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Ingreso 2007

En lo que sigue te propongo una serie de actividades para que

empieces a familiarizarte con aquello que debes conocer para

poder cursar con éxito una de las materias de 1er año:

Matemática.

Quien te escribe, ha sido y es docente de esta materia desde

hace años y conoce (por padecerlas con Uds.) las múltiples

dificultades que la misma presenta para quienes inician

estudios superiores. Es por ello que preocupada por la cuestión

desde hace tiempo me he dedicado a realizar actividades

dirigidas a hallar alguna solución o paliativo a la misma. Así,

dirijo un proyecto de investigación en Educación Matemática,

dicto cursos para docentes de distintos niveles educativos,

asisto a congresos, seminarios y talleres nacionales e

internacionales donde se trata esta problemática, la cual,

dicho sea de paso, no es solo de nuestro país ni de nuestra

facultad.

Las actividades que te propongo a continuación, son de

introducción al ´tema´, una especie de precalentamiento.

Ellas han sido elegidas por dos razones:

- por que es imprescindible que domines las cuestiones

allí planteadas para

abordar sin dificultad los temas que desarrollamos

durante el año.

- porque la experiencia indica que tal dominio no está o no

es suficiente.

Te saluda hasta la próxima,

Marta Bonacina

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Ingreso 2007 - UNIDAD N º 1

Objetivos : que al terminar las actividades puedas:

- identificar un número real, decir a qué conjunto pertenece. - aplicar propiedades, relaciones y operaciones entre números reales. - resolver ejercicios y problemas que involucran números reales, particularmente,

fracciones

Conocimientos previos : “el sistema numérico ” Medir y contar fueron las primeras actividades de tipo matemático que realizó el hombre. Ellas dieron lugar a los dos primeros conjuntos numéricos que se conocieron:

- los naturales o enteros positivos, que vamos a indicar con N - y las fracciones positivas, que vamos a indicar con Q+

N = { 1, 2, 3, 4, 5, …. } Q+= {

qp / p , q ε N }

A posteriori de ellos aparecen el cero y los negativos estando siempre la creación de estos números motivada por la necesidad de resolver algún problema. El siguiente cuadro resume este proceso, muestra el sistema de números tal como hoy se conoce.

O sea, se agregan los siguientes conjuntos:

ENTEROS (enteros positivos, negativos y cero) Z = N ∪ { 0 } ∪ { - n / n ε N }

NATURALES: N

CERO

ENTEROS NEGATIVOS

ENTEROS: Z

FRACCIONES

RACIONALES: Q

IRRACIONALES: I

REALES: R

IMAGINARIOS unidad imaginaria

i = 1−

COMPLE JOS C

3

RACIONALES { }Nq,Zp/Q qp ∈∈=

IRRACIONALES I = { ;....e;....;;5;3;2 π }

COMPLEJOS C = { a + b i / a , b ∈ R , i = unidad imaginaria}

Representación decimal de los números reales.

Los números reales admiten otra forma de ser expresados: la representación decimal. En la representación decimal de un número se observan dos partes, la “parte entera” y la “parte decimal”, las que separamos por una coma (ó punto, según la convención que adoptemos). La “forma” de la parte decimal depende del “tipo” de número. a) Para los números racionales la expresión decimal se obtiene “dividiendo el

numerador por el denominador” de la fracción que lo representa. Se presentan dos situaciones:

♦ que la parte decimal sea “finita” ( en algún momento el resto de la división es cero),

¾ = 0,75 ; ½ = 0,5 ; 7/ 5 = 1,4 ; 1/100 = 0,01 parte decimal finita

2 = 2/1 = 2,0 (los enteros tienen su parte decimal igual a “cero” )

- que la parte decimal no termine nunca, sea “infinita” (el resto de la división nunca se hace

cero). En este caso se observará la existencia de una “cifra” que se repite indefinidamente. A esta “cifra” le damos el nombre de período.

4/3 = 1, 666666666666666666666………... 25/33 = 0, 75757575757575757575……….. parte decimal infinita 31/90 = 0, 3444444444444444444…………. b) Los números irracionales tienen la parte decimal infinita no periódica.

