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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN LUIS POTOSI

FACULTAD DE CIENCIAS

¿Donde estan los numerosreales?

Tesis que, para obtener el grado de

Licenciado en Matematicas,

presenta

Jose Omar Rico Trejo

bajo la asesorıa delDr. Alvaro Perez Raposo.

Octubre de 2009

Indice general

Resumen V

1. Introduccion 1

2. Definicion de R 32.1. Construccion de R por cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Construccion de R por sucesiones de Cauchy de numeros racionales 112.3. Definicion axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Cardinalidad de R 17

4. Algunos subconjuntos importantes de R 214.1. Los numeros naturales N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.2. Cardinalidad de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2. Los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2. Cardinalidad de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3. Los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.2. Cardinalidad de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4. Los numeros construibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4.2. Cardinalidad de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5. Los numeros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.2. Cardinalidad de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.6. Los numeros computables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6.1. Maquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6.2. Numeros computables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7. Definibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.2. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7.3. La constante de Chaitin Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii

iv INDICE GENERAL

5. Conclusiones 47

A. Apendice 49A.1. Numeros cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.2. Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Resumen

Se define el conjunto de los numeros reales, comenzando por las construccionesclasicas tanto por cortaduras como por sucesiones de Cauchy de racionales,para llegar a la definicion axiomatica. A partir de esta definicion se estudia lapropiedad de su cardinalidad, mostrando que el conjunto de los reales es nonumerable.

El trabajo continua definiendo algunos conjuntos destacables de numerosreales y analizando tanto su estructura algebraica como su cardinalidad: los na-turales, los enteros, los racionales, los construibles, los algebraicos, los compu-tables y, por ultimo, los definibles.

Seguidamente constatamos que todos estos subconjuntos son numerablesy, por tanto, representan una cantidad casi insignificante respecto al total denumeros reales. Sin embargo, mas alla de los numeros computables, los realesno pueden ser calculados; ni tan siquiera aproximados. Peor aun, mas alla de losdefinibles, ningun numero real puede ser singularmente distinguido. Concluimos,por tanto, que practicamente la totalidad de los numeros reales son inasequibles.

v

vi RESUMEN

Capıtulo 1

Introduccion

En este trabajo estudio el conjunto de los numeros reales, denotado R, profun-dizando con especial enfasis en su cardinalidad y en la posibilidad de conocercada numero real como entidad propia.

El conjunto de los numeros reales esta en la base de una gran parte de lasmatematicas: el analisis y todo aquello que se construye sobre el. Por ello escrucial tener una definicion rigurosa que sirva de cimiento a toda la obra quesobre ella descansa. No fue, sin embargo, hasta finales del siglo XIX cuandose dieron las primeras definiciones precisas de este conjunto: las construccio-nes debidas a Dedekind, mediante cortaduras de los racionales, y a Weierstrassy Cantor, mediante sucesiones de Cauchy de numeros racionales. Por la mis-ma razon, para poder sustentar el resto de este trabajo, el siguiente capıtuloesta dedicado a repetir ese camino de descubrimiento de los reales: describo lascortaduras de Dedekind ası como las sucesiones de Cauchy de racionales. Llegodespues a la equivalencia de ambas construcciones y, en el fondo, de cualquiercuerpo ordenado y completo, lo que lleva a la definicion axiomatica que es usualactualmente.

Como es sabido, el objetivo al definir los reales es disponer de un conjunto contodas las buenas propiedades con que ya cuenta el conjunto de los racionales, asaber, un buen comportamiento algebraico dado por una estructura de cuerpo,y un orden compatible con las operaciones, pero que se distinga de este porcarecer de huecos en su orden, es decir, que sea completo. Lo mas llamativo delconjunto de los reales es que la tarea de rellenar dichos huecos de los racionalestiene un costo elevadısimo, pues la complejidad del conjunto de los reales estremendamente mayor que la del conjunto de los racionales. La primera muestrade ello es la cardinalidad. Si el paso de los naturales a los enteros no suponeaumento de cardinalidad, ni tampoco el paso de enteros a racionales, no ocurreası con el paso de racionales a reales. Es un salto gigante y un hecho aisladoentre los conjuntos numericos pues ni siquiera en la ampliacion de los reales alos complejos se tiene un aumento de cardinalidad. Este asunto es tratado en elcapıtulo 3.

Para explorar mas la complejidad que supone trabajar con el conjunto de

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

los reales en el capıtulo 4 estudio algunos subconjuntos notables de R intentan-do ver en su secuencia un aumento progresivo de la mencionada complejidad.Ası comienzo con los naturales, N, como el conjunto numerico mas basico. Des-pues los enteros, Z, con una notable ganancia en el terreno algebraico. Prosegui-mos con los racionales, Q, donde alcanzamos la meta algebraica de tener ya uncuerpo y, ademas, se logra que el orden sea lineal sin perder por ello la sencillezde un conjunto que aun me parece asequible, manejable. Por razones historicashe estudiado el conjunto de los numeros construibles con regla y compas, B, queson los primeros numeros no racionales que se definieron con precision. Ense-guida continuo con los numeros reales algebraicos, A, que aun mantienen todaslas buenas propiedades de los racionales y representan todos aquellos reales quepueden ser definidos a partir de manipulaciones algebraicas con los racionales ysus polinomios. Mas alla de los algebraicos, por tanto, hay que abandonar lastecnicas puramente algebraicas y nos enfocamos directamente en la preguntade que numeros reales pueden ser calculados, es decir, pueden ser escritos ensu representacion decimal o, al menos, aproximados con cualquier precision re-querida. Este es el conjunto de los numeros computables, T. Al otro lado de loscomputables no podemos dar el valor, ni siquiera aproximado, de ningun otronumero. Sin embargo aun nos queda una nocion que explorar, la de los numerosdefinibles, aquellos que pueden ser distinguidos del resto de los reales, aunqueno puedan ser calculados.

Conocer la estructura de estos subconjuntos notables nos ayuda a conocerel propio conjunto R. Pero, mas aun que estos subconjuntos, lo que nos da unaidea de la complejidad de R son los numeros que quedan fuera de ellos. Estaultima reflexion es la que abordo en el capıtulo 5 donde expongo las conclusionesdel trabajo.

Capıtulo 2

Definicion de R

El conjunto Q de los racionales posee propiedades algebraicas y de ordenmuy interesantes: es cuerpo ordenado. De hecho, el cuerpo ordenado funda-mental pues cualquier otro lo contiene. Es suficiente conocerlo solo a el para elmanejo practico de la ingenierıa, ya que finalmente cualquier medida tangiblese expresa como un numero racional. Sin embargo muchas de las aplicacionestecnologicas (sustentadas en elegantes teorıas matematicas) involucran numerostan tradicionales, pero muy especiales, como lo son e y π, que pertenecen a unconjunto de “mas jerarquıa” que el de los numeros racionales: el de los reales. Elconjunto de los numeros reales se ha construido para llevar a cabo el desarrollode la teorıa del analisis y su principal diferencia con el de los racionales es sucompletitud. Informalmente, el conjunto de racionales, cuando se situa sobreuna recta, deja puntos de la misma sin cubrir o, dicho de otro modo, Q tiene“huecos”. La construccion de R consiste en llenar dichos “huecos” para cubrircompletamente la recta.

Existen varias formas de lograr este objetivo a partir de Q. En el presentecapıtulo presentaremos las mas tradicionales: por medio de cortaduras, primero,y por medio de sucesiones de Cauchy, despues.

Sin embargo estas construcciones resultan en conjuntos que comparten laspropiedades que nos interesan de los reales: son cuerpos ordenados y completos.Son estas tres propiedades las que dan su esencia a R y por ello finalmente sedeslinda la definicion de una construccion concreta y se deja como una definicionaxiomatica.

2.1. Construccion de R por cortaduras

Esta construccion se debe a Dedekind y ataca el problema de los “huecos”directamente, definiendo un objeto llamado cortadura, el cual pone de manifiestolos “huecos” de Q. Una cortadura es una escision de Q en dos clases de modoambas quedan separadas por un solo numero racional o separadas sin que hayaun numero racional en medio. Este ultimo caso define un hueco. El conjunto de

3

4 CAPITULO 2. DEFINICION DE R

los reales sera, precisamente, el conjunto de cortaduras. En el lenguaje modernode la topologıa una cortadura no es otra cosa que una desconexion de Q respectoa su topologıa de orden. Sin embargo en este caso hemos preferido mantener ellenguaje original.

Definicion 2.1. Llamaremos cortadura a un conjunto α de numeros racionalesque satisface:

i) α 6= ∅ y α 6= Q.

ii) Si r ∈ α y s > r, entonces s ∈ α.

iii) α no tiene mınimo.

El complemento de α, denotado por αc, posee las siguiente propiedad:

si r ∈ αc y s ∈ α, entonces r < s.

Denotaremos en adelante las cortaduras con letras griegas α, β . . . , y a loselementos de cada una de ellas por las letras A,B, . . . y a los de sus respectivoscomplementos por a, b . . . etc.

Definicion 2.2. Una cortadura ρ es una cortadura racional si

ρ = x ∈ Q|r < x para algun r racional .

Bajo la definicion anterior es claro que todos los numeros racionales puedenser vistos como una cortadura (cortadura racional).

A continuacion exhibimos dos ejemplos de cortadura, una racional y una noracional, a fin de ilustrar como es que el conjunto de cortaduras posee algunoselementos mas que las cortaduras racionales.

1o es trivial que el conjunto de los numeros racionales mayores que cero. elcual denotaremos por 0+ es una cortadura.

2o Denotemos ahora por α√2 al conjunto de los numeros racionales r quesatisfacen r2 > 2. Cualquiera de los numeros en este conjunto es mayorque 1 y ademas, si r ∈ α√2, la relacion s > r implica que s ∈ α√2. Tambienes claro que α√2 es un conjunto no vacıo y tampoco lo es su complemento.Solo falta probar que α√2 no tiene mınimo. En efecto, dado r ∈ α√2 si0 < δ < 1, entonces tendremos r − δ > 0 y ademas:

(r − δ)2 = r2 − 2δr + δ2 > r2 − 2rδ.

El ultimo numero es mayor que 2 siempre que se cumpla que r2−22r > δ.

Ahora, un numero δ entre 0 y 1 que cumpla la ultima condicion es, porejemplo,

δ =r2 − 2

r2 − 2 + 2r.

2.1. CONSTRUCCION DE R POR CORTADURAS 5

Este numero verifica las condiciones que se requieren para que r − δ per-tenezca a α√2, a saber:

r − δ > 0 y (r − δ2 > 2).

Luego α√2 es una cortadura.

Ası ha quedado de manifiesto que α√2 no tiene mınimo, pero hay otrohecho que es fundamental para el estudio del conjunto de cortaduras, elque su clase complementaria, αc√

2no tiene maximo. Esto prueba que el

conjunto de cortaduras contiene tambien cortaduras que no son racionales.

Lema 2.3. αc√2

no tiene maximo.

Demostracion. Sea r un numero postivo que verifica r2 < 2. Entoncespodemos hallar un numero δ entre 0 y 1 que verifique (r + δ)2 < 2. Puessi 0 < δ < 1, tendremos:

(r + δ)2 = r2 + 2rδ + δ2 < r2 + 2rδ + δ = r2 + (2r + 1)δ < 2

lo cual se cumple si δ < (2−r2)2r+1 . Basta entonces elegir

δ =2− r2

2− r2 + 2r + 1=

2− r2

3− r2 + 2r

y queda probado que αc√2

no tiene maximo.

Definicion 2.4. (Orden) Dadas dos cortaduras α, β, β ≤ α si α ⊂ β.

Lema 2.5. La relacion ≤ es una relacion de orden total en el conjunto decortaduras.

Demostracion. Las propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva son inme-diatas de la definicion del orden como la inclusion de cortaduras. Para ver queel orden es total supongamos, sin perdida de generalidad, que α no esta incluidaen β. Entonces existe un numero A en α pero que no pertenece a β, luego A = bpara algun b en βc. Por tanto cualquier numero racional B ∈ β verifica queB > A, de donde se tiene que B ∈ α.

Puesto que tenemos un orden total en el conjunto de cortaduras, los concep-tos habituales de cota superior o inferior tienen plena validez en este contexto.La gran ventaja del conjunto de cortaduras frente al de los racionales es queaquel sı verifica la propiedad del ınfimo.

Teorema 2.6. Sea G un conjunto de cortaduras no vacıo y acotado inferior-mente. Entonces G tiene ınfimo, es decir, existe una cortadura γ tal que:

a) γ es cota inferior de G.

b) Si β es una cota inferior de G, entonces β ≤ γ.


En otras palabras, γ es la maxima de las cotas inferiores de G.

Demostracion. Definamos el conjunto γ como

γ =⋃α∈G

α.

Es facil ver que γ es una cortadura y, ademas, que α ∈ G implica que α ⊂ γ, esdecir, γ < α, luego γ es cota inferior de G.

Si ahora β es una cota inferior de G arbitraria, notemos que por construccionβ < γ, por tanto γ es la cota inferior maxima.

