UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES. FACULTAD DE...

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES. FACULTAD DE ARQUITECTURA, DISEÑO Y URBANISMO.SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA. CÁTEDRA ARQ. GARCÍA CANO.

Javier García CanoFrancisco CadauJenara BiasoliSilvia NemaricCarolina SorzioDébora CerchiaraGerónimo PalarinoFederico SantinónFederico RosalesGerardo MarinoVictoria KopelowiczFernando MaggioloGabriel Rodríguez BassoAgnese LozuponeJosé A. Privitera

Geometría Proyectiva

02

Cátedra Arq. Prof. Javier García CanoSistemas de Representación GeométricaAño 2010

APUNTE 02

Geometría Proyectivapor José A. Privitera, Jefe de Trabajos PrácticosIlustraciones: José A. Privitera

Anexo: Poliedros y Superficiespor Silvia Nemaric, DocenteIlustraciones: Silvia Nemaric, Docente Gerónimo Palarino, Docente y José A. Privitera

Coordinación editorial: Débora Cerchiara, DocenteDiseño Gráfico: Ruga Diseño

FADU UBA SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICACÁTEDRA ARQ. GARCÍA CANO

GP .3

02.Geometría Proyectiva

EL AFÁN POR COMPRENDERpor José A. Privitera

Hubo un tiempo en que el hombre ejercía una gimnasia del asombro perma-nente. Todo nuestro universo consciente actual estaba por ser descubierto. En aquel entonces, el conocimiento era escaso. Las limitaciones de la débil mus-culatura se compensaban con el inmenso coraje por sobrevivir y en su afán por comprender el hombre hizo el esfuerzo de interpretar su entorno. Frente a las necesidades inventó herramientas, como el lenguaje, que es una de las más antiguas. Expresar sus inquietudes fue fundamental para su evolución.

La escritura es la representación del lenguaje hablado, que a su vez es una referencia sonora de la realidad física, emocional e instintiva. Cada lenguaje se compone de unidades básicas, como son las letras, que al combinarlas entre sí producen un concepto, palabras. Al combinar estos conceptos entre sí, logra-mos un significado, que finalmente permite transmitir una idea, un sentimiento o describir alguna cosa. La ortografía y la gramática son reglas acordadas co-múnmente para emplear estas uni-dades básicas. El álgebra es un producto del intelecto humano y puede entenderse conceptualmente como un sinónimo para “reducción”, es decir, es una forma de síntesis. La geometría es también una herramienta inventada, basada en álgebra, para medir nuestro universo. Como consecuencia, podemos reconstruirlo de manera abstracta. De aquí se despren-de que no existe ninguno de los elementos geométricos en el mundo material, son figuras perfectas –imaginadas– y nos ayudan a entender la diversidad de aquellas formas y cuerpos de la realidad. No es posible hallar un círculo, un cuadrado o una esfera perfecta, se trata de un sistema creado para sintetizar e interpretar la naturaleza, nuestro entorno y en definitiva a nosotros mismos. Este sistema es una forma de lenguaje elemental.

En el ámbito de los espacios habitables, el hombre hacía realidad sus ideas de manera intuitiva, imitando la naturaleza, este método supo ser muy efectivo, aun-que requería un enorme sacrificio de recursos y tiempo. Su principal problema radicaba en que era necesario terminar de construir para poder verificar aquellas ideas, la noción de proyectar, tal como la conocemos hoy en día, no existía. El pensamiento abstracto es un ámbito donde florece la libertad propositiva y fun-damentalmente, la posibilidad de compartir ideas; se necesitaba una nueva herra-mienta para lograrlo. Nació entonces un lenguaje gráfico, apoyándose en algebra elemental y geometría plana, que permitía pre-ver las ideas sin la necesidad de construirlas. Un sistema de representación para “ver antes” y poder “proyectar”.

La geometría proyectiva, iniciada por Gérard Desargues en el año 1639, estable-ció las bases matemáticas sobre los métodos de perspectiva desarrollados por los artistas del Renacimiento. Se trata de un sistema puramente aritmético, busca la determinación de posiciones de puntos de manera primordial. En Arquitectura se emplea un subsistema de este campo desarrollado en el año 1799 por Gas-pard Monge, físico y matemático francés, que ideó un método de representación diédrico (de dos planos adyacentes), que permitían visualizar dos instancias de un mismo objeto de manera simultánea, se denominó geometría descriptiva. Es

01.