Por ejemplo : π = 3.14159265358979 …… (y sigue). ê = 2.71828182845904……. (y sigue) (e, base de los logaritmos naturales)

Para poder operar con estos números “los aproximamos”; o sea escribimos solo una cantidad finita de números decimales. Por ejemplo para π hacemos: π ≈3.14 ó π ≈3.1416.

Es importante tener en cuenta esto pues, al “aproximar” introducimos un “error” . Error que se “propaga” cada vez que usamos el número en algún cálculo u operación. Esta propagación del error puede ser muy importante, tan importante que el resultado final llegue a ser muy distinto del verdadero valor (al que se obtendría sin aproximar). Al aproximar un decimal lo podemos hacer por “truncamiento” o por “redondeo” , cuestiones que también tienen importancia en la “propagación” del error.

4

Observación : Todo número racional se puede expresar con una representación decimal infinita periódica

¾ = 0,75 0,75 = 0,750000……. .= 0,75 0 ( período: 0 ) 2 = 2,0 2,0 = 2, 000000……. = 2, 0 ( período: 0 ) 1/3 = 0, 6666….. = 0, 6 (período : 6 ) 25/33 = 0, 7575….. = 0, 75 ( período : 75 ) 31/90 = 0, 3444…. .= 0, 43 ( período : 4 )

Así, podemos afirmar que : Un número decimal representa a un racional ⇔ su parte decimal presenta período

Ejercicio 1 a) Dar la expresión decimal de los siguientes números. Si es periódica, indicar el período. Luego, ordenarlos de menor a mayor.

2

13;132;

1114;

2017;

186:;

618;

58;

10063;

1023;

106 ; 4 +

1005

103

+

b) Expresar en forma de fracción.

0, 25 ; 0,0007 ; 4,5 ; 12,25 ; 10,257 ; 0,02 + 0,5 + 70 – 0,32

Nota : una regla operativa para dar la fracción correspondiente a una expresión decimal finita es “tomar como numerador el número dado, sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal” (*) ¿qué propiedades y operaciones de los números reales justifican esta regla?. Ejercicio 2 Pasaje a fracción de una expresión decimal periódica pura.

Para expresar en forma de fracción una expresión decimal periódica pura (por ej., x = 3, 75 ), se multiplica el número por una potencia de 10 elegida de tal forma que al restar de este producto el número original, la parte decimal desaparece. Luego se despeja y se obtiene el número como cociente de enteros; o sea, como fracción.

Ejemplo: x =3, 75 x = 3, 757575757575………..

100 . x = 375, 7575757575…………

x = 3, 7575757575.……….. 100 x - x = 372, 0000000000…..…….. 99 x = 372

5

x = 99372 (verificar)

(a) Pasar a fracción los siguientes números decimales periódicos puros.

x = 2, 4 ; y = 2, 43 ; z = 2, 438

Observar los resultados, compararlos con el número decimal y deducir a partir de allí una “regla operativa” para estos casos. Escribirla.

(b) Expresar 0,9 . ¿ Qué sucede ? . ¿existen otros casos donde pase esto? . Investigar.

(c ) Hallar x = 4,3 . 3 de dos maneras: primero, operando directamente con decimales; segundo, pasando primero el decimal a fracción y realizando luego la multiplicación. ¿ Da lo mismo?, ¿ porqué ? .

Ejercicio 3 Pasaje a fracción de una expresión decimal periódica mixta.

Para expresar en forma de fracción una expresión decimal periódica mixta (por ej., x = 4,3 75 ), se multiplica el número por potencias de 10 elegidas de tal forma que al restar dos de estos productos, la parte decimal desaparece. Luego se despeja y se obtiene el número como cociente de enteros; o sea, como fracción.

Ejemplo: x = 4 , 3 75 x = 4, 3757575757575………..