Como es sabido, de la propiedad del ınfimo se deduce inmediatamente lapropiedad del supremo.

Corolario 2.7. Sea G un conjunto de cortaduras no vacıo acotado superior-mente, entonces G tiene supremo.

Ahora estamos en vısperas de definir las operaciones de cuerpo para el con-junto de las cortaduras. Sin embargo hace falta una herramienta adicional quese enuncia en el siguiente lema.

Lema 2.8. Dados una cortadura α, un numero a0 ∈ αc y un numero racionalt > 0, existen un par de numeros racionales A ∈ α y a ∈ αc, tales que

a0 ≤ a y A− a < t.

Demostracion. Tomemos un numero A0 en α y un numero natural n tales que

A0 − a0

n< t.

Tomemos ahora el mınimo entero k tal que a0 + kA0−a0n ∈ α. Notese que para

k = n se obtiene A0 y para k = 0 se obtiene a0. Luego A = a0 + kA0−a0n y

a = a0 + (k − 1)A0−a0n satisfacen las condiciones del lema.

Procederemos ahora a definir las operaciones de suma y producto de corta-duras a traves de las operaciones de Q.

Por comodidad denotaremos en adelante al conjunto de cortaduras medianteel sımbolo D.

Definicion 2.9. (Suma de cortaduras) Sean α, β ∈ D definimos

α+ β = A+B|A ∈ α,B ∈ β.

Proposicion 2.10. D con la suma definida y la cortadura 0+ como neutro esun grupo abeliano.

Demostracion. Hay que probar las siguientes propiedades:


i) Asociatividad,α+ (β + γ) = (α+ β) + γ.

ii) Conmutatividad,α+ β = β + α.

iii) Neutro,α+ 0+ = α.

iv) Opuestos,

Dado α ∈ D existe β ∈ D tal que, α+ β = 0+.

Los incisos i), ii), iii) son triviales a partir de la definicion de cortadura. Mos-traremos solo el ultimo.

Tomemos α ∈ D y definamos

β = B|B > −a para algun a en αc.

El conjunto β es no vacıo pues basta tomar B = −a + 1 para algun a ∈ αc.Ahora, si tomamos A ∈ α el numero −A no pertenece a β. Si ası ocurrieratendrıamos que −A > −a y, por tanto, A < a lo cual es una contradiccion.

De la definicion de β se tiene que si B ∈ β y f > B entonces f ∈ β. Ademassi B > −a, podemos elegir siempre un numero B′ tal que B > B′ > −a, lo cualimplica que β no tiene mınimo. Luego β es una cortadura.

Probaremos ahora que α+ β = 0+. En efecto un elemento de α+ β tiene laforma A+B, donde A ∈ α y B > −a para algun a ∈ αc. Luego

A+B > A+ (−a) = A− a > 0,

lo cual muestra que A+B ∈ 0+.Recıprocamente, dado t ∈ 0+, se tiene que t > 0, y en virtud del lema

2.8 existen numeros A y a tales que A − a < t. Luego existe s > 0 tal quet = A− a+ s = A+ (−a+ s).

La cortadura β definida en el teorema se denota por −α.

Corolario 2.11. Dadas dos cortaduras α y β, si α+ β = 0 entonces β = −α.

Corolario 2.12. Dadas α, β, γ ∈ G si α ≤ β, entonces α+ γ ≤ β + γ.

Definicion 2.13. β − α = β + (−α).

Ahora definiremos el producto de cortaduras pues nuestro objetivo es probarque D es un cuerpo. Sin embargo definir el producto no es tan sencillo como lofue la suma. Hay que dividir en casos introduciendo la regla de los signos en ladefinicion.

Definicion 2.14. α es positiva si α > 0.


Definicion 2.15. (Producto de cortaduras positivas) Dadas α, β cortaduras po-sitivas, definimos αβ como sigue:

αβ = AB|A ∈ α,B ∈ β.

En la siguiente proposicion se prueba que αβ es, efectivamente, una corta-dura.

Proposicion 2.16. αβ es una cortadura.

Demostracion. Claramente αβ es no vacıa ya que existe en ella un elementode la forma AB ya que α y β tampoco lo son; su complemento, que incluye alcero y a todos los numeros racionales negativos, tampoco es vacıo. Ahora, si unnumero r > AB para algun AB ∈ αβ, entonces existe s > 0 tal que

r = AB + s = A(B +

s

A

)= AB′,

lo que muestra que r esta en la clase αβ. Probar que αβ no tiene mınimo essencillo. Sea AB, con A ∈ α y B ∈ β un elemento arbitrario de αβ. Puestoque α y β son cortaduras no tienen mınimo, luego existen racionales A′ < Ay B′ < B cada uno en su respectiva cortadura. Por otro lado, siendo α y βcortaduras positivas tenemos que 0 < A′ ası como 0 < B′, de donde llegamos aque A′B′ < AB y, por tanto, αβ no tiene mınimo.

Ahora probaremos la ley distributiva, conmutativa y asociativa para las cor-taduras positivas.

Proposicion 2.17. Sean α, β, γ cortaduras positivas, entonces:

i) α(βγ) = (αβ)γ.

ii) αβ = βα.

iii) α(β + γ) = αβ + αγ.

Demostracion. Probar i) y ii) es trivial si recordamos que el producto en Q esasociativo y conmutativo. Para probar iii) notemos que cualquier miembro delconjunto α(β + γ) es de la forma A(B + G) = AB + AG que es un elementodel conjunto αβ + αγ. De manera recıproca un numero del conjunto αβ + αγes de la forma AB + A′G. Supongamos que A < A′, entonces AB + A′G ≥AB +AG = A(B +G), el cual es un elemento del conjunto α(β + γ).

Corolario 2.18. Si 1 denota la cortadura de los numeros racionales mayoresque 1 y α es una cortadura positiva entonces

α1 = α.

Corolario 2.19. Si α una cortadura positiva entonces

α0 = 0.


Proposicion 2.20. Si α es una cortadura positiva entonces existe β tambiencortadura positiva tal que

αβ = 1.

Demostracion. Dado que α es positiva,existe un numero a0 > 0 en αc. Ahoradefinimos β de la siguiente manera:

β = B|B >1a

para algun a > 0 en αc.

Solo hay que probar que el conjunto definido anteriormente es una cortadurapositiva.

Un numero del conjunto tiene la forma AB con B > 1a para algun a > 0

en αc, de donde AB > Aa > 1 luego, AB es un elemento de la cortadura 1.

De manera recıproca, sea r > 1. En virtud del lema 2.8, para cualquier t > 0existen numeros A ∈ α y a ∈ αc tales que a > a0 y A− a < t, luego

A

a=a+ (A− a)

a= 1 +

A− a

a< 1 +

t

a0= r,

siempre que elijamos t = a0(r − 1). Entonces existe un numero s > 0 tal que

r =A

s+ s = A

(1a

+s

A

)= AB,

de donde se tiene que r es un elemento del conjunto αβ.

Ahora, puesto que ya hemos definido el producto de cortaduras positivas yel negativo de una cortadura positiva, extendemos el producto a cualesquieracortaduras mediante la siguiente definicion.

Definicion 2.21. Sean α, β ∈ D entonces:

αβ =

−(α(−β)), si α ≥ 0 y β < 0−((−α)β), si α < 0 y β ≥ 0(−α)(−β) si α < 0 y β < 0

Con la anterior definicion es facil comprobar la habitual regla de signos querecogemos en el siguiente resultado.

Proposicion 2.22. (Regla de los signos) Dadas dos cortaduras α, β

α(−β) = (−α)β = −(αβ)

Ahora probaremos la distributividad del producto sobre la suma para cua-lesquiera cortaduras.

Proposicion 2.23. Dadas α, β, γ cortaduras

α(β + γ) = αβ + αγ.


Hay que considerar varios casos dependiendo de los signos de las cortadurasα, β, γ y de β+ γ. Probaremos primero los casos en que α es mayor o igual quecero, reduciendolos al caso en que todas las cortaduras son positivas, el cual yaesta probado mas arriba. Despues ilustraremos como el caso en el que α es unacortadura negativa se reduce a los anteriores.

Demostracion. 1) Consideremos α ≥ 0, β ≥ 0, γ < 0, β + γ ≥ 0, entonces

αβ = α[(β + γ) + (−γ)]

donde tanto (β + γ) como (−γ) son cortaduras positivas, luego aplicamosdistributividad y llegamos a

αβ = α(β + γ)− αγ,

de dondeαβ + αγ = α(β + γ).

2) Consideremos α ≥ 0, β ≥ 0, γ < 0, pero esta vez con (β + γ) < 0. Utili-zando la regla de signos se puede convertir facilmente en el caso anterior.

α(β + γ) = −(α(−β − γ)) = −[α(−γ) + α(−β)] = αβ + αγ.

3) Los casos en que α ≥ 0, β < 0 y γ ≥ 0 se reducen a los dos anterioresdebido a la propiedad conmutativa de la suma, pues β + γ = γ + β.

4) Finalmente sean las cortaduras α ≥ 0, β < 0, γ < 0. Entonces β + γ < 0y podemos utilizar los resultados anteriores para deducir

α(β + γ) = −α(−β − γ) = −[α(−γ) + α(−β)] = αβ + αγ.

5) Ahora consideraremos α < 0. Empleando las reglas los signos tenemos que

α(β + γ) = −((−α)(β + γ)),

con lo cual todo se reduce a los casos anteriores.

Corolario 2.24. Sean α, β, γ cortaduras tales que α ≤ β y γ ≥ 0 entonces

αγ ≤ βγ.

En resumen hemos probado el siguiente resultado:

Teorema 2.25. Existe un cuerpo ordenado tal que todo subconjunto no vacıoy acotado superiormente tiene supremo.

2.2. CONSTRUCCION DE R POR SUCESIONES DE CAUCHY DE NUMEROS RACIONALES11

2.2. Construccion de R por sucesiones de Cau-chy de numeros racionales

Ahora abordaremos otra de las construcciones clasicas de R, debida a Weiers-trass y Cantor: la de sucesiones de Cauchy de numeros racionales. Las sucesionesde Cauchy resultan ser otra herramienta para denunciar “huecos” en Q ya queuna sucesion de Cauchy tiene todos los elementos para ser convergente y, sinembargo, puede resultar que el lımite al que deberıa tender no es tal porque noexiste como numero racional. Por ello esta aproximacion permite definir R comoel conjunto de sucesiones de Cauchy de racionales.

En este caso, a diferencia del anterior, sı optamos por utilizar el lenguajemoderno de anillos e ideales ya que supone una gran simplificacion en las prue-bas de las propiedades algebraicas del conjunto definido. En lugar de definir elconjunto de sucesiones de Cauchy, la relacion de equivalencia entre sucesionesy luego las operaciones y comprobar que satisface las propiedades de cuerpoordenado y completo comenzaremos por el anillo de todas las sucesiones deracionales, el subanillo de sucesiones de Cauchy y, en el, las sucesiones que con-vergen a cero, las cuales forman un ideal maximal. Al efectuar el cociente entreel anillo de sucesiones y el ideal maximal el resultado es un cuerpo. la parte delorden y la completez es igual que en la construccion estandar.

Llamamos QN al conjunto de todas las sucesiones de numeros racionales, yuna sucesion la denotamos como (an). Con las operaciones de suma y productopuntuales, este conjunto tiene estructura de anillo conmutativo con identidad;el cero es la sucesion constante (0) y la identidad es la sucesion constante (1).

Definicion 2.26. Una sucesion (an) es de Cauchy si para todo racional ε > 0existe un natural N tal que si n,m > N entonces |am− an| < ε. El subconjuntode las sucesiones de Cauchy lo denotamos C.

A continuacion vemos que C tambien es un anillo conmutativo con identidad,argumentando que es un subanillo de QN, para lo cual necesitamos un lema quenos asegura que toda sucesion de Cauchy es acotada.

Lema 2.27. Dada una sucesion de Cauchy (an) existe un numero racionalpositivo B tal que |an| ≤ B para todo n ∈ N.

Demostracion. Dado ε = 1, existe N tal que para todo n ≥ N tenemos |an −aN | ≤ 1, entonces para todo n ≥ N , |an| ≤ |aN |+ 1. Entonces

B = max|a1|, |a2|, . . . , |aN−1|, |aN |+ 1

verifica el lema.

Proposicion 2.28. Las sucesiones de Cauchy, C, forman un subanillo con iden-tidad de QN.

Demostracion. Las partes no triviales de la prueba son las clausuras bajo sumay producto. Sean (an) y (bn) sucesiones de Cauchy. Dado ε > 0 existen naturales


N1 y N2 tales que si n,m > N1 entonces |am − an| < ε/2 y que si n,m > N2

entonces |bm − bn| < ε/2, con lo cual, tomando N = maxN1, N2 tenemos

|(am+bm)−(an+bn)| = |am−an+bm−bn| ≤ |am−an|+ |bm−bn| <ε

2+ε

2= ε

de donde (an) + (bn) es sucesion de Cauchy.Para el producto recordemos que, por ser sucesiones de Cauchy, estan aco-

tadas luego existen k, l ∈ Q+ tales que |an| < k y |bn| < l para todo n ∈ N.Entonces la sucesion producto (anbn) cumple

|ambm−anbn| ≤ |ambm−ambn|+ |ambn−anbn| = |am||bm− bn|+ |bn||am−an|.

