4Sistema dièdric.Moviments

UNITAT

CONEIXEMENTS TEÒRICS

1 Canvis de pla1.1 Noves projeccions del punt1.2 Noves projeccions de la recta1.3 Noves projeccions del pla

2 Girs2.1 Gir d’un punt2.2 Gir d’una recta2.3 Gir d’un pla

3 Abatiments3.1 Abatiment d’un pla3.2 Abatiment i relació d’afinitat

APLICACIONS PRÀCTIQUES

1 Dels canvis de pla1.1 Obtenir posicions favorables de rectes1.2 Obtenir posicions favorables de plans

2 Dels girs2.1 Obtenir posicions favorables de rectes2.2 Obtenir posicions favorables de plans

3 Dels abatiments3.1 Traçat de formes en veritable magnitud;

combinació de moviments3.2 Restituir formes abatudes a projeccions

QÜESTIONS I EXERCICIS

1 CANVIS DE PLA

El canvi de pla de projecció és el primer dels anomenats moviments queestudiarem en aquesta unitat. Tots ells tenen per finalitat situar un elementgeomètric –punt, recta o pla– en una posició que, de forma genèrica, ano-menarem favorable, entenent per això una posició de la qual es deriven,de forma immediata, propietats mètriques o de la qual resulti més fàcil laseva determinació. Així, per exemple, de les projeccions d’una recta obli-qua, no en podem deduir, de forma directa, veritables magnituds; però si,mitjançant la utilització d’algun dels moviments, transformem aquestarecta obliqua en paral·lela a un dels plans de projecció, podrem mesurarsobre una de les seves projeccions veritables magnituds.

En el canvi de pla, substituïm un dels plans de projecció per un de nou enrelació amb el qual, l’element considerat, tingui una posició favorable*. Encada canvi de pla, substituirem, només, un dels plans de projecció per unaltre de nou que serà, sempre, perpendicular al pla de projecció que queda;la projecció sobre aquest últim, lògicament, no variarà i obtindrem una novaprojecció sobre el nou pla de projecció. Si ens imaginem situats en el centred’una habitació, (Fig. 1), amb miralls a terra i en cada una de les parets ver-ticals, la nostra imatge sobre el terra seria la projecció horitzontal i, en obser-var-nos en cada un dels miralls verticals (sobre els que tindrem una imatge oprojecció vertical diferent), estaríem efectuant un canvi de pla vertical.

94

UNITAT 4 CONEIXEMENTS TEÒRICS Sistema dièdric. Moviments

Fig. 1

Aldo Rossi. Teatre del Món.

En els pròxims apartats estudiarem el comportament dels elements simples–punt, recta i pla– en efectuar el canvi de pla d’algun dels plans de projec-ció; més endavant, en les Aplicacions pràctiques, utilitzarem aquest recursper aconseguir posicions favorables de rectes i plans.

1.1 Noves projeccions del punt

Considerem el punt P de la figura 2, les projeccions del qual, P’ i P’’, en rela-ció amb dos plans de projecció, horitzontal PH i vertical PV, coneixem. Si hiintroduïm un nou pla vertical de projecció, PV1, perpendicular al PH,n’obtindrem sobre ell una nova projecció vertical P1’’. Observem quel’element de l’espai, punt P, no varia i que, en introduir-hi un pla nou deprojecció, n’obtenim sobre ell una nova projecció (vertical en el cas de lafigura 2).

A les projeccions dièdriques i a partir de les projeccions principals del puntP’ - P’’, representem les noves projeccions, (Fig. 3). Com que hem efectuatun canvi de pla vertical de projecció, la projecció horitzontal no varia P’coincideix amb P1’; la nova projecció vertical P1’’ està en correspondènciadièdrica amb P1’ i a qualsevol distància d’aquesta. La direcció d’aquestanova correspondència dièdrica, de moment, és indiferent.

En un canvi de pla horitzontal, substituirem el pla horitzontal de projeccióper un altre pla qualsevol, amb l’única condició que sigui perpendicular alpla vertical de projecció que mantenim; hem, per tant, de deixard’imaginar el pla horitzontal de projecció com el nostre terra de referènciai considerar, en un sentit més ampli, com a pla horitzontal de projecció,qualsevol pla que sigui perpendicular al vertical de projecció.

A la figura 4, a partir de les projeccions P’ i P’’ del punt P, efectuem uncanvi de pla de projecció horitzontal. Ja que el pla vertical de projecció novaria, la projecció vertical serà invariable i P1’’ coincideix amb la posició deP’’; la nova projecció horitzontal P1’ està en correspondència dièdrica ambP1’’ i a qualsevol distància d’aquesta. Com al canvi de pla anterior, la direc-ció d’aquesta nova correspondència dièdrica, de moment, és indiferent.

Cada vegada que efectuem un canvi de pla, aquest es refereix a un delsplans de projecció; no canviarem mai, alhora, els dos plans de projecció.En cas que calgui un doble canvi de pla (ho veurem en les Aplicacions pràc-tiques), s’efectuarà en dos canvis de pla successius, horitzontal i vertical overtical i horitzontal.

