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8/19/2019 Unidad v Mecanica.pdf Mecanica

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INDICE

CONTENIDOIntroducción....................................................................................................2

5.1 Dinámica de un sistema de partículas.................................................3

5.2 Movimiento del centro de masa............................................................4

Momento lineal e impulso..............................................................................5

Energía cinética..............................................................................................7

5.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento.................8

5.4 Teorema de conservación de la energía..............................................9

Sistema aislado............................................................................................ 11

La uer!a e"terior F ext

es conser#ati#a..................................................11

5.5 Colisiones elásticas e inelásticas.......................................................12

$oe%ciente de restituci&n.............................................................................12

5.4 Cuerpo rígido.........................................................................................13

Modos de mo#imiento de un cuerpo rígido..................................................13

'or(ue de una uer!a....................................................................................14

E(uili)rio de un cuerpo rígido ......................................................................17

$ondiciones de e(uili)rio..........................................................................17

$entro de gra#edad......................................................................................18

$entro de masa............................................................................................18

!"CICI#$ %"#%&$T#$...........................................................................2*

5.1 Dinámica de un sistema de partículas....................................................2*

5.2 Movimiento del centro de masa........................................................22

5.5 Colisiones elásticas e inelásticas............................................................24

5.6 Cuerpo rígido.......................................................................................27

Conclusión.....................................................................................................3*

'i(liogra)ía....................................................................................................3*


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INTRODUCCIÓN.

La mayor parte de los objetos físicos no pueden por lo general tratarse como

partículas. En mecánica clásica, un objeto extendido se considera como un

sistema compuesto por un gran número de partículas puntuales.

El estudio sirve para el análisis de partículas libres, como para un sólido rígido en

cuyo caso las partículas se mueven manteniendo distancias fijas entre sí. Antes

de entrar en el tema, ablaremos del momento lineal e impulso.

!odas las partículas "ue forman la masa del cuerpo tienen el mismo tipo de

movimiento. El movimiento del conjunto coincide con el movimiento de una de las

partículas. #o todas las partículas "ue forman una masa an de tener

necesariamente el mismo movimiento.

El conjunto de partículas o cuerpos "ue se tiene en cuenta los propiosmovimientos de cada componente recibe el nombre de sistema de partículas.

$i un sistema de partículas tiene movimiento de traslación, se comporta como

una partícula cuya masa coincide con la masa total del sistema y "ue está

situada en un punto especial llamado centro de masas.


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5.1 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

$ea un sistema de partículas. $obre cada partícula actúan las fuer%as exterioresal sistema y las fuer%as de interacción mutua entre las partículas del sistema.$upongamos un sistema formado por dos partículas. $obre la partícula & actúa

la fuer%a exterior F 1 y la fuer%a "ue ejerce la partícula ', F 1 $obre la

partícula ' actúa la fuer%a exterior F 2 y la fuer%a "ue ejerce la partícula & F 2 .

(or ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la !ierra y la Luna)las fuer%as exteriores serían las "ue ejerce el $ol *y el resto de los planetas+sobre la !ierra y sobre la Luna. Las fuer%as interiores serían la atracción mutuaentre estos dos cuerpos celestes.

(ara cada una de las partículas se cumple "ue la ra%ón de la variación delmomento lineal con el tiempo es igual la resultante de Las fuer%as "ue actúansobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula vienedeterminado por las fuer%as interiores y exteriores "ue actúan sobre dicapartícula

$umando miembro a miembro y teniendo en

cuenta la tercera Ley de #eton, F 12=− F 21 ,tenemos "ue)

-onde P es el momento lineal total del sistema y F ext es la resultante de las

fuer%as exteriores "ue actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del

sistema de partículas viene determinado solamente por las fuer%as exteriores.


