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TEORIA DE COLAS SIMULACIÓN DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL

Ing. Ayala Torres

TEORIA DE COLAS SIMULACIÓN DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL- ICA

Ing. Ayala Torres

Ayala Torres ALAS PERUANAS FILIAL ICA

TEORIA DE COLAS

• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS realidades cotidianas:

•Personas esperando para una caja en un banco, •Estudiantes esperando fotocopiadora, •Vehículos esperando pagar continuar su camino, ante un •Máquinas dañadas a la espera

Se forman debido a un desequilibrio demanda del servicio y la suministrarlo.

ALAS PERUANAS FILIAL ICA 2

TEORIA DE COLAS

ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son

realizar sus transacciones ante

por obtener copias en la

pagar ante una estación de peaje o un semáforo en rojo,

espera de ser rehabilitadas.

desequilibrio temporal entre la la capacidad del sistema para


TEORIA DE COLAS

• Los Modelos de Líneas de Espera en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan

– la longitud de la línea de espera –el promedio de tiempo de espera y otros factores como: – la conducta de los usuarios

Los Análisis de Colas ayudan de estos sistemas de servicio un banco, actividades de mantenimiento maquinaria, el control de las


TEORIA DE COLAS

Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

relacionan:

espera, espera

usuarios a la llegada y en la cola,

ayudan a entender el comportamiento servicio (la atención de las cajeras de

mantenimiento y reparación de las operaciones en planta, etc.).


TEORIA DE COLAS

• Desde la perspectiva de la Investigación pacientes que esperan ser atendidos prensas dañadas esperando común.

• Ambos (gente y máquinas) requieren recursos materiales como equipos los haga funcionar nuevamente


TEORIA DE COLAS

Investigación de Operaciones, los atendidos por el odontólogo o las

reparación, tienen mucho en

requieren de recursos humanos y equipos para que se los cure o se

nuevamente.


TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera

• Los Administradores reconocen entre el COSTO DE proporcionar COSTO del tiempo DE ESPERA que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean suficientemente cortas con no se irriten e incluso se retiren servicio o lo usen pero no retornen

• Sin embargo los Administradores longitud de cola razonable en para obtener ahorros significativos SERVICIO


TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera

reconocen el equilibrio que debe haber proporcionar buen SERVICIO y el ESPERA del cliente o de la máquina

desean que las colas sean lo la finalidad de que los clientes retiren sin llegar a utilizar el

retornen más. Administradores contemplan tener una

en espera, que sea balanceada, significativos en el COSTO DEL


TEORIA DE COLAS

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio

Costo

Costo Total Mínimo


TEORIA DE COLAS

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

COSTO TOTAL ESPERADO


TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

• Los COSTOS DE SERVICIO NIVEL DE SERVICIO. Los centros de servicio pueden personal o máquinas adicionales incrementar la atención cuando clientes.

– En supermercados se habilitan es necesario.

– En bancos y puntos de contrata personal adicional épocas del día o del año.


TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

SERVICIO se incrementan si se mejora el Los Administradores de ciertos

variar su capacidad teniendo adicionales que son asignadas a

cuando crecen excesivamente los

habilitan cajas adicionales cuando

de chequeo de aeropuertos, se adicional para atender en ciertas


TEORIA DE COLAS

• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera.

• Este costo puede reflejar pérdida de productividad operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los a causa de mal servicio y colas muy largas.

• En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el la espera puede ser intolerablemente alto


TEORIA DE COLAS

disminuye el costo de tiempo en las líneas de espera.

pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


TEORIA DE COLAS

COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA

Supermercado Compradores

Peaje Vehículos

Consultorio Pacientes

Sistema de Cómputo Programas a ser corridos

Compañía de teléfonos Llamadas

Banco Clientes

Mantenimiento Máquinas dañadas

Muelle Barcos


TEORIA DE COLAS

COLAS MAS COMUNES ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Compradores Pago en cajas

Pago de peaje

Consulta

Programas a ser Proceso de datos

Efectuar comunicación

Depósitos y Cobros

Máquinas dañadas Reparación

Carga y descarga


TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos: 1. Arribos o ingresos al sistema 2. Disciplina en la cola 3. Servicio

• Estos tres componentes tienen deben ser examinadas antes matemático de los modelos de



está compuesta de tres elementos: Arribos o ingresos al sistema

tienen ciertas características que antes de desarrollar el aspecto

de cola.