Ahora, por ser de Cauchy, dado ε > 0 existen naturales N1 y N2 tales que sin,m > N1 entonces |am − an| < ε/2l y si n,m > N2 entonces |bm − bn| < ε/2k.Por tanto

|ambm − anbn| < kε

2k+ l

ε

2l= ε,

y el producto tambien es sucesion de Cauchy.

A continuacion introducimos el subconjunto de las sucesiones de Cauchynulas o fundamentales. Cuando mostremos que se trata de un ideal maximal delanillo anterior, el cociente nos da directamente el cuerpo que buscamos.

Definicion 2.29. Una sucesion de Cauchy (an) es nula, o fundamental, si dadocualquier racional positivo ε, existe un natural N tal que si n > N tenemos que|an| < ε. Al conjunto de sucesiones nulas lo denotamos I.

Lema 2.30. El subconjunto I es un ideal C.

Demostracion. Es un subgrupo aditivo. Sean (an) y (bn) sucesiones nulas; dadoε > 0 existen naturales N1 y N2 tales que |an| < ε/2 si n > N1 y |bn| < ε/2 sin > N2. Entonces, tomando N = maxN1, N2 tenemos que para todo n > N

|an + bn| ≤ |an|+ |bn| <ε

2+ε

2= ε.

Por otro lado es obvio que la sucesion constante (0) es nula. Asimismo, si (an)es nula, la sucesion (−an), que es su opuesta, tambien es nula.

Ademas, I absorbe el producto. Sean (an) una sucesion nula y (bn) unasucesion de Cauchy arbitraria, la cual esta acotada por, digamos, B. Entonces,dado ε > 0 existe un natural N tal que si n > N ocurre que |an| < ε/B. De estemodo

|anbn| = |an||bn| < |an|B <ε

BB = ε.

Ahora podemos considerar el cociente C/I.

Proposicion 2.31. El anillo cociente C/I es un cuerpo.

2.2. CONSTRUCCION DE R POR SUCESIONES DE CAUCHY DE NUMEROS RACIONALES13

Demostracion. Basta ver que el ideal I es maximal. Sea J un ideal de C quecontiene propiamente a I. Entonces existe (zn) ∈ J tal que (zn) /∈ I. Constru-yamos apartir de (zn) una nueva sucesion que llamaremos (xn) tal que (xn) ∈ Jpero que no pertenezca a I y sea unidad. Con ello quedara probado que J = Cy, por tanto, que I es ideal maximal.

a) Por ser (zn) de Cauchy y no ser nula (no converge a cero), existen ε > 0 yN ∈ N tales que |zn| > ε si n > N . Por tanto (zn) tiene un numero finitode ceros.

b) Definamos la sucesion yn de la siguiente manera:

yn =

1, si zn = 0,0, en otro caso.

Claramente yn ∈ I ⊂ J .

c) Definamos ahora xn = zn + yn. Por construccion (xn) ∈ J y xn /∈ I. Y,puesto que xn 6= 0 para todo numero natural n, la sucesion ( 1

xn) es de

Cauchy e inversa de xn. Por tanto xn es unidad.

Observese que los elementos del cuerpo C/I son las clases laterales de la formaI + (an), y que dos sucesiones estan en la misma clase lateral si (an) − (bn) ∈I. Tambien hacemos notar que este cuerpo contiene a Q de manera naturalasociando a cada racional r con la sucesion constante (r).

El siguiente paso es dotar a este cuerpo de un orden que, en cierto modo,venga inducido por el de Q. Comenzamos por ordenar el anillo de sucesiones deCauchy.

Definicion 2.32. Una sucesion de Cauchy (an) es positiva si existe un naturalN tal que si n > N entonces an > 0.

Diremos que (an) < (bn) si la sucesion (bn)− (an) es positiva.

Es facil comprobar que esta definicion efectivamente ordena el anillo C,ası como comprobar que este induce un orden en el cociente: I+(an) < I+(bn) si(an) < (bn) (especialmente que esta definicion no depende de los representanteselegidos).

Lo mas interesante, sin embargo, son las dos propiedades que enunciamos acontinuacion sobre este cuerpo ordenado: es arquimediano y es completo (ahoraen el sentido metrico, es decir, que toda sucesion de Cauchy converge).

Teorema 2.33. El cuerpo ordenado C/I es arquimediano y toda sucesion deCauchy converge en el.

Demostracion. Primero veamos la propiedad arquimediana. Sean I + (an) eI + (bn) dos elementos de C/I que verifican 0 < I + (an) < I + (bn). Entoncesexiste un natural N tal que an < bn si n > N . Por otro lado, por ser de


Cauchy, la sucesion (bn) tiene una cota superior B, luego podemos escribiran < bn < B. Puesto que el orden de Q sı es arquimediano existe un naturalm tal que B < man, de donde la sucesion (man) es mayor que (bn) o, en otraspalabras I + (bn) < m(I + (an)).

Continuamos con la convergencia de toda sucesion de Cauchy separandolaen dos casos: sucesiones de Cauchy de racionales, como paso previo, y sucesio-nes de Cauchy arbitrarias. Sea (an) una sucesion de Cauchy racional, la cualdefine el elemento α = I+(an) en C/I. Veamos que dicho elemento es su lımite.Efectivamente, sea ε > 0 un elemento de C/I. Puesto que este cuerpo es arqui-mediano, Q es denso en el, con lo cual existe un racional q tal que 0 < q < ε.Por ser (an) de Cauchy existe un natural N tal que |am − an| < q si m,n > N .Ahora calculemos la distancia de la sucesion (an) al elemento α:

|am − α| = |(I + (am))− (I + (an))|= I + (|am − an|)< I + (q) = q < ε

siempre que m > N , luego (an) converge a α.Ahora consideremos una sucesion de Cauchy en C/I, (βk), donde cada ele-

mento de la sucesion es de la forma βk = I + (bkn) y (bkn) es una sucesion deCauchy racional (con ındice n). Por el parrafo anterior sabemos que la sucesion(bkn) converge a βk. Ahora bien, por ser (βk) sucesion de Cauchy sabemos quedado ε > 0 existe un natural K tal que si k, l > K entonces |βk − βl| < ε pero,desarrollando la expresion de los elementos βk tenemos

|βk − βl| = |(I + (bkn))− (I + (bln))|= I + (|bkn − bln|) < ε.

Por los argumentos anteriores existe un racional q tal que I+(|bkn−bln|) < q < εlo cual significa que existe un natural N tal que si n > N tenemos |bkn−bln| < q,siempre que k, l > K. Esto nos permite definir una nueva sucesion de racionales(ak) donde ak es un elemento de la sucesion (bkn) con n suficientemente grandepara que se cumpla |ak − al| < q si k, l > K. Esta sucesion es de Cauchy y, portanto, define un elemento en C/I que llamamos α, su lımite. Ahora solo restaver que (βk) converge a α.

|βk − α| = |(I + (bkm))− (I + (ak))|= I + (|bkm − bkn|)< I + (q) < ε.

Ası pues hemos construido otro cuerpo ordenado y completo a partir de lassucesiones de Cauchy. Cualquiera de los dos, el conjunto de cortaduras D o elcociente C/I, puede ser llamado el conjunto de los numeros reales. Ası que se nosplantea una primera pregunta, ¿cual de los dos elegir? La respuesta es que noimporta pues el resultado es el mismo, debido a que podemos identificar ambosconjuntos mediante el siguiente isomorfismo.

2.3. DEFINICION AXIOMATICA DE R 15

Proposicion 2.34. La funcion

φ : C/I → D

que a cada elemento I + (an) asocia la cortadura α definida como sigue: unracional r esta en α si el conjunto de elementos de la sucesion (an) que verificanr < an es finito; es un isomorfismo de cuerpos que preserva el orden.

Demostracion. La funcion esta bien definida, en el sentido de que no depende dela sucesion que se elija como representante de la clase lateral I + (an). Es claroque es una biyeccion, pues es facil definir la funcion inversa como aquella que acada cortadura de D asigna una clase lateral a partir de una sucesion definidaen base a la cortadura, cuyos elementos se acerquen al punto de separacion deambas clases: la cortadura y su complemento.

Esta funcion permite ver, asimismo, que la completitud en sentido de cone-xion topologogica equivale a las propiedades arquimedianas y completitud ensentido metrico.

Esta identificacion de ambas construcciones nos catapulta mas alla, a la ideade definir el conjunto de los reales prescindiendo incluso de cualquier construc-cion explıcita del mismo: axiomaticamente.

2.3. Definicion axiomatica de RLas propiedades que nos permiten identificar las dos construcciones de las

secciones precedentes son:

1. Las propiedades algebraicas que les dan estructura de cuerpo.

2. Las propiedades de orden, compatible con la estructura algebraica, que losconvierten en cuerpos ordenados.

3. La propiedad de completitud (ya sea en la version de la propiedad delsupremo o en la version de arquimedianidad mas completitud metrica)que los convierten en cuerpos ordenados y completos

Estas son, ademas, las propiedades que se desean en el conjunto de los reales. Elsiguiente teorema dice que todos los conjuntos que verifican dichas propiedadesson isomorfos entre sı.

Teorema 2.35. Todo cuerpo ordenado arquimediano y completo (en sentidometrico) es isomorfo a C/I.

Demostracion. Sea K un cuerpo ordenado arquimediano y completo. Por serarquimediano contiene un subcuerpo isomorfo a Q y denso en K, al que llama-remos simplemente Q. Vamos a asociar con cada elemento de K una sucesionde racionales. Con el cero asociamos la sucesion constante (0).


Sea x ∈ K un elemento positivo (todo lo que sigue es analogo para unelemento negativo). Entonces existe un racional q1 tal que 0 < q1 < x tal que|x− q1| < 1.

De nuevo por la densidad de Q en K podemos encontrar un racional q2 talque q1 < q2 < x y |x−q2| < 1

2 . Analogamente procedemos por induccion y, dadoel racional qn podemos encontrar qn+1 que verifique qn < qn+1 < x y, ademas|x− qn+1| < 1

n+1 .La sucesion de racionales (qn) converge a x por construccion y, por tanto, es

de Cauchy. Entonces podemos definir la siguiente funcion

φ : K → C/Ix 7→ I + (qn).

Ahora comprobamos que φ es un isomorfismo de cuerpos que preserva el orden.Preserva el orden pues, por la construccion de la sucesion (qn) se tiene inmediata-mente que si x > 0 entonces φ(x) = I+(qn) > 0. Similarmente es homomorfismopues φ(x+y) = I+(qn+rn) = (I+(qn))+(I+(rn)) = φ(x)+φ(y) respecto a la su-ma, y respecto al producto φ(xy) = I+(qnrn) = (I+(qn))(I+(rn)) = φ(x)φ(y).

Veamos que es inyectiva tomando elementos x, y ∈ K tales que φ(x) = φ(y).Entonces I + (qn) = I + (rn) de donde obtenemos que la sucesion (qn − rn) esnula. Ahora bien, como cada una de las dos sucesiones tiene lımite, a saber x yy respectivamente, eso nos lleva a que ambas tienen el mismo lımite, de dondex = y.

Por ultimo la suprayectividad. Sea I+(an) un elemento de C/I donde (an) esuna sucesion de Cauchy de racionales. Entonces, considerando la misma sucesion(an) pero en K, puesto que este es completo, define un elemento x, el cualobviamente verifica φ(x) = I + (an).

Este ultimo teorema nos permite dar un salto mas y prescindir completa-mente de la construccion de un conjunto con las propiedades mencionadas ypostular, simplemente, que un conjunto con tales propiedades es lo que llama-mos el conjunto de los numeros reales.

Definicion 2.36. El conjunto de los numeros reales es un cuerpo ordenado ycompleto y lo denotamos R.

Capıtulo 3

Cardinalidad de R

En el capıtulo anterior hemos visto que para llegar a definir R esencialmentehemos tenido que anadir elementos al conjunto de los racionales. Debido a ladefinicion que hemos dado finalmente, postulando las propiedades que queremosen el, conocemos bien su estructura algebraica y de orden. Sin embargo surgecomo primera pregunta ¿cuantos elementos mas tiene R que Q? Los irracionalesque hay que anadir a Q para completar la recta real, ¿son muchos o pocos? Porello este capıtulo esta dedicado a estudiar la cardinalidad de R, donde apareceel primer indicio de la complejidad que subyace en este conjunto.

En primer lugar vemos que efectivamente el cuerpo R tiene mas elementosque Q, es decir, es no numerable. Seguidamente mostramos que la cardinalidadde R es la cardinalidad del conjunto pontencia de los numeros naturales. Enotras palabras, R es muy grande, mucho mas de lo imaginable.

Teorema 3.1. R no es numerable.