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4

5.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA(ara un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula & respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula ' respecto del centro de masas es

En el sistema/, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.(odemos comprobar fácilmente "ue el momento lineal de la partícula & respecto

al sistema/ es igual y opuesto al momento lineal de la partícula ' respecto del

sistema/

p1cm=m1v 1cm

p2cm=m2v 2cm

p1cm=− p2cm

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2 , como m1 es mayor "uem2 , la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca

de la masa mayor .


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3 *

En general, la posición r cm del centro de masa de un sistema de N (artículases)

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del

tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total

del sistema de partículas.

-e la dinámica de un sistema de partículas tenemos "ue

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una

partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuer%a

externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado F ext =0 el centro de masas se mueve con velocidadconstante vcm0cte.

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m "ue se mueve con una velocidad

v se define como el producto de la masa por la velocidad

p=m v

$e define el vector fuer%a, como la derivada del momento lineal respecto deltiempo

La segunda ley de #eton es un caso particular de la definición de fuer%a,cuando la masa de la partícula es constante.

-espejando d p en la definición de fuer%a e integrando


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3 *

A la i%"uierda, tenemos la variación de momento lineal y a la dereca, la integral"ue se denomina impulso de la fuer%a F en el intervalo "ue va de t i a t f .

(ara el movimiento en una dimensión,

cuando una partícula se mueve bajo la

acción de una fuer%a F , la integral es el

área sombreada bajo la curva fuer%a

tiempo.

En mucas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta

aproximación, se supone "ue una de las fuer%as "ue actúan sobre la partícula

es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran

utilidad cuando se estudian los co"ues, por ejemplo, de una pelota con una

ra"ueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pe"ue1o, del orden de

cent2simas o mil2simas de segundo, y la fuer%a promedio "ue ejerce la pala o la

ra"ueta es de varios cientos o miles de #eton. Esta fuer%a es muco mayor

"ue la gravedad, por lo "ue se puede utili%ar la aproximación del impulso.

/uando se utili%a esta aproximación es importante recordar "ue los momentos

lineales inicial y final se refieren al instante antes y despu2s de la colisión,

respectivamente.


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Energía cinética

La relaci&n entre las energías cinéticas medidas en el sistema+L , en elsistema+$ es -cil de o)tener

El primer t2rmino, es la energía cin2tica relativa al centro de masas. El segundo

t2rmino, es la energía cin2tica de una partícula cuya masa sea igual a la del

sistema movi2ndose con la velocidad del centro de masa. A este último t2rmino,

se le denomina energía cin2tica de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos

partes)

El movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa.

El movimiento interno relativo al centro de masas.

En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la

descripción del movimiento de un sistema de dos partículas "ue interactúan a

trav2s de un muelle elástico.


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5.3 TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DEMOVIMIENTO.

/onsid2rese dos partículas "ue pueden interactuar entre sí pero "ue están

aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua

pero no ay fuer%as exteriores al sistema.

La partícula & se mueve bajo la acción de la fuer%aF&' "ue ejerce la partícula '. La partícula ' semueve bajo la acción de la fuer%a F'& "ue ejerce lapartícula &. La tercera ley de #eton o (rincipio de Acción y 3eacción establece "ue ambas fuer%as

tendrán "ue ser iguales y de signo contrario.

F 12+ F 21=0

Aplicando la segunda ley de #eton a cada una de las partículas

El principio de conservación del momento lineal afirma "ue el momento lineal

total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado,

es decir, si no actúan fuer%as exteriores sobrelas partículas del sistema.El

principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturale%a

de las fuer%as de interacción entre las partículas del sistema aislado

m1u1+m2u2=m1 v1+m 2v2

-onde u1 y u2 so las velocidades iniciales de las partículas & y ' y v1 y v2 lasvelocidades finales de dicas partículas.


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5.! TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENER"ÍA.

$upongamos "ue la partícula de masa m1 se despla%adr 1 , y "ue la

partícula de masa m2 se despla%adr 2 , como consecuencia de las fuer%as

"ue actúan sobre cada una de las partículas.

