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de sus soluciones.


83

Anexo 3: Tabulaciones

Desempeño de una muestra de estudiantes de liceos municipales de Los Ángeles en el

contenido de potencias y raíces

0: El alumno responde correctamente.

OO: El alumno omite su respuesta.

E C: El alumno comete un error en otro contenido.

1 - 20: La respuesta del alumno es errada. Cada número corresponde al tipo de error en el

aprendizaje de la matemática.


84

Anexo 3.1: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del Establecimiento A

(CH)

Tabulación de los errores correspondientes a cada ejercicio — C. H. (Liceo Bicentenario)

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Curso 2º año D 2º año B

Pregunta Potencias

1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 6 0 E C

0 0 0 0 6 0 0 0 0 E C

0 0 0 10

3 6 0 3

2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

3 0 0 0 0 0 E C

0 0 0 9 0 0 E C

10

0 9 0 0 11

0 0 0 0 E C

0 0 0 0 0 0 0 9

4 8 0 8 0 0 4 8 0 0 0 4 8 8 0 8 OO

0 0 8 OO

4 8 OO

4 0 0 0 OO

4 0 8 4

5 0 0 E C

OO

0 0 0 0 0 OO

0 0 3 5 0 0 0 0 3 0 E C

0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 3

6 E C

0 OO

2 2 2 2 2 0 2 2 2 7 E C

2 2 0 OO

2 2 2 2 2 OO

E C

0 2 2 2 OO

0 OO

7 EC

0 8 0 0 8 EC

OO

0 0 0 0 OO

0 E C

0 OO

0 8 0 0 0 OO

0 8 0 0 0 0 8 0 0

Errores 1 0 2 1 1 4 3 1 0 3 2 3 3 2 2 2 0 0 6 1 2 2 1 2 2 0 1 2 4 2 1 4

Correctas 4 7 3 5 6 2 3 5 7 3 5 4 2 3 4 4 6 6 0 5 4 5 4 2 4 7 6 4 3 4 6 2

omitidas 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1

Error en otro

contenido

2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0

Pregunta Raíces

8 0 0 0 OO

0 0 0 0 0 0 0 0 16

0 0 16

OO

0 14

0 0 0 0 14

0 0 0 14

14

OO

0 0

9 OO

0 OO

E C

0 0 EC

0 0 0 OO

0 E C

0 OO

E C

0 OO

0 0 OO

0 0 E C

0 0 E C

OO

0 E C

0 OO

10 0 0 E C

0 E C

0 OO

E C

0 0 E C

0 20

0 E C

0 OO

0 12

0 0 20

0 OO

E C

0 OO

0 OO

0 0 0

11 0 0 E C

0 0 0 0 OO

0 0 0 0 0 E C

E C

0 0 12

0 0 E C

0 0 0 0 0 0 0 E C

0 0 E C

12 0 0 20

E C

20

20

20

EC

20

0 0 18

E C

E C

20

20

E C

20

0 0 E C

0 15

0 E C

0 0 E C

15

20

E C

20

Errores 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1

Correctas 4 0 1 2 3 4 2 2 4 5 3 4 1 3 1 2 2 2 3 5 2 4 4 2 3 5 3 2 2 2 4 2

Omitidas 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1

Error en otro

contenido 0 0 2 2 1 0 1 2 0 0 1 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1


85

Tabulación total de los errores correspondiente a cada ejercicio por Establecimiento A

(CH)

Errores 0 OO EC Error más frecuente

Total Correctas Omitidas Errores en otro

contenido

Tipo de error más recurrente

Frecuencia

PREGUNTA POTENCIAS

1 8 22 0 2 3 4

2 2 29 0 1 1 2

3 5 24 0 3 9 3

4 15 9 4 4 8 9

5 6 22 2 2 3 5

6 19 5 5 3 2 18

7 5 21 4 2 8 5

Totales 60 132 15 17

PREGUNTA RAICES

8 6 23 3 0 14 4

9 0 17 8 7 0 0

10 3 17 6 6 20 2

11 1 24 1 6 12 1

12 13 10 0 9 20 10

Totales 23 91 18 28


86

Anexo 3.2: Tabulación de los errores correspondiente a cada ejercicio del Establecimiento B

(TP)

Tabulación de los errores correspondientes a cada ejercicio — TP (Liceo Técnico B-63)

