Unidad uno: PROGRAMACIÓN LINEAL · • Iniciarse en la técnica de programación lineal ......

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Unidad uno: PROGRAMACIÓN LINEAL Parte 1 Inga. Karla Lucas

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Unidad uno:PROGRAMACIÓN LINEAL

Parte 1

Inga. Karla Lucas

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Objetivo:

• Iniciarse en la técnica de programación linealcon el aspecto más importante del métodocientífico: la representación o modelo enformulación matemática lineal de algunosproblemas elegidos, los agrupados “clásicos”;también debe aprender los conceptos teóricosfundamentales utilizando la metodología ensólo dos variables.

Inga. Karla Lucas

• Iniciarse en la técnica de programación linealcon el aspecto más importante del métodocientífico: la representación o modelo enformulación matemática lineal de algunosproblemas elegidos, los agrupados “clásicos”;también debe aprender los conceptos teóricosfundamentales utilizando la metodología ensólo dos variables.

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¿Qué es la programación lineal?• Es una rama de las matemáticas en el uso de

modelos matemáticos, estadística y algoritmoscon objetivo de realizar un proceso de toma dedecisiones. Frecuentemente, trata el estudio decomplejos sistemas reales, con la finalidad demejorar (u optimizar) el funcionamiento delmismo. La investigaciones de operacionespermite el análisis de la toma de decisionesteniendo en cuenta la escasez de recursos, paradeterminar cómo se pueden maximizar ominimizar los recursos.

Inga. Karla Lucas

• Es una rama de las matemáticas en el uso demodelos matemáticos, estadística y algoritmoscon objetivo de realizar un proceso de toma dedecisiones. Frecuentemente, trata el estudio decomplejos sistemas reales, con la finalidad demejorar (u optimizar) el funcionamiento delmismo. La investigaciones de operacionespermite el análisis de la toma de decisionesteniendo en cuenta la escasez de recursos, paradeterminar cómo se pueden maximizar ominimizar los recursos.

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• Es una ciencia que modela problemas complejoshaciendo uso de las matemáticas y la lógica. Lainvestigación de operaciones permite el análisisde la toma de decisiones teniendo en cuenta laescasez de recursos, para determinar cómo sepueden maximizar o minimizar los recursos.

• El método más popular es el simplex (GeorgeDantzig, 1947) dentro de la rama deprogramación lineal. El algoritmo simplex hasido elegido como el mejor de los diez de mayorinfluencia en el desarrollo y la práctica de laciencia y la ingeniería en el siglo XX

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• Es una ciencia que modela problemas complejoshaciendo uso de las matemáticas y la lógica. Lainvestigación de operaciones permite el análisisde la toma de decisiones teniendo en cuenta laescasez de recursos, para determinar cómo sepueden maximizar o minimizar los recursos.

• El método más popular es el simplex (GeorgeDantzig, 1947) dentro de la rama deprogramación lineal. El algoritmo simplex hasido elegido como el mejor de los diez de mayorinfluencia en el desarrollo y la práctica de laciencia y la ingeniería en el siglo XX

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• La definición de la sociedad de investigación deoperaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:

• La investigación de operaciones es el ataque de laciencia moderna a los complejos problemas quesurgen en la dirección y en la administración degrandes sistemas de hombres, máquinas, materialesy dinero en la industria, en los negocios, en elgobierno y en la defensa.

• Las raíces de la investigación de operaciones seremontan a muchas décadas, cuando se hicieron losprimeros intentos para emplear el método científicoen la administración de una empresa. Sin embargo,el inicio de la actividad llamada IO, casi siempre seatribuye a los servicios militares prestados aprincipios de la Segunda Guerra Mundial

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• La definición de la sociedad de investigación deoperaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:

• La investigación de operaciones es el ataque de laciencia moderna a los complejos problemas quesurgen en la dirección y en la administración degrandes sistemas de hombres, máquinas, materialesy dinero en la industria, en los negocios, en elgobierno y en la defensa.

• Las raíces de la investigación de operaciones seremontan a muchas décadas, cuando se hicieron losprimeros intentos para emplear el método científicoen la administración de una empresa. Sin embargo,el inicio de la actividad llamada IO, casi siempre seatribuye a los servicios militares prestados aprincipios de la Segunda Guerra Mundial

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Debido a los esfuerzos bélicos, existía unanecesidad urgente de asignar recursos escasos alas distintas operaciones militares y a lasactividades dentro de cada operación, en laforma más efectiva. Por esto, lasadministraciones militares americana e inglesa,hicieron un llamado a un gran número decientíficos para que aplicaran el métodocientífico a éste y a otros problemas estratégicosy tácticos. De hecho se les pidió que hicieraninvestigación sobre operaciones (militares)

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Debido a los esfuerzos bélicos, existía unanecesidad urgente de asignar recursos escasos alas distintas operaciones militares y a lasactividades dentro de cada operación, en laforma más efectiva. Por esto, lasadministraciones militares americana e inglesa,hicieron un llamado a un gran número decientíficos para que aplicaran el métodocientífico a éste y a otros problemas estratégicosy tácticos. De hecho se les pidió que hicieraninvestigación sobre operaciones (militares)

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Procedimiento o algoritmo matemáticomediante el cual se resuelve un problemaindeterminado, formulado a través deecuaciones lineales, optimizando la funciónobjetivo, también lineal.

La programación lineal consiste en optimizar(minimizar o maximizar) una función lineal, quedenominaremos función objetivo, de tal formaque las variables de dicha función estén sujetas auna serie de restricciones que expresamosmediante un sistema de inecuaciones lineales.

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Procedimiento o algoritmo matemáticomediante el cual se resuelve un problemaindeterminado, formulado a través deecuaciones lineales, optimizando la funciónobjetivo, también lineal.

La programación lineal consiste en optimizar(minimizar o maximizar) una función lineal, quedenominaremos función objetivo, de tal formaque las variables de dicha función estén sujetas auna serie de restricciones que expresamosmediante un sistema de inecuaciones lineales.

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DEFINICIÓN DE LA PROGRAMACIÓNLINEAL:• Es una de las técnicas agrupadas como programación

matemática, aplicable a problemas de asignación de recursoslimitados, con actividades competitivas hacia un objetivocomún, que puede ser de maximizar beneficios (por ejemplo,utilidades o bien rendimientos); también se puede desear ominimizar el esfuerzo (ej, los costos, el personal asignado atareas, o el desperdicio en procesos). Se usa un modelomatemático con representación válida de la problemática enestudio; sus relaciones deben ser lineales o de “línea recta”,que significa utilizar, sólo una variable de primer grado en cadatérmino.

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• Es una de las técnicas agrupadas como programaciónmatemática, aplicable a problemas de asignación de recursoslimitados, con actividades competitivas hacia un objetivocomún, que puede ser de maximizar beneficios (por ejemplo,utilidades o bien rendimientos); también se puede desear ominimizar el esfuerzo (ej, los costos, el personal asignado atareas, o el desperdicio en procesos). Se usa un modelomatemático con representación válida de la problemática enestudio; sus relaciones deben ser lineales o de “línea recta”,que significa utilizar, sólo una variable de primer grado en cadatérmino.

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MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEALGENERAL

El modelo de PL es una representaciónsimbólica (abstracción) de la realidad que seestudia, se forma con expresiones lógicasmatemáticas conteniendo términos quesignifican contribuciones: a la utilidad (conmáximo), al costo (con mínimo), al consumo derecurso (disponible con desigualdad ≤), alrecurso requerido (con desigualdad ≥) recursosespecificado (con igual =).Contiene las siguientes cuatro partes:

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El modelo de PL es una representaciónsimbólica (abstracción) de la realidad que seestudia, se forma con expresiones lógicasmatemáticas conteniendo términos quesignifican contribuciones: a la utilidad (conmáximo), al costo (con mínimo), al consumo derecurso (disponible con desigualdad ≤), alrecurso requerido (con desigualdad ≥) recursosespecificado (con igual =).Contiene las siguientes cuatro partes:

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Modelo de programación lineal general

• 1ª parteDefinición con el significado cuantitativo de las

variables de decisión (controlables)Sea: Xj= número de unidades

2ª parteFunción económica u objetivo a optimizar

(máximo o bien mínimo)

(MÁXIMO) o (MINIMO) Z= C1X1+C2X2+… CnXnj; (j= 1,2,…n)

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• 1ª parteDefinición con el significado cuantitativo de las

variables de decisión (controlables)Sea: Xj= número de unidades

2ª parteFunción económica u objetivo a optimizar

(máximo o bien mínimo)

(MÁXIMO) o (MINIMO) Z= C1X1+C2X2+… CnXnj; (j= 1,2,…n)

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3ª parteSujeto a restricciones:

i=1,2,…m{a11X1+a12X2+…+a1jXj+a1nXn≤ ó ≥ó = b1

a21X1+a12X2+…+a2jXj+a2nXn≤ ó ≥ó = b2…………………….…………………

ai1X1+ai2X2+…+aijXj+ainXn≤ ó ≥ó = bn………………….