UNIDADCONOCIMIENTOS TEÓRICOSSistema dièdric. Moviments CONEIXEMENTS TEÒRICS

95

UNITAT

Fig. 2

4

Fig. 3

Fig. 4

1.2 Noves projeccions de la recta

Ja que una recta ve definida per la posició de dos dels seus punts, perdeterminar-ne les noves projeccions en efectuar-hi un canvi de pla de pro-jecció, horitzontal o vertical, n’hi haurà prou amb determinar les novesprojeccions de dos dels seus punts seguint el procés que acabem de rea-litzar en l’apartat anterior.

En la figura 5 efectuem un canvi de pla vertical de projecció a la recta r,les projeccions de la qual r’ i r’’ coneixem. Situem les projeccions de dospunts A i B, qualssevol, sobre les projeccions homònimes* de la recta ideterminem les seves noves projeccions verticals. La diferència de cotesentre els punts A i B és independent del pla horitzontal de projecció utilit-zat i l’anomenem cota relativa; situem A1’’ en correspondència dièdricaamb A1’ i a qualsevol distància; B1’’ està en la mateixa correspondènciadièdrica amb B1 i amb la cota relativa z per damunt d’A1’’.

La unió de les noves projeccions verticals dels punts A i B ens permetdeterminar la nova projecció r1’’ de la recta. En tractar-se d’un canvi de plavertical, les projeccions horitzontals r’ i r1’ seran coincidents.

De forma similar efectuaríem un canvi de pla horitzontal de projecció, enel qual el pla vertical de projecció no variés ni tampoc el que en depèn; asaber:

• Projecció vertical, que serà coincident amb la nova.

• Allunyament relatiu a entre un parell de punts A i B considerats sobrela recta i que ens permetran determinar la seva nova projecció horit-zontal, (Fig. 6).

A diferència dels casos anteriors en què establíem la nova correspondèn-cia dièdrica en qualsevol direcció, en aquest cas l’hem traçada perpendi-cular a la projecció vertical r’’ de la recta donada, amb la qual cosa la rectaresultant del canvi de pla, r1’ - r1’’, serà horitzontal.

UNITAT 4 CONEIXEMENTS TEÒRICS Sistema dièdric. Moviments

96

Fig. 5

Fig. 6

1.3 Noves projeccions del pla

Als dos apartats anteriors hem determinat noves projeccions de punts orectes, mitjançant nous plans de projecció horitzontals o verticals. Amb elpla podem fer el mateix, buscant les noves projeccions dels elements queel defineixen tal com hem fet amb punts i rectes.

A la figura 7 hem determinat la nova projecció vertical d’un pla del qualconeixem, a les projeccions principals, les corresponents a tres dels seuspunts. La nova projecció vertical es determina des de la projecció horitzon-tal, invariable en un canvi de pla vertical, i amb les cotes relatives z1 i z2

que referirem des de la projecció vertical principal, respecte a la projeccióvertical del punt A que agafarem com a referent. La nova direcció de pro-jecció, de moment, és arbitrària.

Realitzem un canvi de pla horitzontal de projecció al pla definit per duesrectes que es tallen, de la figura 8. Considerem les projeccions de dospunts A i B, un a cadascuna de les rectes r i s, a més del punt Pd’intersecció entre totes dues; aquest últim ens serveix de referència delsallunyaments relatius a1 i a2, que ens permeten situar la nova projeccióhoritzontal de les dues rectes, r1’ i s1’, que defineixen la corresponent novaprojecció del pla. Com als casos anteriors, la direcció a la qual situem lanova projecció és arbitrària; la distància respecte a la projecció verticalprincipal ha de ser la suficient per tal que, la lectura de totes les projec-cions representades, sigui prou clara.

Sistema dièdric. Moviments CONEIXEMENTS TEÒRICS UNITAT

97

4

Fig. 7 Fig. 8

UNITAT 4 CONEIXEMENTS TEÒRICS Sistema dièdric. Moviments

98

2 GIRS

Una altra forma de situar un element geomètric en posició favorableés realitzant un gir. En aquest moviment romanen invariables els dosplans de projecció i el que varia la seva posició és l’element geomètricconsiderat, el qual gira al voltant d’un eix, normalment perpendiculara algun dels plans de projecció; l’angle a girar és el que cal per situarl’element en una posició favorable respecte als plans de projecció.

Com férem en estudiar el canvi de pla, veurem, en primer lloc, el com-portament dels elements simples –punt, recta i pla– al sotmetre’ls algir d’un angle qualsevol; en les Aplicacions pràctiques, girarem anglesconcrets per aconseguir posicions favorables. En tots els casos hauremde determinar, per a cada element a girar, les seves dues noves projec-cions.

2.1 Gir d’un punt

Al girar un punt respecte a un eix vertical, aquest es mou en un plaperpendicular a l’eix i, per tant, horitzontal. La circumferència que elpunt descriu en desplaçar-se al voltant de l’eix es projecta, en el casd’eix vertical, en veritable magnitud sobre la seva projecció horitzon-tal, com veiem en la representació en perspectiva de la figura 9; la pro-jecció vertical és un segment perpendicular a la projecció vertical del’eix, coincident amb la projecció vertical del pla horitzontal que contéla trajectòria del punt.