El trabajo reali%ado por la resultante de las

fuer%as "ue actúan sobre la primera partícula

es igual al producto escalar

( F 1+ F 12)· dr 1¿

-el mismo modo, el trabajo reali%ado por laresultante de las fuer%as "ue actúan sobre lapartícula de masa m2 será

( F 2+ F 21)· dr 2

!eniendo en cuenta "ue el trabajo de la resultante de las fuer%as "ue actúan

sobre una partícula modifica la energía cin2tica de la partícula, es decir, la

diferencia entre la energía cin2tica final y la inicial.

$umando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del

trabajo de las fuer%as exteriores más el trabajo de las fuer%a interiores o de

interacción mutua. $e tiene en cuenta "ue las fuer%as interiores F 12=− F 21

son iguales y de sentido contrario


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Las fuer%as interiores F12 y F21 reali%an trabajo siempre "ue aya undespla%amiento relativo de la partícula & respecto de la ', ya "ue

dr 1−dr 2=d (r1−r 2)=dr 12

#ormalmente, la fuer%a F12 es conservativa *es de tipo gravitatorio, el2ctrico,muelle elástico, etc.+ El trabajo de una fuer%a conservativa es igual a ladiferencia entre la energía potencial inicial y final.

-enominando trabajo de las fuer%as exteriores a la suma

!endremos

Entre par2ntesis tenemos una cantidad "ue es la suma de la energía cin2tica de

las dos partículas "ue forman el sistema y de la energía potencial "ue describe la

interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U

del sistema de partículas.

W ext =U f −U i

El trabajo de las fuer%as exteriores es igual a la diferencia entre la energía del

sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas

en el estado inicial.


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(ara un sistema de dos partículas, ay una sola interacción de la partícula &con la ' descrita por la fuer%a interna conservativa F&' o por la energíapotencial E p12 . La energía del sistema U se escribe

(ara un sistema formado por tres partículas ay tresinteracciones, de la partícula & con la ', la & con la 4 yla ' con la 4, descritas por las fuer%as internasconservativas F&', F'4, F&4 o por suscorrespondientes energías potenciales. La energía delsistema es

Sistema aislado

(ara un sistema aislado, F ext =0 , el trabajo W ext de las fuer%asexteriores es cero, la energía U del sistema de partículas se mantiene

constante. (ara un sistema de dos partículas cuya interacción mutua está

descrita por la energía potencial E p12 .

La fuerza exterior F ext es conservativa

El trabajo de la fuer%a exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial

inicial y la final

W ext = E pi− E pf

!enemos por tanto "ue U i+ E pi=U f + E pf =cte

(ara un sistema de dos partículas bajo la acción de la fuer%a conservativa

peso, la conservación de la energía se escribirá


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5.5 COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS.$e emplea el t2rmino de colisión para representar la situación en la "ue dos o

más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. $e supone "ue las

fuer%as impulsivas debidas a la colisión son muco más grandes "ue cual"uier

otra fuer%a externa presente.El momento lineal total se conserva en las colisiones. $in embargo, la energía

cin2tica no se conserva debido a "ue parte de la energía cin2tica se transforma

en energía t2rmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se

deforman durante la colisión.

$e define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la

energía cin2tica. /uando dos objetos "ue cocan se "uedan juntos despu2s del

co"ue se dice "ue la colisión es perfectamente inelástica. (or ejemplo, un

meteorito "ue coca con la !ierra.

En una colisión elástica la energía cin2tica se conserva. (or ejemplo, las

colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico

las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cin2ticas despu2s y antes de la

colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero

puede ser menor "ue cero si en el co"ue se pierde energía cin2tica comoresultado de la deformación, o puede ser mayor "ue cero, si la energía cin2tica

de las partículas despu2s de la colisión es mayor "ue la inicial, por ejemplo, en la

explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía

"uímica o energía nuclear se convierte en energía cin2tica de los productos.