……………..….

am1X1+am2X2+…+amjXj+amnXn≤ ó ≥ó = bm

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i=1,2,…m{a11X1+a12X2+…+a1jXj+a1nXn≤ ó ≥ó = b1

a21X1+a12X2+…+a2jXj+a2nXn≤ ó ≥ó = b2…………………….…………………

ai1X1+ai2X2+…+aijXj+ainXn≤ ó ≥ó = bn………………….

……………..….

am1X1+am2X2+…+amjXj+amnXn≤ ó ≥ó = bm

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Modelo de programación lineal general

4ª parteCondición de no negativo a variables:

Toda Xj ≥ 0; con ( j= 1,2, …, n)

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4ª parteCondición de no negativo a variables:

Toda Xj ≥ 0; con ( j= 1,2, …, n)

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PROPIEDADESPara que un modelo de PL sea válido, debe cumplir con laspropiedades siguientes:Proporcionalidad: significa que la contribución al valor de lafunción objetivo y el consumo o requerimiento de los recursosutilizados, son proporcionales al valor de cada variable dedecisión. Así el término 4X1 es proporcional, porquecontribuya al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. Para losvalores 1, 2, 3 respectivamente de X1. Se puede observar elaumento constante y proporcional de 4 conforme crece elvalor de X1. En contraste, el termina no lineal 2X12,contribuye con 4, 16, 36, etc. Para los mismos valores 1, 2,3,etc. Respectivamente de la variable X1. Aquí se observa que elaumento en la contribución no es constante y por lo tanto nohay proporcionalidad.

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Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir con laspropiedades siguientes:Proporcionalidad: significa que la contribución al valor de lafunción objetivo y el consumo o requerimiento de los recursosutilizados, son proporcionales al valor de cada variable dedecisión. Así el término 4X1 es proporcional, porquecontribuya al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. Para losvalores 1, 2, 3 respectivamente de X1. Se puede observar elaumento constante y proporcional de 4 conforme crece elvalor de X1. En contraste, el termina no lineal 2X12,contribuye con 4, 16, 36, etc. Para los mismos valores 1, 2,3,etc. Respectivamente de la variable X1. Aquí se observa que elaumento en la contribución no es constante y por lo tanto nohay proporcionalidad.

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Aditividad: significa que se puede valorar lafunción objetivo Z, así como también losrecursos utilizados, sumando las contribucionesde cada uno de los términos que intervienen enla función Z y en las restricciones.

Divisibilidad: significa que las variables dedecisión son continuas y por lo tanto sonaceptados valores no enteros para ellas. Lahipótesis de divisibilidad más la restricción deno negatividad, significa que las variables dedecisión pueden tener cualquier valor que seapositivo o por lo menos igual a cero.

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Aditividad: significa que se puede valorar lafunción objetivo Z, así como también losrecursos utilizados, sumando las contribucionesde cada uno de los términos que intervienen enla función Z y en las restricciones.

Divisibilidad: significa que las variables dedecisión son continuas y por lo tanto sonaceptados valores no enteros para ellas. Lahipótesis de divisibilidad más la restricción deno negatividad, significa que las variables dedecisión pueden tener cualquier valor que seapositivo o por lo menos igual a cero.

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Certidumbre: significa que los parámetros oconstantes son estimados con certeza, es decir,no interviene una función de probabilidad paraobtenerlos.

El modelo de programación lineal es un casoespecial de la programación matemática, puesdebe cumplir que, tanto la función objetivo comotodas las funciones de restricción, sean lineales.

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Certidumbre: significa que los parámetros oconstantes son estimados con certeza, es decir,no interviene una función de probabilidad paraobtenerlos.

El modelo de programación lineal es un casoespecial de la programación matemática, puesdebe cumplir que, tanto la función objetivo comotodas las funciones de restricción, sean lineales.

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APLICACIONES TÍPICAS DE LAPROGRAMACIÓN LINEAL• Un fabricante desea desarrollar un programa de

asignación en producción y una política deinventario que satisfagan la demanda de ventas deperíodos futuros. Así se podría cumplir la demandacon mínimos costo total de producción y deinventario.

• Un analista financiero debe selecciona una carterade inversiones a partir de una diversidad dealternativas en acciones y bonos. Se debe establecerla cartera que maximice el rendimiento sobre lainversión asignada.

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• Un fabricante desea desarrollar un programa deasignación en producción y una política deinventario que satisfagan la demanda de ventas deperíodos futuros. Así se podría cumplir la demandacon mínimos costo total de producción y deinventario.

• Un analista financiero debe selecciona una carterade inversiones a partir de una diversidad dealternativas en acciones y bonos. Se debe establecerla cartera que maximice el rendimiento sobre lainversión asignada.

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• Un administrado de mercadotecnia deseadeterminar la mejor manera de asignar unpresupuesto de publicidad como radio,televisión, periódicos y revistas. Al gerente legustaría determinar la combinación de mediosque maximice la efectividad de la publicidad.

• Una empresa tiene almacenes en variasubicaciones en todo el país. Para un conjunto dedemandas de sus productos por parte de susclientes, la empresa desearía determinar cuántodebe asignar en embarques a cada uno de losalmacenes y a cada cliente, de manera que loscostos totales de transporte resulten mínimos,

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• Un administrado de mercadotecnia deseadeterminar la mejor manera de asignar unpresupuesto de publicidad como radio,televisión, periódicos y revistas. Al gerente legustaría determinar la combinación de mediosque maximice la efectividad de la publicidad.

• Una empresa tiene almacenes en variasubicaciones en todo el país. Para un conjunto dedemandas de sus productos por parte de susclientes, la empresa desearía determinar cuántodebe asignar en embarques a cada uno de losalmacenes y a cada cliente, de manera que loscostos totales de transporte resulten mínimos,

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FORMULACIÓN DE PROBLEMAS• La formulación de un problema de cualquier tamaño

con PL debe sujetarse al formato del modelo de PLgeneral ya presentado antes.

• Se empieza como parte 1, con la observación yanálisis necesario para definir el significadocuantitativo de las variables de decisión ocontrolables que pueden representar, en símboloscomo X1, X2, X3…, o bien, identificar con nombreespecífico del producto o bienes de manufactura,almacén o venta, disponibilidad y(o requerimientode recurso o materia prima.

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• La formulación de un problema de cualquier tamañocon PL debe sujetarse al formato del modelo de PLgeneral ya presentado antes.

• Se empieza como parte 1, con la observación yanálisis necesario para definir el significadocuantitativo de las variables de decisión ocontrolables que pueden representar, en símboloscomo X1, X2, X3…, o bien, identificar con nombreespecífico del producto o bienes de manufactura,almacén o venta, disponibilidad y(o requerimientode recurso o materia prima.

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• Se continúa con la parte 2, para construir lafunción objetivo o medida de efectividad,representada por una variable (denotada con Z,G, U, etc.) cuyo valor se desea maximizar(utilidad, rendimiento, ingreso, producción) obien minimizar (costo, tiempo, mano de obra,inventario). Puede ocurrir algún caso, que laformulación resulte no lineal, pero con lastransformaciones adecuadas se puede hacer laconversión lineal.

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• Se continúa con la parte 2, para construir lafunción objetivo o medida de efectividad,representada por una variable (denotada con Z,G, U, etc.) cuyo valor se desea maximizar(utilidad, rendimiento, ingreso, producción) obien minimizar (costo, tiempo, mano de obra,inventario). Puede ocurrir algún caso, que laformulación resulte no lineal, pero con lastransformaciones adecuadas se puede hacer laconversión lineal.

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• Como parte 3 debe considerarse la construcción delas restricciones que limitan el valor óptimo quepueden tomar la función objetivo, es decir, definenlas soluciones admisibles o región factible delproblema. Las restricciones pueden ser de una o detodas las clases siguientes: si no se debe exceder elrecurso disponible, de la forma≤; para no menos delo requerido, de la forma ≥ ; o también para igualarel recurso especificado, de la forma = .

• Se termina con la parte 4, para condicionar lasvariables de valores negativos, debido a que en lagran mayoría de los problemas los valores negativosno tiene significado físico. Los casos de excepciónmerecen tratamiento especial.