En la figura 10 repetim el procés, però en projeccions dièdriques.Disposem les projeccions P’ - P’’ del punt a girar i les projeccions del’eix vertical de gir, e’ - e’’. La trajectòria del punt P, en el seu movi-ment de rotació al voltant de l’eix e, és una circumferència de centree’ el radi de la qual és la distància entre e’ i P’. Podem situar la novaprojecció horitzontal P1’ en qualsevol punt d’aquesta circumferència;la projecció vertical P1’’ es trobarà sobre la perpendicular a e’’ traçadades de P’’, en la seva intersecció amb la línia de correspondència traça-da des de P1’.

Per efectuar el gir d’un punt respecte a un eix horitzontal, (Fig. 11),procedirem de forma similar a la realitzada en el cas de l’eix vertical.Ara el pla en què es mou el punt al girar serà paral·lel al pla verticalde projecció, pel que la seva projecció sobre aquest (una circumferèn-cia) la veurem en veritable magnitud. En projecció horitzontal, aques-ta circumferència es projecta com un segment perpendicular a la pro-jecció e’ de l’eix de gir.

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11

2.2 Gir d’una recta

Com a norma general per girar una recta n’hi ha prou amb girar, el mateixangle, dos dels seus punts; però si tracem l’eix de gir de forma que es talliamb la recta en un punt, aquest serà invariable en el gir, pel que noméscaldrà girar un altre qualsevol dels seus punts.

En la figura 12 representem les projeccions dièdriques r’ - r’’ d’una rectar, de la qual determinarem les seves noves projeccions després d’efectuarun gir respecte a un eix vertical. Representem l’eix de gir e’ - e’’ de formaque es talli amb la recta a girar en el punt P, considerant-hi també les pro-jeccions de qualsevol altre dels punts de la recta, A’ - A’’. Al tractar-se d’ungir respecte a un eix vertical, en projecció horitzontal veurem la veritablemagnitud de la circumferència de rotació del punt A al voltant de l’eix e:circumferència de centre e’ i radi la distància entre e’ i A’. Situarem la novaposició A1’ de la projecció horitzontal del punt A de forma que tingui elmateix allunyament que el punt P coincident amb l’eix; d’aquesta maneratots els punts de r1’ tindran el mateix allunyament, i haurem transformatla projecció horitzontal de la recta obliqua inicial en la d’una recta frontal.

Completarem, per acabar, la projecció vertical de la recta determinant-hi laprojecció A’’1, situada en la intersecció de la perpendicular a e’’ traçada desd’A’’, amb la línia de correspondència que surti d’A1’. Les projeccions delpunt P, al pertànyer també a l’eix de gir, són invariants, i la seva projeccióP1’’, coincident amb P’’, ens permet traçar la nova projecció vertical, r1’’,de la recta girada.

2.3 Gir d’un pla

Al girar un pla al voltant d’un eix un angle determinat, tots els seus punts irectes giraran el mateix angle i en el mateix sentit; per tant, per girar un pla,girarem els elements que el determinen.

Les rectes r i s de la figura 13, al tallar-se en un punt P, defineixen un pla, elqual girem respecte a un eix vertical que fem passar pel punt P d’interseccióentre les dues rectes. Considerem els punts A i B corresponents, respectiva-ment, a les rectes r i s; en girar aquests punts el mateix angle, tindrem gira-des les rectes i el pla que defineixen. Fent centre a la projecció horitzontale’ de l’eix de gir, coincident amb P’, girem A’ i B’ un mateix angle (90º ala figura); per la nova posició d’aquests punts després del gir i del puntinvariant P’, passaran les noves projeccions r1’ i s1’. Referim el gir a les pro-jeccions verticals tal com hem fet als casos anteriors. De forma similar rea-litzaríem el gir d’un pla respecte a un eix horitzontal, perpendicular al plavertical de projecció.

Sistema dièdric. Moviments CONEIXEMENTS TEÒRICS UNITAT

99

Fig. 12

Fig. 13

4

3 ABATIMENTS

L’abatiment és el tercer dels moviments que estudiarem. Al referir-nos-hisempre entendrem que l’estem aplicant a un pla, pel que les expressions«abatre un punt» o «abatre una recta» són incorrectes, encara que avegades s’usin com a simplificació d’altres expressions que inclourien laparaula pla.

Abatre un pla és girar-lo respecte a la seva recta d’intersecció amb un altrepla, fins a fer-l’hi coincidir. A la recta d’intersecció o eix de l’abatiment, ladenominem xarnera o frontissa*. Si efectuem l’abatiment d’un pla α sobreun dels plans de projecció, en la representació del pla abatut tindrem en veri-table magnitud tots els elements geomètrics continguts en aquest pla.

Si abatem un pla respecte al pla horitzontal de projecció o a qualsevol plaparal·lel a aquest, la frontissa serà la recta d’intersecció entre els dos plansi que, lògicament, serà una de les rectes horitzontals del pla a abatre. Alsabatiments respecte al pla vertical de projecció o a plans paral·lels a ell, lafrontissa serà una recta frontal del pla. A tots els casos, els punts de la fron-tissa són punts dobles, és a dir, que coincideixen a un mateix punt una deles seves projeccions i el seu abatiment.