• 1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO • La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para

el servicio tiene tres características principales: a. Tamaño de la población que arriba b. Patrón de llegada a la cola c. Comportamiento de las llegadas.

1 . a. Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) limitado (finito).



1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO: que genera los arribos o clientes para

el servicio tiene tres características principales: de la población que arriba

de llegada a la cola de las llegadas.

1 . a. Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) o limitado (finito).



1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO

1 . a. Tamaño de la Población: Infinito (ilimitado): Cuando arribos en un momento dado arribos potenciales. poblaciones ilimitadas vehículos que se acercan aficionados a un partido en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME INFINITO. Población de arribo limitada pocos servidores y el servicio pacientes en un consutorio médico



1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1 . a. Tamaño de la Población:

Cuando el número de clientes o dado es una pequeña parte de los

Para propósitos prácticos pueden considerarse a los

acercan a un caseta de peaje, los del mundial de Fútbol, clientes

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO

limitada o finita: cuando se tienen muy servicio es restringido. Ej.: los médico




• 1 . b. Patrón de arribo al sistema: – Los clientes arriban a ser

programada (un paciente manera aleatoria.

– Se consideran que los arribos son independientes de otros predecida exactamente.

– Frecuentemente en problemas arribos por unidad de tiempo medio de la Distribución distribución discreta de probabilidad



1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

Patrón de arribo al sistema: ser atendidos de una manera

paciente cada 15 minutos) o de una

arribos son aleatorios cuando éstos otros y su ocurrencia no puede ser

problemas de colas, el número de tiempo pueden ser estimados por

Distribución de Poisson que es una probabilidad.




• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x arribos • .x= número de arribos por unidad de tiempo • λ = rata promedio de arribo

.e = 2.71828

( ) _ !

= −

para x

e x P x λ λ




DISTRIBUCION DE POISSON:

P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo

= rata promedio de arribo

,... 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = x


TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDAD

DISTRIBUCION 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902

0 1 2 3 4



DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ = 2


DISTRIBUCION

0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

5 6 7 8 9




λ = 4

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500


PROBABILIDAD

DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954

0 1 2 3




= 4


DISTRIBUCION

0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132

4 5 6 7 8 9




1 . c. Comportamiento de los arribos La mayoría de los modelos de son pacientes o sea que esperan servidos y no se pasan entre vida es complicada y la gente impacientan por la espera, completar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar colas y el análisis de las líneas servido es un cliente perdido negocio.




Comportamiento de los arribos: de colas asume que los clientes esperan en la cola hasta ser

entre colas. Desafortunadamente, la gente se reniega. Aquellos que se

espera, se retiran de la cola sin

acentuar el estudio de la teoría de líneas de espera, ya que un cliente no

perdido y hace mala propaganda de ese


TEORIA DE COLAS 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

• La LINEA DE ESPERA es sistema de colas. La longitud LIMITADA o ILIMITADA. – Cola LIMITADA es aquella

puede incrementarse a tamaños caso de una peluquería que para atender.

– Estudiaremos los modelos longitud infinita. Una cola tamaño no tiene restricción de peaje que sirve a los vehículos


TEORIA DE COLAS . CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

el segundo componente de un longitud de la cola puede ser también

aquella que por aspectos físicos no tamaños infinitos. Puede ser el

que tiene pocos barberos y sillas

modelos de colas asumiendo colas de cola es ILIMITADA cuando su

restricción como es el caso de una caseta vehículos que arriban.


TEORIA DE COLAS 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

• Una segunda característica refiere a la DISCIPLINA EN clientes reciben el servicio. La la regla Primero En Entrar P Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina First Served).

• En las áreas de emergencia omite esta regla dependiendo de las personas que arriban por

• En supermercados, personas con la caja express que atiende a cola se les atiende con la política


TEORIA DE COLAS . CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

característica de las líneas de espera se EN LA COLA mediante la cual los

La mayoría de los sistemas usan Primero En Salir (First In First

denomina también FIFS (First In

emergencia de hospitales sin embargo se dependiendo de la gravedad de las lesiones

por auxilio médico. con menos de 10 artículos tienen este tipo de clientes. Pero en la

política PEPS.


TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

3. Características del Servicio

El tercer elemento de un sistema él son importantes dos propiedades 1. La configuración del sistema 2. El patrón de tiempos de servicio

3. 1 . CONFIGURACIONES BASICAS Los sistemas para el servicio numero de canales (servidores) (número de paradas que deben

Sistema de cola de un servidor. Ejemplos de automovilistas o los establecimientos


TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

3. Características del Servicio

sistema de colas es el SERVICIO. En propiedades básicas:

sistema de servicio. servicio

BASICAS PARA EL SERVICIO: servicio son clasificados en función del (servidores) y el número de fases

deben hacerse durante el servicio). un solo canal: tiene un solo

ello son los cajeros para establecimientos de comida rápida.


TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA 3. 1 . Configuraciones básicas para el Servicio

– Sistema de cola multicanal cajeros de un banco en varias personas atendiendo cajas.

– Sistema de una sola fase recibe el servicio de una el sistema. Un restaurant persona que toma la orden y cobra, es un sistema de una

– Sistema multifase: cuando estación, se paga en una segunda en una tercera


TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA 3. 1 . Configuraciones básicas para el Servicio

canal: Son principalmente los los cuales hay una sola cola y

atendiendo a los clientes en diversas

fase: es aquel en el cual el cliente sola estación y luego abandona

restaurant de comida rápida en el cual la orden también le entrega el alimento

una sola fase

cuando se pone la orden en una segunda y se retira lo adquirido


TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas

3. 1 . Configuraciones básicas para el Servicio

COLA

COLA

ARRIBOS

SERVICIO FASE 1

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

ARRIBOS

UN SOLO CANAL, MULTIFASE




SERVIDOR

SERVICIO FASE 2

SERVICIO FASE 1 SALIDAS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

UN SOLO CANAL, MULTIFASE

SALIDAS




SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

ARRIBOS

COLA




SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

CANAL 1

CANAL 2

CANAL 3

SALIDAS


SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

ARRIBOS

COLA




SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

FASE 2 CANAL 1

FASE 1 CANAL 2

FASE 2 CANAL 2

SALIDAS

FASE 1 CANAL 1





3. 2. Distribución del Tiempo de Servicio

• Los patrones de servicio son llegada. Pueden ser constantes

I. Si el tiempo de servicio cantidad de tiempo atender servicios dados por medio automática de carros).

II. Si el tiempo de servicio es que es el caso más común DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NEGATIVA de la forma e hipótesis matemática muy siguen la distribución de Poisson



3. 2. Distribución del Tiempo de Servicio

son similares a los patrones de constantes o aleatorios.

es constante, toma la misma atender a cada cliente. Es común con

medio de máquinas (Lavadora

es distribuído aleatoriamente – común – se lo representa por la

PROBABILIDAD EXPONENCIAL e - µx para x ≥ 0. Esta es una conveniente, cuando los arribos

Poisson.


TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan decisiones para balancear los los costos de espera en la línea

• Los principales factores que se evalúan 1 . Tiempo promedio que cada

cola 2. Longitud de cola promedio 3. Tiempo promedio que cada

(tiempo de espera + tiempo de 4. Número de clientes promedio 5. Probabilidad de que el servicio 6. Factor de utilización del sistema 7. Probabilidad de la presencia

clientes en el sistema.


TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas

ayudan a los administradores a tomar costos de servicio deseables con

línea.evalúan en estos modelos son:

cliente u objeto permanece en la

cada cliente permanece en el sistema de servicio).

promedio en el sistema. servicio se quede vacío

sistema presencia de un específico número de


TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas

• Reconociendo la diversidad de (1953) propuso un sistema servidores paralelos que ha sido

• Una versión resumida de esta formato A/B/c/N/K. Estas letras características del sistema: – A = Distribución de tiempo – B = Distribución del tiempo Los siguientes son símbolos comunes

M = exponencial o Markov D = constante o determinística



de los sistemas de colas, Kendall de notación para sistemas de

sido adoptado universalmente. esta convención está basada en el

letras representan las siguientes

tiempo entre arribos. tiempo de servicio.

comunes para A y B: (1 )

determinística



• E k = Erlang de orden k • P H = Tipo fase • H = Hiperexponencial • G = Arbitrario o general • GI = General independiente

– .c = número de servidores paralelos – N = Capacidad del sistema – K = Tamaño de la población. Nota (1 ) : A causa de las suposiciones de distribución

exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados



Erlang de orden k

H = Hiperexponencial G = Arbitrario o general GI = General independiente = número de servidores paralelos = Capacidad del sistema = Tamaño de la población.