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• Como parte 3 debe considerarse la construcción delas restricciones que limitan el valor óptimo quepueden tomar la función objetivo, es decir, definenlas soluciones admisibles o región factible delproblema. Las restricciones pueden ser de una o detodas las clases siguientes: si no se debe exceder elrecurso disponible, de la forma≤; para no menos delo requerido, de la forma ≥ ; o también para igualarel recurso especificado, de la forma = .

• Se termina con la parte 4, para condicionar lasvariables de valores negativos, debido a que en lagran mayoría de los problemas los valores negativosno tiene significado físico. Los casos de excepciónmerecen tratamiento especial.

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Ejemplos de formulación de modelosde PL• La construcción de un modelo de programación

lineal debidamente planteado que represente unproblema real es un arte.

• La mayoría de la gente que lo intenta tiene másdificultades en ello que con los otros aspectos deesta técnica pues se requiere de imaginación einventiva. Esto se puede mejorar con pacienciay práctica, ajustándose a la estructura dadacomo modelo general

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• La construcción de un modelo de programaciónlineal debidamente planteado que represente unproblema real es un arte.

• La mayoría de la gente que lo intenta tiene másdificultades en ello que con los otros aspectos deesta técnica pues se requiere de imaginación einventiva. Esto se puede mejorar con pacienciay práctica, ajustándose a la estructura dadacomo modelo general

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• El siguiente procedimiento puede ser útil antesde pretender la estructura matemática delproblema en estudio:

• Concentrar la atención en identificar el objetivogeneral como puede ser el máximo de; utilidade,rendimientos, audiencia; o bien, el mínimo de:costos, personal, distancia, tiempo, materiaprima o contaminación.

• Identificar las decisiones (variables controlables)en forma cuantitativa con la unidad precisa demedición, como número de personas, dólares,toneladas.

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• El siguiente procedimiento puede ser útil antesde pretender la estructura matemática delproblema en estudio:

• Concentrar la atención en identificar el objetivogeneral como puede ser el máximo de; utilidade,rendimientos, audiencia; o bien, el mínimo de:costos, personal, distancia, tiempo, materiaprima o contaminación.

• Identificar las decisiones (variables controlables)en forma cuantitativa con la unidad precisa demedición, como número de personas, dólares,toneladas.

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• Identificar las constantes conocidas comocoeficientes Cj que aportan al valor del objetivos,o coeficiente aij que contribuyen al consumo demateria prima o al requerimiento de recurso.

• Identificar todas las condiciones a las que sesujeta el objeto en forma de restricciones en susdiferentes tipos: ≤ cuando mucho, ≥ almenos, = estrictamente lo especificado

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• Identificar las constantes conocidas comocoeficientes Cj que aportan al valor del objetivos,o coeficiente aij que contribuyen al consumo demateria prima o al requerimiento de recurso.

• Identificar todas las condiciones a las que sesujeta el objeto en forma de restricciones en susdiferentes tipos: ≤ cuando mucho, ≥ almenos, = estrictamente lo especificado

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Ejemplos de planteamiento funcional, pero en algunos puede

haber alternativa cambiando la definición variable.• PL al combinar camiones refrigerados en transporte de alimentos. En la

siguiente tabla se tiene la información de costo en renta y también lascapacidades de dos tipos de camión transportista refrigerado para ladistribución de alimentos, una parte de los cuales pueden descomponersedurante el viaje. En particular se requiere un total de 900 y 1200 metroscúbicos de espacio refrigerado y no refrigerado respectivamente. Formuleun modelo de PL para decidir y resolver el problema de cuántos camionesde cada tipo rentar para que el costo sea el menor posible.

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• PL al combinar camiones refrigerados en transporte de alimentos. En lasiguiente tabla se tiene la información de costo en renta y también lascapacidades de dos tipos de camión transportista refrigerado para ladistribución de alimentos, una parte de los cuales pueden descomponersedurante el viaje. En particular se requiere un total de 900 y 1200 metroscúbicos de espacio refrigerado y no refrigerado respectivamente. Formuleun modelo de PL para decidir y resolver el problema de cuántos camionesde cada tipo rentar para que el costo sea el menor posible.

Tipo decamión

M³ espaciorefrigerad

M³ espaciono refrigerad

Miles $ costode renta/camión

A 20 40 3

B 30 30 4

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1° parte. Definición de las variables de decisión

Sea Xj = número de camiones a rentar de tipo j (j= A,B)

2° parte. Función económica u objetivo de costo

MÍNIMO Z= 3X A + 4XB (Miles $/camión) (camión) = miles $

Contribuciones al costo

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1° parte. Definición de las variables de decisión

Sea Xj = número de camiones a rentar de tipo j (j= A,B)

2° parte. Función económica u objetivo de costo

MÍNIMO Z= 3X A + 4XB (Miles $/camión) (camión) = miles $

Contribuciones al costo

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3° parte. Sujeta la función de mínimo costo a restricciones de espacio de carga

Restricción para el espacio refrigerado

20XA + 30 XB ≥ 900 m³ = (m³/camión ) (camiones)

Contribuciones al uso Esta desigualdad se usa ende espacio refrigerado cuando es requerimiento del recurso

Restricción para el espacio no refrigerado40XA + 30 XB ≥ 1200 m³

Contribuciones al uso Esta desigualdad se usa ende espacio refrigerado cuando es requerimiento del recurso

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3° parte. Sujeta la función de mínimo costo a restricciones de espacio de carga

Restricción para el espacio refrigerado

20XA + 30 XB ≥ 900 m³ = (m³/camión ) (camiones)

Contribuciones al uso Esta desigualdad se usa ende espacio refrigerado cuando es requerimiento del recurso

Restricción para el espacio no refrigerado40XA + 30 XB ≥ 1200 m³

Contribuciones al uso Esta desigualdad se usa ende espacio refrigerado cuando es requerimiento del recurso

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4° parte. Condiciones de signo para las variablesde decisión:

XA ≥ 0, XB ≥ 0

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4° parte. Condiciones de signo para las variablesde decisión:

XA ≥ 0, XB ≥ 0

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PL al combinar tamaños de camiones entrasporte.Una compañía tiene 10 camiones con capacidad de20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas. Loscamiones grandes tiene costos de operación de $150/Km recorrido y los pequeños de $125/kmrecorrido. En la siguiente semana la compañíarequiere trasportar 200 toneladas de azúcar en unrecorrido de 800 Km. La posibilidad de otroscompromisos de transporte, impone una políticatáctica de mantener en reserva, por lo menos, doscamiones pequeños por cada camión grande. ¿Cuáles el número óptimo de camiones de ambas clasesque se deben utilizar para transportar azúcar?Formule un modelo de programación lineal paraeste problema

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PL al combinar tamaños de camiones entrasporte.Una compañía tiene 10 camiones con capacidad de20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas. Loscamiones grandes tiene costos de operación de $150/Km recorrido y los pequeños de $125/kmrecorrido. En la siguiente semana la compañíarequiere trasportar 200 toneladas de azúcar en unrecorrido de 800 Km. La posibilidad de otroscompromisos de transporte, impone una políticatáctica de mantener en reserva, por lo menos, doscamiones pequeños por cada camión grande. ¿Cuáles el número óptimo de camiones de ambas clasesque se deben utilizar para transportar azúcar?Formule un modelo de programación lineal paraeste problema

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Camióntipo J

Costooperación $/Km

Capacidad enTM

Camionesdisponibles

TM atransportar

Km arecorrer

Costo deviaje en$/camión

Costototal$/camión

Grande(g)

150 20 10 200 800 150*800 120,000

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Grande(g)

Pequeño(p)

125 15 5 200 800 125*800 100,000

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1° parte. Definición de variables de decisión

Sea Xj= número de camiones tipo j (j=g,p)A utilizar en el transporte de azúcar para minimizar el costo

2° parte. Función económica u objetivo.Planteamiento de costo mínimo de operar Xjcamiones

MINIMO Z= 120,000XG+100,000XP ($/camión)(camión)= $

Contribución al costo

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1° parte. Definición de variables de decisión

Sea Xj= número de camiones tipo j (j=g,p)A utilizar en el transporte de azúcar para minimizar el costo

2° parte. Función económica u objetivo.Planteamiento de costo mínimo de operar Xjcamiones

MINIMO Z= 120,000XG+100,000XP ($/camión)(camión)= $

Contribución al costo

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• 3° parte. Restricciones o condiciones. Requerimientode carga a transportar.