Coeficiente de restitución

$e a encontrado experimentalmente "ue en una colisión frontal de dos esferas

sólidas como las "ue experimentan las bolas de billar, las velocidades despu2s

del co"ue están relacionadas con las velocidades antes del co"ue, por la

expresión


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asociado al cambio de dirección en el espacio por ejemplo un trompo+, y de

vibración de cada parte del cuerpo mientras se traslada y gira. (or lo tanto el

estudio del movimiento puede ser en general muy complejo, por esta ra%ón se

estudia cada movimiento en forma independiente.

/uando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de

otro punto del mismo cuerpo, aun"ue como un todo se est2 moviendo de

manera similar, por lo "ue ya no se puede representar por una partícula. (ero

se puede representar como un objeto extendido formado por un gran número de

partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación

del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido y se

debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.

Torque de una fuerza.

/uando se aplica una fuer%a en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo

tiende a reali%ar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad dela fuer%a para acer girar al cuerpo se mide con una magnitud física "ue

llamamos torque o momento de la fuer%a. $e prefiere usar el nombre tor"ue y

no momento, por"ue este último se emplea para referirnos al momento lineal, al

momento angular o al momento de inercia, "ue son todas magnitudes físicas

diferentes para las cuales se usa el mismo t2rmino.

Anali%aremos cualitativamente el efecto de rotación "ue una fuer%a puede

producir sobre un cuerpo rígido. /onsideremos como cuerpo rígido a una regla

fija *figura &+ en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra

en la figura, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto "ue

alguna fuer%a de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre

la regla fija en O. La fuer%a F1 aplicada en el punto a produce en torno a O unarotación en sentido antiorario, la fuer%a F2 aplicada en el punto b produce unarotación oraria y con mayor rapide% de rotación "ue en a, la fuer%a F3 aplicadaen b, pero en la dirección de la línea de acción "ue pasa por O, no produce

rotación

*se puede decir "ue F3 7empuja a la regla sobre O, pero no la mueve+, F! "ue

actúa inclinada en el punto b produce una rotación oraria, pero con menorrapide% de rotación "ue la "ue produce F28 F5 y F# aplicadas perpendiculares ala regla, saliendo y entrando en el plano de la figura respectivamente, no

producen rotación. (or lo tanto existe una cantidad "ue produce la rotación del

cuerpo rígido relacionada con la fuer%a, "ue es lo "ue definimos como el torque

de la fuer%a.


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9igura &.La regla.

$e define el torqueτ de una fuer%a "ue actúa sobre algún punto del cuerporígido, en una posición r respecto de cual"uier origen O, por el "ue puede pasarun eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorialentre la posición r y la fuer%a aplicada , por la siguiente expresión)

El torque es una magnitud vectorial, si : es el ángulo entre r y ! su valor

num2rico, por definición del producto vectorial, es)

$u dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y , cuyo

diagrama vectorial se muestra en la figura ', su sentido está dado por la regla

del producto vectorial, la regla del sentido de avance del tornillo o la regla de la

mano dereca. En la regla de la mano dereca los cuatro dedos de la mano

dereca apuntan a lo largo de r y luego se giran acia a trav2s del ángulo :, la

dirección del pulgar dereco estirado da la dirección del tor"ue y en general de

cual"uier producto vectorial.

9igura 2.(or convención se considera el tor"ue positivo *negativo+ si la rotación "ue

produciría la fuer%a es en sentido antiorario *orario+8 esto se ilustra en la figura


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4. La unidad de medida del tor"ue en el $; es el Nm *igual "ue para trabajo, pero

no se llama joule+.

9igura 4.

El tor"ue de una fuer%a depende de la magnitud y dirección de y de su punto

de aplicación respecto a un origen O. $i la fuer%a pasa por O, r=0 y el

tor"ue es cero. $i : 0 5 o &


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Equili"rio de un cuerpo rígido.