4. GP

necesario destacar que estos métodos empezaron a desarrollarse hace cuatro si-glos atrás en nuestra historia reciente. En consecuencia es posible considerar que la producción arquitectónica, simbólica o funeraria del pasado, ha sido construida empíricamente, es decir, a fuerza de prueba y error de manera exclusiva. Como sucede con la escritura, al describir las ideas a través del dibujo provocamos nuestro sentido de percepción y establecemos de manera silenciosa un punto de registro de nuestros pensamientos. Dibujar es una forma muda de comunicarse. Quien “lea” nuestros dibujos necesitará traducir esa información gráfica para “escuchar” nuestras intenciones. Así logramos un intercambio de ideas dentro del campo de la abstracción, con la invaluable libertad de poder revisarlas sin necesidad de construirlas. Se trata de un método de ordenamiento común de la información, el conocimiento, es el resultado del orden y los pensamientos.

Dibujar es también una forma de construcción. Una línea surge de acomodar puntos sucesivamente, existen métodos, técnicas, procedimientos. Combinando líneas generamos superficies, y si relaciona-mos superficies entre sí obtendremos un volumen. Construir un dibujo implica entender las relaciones de producción entre estos elementos básicos y sus reglas de generación. Es importante notar que un volumen es un conjunto ordenado de puntos; el punto es el elemento esencial, generador de las figuras, las siluetas y los cuerpos. Su equivalente en álgebra sería el cero, que nos proporciona la noción de la nada. La falta de todo atributo, es su principal virtud, carece de dimensión, masa, tampoco tiene color, simplemente existe en el espacio abstracto, sin ocuparlo. Puede ser empleado para dar lugar a explicaciones de todo tipo, en cualquier campo del conocimiento. Se trata de una simple referencia. Sin embargo, si logramos localizar un punto re-lativo al espacio geométrico, podremos identificar y ubicar en consecuencia todas las figuras restantes. Este es su invaluable potencial en geometría descriptiva.

Este preciso sistema referencial se denomina cartesiano, en honor a René Descartes (1596-1650), matemático francés, que buscó fundamentar su pen-samiento filosófico en la necesidad de considerar un “punto de partida” sobre el cual edificar todo el conocimiento. La geometría descriptiva se edifica sobre este sistema y pertenece entonces a las llamadas “ciencias duras”, en donde las interpretaciones deberían ser objetivas. Esta condición fracasa, invaria-blemente, en el campo del conocimiento científico, siempre surgirán “zonas blandas” como la irracionalidad en ciertos números, la irresoluble secuencia de números primos, etc, relaciones númericas inexplicables y únicas (tabla del 9). Análogamente, existen para dibujar reglas rigurosas de representación y cons-trucción que pueden ser fácilmente jaqueadas a voluntad o accidentalmente por fenómenos que exceden el sentido común y alteran la percepción. Es entonces durante la lectura de un dibujo, cuando la interpretación subjetiva condiciona el mensaje original, y es así para todo lenguaje.

Dibujar es finalmente una forma de poesía, el conjunto de reglas y normativas establecen un marco común y rígido que sirve de soporte para establecer una expresión. El estudio profundo de los aspectos de producción, llamados “técni-cos”, posibilitarán una enorme libertad ganando soltura y capacidad expresiva. Se contará con herramientas de calidad, mayor cantidad de recursos para re-solver un mismo problema. La escritura de poesía, requiere un empleo riguroso del conocimiento del lenguaje. Las metáforas (gr. metá ‘más allá, y phorein,


GP .5

‘pasar, llevar’) se emplean en lingüística para decir más de lo que estrictamente se escribe, es un tipo de supra-referencia que excede el significado inmediato. Aporta un concepto complementario al original. Dibujando, las metáforas se convierten en sutilezas de un trazo, un grosor de línea, un color, decisiones fun-damentales que requieren destreza. Solamente con el continuo e infalible traba-jo de prueba y error, la satisfacción de superarse, recuperar ese afán instintivo, esa gimnasia del asombro original se podrá disfrutar de la magia del dibujo.