3.1 Abatiment d’un pla

Anem a abatre, damunt del pla horitzontal de projecció, un pla α; peròveurem el procés a realitzar, en primer lloc, a la representació en perspecti-va de la figura 14. L’eix de gir o frontissa d’aquest abatiment és la intersec-ció entre el pla α i el pla horitzontal de projecció. Considerem un punt Adel pla, de projeccions A’ - A’’; al realitzar-hi l’abatiment, aquest punt des-criu a l’espai una circumferència, de centre al punt M i radi igual al segmentA’’M, situada a un pla perpendicular a la frontissa. La intersecció del plad’aquesta circumferència amb l’horitzontal de projecció és la recta quepassa per A’ i per M, perpendicularment a la frontissa de l’abatiment, idamunt la qual trobarem el punt (A) abatut.

Per poder treballar amb projeccions dièdriques, haurem de reproduir sobreun dels plans de projecció el triangle rectangle A’A’’M; en efectuarl’abatiment sobre el pla horitzontal, construïm en la projecció horitzontal eltriangle rectangle A’NM, igual a l’anterior per tenir un catet comú, i el segoncatet, A’N, el tracem d’igual longitud que A’A’’. D’aquesta manera les hipo-tenuses A’’M i MN són iguals i qualsevol d’elles pot ser agafada com a radid’un arc de centre M que, al tallar-se amb la prolongació d’A’M, ens deter-mina la posició abatuda del punt (A).

UNITAT 4 CONEIXEMENTS TEÒRICS Sistema dièdric. Moviments

100

Fig. 14

A la figura 15 reproduïm el procés descrit al paràgraf anterior, però treba-llant únicament amb les projeccions dièdriques. Representem el pla α peruna de les seves horitzontals i un punt A exterior a la mateixa. L’horitzontalh ens serveix de frontissa al realitzar l’abatiment damunt del pla horitzon-tal de projecció. Per A’ tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissah’; sobre la paral·lela portem la cota relativa del punt A respecte a la cotade l’horitzontal h (segment z a la figura); d’aquesta forma determinem eltriangle rectangle A’MN i la seva hipotenusa, MN, és el radi de gir que, fentcentre al punt M, ens determina la posició abatuda del punt (A) sobre laperpendicular a la frontissa traçada des d’A’.

3.2 Abatiment i relació d’afinitat

Quan abatem un pla, ho fem amb tots els elements geomètrics que contéi n’obtenim, de tots ells, la seva veritable magnitud. Aplicant el procedi-ment descrit al voltant de la figura 15, realitzem ara l’abatiment d’un pladonat per tres dels seus punts A, B i C.

Per realitzar l’abatiment sobre el pla horitzontal, necessitem com a frontis-sa una recta horitzontal del pla, (Fig. 16). Pel vèrtex A, el de menor cota delstres que ens defineixen el pla, fem passar la projecció vertical d’una de lesseves horitzontals, h’’; tot seguit determinem h’ que coincideix amb la fron-tissa de l’abatiment.

Per C’ tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissa; sobre la primerad’aquestes portem la cota relativa, z, del punt C per tal de determinar-ne laposició abatuda (C). Els punts A’ i 1’ són dobles, per estar situats a la fron-tissa. Per buscar la posició abatuda del tercer vèrtex del triangle, prolon-guem el segment que uneix 1’ amb (C) i tracem la perpendicular a la fron-tissa des de B’; la intersecció de totes dues rectes és la posició abatuda (B).El triangle (A)(B)(C) és l’abatiment damunt del pla horitzontal de projecciódel triangle ABC i, per tant, la seva veritable magnitud.

El punt (B) l’hem determinat aplicant la relació d’afinitat existent entre laprojecció horitzontal i la posició abatuda damunt d’un pla horitzontal.Aquesta afinitat ve definida pels elements següents:

• Eix: la frontissa de l’abatiment.• Direcció d’afinitat: perpendicularment a l’eix.• Un parell de punts afins: C’ i (C); aquest últim l’hem determinat,prèviament, pel procediment general exposat.

De forma similar a la descrita realitzaríem l’abatiment sobre el pla verticalde projecció, també amb relació d’afinitat entre la projecció vertical il’abatiment sobre el pla vertical de projecció; tindrem ocasió de comprovar-lo en alguna de les Aplicacions pràctiques que veurem en els apartats pro-pers.

Sistema dièdric. Moviments CONEIXEMENTS TEÒRICS 4UNITAT

101

Fig. 16

Fig. 15

1 DELS CANVIS DE PLA

En el primer apartat dels Coneixements teòrics, hi hem vist el concepte i laforma de realitzar un canvi de pla de projecció, referit a qualsevol dels ele-ments simples, punt, recta o pla. Aplicarem a continuació aquest movimentper aconseguir posicions favorables de rectes o plans, que ens determininvalors mètrics o angulars, o ens facilitin la resolució de problemes de distàn-cies, veritables magnituds, etc.

1.1 Obtenir posicions favorables de rectes

Per posicions favorables de la recta, hi entenem les següents: rectes horit-zontal, frontal, vertical o de punta. A partir d’una recta obliqua, podemaconseguir cada una d’aquestes quatre posicions, decidint en cada cas eltipus de canvi o canvis de pla a realitzar-hi, que dependran, sempre, de larecta de partida i del tipus de recta que vulguem aconseguir.