(or definición una partícula puede tener solo movimiento de

traslación. $i la resultante de las fuer%as "ue actúan sobre una partícula es cero,

la partícula está movi2ndose con velocidad constante o está en reposo8 en este

último caso se dice "ue está en e"uilibrio estático. (ero el movimiento de un

cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la

resultante tanto de las fuer%as como de las tor"ues "ue actúan sobre el cuerpo

rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración

angular, y si está en reposo, estará en e"uilibrio estático. La rama de la

mecánica "ue estudia el e"uilibrio estático de los cuerpos se llama estática.

(ara "ue un cuerpo rígido este en e"uilibrio estático se deben cumplir dosre"uisitos simultáneamente, llamados condiciones de e"uilibrio. La primera

condición de e"uilibrio es la (rimera Ley de #eton, "ue garanti%a el e"uilibrio

de traslación. La segunda condición de e"uilibrio, corresponde al e"uilibrio de

rotación, se enuncia de la siguiente forma) >la suma vectorial de todos los

tor"ues externos "ue actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cual"uier

origen es cero?. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas

como las condiciones de e"uilibrio de un cuerpo rígido)

Condiciones de equili"rio

9igura @

9igura


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/omo estas ecuaciones vectoriales son e"uivalentes a seis ecuaciones

escalares, resulta un sistema final de ecuaciones con seis incógnitas, por lo "ue

limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuer%as "ue actúan sobre

un cuerpo rígido, están en el plano x y, donde tambi2n obviamente se encuentra

r.

/on esta restricción se tiene "ue tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dosde la primera condición de e"uilibrio y una de la segunda, entonces el sistema

de ecuaciones vectorial *fig. @+ y *fig. + se reduce a las siguientes ecuaciones

escalares)

Σ Fx=0, Σ Fy=0, Στ O=0

/uando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuer%a

de gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el tor"ue producido

por su peso. (ara calcular el tor"ue debido al peso, se puede considerar como

si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de

gravedad.

Centro de gravedad.

-ebido a "ue un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de

sus partes actúa la fuer%a de gravedad. El centro de gravedad es la posición

donde se puede considerar actuando la fuer%a de gravedad neta, es el punto

ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo.

(ara un objeto sim2trico omog2neo, el centro de gravedad se encuentra en el

centro geom2trico, pero no para un objeto irregular.

Centro de masa.

Es la posición geom2trica de un cuerpo rígido donde se puede considerar

concentrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las

partículas de masa "ue forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cual"uier

objeto sim2trico omog2neo, se ubica sobre un eje se simetría.

/uando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la

fuer%a neta aplicada en el centro de masa y anali%ar el movimiento del centro de

masa como si fuera una partícula. /uando la fuer%a es el peso, entonces se

considera aplicado en el centro de gravedad. (ara casi todos los cuerpos cerca

de la superficie terrestre, el centro de masa es e"uivalente al centro de

gravedad, ya "ue a"uí la gravedad es prácticamente constante, esto es, si g

es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de

masa.

Existen m2todos de cálculo integral para calcular estas dos

posiciones, pero a"uí no las detallaremos. Aora se pueden responder las preguntas anteriores. 3especto a la !orre de

(isa, la respuesta a la pregunta de por"ue no se cae, es por"ue su centro de


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gravedad está geom2tricamente dentro de su base, "ue se llama >área de

sustentación?.

$i la torre continúa inclinándose asta "ue su centro de gravedad caiga fuera del

área de sustentación, entonces se derrumbará. (ero se le an puesto apoyos en

su base para evitar "ue continu2 inclinándose. Las otras preguntas aora las

puedes responder tú.