PROYECCIONES CILÍNDRICAS

Cuando se trata de representar un cuerpo tridimensional en un lenguaje que permita su transmisión, exposición, traducción o interpretación, es posible em-plear las herramientas de las proyecciones cilíndricas. Se trata de construccio-nes gráficas, abstractas, que no responden exactamente a la percepción visual que se tiene de un objeto. Un plano de proyección abarca todas las magnitudes del cuerpo pero se limita a dos de las tres posibles. Se denominan cilíndricas en referencia a la forma en que se proyectan los puntos relevantes del cuerpo re-presentado hacia el plano de proyección. Para cada punto existe una expresión correspondiente en cada uno de los planos en los que se proyecte, y además guarda exacta relación con respecto al resto de los puntos que constituyen el objeto real dado que los rayos de proyección empleados son paralelos entre sí. Esta forma define el sistema y constituye su principal virtud, la posibilidad de medir de manera directa las características del cuerpo.

Todas las partes y dimensiones del objeto paralelas con el plano de proyección, no se verán alteradas. Si las figuras o cuerpos se encuentren en una posición lateralizada, escorzada u oblicua, sufrirán una contracción que será función tri-gonométrica del ángulo que guarde con el plano de proyección. Cuando el án-gulo sea de noventa grados (una relación perpendicular) las contracciones serán máximas y el reflejo quedará expresado como un punto.

Es importante tener presente que se trata de expresiones de un objeto real y se pueden emplear más de un plano de proyección para obtener distintas “visio-nes” del objeto. Todas estas proyecciones guardarán una relación de coheren-cia dimensional, dado que todas tienen por origen el mismo objeto real. Esta posibilidad es la base de la construcción de todo el sistema monge y la razón por la que es posible usarlo como un sistema de comunicación. Una representación gráfica es un lenguaje universal que trasciende los idiomas y las fronteras.

02.

6. GP

ENTES FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA

Punto

“Pese a no tener escala, indica un punto de energía dentro del campo visual. El ojo humano es capaz de interpretar una trama puntual como algo entrelazado por líneas invisibles de fuerza que, construidas visualmente, permiten componer imágenes identificables” Tom Porter

En geometría euclidiana, el punto es un ente fundamental. Se lo considera un concepto primario, su equivalente en álgebra es la noción del valor cero. Es útil para la elaboración de hipótesis de todo tipo y en cualquier campo del conoci-miento. No posee dimensiones, no tiene color, textura. El único atributo posible es su posición en el espacio, siempre y cuando exista un sistema referencial de coordenadas preestablecido.

Postulados:Por un punto pasan infinitas rectas y planos.Un punto ocupa un único espacio geométrico.Existen infinitos puntos en el espacio

Los puntos pueden representarse como un simple punzonado del instrumento de dibujo sobre el soporte, un par de rectas que se cruzan, o un pequeño círcu-lo de trazo fino.A los puntos se les suele nombrar con una letra del alfabeto mayúscula.

03.


GP .7

Recta

“Las líneas generan expresividad. Pueden parecer “vagas” e indolentes, pero, de trazarlas con sensibilidad, se colman de tensión. Aunque esta clase de líneas tiene escasa relación con la percepción mental y visual, no es menos cierto que la delineación de ideas y objetos es un convenio gráfico universalmente acepta-do como medio de comunicación”. Tom Porter

En geometría euclidiana, la recta es el conjunto de puntos ideales definido por una secuencia infinita en una sola dirección y al se le atribuye una sola dimen-sión. Puede subdividirse en infinitas partes denominadas segmentos. (distancia mínima entre dos puntos co-lineares en el espacio) Una semi-recta tiene la par-ticularidad de tener un punto de comienzo.Para definir la posición de un segmento en el espacio son suficientes dos pun-tos. Con dos puntos también se determina la dirección de la recta a la que el segmento pertenece.

Postulados:Una única recta se define por dos puntos.Una recta contiene infinitos puntos.Infinitas rectas pueden compartir un mismo punto

Las rectas suelen representarse gráficamente con un valor fino, pasado de sus bordes naturales (segmentos), para indicar que el dibujo es una parte de una pieza infinita.Las líneas suelen nombrarse con una letra del alfabeto minúscula.