• De recta obliqua a recta horitzontalLa característica d’una recta horitzontal, paral·lela al PH, és que tots elsseus punts tenen la mateixa cota i, per tant, la seva projecció vertical ésperpendicular a la direcció que estableix la correspondència entre les duesprojeccions d’un dels seus punts qualssevol.

Partint d’una recta obliqua qualsevol, per aconseguir que la seva projeccióvertical tingui les característiques de les rectes horitzontals, efectuarem uncanvi de pla horitzontal de projecció; establint la nova correspondènciaentre projeccions, perpendicularment a la projecció vertical inicial la qualno variarà. A diferència dels canvis de pla que vam veure als Coneixementsteòrics del principi de la unitat, ara la correspondència entre projeccions jano és arbitrària, sinó que ve condicionada pel tipus de recta que volemaconseguir amb el canvi de pla.

A la figura 17, perpendicularment a r’’, busquem les noves projeccionshoritzontals de dos punts A i B de la recta, utilitzant l’allunyament relatiua que referirem des de la projecció horitzontal inicial. A qualsevol lloc dela perpendicular a r’’ traçada des de B’’, situem la nova projecció B1’; enrelació amb aquesta i amb el valor d’allunyament a, la projecció A1’ que,junt amb B1’, ens permet traçar r1’. Com que el canvi de pla efectuat haestat horitzontal, la projecció vertical de la recta no ha variat.

La recta obtinguda, r1’ - r1’’, té la seva projecció horitzontal en veritablemagnitud així com l’angle α que la recta forma amb el nou pla vertical deprojecció.

4 APLICACIONS PRÀCTIQUES Sistema dièdric. MovimentsUNITAT

Fig. 17

102

Sistema dièdric. Moviments

103

UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUES

• De recta obliqua a recta frontalDonades les característiques d’una recta frontal, disposarem la nova corres-pondència entre projeccions perpendicularment a la seva projecció horitzon-tal, que es mantindrà invariable; el canvi de pla que efectuarem serà un canvide pla vertical de projecció.

Així el realitzem en la construcció de la figura 18, on, al traslladar-hi la cotarelativa z en relació amb la nova projecció vertical A1’’, aconseguim la pro-jecció vertical d’un segon punt de la recta B1’’; per ambdues projeccionspassa la nova projecció vertical r1’’.

En tots els casos, i sempre que la complexitat del dibuix ho permeti, dispo-sarem les noves projeccions en zones netes del paper, eliminant-ne la coin-cidència o superposició de projeccions.

• De recta obliqua a recta verticalEl pas entre aquestes projeccions ens exigeix realitzar dos canvis de pla. Talcom indiquem en els Coneixements teòrics, aquests dos moviments seransuccessius i un de cada tipus; vegem en quin ordre han de produir-se.

La posició final de recta vertical es caracteritza per tenir la projecció horit-zontal coincident en un punt; per arribar a aquesta projecció horitzontal,haurem de partir d’una posició en què tots els punts de la projecció horit-zontal anterior tinguin el mateix allunyament, cosa que només passa en larecta frontal. Per tant, haurem de passar de recta obliqua a frontal id’aquesta, a vertical; el primer canvi de pla serà vertical (com hem fet enl’apartat anterior) i el segon, horitzontal.

En la figura 19, hi hem realitzat gràficament el procés descrit, a partir deles projeccions d’una recta obliqua donada. En el primer canvi de pla, ver-tical, disposem la nova correspondència entre projeccions perpendicular-ment a la seva projecció horitzontal r’ de la recta donada; al determinar lanova projecció vertical, queda transformada en recta frontal.

En el segon canvi de pla, horitzontal, disposem la nova correspondènciaentre projeccions en la direcció de la projecció vertical r1’’, que no variarà ipassarà a ser la projecció vertical r2’’ del segon canvi de pla; la corresponentprojecció horitzontal, r2’, serà un punt perquè no existeix allunyament rela-tiu a l’anterior projecció horitzontal r1’.

• De recta obliqua a recta de puntaLa recta de punta té per projecció vertical un punt; el pas previ a aquesta posi-ció és una recta la projecció vertical de la qual tingui la mateixa cota en totsels seus punts, cosa que només ocorre amb la recta horitzontal. Per tant, hemde passar de recta obliqua a horitzontal (mitjançant un canvi de pla horitzon-tal) i d’aquesta a recta de punta, a través d’un segon canvi de pla, en aquestcas, vertical.

Fig. 18

Fig. 19

4

En la figura 20, hi hem realitzat gràficament el procés descrit, a partir deles projeccions de la recta obliqua. En el primer canvi de pla, horitzontal,disposem la nova correspondència entre projeccions perpendicularment ala projecció vertical r’’ de la recta donada.

En el segon canvi de pla, vertical, disposem la nova correspondència entreprojeccions en la direcció de la projecció horitzontal r1’, que no variarà ipassarà a ser la projecció horitzontal r2’ del segon canvi de pla; la corres-ponent projecció vertical, r2’’, serà un punt perquè no existeix cota relati-va a l’anterior projecció vertical r1’’.