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(ara aplicar las condiciones de e"uilibrio, es recomendable seguir las siguientes

instrucciones, "ue corresponde a dibujar el -/L del cuerpo rígido)

a+ Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.

b+-ibujar los vectores "ue representen las fuer%as en el punto de aplicación donde lasfuer%as efectivamente actúan.

c+Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuer%as, donde

dibujar la componente perpendicular a la posición.

d+Elegir un eje de rotación B adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los tor"ues de

*algunas+ fuer%as desconocidas.


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0a!onar si la masa desli!a por el plano. En caso a%rmati#o calcular la aceleraci&n con la (ue )a

E$ERCICIOS PROPUESTOS

#.$ %in&mica de un sistema de partículas

&.$e tiene una masa puntual m 0 C Dg en un plano inclinado unángulo α 0 45o. Entre la masa y el plano existe ro%amiento de

coeficientes estático µ s=0.3 y dinámico µ d=0.12.

$e aplica aora una fuer%a F perpendicular al plano. 9igura *b+.

b+ /alcular el módulo de F para "ue la masa baje convelocidad constante

c+


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d+ /alcular el trabajo reali%ado por cada una de las fuer%as "ue

actúan cuando la masa a bajado una distancia d 0 5.< m.Explicar el resultado.

'. n objeto se encuentra unido a un muelle de constante recuperadora K =2000 N /m

sobre una superficie ori%ontal sin ro%amiento. El objeto oscila según un movimiento

armónico simple de amplitud A=6cm y la velocidad máxima "ue alcan%a es

vmx=2.2m/ s .

a+ -eterminar la frecuencia F del movimiento, la masa del objeto y la aceleraciónmáxima a la "ue se ve sometido.

b+ /alcular la energía total del movimiento. $i en un instante dado la energía


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potencial elástica es &. G, calcular la posición de la masa *x+ y el módulo de lavelocidad en dico instante.

#.' Movimiento del centro de masa

&. -os partículas, una de masa m y la otra de masa 'm se ubican sobre elplano xy en las posiciones *5, a+ y *b, 5+ respectivamente, como se muestraen la figura. H/uál es la posición del centro de masa del sistemaI


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,

m

a

2m

")

So%u&'(

(ara encontrar el centro de masa del sistema basta con reempla%ar los valorescorrespondientes en la ecuación.


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˙r ! 5 m* a/ 6

2mb */

3m


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29/38

24

l

l

m1m2

#.# Colisiones el&sticas e inel&sticas

&. -os bolas de marfil "& y "' de masas m& y m' están suspendidas de dosilos inextensibles de longitud l#Las bolas se tocan cuando los ilos estánverticales. $i despla%amos "& de su posición de e"uilibrio un ángulo $ y luegola soltamos, entonces se moverá y cocará con la bola ', "ue estabainicialmente inmóvil. (ara esta situación calcule)

*a+La velocidad de J& justo antes de impactar a "'.*b+Las velocidades de ambas bolas justo despu2s de la colis ión .*c+ La altura máxima "ue alcan%ará cada bola despu2s del co"ue,

considerando "ue m1=m2 .

So%u&'(

a+ $i fijamos el cero de la energía potencial a la altura del centro demasa de la bola

"', se tiene "ue inicialmente la energía de la bola "& está dada por)

E1=m 1g('−'cos().

/omo no existen fuer%as disipativas actuando sobre m&, su energía justo antesdel co"ue será igual a su energía inicial, luego

-e manera "ue)

, 2gl 1 − cos $/


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b+ #otar "ue existen fuer%as externas netas actuando sobre el sistema %m&,

m' &, ya "ue la gravedad actúa sobre ambas masas. En este caso, así como

en la mayoría de los co"ues, debemos recurrir a la llamada aproximaci'n del impul(o. Ksta consiste en considerar "ue las fuer%as entre los cuerpos

involucradas en la colisión son varios órdenes de magnitud mayor "ue cual"uier

otra fuer%a externa involucrada, durante el tiempo )t "ue dura la colisión. Es

decir, durante ese intervalo podemos pensar "ue es una buena aproximación

no tomar en cuenta las fuer%as externas y aplicar conservación de momento)

# p i=(m1 v1 i+m2v 2i) x $ =# p f =(m1v 1 f +m 2v2 f ) x $ )

-onde v 2i=0 ya "ue la esfera ' se encuentra inicialmente en reposo. Así,

m1v 1i=m1v 1 f +m2v2 f .