8. GP

Plano

“Finalmente, he acabado por comprender que la geometría es el núcleo de todo sentimiento y que cada expresión del sentimiento se origina con un movimiento dirigido por la geometría. La geometría es omnipresente en la naturaleza: he aquí el verdadero concierto de la naturaleza”. Auguste Rodin

En geometría euclidiana, el plano es un conjunto de puntos definido por una secuencia infinita en dos direcciones y al que se le atribuyen dos dimensiones posibles, Puede subdividirse en infinitas partes denominadas caras o regiones (superficie mínima entre puntos co-planares en el espacio). Un semiplano tiene la particularidad de tener una recta de comienzo.

Postulados:Un único un plano se define con tres puntos no alineados.Un único plano se define al interceptar dos rectasUn único plano se define con dos rectas paralelasUn único plano se define entre Una recta y un punto exterior la mismaUn plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.

Suele representarse gráficamente y para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares indicando que el dibujo es una parte de una superficie infinita. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.


GP .9

Poliedro

“Se hace la ciencia con hechos como una casa con piedras, pero una acumu-lación de hechos no es una ciencia, lo mismo que un montón de piedras no es una casa”. Jules Henri Poincaré

En geometría euclidiana, un poliedro es un conjunto de puntos definido por una secuencia infinita en tres direcciones y al que se le atribuyen tres dimensiones. Es en sí mismo una parte del espacio geométrico, por lo que un poliedro no puede ser infinito, puede subdividirse en infinitas partes pero siempre serán in-teriores o circunscriptas por el perímetro del poliedro original. La palabra polie-dro tiene por significado la noción me múltiples caras. Existen infinitos poliedros irregulares, mientras que solamente existen cinco poliedros que cumplan con la condición de tener una superficie convexa y que todas sus caras constituyan polígonos regulares. Hay también una variedad denominada semi regular en la que se combinan polígonos reglares de distinta clase.

Postulados:En un poliedro sus caras se definen por polígonos.En un poliedro siempre se interceptan dos caras y definen a una arista. En un poliedro siempre se interceptan al menos tres aristas y definen un vértice. En un vértice, el número de orden lo define la cantidad de aristas concurrentes en él.

Para representar un poliedro es necesario el empleo de líneas de distinto grosor o valoraciones de planos por grafismos para destacar su volumetría. Los poliedros se denominan por el número de caras que lo conforman

10. GP

Planos y rectas característicos

El sistema de referencias que se emplea para las representaciones necesita de una consideración rigurosa con respecto a las direcciones en las que se proyec-ta un cuerpo sobre un plano. Geométricamente un punto puede “trasladarse” en infinitas direcciones y en consecuencia a infinitos planos de proyección. Esta característica, puramente geométrica, no siempre aporta claridad a un dibujo y es fundamental tener presente en cual dirección exacta estamos “construyen-do” o “interpretando” un dibujo para lograr la expresividad buscada.

Cada plano o recta tendrá una denominación particular que definirá el dibu-jante respetando una estructura común del lenguaje gráfico. Arriba, abajo, horizontal, vertical, oblicuo, lateral, inclinado, son expresiones de posición con respecto al sistema referencial. Al dibujar un objeto estamos conjugando sus partes dentro de este sistema de referencia por lo que es fundamental mante-nerse ubicado espacialmente.


GP .11

Planos de proyección vertical y horizontal

En arquitectura las proyecciones horizontales hacia abajo se denominan coloquial-mente como “plantas”, se trata de planos de proyección que interceptan al objeto y “miran” de arriba hacia abajo. Cuando la expresividad de bóvedas y cielorrasos sean definitorios del carácter de los espacios representados, estos planos de proyección se emplearán a la inversa, es decir, planos de intersección horizontales de abajo hacia arriba. Un plano horizontal que no intercepte al objeto ofrece una “visión” exterior del cuerpo por lo general denominada planta de techos. Los planos de proyección en posición vertical llevan el nombre coloquial de “vistas” y pueden obtenerse infinitas proyecciones de este tipo, son “visiones” del cuerpo, exteriores, interiores, frontales, laterales o incluso escorzadas. Cada objeto responde a una geometría propia en la que se destacan direccio-nes dominantes por sobre las otras, estas características definen las posiciones de los planos a emplear para su representación. Se procurará resolver aquellas “vistas” que tengan una mayor utilidad de medición dependiendo de la propor-ción de paralelismo con el plano de proyección.