104

UNITAT 4 APLICACIONS PRÀCTIQUES Sistema dièdric. Moviments

Fig. 20

1.2 Obtenir posicions favorables de plans

Dues són les posicions de plans que buscarem en aquest apartat: de can-tell i vertical. En ambdós casos i com a pla inicial, disposarem d’un pla oblical qual aplicarem el canvi de pla necessari per assolir les projeccions de laposició sol·licitada en cada cas.

Unes altres posicions de plans que també considerem favorables són lesdels plans horitzontal i frontal. La seva utilitat és tenir veritables magni-tuds dels elements que contenen, sobre una de les seves projeccions. Peròper disposar de plans en veritable magnitud, per facilitat de traçat, elrecurs més utilitzat és l’abatiment.

• De pla oblic a pla de cantellEl pla de cantell, perpendicular al pla vertical de projecció, es caracteritzaper ser projectant vertical; les rectes horitzontals d’un pla oblic qualsevoles transformaran en rectes de punta, al passar aquest a pla de cantell.

Al pla ABC de la figura 21, hi representeml’horitzontal auxiliar h, que fem passar pel seu vèrtexA. Per transformar aquesta horitzontal en recta depunta, cal fer un canvi de pla vertical de projecció; ladirecció d’aquest canvi ve donada per la projeccióhoritzontal h’. De la projecció vertical inicial,n’agafem les cotes relatives z1 i z2 que, a la nova pro-jecció vertical, ens permeten determinar les projec-cions C1’’ i B1’’ respecte a la projecció vertical A1’’, laqual situem a qualsevol punt de la direcció assenya-lada per h’.

• De pla oblic a pla verticalAplicant-hi un raonament similar a l’utilitzat en latransformació de pla oblic a pla de cantell dels parà-grafs anteriors, ara, per passar de pla oblic a verti-cal, utilitzarem una recta frontal auxiliar f que, mit-jançant un canvi de pla horitzontal de projecció,transformarem en recta vertical.

Al pla ABC de la figura 22 tracem una frontal f que ens serveix per deter-minar la direcció a la qual establirem la nova projecció horitzontal, i com areferent per determinar els allunyaments relatius a1 i a2. A la direccióassenyalada per f’’ fixem la nova projecció horitzontal A1’; en relació ambaquesta i utilitzant els allunyaments relatius, fixarem les corresponents alsaltres dos vèrtexs del triangle. Hem de procurar mantenir el mateix sentitdels allunyaments i, per tant, de les projeccions, entre la projecció horit-zontal inicial i l’aconseguida mitjançant el canvi de pla.

105

UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUESSistema dièdric. Moviments

Fig. 22

Fig. 21

4

2 DELS GIRS

A la pràctica, cada moviment té una utilització concreta, malgrat que ambqualsevol d’ells puguem aconseguir les mateixes posicions favorables derectes o plans. Usarem els girs, de forma preferent, per determinar verita-bles magnituds de segments o per traslladar una magnitud real sobre lesprojeccions d’una recta qualsevol. En els pròxims subapartats ens centraremen aquests aspectes.

2.1 Obtenir posicions favorables de rectes

Les quatre posicions favorables de rectes, descrites en l’apartat anterior iaconseguides mitjançant la utilització del canvi de pla, també es podenobtenir utilitzant girs. Mitjançant aquests el traçat sol ser més ràpid i netde línies; ho veiem a continuació:

• De recta obliqua a recta horitzontalEn una recta horitzontal la projecció que ha d’ocupar una posicióconcreta és la vertical. Si partim de la projecció vertical d’una rectaobliqua qualsevol, haurem de girar-la fins que ocupi la posició cone-guda corresponent a les rectes horitzontals; per realitzar aquest girde la projecció vertical, necessitarem un eix de punta.

En la figura 23, hi hem disposat com a eix de gir una recta depunta, e’ - e’’, que es talla amb la recta donada en el punt B’ - B’’;un segon punt de la recta, A’ - A’’ ens serveix per realitzar el gir dela projecció vertical fins a la posició A1’’, amb la mateixa cota queB’’ el qual no variarà per pertànyer a l’eix de gir. Per determinar-nela projecció horitzontal r1’, tracem la línia de correspondència entreprojeccions des d’A1’’ fins a tallar la perpendicular a l’eix traçadaper A’; aquesta intersecció és la projecció A1’ que ens permettraçar r1’.

• De recta obliqua a recta frontalMitjançant un eix vertical e’ - e’’, girarem la projecció horitzontal dela recta donada fins que ocupi la posició coneguda, característicade les rectes frontals.

Tracem l’eix, (Fig. 24), de forma que es talli amb la recta en un puntB’ - B’’, que serà invariable en el gir al pertànyer al mateix eix.Realitzem el gir d’un segon punt de la recta, A’ - A’’, de forma quela nova projecció horitzontal A1’ tingui el mateix allunyament que B’.Referim A1’ a la seva projecció vertical i tracem les dues noves pro-jeccions de la recta, r1’ - r1’’.