1000. x = 4375, 7575757575…………

10. x = 43, 7575757575.……….. 1000 x - 10 x = 4 332, 0000000000…..…….. 990 x = 4 332

x = 9904332 (verificar)

Pasar a fracción los siguientes números decimales periódicos mixtos. x = 2, 7 4 ; y = 2, 7 43 ; z = 2, 7 438 Observar los resultados, compararlos con el número decimal y deducir a partir de allí una “regla operativa” para estos casos. Escribirla.

Ejercicio 4 Notación científica.

Todo número positivo puede escribirse como el producto de un número entero mayor que cero y menor que 10 multiplicado por una potencia de 10

Si x ∈ R+ entonces x = d . 10 n con 1 ≤ d < 10 ; n ∈ Z

6

Ejemplos: 23 058 = 2,3058 . 104

0,00465 = 4,65 . 10 -3

Esta notación es importante para expresar números muy grandes o muy chicos, y es utilizada en las calculadoras, en donde se muestra sólo el número d y el exponente “n”, ya que la base 10 de la potencia se sobreentiende .

Ejemplos: 23 058 000 = 2,3058 . 10 7 ; en pantalla se ve: 2,3058 07 0,000005689 = 5,689.10 - 6 ; en pantalla se ve: 5,689 -06

El uso de la notación científica en la calculadora es una necesidad derivada del hecho que las pantallas de estos dispositivos sólo pueden mostrar un número pequeño de dígitos (8 o 10 cifras) Sin estos convenios de representación sería imposible hacer cálculos como el siguiente.

0,000 000 005 872 x 0, 000 000 000 0258 , pues en una calculadora con 10 posiciones de memoria en pantalla, en la misma veríamos lo siguiente: 0,000 000 000

a) Realiza el producto 0,000 000 005 872 x 0, 000 000 000 025 8 , escribiendo previamente los números en notación científica.

b) La distancia “l” que una molécula de gas recorre entre 2 colisiones sucesivas se llama “camino libre medio” . La fórmula que relaciona “l ” con la viscosidad del gas ( η), la velocidad media ( c ) y la densidad del gas (δ ) es : η = 1/3 . c . δ . l .. Se pide: hallar una fórmula para “l ” en función de η , c y δ . Comprobar que l = 1,67 10-5 para las moléculas de hidrógeno a 0ºC , si se sabe que en este caso, η = 0,0000841 gr/cm .seg ; c = 170 000 cm/seg y δ = 0,000089 gr/cm3 . (resolver trabajando con notación científica). c) La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente

0,0000000000000000000000017 g . Expresar este número en forma científica.

d) Si la velocidad de la luz es de 186.000 mi/seg. ; hallar la distancia que la luz viaja en una

hora, un día, un año. ¿Cuánto tarda la luz en recorrer una milla?-

Ejercicio 5 La calculadora ¿trunca o redondea? Para averiguar esto, toma un número cuya expresión decimal sea periódica (por ej.; 2/3), realiza la división con y sin calculadora y compara los resultados.

Si “trunca” entonces directamente “corta” la parte decimal sin modificar nada;

si “redondea” , corta la parte decimal y le suma uno al último dígito si el primero que se elimina es mayor o igual que 5.

Ejercicio 6 Expresar los siguientes números en la forma más reducida y exacta posible. Decir luego a qué conjunto de los que forman el sistema numérico pertenecen Si pertenecen a más de uno, indicarlo.

a) 3 – ½ = Q25∈

b) 61

95+−

o) – e

p) i52

43+

q) 7, 25 r) 2 + 0, 75

h) π. π-1

i) 4−

j) 3 + 4− k) 2 π - π l) π - 3 1415

7

c) 811

85+

d) 7

e) 7 + 7

1

f) 77

71

g) 484 −

Ejercicio 7 Indicar cuál de los siguientes números es menor. (sugerencia: pasar a decimal)

a) 20077 ;

5019

b) 1/10 ; 11/100

Operaciones con fracciones

Producto de fracciones

El producto de dos fracciones ba y

dc está definida por:

ba .

dc =

d.bc.a

Cociente de fracciones

El cociente de dos fracciones ba y

dc está definida por:

dcba

= c.bd.a

Suma de fracciones

La suma de dos fracciones ba y

dc está definida por:

ba +

dc =

d.bbcad + (*)

Nota 1: si d = b entonces ba +

bc =

bca + (probarlo a partir de la definición anterior)

Nota 2: si b y d no son “primos entre sí”, entonces como denominador de la fracción suma podemos poner “el mínimo común divisor” entre b y d.