Presentamos una prueba que utiliza el resultado sobre intervalos anidadosde la recta real, resultado que mostramos previamente en un lema.

Lema 3.2. Sea Inn∈N una familia de intervalos cerrados y anidados en R,es decir, In+1 ⊂ In. Entonces

⋂n∈N In 6= ∅.

Demostracion. Para cada n natural, sea el intervalo In = [an, bn]. Entonces lacondicion de estar anidados implica que (an) es una sucesion creciente de reales,mientras que (bn) es una sucesion decreciente y, ademas, ambas estan acotadaspues para cualquier m y n naturales am ≤ bn. Por tanto ambas sucesiones sonde Cauchy y, por ser R completo, tienen lımite. Llamemos A al lımite de (an).Por ser (an) creciente es claro que para cualquier n, an ≤ A. Por otro lado,tambien debe cumplirse A ≤ bn pues de lo contrario, si existe m tal que bm < Aentonces para todo n > m tenemos que |an − A| > ε tomando ε = A − bm,contradiciendo que A es lımite de la sucesion (an). Por tanto, para todo naturaln tenemos an ≤ A ≤ bn o, dicho de otra forma A ∈ [an, bn]. De este modoA ∈

⋂n∈N In y la interseccion es no vacıa.

17

18 CAPITULO 3. CARDINALIDAD DE R

Ahora sı pasamos a la prueba del teorema sobre la cardinalidad de R.

Demostracion. Basta ver que un subconjunto I de R no es numerable. Consi-deremos el intervalo I = [0, 1] ⊂ R. Supongamos que I es numerable, es decir,podemos enlistar los elementos de I como x1, x2, . . . Hagamos la siguiente par-ticion de I:

I =[0,

13

]∪

[13,23

]∪

[23, 1

],

y tomemos x1. Claramente x1 no pertenece a alguno (por lo menos) de losintervalos en la particion de I. Llamemos I1 a dicho intervalo. Particionemosahora I1 en tres subintervalos como lo hicimos con I. Al considerar x2, existepor lo menos un subintervalo de I1 que no lo contiene; llamemos a este I2, yası sucesivamente. Por tanto se tiene que In no contiene a x1, x2 . . . , xn.

Consideremos ahora la familia de intervalos cerrados anidados Inn∈N queacabamos de definir. Por construccion tenemos que:⋂

n∈NIn = ∅

lo cual es una contradiccion con el lema 3.2. luego [0, 1] no es numerable y, portanto, tampoco R lo es.

De esta manera queda de manifiesto el que R tiene una cardinalidad mayorque la cardinalidad de los numeros naturales. Ahora surge la mas natural de laspreguntas ¿Que tan grande es es R en comparacion con N? Su cardinalidad es2ℵ0 .

Para la demostracion de este resultado se usamos la representacion de unnumero entre cero y uno en forma binaria. Con esta herramienta expondremosuna funcion entre el conjunto potencia de los naturales y el intervalo unitariode la recta real.

Tomemos un numero decimal entre cero y uno digamos x, su expresion ennotacion binaria es una secuencia de dıgitos escrita de la forma 0.x1x2x3 . . . ,donde xn ∈ 0, 1 que cumplen

x =∞∑n=0

xn2n.

Ası la expresion binaria para x = 0,7 sera x = 0,1011001 . . . .La funcion natural serıa la que toma la lista de dıgitos ceros y unos como

una funcion caracterıstica de un subconjunto de N: el conjunto que contieneal natural n si la n-esima cifra de la expansion binaria es un 1. O viceversa,numero real asociado a un conjunto tiene sus cifras binarias definidas por lafuncion caracterıstica de un subconjunto de N, lo cual se puede escribir comof : P(N) → [0, 1) tal que A 7→ f(A) = 0.x1x2x3 . . . donde cada cifra binariaesta dada por xn = χA(n).

Pero esta definicion no es del todo correcta puesto que se busca que sea bi-yectiva y tenemos el problema de que algunos numeros admiten dos expansiones

19

binarias diferentes. Por ejemplo 0,1 = 0,011111 . . . , con lo cual la funcion noserıa inyectiva.

Para solucionarlo definimos la funcion con un dominio nuevo pero con lamisma cardinalidad de P(N). Dicho conjunto sera

P(N) = P(N) \ F,

dondeF = A ⊂ N|A es finito .

Los argumentos expuestos en el apendice sobre cardinalidad muestran que elconjunto F tiene cardinalidad ℵ0 ya que

|F | =∑n∈N

2n = ℵ0.

Entonces tambien podemos argumentar que el conjunto P(N) tiene la mismacardinalidad que P(N), ya que P(N) y F son disjuntos y cumplen

P(N) ∪ F = P(N),

con lo cual tenemos la siguiente relacion de cardinalidades:

|P(N)|+ |F | = |P(N)|.

Pero, como |F | = ℵ0 es el menor de los cardinales infinitos verifica que la sumacon cualquier otro cardinal infinito (y desde luego |P(N)| lo es) lo absorbe, esdecir

|P(N)|+ |F | = |P(N)|,y queda probada nuestra afirmacion.

Hecha la discucion anterior exponemos el siguiente resultado.

Teorema 3.3. |R| = 2ℵ0

Demostracion. Definamos la siguiente funcion:

f : P(N) → (0, 1)A 7→ f(A) = 0.x1x2x3 . . .

donde cada cifra binaria esta dada por xn = χA(n). Probamos a continuacionque esta funcion es biyectiva.

i) Es suprayectiva pues consideremos un numero real x del intervalo (0, 1) ydemos su expansion binaria x = 0.x1x2x3 . . . , xn ∈ 0, 1. Por lo comen-tado anteriormente podemos dar una expansion binaria que no termine enuna cola de ceros, es decir tal que no existe N ∈ N de modo que xn = 0para todo n > N . En tal caso el conjunto

A = n ∈ N|xn = 1

no es finito y claramente cumple que su imagen bajo f es x.

20 CAPITULO 3. CARDINALIDAD DE R

ii) Es inyectiva ya que si A,B son subconjuntos de N tales que A 6= B enton-ces existe m tal que m ∈ A y m /∈ B (o al reves). Al evaluar en f tenemosque

f(A) = 0.x1x2x3 . . . , f(B) = 0.y1y2y3 . . . ,

donde xn = χA(n) mientras que yn = χB(n). Entonces es claro que xm 6=ym, luego f(A) 6= f(B).

Hecho lo anterior solo falta biyectar (0, 1) con R, lo cual se consigue, como essabido, mediante la funcion g(x) = tan(πx− π

2 ). Como f y g son biyectivas sucomposicion tambien lo sera con lo que concluimos que |R| = |P(N)| = 2ℵ0 .

Capıtulo 4

Algunos subconjuntosimportantes de R

El tema central de este capıtulo es escrutar algunos de los subconjuntos des-tacables de R, en el sentido de que son los que, en la practica, mas se usan.Analizaremos, en particular, la estructura algebraica que poseen como subcon-juntos de R con las operaciones usuales de suma y producto restringidas a ellos.

Empezamos estudiando los naturales, enteros y racionales. Observese que,puesto que finalmente dimos una definicion de R postulando simplemente suspropiedades, y rechazamos la construccion a partir de los racionales, ahora de-bemos realizar el trabajo de definir, a partir de R, los conjuntos N, Z y Q paramantener la coherencia. Para no dejarnos nada atras mostraremos que estos tresconjuntos tienen la misma cardinalidad: ℵ0, el menor cardinal infinito.

Despues de estos conjuntos que, en realidad, ya existıan sin la necesidadde inventar R pasamos a estudiar algunos conjuntos que nos permitan asomar-nos mejor a la verdadera naturaleza de los reales. A los numeros irracionales.Empezaremos despacio tambien, con los numeros construibles, para pasar en-seguida a los algebraicos. Con estos dos ejemplos constatamos que, aunque yaestamos adentrados en el mundo de los irracionales, apenas despegamos, porqueson conjuntos de nuevo con cardinalidad ℵ0, es decir, siguen siendo pequenos.

El siguiente paso es plantearse ya, directamente, cuales son todos los numerosque podemos utilizar en la practica. Es decir, aquellos que podemos calcular o,al menos, aproximar. Este conjunto lo llamamos de los numeros computables.Constataremos que, como los anteriores, tiene estructura de cuerpo ordenado.Sin embargo sigue siendo pequeno.

Como ultimo paso estudiamos que numeros reales podemos distinguir delresto mediante una definicion, aunque no podamos calcularlo. A estos los deno-minamos numeros definibles y, obviamente, es el ultimo paso, pues mas alla delo que podemos definir no podemos adentrarnos.

21

22 CAPITULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R

4.1. Los numeros naturales N.

Definiremos el conjunto de los naturales a partir de los conjuntos que satis-facen la propiedad esencial de aquel: la induccion. Por ello definimos primerolos conjuntos inductivos.

Definicion 4.1. Sea A un subconjunto de R. Diremos que A es inductivo si1 ∈ A y ademas, para todo x ∈ A se tiene que x+ 1 ∈ A.

Entonces definimos N como el menor de los conjuntos inductivos.

Definicion 4.2. Sea I la familia de todos los subconjuntos inductivos de R.Definimos

N =⋂A∈I

A.

Es claro de la definicion que N esta formado por el elemento 1 y por todonumero real que se puede expresar como una suma finita de 1 con sı mismo:1 + · · ·+ 1.

4.1.1. Estructura algebraica

Proposicion 4.3. N es cerrado bajo suma y producto.

Demostracion. Sean x, y elementos de N, entonces x = 1+ · · ·+1, y = 1+ · · ·+1y su suma, por la propiedad asociativa, tiene la forma

x+ y = 1 + · · ·+ 1 + 1 + · · ·+ 1,

luego esta en N.Para el producto hacemos uso de la propiedad distributiva, quedando patente

de nuevo que el producto de una suma finita de unos por otra suma finita deunos es, de nuevo, una suma finita de unos.

xy = (1 + · · ·+ 1)(1 + · · ·+ 1) = 1 + · · ·+ 1.

Por tanto las operaciones de suma y producto restringidas a N dan lugar auna estructura algebraica. Sin embargo no es muy rica ya que el cero no esta enN: por ejemplo el intervalo [1,∞) es un conjunto inductivo y no contiene a 0.Ası que N no tiene ni tan siquiera neutro respecto a la suma, mucho menosopuestos. Sı contiene a la identidad del producto, el 1, pero tampoco a ninguninverso (excepto el propio 1).

4.1.2. Cardinalidad de NPor definicion N tiene cardinalidad ℵ0, el cual es el menor de los cardinales

infinitos.

4.2. LOS NUMEROS ENTEROS 23

4.2. Los numeros enteros

Definiremos ahora el conjunto de los numeros enteros anadiendo a los natu-rales el cero y sus opuestos.

Definicion 4.4. Denotemos por −N el conjunto de los opuestos, en R, de losnumeros naturales. Entonces definimos el conjunto de los numeros enteros como

Z = −N ∪ 0 ∪ N.


Proposicion 4.5. Z es cerrado bajo suma y producto definidos en R.

Demostracion. Sean x, y elementos de Z, si x, y son ambos positivos todo sereduce al teorema anterior para su suma y producto. Si x, y son ambos negativostendremos por propiedades de distributividad en R

x+ y = −((−x) + (−y)),

donde tanto −x como −y son naturales, luego −(x + y) ∈ −N. Analogamentese demuestra que la suma de un positivo y un negativo es de nuevo un entero.La suma con el cero, siendo este el neutro de la suma, no plantea problemas.

Para el producto seguimos un razonamiento analogo. Si x, y son ambos ne-gativos tenemos xy = (−x)(−y), donde de nuevo (−x) y (−y) son naturales.Analogamente para el caso de uno positivo y otro negativo. El producto porcero claramente esta en Z.

Por tanto las operaciones suma y producto dan una estructura algebraicaa Z: es un anillo conmutativo con identidad. Efectivamente, a diferencia de losnaturales, en los enteros tenemos un neutro para la suma, 0, y opuestos paracada elemento por construccion. El resto de propiedades necesarias para seranillo se heredan de R directamente. No es cuerpo porque todos los elementos,excepto 1 y −1, carecen de inversos.

4.2.2. Cardinalidad de Z

Proposicion 4.6. Z tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. Por definicion tenemos |Z| = | − N ∪ 0 ∪ N|, pero los tresconjuntos del segundo miembro son disjuntos, luego |Z| = | −N|+ |0|+ |N| =ℵ0 + 1 + ℵ0 = ℵ0.

Un elemento que esta en Z pero no en N es por ejemplo el 0. Ası tenemosque la inclusion N ⊂ Z es propia.


4.3. Los numeros racionales

Definicion 4.7. Definimos el conjunto de los numeros racionales Q como losreales que se pueden expresar como un cociente de enteros:

Q =r ∈ R|∃a, b ∈ Z, r =

a

b

.


Proposicion 4.8. El conjunto Q es cerrado bajo la suma y el producto de R.