106

UNITAT 4 APLICACIONS PRÀCTIQUES Sistema dièdric. Moviments

Fig. 23

Fig. 24

• De recta obliqua a recta de puntaPer portar veritables magnituds sobre les projeccions d’una recta omesurar la veritable magnitud d’un segment, n’hi ha prou ambqualsevol de les dues rectes aconseguides en els subapartats ante-riors, ja que ambdues tenen en veritable magnitud la projecciósobre el pla al qual són paral·leles.

Simplement com a exemple de realització d’un doble gir, en la figu-ra 25 disposem el pas d’una recta obliqua a perpendicular al plavertical de projecció. Mitjançant el gir respecte a l’eix de punta e’ -e’’, transformem la recta obliqua inicial en recta horitzontal; desd’aquesta posició, i mitjançant el gir respecte a un eix vertical j’ - j’’,arribem a la posició desitjada de recta de punta r2’ - r2’’.

Ambdós eixos de gir es tallen amb les projeccions de la recta a girar.Invertint l’ordre dels girs, aconseguiríem el pas de recta obliqua arecta vertical, a través d’una recta frontal intermèdia.

2.2 Obtenir posicions favorables de plans

Si el gir d’una recta és la forma més ràpida d’aconseguir tenir-la enposició favorable, no succeeix el mateix amb el gir de plans; perpassar aquests de posició obliqua a posició favorable (projectant enrelació amb algun dels plans de projecció), el moviment més ràpid inet de línies és el canvi de pla que hem vist en apartats anteriors.Com a demostració que amb un gir també és possible aquestatransformació, vegem-ne la següent:

• De pla oblic a pla de cantellAl pla ABC de la figura 26 tracem una de les seves rectes de màximpendent, la que passa pel vèrtex B. Aquesta recta m, que és per-pendicular a les horitzontals del pla ABC, ho continuarà sent quanaquest passi a ser un pla de cantell; les seves horitzontals seran rec-tes de punta i la recta de màxim pendent serà, lògicament, frontal.

Com que la recta de màxim pendent passa pel vèrtex B, fem passar peraquest mateix vèrtex l’eix vertical e’ - e’’ entorn del qual farem el gir.Girem el punt d’intersecció entre h’ i m’ per tal que aquesta últimaocupi la posició m1’ corresponent a la projecció horitzontal d’una fron-tal. Determinem la corresponent projecció vertical m1’’, coincident ambla projecció projectant del pla i sobre la qual situem, amb perpendicu-lars traçades des d’A’’ i C’’, les noves projeccions d’aquests vèrtexs.Finalment, els referim a la projecció horitzontal girant A’ i C’ el mateixangle que, prèviament, havíem girat la recta de màxim pendent.

De forma similar realitzaríem el gir d’un pla oblic fins a la posició depla vertical, perpendicular al pla horitzontal de projecció.

107

UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUESSistema dièdric. Moviments 4

Fig. 25

Fig. 26

3 DELS ABATIMENTS

L’abatiment és el moviment més utilitzat a l’hora de treballaramb veritables magnituds, VM, de formes planes; ja sigui perdeterminar la VM d’una forma de la qual coneixem les sevesprojeccions dièdriques, o per determinar les projeccionsd’una forma de la qual coneixem la seva VM. En ambdóscasos, haurem d’abatre el pla que conté la forma tot utilit-zant per fer-ho, com a rectes auxiliars, horitzontals i frontalsdel pla esmentat, mitjançant les quals establirem la corres-pondència entre projeccions i entre aquestes i la forma aba-tuda.

3.1 Traçat de formes en veritable magnitud;combinació de moviments

Sempre que realitzem l’abatiment d’un pla damunt d’undels de projecció o en relació amb un pla paral·lel a und’aquests, obtenim la veritable magnitud del pla i dels ele-ments geomètrics continguts. A la figura 16, al realitzarl’abatiment del pla ABC, vam obtenir la seva veritable mag-nitud. Veurem ara la resolució d’un problema que compor-ta utilitzar, de forma combinada, els diferents movimentsestudiats.

El triangle A’B’C’ és la projecció horitzontal d’un trian-gle equilàter; la projecció vertical del costat de menorcota és el segment A’’B’’. Completar la projecció verti-cal del triangle. (Fig. 27).

El costat AB, del qual coneixem les dues projeccions, és unsegment horitzontal; per tant, ens serveix com a frontissaper realitzar l’abatiment del pla del triangle respecte al plahoritzontal de projecció. La projecció horitzontal d’aquestsegment, A’B’, està en veritable magnitud i coincideix ambla magnitud del costat del triangle; utilitzem el seu valor perrepresentar el triangle A’B’(C) com l’abatiment del triangleABC. Per completar la projecció vertical necessitem conèi-xer la cota z del vèrtex C, la qual determinem mitjançantprojeccions auxiliars.

Si considerem al triangle equilàter A’B’(C) com una pro-jecció horitzontal, la seva projecció vertical s’ha decorrespondre amb la projecció vertical d’un pla horitzon-tal. Perpendicularment a la direcció A’B’ representem el

108

UNITAT 4 APLICACIONS PRÀCTIQUES Sistema dièdric. Moviments

Fig. 27

Abatiment aplicat en la ingenieria automobilística.

segment C1’’ - A1’’B1’’, el qual representa la pro-jecció vertical del triangle A’B’(C). Fent centre aA1’’B1’’ girem el segment anterior, fins a tenirl’extrem lliure en correspondència dièdrica ambC’; d’aquesta forma determinen la projecció auxi-liar C2’’ i la cota z que ens permet completar laprojecció vertical principal.