Este “mínimo común divisor” no es otra cosa que “el mínimo común múltiplo” entre b y d,

MCM (b;d). Así para sumar 83 +

367 ; procedemos como sigue:

- buscamos D(denominador de la suma) = MCM (8 ; 36) = 23. 32 = 72

8

- resolvemos: 83 +

367 =

7241

721427

722.79.3

D73 36

D8D

=+

=+

=+

(*) Observar que aplicando la definición, D = 8.36 = 288 , y no hubiéramos obtenido la fracción irreducible, sino una equivalente a ella.

Nota 3: es importante que alcances el dominio de estas operaciones, del trabajo con el “mínimo común denominador”, porque además de operar con fracciones numéricas luego vas a trabajar con fracciones cuyo numerador y denominador son “expresiones algebraicas”, donde las reglas son análogas. Así, todo lo que avances en el cálculo numérico te va a resultar de gran ayuda para el trabajo algebraico.

Ejemplo: calcular ba

2−

- =−

−+ 22 ba

b2ba

1 (**)

- buscamos D(denominador) = MCM ((a-b) ; (a+b); (a2 –b2)) = (a-b).(a+b)

- resolvemos: (**) )ba).(ba(

ba)ba).(ba(

b2bab2a2)ba).(ba(

b2)ba()ba(2+−

+=

+−−+−+

=+−

−−−+

- finalmente, simplificando: ba

2−

- =−

−+ 22 ba

b2ba

1 ba

1−

Ejercicio 8 Expresar la siguiente serie de números en la forma más reducida y exacta posible. Ordenarlos luego en forma creciente .

a) 3 ; 5/2 ; ;6923

-2 ; -5 / 2 ; 0/ 4 ; 4 /2 ; ;2

21

34

43;

25

52;

221

++−

b) 0, 5 ; 0, 53 ; 0, 538 ; 0,53 ; 0, 6 ; 0, 9 ; 0,1 ; 0,091

c) 41.

383;

23.

41

811;

811

23.

45;

314;

210;

84

411

+−−+−

;3)6

15).(32(.

51

+−− - 3 - 5. (-1).

Ejercicio 9 Calcular las siguientes expresiones , trabajando en forma exacta:

a) ( )

( ) =−

−

41

31

21

31

21

43

.

b) =

+

− 400.

41

51.

41

51

g) =

−+

−+

34

109

41

43

103

101

2521

h) ( )10020008.0

32

43

31

32

21

.458901

).2().()42(.)(.−

−− −+−+

i )+

1001,0 100

1

9

c) =−

+−

+

−−

−

+

4

4

2

2

2

2

4141

2121

2121

d) 53

4.53

3−+

=

e) [ ] =+ 13.3.8

1.2

1

f) =

+

−

811

3211.

118

1132

l ) =+

−

+

− 32 10.012.001.01.0.5

135.

548

Ejercicio 10 Reducir las siguientes expresiones algebraicas a su mínima expresión:

=−

=−

=−

=−

−

=−

−+

b.ab1

a1

1

)e

ba

a1b1

)d

b.a1

b1

a1

)c

b1

a1

ba)b

bba

bba)a

=−

−

=−

−

++

=−+

−

+

=−−+

=−−−

−−

=+−

++

+

=−−

−−

x21.

3x.

x63)l

442x.

x21

2x1)k

4x1x.4

1xx5)j

x11

x1x)i

21y3

21y3

y6)h

6y

44y2

33y1)g

12x

62x

x3)f

10

Ejercicio 11 (propagación del error por cálculos aproximados ).