•••••••

Restricciones de camiones disponibles a utilizar: Xg <= 10 ;Xp <= 5 (camiones). Para la restricción de tener en reservados camiones pequeños por cada camión grande, se definenotras variables y significan camiones en reserva para otrouso: Sea X r j = número de camiones en reserva de tipo j( j = g , p)Camiones grandes reservados= total de grandes menosutilizados: Xrg= 10 XgCamiones pequeños reservados= total de pequeños menos losutilizados: Xrp=5Xp

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• 3° parte. Restricciones o condiciones. Requerimientode carga a transportar.

•••••••

Restricciones de camiones disponibles a utilizar: Xg <= 10 ;Xp <= 5 (camiones). Para la restricción de tener en reservados camiones pequeños por cada camión grande, se definenotras variables y significan camiones en reserva para otrouso: Sea X r j = número de camiones en reserva de tipo j( j = g , p)Camiones grandes reservados= total de grandes menosutilizados: Xrg= 10 XgCamiones pequeños reservados= total de pequeños menos losutilizados: Xrp=5Xp

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Inga. Karla Lucas

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4° parte. Condiciones de signo para las variables

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PL en horarios para cubrir turnos de trabajo

Cada policía debe laborar 8 horas consecutivas.El período 1 sigue al 6. Formule un modelo PLpara determinar el número óptimo de policías.

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PL en horarios para cubrir turnos de trabajo

Cada policía debe laborar 8 horas consecutivas.El período 1 sigue al 6. Formule un modelo PLpara determinar el número óptimo de policías.

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• Ayuda para el análisis: en este problema se conoce, que para fines decontrol, se divide el día completo en períodos de 4 horas de duración,logrando continuidad de la vigilancia de policías los que deben trabajardurante dos períodos consecutivos. También se sabe el requerimiento ennúmero de policías para cada uno de los 6 períodos; entonces la siguienteforma tabular puede ser buena ayuda para la compresión del problemaconsiderado a Xj como grupo de policías asignados para iniciar los períodosj (1, 2,…6)

• Inicio y permanencia de grupo Xj de policías en los períodos j del día

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• Ayuda para el análisis: en este problema se conoce, que para fines decontrol, se divide el día completo en períodos de 4 horas de duración,logrando continuidad de la vigilancia de policías los que deben trabajardurante dos períodos consecutivos. También se sabe el requerimiento ennúmero de policías para cada uno de los 6 períodos; entonces la siguienteforma tabular puede ser buena ayuda para la compresión del problemaconsiderado a Xj como grupo de policías asignados para iniciar los períodosj (1, 2,…6)

• Inicio y permanencia de grupo Xj de policías en los períodos j del día

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• 1° parte. Definición de variables.

• 2° parte. Función económica. Aquí debe pensarse en el menornúmero de policías necesaria para cumplir, por lo menos, losrequeridos en cada uno de los seis períodos j:

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• 1° parte. Definición de variables.

• 2° parte. Función económica. Aquí debe pensarse en el menornúmero de policías necesaria para cumplir, por lo menos, losrequeridos en cada uno de los seis períodos j:

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• 3° parte. Restricciones: la misma tabla de la combinación de losgrupos de policías Xj para cubrir, como se observa, losrequerimientos de cada período .

• 4° parte. Condiciones de signo. NO NEGATIVO

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• 3° parte. Restricciones: la misma tabla de la combinación de losgrupos de policías Xj para cubrir, como se observa, losrequerimientos de cada período .

• 4° parte. Condiciones de signo. NO NEGATIVO

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Solución para el modelo deprogramación lineal• Existen métodos de solución del modelo de

programación lineal, tanto gráfico como analítico.Para la gran mayoría de los problemas esindispensable aplicar la metodología analítica, conlos algoritmos muy eficientes que desarrollaron loscientíficos ya citados en los antecedentes de PL.Pero en beneficio de la claridad conviene iniciar laexposición de cómo resolver el problema yaformulado con programación lineal, con el métodográfico, por su sencillez. Para ello primero se deberevisar la forma en que puede presentarse unmodelo o planteamiento del problema que seestudia.

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• Existen métodos de solución del modelo deprogramación lineal, tanto gráfico como analítico.Para la gran mayoría de los problemas esindispensable aplicar la metodología analítica, conlos algoritmos muy eficientes que desarrollaron loscientíficos ya citados en los antecedentes de PL.Pero en beneficio de la claridad conviene iniciar laexposición de cómo resolver el problema yaformulado con programación lineal, con el métodográfico, por su sencillez. Para ello primero se deberevisar la forma en que puede presentarse unmodelo o planteamiento del problema que seestudia.

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Formas equivalentes del modelo de programación lineal

Además de la necesaria generalización del modelo de programación lineal, estatécnica requiere el uso de dos formas especiales equivalentes; las que sedenominan forma canónica, la cual es muy útil en teoría de dualidad cuando setrata de hacer una interpretación económica para el problema en estudio; laotra forma se denomina estándar, la cual es indispensable si se desea resolver elproblema. A continuación se dan características de ambas.Formas equivalentes del modelo de programación lineal

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Además de la necesaria generalización del modelo de programación lineal, estatécnica requiere el uso de dos formas especiales equivalentes; las que sedenominan forma canónica, la cual es muy útil en teoría de dualidad cuando setrata de hacer una interpretación económica para el problema en estudio; laotra forma se denomina estándar, la cual es indispensable si se desea resolver elproblema. A continuación se dan características de ambas.Formas equivalentes del modelo de programación lineal

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EQUIVALENCIA ALGEBRÁICA PARA EL MODELO DE PLLa función objetivo cambia al multiplicar:

Una restricción cambia al multiplicar por:

Una restricción en igualdad equivale a dos restricciones en desigualdadcon los mismos términos; la primera de tipo≤ y la segunda ≥ , si elobjetivo es máximo; con mínimo se invierte el orden

Una restricción (≤) se hace (=) sumando la holgura Hi ≥ 0 en el ladoizquierdo.

Una restricción (≥ ) se hace (=), restando una superávit Si ≥ 0 en el ladoizquierdo.

Una variable Xj ≤ 0, se maneja con otra variable.Una variable no restringida en signo, o libre para tomar valor (+), (-), o

cero, se sustituye con la diferencia de dos variables no negativas comosigue

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EQUIVALENCIA ALGEBRÁICA PARA EL MODELO DE PLLa función objetivo cambia al multiplicar:

Una restricción cambia al multiplicar por:

Una restricción en igualdad equivale a dos restricciones en desigualdadcon los mismos términos; la primera de tipo≤ y la segunda ≥ , si elobjetivo es máximo; con mínimo se invierte el orden

Una restricción (≤) se hace (=) sumando la holgura Hi ≥ 0 en el ladoizquierdo.

Una restricción (≥ ) se hace (=), restando una superávit Si ≥ 0 en el ladoizquierdo.

Una variable Xj ≤ 0, se maneja con otra variable.Una variable no restringida en signo, o libre para tomar valor (+), (-), o

cero, se sustituye con la diferencia de dos variables no negativas comosigue

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Método gráfico para resolver modelos de PLcon sólo dos variables

• El interés es hacer análogos geométricos, es es,gráficas de funciones lineales que contiene elmodelo matemático de programación linealobtenido en la formulación del problema que seanaliza. Dicho modelo puede contenerexpresiones tanto en forma de ecuaciones (=)como en desigualdades (≤ ó≥ ), cada una de ellascorresponde a un gráfico en la analogíageométrica.

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• El interés es hacer análogos geométricos, es es,gráficas de funciones lineales que contiene elmodelo matemático de programación linealobtenido en la formulación del problema que seanaliza. Dicho modelo puede contenerexpresiones tanto en forma de ecuaciones (=)como en desigualdades (≤ ó≥ ), cada una de ellascorresponde a un gráfico en la analogíageométrica.

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• Primero se considera la infinidad de puntos queconstituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantesconvencionalmente aceptados, para dividirlo en zonascaracterizadas por la combinación de signo que se puededar, a los valores medidos con números reales.

• Para lograr cuadrantes en el plano se utilizan los ejescartesianos con escala de medición de valores de lasvariables del problema; por ejemplo, se puede asignar eleje horizontal de abscisas para la medición de valores dela variable X1; también se puede asignar el eje vertical deordenadas, para la medición de valores de la variable X2.La localización de cualquier punto en este espacio planorequiere una distancia horizontal (X1) y de una distanciavertical (X2) denotado como para ordenado o vector(X1,X2). Un punto sobre el eje X1, corresponde a X2=0 yun punto sobe el eje X2, corresponde a X1=0, que son lasecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical.Dichos ejes se cruzan en el punto (X1,X2)= (0,0), el cualse conoce como el origen.