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Curso 2º año D 2º año B

Pregunta Potencias

1 3 6 0 3 0 0 3 3 0 3 3 3 0 0 3 3 0 0 0 3 3 3 3 0 3 0 3 0 3 0 3 3

2 4 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

3 0 11

E C

O O

0 0 11

11

11

OO

11

10

10

EC

EC

11

0 0 0 EC

EC

9 0 EC

EC

EC

0 EC

0 0 0 11

4 0 E C

O O

O O

8 OO

EC

EC

EC

EC

OO

4 OO

OO

OO

8 OO

OO

OO

OO

OO

EC

EC

EC

OO

OO

EC

EC

EC

EC

8 8

5 O O

E C

E C

O O

0 EC

3 3 EC

3 3 EC

OO

0 3 3 0 3 3 3 EC

OO

OO

OO

10

3 3 3 3 EC

3 3

6 2 6 E C

EC

2 OO

OO

OO

OO

EC

EC

2 OO

OO

OO

OO

EC

OO

2 2 OO

OO

OO

OO

2 2 2 OO

OO

EC

2 2

7 8 8 8 EC

0 OO

8 EC

OO

8 EC

8 EC

0 OO

8 0 0 OO

OO

OO

OO

OO

OO

OO

OO

EC

OO

EC

OO

OO

OO

Errores 4 5 1 1 3 1 5 4 1 3 4 5 1 1 2 6 0 1 2 3 1 2 1 0 3 2 3 1 2 0 4 6

Correctas 2 0 2 1 4 2 0 0 2 1 0 1 2 3 1 0 5 4 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 0

Omitidas 1 0 1 3 0 3 1 1 2 1 1 0 3 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 0 2 1 1 1 1

Error en otro

contenido

0 2 3 2 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 0 0

Pregunta Raíces

8 EC

0 14

0 0 0 OO

EC

EC

OO

EC

EC

OO

0 EC

14

0 EC

OO

OO

0 OO

OO

OO

EC

EC

EC

EC

OO

OO

0 14

9 OO

13

19

OO

EC

OO

16

16

16

17

16

OO

EC

OO

OO

OO

OO

OO

OO

17

17

17

17

OO

OO

OO

OO

EC

OO

17

OO

EC

10 OO

OO

12

12

0 OO

12

OO

EC

OO

OO

EC

OO

OO

OO

12

OO

OO

OO

12

12

12

EC

OO

OO

EC

OO

OO

12

12

12

OO

11 EC

OO

12

OO

0 12

12

EC

OO

17

16

EC

OO

EC

OO

12

0 0 EC

OO

EC

OO

OO

EC

OO

EC

OO

EC

EC

OO

EC

12

12 OO

EC

20

OO

20

OO

EC

EC

20

EC

OO

OO

OO

OO

OO

20

0 OO

OO

20

20

20

EC

OO

EC

EC

OO

EC

20

20

EC

20

Errores 0 1 5 1 1 1 3 1 2 2 2 0 0 0 0 4 0 0 0 3 3 3 1 0 0 0 0 0 2 3 1 3

Correctas 0 1 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Omitidas 3 2 0 3 0 3 1 1 1 2 2 2 4 3 4 1 2 3 4 2 0 2 2 4 3 1 4 1 2 2 1 1

Error en otro

contenido

2 1 0 0 1 0 1 3 2 1 1 3 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 2 4 1 4 1 0 2 1


87

Tabulación total de los errores correspondiente a cada ejercicio por Establecimiento B

(TP)

Errores 0 OO EC Error más frecuente

Total Correctas Omitidas Errores en

otro contenido

Tipo de error más recurrente

Frecuencia

PREGUNTA POTENCIAS

1 19 13 0 0 3 18

2 10 22 0 0 1 9

3 10 11 2 9 11 6

4 5 0 15 12 8 4

5 16 3 6 7 3 15

6 11 0 15 6 2 10

7 7 4 15 6 8 7

Totales 78 53 53 40

PREGUNTA RAICES

8 3 8 10 11 14 3

9 12 3 12 5 17 6

10 10 1 17 4 12 10

11 7 3 11 11 12 5

12 10 1 12 9 20 10

Totales 42 16 62 40


88

Anexo 4: Pruebas de normalidad y pruebas de hipótesis

Anexo 4.1: Hipótesis 1

Prueba de bondad de ajuste:

Pruebas de normalidad:


JB (Valor observado) 4,806 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,090 Alfa 0,05

Interpretación de la prueba: H0: La variable de la cual se extrajo la muestra sigue una distribución Normal.

Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal.

Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar la hipótesis nula H0.

El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 9,04%.




Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede

rechazar la hipótesis nula H0.



89

Resumen:

Variable\Prueba Jarque-Bera

CH 0,090

TP 0,341

Prueba de hipótesis:

Muestra 1: Libro = Nuevo Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$A$1:$A$33 / 32 filas y 1 columna Muestra 2: Libro = Nuevo Hoja de cálculo de Microsoft Office Excel.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$B$1:$B$33 / 32 filas y 1 columna

Diferencia supuesta (D): 0

Nivel de significación (%): 5 Varianzas de la poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad



perdidos Obs. sin datos

perdidos Mínimo Máximo Media Desv. típica

CH 32 0 32 0,000 8,000 2,563 1,795 TP 32 0 32 0,000 10,000 3,750 2,489

Prueba t para dos muestras independientes / Prueba unilateral:

Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -2,272 ; -0,103 [

Diferencia -1,188 t (Valor

observado) -2,189 |t| (Valor

crítico) 1,999 GL 62 valor-p

(unilateral) 0,016 alfa 0,05

Interpretación de la prueba: H0: La diferencia entre las medias es igual a 0.

Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p computado es menor que el nivel de significación alfa=0,05, se debe

rechazar la hipótesis nula H0, y aceptar la hipótesis alternativa Ha.

El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es inferior al 3,24%.


90






Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede rechazar

la hipótesis nula H0.



JB (Valor observado) 2,258 JB (Valor crítico) 5,991 GL 2 valor-p (bilateral) 0,323 alfa 0,05




El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es de 32,33%. Resumen:


CH 0,106

TP 0,323


91


Muestra 1: Libro = hipotesis-1.xlsx / Hoja = Hoja2 / Rango = Hoja2!$A$2:$A$34 / 32 filas y 1 columna Muestra 2: Libro = hipotesis-1.xlsx / Hoja = Hoja2 / Rango = Hoja2!$B$2:$B$34 / 32 filas y 1 columna Diferencia supuesta (D): 0

Nivel de significación (%): 5 Varianzas de las poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad





CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385 TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759


Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -1,354 ; 0,229 [




(unilateral) 0,08 Alfa 0,05


Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede




92












Ha: La variable de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribución Normal. Puesto que el valor-p calculado es mayor que el nivel de significación alfa=0,05, no se puede



Resumen:


CH 0,344

TP 0,119


93


Muestra 1: Libro = Hipotesis 2.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$A$2:$A$34 / 32 filas y 1 columna

Muestra 2: Libro = Hipotesis 2.xlsx / Hoja = Hoja1 / Rango = Hoja1!$B$2:$B$34 / 32 filas y 1 columna

Diferencia supuesta (D): 0

Nivel de significación (%): 5

Varianzas de la poblaciones para la prueba t: Suponer igualdad


Variable Observaciones

Obs. con datos



CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693 TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424


Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias al 95%: [ -1,185 ; -0,065 [




(unilateral) 0,0145 Alfa 0,05


Ha: La diferencia entre las medias es diferente de 0. Puesto que el valor-p computado es menor que el nivel de significación alfa=0,05, se debe rechazar

la hipótesis nula H0, y aceptar la hipótesis alternativa Ha.

El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera es inferior al 2,92%.


94







CH 32 0 32 0,000 6,000 1,875 1,385

CH 32 0 32 0,000 2,000 0,688 0,693


Variables CH CH CH 1 0,429 CH 0,429 1 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05

valores-p:

Variables CH CH CH 0 0,014 CH 0,014 0 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05


95






perdidos Mínimo Máximo Media Desv. Típica

TP 32 0 32 0,000 6,000 2,438 1,759

TP 32 0 32 0,000 5,000 1,313 1,424


Variables TP TP TP 1 0,214 TP 0,214 1 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05

valores-p:

Variables TP TP TP 0 0,239 TP 0,239 0 Los valores en negrita son diferentes de 0 con un nivel de significación alfa=0,05

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