12. GP

Planos de proyecciones oblicuos o inclinados

Para representar un cuerpo en una forma más “realista” en donde se perciban las tres magnitudes del espacio tridimensional, pueden emplearse planos de proyección inclinados u oblicuos. En estas construcciones el objeto se percibe volumétricamente y puede vincularse la información relativa a cada una de las caras de manera inmediata. Estas proyecciones se denominan axonometrías, existen tres tipos principales de proyecciones,

Resolución de la proyecciones Dimétricas

Las axonometrías dimétricas, militar y caballera, son el resultado de una cons-trucción gráfica cuyo origen no es un plano de proyección, como son las vistas, plantas o escorzos. Se trata de un sistema forzado de representación de la tridi-mensionalidad, su principal virtud es que dos magnitudes de las tres posibles se encuentran en verdadera magnitud y conservan sus relaciones angulares. Es decir, que un ángulo de noventa grados en los planos elegidos como base para la cons-trucción de la axonometría, se representará como tal. La tercera magnitud restante sufrirá una contracción que busca que la representación del objeto no se vea “de-formada” el valor de esta contracción es una convención del sistema. Se verá que existen en realidad infinitas formas de dibujar axonometrías dimetricas, los ángulos y contracciones serán una función de la intención expresiva buscada. Este tipo de construcciones se emplean fundamentalmente por su rapidez de resolución al emplear las plantas o vistas de una objeto, a su vez las curvas son segmentos de círculos, por lo que se pueden representar con el auxilio del compás.


GP .13

Resolución de la proyección isométrica

El plano de proyección oblicua que da por resultado la construcción de la axo-nometría isométrica surge de una disposición muy particular. Los treinta grados de inclinación con la que se inicia esta proyección y su característica fundamen-tal de tener las tres dimensiones en real magnitud es el resultado de esa dis-posición. Para identificar el plano de proyección que cumpla estas condiciones es posible pensar en un plano que seccione un cubo y tenga por resultado una pirámide, cuyas aristas al vértice superior tengan iguales dimensiones. La base triangular de esta pirámide se obtiene uniendo los tres vértices del cubo. Esta sección libera tres aristas completas. Si se proyecta en dirección perpendicular a este plano, se obtienen las bases de la proyección isométrica. En este caso las aristas originales del cubo sufrirán una contracción del 18,3503419%. Es de-cir que si en el objeto miden una unidad, en la axonometría resultante medirán 0,816496581 de esa unidad. Esta reducción a su vez es la función trigonométri-ca seno del ángulo 54º44’8,1971’’ que es el específico del plano interceptante inicial. Como se trata de contracciones idénticas para cada una de las direccio-nes se desestima esta contracción y se construye la axonometría con unidades enteras. El ángulo de 30º surge de la proyección de las aristas de la base del cubo en esta particular construcción.

14. GP

Reducciones para un círculo en proyección isométrica:en este planteo se determina la reducción que sufre un círculo en plano horizon-tal cuando es proyectado en una axonometría isométrica.


GP .15

Construcción de curvas, método de tangentes

Para la construcción de curvas complejas se puede em-plear el el método de la subdivisión de rectas tangentes. Consiste fundamentalmente en identificar las rectas tan-gentes en la posición inicial y final de la curva que pre-tendemos realizar y subdividir ambas en partes iguales. Luego se emplearán rectas auxiliares que se unirán en or-den descendente de un lado al otro. Se verá que a medida que aumenta el número de rectas auxiliares, no aumenta la precisión de la curva lograda. Resulta entonces una cur-va óptima de la subdivisión en cuatro partes y considerar como referencia la intersección de las rectas auxiliares en-tre sí para la construcción de la curva buscada.

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES. FACULTAD DE...

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES. FACULTAD DE...