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• Primero se considera la infinidad de puntos queconstituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantesconvencionalmente aceptados, para dividirlo en zonascaracterizadas por la combinación de signo que se puededar, a los valores medidos con números reales.

• Para lograr cuadrantes en el plano se utilizan los ejescartesianos con escala de medición de valores de lasvariables del problema; por ejemplo, se puede asignar eleje horizontal de abscisas para la medición de valores dela variable X1; también se puede asignar el eje vertical deordenadas, para la medición de valores de la variable X2.La localización de cualquier punto en este espacio planorequiere una distancia horizontal (X1) y de una distanciavertical (X2) denotado como para ordenado o vector(X1,X2). Un punto sobre el eje X1, corresponde a X2=0 yun punto sobe el eje X2, corresponde a X1=0, que son lasecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical.Dichos ejes se cruzan en el punto (X1,X2)= (0,0), el cualse conoce como el origen.

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• Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano esuna línea recta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontaly la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de unaecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso,a los ejes X1 yX2, se les agrega un tercer X3, como tercera dimensiones. En talcaso, a los ejes X1 y X2, se les agrega un tercer eje X3 como tercera dimensión,que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la figura muestran loanterior para una ecuación cualquiera:

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• Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano esuna línea recta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontaly la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de unaecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso,a los ejes X1 yX2, se les agrega un tercer X3, como tercera dimensiones. En talcaso, a los ejes X1 y X2, se les agrega un tercer eje X3 como tercera dimensión,que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la figura muestran loanterior para una ecuación cualquiera:

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• El método gráfico proporciona la oportunidad devisualizar algunos de los conceptos importantes dela programación lineal. Pero tiene una granlimitación referente, a que sólo es posible aplicarloen problemas muy pequeños; para este curso selimita el método gráfico aplicado a problemas consólo dos variables. El método gráfico para resolverproblemas que se han modelado con programaciónlineal consiste en asignar un eje cartesiano paracada una de las dos variables involucradas, de estamanera se asigna, por ejemplo, el eje horizontalcomo escala par los distintos valores que puedatener la variable X1; también se puede asignar el ejevertical con su respectiva escala para ubicar losdistintos valores que puede tomar la variable X2.

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• El método gráfico proporciona la oportunidad devisualizar algunos de los conceptos importantes dela programación lineal. Pero tiene una granlimitación referente, a que sólo es posible aplicarloen problemas muy pequeños; para este curso selimita el método gráfico aplicado a problemas consólo dos variables. El método gráfico para resolverproblemas que se han modelado con programaciónlineal consiste en asignar un eje cartesiano paracada una de las dos variables involucradas, de estamanera se asigna, por ejemplo, el eje horizontalcomo escala par los distintos valores que puedatener la variable X1; también se puede asignar el ejevertical con su respectiva escala para ubicar losdistintos valores que puede tomar la variable X2.

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• Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal yvertical, permite representar en un espacio planolas líneas rectas que geométricamente hablandorepresentan cada expresión matemática linealcon sólo dos variables. Las restricciones ycondiciones de signo del problema, representanal sistema que debe graficarse en un plano ydespués se valora en el mismo la funcióneconómica Z, con la cual se busca un punto delsistema que maximice o bien minimice su valor.Para mejor compresión del método gráfico desolución de problemas modelados conprogramación lineal, se representa el siguienteejemplo:

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• Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal yvertical, permite representar en un espacio planolas líneas rectas que geométricamente hablandorepresentan cada expresión matemática linealcon sólo dos variables. Las restricciones ycondiciones de signo del problema, representanal sistema que debe graficarse en un plano ydespués se valora en el mismo la funcióneconómica Z, con la cual se busca un punto delsistema que maximice o bien minimice su valor.Para mejor compresión del método gráfico desolución de problemas modelados conprogramación lineal, se representa el siguienteejemplo:

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• QUIMCAR es una empresa que elabora varios productosquímicos. En un proceso de producción en particular seutilizan tres recursos como materia prima de dosproductos: una cera automotriz y una pasta pulidora,que se usan en la pintura de la carrocería a vehículosautomotores y se distribuye para la venta al menudeo avarias empresas distribuidoras. Para producir la cera yla pasta se utilizan tres recursos, según se muestra en lasiguiente tabla, en la cual se observa que una tonelada decera es una mezcla de 2/5 de tonelada del recurso 1 y 3/5de tonelada del 3. Por otro lado, una tonelada de pastaes la mezcla de ½,1/5, y 3/10 de tonelada de los recursos1,2 y 3 respectivamente.

• Los productos de la cera automotriz y la pasta pulidoraestá restringida a la disponibilidad de los tres recursos.Para el período de producción anual, se tienendisponibles las cantidades siguiente de cada una de lasmaterias primas.

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• QUIMCAR es una empresa que elabora varios productosquímicos. En un proceso de producción en particular seutilizan tres recursos como materia prima de dosproductos: una cera automotriz y una pasta pulidora,que se usan en la pintura de la carrocería a vehículosautomotores y se distribuye para la venta al menudeo avarias empresas distribuidoras. Para producir la cera yla pasta se utilizan tres recursos, según se muestra en lasiguiente tabla, en la cual se observa que una tonelada decera es una mezcla de 2/5 de tonelada del recurso 1 y 3/5de tonelada del 3. Por otro lado, una tonelada de pastaes la mezcla de ½,1/5, y 3/10 de tonelada de los recursos1,2 y 3 respectivamente.

• Los productos de la cera automotriz y la pasta pulidoraestá restringida a la disponibilidad de los tres recursos.Para el período de producción anual, se tienendisponibles las cantidades siguiente de cada una de lasmaterias primas.

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• Recursos diponibles para la producción

• Material requerido para cera y pasta pulidora

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• Recursos diponibles para la producción

• Material requerido para cera y pasta pulidora

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• El departamento de contabilidad ha analizado lascifras de producción, asignando los costoscorrespondientes para ambos productos, llegó aprecios que resultan en una contribución a lautilidad de $400 por cada tonelada de ceraautomotriz y de $300 por cada tonelada de pastapulidora producidas. La administración, después deanalizar la demanda potencial, ha concluido que losprecios establecidos aseguran la venta de toda lacera y pasta que se produzca. El problema esdetermina: un conjunto de expresiones matemáticaso modelo representando el objetivo y restriccionesdel problema descrito y resolver en forma gráfica ydeterminar cuántas toneladas de cera y pasta debeproducir la empresa para maximizar la contribucióntotal a la utilidad.

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• El departamento de contabilidad ha analizado lascifras de producción, asignando los costoscorrespondientes para ambos productos, llegó aprecios que resultan en una contribución a lautilidad de $400 por cada tonelada de ceraautomotriz y de $300 por cada tonelada de pastapulidora producidas. La administración, después deanalizar la demanda potencial, ha concluido que losprecios establecidos aseguran la venta de toda lacera y pasta que se produzca. El problema esdetermina: un conjunto de expresiones matemáticaso modelo representando el objetivo y restriccionesdel problema descrito y resolver en forma gráfica ydeterminar cuántas toneladas de cera y pasta debeproducir la empresa para maximizar la contribucióntotal a la utilidad.

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• Como ya se apuntó anteriormente, losproblemas de PL tienen un objetivo ya sea demáximo o bien de mínimo. En este problema, elobjetivo es de maximizar la contribución a lautilidad y se plantea en forma matemáticaintroduciendo alguna forma simple de notacióncomo sigue;

• 1° parte. Definición de variables. Es importanteprecisar la unidad de medida:

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• Como ya se apuntó anteriormente, losproblemas de PL tienen un objetivo ya sea demáximo o bien de mínimo. En este problema, elobjetivo es de maximizar la contribución a lautilidad y se plantea en forma matemáticaintroduciendo alguna forma simple de notacióncomo sigue;

• 1° parte. Definición de variables. Es importanteprecisar la unidad de medida:

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• 2° parte. Función objetivo: la contribución a la utilidadse origina de (1) la que proviene de la producción de X1toneladas de cera automotriz y (2) la que proviene de laproducción de X2 toneladas de pasta pulidora. Dado quese gana $400 por cada tonelada de cera producida, laempresa gana $400X1 si se producen X1 toneladas decera. También en vista de que se gana $300 por cadatonelada de pasta producida, la empresa gana $300X2,si se producen X2 toneladas de pasta. Identificando conZ la contribución total a la utilidad y eliminando el signode dólares se tiene:

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• 2° parte. Función objetivo: la contribución a la utilidadse origina de (1) la que proviene de la producción de X1toneladas de cera automotriz y (2) la que proviene de laproducción de X2 toneladas de pasta pulidora. Dado quese gana $400 por cada tonelada de cera producida, laempresa gana $400X1 si se producen X1 toneladas decera. También en vista de que se gana $300 por cadatonelada de pasta producida, la empresa gana $300X2,si se producen X2 toneladas de pasta. Identificando conZ la contribución total a la utilidad y eliminando el signode dólares se tiene:

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• Cualquier combinación de producción de cera ypasta se conoce como una solución al problema.Sin embargo, únicamente aquellas solucionesfactibles o posibles. La combinación específicade producción factible, que resulte en lacontribución mayor a la utilidad, se conoce comola combinación de producción óptima osimplemente, la solución óptima. Pero primerose requiere conocer todas las restricciones delproblema y posteriormente se muestra unmétodo para definir gráficamente, en el plano dedibujo, el espacio en que se ubican el conjuntode puntos de solución factible.