Además, como el co"ue es perfectamente elástico, se conserva la energía,

❑

❑❑

❑❑

(or otra parte, de la conservación del momento despejamos v 'f

m1(v1 i−v1 f )

v 2 f =¿

2

Luego, reempla%ando esto último en la ecuación para la conservación deenergía,

&m1v

25

'

1

m1v2

'1

62

m2

m

11


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.

m1v 1i

−

v

1

f /.2

m2

v 2 .

m1 6

m2 .

.

m1 − m 2 .

1f 2 − m1v 1i v 1f 6 v 1i 2

5 *

m1v 1i ± .

m2v 2 − v2 4

2 2

1−

2

v 1f 5

1 1i 1i 4

m1 6 m2

m 1 ± m 2/

→ v 1f 5 v 1i m1 6 m2

/omo sabemos "ue la velocidad de m& no es exactamente la misma antes ydespu2s del co"ue, la única solución con sentido físico es

.

m1 − m 2

.

v 1f 5 v 1i

m1+m2

Entonces,

v 2f 5

2v 1i

-onde v &i fue obtenida en la parte *a+

.

m1

.

,m1 6 m2

2

m m


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Los valores de las distancias son)

r 1=0,r 2="=0.5m) r 3=!=1m #

τ A=(10)(0)sen 45+(5)(0.5)sen60 * (15)(1) sen20=−3 Nm

(ara rotación en torno al punto J, considerando el sentido de la rotación)

τ +=+ F 1 r 1 sen45+ F 2r 2 sen60− F 3r 3 sen20

Aora los valores de las distancias son)

r 1="=0.5m )r 2=0,r 3=!−"=0.5m .

τ +=(10)(0.5) sen45+(5)(0)sen60 * (15)(0.5)sen 20=1 Nm

'. na barra uniforme de longitud L y peso ( está articulada en A en una pared.

n alambre fijo en la pared a una distancia - sobre la articulación, sujeta a la

barra por el extremo superior, como se muestra en la figura a. El alambre

permanece ori%ontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el extremo

superior de la barra.

/alcular la tensión del alambre y la fuer%a de reacción en la articulación de la

barra.

9igura a+ 9igura b+

$olución)


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37/38

32CONCLUSIÓN

La investigación anterior a servido para identificar y anali%ar los aspectosde la -inámica de un sistema de partículas, así mismo se an dado a

conocer las ecuaciones "ue representan -inámica de un sistema de

partículas, movimiento del centro de masa, teorema de conservación de la

cantidad de movimiento, teorema de conservación de la energía, colisiones

elásticas e inelásticas y cuerpo rígido, como tambi2n las transformaciones

"ue sufren para poder cumplir con las condiciones "ue se re"uieran para

resolver los problemas. La información se completa con las imágenes,

gráficas y ejemplos mostrados.

)I)LIO"RAFÍA

1# F-(ica para la ciencia y la tecnolo.-a, /olumen 10 aul *llen ipler,3ene

!o(ca, editorial, 4everte 5#*#

2# +in6mica cl6(ica de la( part-cula( y (i(tema(0 7erry "# !arion 8ta Edici'nEditorial, 4everte 5#*#

9# !ec6nica ne:toniana0*## Frenc;, ur(o de f-(ica del ! problema( y e?ercicio( re(uelto(0Ol.a *lcaraz i 5endra, 7o(@ 'pez

'pez, /icente 'pez 5olana(0Editorial ear(on Educaci'n, 2AA8


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