A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS



• Por ejemplo: M/M/1 /∞/∞ capacidad de cola ilimitada potenciales. Los tiempos entre servicio son distribuídos exponencialmente

• Cuando N y K son infinitos, notación. M/M/1/∞/∞ es reducido



significa un solo servidor, y población infinita de arribos

entre arribos y los tiempos de exponencialmente.

pueden ser descartados de la reducido a M/M/1 .


TEORIA DE COLAS Variedad de Modelos de Colas

• Existe una cantidad enorme de utilizarse. Nos vamos a concentrar usados. Modelos más complejos mediante el uso de la Simulación especializados sobre el tema.

• Los 4 modelos de colas a estudiar o Arribos según la Distribución o Disciplina PEPS o Una sola fase de servicio

– Modelo A: Un canal, Arribos Poisson; Tiempos de Servicio



de Modelos de Colas que pueden concentrar en 4 de los modelos más

complejos pueden ser desarrollados Simulación y se los encuentra en textos

estudiar asumen: Distribución de Poisson

servicio. Arribos según la Distribución de

Servicio exponenciales



– Modelo B: Multicanal – Modelo C: Tiempo de Servicio constante – Modelo D: Población Limitada

• Modelo A: Modelo de Colas que siguen la distribución Servicio Exponenciales: (Modelo

• Los casos más comunes de línea de espera de canal único los arribos crean una sola cola estación.



: Tiempo de Servicio constante : Población Limitada

de un solo canal, con arribos distribución de Poisson y Tiempos de

(Modelo M/M/1 ) problemas de colas incluyen la

único o servidor único. En este caso cola a ser servida por una sola


TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1

• Asumimos que existen las siguientes 1. Los clientes son servidos

arribo espera a ser servido la línea o cola.

2. Los arribos son independientes pero el promedio de arribos,

3. Los arribos son descritos probabilidad de Poisson muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían independientes entre sí, conocida.


TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1

siguientes condiciones: servidos con una política PEPS y cada

servido sin importar la longitud de

ndependientes de arribos anteriores, arribos, no cambia con el tiempo.

descritos mediante la distribución de y proceden de una población

varían de cliente a cliente y son sí, pero su rata promedio es


TEORIA DE COLAS Modelo A: (M/M/1) –

5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa

6. La rata de servicio es más rápida Tabla 5. 3 Render Pág. 1 92

• Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) • Dos o más servidores o canales

atender a los clientes que arriban • Los clientes forman una sola

acuerdo al servidor que queda • Asumimos que los arribos

probabilidad de Poisson y distribuídos exponencialmente


TEORIA DE COLAS – Modelo B: (M/M/S)

se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa.

más rápida que la rata de arribo.

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) canales están disponibles para

arriban. sola cola y se los atiende de

queda libre. arribos siguen la distribución de

los tiempos de servicio son exponencialmente.


TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

• Los servicios se los hace de acuerdo llegar primero en ser servido atienden a la misma rata.

• Modelo C: Modelo de Tiempo (M/D/1 )

• Algunos sistemas tienen tiempos lugar de exponencialmente distribuídos son atendidos o equipos son como es el caso de una lavadora ciertos entretenimientos en asumir servicio constante es adecuado


TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

acuerdo a la política primero en servido (PEPS) y todos los servidores

Tiempo de Servicio Constante

tiempos de servicio constantes en distribuídos. Cuando los clientes

son procesados con un ciclo fijo lavadora de carros automatizada o

los parques de diversiones, el adecuado.


TEORIA DE COLAS Modelo D: Población limitada

• Modelo D: Modelo de Población limitada. • Este modelo puede ser usado

considerando reparaciones de 5 máquinas. Este modelo reparadores a ser considerados

• La razón por la cual este modelo que ahora hay una relación de de la cola y la rata de arribo en la fábrica tenemos 5 máquinas, necesitan reparación; siendo CERO. En general, si la línea llegada tiende a cero


TEORIA DE COLAS Modelo D: Población limitada

Modelo D: Modelo de Población limitada. - usado por ejemplo si estamos de equipo en una fábrica que tiene

permite cualquier número de considerados.

modelo difiere de los otros tres es de dependencia entre la longitud

arribo. La situación extrema sería si máquinas, todas se han dañado y

en este caso la rata de arribo línea de espera crece, la rata de


RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

MODELO NOMBRE N° DE CANAL

ES

N° DE FASES

PATRÓN DE

ARRIBO

A SIMPLE M/M/1

UNO UNA POISSON

B MULTI- CANAL M/M/S

MULTI CANAL

UNA POISSON

C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1)