3.2 Restituir formes abatudesa projeccions

El pla delimitat per les rectes paral·leles r i s de lafigura 28 conté un quadrat, amb un costat sobrecada una de les rectes i amb el vèrtex de menorcota en el punt A, situat sobre les projeccions de larecta s. En determinarem ara les projeccions delquadrat esmentat.

Com que el pla format per les rectes paral·leles ésoblic, l’haurem d’abatre per poder representar elquadrat en veritable magnitud. Per realitzar aquestabatiment respecte a un pla horitzontal, cal definircom a frontissa una de les horitzontals del pla for-mat per les dues paral·leles; horitzontal, h’ - h’’,que fem passar pel punt A donat a les dues projec-cions. Utilitzem un punt auxiliar, 2’ - 2’’, situat a larecta r i de cota relativa z, per tal de poder realitzarl’abatiment. Els punts d’intersecció de r’ i s’ amb lafrontissa h’ són punts dobles; per ells passen lesrectes abatudes (r) i (s) que, lògicament, continuensent paral·leles.

Les posicions de (r), (s) i de (A) sobre el pla abatutsón en veritable magnitud, pel que la perpendicular a(r) traçada des de (A) és la magnitud real del costatdel quadrat, valor aquest que ens permetrà el seutraçat, (A)(B)(C)(D), en veritable magnitud.

Ens queda desabatre el quadrat. Des de cada vèrtexde la projecció abatuda traçarem perpendiculars ala frontissa per determinar sobre la recta correspo-nent les projeccions B’, C’ i D’. A partir de cada unad’elles determinarem la corresponent projecció ver-tical, B’’, C’’ i D’’. En ambdues projeccions, i comque el paral·lelisme és un dels invariants projectiusdel sistema dièdric, es manté el paral·lelisme entrecostats oposats del quadrat.

109

UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUESSistema dièdric. Moviments

Fig. 28

4

Sistema dièdric. MovimentsUNITAT QÜESTIONS I EXERCICIS4

110

Canvis de pla1.Mitjançant un canvi de pla, transforma

la recta r de la figura 29 en una rectahoritzontal.

2. Determina la veritable magnitud de la distàn-cia entre els punts A i B de la figura 30.

3. Mitjançant canvis de pla, transforma larecta s de la figura 31 en una recta vertical.

4. Realitza el canvi de pla pertinent per talque el pla ABC de la figura 32 sigui un plade cantell.

5.Mitjançant canvis de pla, transforma el plaABC de la figura 33 en un pla frontal.

6. Al model arquitectònic representat a la figu-ra 34, aplica un canvi de pla vertical per tal

Fig. 29Fig. 32

Fig. 33

Fig. 34

Fig. 30

Fig. 31

UNITATQÜESTIONS I EXERCICISSistema dièdric. Moviments 4

111

que la nova projecció del punt c’ - c’’ siguic1’’; dibuixa només les arestes vistes d’acordamb la nova direcció de projecció.

Girs7.Gira 120º, en sentit contrari al de les agu-

lles del rellotge, el punt P de la figura 35respecte a l’eix representat a la mateixafigura.

8. Mitjançant l’aplicació de girs, transforma larecta r de la figura 36 en una recta frontal.

9.Mitjançant girs, transforma la recta r de lafigura 37 en una recta de punta.

10. Utilitzant els girs, determina la veritablemagnitud de la distància entre els punts Ai B de la figura 38.

Abatiments11. Realitza l’abatiment damunt del pla

vertical de projecció del pla ABC de lafigura 39.

12. Determina les dues projeccions d’un trian-gle isòsceles, semblant al triangle ABCindicat junt amb les dades de la figura 40,amb el vèrtex A al punt donat i ambel costat BC situat a sobre de la recta r.

Fig. 35

Fig. 38

Fig. 39

Fig. 40

Fig. 36

Fig. 37

Sistema dièdric. MovimentsUNITAT QÜESTIONS I EXERCICIS4

112

Làmines dels exercicis, al CD.Continguts bàsics de la unitat en format hipermèdia, al CD.Més activitats al CD.

13. Dibuixa un quadrat contingut al pla ABCde la figura 41, on un dels seus costatsés el segment donat DE.

14. Determina les dues projeccions de la bisec-triu de l’angle format per les dues rectes ri s de la figura 42.

15. El punt O de la figura 43 és el centred’una circumferència tangent a la recta r

donada; representa les dues projeccionsd’aquesta circumferència.

Moviments combinats16. El rectangle A’B’C’D’ de la figura 44

és la projecció horitzontal d’un quadrati el segment A’’B’’ la projecció verticaldel seu costat de menor cota. Completala projecció vertical del quadrat.

17. Al pla ABCD de la figura 45 hi ha inscritun hexàgon regular de costat MN;determina les dues projeccions d’aquesthexàgon.

Fig. 41

Fig. 43

Fig. 44

Fig. 45

Fig. 42

La inspiració existeix, però t’ha de trobar treballant.

PABLO PICASSO