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• Cualquier combinación de producción de cera ypasta se conoce como una solución al problema.Sin embargo, únicamente aquellas solucionesfactibles o posibles. La combinación específicade producción factible, que resulte en lacontribución mayor a la utilidad, se conoce comola combinación de producción óptima osimplemente, la solución óptima. Pero primerose requiere conocer todas las restricciones delproblema y posteriormente se muestra unmétodo para definir gráficamente, en el plano dedibujo, el espacio en que se ubican el conjuntode puntos de solución factible.

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• 3° parte. Restricciones de materia prima-• La cantidad de materia prima disponible, condiciona o

sujeta el valor de la función objetivo para cumplirse conlos tres recursos limitados, calculando las posiblessoluciones en las cantidades de cera y pasta que se puedeproducir. Según la información de producción (ver latabla), se sabe que cada tonelada de cera automotrizutiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total detoneladas de cera es 2x1/5; además, cada tonelada depasta usa ½ tonelada del recurso 1, como resultado X2toneladas de pasata usan 1X2/2 toneladas del recurso 1,entonces el consumo total de toneladas del recurso 1para producir X1 de cera y X2 de pasta está dado por:

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• 3° parte. Restricciones de materia prima-• La cantidad de materia prima disponible, condiciona o

sujeta el valor de la función objetivo para cumplirse conlos tres recursos limitados, calculando las posiblessoluciones en las cantidades de cera y pasta que se puedeproducir. Según la información de producción (ver latabla), se sabe que cada tonelada de cera automotrizutiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total detoneladas de cera es 2x1/5; además, cada tonelada depasta usa ½ tonelada del recurso 1, como resultado X2toneladas de pasata usan 1X2/2 toneladas del recurso 1,entonces el consumo total de toneladas del recurso 1para producir X1 de cera y X2 de pasta está dado por:

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• Debido a que se tiene un máximo de 20toneladas de materia prima 1 disponible, lacombinación de producción a decidir debesatisfacer la restricción:

• La relación anterior es una desigualdad queanota las contribuciones al consumo de recurso1, utilizadas en la producción de X1 toneladas decera y de X2 toneladas de pasta, que debe sermenos que o igual a 20 toneladas disponibles.

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• Debido a que se tiene un máximo de 20toneladas de materia prima 1 disponible, lacombinación de producción a decidir debesatisfacer la restricción:

• La relación anterior es una desigualdad queanota las contribuciones al consumo de recurso1, utilizadas en la producción de X1 toneladas decera y de X2 toneladas de pasta, que debe sermenos que o igual a 20 toneladas disponibles.

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• La tabla indica que el recurso 2 no es requeridopor la cera, pero por la pasta pues cada toneladaproducida de ésta requiere 1/5 tonelada de las 5disponibles, se expresa así:

• La restricción para la materia prima 3 es:

• 4° parte. Condiciones de valor no negativo paralas variables

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• La tabla indica que el recurso 2 no es requeridopor la cera, pero por la pasta pues cada toneladaproducida de ésta requiere 1/5 tonelada de las 5disponibles, se expresa así:

• La restricción para la materia prima 3 es:

• 4° parte. Condiciones de valor no negativo paralas variables

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• La formulación matemática o modelo simbólico,representa en forma abstracta, el objetivo y lasrestricciones del problema, trasladados delmundo real a un conjunto de relacionesmatemáticas. El modelo completo del problemaes:

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• La formulación matemática o modelo simbólico,representa en forma abstracta, el objetivo y lasrestricciones del problema, trasladados delmundo real a un conjunto de relacionesmatemáticas. El modelo completo del problemaes:

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• Ahora sólo falta encontrar la combinación deproductos cera y pasta expresados comotoneladas de X1 y X2 que satisface todas lasrestricciones y también resulte en un valormáximo de la función objetivo, comparado conel valor de cualquier otra solución factible, loque significa la solución óptima del problema.

• Las funciones matemáticas en las cuales sólouna de las variables aparece elevada a la primerapotencia como un término independiente, seconocen como funciones lineales.

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• Ahora sólo falta encontrar la combinación deproductos cera y pasta expresados comotoneladas de X1 y X2 que satisface todas lasrestricciones y también resulte en un valormáximo de la función objetivo, comparado conel valor de cualquier otra solución factible, loque significa la solución óptima del problema.

• Las funciones matemáticas en las cuales sólouna de las variables aparece elevada a la primerapotencia como un término independiente, seconocen como funciones lineales.

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• La función objetivo 4X1+3X2 es lineal, porque cadauna de las variables de decisión aparece en untérmino por separado con exponente 1. si la funciónobjetivo se presentara con 4x1²+3X2³ no se trataríade una función lineal.

• Por la misma razón el número de toneladas demateria prima 1 requerida 2X1/5+1X2/2, también esuna función lineal de las variables de decisión.Similarmente, el lado izquierdo de todas lasdesigualdades de restricción son funciones lineales,así la formulación matemática del problema anteriorse identifica como un programa lineal.

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• La función objetivo 4X1+3X2 es lineal, porque cadauna de las variables de decisión aparece en untérmino por separado con exponente 1. si la funciónobjetivo se presentara con 4x1²+3X2³ no se trataríade una función lineal.

• Por la misma razón el número de toneladas demateria prima 1 requerida 2X1/5+1X2/2, también esuna función lineal de las variables de decisión.Similarmente, el lado izquierdo de todas lasdesigualdades de restricción son funciones lineales,así la formulación matemática del problema anteriorse identifica como un programa lineal.

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Solución gráfica• Lo primero es mostrar, qué puntos corresponden a soluciones

factibles del programa lineal. Tanto X1 como X2 deben ser de valorno negativo, por lo que sólo es necesario considera la porción de lagráfica en donde X1 ≥0 y X2≥ 0, lo que se conoce como primercuadrante. En la figura las flechas indican el primer cuadrante, esdecir, la región donde estos requisitos de no negatividad quedansatisfechos para la solución buscada.

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• Lo primero es mostrar, qué puntos corresponden a solucionesfactibles del programa lineal. Tanto X1 como X2 deben ser de valorno negativo, por lo que sólo es necesario considera la porción de lagráfica en donde X1 ≥0 y X2≥ 0, lo que se conoce como primercuadrante. En la figura las flechas indican el primer cuadrante, esdecir, la región donde estos requisitos de no negatividad quedansatisfechos para la solución buscada.

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• Para mostrar todos los puntos solución quelasatisfacen, se traza la línea que geométricamenterepresenta a la ecuación lineal:2X1/5+1X2/2=20. La cual debe ser recta, secalculan los puntos pertenecientes a la misma ya continuación se traza una línea recta a travésde los mismos.

• Para ello, arbitrariamente, se buscan los puntossobre los ejes en que, por supuesto, se tiene elvalor cero para una de las variables, así al hacerX1=0, se ubica sobre el eje X2 y resolviendo laecuación en función de la variable X2, queda ½X2=20 ó también X2=40.

Inga. Karla Lucas

• Para mostrar todos los puntos solución quelasatisfacen, se traza la línea que geométricamenterepresenta a la ecuación lineal:2X1/5+1X2/2=20. La cual debe ser recta, secalculan los puntos pertenecientes a la misma ya continuación se traza una línea recta a travésde los mismos.

• Para ello, arbitrariamente, se buscan los puntossobre los ejes en que, por supuesto, se tiene elvalor cero para una de las variables, así al hacerX1=0, se ubica sobre el eje X2 y resolviendo laecuación en función de la variable X2, queda ½X2=20 ó también X2=40.