Demostracion. Sean r y s racionales. Entonces r = a1b1

y s = a2b2

, donde a1, a2, b1, b2son enteros. La suma y el producto se pueden expresar, respectivamente,

r + s =a1b2 + a2b1

b1b2, rs =

a1a2

b1b2

luego claramente r + s y rs son racionales.

Es claro que todo numero enterom puede verse en la forma m1 , luego tambien

son racionales.

4.3.2. Cardinalidad de QProposicion 4.9. El conjunto Q tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. Puesto que Q contiene a Z tenemos la desigualdad ℵ0 ≤ |Q|. Porotro lado, es claro que la cardinalidad de Q es menor o igual que la de Z × Zpues la funcion que asigna a cada racional la pareja (a, b) donde a

b es la fraccionirreducible que representa al racional, es inyectiva. Pero |Z × Z| = ℵ0ℵ0 = ℵ0.Por tanto |Q| ≤ ℵ0.

De ambas desigualdades concluimos |Q| = ℵ0.

Un elemento que esta en Q pero no en Z es, por ejemplo, 12 , lo cual muestra

que Z ⊂ Q es una contencion propia.

4.4. Los numeros construibles

En esta seccion nos adentramos ya en el mundo de los irracionales de lamano de problemas clasicos de la geometrıa euclıdea. Los inicios el estudio delos irracionales estan, efectivamente, en la geometrıa, pues los antiguos griegospensaban que todos los numeros debıan poderse construir con regla y compas.Ası aparecen numeros que se pueden construir facilmente, como

√2, y que sin

embargo no eran racionales.

Definicion 4.10. Dado un segmento de recta que llamaremos unidad, se diceque un numero α ∈ R es construible si podemos construir un segmento de rectade longitud |α| mediante trazos con regla y compas.

Denotamos B al conjunto de los numeros construibles.

4.4. LOS NUMEROS CONSTRUIBLES 25

Notese que en esta definicion los trazos permitidos toman sentido en el entornode la geometrıa euclıdea.


Iniciemos, como en los casos anteriores, viendo que B es un conjunto cerradobajo las operaciones de R, para lo cual haremos uso de la siguiente propiedad,trivial, pero de suma importancia.

Lema 4.11. Si α es un numero construible, −α tambien lo es.

Demostracion. Al contar con un segmento de magnitud |α| contamos tambiencon un segmento de magnitud | − α|.

Ahora podemos ver que B es un subcuerpo de R.

Teorema 4.12. El conjunto B es un subcuerpo de R.

Demostracion. Es obvio que 0 es un numero construible considerando un puntogeometrico como un segmento de longitud 0. Sean ahora α y β numeros cons-truibles y supongamos que |β| < |α|. Sea OA un segmento de longitud |α|.Ahora sobre dicho segmento construimos otro de origen O y longitud |β|, cuyopunto final llamamos B. Es claro entonces que el segmento BA tiene magnitud|α− β|, luego α− β es construible y queda probado que B es subgrupo aditivo.

Para el producto consideremos los mismos dos numeros construibles, asu-miendo ahora que no son cero. La figura 4.1 muestra una construccion del seg-mento AE, de longitud |α| y, sobre la misma recta, el segmento AG, de longitud1. El segmento AD, de longitud |β|, esta sobre una recta adyacente. Entonces,por el teorema de Thales, tenemos la siguiente relacion:

α

β=

1AF

,

de donde el segmento AF tiene longitud βα . Por tanto queda probado que B\0

es subgrupo multiplicativo de R \ 0.Con ambos resultados queda probado que B es subcuerpo de R.

Notese que Q esta contenido en B, pues es el menor subcuerpo de R.Ahora estamos en vısperas de conocer de manera mas precisa a los elementos

que forman parte del conjunto en cuestion. Para esto procederemos de maneraanalıtica para llevar a efecto la construccion de cualquier numero construible.

Imaginemos un plano cartesiano donde solo tienen vida los pares ordenadosde numeros racionales. Entonces cualquier otro punto que podamos localizar enel plano utilizando regla y compas puede localizarse de la siguente manera.

a) Como interseccion de dos rectas, donde cada una pasa por dos puntos concoordenadas racionales.


Figura 4.1: Construccion para probar que B∗ es subgrupo multiplicativo de R∗.

b) Como interseccion de una recta que pasa por dos puntos con coordenadasracionales y una circunferencia cuyo centro tiene coordenadas construibles,y el cuadrado de su radio es racional.

c) Como interseccion de dos cırculos cuyos centros tiene coordenadas racio-nales y los cuadrados de sus radios son racionales.

La ecuacion de una recta en el plano es ax+by+c = 0, mientras que la ecuacionde una circunferencia en el plano es ax2 + by2 + cx + dy + e = 0. Por tantoen el primero de los casos, una solucion simultanea de dos ecuaciones linealessolo puede dar valores racionales de x y y, con lo cual no se obtienen puntosnuevos, pues Q es cerrado bajo suma y producto. El tercer caso puede reducirsea la interseccion de una recta (cuerda comun a ambas circunferencias) y unade las circunferencias. Analicemos pues el segundo caso, donde la busqueda deuna solucion conduce, mediante susutitucion, a una ecuacion cuadratica y asoluciones que seran raıces cuadradas de numeros racionales.

De ahı surge la necesidad de exponer el siguiente resultado.

Lema 4.13. La raız cuadrada de un numero construible es construible.

Demostracion. Dado α ∈ B, podemos construir el segmento de magnitud |α|con extremos A y B. Llamemos C al punto tal que, al prolongar el segmentoAB hasta AC tenga magnitud |α| + 1. Obteniendo el punto medio de dichosegmento, podemos trazar una semicircunferencia de radio |α|+1

2 , de manera

4.4. LOS NUMEROS CONSTRUIBLES 27

que los extremos de dicha curva sean A y C. Eregimos una perpendicular desdeel punto B hasta cortar la circunferencia, llamando a este punto D. Luego eltriangulo ABD es semejante con el triangulo ACD, por tanto

AB

1=

α

AB,

de donde AB =√α.

Ası los numeros contruibles se pueden obtener intersectando rectas que pa-san por puntos de coordenadas construibles, e intersectando circunferencias concentro de coordenadas construibles, y radio construible, con rectas de coorde-nadas construibles.

Dado el razonamiento anterior tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.14. El cuerpo B consta, precisamente, de todos los numeros realesque podemos obtener de Q, tomando raıces cuadradas de numeros positivos unnumero finito de veces y aplicando un numero finito de operaciones de cuerpo.

Demostracion. Los numeros racionales son construibles. Suma de numeros ra-cionales es construible, la raız cuadrada de un numero racional es construible, ylos unicos elementos de B que no estan en Q son las raıces cuadradas de numerosracionales.

Corolario 4.15. Si α ∈ B pero α /∈ Q entonces existe una secuencia de numerosconstruibles γ1, γ2, . . . , γn = α tal que Q(γ1, γ2, . . . , γn) es una extension deQ(γ1, γ2, . . . , γn−1) de grado 2. En particular [Q(α) : Q] = 2r (donde [Q(α) : Q]denota la dimension de Q(α) sobre Q como espacio vectorial) para algun enteror.

4.4.2. Cardinalidad de BTeorema 4.16. B tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. Llamemos√

Q+ al conjunto de las raıces cuadradas de numerosracionales mayores o iguales a cero. Este conjunto tiene la misma cardinalidadque Q+, la cual es ℵ0.

Sea (√

Q+)n = (α)1

2n |α ∈√

Q+ el cual tambien tiene cardinalidad ℵ0;Construyamos el conjunto

A =⋃i∈N

(√

Q+)i,

el cual tambien tiene cardinalidad ℵ0 por ser union numerable de conjuntosnumerables. Ahora concideremos el conjunto de los inversos aditivos de dichoconjunto, denotado por A.

En virtud del teorema anterior

B = ∑i,j∈N

a1a2 · · · ai|ai ∈ A ∪ −A.

Luego |B| = ℵ0, pues vuelve a ser una suma numerable de cantidades numera-bles.


4.5. Los numeros algebraicos

Con los ejemplos de la seccion anterior ha quedado manifiesta la pauta queabre el camino para el estudio de otro subconjunto de R caracterıstico por sucardinalidad, y aun mas porque nos acerca a un concepto de renombre en lateorıa del algebra (el concepto de clausura algebraica de un cuerpo sobre unaextension de el): el conjunto de los numeros algebraicos.

En el presente capitulo mostraremos que este conjunto es un subcuerpo deR que contiene a B, y ademas tiene cardinalidad ℵ0.

Definicion 4.17. α ∈ R es algebraico (sobre Q) si es raız de un polinomio nonulo con coeficientes en Q.

El conjunto de todos los reales algebraicos lo denotamos A.

Recordando el teorema 4.14 de la seccion anterior, es facil ver que todonumero construible es algebraico, debido a que los elementos de B se obtienena partir de una cantidad finita de operaciones de campo de elmentos de Q ytomando un numero finito de raıces cuadradas. Pretendiendo obtener el polino-mio pα(x) para el cual α es raız, basta hacer las operaciones de manera inversaque se efectuaron para construir α.


Definicion 4.18. Un cuerpo de extension E de un cuerpo F es una extensionalgebraica de F si todo elemento de E es algebraico sobre F .

Definicion 4.19. Un cuerpo de extension E de un cuerpo F es una extensionfinita, si E es de dimension finita como espacio vectorial sobre F .

Teorema 4.20. Un cuerpo de extension finita E de un cuerpo F es una exten-sion algebraica de F .

Demostracion. Si dimFE = n y α pertenece a E pero no a F , entonces 1, α, α2, . . . αnes un conjunto linealmente dependiente, de manera que existen ai ∈ F , i =1, 2, . . . , n tales que:

0 =n∑i=1

aiαi

con ai 6= 0 para algunos ındices. Luego

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 · · ·+ anx

n

es un polinomio no nulo con coeficientes en F tal que p(α) = 0.

Con las herramientas anteriores vamos a probar que el conjunto de todos losnumeros reales algebraicos es un subcuerpo de R. En realidad es un resultadomas general que se puede probar para cualquier extension de un cuerpo. Loanterior es una tarea difıcil si nos empenamos en exhibir polinomios para loscuales α+β, αβ,αβ sean raıces, pero con las definiciones y el teorema anteriores,es facil probar el siguiente resultado.

4.5. LOS NUMEROS ALGEBRAICOS 29

Teorema 4.21. Sea E un cuerpo de extension de F . Entonces

FE = α ∈ E|α es algebraico sobre F

es un subcuerpo de E, a saber, la clausura algebraica de F en E.

Demostracion. Sean α, β ∈ FE . Entonces F (α, β) es una extension finita de F ,y por el teorema 4.20 todo elemento de F (α, β) es algebraico sobre F .

Corolario 4.22. El conjunto A de todos los numeros reales algebraicos sobreQ es un subcuerpo de R.

Demostracion. La demostracion se sigue del teorema 4.21 pues el conjunto delos numeros reales algebraicos es la clausura algebraica de Q sobre R.

4.5.2. Cardinalidad de AComo ya hemos comentado B ⊂ A pero, ¿que tan grande es A, en cuanto

a cardinalidades, con respecto a B? En la presente seccion mostramos que lacardinalidad de A es, de nuevo, ℵ0.

De la definicion de numero algebraico sabemos que para cada elemento deA existe un polinomio p(x) con coeficientes en Q, tal que p(α) = 0. Entoncesbasta con saber cuantos polinomios con coeficientes racionales existen para sabercuantos elementos algebraicos hay.

Teorema 4.23. El conjunto A tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. Consideremos el siguiente conjunto

Pn = p(x) ∈ Q[x]|p(x) es de grado n.

Un elemento de este conjunto es de la forma

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n,

con an 6= 0.Cada coeficiente ai, i = 1, . . . , n toma valores en Q, es decir, ℵ0 posibilidades.

Por tanto, en virtud del teorema A.3, |Pn| = ℵ0.La union de estos conjuntos resulta en el conjunto de todos los polinomios

con coeficientes en QQ[x] =

⋃n∈N

Pn,

donde la union es disjunta. Por otro lado, un polinomio de grado n tiene, a losumo, n raıces, por tanto tenemos la siguiente desigualdad

|A| ≤∑n∈N

n|Pn|.

Pero el segundo miembro es una suma numerable de cantidades numerables,luego es numerable. Tenemos ası que |A| ≤ ℵ0.

Claramente ℵ0 ≤ |A| puesto que A contiene a Q. Por tanto concluimos|A| = ℵ0.


Sin embargo, para comprobar que el conjunto de los algebraicos es, en ver-dad, una extension propia de los construibles recordamos unos de los problemasclasicos de la geometrıa griega que no se pudo resolver hasta la llegada de lateorıa algebraica moderna.

Teorema 4.24. Es imposible duplicar el cubo, es decir: dado el lado de un cubo,no es posible construir, con regla y compas , el lado de un cubo que tenga el dobledel volumen del cubo original.

Demostracion. Sea el cubo de lado 1 y, por tanto, de volumen 1. El cubo quese busca debe tener volumen 2 y, por tanto cada uno de sus lados debe ser delongitud 3

√2, pero dicho numero es raız del polinomio p(x) = x3 − 2, que es

irreducible sobre Q, de manera que

[Q( 3√

2) : Q] = 3.

En virtud del corolario 4.15 deberia existir un numero n tal que 3 = 2n, lo cualno es ocurre.

Ası, 3√

2 es un numero algebraico pero no construible, luego la inclusionB ⊂ A es propia.

4.6. Los numeros computables

El conjunto de los numeros algebraicos agota las posibilidades de identifi-car numeros reales a partir de los numeros elementales (naturales, enteros yracionales) y operaciones algebraicas. Sin embargo sabemos que hay muchosmas numeros con los que trabajamos habitualmente y que son muy accesibles.Un ejemplo de tal elemento es el numero e. En [7] se prueba que es un nume-ro trascendente, es decir, no algebraico. Sin embargo, si tomamos su definicioncomo

e = lım(

1 +1n

)n,

tenemos en la sucesion una forma de calcular el numero con toda la precisionque deseemos; basta elegir n suficientemente grande.

Dicho de otra manera tenemos un “algoritmo” que nos permite saber conprecision la n-esima cifra de la expansion decimal de e. Esta es la definicionintuitiva del concepto de numero computable. Para el estudio riguroso de estetipo de objetos es necesario precisar algunos conceptos clave, especialmente elde algoritmo.

4.6.1. Maquina de Turing

Introducida por Alan Turing, la maquina de Turing (en adelante la llama-remos T) es un objeto matematico que formaliza el concepto de algoritmo.Intentando dar una explicaion al problema planetado por Hilbert sobre si lamatematicas son decidibles o no (en otras palabras, si existe un metodo que

4.6. LOS NUMEROS COMPUTABLES 31

nos permita saber si una sentencia matematica es verdadera o falsa), Turingformalizo su idea en las maquinas T, probando la existencia de problemas quedichas maquinas no podıan resolver.

Una maquina T consta de un cabezal y una cinta infinita dividida en cel-das, cada una de la cuales puede contener un sımbolo dentro de un alfabeto oestar en blanco. La maquina puede llevar a cabo cuatro operaciones: moversea la izquierda o la derecha, escribir un sımbolo o borrarlo. Con estos simplesmovimientos Turing probo que cualquier problema que involucre una secuenciade pasos para resolverlo, puede ser codificado por una de estas maquinas. Sinembargo, dicho problema puede tener o no solucion.

Para que la maquina pueda realizar sus movimientos necesitan de un apoyoauxiliar; unas instrucciones que le ordenen como hacer su trabajo dada una en-trada inicial para la maquina. Pero dada una maquina con estados, un alfabeto,una entrada inicial y las intrucciones de como ejecutar su tarea ¿el proceso quelleva acabo con una determinada entrada finaliza en algun momento? Que elproceso finalize y entrege un resultado es deseable como una de las propiedadesde las maquinas T.

De manera mas formal definimos las maquinas de Turing a continuacion.

Definicion 4.25. Una maquina T es una quıntupla

T = (Q, q0,Γ, b, δ),

donde Q es un conjunto finito de estados y q0 ∈ Q es el estado inicial de lamaquina, Γ es un conjunto finito de sımbolos llamado alfabeto y b es un sımblodenominado blanco. Por ultimo, δ es llamada la funcion de transicion:

δ : Q× Γ −→ Q× Γ× L,R⋃Halt.

Esta funcion de transicion es la serie de instrucciones de la maquina parapoder llevar a cabo su funcion. Halt es la instrucion que le indica a la maquinadetenerse.

Notese que la entrada inical de la maquina se codifica en terminos del alfabetoque posee la maquina.

Veamos un ejemplo concreto de una maquina con dos estados y un alfabetode un sımbolo (mas el blanco). Con Q = q0, q1, Γ = b, 1, definamos unamaquina T dando la siguiente funcion de transicion.

δ : Q× Γ −→ Q× Γ× L,R⋃Halt

(q0, 1) 7→ (q0, b, R)(q0, b) 7→ (q1, 1, R)(q1, b) 7→ (q0, b, R)(q1, 1) 7→ Halt

Suponiendo que la entrada inicial se codifica con el alfabeto dado en un solosımbolo 1 escrito en la cinta, y que el cabezal esta sobre esa celda, la maquinadescrita con la funcion de transicion anterior no termina su proceso. El proceso


que describe es: estando en el estado inicial q0 y con el cabezal sobre la celdaque contiene el sımbolo 1 esta permanece en el estado q0, escribe sobre la celdael sımbolo blanco y se mueve a la derecha; allı leera un simbolo b, entoncescambiara al estado q1 y escribira sobre la celda un sımbolo 1 y se movera a laderecha, entonces vovera al estado q0 y leera un sımbolo b. Esta maquina no sedentendra a pesar de que en la imagen de su funcion de transicion se encuentrela instruccion Halt.

Figura 4.2: Maquina de Turing que no se detiene.

Otro ejemplo de maquina T es el siguiente en que la maquina tiene un soloestado Q = q0 y el mismo alfabeto que antes, Γ = b, 1. La funcion detransicion es


(q0, b) 7→ Halt(q0, 1) 7→ (q0, 1, R)

Suponiendo que la entrada inicial se codifica con el alfabeto dado en una secuen-cia finita de 1 escritos en la cinta, y que el cabezal se encuentra sobre un celdaque contiene un 1, esta maquina describe el siguiente proceso: el cabezal estandoen el estado inicial q0 lee el sımbolo 1, escribe sobre esa celda el sımbolo blanco,permanece en el estado q0 y se mueve a la derecha. Se detendra cuando lea unsımbolo blanco. Esta es una maquina T que borra los datos que se encuentrahasta que lee un sımbolo blanco.

Figura 4.3: Maquina de Turing que borra entradas hasta encontrar un blanco

Es claro que en una maquina T el proceso que lleva a cabo se detendra enalgun momento dependiendo de la entrada, y mas aun de la funcion de tran-sicion. En los ejemplos anteriores pudimos definir dos funciones de transiciondistintas, y por ende dos maquinas distintas. Cada funcion de transicion defineuna maquina distinta, y estas dependen de los sımbolos con que las definamosentonces ¿cuantas maquinas T existen?


Proposicion 4.26. El conjunto de las maquinas T tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. Para Q,Γ dados si |Q| = n y |Γ| = m las posibles funciones detrasicion seran:

|Q× Γ||Q×Γ×L,RSHalt| = nm2nm+1.

Como Q y Γ siempre son conjuntos finitos el total de maquinas T sera∑n∈N

∑m∈N

nm2nm+1 = ℵ0.

Las maquinas T permiten definir el concepto de funcion computable comoaquella que puede ser calculada por una maquina.

Definicion 4.27. Una funcion f : N −→ N es computable si existe una maquinaT tal que para todo n en el dominio de f , la maquina T con el dato inicial n sedetiene arrojando como resultado f(n).

Un ejemplo de funcion computable es el siguiente.

f : N −→ Nn 7→ n+ 1.

Una maquina T que computa la funcion f anterior es la que tiene un solo estadoQ = q0, el alfabeto Γ = b, 0, 1 y la funcion de transicion


(q0, b) 7→ (q0, 1, R)(q0, 1) 7→ (q0, 1, R)(q0, 0) 7→ Halt

Si la entrada inicial n se codifica en n unos en la cinta a la derecha del lugar endonde se encuentra el cabezal seguidos de un 0, lo que se obtiene al ejecutar lainstruccion Halt es una cinta con n + 1 unos escritos a la derecha del cabezal,lo cual se puede recodificar segun el alfabeto en el numero n+ 1.

Figura 4.4: Maquina de Turing que calcula el sucesor de un natural

Si bien tenemos funciones computables, tambien hay otras que no lo son,como el caso que a continuacion exponemos, conocido como el famoso problema


de la parada de las maquinas T . Supongamos que existe una maquina T que dicesi una de estas maquinas se detiene al introducirle una cierta entrada. Utilizandoel hecho de la numerabilidad de conjunto de las maquinas T numeremoslas yllamemos a la maquina con numero i, Mi. Por otro lado, la entrada inicial debeser una cadena finita de caracteres del alfabeto, con lo cual la cantidad de talesentradas tambien es numerable. Ası denotamos Mi(j) a la maquina i con laentrada j. Definamos la funcion h : N× N → N dada por

h(i, j) =

2, si Mi(j) se detiene,1, en otro caso.

Ahora sea f : N×N −→ N una funcion computable arbitraria. Probaremos queh es diferente de f , con lo cual h no puede ser una funcion computable. Paraello definamos una funcion auxiliar, g : N −→ N dada por

g(i) =

1, si f(i, i) = 1,

no definido en otro caso,

la cual es claramente computable. Por tanto le corresponde una maquina T , di-gamos Mn. Al evaluar g(n), es decir Mn(n), tenemos que si f(n, n) = 1 entoncesh(n, n) = 2. Por otro lado si f(n, n) no es 1 tenemos entonces que h(n, n) = 1,luego h 6= f para cualquier f .

4.6.2. Numeros computables

Todo lo discutido en la seccion anterior nos da las herramientas necesariaspara poder definir numero computable.

Definicion 4.28. Una sucesion qn de numeros racionales es computable siexiste una funcion f computable tal que ∀n ∈ N, f(n) = qn

Definicion 4.29. Un numero α ∈ R es computable si existe una sucesion qncomputable de racionales tal que

|α− qn| ≤12n.

En las definiciones anteriores la funcion computable f referida se conocecomo funcion de aproximacion para el numero α. Y su naturaleza esta siempreligada a una maquina T .

Con base en la idea intuitiva que presentamos al inicio de la seccion 4.6 dadosdos numeros reales para los cuales poseemos algoritmos (en adelante algoritmosera para nosotros sinonimo de maquina T ) para conocer la n-esima cifra de suexpansion binaria, podemos conocer la n-esima cifra de la expasion binaria desu suma y producto, ası como de su division siempre y cuando el dividendo seano nulo. Lo cual nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 4.30. El conjunto de los numeros computables T es un subcuerpo deR.


La prueba de este teorema y los que siguen se va a presentar con ciertainformalidad pues las pruebas completas exigen un grado de inmersion en lateorıa de la computabilidad que esta fuera del objetivo de esta tesis. Todas laspruebas hacen uso intensivo de un famoso resultado conocido como teorema s-m-n el cual enunciamos informalmente. Numeremos las funciones computablesy denotemoslas por fj . Dada una funcion computable de dos variables, g :N × N → N : (x, y) 7→ g(x, y) debe tener un numero en la lista de funcionescomputables, digamos k. Si ahora fijamos la primera variable, x, obtenemos unanueva funcion computable N → N : y 7→ g(x, y). El teorema s-m-n afirma queexiste una funcion computable s (de hecho, recursiva primitiva) tal que numeros(k, x) da la funcion computable que corresponde a g(x, ·), es decir para todo yen el dominio de g(x, ·) se tiene g(x, y) = fs(k,x)(y). El teorema se enuncia contoda generalidad para una funcion g de m + n variables, de las cuales se fijanlas m primeras obteniendose una nueva funcion computable de las n variablesrestantes. Entonces existe una funcion computable smn que da el numero de dichafuncion computable.

Asumiendo este resultado pasamos a probar el teorema anterior.

Demostracion. Sean α, β numeros computables y fi, fj funciones de aproxima-cion para α, β.

Procederemos primero mostrando que la suma de numeros computables escomputable.

|α+ β − (fi(k) + fj(k))| = |α− fi(k) + β − fj(k)|≤ |α− fi(k)|+ |β − fj(k)|

≤ 12k−1

.

Consideremos la siguiente funcion computable Ψ : N −→ N donde Ψ(n) es elmenor natural k que satisface 1

2k−1 ≤ 12n . Entonces la funcion f : N −→ N dada

porf(n) = fi(Ψ(n)) + fj(Ψ(n))

es computable. El teorema s-m-n da el numero l que corresponde a la funcioncomputable que verifica

fl(Ψ(n)) = f(n).

Ahora probaremos que fl(Ψ(n)) es un algoritmo para α+ β.

|α+ β − fl(Ψ(n))| = |α+ β − (fi(Ψ(n)) + fj(Ψ(n)))|

≤ 12Ψ(n)−1

≤ 12n.

Para la resta se puede hacer un procedimiento analogo. Vamos ahora con el


producto.

|αβ − fi(k)fj(k)| ≤ |α− fi(k)||β|+ |β − fj(k)||fi(k)|

≤ 1 + |fj(k)|+ |fi(k)|2k

.

Consideremos la funcion computable Ψ : N3 −→ N donde Ψ(i, j, n) es el menork ∈ N tal que 1+|fj(k)|+|fi(k)|

2k ≤ 12n .

Como

1 + |fj(k)|+ |fi(k)| ≤ 1 + (|α|+ 12k

) + (|β|+ 12k

) ≤ |α|+ |β|+ 3,

se tiene que

limk→∞1 + |fj(k)|+ |fi(k)|

2k= 0.

Luego, Ψ es una funcion computable y, con ella, tambien la funcion H : N3 −→Q, dada por

H(i, j, n) = fi(Ψ(i, j, n))fj(Ψ(i, j, n)).

De nuevo el teorema s-m-n existe una funcion computable s : N2 −→ N tal quepar todo n

fs(i,j)(n) = H(i, j, n).

Solo falta probar que fs(i,j) es un codigo para αβ.En efecto

|αβ − fs(i,j)| = |αβ − fi(Ψ(i, j, n))fj(Ψ(i, j, n))|

≤ 1 + |fi(Ψ(i, j, n))|+ |fj(Ψ(i, j, n))|2Ψ(i,j,n)

≤ 12n.

Para probar que el cociente de numeros computables es computable basta probarque si α es un numero computable no nulo, 1

α tambien lo es.Sean α un numero real computable no nulo y fe una funcion computable para

α. Teniendo presente la numeracion de las funciones computables fm : N −→ Ndefinamos ψ : N2 −→ N por

ψ(m,n) =

1

2fe(m)+n−2 , si 2fe(m) + n− 2 es no nulo,

no definido, en otro caso.

Aplicando el teorema s-m-n existe una funcion computable s : N −→ N tal quefs(m)(n) = Ψ(m,n). Como α 6= 0, existe k0 tal que 5

2k0≤ |α|. Luego

|fe(k0)| ≥ |α| − 12k0

≥ 52k0

− 12k0

,


lo cual define ψ(e). Ademas, para todo k ≤ ψ(e) se tiene:

|fe(k)| ≥ |fe(ψ(e))| − |α− fe(ψ(e))| − |α− fe(k)|

≥ 12ψ(e)−2

− 12ψ(e)

− 12ψ(e)

=1

2ψ(e)−1.

Por tanto1

2ψ(e)−2≤ lımk→∞

|fe(k)| = α

y1|α|

≤ 2ψ(e)−1.

Dado que ψ(e) ≥ 2, para cada n ∈ N se tiene que 2ψ(e) + n − 2 ≥ ψ(e) y, portanto,

0 <1

2ψ(e)−1≤ |fe(2ψ(e) + n− 2)|.

Luego fs(e)(n) = Ψ(e, n) esta definido y satisface

| 1α− fs(e)(n)| =

|α− fe(2ψ(e) + n− 2)||α||fe(2ψ(e) + n− 2)|

≤ 2ψ(e)−12ψ(e)−1

22ψ(e)+n−2=

12n

lo cual muestra que fs(e) es una funcion de aproximacion para 1α .

Probado lo anterior, y para seguir con la filosofıa de este estudio, mostra-remos que A ⊂ T. Para ello es necesario probar previamente los siguientesresultados.

Lema 4.31. Existe un algoritmo que, aplicado a α, β ∈ T tales que α 6= β,decide si α < β.

Demostracion. Dado que α < β si, y solo si 0 < β − α basta probar que existeun algoritmo que aplicado a un numero computable, decide si este es positivo onegativo. Sea fe una funcion de aproximacion para el numero α 6= 0. Aplicamosel algoritmo que describimos a continuacion.

1. Genere el menor n tal que |fe(n+ 1)| > 12n+1 .

2. Si fe(n+ 1) > 0, escriba entonces “el numero es positivo” y pare; en casocontrario escriba “el numero es negativo” y pare.

Como α 6= 0, existe n0 tal que |α| > 12n0 . Ademas |α − fe(n0 + 1)| ≤ 1

2−n0−1

implica que

|fe(n0 + 1)| ≥ |α| − 12n0+1

>1

2n0− 1

2n0+1

=1

2n0+1.


Ahora, notemos que

−12n+1

≤ α− fe(n+ 1) ≤ 12n+1

.

Si fe(n+ 1) > 0, tenemos

α ≥ fe(n+ 1)− 12n+1

>1

2n+1− 1

2n+1= 0.

En forma analoga, si fe < 0, entonces α < 0. Luego el procedimiento anteriores un algoritmo para saber si α es un numero positivo o negativo.

Con lo anterior hemos probado que T es un conjunto ordenado. Considere-mos ahora el teorema del valor medio para el caso del subcuerpo de los numeroscomputables con el objetivo de, posteriormente, localizar las raıces de polino-mios, es decir, los numeros algebraicos.

Teorema 4.32. Sean p(x) ∈ T[x] y α, β ∈ T tales que p(α)p(β) < 0. Si p(x) esmonotono en el intervalo [α, β] existe un unico γ ∈ T tal que p(γ) = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad supongamos que p(x) es crecienteen el intervalo [α, β]. Por el teorema del valor intermedio existe γ ∈ R tal quep(γ) = 0, ahora veamos que γ ∈ T.

Sea a1 = α+β2 , consideremos los subintervalos [α, a1]y [a1, β] y sus correspon-

dientes puntos medios. Llevando a cabo este proceso obtenemos una familia desubintervalos de [α, β]. Sea D = α, β, a1, a2.... Es claro que D ⊂ T. Si γ ∈ Del teorema queda probado; si no es ası se tiene que para todo d ∈ D p(d) 6= 0.Considerese en tal caso el siguiente algoritmo.

1. Haga L = α, y R = β.

2. Para k desde 1 hasta n haga ak = L+R2 y calcule p(αk) si p(αk) < 0.

entonces haga L = αk si no haga R = αk.

3. Genere αn.

Es claro que αn ∈ D y que

|αn − γ| ≤ |α− β|2n

.

Por tanto αn∞n=1 es una sucesion de numeros computables qua converge a γ.Luego γ es un numero computable.

Hemos ya reunido los elementos suficientes que nos conducen a uno de lospuntos claves en esta seccion: probar que todo numero algebraico es computable.

Teorema 4.33. Todo numero algebraico es computable.


Demostracion. Sea α ∈ A; entonces existe p(x) ∈ Q[x] tal que p(α) = 0. Porinducion sobre el grado del polinomio probaremos que todo numero algebraicoen el intervalo [a, b], el cual contiene las raıces de p(x), es computable. Notemosque si p(x) ∈ Q[x] y p(α = 0) entonces existe q(x) ∈ Z tal que q(α) = 0. Si elgrado de q es n = 1, q(x) = lx + m con l,m ∈ Z y en este caso es claro queα ∈ T.

Supongamos ahora que para todo polinomio con grado menor que n se cum-ple que que sus raıces son computables. Sea p(x) con grado n. La deriva dep(x), p′(x), tiene grado n − 1 y, por hıpotesis de induccion, las raıces en [a, b]son computables y se pueden ordenar de la siguiente manera:

α0 = a < α2 < ...αn−2 < αn−1 = b.

Luego si α ∈ [a, b] entonces existe k tal que α ∈ [αk, αk+1]. Aplicando el teorema4.32 se tiene que α es computable.

Presentamos ahora un numero que no es algebraico pero sı computable,conocido como la constante de Liouville, para lo cual algunas definiciones yresultados son necesarios antes de definirlo.

Definicion 4.34. Un numero de Liouville es un numero real α tal que ∀n ∈ Nexisten enteros p, q, con q > 1, tales que

0 < |α− p

q| < 1

qn.

A continuacion probamos que efectivamente un numero de Liouville no esalgebraico.

Proposicion 4.35. Sea α un numero irracional raız de un polinomio f(x) degrado n > 0 con coeficientes enteros. Entonces existe un numero real a > 0 talque ∀p, q ∈ N, con q > 0, se tiene que

|α− p

q| > a

qn.

Demostracion. Procederemos por contradiccion. Sean M el valor maximo de|f ′(x)| en el intervalo [α− 1, α+ 1] y α1, α2, ..., αm las otras raıces de f(x).

Sea a > 0 tal que:

a < mın1, 1M, |α− α1|, |α− α2|, ..., |α− αm|.

Supongamos que existen p, q para los cuales el lema no se cumple, es decir

|α− p

q| 5 a

qn5 a 5 mın1, 1

M, |α− α1|, |α− α2|, ..., |α− αm|.

Entonces pq ∈ [α− 1, α+ 1], ademas p

q 6= α1, α2, ..., αm, por tanto no es raız def(x). Tampoco hay raıces entre α y p

q .Por el teorema del valor medio, existe x0 entre p

q y α tal que:


f(α)− f(pq ) = (α− pq )f

′(x0).

Puesto que α es raız pero no pq , se tiene que |f ′(x0)| > 0 entonces

|α− p

q| = |

f(pq )

f ′(x0)|.

Sabemos que f(x) es de la forma∑ni=0 cix

i, con ci ∈ Z entonces:

|f(p

q)| = |

n∑i=0

cipiq−i|

=∑ni=0 cip

iqn−i

qn

=1qn.

Dado que f ′(x) ≤M y 1M ≥ a por definicion, tenemos que

|α− p

q| = |

f(pq )

f ′(x0)|

=1

Mqn

>a

qn

= |α− p

q|,

lo cual es una contradiccion.

Corolario 4.36. Sea α un numero de Liouville, entonces α es irracional.

Demostracion. Procederemos por contradiccion.Si α es algebraico existen n un entero y un numero real a > 0 tal que para

todo p, q|α− p

q| > a

qn.

Sea m un entero tal que 12m ≥ a. Tomando l = m + n existen h, k con k > 1,

tales que

|a− h

k| < 1

kl

=1

km+n

=1

kmkn

<1

2mkn

<a

kn

4.7. DEFINIBLES 41

lo cual contradice el teorema anterior.

Ahora consideremos el siguiente numero

c =∞∑i=1

10−j!.

con pn =∑∞i=1 10n!−j! y qn = 10n!, c es un numero de Liouville. Como hemos

visto c es un numero computable pues existe un algoritmo para calcularlo sinembargo, como se demostro, no es algebraico.

Hasta ahora hemos probado que el conjunto de los numeros algebraicos esun subconjunto propio de los numeros computables por tanto |T| ≥ ℵ0; pero¿que tan grande es T?

Teorema 4.37. La cardinalidad de T es ℵ0.

Demostracion. Cada numero computable es definido por un funcon de apro-ximacion que es computable. Cada funcion computable esta definida por unamaquina T . El conjunto de las maquinas T tiene cardinalidad ℵ0, pero no todamaquina T define una funcion computable (las maquinas que no paran). Luego|T| ≤ ℵ0 y, finalmente |T| = ℵ0.

4.7. Definibles

Despues de la seccion anterior vemos que solo de una cantidad ınfima de losnumeros reales podemos calcular su valor o, al menos, dar una aproximacion:solo una cantidad numerable. Pensando en el resto de numeros reales llevamosla pregunta hasta el extremo: aunque no los podamos calcular o aproximar,¿podemos al menos definirlos? Es decir, podemos aislar cada numero real paradistinguirlo del resto de reales. Obviamente cada numero natural puede serdistinguido, pues tenemos un sımbolo para cada uno de ellos (la numeracionque aprendemos de ninos), con lo cual tambien cada numero entero y cadaracional. De hecho veremos mas abajo que todos los computables caen en estegrupo de forma natural. Pero nuestra pregunta es si podemos hacer esto contodos y cada uno de los reales. Porque, de no ser ası, ¿que pasararıa con losreales que no podemos definir?

Para discutir estas ideas es necesario acotar bien que entendemos por “defi-nir” un numero real.

Consideremos los conectivos logicos ∧,∨,¬, cuantificadores ∀,∃, separadores(, ) y el sımbolo de la teorıa de conjuntos ∈. Tambien consideramos una familianumerable de formulas atomicas (o constantes) p1, p2, . . . . Uniendolo todotenemos el alfabeto A. Sea Σ el conjunto de todas las formulas que podemosformar tomando cadenas finitas de sımbolos de A. Consideraremos la teorıa deconjuntos ZFC (por Zermelo, Fraenkel y el axioma de eleccion) como modelo deΣ.

Es bien conocido, aunque no lo hemos expuesto en este trabajo, que el con-junto de los naturales se puede construir en la teorıa de conjuntos a partir del


conjunto vacıo y la funcion sucesor. Con los naturales en la mano es posibleconstruir los enteros y con estos los racionales. En el capıtulo 2 vimos explıci-tamente como a partir de los racionales se puede construir el conjunto de losreales. Aunque finalmente optamos por la definicion axiomatica de R, volvemosa considerar aquı brevemente una definicion constructiva para argumentar que,en definitiva, R tiene cabida en el modelo de Σ dado por la teorıa de conjuntos.

La siguiente definicion nos encamina hacia la concepcion del resultado bus-cado.

Definicion 4.38. Sea A un subconjunto de R, decimos que A es definible enel modelo de la teorıa de los conjuntos si existe una formula φ en Σ tal que Asatisface φ. Es decir φ es verdadera para A.

Definicion 4.39. Un numero α es definible en la teorıa de los conjuntos si αes definible como conjunto.

El conjunto de los numeros reales definibles lo denotamos E.

En primer lugar veamos que este conjunto es una extension de los vistosanteriormente. Para ello tengamos en cuenta que las operaciones que dotana R de estructura de cuerpo han sido definidas (en el capıtulo 2) medianteformulas de Σ en este modelo y, por tanto, tambien las podemos utilizar comoparte del lenguaje, asıcomo los sımbolos 0 y 1 por la misma razon. Entoncespodemos definir cualquier numero natural a partir del sımbolo 1 y la operacionsuma. Del mismo modo podemos definir el opuesto del natural n como el unicoreal x que verifica x + n = 0, con lo cual vemos que los enteros tambien sondefinibles. Analogamente definimos el inverso de cada entero m 6= 0 como elunico real x que cumple xm = 1; estos inversos junto con la suma nos permitendefinir cualquier racional. Un real algebraico es facilmente definible a partir desu polinomio irreducible sobre Q, el cual define el conjunto de sus raıces reales,y en el podemos ordenar los elementos y distinguir cada uno por su posicion.Estos argumentos nos llevan a formular el siguiente resultado que probamospara los numeros computables, los cuales contienen a todos los anteriores.

Proposicion 4.40. Todo numero real computable es definible.

Demostracion. Sea β un numero computable con f : N → Q una funcion deaproximacion para β, la cual es una funcion computable (por la tesis de Church-Turing toda funcion recursiva puede ser considerada funcion computable). Portanto la sucesion computable de racionales que aproxima a β puede ser cons-truida en el modelo de la teorıa de los conjuntos lo cual nos lleva a que β esdefinible.


Proposicion 4.41. El conjunto E de los numeros definibles es un subcuerpo deR.

Demostracion. Ya se ha argumentado que tanto 0 como 1 son definibles, puesson parte del alfabeto. Si x y y son definibles, entonces su suma es una formula

4.7. DEFINIBLES 43

que define un unico numero real que, por tanto, tambien es definible. Del mismomodo, el opuesto de x es el unico numero real z que verifica la formula x+z = 0,con lo cual tambien es definible. Para el producto razonamos del mismo modo:la formula xy define un numero real, luego el conjunto E es cerrado bajo elproducto y, si x 6= 0, existe un unico real z que verifica xz = 1, lo cual lodefine.

4.7.2. Cardinalidad

Proposicion 4.42. El conjunto de los numeros definibles tiene cardinalidad ℵ0.

Demostracion. El alfabeto A tiene cardinalidad ℵ0 y toda formula escrita conel debe ser finita. Por tanto el conjunto de formulas que pueden formarse, Σ,es numerable. Esto nos da la cota |E| ≤ ℵ0. Por otro lado es claro, porque Econtiene a los naturales, que ℵ0 ≤ |E|.

4.7.3. La constante de Chaitin Ω

Por ultimo veamos que la construccion del conjunto E, aunque finalmen-te llegamos a la misma cardinalidad que el conjunto T, sı nos aporta nuevosnumeros reales mas alla de los computables. Para ello vamos a exhibir un realdefinible pero no computable, la llamada constante de Chaitin: Ω.

La idea de este numero es que mide la probabilidad de que una maquinaT elegida al azar, junto con una entrada tambien elegida al azar, se detenga ono. Es posible definir rigurosamente tal numero, pero no puede ser computablepues, si lo fuera, llegarıamos a una contradiccion con el problema de la paradade las maquinas T.

Consideremos un alfabeto A, es decir, un conjunto finito. Una palabra p esuna cadena finita de elementos del alfabeto A, y llamamos longitud de la palabra,denotada |p|, a la longitud de dicha cadena. Un lenguaje L es el conjunto de laspalabras que podemos formar con A. Dado, pues, el lenguaje llamamos codigoa un subconjunto del mismo. Pero nos interesa un tipo especial de codigos quenos van a simplificar los argumentos posteriores: los codigos libres de prefijos.

Definicion 4.43. Un codigo libre de prefijos es un subconjunto CLP del lenguajeL tal que ∀x, y ∈ CLP se cumple que, si x = (x1x2 · · ·xn) y y = (y1y2 · · · ym),con n ≤ m,

(x1x2 · · ·xn) 6= (y1y2 · · · yn).

Dicho de otro modo, ninguna palabra de un codigo libre de prefijos contienea otra palabra en los primeros caracteres de su secuencia.

En lo que sigue tomaremos como alfabeto el binario, A = 0, 1 y comolenguaje 0, 1N, llamado conjunto de Cantor. En este conjunto queremos definiruna probabilidad que mida la probabilidad de parada. Para ello definimos, dadaun palabra p de un codigo libre de prefijos, el conjunto de las sucesiones de 0 y1 que comienzan precisamente por la palabra p.


Definicion 4.44. Sea F un codigo libre de prefijos en 0, 1N y p una palabraen dicho codigo. Definimos el conjunto

Sp = x ∈ 0, 1N|(x1x2 · · ·xn) = p.

Gracias a que F es libre de prefijos tenemos que, si p 6= q, Sp ∩ Sq = ∅.Sin embargo la familia de conjuntos Sp no es cerrada bajo union. Por ello laσ-algebra que tomamos es la generada por estos conjuntos y la denotamos Σ.

En ella definimos una medida µ dando su valor en los conjuntos Sp:

µ(Sp) =1

2|p|.

Proposicion 4.45. La medida µ ası definida hace de (0, 1N,Σ, µ) un espaciode probabilidad.

Demostracion. Basta ver que la medida de 0, 1N es uno. Pero observemos quetenemos la siguiente particion

0, 1N = S0 ∪ S1,

donde S0 es el conjunto definido por la palabra p = 0 mientras que S1 es eldefinido por la palabra p = 1. Claramente S0 ∩ S1 = ∅ y la medida de cada unode estos conjuntos es 1/2. Entonces

µ(0, 1N) = µ(S0 ∪ S1) =12

+12

= 1.

Ahora codificamos cada maquina T con cada posible entrada para la mismacon el codigo F , de modo que cada palabra p corresponde a una maquina conuna entrada. Esto es posible porque el conjunto de maquinas y entradas esnumerable y, por otro lado, el conjunto N puede traducirse en dicho codigo. En elconjunto F consideramos aquellas maquinas y su entrada tal que su ejecucion sedetiene eventualmente, y llamamos a este subconjunto F ′. Con estos ingredientespodemos ya definir la constante de Chaitin.

Definicion 4.46. El numero Ω es

Ω =∑p∈F ′

12|p|

.

Probaremos a continuacion que dicha suma converge y, mas aun, que 0 <Ω < 1 con lo cual podemos interpretarlo como una probabilidad: la probabilidadde parada.

Proposicion 4.47. 0 < Ω < 1.

4.7. DEFINIBLES 45

Demostracion. Construyamos un codigo F a partir de un arbol infinito que encada nudo se separa en dos ramas, la del 0 y la del 1. El nivel n del arbol tie-ne, por tanto, 2n nudos. Con este arbol se puede construir un codigo libre deprefijos realizando caminos que, partiendo de la raız del arbol, avancen por elmismo un numero finito de pasos, sin retroceder. Cada camino define una pala-bra, y la libertad de prefijos se consigue exigiendo que ningun camino contengacompletamente a otro.

Una palabra de longitud n es un camino de este arbol que termina en el niveln. Asignemosle un peso 2−n a dicha palabra. Ahora fijemonos en que si un nudoes el final de una palabra, todas las ramificaciones que nacen de el ya no formanparte de ninguna otra palabra. En particular, las dos palabras de longitud n+1que podrıan formarse si la palabra p no estuviera en F tendrıan cada una peso2−(n+1) o, dicho de otro modo, ambas producen el mismo peso que la palabrap. Esto indica que la suma de los pesos de todas las palabras de F es menor quela suma de los pesos de todos los nudos de cualquier nivel, donde hay 2n nudos,cada uno con peso 2−n. Es decir la suma es menor que 2n2−n = 1.

El numero Ω es definible, como se acaba de ver. Sin embargo no es compu-table pues, de serlo, tendrıamos una contradiccion con el problema de la parada.Efectivamente supongamos que Ω es computable. Podemos conocer, por tanto,la cifra n-esima de su expansion binaria. El numero con n cifras nos da la proba-bilidad de que las maquinas T con entrada definidas por palabras con longitud|p| ≤ n se detengan. Esto nos da un algoritmo para decidir si una maquina conuna entrada se detiene o no, en contra de lo que se probo de que no existe talalgoritmo. Por tanto Ω no es computable y hemos probado que la contencionT ⊂ E es propia.

Capıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo he mostrado como las construcciones realizadas para dar com-pletitud a los racionales y crear con ello un cuerpo ordenado y completo da lugara un conjunto tremendamente complicado: el conjunto de los numeros reales.

La primera muestra de la amplitud de la tarea la da su cardinalidad, puesR es no numerable como he mostrado en el capıtulo 3. Este enorme aumentode cardinalidad (que de hecho no podemos cuantificar debido al problema de lahipotesis del continuo) nos lleva a la cuestion de saber donde hemos introducidotantos elementos nuevos.

En el capıtulo 4 he explorado los subconjuntos que, a mi entender, son losmas notables de R, y que ademas forman una cadena ascendente de inclusione, intuitivamente, de complejidad: naturales, enteros, racionales, construibles,algebraicos, computables y definibles.

Los computables son un conjunto muy notable por la propiedad que losdefine como los unicos numeros reales que podemos calcular, es decir, conocersu valor o una aproximacion al mismo. Sin embargo es un conjunto numerable.Lo mismo ocurre con el conjunto de numeros definibles, aquellos que podemosdistinguir del resto de reales; tambien es un conjunto numerable. Mas alla de loscomputables no podemos calcular ningun numero ni aproximarlo. Mas alla delos definibles no podemos ni siquiera aislar ningun numero. Pero mas alla de losdefinibles viven la mayorıa de los reales, por no decir practicamente la totalidadde ellos, ya que un conjunto numerable dentro de los reales supone una parteinsignificante del mismo.

Por tanto, encaramado a la torre de subconjuntos que podemos manejar yconocer, miro al resto de los numeros reales, es decir, practicamente a todos, yse que estan ahı, pero no los puedo ver y por ello me pregunto, ¿donde estanlos reales?

47

48 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Apendice A

Apendice

A.1. Numeros cardinales

Definicion A.1. ℵ0 = |N|.

Teorema A.2. ℵ0ℵ0 = ℵ20 = ℵ0

Procederemos exhiviendo una funcion biyectiva que tiene como dominio aun conjunto con cardinalidad |N| y como imagen un conjunto con cardinalidad|N× N|.

Demostracion. Definamos N• = N∪0, es claro que |N| = |N•|. Ahora concide-remos la expresion en binario de un numero natural. conciderandol el acomodode derecha a izquierda y colocando infinitos ceros despues del ultimo dıgito dela exprsion. Por ejemplo 3 = . . . 00011.

Concideremos ahora la siguiente funcion

h : N• −→ N• × N•

x = . . . 000 . . . ai . . . a2a1 7→ (. . . 00a2i, . . . 00ai)

tales que aj ∈ 0, 1. h es biyectiva.

a) Suprayectiva. Sea z = (. . . 00ai, . . . 00bj) tales que ai, bj ∈ 0, 1, i, j ∈N. Es claro que para x = 00 . . . aibj se tiene que h(x) = z.

b) Inyectiva. Sean x, y dos numeros naturales en su expresion binaria talesque x = 00 . . . ai 6= y = 00 . . . bj . Al evaluar en h tenemos que h(x) =(00 . . . a2i, 00 . . . ai) y h(y) = (. . . b2j, . . . bj). Luego como x 6= y se tieneque ai 6= bi para algun i ∈ N, luego h(x) 6= h(y).

luego |N•| = |N• × N•|

Teorema A.3. ℵn0 = ℵ0

49

50 APENDICE A. APENDICE

Demostracion. Procederemos de manera inductiva.Sabemos que ℵ0ℵ0 = ℵ0, supongamos que ℵk0 = ℵ0. Probaremos para k + 1.

ℵk+10 = ℵ0ℵk0

por hipotesis se tiene queℵk0 = ℵ0

por tantoℵ0ℵk0 = ℵ0.

A.2. Teorıa de conjuntos

Teorema A.4. Sea Ann∈N una familia de conjuntos numerables entonces

∪n∈NAn

es un conjunto numerable.

Demostracion. Es inmediato del teorema A.3.

Teorema A.5. (Cantor) Sea A un conjunto, entonces |A| |P(A)|.

Demostracion. a) |A| ≤ |P(A)|.

b) |P(A)| |A|.Sea

f : A −→ P(A)

a 7→ a.

f es una funcion inyectiva. de esta manera queda probado a). Para probar b)procederemos por contradiccion. Supongamos que |P(A)| ≤ |A| entonces delinciso a) se tiene que |P(A)| = |A|, luego existe unna funcion biyectiva

h : A −→ P(A)

a 7→ h(a) ⊂ A

.Definamos ahora B = b ∈ A/b /∈ h(b). Entonces B ⊂ A, por tanto B ∈

P(A). Ademas h−1(B) ∈ A, luego por definicion de B tenemos que h−1(B) ∈B ⇔ h−1(B) /∈ h(h−1(B)) lo cual es una contradiccion.

Bibliografıa

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[7] Spivak M., [1998] Calculus, Reverte.

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN LUIS POTOS´ ´I FACULTAD DE ... · Se deﬁne el conjunto de los...

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