UNO UNA POISSON

D POBLACION LIMITADA

UNO UNA POISSON


RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

PATRÓN DE

ARRIBO

PATRÓN DE

SERVICIO

TAMAÑO DE LA POBLACIÓN

DISCIPLINA DE COLA

POISSON EXPONEN CIAL

INFINITA PEPS


INFINITA PEPS

POISSON CONSTAN TE

INFINITA PEPS


FINITA PEPS


FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

λ µ

ρ

µ λ

− =

+ =

=

=

= = =

1 servicio) de tiempo espera de (tiempo

unidad una que promedio Tiempo

sistema del n utilizació de Factor

unidades de promedio Número

sistema el en unidades de número cosas o gente de promedio Número por arribos de promedio Número

S

S

S

W

W

L

n



µ λ

λ µ λ

=

=

− =

servicio) sistema el en permanece unidad

sistema

sistema el en (clientes) unidades

sistema tiempo de período por servidos cosas

tiempo de período por

S L



( )

( )

1

unidades k" " de más que de ad Probabilid

1 1

sistema el en unidades cero de ad Probabilid

1 1

estén clientes " n " que de ad Probabilid

espera unidad una que promedio Tiempo

cola la en unidades de promedio Número

+

⟩

⟩

=

=

− = − =

=

∗ − =

∗

− =

=

=

=

k

k n

k n

o

o

n

n

n

n

q

q

P

P

P

P

P

P

W

L

µ λ

ρ µ λ

ρ ρ µ λ

µ λ



( )

( )

2

sistema el en estén unidades

vacía) está servicio de unidad (la sistema

sistema el en estén

cola la en espera

cola

=

=

=

∗ = −

=

∗ = −

=

S

S

W

L

ρ λ µ µ

λ

ρ λ µ µ

λ


FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O

M/M/S

( ) ( ) µ λ

λ µ µ

λ λµ

λ µ µ

µ λ

µ λ

µ λ

+ − −

=

=

−

+

=

= = = =

∑ − =

=

Po M M

L

L

M M

M n

P

P

M

M

S

s

M M n

n

n o

o

2

1

0

.!. 1

unidades o personas de promedio número

! 1

! 1

1 CERO existan que de ad Probabilid

canal cada en servicio de promedio tasa arribo de promedio tasa abiertos canales de número



M/M/S

λ µ

λ

⟩

=

M

: sistema el en unidades

para

sistema el en unidades o personas canal



M/M/S

( ) ( )

λ µ

ρ µ λ

λ µ λ µ µ

λ µ

q S q

q

S S q

q

S

M

S

s

L W W

W

L L L

L

L Po M M

W

W

= − =

=

=

− = − =

=

= + − −

=

=

1 servicio por esperando cola la en da tar

unidad o persona una que promedio Tiempo

unidades o personas de promedio Número

1 ! 1

) (atendida) servida siendo y cola la (en permanece unidad una que promedio Tiempo

2



M/M/S

=

=

=

se unidad

servicio de espera en cola, o línea la en unidades

sistema, el en permanece


FÓRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O

MODELO M/D/1

en espera de promedio Tiempo

clientes de promedio Número

en espera de promedio Tiempo

cola, la de promedio Longitud


FÓRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O

MODELO M/D/1

( )

( )

µ

µ λ

λ µ µ λ

λ µ µ λ

1 sistema, el en

sistema, el en clientes

2 cola, la en

2 cola,

2

+ =

+ =

− =

− =

q S

q S

q

q

W W

L L

W

L


FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

servicio de Factor espera unidad una que promedio Tiempo ntos requerimie entre servicio Tiempode

promedio servicio de Tiempo s potenciale clientes de Número

servicio de canales de Número esperando unidades de promedio Número

no que unidades de promedio Número siendo unidades de promedio Número

eficiencia de Factor tenga unidad una que de ad Probabilid

: NOTACIÓN

= = =

= = =

= = = =

=

X W U T N M L J H F D



cola la en espera unidad la a atención de ntos

servicio el esperando servicio de sector el en o cola en están no

servidas siendo

cola la en esperar que tenga



N

X

... .......... Población la de Cuantía servido siendo promedio Número

ento funcionami en promedio Número

........ espera de promedio Tiempo

........ espera en promedio Número

... .......... .......... Servicio de Factor

: FÓRMULAS



( ) ( ) ( )

( )

H L J N FNX H

X NF J XF

F T L N U T L W

F N L U T

T X

+ + = =

− =

− =

− +

=

− = +

=

1

1 1

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