( I ) Dado a = 65666666.0x

1−

; calcular a para x = 2/3 = 0,66666666666…..

de las tres formas que se indican a continuación y luego comparar los resultados:

a) Trabajando con la expresión decimal de 2/3 , “ truncada” en 8 decimales

2/3 0.666 666 66

b) Trabajando con la expresión decimal de 2/3 , “ truncada” en 8 decimales

2/3 0.666 666 67

c) Pasando 0.666 666 65 a fracción y operando luego con fracciones.

( II ) Dado b = 9000.10001556

37.

311

−

− se pide:

a) Obtener el valor de b , trabajando siempre con fracciones. b) Obtener el valor de b , expresando previamente todas las fracciones en forma decimal, redondeando siempre a tres decimales. c) compara los resultados y sacar conclusiones.

Ejercicio 12 (aplicaciones en la reducción de fórmulas)

(I) La fórmula C = 5/9 ( F-32 ) da la relación entre la temperatura en grados Fahrenheit, F,

y la temperatura en grados centígrados, C.

a) Obtener F en términos de C.

b) El punto de fusión del oro es de 1000º C ¿ A cuánto grados Fahrenheit corresponde?.

c) El tungsteno, qu ese emplea para los filamentos de las lámparas eléctricas, alcanza su

punto de fusión a 3410ºC. ¿ A cuánto grados Fahrenheit corresponde?.

d) Julia, que está de viaje por Inglaterra, me escribe preocupada porque tiene gripe y al

tomarse la fiebre ¡¡ el termómetros marcaba 104º !! .

¿Qué le pasa al termómetro?. ¿Puede Julia tener esa fiebre?.

(II) La fórmula 21

21RR

R.RR

+= aparece en electricidad. Obtener R1 en término de las

demás variables.

(III) La fórmula 321 R

1R1

R1

R1

++= aparece en electricidad. Obtener R2 en término

de las demás variables. Ejercicio 13 : ¿y con la Lógica como andamos?

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Indicar Verdadero (V) ó Falso (F ) , justificando las respuestas.

a) Nn;n2

4n2n

1n3∈∀

+≥

+

b) Rx;x2

4x2x

1x3∈∀

+≥

+

c) Nn;n

3nn

1n3∈∀

+≤

+

d) Rx;x

3xx

1x3∈∀

+≤

+

e) Nn;n

7nn

1n3∈∀

+≤

+

f) Rx;x

7xx

1x3∈∀

+≤

+

De cómo trabajar en la ´resolución de problemas´ ¿ Analizamos juntos un problema ? INFORME del DOCTOR K SOBRE EL PLANETA :

“ En el tercer día de exploración advertimos la presencia de seres extraños. Tienen como nosotros 20 dedos distribuidos uniformemente en varias extremidades, pero tienen una extremidad menos que nosotros. Son horribles “

El Doctor K es un poco complicado para describir los seres que descubrió.- ¿Te animas a simplificar la información? ¿Cuántas extremidades tienen estos seres extraños? ......................................................................................................................................... ¿Te bastó leer una vez el informe para comprender la situación y responder? Estamos casi seguros que no y si así lo hiciste es muy probable que tu respuesta haya sido “3”; la cual es……… INCORRECTA!!! ¿Qué induce a cometer el error? Probablemente el siguiente análisis: “tienen una extremidad menos que nosotros”

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Pero: ¿se pueden distribuir uniformemente 20 dedos en 3 extremidades? Evidentemente no; luego si tu respuesta fue 3 , te faltó analizar DATOS del problema: Número de dedos ............................ 20 DATOS Número de extremidades..................“una menos que nosotros” Distribución .......................................uniforme ¿Cómo son entonces? ¿Existen seres así? Si lees el informe con verdadero espíritu crítico podrás describir estos seres extraños; ya que si no pudiste hacerlo fue porque inconscientemente “agregaste datos”: en tu análisis diste por sentado que el Doctor K era, terrícola. La respuesta correcta es:

Habida cuenta que el Dr. K es un extraterrestre, ¿no habrá otras respuestas? En principio sí, ya que para responder el problema tenemos que analizar sistemáticamente todas posibilidades de “tener 20 dedos distribuidos uniformemente por extremidad”; o sea la vinculación entre la INCÓGNITA y el DATO , y hay más de una:

Número de extremidades 1 2 4 5 10 20 Dedos por extremidades 20 10 5 4 2 1

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De estas posibilidades, al tener en cuenta el dato “una extremidad menos que nosotros”, quedan 2 combinaciones posibles: 1 extremidad.......................................................20 dedos 4 extremidades................................................... 5 dedos En el informe hay otro DATO que nos permite decidir que vio el Doctor K: ¿lo descubres?

A todo esto; cuando el Doctor K dice: ”menos”; ……ese menos,……… ¿ significará lo mismo que nuestro menos ? ¿ Y si su menos fuera nuestro más ?.....¿ y si su 20 no fuera nuestro 20 ?.....?????? Nuestra intención fue mostrarte con un ejemplo de cómo la resolución de un problema involucra muchas más cosas de las que seguramente te imaginas: lectura comprensiva, actitud crítica, búsqueda de datos, rigurosidad en el manejo de los datos, formulación de hipótesis, etc... Veamos entonces que: La habilidad para resolver problemas no está ligada “solamente” a la mayor o menor capacidad que se tenga en el manejo de los conocimientos matemáticos adquiridos. El proceso de resolver un “problema” es algo más complejo; normalmente la mayor dificultad con la que se tropieza es interpretar el texto y “traducir” el problema a términos matemáticos (al lenguaje matemático) , o sea reescribir el mismo a través de ecuaciones, inecuaciones, fórmulas, etc. Si bien no existen normas generales que permiten realizar esta tarea, es posible dar algunas sugerencias (para cierto tipo de problemas) que ayudan a resolver la cuestión en forma exitosa. Con esa intención presentamos:

“UNA GUÍA PARA LA FORMUACIÓN MATEMÁTICA Y RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA”

Al encarar la resolución de un problema normalmente se presentarán cuatro etapas, que son: I.- Entender el problema:

♦ Se sugiere realizar en primera instancia una lectura “completa” y cuidadosa del problema.

♦ La misma nos permitirá tener una visión global del mismo e ir reconociendo las distintas partes que lo componen.

II.- Separación de las partes de un problema:

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Se trata de distinguir los tres elementos que determinan el problema:

1. Incógnitas 2. Datos 3. Vinculación entre ambos

III.- Elaboración de un plan de trabajo: Una vez identificadas las tres componentes del problema, se procede a: a) Asignar letras a las incógnitas:

Es habitual para ello usar las letras x, y ,z,... siendo esta elección puramente convencional, pudiendo elegirse otras particularmente cuando intervienen cantidades concretas como por ejemplo, si la incógnita es un área, en cuyo caso elegimos la “a” .

b) Confeccionar un diagrama o figura de análisis:

De ser posible se procede a representar gráficamente la situación planteada.

c) Traducir las proposiciones del problema al lenguaje matemático:

Este paso es quizá el más conflictivo, aquí entra en juego la creatividad, la tenacidad que cada uno posea y por supuesto los conocimientos. Se deben relacionar datos e incógnitas en expresiones algebraicas que involucren a ambos y que describan la vinculación entre ellos. Pueden existir distintas formas de hacerlo. La habilidad estará en elegir la que conduzca a las expresiones más simples. Esto lleva a la selección, entre los conocimientos y experiencias previas de alguna situación análoga o también (porque no) intentar desarrollar nuevas técnicas que enriquecerán nuestro bagaje matemático y podrán ser usados en otros problemas.

IV.- Ejecución del plan: En esta etapa debemos distinguir dos instancias:

♦ a) Resolución: Se trabajará en la solución de las expresiones algebraicas obtenidas en la etapa anterior, hasta la determinación de la o las incógnitas.

♦ b) Validación del resultado: Se analizará la consistencia del resultado obtenido,

confrontándolo con los datos del problema; verificando resultados y desechando soluciones extrañas.

Ejemplo : En una mesa hay 20 monedas de veinticinco y diez centavos, cuyo valor combinado es de $3.05. ¿Cuántas monedas de cada valor hay?

Reconocimiento de datos; asignación de letras a las incógnitas, vinculación entre ellas

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Datos - cantidad total de monedas: 20 - hay dos clases de monedas: $0.25 ; $ 0.10 - las 20 monedas ´suman´ : $ 3.05 Incógnita(s) cantidad de monedas de cada valor; o sea de $0.25 y de $ 0.10 .

(*) notar que escribimos datos e incógnitas tal cual aparecen en el problema, pero destacando aquellas palabras que dan ´pistas´ para encontrar ´relaciones´ entre ellas.

Asignación de letras a las incógnitas:

x = cantidad de monedas de 0.25 ( 25 ctvos= $ 0.25 )

y = cantidad de monedas de 0.10. ( 10 ctvos = $ 0.10

Incógnita(s) ¿ x ? ; ¿ y ? Vinculaciones cantidad de m/ 0.25 + cantidad de m/ 0.10 = 20 ⇒ x + y = 20 valor total de 0.25 + valor total de 0.10 = 3.05 ⇒ 0.25 x + 010 y = 3.05

Reconocemos la(s) expresiones algebraicas sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas.

Aplicamos las técnicas correspondientes y resolvemos x = 7 ; y = 13.

Verificamos: x + y = 7 + 13 = 20

0.25 x + 010 y = 0.25 7 + 010 .13 = 1.75 + 1.30 = 3.05

Damos la respuesta en forma de oración.

Rta: Tenemos 7 monedas de $ 0.25 y 13 de $0.10 (aquí sí indicamos las unidades) PROBLEMAS

1) Lucas cobró ayer su primer sueldo, pero tiene poca suerte. Ayer mismo le robaron los 2/5 del mismo y hoy perdió los 5/6 de lo que le quedaba. Si todavía tiene $ 152 . ¿cuál es le sueldo de Lucas?

2) Una nave espacial parte en un vuelo de reconocimiento, En la primera etapa consume la tercera parte del combustible cargado, en la segunda los 2/5 de lo que resta y para la tercera y última le quedan 40.000 litros. ¿ qué cantidad de combustible cargó la nave espacila?

3) La tía de Lucas compró un terreno para construir un fin de semana. Si la casa abarcará la tercera parte del terreno, la pileta 1/8 de lo que resta y quedarán aún 1.400 m2 para parque. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa la pileta? .

4) Un vendedor ambulante de escobas vende la cuarta parte de las mismas, más 10. Al hacer el recuento observa que la mitad de las que restan, más 2, están falladas, quedando sólo 5 en buenas condiciones. ¿Con cuántas escoba comenzó el recorrido?. Si para obtener ganancia debía vender más del 60% de su mercadería, ¿perdió o ganó?.

5) Después de haber gastado los 2/3 de lo que tenía me regalaron $920. Ahora tengo $50 más de los que tenía al principio . ¿Cuánto tenía?

6) Método del factor para conversión de unidades.

Para convertir una magnitud de un sistema da unidades en otro procedemos así:

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gse60m1

/

/

1º) multiplicamos (tantas veces como haga falta) por un factor “ 1 “.

2º) este factor lo construimos de modo que : NUMERADOR = DENOMINADOR pero expresando cada uno en distintas unidades.

Ejemplo: 172.800 seg a horas 172.800 seg. . . = 48 hs.

a) Justificar la regla

b) Pasar 38 Km a m y 38 Km/h a m/seg

c) escribir la densidad del mercurio 13,6 .10 3 Kg/m3 en g / cm3 .

7) En Química trabajarás con el concepto de MOL y verás que :

“un Mol es la cantidad de materia que contiene un número de partículas igual al número

de Avogadro, el cual es aproximadamente igual a seiscientos dos mil trillones ”

Escribe el número de Abogadro en notación científica y luego, para darte una idea de la magnitud de este número (que escapa a la comprensión inmediata), calcula cuál sería la dimensión de la caja cúbica necesaria para guardar 1 mol de bolillas de hierro de 1 g cada una. ( densidad del hierro = 7,86 g/ml ; 1 ml = 1 cm3 )

Respuestas

m60h1/

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