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• Por lo tanto el punto (X1=0, x2=40) satisface laecuación anterior, pues es la intersección de lasrectas, eje X2 y la que representa el recurso 1;alternativamente, para encontrar un segundopunto que satisfaga esta ecuación se hace X2=0y se resuelve en función de X1.

• Al hacerlo se observa que 2X1/5=20, es decir,X1=50; por lo que un segundo punto quetambién satisface la ecuación es (X1=50;X2=0).Con estos dos puntos, se puede trazar la rectaque se conoce como línea de restricción de lamateria prima 1. Mostrada en la figura

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• Por lo tanto el punto (X1=0, x2=40) satisface laecuación anterior, pues es la intersección de lasrectas, eje X2 y la que representa el recurso 1;alternativamente, para encontrar un segundopunto que satisfaga esta ecuación se hace X2=0y se resuelve en función de X1.

• Al hacerlo se observa que 2X1/5=20, es decir,X1=50; por lo que un segundo punto quetambién satisface la ecuación es (X1=50;X2=0).Con estos dos puntos, se puede trazar la rectaque se conoce como línea de restricción de lamateria prima 1. Mostrada en la figura

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Inga. Karla Lucas

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• Si una solución particular no es factible, todas demás soluciones delmismo lado de la línea recta de restricción tampoco lo serán. Si unasolución particular es factible, todas las demás soluciones del mismolado de la línea de restricción serán factibles, por lo que solamentees necesario evaluar un punto de solución para determinar cuál es ellado de la línea de restricción que representa las solucionesfactibles. En la figura el área factible con todos los puntos quesatisfacen la restricción de la materia prima 1 se muestrasombreada.

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• Si una solución particular no es factible, todas demás soluciones delmismo lado de la línea recta de restricción tampoco lo serán. Si unasolución particular es factible, todas las demás soluciones del mismolado de la línea de restricción serán factibles, por lo que solamentees necesario evaluar un punto de solución para determinar cuál es ellado de la línea de restricción que representa las solucionesfactibles. En la figura el área factible con todos los puntos quesatisfacen la restricción de la materia prima 1 se muestrasombreada.

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• Identificación de los puntos de solución que satisfacen larestricción de la materia prima 2

• Se empieza dibujando la línea de restriccióncorrespondiente a la ecuación 1X2/5=5, que esequivalente a X2=25, simplemente se dibuja una líneacuyo valor X2 es 25, está línea es paralela a X1 y está a 25unidades por encima del eje horizontal. En la figura sedibuja la línea recta que corresponde a la restricción dela materia prima 2, la región sombreada corresponde atodas las combinaciones de producción que sonsoluciones factibles para la restricción de la materiaprima 2

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• Identificación de los puntos de solución que satisfacen larestricción de la materia prima 2

• Se empieza dibujando la línea de restriccióncorrespondiente a la ecuación 1X2/5=5, que esequivalente a X2=25, simplemente se dibuja una líneacuyo valor X2 es 25, está línea es paralela a X1 y está a 25unidades por encima del eje horizontal. En la figura sedibuja la línea recta que corresponde a la restricción dela materia prima 2, la región sombreada corresponde atodas las combinaciones de producción que sonsoluciones factibles para la restricción de la materiaprima 2

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• De manera similar, se puede diferenciar elconjunto de todas las soluciones factibles para larestricción de la materia prima 3. La figuramuestra la zona de puntos factibles

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• Ahora se tienen tres gráficas por separado quemuestran las soluciones factibles para cada unade las restricciones. En un problema deprogramación lineal, se necesita identificar lassoluciones que satisfacen simultáneamentetodas las restricciones. Las gráficas de lasfiguras anteriores se pueden superponer paraobtener una intersección gráfica de las tresrestricciones. La figura final muestra estagráfica de restricciones combinadas.

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• Ahora se tienen tres gráficas por separado quemuestran las soluciones factibles para cada unade las restricciones. En un problema deprogramación lineal, se necesita identificar lassoluciones que satisfacen simultáneamentetodas las restricciones. Las gráficas de lasfiguras anteriores se pueden superponer paraobtener una intersección gráfica de las tresrestricciones. La figura final muestra estagráfica de restricciones combinadas.

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• La región sombreada de esta figura incluye todos lospuntos de solución que simultáneamente satisfacentodas las restricciones.

• Esta región se conoce como la región de solucionesfactibles o simplemente región factible.

• Cualquier punto en la frontera de la región factible,o bien en su interior, es un punto de soluciónfactible.

• Ahora que se ha identificado la región factible, sepuede seguir adelante con el método de solucióngráfica y determinar cuál es la solución óptima parael problema de QUIMCAR.

• La solución óptima para un problema de PL es lasolución factible que aporte el mejor valor de lafunción objetivo.

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• La región sombreada de esta figura incluye todos lospuntos de solución que simultáneamente satisfacentodas las restricciones.

• Esta región se conoce como la región de solucionesfactibles o simplemente región factible.

• Cualquier punto en la frontera de la región factible,o bien en su interior, es un punto de soluciónfactible.

• Ahora que se ha identificado la región factible, sepuede seguir adelante con el método de solucióngráfica y determinar cuál es la solución óptima parael problema de QUIMCAR.

• La solución óptima para un problema de PL es lasolución factible que aporte el mejor valor de lafunción objetivo.

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• Se inicia el paso de optimización delprocedimiento de solución gráficavolviendo a dibujar la región factibleen una gráfica por separado.

• El procedimiento para determinar lasolución óptima evaluando la funciónobjetivo para cada una de lassoluciones factibles, no es posiblepues hay demasiadas (de hecho, unainfinidad)

• Por lo tanto, para identificar lasolución óptima no se debe utilizar unprocedimiento de ensayo y error. Enver de intentar calcular la contribucióna la utilidad de cada solución factible,se selecciona un valor arbitrario de lacontribución a la utilidad y seidentifican todas las solucionesfactibles (X1, X2) que dan el valorseleccionado.

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• Se inicia el paso de optimización delprocedimiento de solución gráficavolviendo a dibujar la región factibleen una gráfica por separado.

• El procedimiento para determinar lasolución óptima evaluando la funciónobjetivo para cada una de lassoluciones factibles, no es posiblepues hay demasiadas (de hecho, unainfinidad)

• Por lo tanto, para identificar lasolución óptima no se debe utilizar unprocedimiento de ensayo y error. Enver de intentar calcular la contribucióna la utilidad de cada solución factible,se selecciona un valor arbitrario de lacontribución a la utilidad y seidentifican todas las solucionesfactibles (X1, X2) que dan el valorseleccionado.

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• Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a las unidades de$2,400? Estas soluciones se dan por los valores de X1 y X2 de la región factibleque cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviarcálculos así:

• Esta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas lassoluciones factibles (X1, X2) con una contribución a la unidad de $24 deben estaren esta línea. Trazar la función objetivo o de utilidad haciendo X1=0, se tiene queX2 debe ser 8; entonces el punto de solución está en la recta. Similarmentehaciendo X2=0, se tiene que el punto de solución (X1=6; X2=0), también está en larecta. Dibujando la línea recta por estos puntos se identifican todas las solucionesque tienen una contribución a utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidadse presenta y muestra un número infinito de combinaciones factibles deproducción que darán una contribución de 24 a la utilidad.

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• Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a las unidades de$2,400? Estas soluciones se dan por los valores de X1 y X2 de la región factibleque cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviarcálculos así:

• Esta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas lassoluciones factibles (X1, X2) con una contribución a la unidad de $24 deben estaren esta línea. Trazar la función objetivo o de utilidad haciendo X1=0, se tiene queX2 debe ser 8; entonces el punto de solución está en la recta. Similarmentehaciendo X2=0, se tiene que el punto de solución (X1=6; X2=0), también está en larecta. Dibujando la línea recta por estos puntos se identifican todas las solucionesque tienen una contribución a utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidadse presenta y muestra un número infinito de combinaciones factibles deproducción que darán una contribución de 24 a la utilidad.

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• Otros ejemplos:

• Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y derestricción, se trazan la línea de utilidad de 72 y 120. Por supuesto, sólo lospuntos de las rectas de valor 24, 72, y 120 que están dentro de la región factibledeben considerarse como soluciones factibles para tal contribución de utilidad.

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• Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor crecienteconforme se alejan del origen, se pueden tener valores mayorespara la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera delconjunto factible per manteniéndose adentro del mismo, hastaalcanzar el (los) último (s) punto (s) vértice antes de salir. Dado quelos putos fuera de la región factible no son aceptable, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincidan con la recta de utilidadmayor es una solución óptima al programa lineal.

• Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta deutilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando elcontacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la regiónfactible? Este punto debe ser el vértice que corresponde a lasolución óptima. Los valores óptimos para las variables de decisiónson (X1,X2)= (25,20)

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• Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor crecienteconforme se alejan del origen, se pueden tener valores mayorespara la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera delconjunto factible per manteniéndose adentro del mismo, hastaalcanzar el (los) último (s) punto (s) vértice antes de salir. Dado quelos putos fuera de la región factible no son aceptable, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincidan con la recta de utilidadmayor es una solución óptima al programa lineal.

• Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta deutilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando elcontacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la regiónfactible? Este punto debe ser el vértice que corresponde a lasolución óptima. Los valores óptimos para las variables de decisiónson (X1,X2)= (25,20)

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• A pesar de que la solución óptima para el problema estáformada de valores enteros de las variables de decisión,esto se será siempre el caso.

• La localización exacta del punto de solución óptima esX1=25 y X2=20. Este punto identifica las cantidadesóptimas de producción para QUIMCAR en 25 toneladas decera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con unacontribución a la utilidad de:

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• A pesar de que la solución óptima para el problema estáformada de valores enteros de las variables de decisión,esto se será siempre el caso.

• La localización exacta del punto de solución óptima esX1=25 y X2=20. Este punto identifica las cantidadesóptimas de producción para QUIMCAR en 25 toneladas decera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con unacontribución a la utilidad de:

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• Dependiendo del tamaño y claridad de la gráfica se determinan losvalores óptimos exactos de X1 y X2, leyendo directamente de lagráfica. Si se observa en la gráfica, la solución óptima del ejemploestá en la intersección de las rectas de restricción 1 y 3 que sepueden resolver para precisar los valores coordenados.

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Valores de Holgura

• Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidadasociada, la administración de QUIMCAR desea tener informaciónde uso de las tres materias primas. Se puede obtener estainformación reemplazando los valores óptimos de las variables(X1=25, X2=20) en las restricciones del programa lineal.

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• Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidadasociada, la administración de QUIMCAR desea tener informaciónde uso de las tres materias primas. Se puede obtener estainformación reemplazando los valores óptimos de las variables(X1=25, X2=20) en las restricciones del programa lineal.

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• La tonelada de la materia prima 2 no utilizada seconoce como holgura. En terminología deprogramación lineal, cualquier capacidad sinutiliza y ociosa para una restricción igual omenor (≤ ) se llama holgura asociada con larestricción, por lo que la restricción delrecurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

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• La tonelada de la materia prima 2 no utilizada seconoce como holgura. En terminología deprogramación lineal, cualquier capacidad sinutiliza y ociosa para una restricción igual omenor (≤ ) se llama holgura asociada con larestricción, por lo que la restricción delrecurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

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• A menudo se agregan variables, conocida como variables de holgura Hi, o bienXi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programaciónlineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no haceninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holguras que seincluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. Engeneral las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derechoe izquierdo de una restricción de tipo≤

• Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemáticacorrespondiente al problema QUIMCAR el modelo matemático se convierte en:

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• A menudo se agregan variables, conocida como variables de holgura Hi, o bienXi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programaciónlineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no haceninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holguras que seincluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. Engeneral las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derechoe izquierdo de una restricción de tipo≤

• Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemáticacorrespondiente al problema QUIMCAR el modelo matemático se convierte en:

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• Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresanen forma de igualdades, se dice que el modelo matemático está enforma estándar. En el problema QUIMCAR se observa que en lasolución óptima (X1=25, X2=20), el valor de las variables de holguraes:

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• También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de lasholguras. Observe que al determinar la solución óptima en la gráfica, el puntovértice que es intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan laregión factible hasta ese punto vértice por lo que la solución óptima requiere usarla totalidad de estos dos recursos. En otras palaras, la gráfica muestra que en lasolución óptima, la línea recta de restricciones de la materia prima 2 no limita laregión factible en ese punto vértice, por lo que se puede esperar algún sobrante(holgura) de este recurso.

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• También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de lasholguras. Observe que al determinar la solución óptima en la gráfica, el puntovértice que es intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan laregión factible hasta ese punto vértice por lo que la solución óptima requiere usarla totalidad de estos dos recursos. En otras palaras, la gráfica muestra que en lasolución óptima, la línea recta de restricciones de la materia prima 2 no limita laregión factible en ese punto vértice, por lo que se puede esperar algún sobrante(holgura) de este recurso.

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• Suponga que la contribución a la utilidad de 1 tonelada de pastapulida se incrementa de $300 a $600, en tanto que la contribución ala utilidad de 1 tonelada de cera automotriz y todas las demásrestricciones se mantienen sin modificación, la función objetivo seconvierte en:

• En la gráfica, al mover la línea recta de utilidad de manera paralela,alejándola del origen, se encuentra la solución óptima. Los valoresde variables de decisión en este punto son X1=18.75 y X2=25. Elaumento en la utilidad de la pasta pulidora han creado un cambio enla solución óptima. De hecho, se reduce la producción de la cera yaumenta la de la pasta pulidora, porque ahora tiene una utilidadmayor.

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• Suponga que la contribución a la utilidad de 1 tonelada de pastapulida se incrementa de $300 a $600, en tanto que la contribución ala utilidad de 1 tonelada de cera automotriz y todas las demásrestricciones se mantienen sin modificación, la función objetivo seconvierte en:

• En la gráfica, al mover la línea recta de utilidad de manera paralela,alejándola del origen, se encuentra la solución óptima. Los valoresde variables de decisión en este punto son X1=18.75 y X2=25. Elaumento en la utilidad de la pasta pulidora han creado un cambio enla solución óptima. De hecho, se reduce la producción de la cera yaumenta la de la pasta pulidora, porque ahora tiene una utilidadmayor.

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• Respecto de las soluciones gráficas se debe hacer una observación importante: lasolución óptima ocurre en algunos de los vértices o intersecciones de la regiónfactible. En terminología de programación lineal, estos vértices se conocen comopuntos extremos de la región factible, por lo que para este problema se tiene 5vértices, es decir, cinco puntos extremos. Ahora se puede dar la observaciónsiguiente sobre la localización de las soluciones óptimas.

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Ejemplo:• Reddy Company posee una pequeña fábrica de

pinturas que produce colorantes para interioresy exteriores de casas para su distribución almayoreo. Se utilizan dos materiales básicos: A yB, para producir las pinturas. La disponibilidadmáxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B esde 8 toneladas al día. Los requisitos diarios dematerias primas por tonelada de pintura parainterior y exterior se resume en la tablasiguiente:

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• Reddy Company posee una pequeña fábrica depinturas que produce colorantes para interioresy exteriores de casas para su distribución almayoreo. Se utilizan dos materiales básicos: A yB, para producir las pinturas. La disponibilidadmáxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B esde 8 toneladas al día. Los requisitos diarios dematerias primas por tonelada de pintura parainterior y exterior se resume en la tablasiguiente:

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Tonelada demp portonelada depinturaExterior

Tonelada demp portonelada depinturaInterior

Disponibilidadmáxima(tonelada)

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Tonelada demp portonelada depinturaExterior

Tonelada demp portonelada depinturaInterior

Materia prima A 1 2 6

Materia prima B 2 1 8

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• Un estudio de mercado ha establecido que lademanda diaria de pintura para interiores no puedeser mayor que la pintura para exteriores en más deuna tonelada al día. El estudio señala, asimismo,que la demanda máxima de pintura para interioresestá limitada por dos toneladas diarias.

• El precio al mayoreo por tonelada es $3000 para lapintura de exteriores y $ 2000 para la de interior.

• ¿Cuánta pintura para exterior e interior debeproducir la compañía todos los días para maximizarel ingreso bruto?

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• Un estudio de mercado ha establecido que lademanda diaria de pintura para interiores no puedeser mayor que la pintura para exteriores en más deuna tonelada al día. El estudio señala, asimismo,que la demanda máxima de pintura para interioresestá limitada por dos toneladas diarias.

• El precio al mayoreo por tonelada es $3000 para lapintura de exteriores y $ 2000 para la de interior.

• ¿Cuánta pintura para exterior e interior debeproducir la compañía todos los días para maximizarel ingreso bruto?

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• Variables:• Xe: toneladas de pintura para exterior

producidas al día• Xi: toneladas de pintura para interior

producidas al día.

• FUNCIÓN OBJETIVO:

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• Variables:• Xe: toneladas de pintura para exterior

producidas al día• Xi: toneladas de pintura para interior

producidas al día.

• FUNCIÓN OBJETIVO: